圆中常见辅助线的作法资料讲解

有关圆的七种辅助线的作法作者：来源：《语数外学习》2015年第10期圆是初中几何的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题都需要添加辅助线来解答.只要添上合适的辅助线，就可以化繁为简、化难为易. 下面举例说明有关圆的几种辅助线的作法.一、有关直径问题，常作直径上的圆周角例1 ; 如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB 于点M，交BC于点N.（1）求证：BA·BM=BC·BN;（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.图1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图2（1）证明：如图2，连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴ ;= ;，∴AB·BM=BC·BN;（2）解：如图2，联结OM，则∠OMC=90°，∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，∵OM=OB，∴∠B= ;∠MON=30°，∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6.说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.二、有关弦的问题，常作其弦心距例2 ; 如图3，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM·PN=2PO2.图3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图4证明：如图4，过O作OC⊥NP于点C，则PC= ;PN，∵OC⊥NP，PO⊥AB，∴∠POM=∠PCO= 90°，又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，∴ ;= ;，∴PO2=PM·PC=PM·（ ;PN），即PM·PN= 2PO2.说明：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来将弦、弧、弦心距联系起来.三、对于直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径例3 ; 如图5，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P.（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED.（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？图 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图6证明：（1）如图6，连接OC.∵PC=PF，∴∠4=∠5，∵∠4=∠3，∴∠3=∠5.∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°.∴∠AHF=90°，即AB⊥DE.（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF.如图6，连接AE，∵ ;= ;，∵∠ADF=∠ADE，∴△ADF∽△EDA，∴ ;= ;.即AD2=DE·DF.说明：命题的条件中含有圆的切线，解题时往往连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题.四、对于相切两圆，常添公切线作辅助线例4 ; 如图7，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D .（1）求证：PC平分∠BPD;（2）将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.图7证明：（1）如图8，过P点作两圆公切线PQ，∵∠QPC=∠PCQ，∠QPB=∠A，∠CPD=∠A+∠QCP，∴∠CPD=∠CPB，即PC平分∠BPD.图8 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图9（2）上述结论仍然成立.如图9，过点P作两圆公切线PM，则∠MPB=∠A，∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，说明：在解答有关两圆相切的问题时，作辅助线的方法是作两圆的公切线.公切线是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角产生联系，运用弦切角定理.五、两圆相交，常连结公共弦或连心线例5 ;已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.（1）如图10，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立，证明你的结论.（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径.图10 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图11（1）EA=ED成立.证明：如图11，联结AB，在EA延长线上取点F，∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC=∠ABC，∵∠FAC=∠DAE， ;∴∠ABC=∠DAE，而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角∴∠ABC=∠D，∴∠DAE=∠D，∴EA=ED;（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切.解：如图12，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=90°，∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径， ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图12∴由切割线定理知：AC2=CB·CE，而CB=2，CE=8 ;∴AC2=2×8=16，AC=4，故⊙O1直径为4.说明：在解两圆相交问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形，再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系.六、圆中有相交弦，常作线段构造相似三角形例5 ;如图13，已知⊙O的两条弦AB、CD交于P点，求证：AP·BP=CP·DP.图13 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图14证明：如图14，连结AC，BD，∵∠C和∠B都是⊙O中弧 ;所对的圆周角，∴∠C=∠B，同理可得∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP，∴ ;= ;，即AP·BP=CP·DP.说明：在求解圆中与线段有关的等积式（或比例式）问题时，通常需要连结两条相交弦的两组端点，利用相似三角形的有关性质来帮助求解;若两条相交弦均是直径，则连线后可以构成全等的等腰三角形.七、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形例6 ; 如图15，点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°，AB=6，求⊙O 半径的长.图15 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图16解：如图16，作直径AD，连结BD.∵∠ACB与∠D都是 ;所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°，又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=30°，∴BD= ;AD，设BD=x，则AD=2x，∴AB= ;= ;= ;x，∴x= ;= ;=2 ;，∴r= ;AD=x=2 ;.说明：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角时，通常需要作直径构造直角三角形，以利用特殊三角形的边长关系及勾股定理来帮助求解.《轴对称》拓展精练参考答案1.C;2.B;3.B;4.C;5.18;6.108°;7.60°;8.309087;9.15°;10.480m2或768 m211. 解：（1）图略，∠ABC=90°时，PR=7.证明如下：连接PB、RB，∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，∴PB=OB=3 ;，RB=OB=3 ;，∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR=2×3 ;=7;（2）PR的长度是小于7，理由如下：∠A BC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB+BR>PR，∵PB+BR=2OB=2×3 ;=7，∴PR图形的平移与旋转强化练习参考答案1.C;2.A;3.D;4.45;5. ;;6.5;7. ;+1;8. （1）△ABC扫过面积即S梯形ABFD=32;（2）a=5或a=6.9.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形.（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形.（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°;②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，∴α-60°=50°，∴α=110°;③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD.∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠AOD= ;=120°- ;，∴190°-α=120°- ;，解得α=140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.。

浅谈圆的辅助线作法3
4.当两圆相切，可作公切线或连心线 例5 已知：如图5，⊙O 1与⊙O 2外切 于点P ，过P 点作两条直线分别交⊙O 1与 ⊙O 2于点A 、B 、C 、D 。

求证 PB •PC=PA •PD 。

分析：欲证PB •PC=PA •PD ，即证PA ∶PB=PC ∶PD ， 由此可作辅助线AC 、BD ，并证AC//DB ，要证平行，需证一对内错角相等，如∠C=∠D ，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线MN ，从而问题迎刃而解。

例6
已知：如图6，⊙O 1与⊙O 2内切于点T ，经过
切点T 的直线与⊙O 1与⊙O 2分别相交于点A 和B 。

求证 TA ∶TB=O 1A ∶O 2B 。

分析：欲证TA ∶TB=O 1A ∶O 2B ，可考虑证这四条线段 所在的三角形相似，即证△TO 1A ∽△TO 2B ，于是只需连结O 2O 1，并延长，必过切点，则产生△TO 1A 和△TO 2B ，由∠1= ∠2=∠T ，则O 1A// O 2B ，易证线段比相等。

说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。

T B
A O
1 O 2
1
2
图 6
A
C
N
B
D
M P
O 1 O 2
.
. 图 5。

初中数学“圆中辅助线”添法探究弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线.遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的同旁. 过O 作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则AE=12 AB=3.连结OA 、OC. ∵AB ∥CD,∴OE ⊥CD 于F ，则EF 是平行弦AB 、CD 间的距离. 在Rt △OEA 中，由OA=5,AE=3得OE=3522=4.同理可得OF=3.∴EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的两旁. 过O 点作OE ⊥AB 于E ，延长EO 交CD 于F. 连结OA 、OC.∵AB ∥CD ，则EO ⊥CD 于F. ∴EF 是平行弦AB 、CD 间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7. 启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理， 依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC,△ABD 的外接圆交BC 于E.求证:AD=EC.分析:连结DE ，由圆周角∠1=∠2,可得AD=DE. 欲证AD=EC ，只要证DE=EC 即可.证明:连结DE.∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴AD=DE.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠3是圆内接四边形ABED的外角,∴∠3=∠ABC.∴∠3=∠C,∴DE=EC,∴AD=EC.启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，DE切☉O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.证明:连结BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90º，△BDC为Rt△.又∵∠ABC=90º，AB是☉O的直径，∴BC切☉O于点B.又∵DE切☉O于D,∴BE=DE，则∠BDE=∠DBE.∵∠1+∠BDE=90º，∠C+∠DBE=90 º,∴∠1=∠C，∴DE=EC.∴BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线. 四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC 是☉O 的直径，AB 交☉O 于D ，DE 切☉O 于D ，交AC 于E. 求证：OE ∥BA.证明:连结OD.∵DE 切☉O 于D, ∴∠EDO=90 º.又∵∠C=90 º，OC=OD ， OE=OE, ∴Rt △ECO ≌RtEDO. ∴∠1=∠2= 12 ∠COD.又∵∠B= 12 ∠COD,∴∠1=∠B. ∴OE ∥BA.例5 已知:如图点O ′为∠AOB 角平分线上一点,以O ′为圆心作☉O ′与OA 相切于点E. 求证:☉O ′与OB 相切.证明:过点O ′作O ′F ⊥OB 于F ，连结O ′E. ∵OA 切☉O ′于点E,∴O ′E ⊥OA 于点E;O ′E 为☉O ′的半径. 又∵点O ′为∠AOB 角平分线上的点, ∴O ′E=O ′F.∴☉O′与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例 6 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D 四点.求证:∠APD+∠BPC=180º.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则∠BPM=∠A，∠CPM=∠D.∵∠APD+∠A+∠D=180º,∴∠APD+∠BPM+∠CPM=180º.∵∠BPM+∠CPM=∠BPC,∴∠APD+∠BPC=180º.例7 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:∠APB=∠CPD.证明:过点P作公切线TP.则∠APT=∠D ,∠BPT=∠BCP.∵∠APB=∠BPT-∠APT,∠CPD=∠BCP-∠D,∴∠APB=∠CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.例8 已知:☉O1与☉O2相交于A、B两点,E为☉O1上的一点,EF 切☉O1于点E,EA、EB的延长线交☉O2于C、D两点.求证:EF∥CD.证明:连结AB，则∠1=∠2.∵四边形ABDC是☉O2的内接四边形,∴∠2=∠D.∴∠1=∠D.∴EF∥CD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.七、代数、几何的综合题型.解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.例9 已知:如图,在Rt△AOC中，直角边OA在X轴负半轴上，OC 在Y轴正半轴上，点F在AO上,以点F为圆心的圆与Y轴、AC边相切，切点分别为O、D,☉F与X轴的另一个交点为E.若tanA=34,☉F的半径为32. （1）、求过A 、C 两点的一次函数解析式；（2）、求过E 、D 、O 三点的二次函数解析式； （3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC 上.分析：解本题（1）（2）两问的关键是求A 、C 、E 、D 、O 五个点 的坐标.解：（1）过切点D 作☉F 的半径DF ，则∠ADF=90º. 在Rt △ADF 中，由tanA=34 和半径DF=32 得AD=2.∴AF=AD 2+DF 2= 52，则AO=AF+FO=4.在Rt △AOC 中，由AO=4和tanA=34，得OC=3，AC=5.则A 、C 两点的坐标为:A （-4，0），C （0，3）. 设:所求一次函数解析式为y=kx+b. 由A 、C 两点的坐标求得k=34 ，b=3.∴所求一次函数的解析式为:y=34x+3.(2)过点D 作DG ⊥AO 于G ，则Rt △ADG ∽Rt △ACO. ∴AD AC =DG CO ，即25 =DG 3 得DG=65 .由于点D 在AC 上， 把DG=65 代入y=34 x+3，可求得D 点的横坐标为:- 125.∵OE=2OF=2×32=3,∴E 、D 、O 三点的坐标为:E （-3，0），D （- 125 ，65 ）、0（0，0）.设:过E 、D 、O 三点的二次函数解析式为y=ax 2+bx+c.则: 9a-3b+c=0, a=- 56,14425 a- 125 b+c= , b=- 52 , c=0, c=0 . ∴所求二次函数解析式为:y=- 56 x 2- 52x.（3）由y=- 56 x 2 - 52 x 易得抛物线的顶点坐标为:（- 32 ，158 ）.经检验得,点（- 32 ，158 ）在直线y = 34 x + 3上.∴抛物线y=- 56 x 2 - 52x 的顶点在直线AC 上.启示:本题的辅助线是通过图形特征，挖掘题中的明显和隐含条件，而达到目的.综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.[课后冲浪]一、证明解答题16．已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．17．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.18．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.ABCDO E19．如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？20．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.A21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.22．如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．23．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.A...N三、探索题24．已知：图a，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：（1）DC是⊙O的切线，（2）过D点作DE⊥AB，图b所示，交AC于P点，请考察P点在DE的什么位置？并说明理由.B 图aB 图b。

圆中常见辅助线的作法正文：在学习圆的内容时，很多同学觉得难学，总是找不到解题的突破口。

觉得难学，很大程度是因为不会画辅助线。

辅助线，就是现有图形的基础上，添加一些线条，以便运用所学知识，化繁为简，达到解决问题的目的。

在解决几何问题的时候，当运用题目给出的条件无法解决问题时，可以通过添加辅助线，形成新图形，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。

一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。

在此，对初中几何圆中常见的辅助线的添加思路从以下几个方面进行总结。

一：弦长计算，作弦心距，结合勾股定理和垂径定理。

例：如图，已知⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，则弦AB长是多少？分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC=AB在Rt△AOC中，由勾股定理得AC=12.所以AB=24.二：切线的证明：1.连半径，证垂直。

例：如图， AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线；分析：连接OD ，先证OD∥AE，再证OD⊥EF，直线EF经过半径OD的外端点D，并与OD 垂直。

从而可以证明EF是⊙O的切线.2.作垂直，证半径例：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．求证：CD与⊙O相切；分析：过点O作OG⊥DC，垂足为G．证明△ADO≌△GDO后可以得到OA=OG．从而OG是⊙O的半径，CD经过半径OG的外端点并与半径OG垂直，根据切线的判定可以证明CD与⊙O相切。

三：有直径，作直径所对圆周角。

例：如图，是的外接圆⊙O的直径，若，则．分析：连接，如图，因为AD为的外接圆⊙O的直径，所以∠ABD＝90°,从而可得∠ACB＝∠D＝50°四.弧有中点，连中点圆心，结合垂径定理。

例：如图，在扇形中，已知，，过弧AB的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（）分析：连接OC,因为点C为弧AB的中点，所以∠AOC＝∠BOC,从而可以证明△CDO≌△CEO,于是四边形CDOE为正方形，面积等于1，由扇形面积公式得，故选B。

1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

或许连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用： 1 、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。

4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

例：如图，ＡＢ是⊙ O 的直径 ,PO⊥ AB 交⊙ O 于 P 点，弦 PN 与 AB 订交于点 M ，求证：PM ?PN=2PO 2.剖析：要证明PM?PN=2PO2，即证明 PM ?PC =PO 2，过 O 点作 OC⊥PN 于 C，依据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM?PC=PO2，要证明 PM?PC=PO2只需证明 Rt△ POC∽Rt △ PMO.1证明 : 过圆心 O 作 OC⊥ PN 于 C，∴ PC=PN2∵PO⊥ AB, OC ⊥PN ，∴∠ MOP= ∠ OCP=90° .又∵∠ OPC=∠ MPO ，∴ Rt△POC∽ Rt△PMO.∴ PO PC即∴ PO2 = PM?PC.∴ PO2= PM ?1PN，∴ PM ?PN=2PO2.PM PO2【例 1】如图，已知△ ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。

AOB C【例 2】如图，⊙ O的直径为10，弦 AB＝8， P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________ ．【例 3】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C 在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.2． 碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。

例 如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于点 N ．（ 1） 求证： BA · BM=BC · BN ；（ 2） 假如 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．剖析：要证 BA · BM=BC · BN ，需证△ ACB ∽△ NMB ，而∠ C=90°，因此需要△ NMB 中有个直角，而BN 是圆 O 的直径，因此连结 MN 可得∠ BMN=90 °。

浅谈圆的辅助线作法4
5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。

例7 如图7，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B
两点，过A 点作⊙O 2的切线交⊙O 1于点C ，
直线CB 交⊙O 2于点D ，DA 延长线交⊙O 1
于点E ，连结CE 。

求证 CA=CE 。

分析：欲证CA=CE ，考虑在三角形中证它
们所对的角相等，即∠E=∠CAE ，又由
∠DAF=∠CAE ，想到弦切角∠DAF 与所夹弧
对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦AB ，得∠E=∠DBA ，易证CA=CE 。

说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。

例8 如图8，在梯形ABCD 中，以两腰 AD 、BC 分别为直径的两个圆相交于M 、N 两点， 过M 、N 的直线与梯形上、下底交于E 、F 。

求证： MN ⊥AB 。

分析：因为MN 是公共弦，若作辅助线O 1O 2， 必有MN ⊥O 1O 2，再由O 1O 2是梯形的中位线，得O 1O 2//AB ，从而易证MN ⊥AB 。

说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。

C D
E M N G A B O 2 O 1
F 图 8 F E B C A O 1 O 2 . . 图 7 D。

浅谈圆的辅助线作法2
2.有直径，可作直径上的圆周角
对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

例2 如图2，在△ABC 中，AB=AC ，
以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过D
作⊙O 的切线DM 交AC 于M 。

求证 DM ⊥AC 。

分析：由AB 是直径，很自然想到其所
对的圆周角是直角。

于是可连结AD ，得∠ADB=Rt ∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B ，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM ⊥AC 。

3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦
例3 如图3,AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，DC 切⊙O 于C 点。

求∠A 的度数。

分析：由过切点的半径垂直于切线， 于是可作辅助线即半径OC ，得Rt △， 再由解直角三角形可得∠COB 的度数， 从而可求∠A 的度数。

例4 如图4，已知△ABC 中，∠1=∠2， 圆O 过A 、D 两点，且与BC 切于D 点。

求证 EF//BC 。

分析：欲证EF//BC ，可找同位角或内错角 是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE ，得一对内错角∠BDE 与∠DEF ，由圆的性质可知这两个角分别等于∠1和∠2，故易证EF//BC 。

B
D C
M A
O .
A 2
1 图 2
D
A
O
B
C
.
图 3 E
D
C
F
O 1 2 A B
图 4。

1- 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：1、利用垂径泄理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系：3、利用弦的一半、弦心距和半径组成宜角三角形，根据勾股定理求有关量。

4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

例：如图，A B是。

0的直径,P0丄AB交00于P点，弦PN与AB相交于点*求证：PM*PN=2P0：.分析：要证明PM・PN=2P0S即证明PM*PC =P0：,过0点作0C丄PN于C,根据垂经左理NC=PC,只需证明PM*PC=PO\ 要证明PM*PC=P03只需证明RtAPOC^RtAPMO.证明：过圆心0作0C丄PN于C, APC= -PN2TPO丄AB, 0C丄PN, A ZM0P=Z0CP=90°・又I Z0PC=ZMP0, ARtAPOC^RtAPMO.即AP02= PM・PC. •••POJ PM•丄PN, •••PM・PN=2P01• PO PC2•而一75【例1】如图, 已知Z\ABC内接于00, ZA=45° , BC二2,求00的而枳。

【例2】如图，00的直径为10,弦AB=8, P是弦AB上一个动点,那么0P的长的取值范羽是.【例3】如图，眩AB的长等于00的半径，点C在弧AMB上,则ZC的度数是2・遇到有直径时常常添加(画)直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

例如图，在AABC中，ZC二90° ,以BC上一点0为圆心，以0B为半径的圆交AB于点M,交BC于点N.(1)求证：BA • BM=BC • BN：(2) 如果CM是00的切线，N为0C的中点,当AC二3时，求AB的值.分析：要证BA - BM=BC - BN,需证△ACBs/\MB,而ZC=90° ,所以需要△NMB中有个直角，而BN是圆0 的直径，所以连结MN可得ZBMN=90° °(1)证明：连结MN,则ZBMN=90° =ZACB•••△ACB S/\NMB.B^_AB•• BM _ BNA AB • BM=BC• BN(2)解：连结0M,则ZOMC二90°TN为0C中点.\MN=ON=OM, A ZM0N=60°V0M=0B> ••• ZB二+ ZM0N=30cMBV ZACB=90° , AAB=2AC=2X3=6【例4】如图，AB是00的直径，AB二4,弦BC二2,ZB 二______________3. 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算;弦心距来中间站..圆上若有一切线;切点圆心半径连..要想证明是切线;半径垂线仔细辨..是直径;成半圆;想成直角径连弦..弧有中点圆心连;垂径定理要记全..圆周角边两条弦;直径和弦端点连..要想作个外接圆;各边作出中垂线..还要作个内切圆;内角平分线梦园..如果遇到相交圆;不要忘作公共弦..若是添上连心线;切点肯定在上面..二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距;或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径..作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形;根据勾股定理求有关量..2、常常连结圆心和弦的两个端点;构成等腰三角形;还可连结圆周上一点和弦的两个端点..作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角..2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角..作用：利用圆周角的性质;得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点..作用：利用圆周角的性质;可得到直径..4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB;得到直角或直角三角形..5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定;则常过圆心作直线的垂线段;再证垂足到圆心的距离等于半径..2若直线过圆上的某一点;则连结这点和圆心即作半径;再证其与直线垂直..6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点;或过内心作三角形各边的垂线段..作用：利用内心的性质;可得：1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时;连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等..例题1、如图;已知△ABC内接于⊙O;∠A=45°;BC=2;求⊙O的面积..例题2、如图;弦AB的长等于⊙O的半径;点C在弧AMB上;则∠C的度数是________.例题3、如图;AB是⊙O的直径;AB=4;弦BC=2;∠B=例题4、如图;AB、AC是⊙O的的两条弦;∠BAC=90°;AB=6;AC=8;⊙O的半径是例题5、如图所示;已知AB是⊙O的直径;AC⊥L于C;BD⊥L于D;且AC+BD=AB..求证：直线L与⊙O相切..例题6、如图;P是⊙O外一点;PA、PB分别和⊙O切于A、B;C是弧AB上任意一点;过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E;若△PDE的周长为12;则PA长为______________例题7、如图;△ABC中;∠A=45°;I是内心;则∠BIC=例题8、如图;Rt△ABC中;AC=8;BC=6;∠C=90°;⊙I分别切AC;BC;AB于D;E;F;求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．课后练习1、已知：P是⊙O外一点;PB;PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．2、如图;ΔABC中;∠C=90°;圆O分别与AC、BC相切于M、N;点O在AB 上;如果AO=15㎝;BO=10㎝;求圆O的半径.3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点;BC切⊙O于E点.求证：AD 也和⊙O相切.4、如图;学校A附近有一公路MN;一拖拉机从P点出发向PN方向行驶;已知∠NPA=30°;AP=160米;假使拖拉机行使时;A周围100米以内受到噪音影响;问：当拖拉机向PN方向行驶时;学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时;则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线..圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一;与圆有关的问题;汇集了初中几何的各种图形概念和性质;其知识面广;综合性强;随着新课程的实施;园的考察主要以填空题;选择题的形式出现;不会有比较繁杂的证明题;取而代之的是简单的计算..圆中常见的辅助线有：1作半径;利用同圆或等圆的半径相等； 2涉及弦的问题时;常作垂直于弦的直径弦心距;利用垂径定理进行计算和推理； 3作半径和弦心距;构造直角三角形利用勾股定理进行计算； 4 作直径构造直径所对的圆周角； 5 构造同弧或等弧所对的圆周角； 6遇到三角形的外心时;常连接外心与三角形的各个顶点； 7 已知圆的切线时;常连接圆心和切点半径； 8 证明直线和园相切时;有两种情况：1已知直线与圆有公共点时;连接圆心与公共点;证此半径与已知直线垂直 ;简称“有点连线证垂直;”2已知直线与圆无公共点时;过圆心作已知直线的垂线段;证它与半径相等;简称“无点做线证相等”此外;两解问题是圆中经常出现的问题;涉及弧;弦;与圆有关的角;点与圆;直线与圆;圆与圆的位置关系等知识;着重考察思维的完备性和严谨性;应特别引起重视。

CM O N 圆中常作哪些辅助线?通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下：弦与弦心距，密切紧相连. 直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦. 遇到相切圆，作条公切线. “有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间.一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”.例 1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO⊥AB 交⊙O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M，求P证：PM•PN=2PO2.1分析：要证明PM•P N=2PO²，即证明PM•PN =POA B2²，1过 O 点作 OC⊥PN 于 C，根据垂经定理PN =PC，只需证明2。

⨯。

∆PMOPM•PC=PO²，由PO = P M，“三点定型”法可判断需证明 Rt△POC∽Rt△PMO.。

⨯ ∆POCPC PO1证明: 过圆心 O 作 OC⊥PN 于 C，∴PC= PN2∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=900.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴ PO = PC PM，即∴PO2= PM•PC. PO1∴PO2= PM•PN，∴PM•PN=2PO2.2二、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一.例 2．已知：△ABC 中，∠B=900，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆切 AC 与 D 点，交 AB 与 E 点，AD=2，AE=1.求证:CD 的长. CD 分析：D 为切点，连结 DO，∠ODA=900.根据切线长定理AE O BCD=CB.DO=EO= 半径r，在Rt△ADO 中根据勾股定理或Rt△ADO~ Rt△ABC，求出CD.证明: 连结DO∴OD⊥AC 于 D, ∴∠OCP=900.∵AB 过 O 点, ∠B=900.∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB设 CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO 中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=13∴(1+y)2=22+y2, ∴ y=23 3在Rt△ABC 中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ + )2+x2, ∴x=32 2∴CD=3.三、连结公共弦D 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把AEBPAE“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。