七年级数学暑假专题 旋转综合提高 浙江版 知识精讲

专题2.8 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】【浙教版】【题型1 归类法】 ................................................................................................................................................. 14 【题型2 凑整法】 ................................................................................................................................................. 15 【题型3 逆向法】 ................................................................................................................................................. 17 【题型4 拆项法】 ................................................................................................................................................. 18 【题型5 组合法】 ................................................................................................................................................. 20 【题型6 裂项相消法】 .. (21)【题型7 倒数求值法】 24【知识点1 归类法】结合、同分母与同分母结合等. 【题型1 归类法】【例1】（2022春•普陀区校级期中）计算：8+（﹣114）﹣5﹣（−34）． 【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可． 【解答】解：8+（﹣114）﹣5﹣（−34） ＝（8﹣5）+[（﹣114）﹣（−34）] ＝3+（−12） ＝212．【变式1-1】（2022春•徐汇区校级期中）计算：−223+21112+614−313．【分析】利用有理数的加减混合运算，进行计算即可． 【解答】解：原式=(−223−313)+21112+614 =−6+614+21112=14+21112=316．【变式1-2】（2022秋•青浦区期中）计算：219+0.3−129+710．【分析】运用加法交换律和结合律计算． 【解答】解：原式＝219+310−129+710＝（219−129）+（310+710） =89+1＝189．【变式1-3】（2022秋•和平区校级月考）计算： （1）−(−3712)+(−114)+(−2712)+(+1.25)−418；（2）﹣556+(−923)+1734+(−312)．【分析】（1）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可； （2）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可． 【解答】解：（1）−(−3712)+(−114)+(−2712)+(+1.25)−418 ＝3712−114−2712+114−418＝（3712−2712）+（﹣114+114）﹣418 ＝1﹣418=−258；（2）﹣556+(−923)+1734+(−312) ＝（﹣556−923）+（1734−312） ＝﹣1512+1414 ＝﹣114．【例2】（2022秋•普陀区期末）计算：3.43﹣225+6.57﹣535．【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算．【解答】解：3.43﹣225+6.57﹣535＝（3.43+6.57）﹣（225+535） ＝10﹣8 ＝2．【变式2-1】（2022秋•济南期末）计算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）． 【分析】根据有理数加减法放入法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5 ＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5） ＝﹣20+15 ＝﹣5．【变式2-2】（2022秋•上蔡县月考）计算： （1）225+217+（﹣517）﹣（﹣535）．（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【解答】解：（1）225+217+（﹣517）﹣（﹣535）＝225+217−517+535 ＝（225+535）+（217−517）＝8﹣3 ＝5；（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18＝3.75﹣5.18+2.25+5.18＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18） ＝6．【变式2-3】（2022秋•石景山区校级期中）计算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+335． 【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可得出结果． 【解答】解：(−12.7)−(−525)−87.3+335=−12.7+525−87.3+335＝（﹣12.7﹣87.3）+（525+335）＝﹣100+9＝﹣91．【题型3 逆向法】【例3】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算−29×(−92)+(−29)×3435+29×2335．【分析】先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取29，并利用加法结合律计算，最后进行有理数的乘法运算即可得解．【解答】解：−29×（﹣92）+（−29）×3435+29×2335，=29×92−29×3435+29×2335，=29×（92﹣3435+2335），=29×（92﹣11），=29×81，＝18．【变式3-1】（2022秋•兰山区月考）25×34−25×12+25×（−14）【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：25×34−25×12+25×（−14）＝25×（34−12−14）＝25×0＝0．【变式3-2】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算：（1）（﹣9）×31829−（﹣8）×（﹣31829）﹣（﹣16）×31829；（2）997172×（﹣36）．【分析】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝31829×（﹣9﹣8+16） ＝31829×（﹣1）＝﹣31829；（2）原式＝（100−172）×（﹣36） ＝100×（﹣36）−172×（﹣36）＝﹣3600+12＝﹣359912．【变式3-3】（2022秋•红谷滩区校级期中）简便计算 （﹣48）×0.125+48×118+(−48)×54【分析】利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案； 【解答】解：（﹣48）×0.125+48×118+(−48)×54＝48×（−18+118−108）＝0.【题型4 拆项法】【例4】（2022秋•安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114) 启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12），再根据有理数的加减运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12） ＝﹣4+（−710）＝﹣4710．【变式4-1】（2022秋•铁西区期末）计算：1.5﹣（﹣414）+3.75﹣（+812）．【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝1+12+4+14+3+34−8−12 ＝﹣7+8 ＝1．【变式4-2】（2022秋•浦东新区期中）计算：513−216+14．【分析】可按法则从左往右算求出结果；亦可把带分数写成整数与分数和的形式，再利用加法的交换律和结合律，把整数与分数分别相加． 【解答】解：原式＝5+13−2−16+14（5﹣2）+（13−16+14）＝3+（412−212+312）＝3+512 ＝3512．【变式4-3】（2022秋•凉山州期末）：(−202127)+(−202247)+4044+(−17)． 【分析】写成几个整数的和以及几个分数的和即可．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（−27）]+[（﹣2022）+（−47）]+4044+（−17）＝（﹣2021﹣2022+4044）+（−27−47−17）＝1+（﹣1） ＝0．找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目. 【题型5 组合法】【例5】（2022秋•南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝ ﹣50 ． 【分析】根据结合律，可得答案．【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99=1+1+1+⋯+1︷49−99 ＝49﹣99 ＝﹣50， 故答案为：﹣50．【变式5-1】（2022秋•襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，正好为4的倍数，从而得出结论． 【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，2016÷4＝504， ∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．【变式5-2】（2022秋•工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（ ） A ．50B ．﹣50C ．101D ．﹣101【分析】原式两项两项合并正好得50个（﹣1），最后计算结果即可．【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+⋯+（99﹣100）=−1−1−1⋯−1︷50＝﹣50， 故选：B ．【变式5-3】（2022秋•工业园区月考）计算： （1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99； （2）|1102−1101|+|1103−1102|﹣|1103−1101|．【分析】（1）两个一组计算，再相加即可求解； （2）先计算绝对值，再抵消计算即可求解． 【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99 ＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2） ＝﹣2×25＝﹣50； （2）|1102−1101|+|1103−1102|﹣|1103−1101|=1101−1102+1102−1103+1103−1101＝0． 【题型6 裂项相消法】【例6】（2022秋•嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算11×2+12×3+13×4+⋯+119×20呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．他们的解法如下： 解：原式=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(119−120)=1−120=1920根据阅读材料，请你完成下列问题：（1）计算：21×3+23×5+25×7+⋯+221×23； （2）直接写出结果：13+115+135+163+199=511；（不需要计算过程）（3）计算：11×5+15×9+19×13+⋯+12017×2021． 【分析】（1）将原式裂项，再两两抵消计算可得； （2）原式利用1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1）裂项求和即可得；（3）利用相同的方法裂项计算可得．【解答】解：（1）原式=(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(121−123)=1−123=2223；（2）原式=12×[（1−13）+（13−15）+（15−17）+（17−19）+（19−111）]=12×（1−111） =511， 故答案为：511；（3）原式=14×[(1−15)+(15−19)+(19−113)+⋯+(12017−12021)]=14×(1−12021)=5052021【变式6-1】（2022秋•遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：先观察下列等式：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14⋯19×10=19−110将以上等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4+⋯+19×10=+(12−13)+(13−14)+⋯+(19−110)=12−13+13−1 4+⋯+19−110=1−110=910然后用你发现的规律解答下列问题：（1）猜想并写出：1n(n−1)=1n−1−1n；（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3+13×4+⋯+12010×2011=20102011；②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=nn+1；（3）探究并计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12012×2014．【分析】（1）观察上述式子，发现拆项规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简所求式子，计算即可得到结果；（3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：1n(n−1)=1n−1−1n；（2）①原式＝1−12+12−13+⋯+12010−12011=1−12011=20102011；②原式＝1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1；（3）原式=12×（12−14+14−16+⋯+12012−12014）=12×（12−12014）=5032014．故答案为：（1）1n(n−1)=1n−1−1n；（2）①20102011；②nn+1【变式6-2】（2022秋•虹口区期末）先阅读，再答题2 3=3−11×3=1−13，215=5−33×5=13−15，235=7−55×7=15−17，263=9−77×9=17−19⋯⋯根据你发现的规律，试写出（1）299=1()−1()；（2）2n(n+2)=1n−1n+2；计算：23+215+235+263+299+2143+2195．【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果； （2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果； （3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果． 【解答】解：（1）299=19−111； （2）2n(n+2)=1n −1n+2；23+215+235+263+299+2143+2195＝1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+111−113+113−115 ＝1−115=1415．故答案为：19−111；1n −1n+2．【变式6-3】（2022秋•高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程．（1）11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，则12007×2008=12007−12008，并且用含有n 的式子表示发现的规律．（2）根据上述方法计算：11×3+13×5+15×7+⋯+12005×2007．（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)= 1k （1n −1n+k ） （其中n ，k 均为正整数），并计算11×4+14×7+17×10+⋯+12005×2008． 【分析】（1）根据题中给出的列子可直接得出结论； （2）分别计算出11×3，13×5，15×7的值，再进行计算即可；（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可． 【解答】解：（1）∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，∴12007×2008=12007−12008．故答案为：12007−12008；（2）∵11×3=13=12（1−13），13×5=115=12（13−15），15×7=135=12（15−17）， ∴11×3+13×5+15×7+⋯+12005×2007=12（1−13+13−15+15−17+⋯+12005−12007）=12（1−12007）=10032007． 故答案为：10032007；（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)=1k（1n −1n+k）．11×4+14×7+17×10+⋯+12005×2008=13（1−14+14−17+17−110+⋯+12005−12008）=6692008． 故答案为：1k（1n −1n+k）．【题型7 倒数求值法】【例7】（2022秋•城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题 计算：(−130)÷(23−110+16−25)．解：（方法一）原式＝(−130)÷[(23+16)+(−110−25)]=(−130)÷(56−12)=−130×3=−110（方法二）原式的倒数为(23−110+16−25)÷(−130)=(23−110+16−25)×(−30) ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10． 故原式=−110．请阅读上述材料，选择合适的方法计算：−154÷(16⋅527+23−29)．【分析】首先应用乘法分配律，求出原式的倒数是多少；然后用1除以原式的倒数，求出算式的值是多少即可．【解答】解：原式的倒数为： （16×527+23−29）÷（−154）＝（16×527+23−29）×（﹣54）=−53−36+12 =−773∴原式=−377．【变式7-1】（2022秋•南开区期中）（−120）÷（−14−25+910−32）．【分析】先求所求式子的倒数，然后计算即可．【解答】解：原式的倒数是（−14−25+910−32）÷（−120） ＝（−14−25+910−32）×（﹣20）=−14×（﹣20）−25×（﹣20）+910×（﹣20）−32×（﹣20） ＝5+8+（﹣18）+30 ＝25， 故原式=125．【变式7-2】（2022秋•宽城县期末）阅读下列材料：计算：124÷(13−14+112)，解法一：原式=124÷13−124÷14+124÷112=124×3−124×4+124×12=1124． 解法二：原式=124÷(13−14+112)=124÷212=124×6=14．解法三：原式的倒数=(13−14+112)÷124=(13−14+112)×24=13×24−14×24+112×24=4． 所以原式=14．（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的； （2）计算：(12−14+16)×36= 15 ；（3）请你选择合适的解法计算：(−1210)÷(37+215−310−521)． 【分析】（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断； （2）利用乘法的分配律进行求解即可； （3）仿照解法三进行解答即可．【解答】解：（1）除法没有分配律，故解法一错误， 故答案为：一； （2）(12−14+16)×36 =12×36−14×36+16×36 ＝18﹣9+6＝15， 故答案为：15； （3）原式的倒数＝（37+215−310−521）÷（−1210）＝（37+215−310−521）×（﹣210） =37×（﹣210）+215×（﹣210）−310×（﹣210）−521×（﹣210）＝﹣90﹣28+63+50 ＝﹣5， ∴(−1210)÷(37+215−310−521)=−15．【变式7-3】（2022秋•怀安县期末）先计算，再阅读材料，解决问题：（1）计算：（14+16−12）×12（2）选择合适的方法计算：（−142）÷（16−314+23−27） 【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）先求出原式倒数，再可以求出所求式子的值． 【解答】解：（1）(14+16−12)×12 =14×12+16×12−12×12＝3+2﹣6＝﹣1；（2）原式的倒数是： (16−314+23−27)÷(−142)=(16−314+23−27)×(−42)=16×(−42)−314×(−42)+23×(−42)−27×(−42)＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式=−114．。

七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题(一)
七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题
背景简介
•简要介绍七年级下册浙教版数学教材中有关平行线在旋转中的问题的内容和目标。

相关问题与解释
1.什么是平行线？
–解释平行线的定义和性质，帮助读者理解平行线的概念。

2.旋转是什么？
–介绍旋转的定义和基本原理，让读者了解旋转的基本概念。

3.为什么在旋转中平行线还是平行线？
–解释旋转对平行线的影响，说明平行线在旋转中保持平行的原因。

4.在旋转中，平行线的性质是否改变？
–探讨平行线在旋转过程中是否保持其它性质不变，如长度、角度等。

5.如何判断旋转后的直线是否平行？
–提供判断旋转后直线平行的方法和步骤，帮助读者正确应用知识。

6.旋转中是否存在平行线的特殊情况？
–探究旋转中平行线的特殊情况，如旋转中的重合线、垂直线等。

7.如何绘制旋转中的平行线？
–提供绘制旋转中的平行线的步骤和技巧，帮助读者实践。

8.旋转中平行线的实际应用有哪些？
–提供一些实际案例，说明旋转中平行线的重要性和应用场景。

9.平行线在旋转中的问题的解法有哪些？
–总结解决平行线在旋转中问题的常用方法，供读者参考。

结论与总结
•简要总结关于七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题的要点和知识点。

以上是关于七年级下册浙教版数学平行线在旋转中的问题的相关问题和解释，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

初一数学某某版暑假专题—旋转综合提高同步练习（答题时间：40分钟）1. 已知：如图，三角板ABC中，∠A＝30°，BC＝1，将它放在直角坐标系中，使C与原点重合，AC在y轴上，BC在x轴上，将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转90°，到△A'B'C。

试画出△A'B'C的位置，并求出A'、B'两点的坐标。

2. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形。

在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）。

（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形，并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形，并写出点B2的坐标；3. 如图，在方格纸（每个小方格都是边长为1的单位长度正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形，图中的△ABC称为格点△ABC。

（1）如果A、D两点的坐标分别是（1，1）和（0，－1），请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点C的坐标；（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称的知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的。

4. 在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形。

（1）画出此中心对称图形的对称中心O；（2）画出将△A1B1C1沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2；（3）要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（不要求证明）5. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕点O逆时针旋转90°到OA′，则点A'的坐标是（）。

七年级旋转的知识点旋转是数学中的一个重要概念，也是七年级数学中非常重要的一个知识点。

在这篇文章中，我们将一一讲解七年级旋转涉及到的知识点，包括轴、对称性等。

1. 轴对称轴对称是一种非常常见的对称形式，它的基本思想是将一个图形沿着某一条轴线进行对称。

在七年级数学中，我们经常需要求解轴对称的面积和周长等问题。

2. 中心旋转中心旋转是指将一个图形围绕着一个中心点进行旋转，从而得到一个全新的图形。

在七年级数学中，我们需要学习如何求解旋转中心、旋转角度等问题，并且掌握中心旋转对于图形的影响特征。

3. 角平分线的旋转对称角平分线的旋转对称是指将角平分线围绕着角的顶点进行旋转，从而得到全新角度的对称形式。

在七年级数学中，我们需要深入学习角平分线的概念和性质，在此基础上掌握角平分线的旋转对称问题。

4. 过定点的旋转过定点的旋转是指将一个图形围绕着一个给定的点进行旋转，从而得到一个新的图形，这个点也被称为旋转中心。

在七年级数学中，我们需要学习如何计算过定点的旋转问题，并且理解它的数学原理。

5. 快速计算旋转固定点坐标的方法在学习旋转问题的过程中，我们需要掌握一些快速计算旋转固定点坐标的方法。

其中最常用的方法是旋转矩阵的算法，这个算法对于计算旋转点的位置坐标非常有用。

综上所述，旋转是数学中的一个重要概念，在七年级数学中也是一个非常重要的知识点。

通过学习轴对称、中心旋转、角平分线的旋转对称、过定点的旋转、快速计算旋转固定点坐标的方法，我们可以更深入地理解旋转的性质和应用，并且掌握旋转相关问题的解法。

专题4.1 单项式与多项式【十大题型】【浙教版】【题型1 列代数式】 (6)【题型2 单项式与多项式的概念】 (7)【题型3 直接确定单项式的系数与次数】 (8)【题型4 根据单项式的次数求参】 (8)【题型5 直接确定多项式的项与次数】 (9)【题型6 根据多项式的项与次数求参】 (9)【题型7 单项式与多项式综合运用】 (9)【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】 (10)【题型9 单项式中的规律探究】 (10)【题型10 多项式中的规律探究】11【知识点1 代数式的概念】那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（ ） A ．3m ﹣n 2B ．（m ﹣3n ）2C ．（3m ﹣n ）2D ．3（m ﹣n ）2【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x ，用代数式表示这个两位数是 ．【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a ＞2b ）（ ）A ．ab −πa 24B ．ab−πb 22C ．ab −πa 22D ．ab −πb 24【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：m 4n 27、−12x 2y 、x 2+y 2﹣1、x 、3x 2y +3xy 2+x 4﹣1、32t 3、2x ﹣y ，单项式的个数为a ，多项式的个数为b ，则ab ＝ ． 【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x 2y ，0，x+12，﹣22abc 2，13x 2，−14y ，−13ab 2−12a 2b 中单项式的个数有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a 2b ，3xy ，﹣2y 2，a+b 2，4，﹣m ，x+yz 2，ab−c n其中是多项式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，−a3，2x2+3x﹣1，πx2y32，﹣y，1x，2x−y5单项式：{ …}多项式：{ …}．【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式πx 2y3的系数为，次数为．【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）−32x2y3z．【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，则单项式﹣x a+2by b﹣a的次数是．【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式−34x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为．【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，则a＝．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣3a2b m+2的次数相同，则m2﹣2m的值为．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号．（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy 2﹣9xy +5x 2y ﹣36是 次 项式．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x 2y ﹣x 2+12x 2y 2﹣3的最高次项是 ，三次项的系数是 ，常数项是 ．【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x 2y +4xy +x ﹣2的次数与项数之和为 ．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数为c ，则a +b +c ＝ ． 【题型6 根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式12x |m |﹣（m ﹣4）x +7是关于x 的四次二项式，则m 的值是 ． 【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x ﹣3xy m +1+x 3y ﹣3x 4﹣1是五次多项式，则m ＝ ． 【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式12x |m|−(m +2)x +7是关于x 的二次三项式，则m ＝ ． 【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k |﹣3）x 3﹣（k ﹣3）x 2﹣2是关于x 的二次多项式，则k 的值是 ．【题型7 单项式与多项式综合运用】【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式−13x 2y m+1+xy 2−3x 3−6是五次四项式，单项式0.4x 2n y 5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m ＝ ，n ＝ ．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x 2y n 的次数为5，多项式6+x 2y −12x 2−16x 2y m +3的次数为6，求单项式（m +n ）x m y n 的次数与系数的和．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，（m ，n 是常数），则m n ＝ ．【变式7-3】有三个单项式：a 2，b ，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？2627x x --【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为；（2）第二行第n个单项式为；（3）第三行第8个单项式为；第n个单项式为．【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：1 2a2b，−14a2b2，18a2b3，−116a2b4，…．（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：a2，a 43，a65，a87，⋯则第1008个式子是．【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x 的值为2．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为．专题4.1 单项式与多项式【十大题型】【浙教版】【题型1 列代数式】 (6)【题型2 单项式与多项式的概念】 (7)【题型3 直接确定单项式的系数与次数】 (8)【题型4 根据单项式的次数求参】 (8)【题型5 直接确定多项式的项与次数】 (9)【题型6 根据多项式的项与次数求参】 (9)【题型7 单项式与多项式综合运用】 (9)【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】 (10)【题型9 单项式中的规律探究】 (10)【题型10 多项式中的规律探究】11【知识点1 代数式的概念】那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，一汽车在A 地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n 个广告牌时，此车所行驶的路程为：5+12（n ﹣1）＝（12n ﹣7）km ， 故选：C ．【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m 的3倍与n 的差的平方”，正确的是（ ） A ．3m ﹣n 2B ．（m ﹣3n ）2C ．（3m ﹣n ）2D ．3（m ﹣n ）2【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m 的3倍，再表示出与n 的差，最后表示出平方即可．【解答】解：m 的3倍与n 的差的平方表示为：（3m ﹣n ）2， 故选：C ．【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x ，用代数式表示这个两位数是 ．【分析】根据题意，先求出十位数字，然后写出这个两位数，注意化简． 【解答】解：个位数字是x ，则十位数字是10﹣x ， 所以这个两位数是（10﹣x ）×10+x ＝100﹣9x ． 故答案为：100﹣9x【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a ＞2b ）（ ）A ．ab −πa 24B ．ab −πb 22C ．ab −πa 22D ．ab −πb 24【分析】根据图形可得阴影部分的面积＝矩形的面积﹣两个扇形面积． 【解答】解：S 矩形＝长×宽＝ab ， S 扇形=14•πb 2•2=12πb 2，S 阴影＝S 矩形﹣S 扇形＝ab −πb 22．故选：B ．一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：m 4n 27、−12x 2y 、x 2+y 2﹣1、x 、3x 2y +3xy 2+x 4﹣1、32t 3、2x ﹣y ，单项式的个数为a ，多项式的个数为b ，则ab ＝ 12 ． 【分析】先选出多项式和单项式，即可得出答案． 【解答】解：单项式有m 4n 27、−12x 2y 、x 、32t 3，即a ＝4，多项式有x 2+y 2﹣1、3x 2y +3xy 2+x 4﹣1、2x ﹣y ，即b ＝3， ab ＝12， 故答案为：12．【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x 2y ，0，x+12，﹣22abc 2，13x 2，−14y ，−13ab 2−12a 2b 中单项式的个数有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【分析】根据单项式的定义判断即可．【解答】解：整式﹣0.3x 2y ，0，x+12，﹣22abc 2，13x 2，−14y ，−13ab 2−12a 2b 中单项式有﹣0.3x 2y ，0，﹣22abc 2，13x 2，−14y 共5个， 故选：B ．【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a 2b ，3xy ，﹣2y 2，a+b 2，4，﹣m ，x+yz 2，ab−c n其中是多项式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合所给式子进行判断即可．【解答】解：式子：2a 2b ，3xy ，﹣2y 2，a+b 2，4，﹣m ，x+yz 2，ab−c n中，是多项式的有a+b 2，x+yz 2，共2个．故选：A ．【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，−a3，2x2+3x﹣1，πx2y32，﹣y，1x，2x−y5单项式：{ …}多项式：{ …}．【分析】根据单项式是数与字母的积，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和是多项式，可得答案．【解答】解：单项式：{﹣2，x2y，−a3，πx2y32，﹣y}；多项式：{2x2+3x﹣1，2x−y5}．故答案为：﹣2，x2y，−a3，πx2y32，﹣y；2x2+3x﹣1，2x−y5．【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式πx 2y3的系数为π3，次数为3．【分析】根据单项式的次数和系数进行解答．【解答】解：单项式πx 2y3的系数为π3；次数为3；故答案为π3，3．【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）−32x2y3z．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：（1））﹣12πxy 2 的系数是﹣12π，次数是3； （2）﹣22a 2bc 的系数是﹣4，次数是4； （3）−32x 2y 3z 的系数是−32，次数是6．【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a +1|+（b ﹣2）2＝0，则单项式﹣x a +2by b﹣a的次数是 4 ．【分析】先求出a 与b 的值，然后代入单项式中即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：a +1＝0，b ﹣2＝0， ∴a ＝﹣1，b ＝2，∴将a 与b 代入单项式中可得：﹣2xy 3 单项式的次数为：4 故答案为：4【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式−34x 2y 2的系数为m ，次数为n ，则mn 的值为 ﹣3 ．【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分别得出m ，n 的值，即可得出答案． 【解答】解：∵单项式−34x 2y 2的系数为m =−34，次数为n ＝4，∴mn 的值为：−34×4＝﹣3．故答案为：﹣3．【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a ﹣2）x 2y |a |+1是x ，y 的五次单项式，则a ＝ ﹣2 ． 【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．【解答】解：∵（a ﹣2）x 2y |a |+1是x ，y 的五次单项式， ∴a ﹣2≠0，2+|a |+1＝5，解得：a ≠2，a ＝±2， 则a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x 2y 4与﹣3a 2b m +2的次数相同，则m 2﹣2m 的值为 0 ． 【分析】根据两个单项式的次数相同可得2+4＝2+m +2，再解即可得到m 的值，进而可得答案． 【解答】解：由题意得：2+4＝2+m +2， 解得：m ＝2，则m 2﹣2m ＝0． 故答案为：0．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x 2y |a |+（b +2）是关于x 、y 的五次单项式，求a 2﹣3ab 的值． 【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a 、b 的值，代入代数式即可得出答案． 【解答】解：∵x 2y |a |+（b +2）是关于x ，y 的五次单项式， ∴{2+|a|=5b +2=0， 解得：{a =±3b =−2，则当a ＝﹣3，b ＝﹣2时，a 2﹣3ab ＝9﹣18＝﹣9； 当a ＝3，b ＝﹣2时，a 2﹣3ab ＝9+18＝27．【变式4-3】（2022秋•驻马店校级期中）若﹣mx 2y |n ﹣3|是关于x 、y 的10次单项式，且系数是8，求m +n 的值．【分析】利用单项式的定义得出m 的值，进而利用单项式次数的定义得出n 的值，进而得出答案． 【解答】解：∵﹣mx 2y |n ﹣3|是关于x 、y 的10次单项式，且系数是8， ∴m ＝﹣8，且2+|n ﹣3|＝10， 解得：n ＝11或﹣5， 则m +n ＝3或m +n ＝﹣13． 【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy 2﹣9xy +5x 2y ﹣36是 三 次 四 项式．【分析】要确定多项式是几次几项式，就要确定多项式的次数和项数，根据多项式次数和项数的概念可知，该多项式是三次四项式．【解答】解：多项式xy 2﹣9xy +5x 2y ﹣36是三次四项式．故答案为：三，四．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x 2y ﹣x 2+12x 2y 2﹣3的最高次项是 12x 2y 2 ，三次项的系数是 2 ，常数项是 ﹣3 ．【分析】直接利用多项式的各项确定方法分别求出答案．【解答】解：多项式2x 2y ﹣x 2+12x 2y 2﹣3的最高次项是：12x 2y 2，三次项的系数是：2，常数项是﹣3．故答案为：12x 2y 2，2，﹣3．【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x 2y +4xy +x ﹣2的次数与项数之和为 7 ．【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数可得答案． 【解答】解：多项式x 2y ﹣xy 2+3xy ﹣1的次数与项数分别是3和4， 3+4＝7， 故答案为：7．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数为c ，则a +b +c ＝ ﹣2 ．【分析】首先利用多项式的系数、次数及常数项确定a 、b 、c 的值，然后求和即可．【解答】解：∵多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数项为c ，∴a ＝﹣2，b ＝5，c ＝﹣5， ∴a +b +c ＝﹣2+5﹣5＝﹣2， 故答案为：﹣2．【题型6 根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式12x |m |﹣（m ﹣4）x +7是关于x 的四次二项式，则m 的值是 4 ．【分析】根据四次二项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是2，所以可确定m 、n 的值，即可求解．【解答】解：由多项式是关于x 的四次二项式知： |m |＝4且m ﹣4＝0， 解得m ＝4． 故答案为：4．【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x ﹣3xy m +1+x 3y ﹣3x 4﹣1是五次多项式，则m ＝ 3 ．【分析】先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数．【解答】解：∵多项式x﹣3xy m+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，∴1+m+1＝5，解得：m＝3．故答案为：3．x|m|−(m+2)x+7是关于x的二次三项式，则m＝2．【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式12【分析】由于多项式是关于x的二次三项式，所以|m|＝2，但﹣（m+2）≠0，根据以上两点可以确定m 的值．【解答】解：∵多项式是关于x的二次三项式，∴|m|＝2，∴m＝±2，但﹣（m+2）≠0，即m≠﹣2，综上所述，m＝2，故填空答案：2．【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，则k的值是﹣3．【分析】直接利用多项式的定义得出|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，进而得出答案．【解答】解：∵（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，∴|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，解得：k＝﹣3．故答案为：﹣3．【题型7 单项式与多项式综合运用】x2y m+1+xy2−3x3−6是五次四项式，单项式0.4x2n y5﹣m 【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式−13的次数与这个多项式的次数相同，则m＝2，n＝1．x2y m+1+xy2−3x3−6是五次四项式，得到m+1＝3，根据单项式0.4x2n y5﹣m的【分析】根据多项式−13次数与这个多项式的次数相同，得到2n+5﹣m＝5，即可解答．x2y m+1+xy2−3x3−6是五次四项式，【解答】解：∵多项式−13∴m+1＝3，∴m＝2，∵单项式0.4x 2n y 5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，∴2n +5﹣m ＝5， ∴n ＝1， 故答案为：2，1．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x 2y n 的次数为5，多项式6+x 2y −12x 2−16x 2y m +3的次数为6，求单项式（m +n ）x m y n 的次数与系数的和．【分析】根据已知求出m 、n 的值，把m 、n 的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案． 【解答】解：∵单项式3x 2y n 的次数为5，多项式6+x 2y −12x 2−16x 2y m +3的次数为6，∴2+n ＝5，2+m +3＝6， 解得：m ＝1，n ＝3，∴（m +n ）x m y n ＝4xy 3，系数是4，次数是1+3＝4， 4+4＝8，即单项式（m +n ）x m y n 的次数与系数的和是8．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，（m ，n 是常数），则m n ＝ 16 ．【分析】利用多项式的次数定义得出m 的值，进而利用单项式的次数得出n 的值，即可得出答案． 【解答】解：∵多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，∴|m |+2＝6且m +4≠0，2n +6﹣m ＝6， 解得m ＝4，n ＝2， 则m n ＝42＝16． 故答案为：16．【变式7-3】有三个单项式：a 2，b ，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？【分析】根据单项式和多项式的定义即可得出答案． 【解答】解：根据题意得，组成的多项式有：a 2+b +1；a 2+b ﹣1；a 2﹣b +1；a 2﹣b ﹣1；a 2b +1；a 2b ﹣1；﹣a 2+b +1；﹣a 2+b ﹣1；﹣a 2﹣b +1；﹣a 2﹣b ﹣1；﹣a 2b +1；﹣a 2b ﹣1．【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是2xy2或2x2y（答案不唯一）．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：2xy2或2x2y是只含字母x、y，系数为2，次数为3的单项式，故答案为：2xy2或2x2y（答案不唯一）．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式﹣3x4（答案不唯一）．【分析】根据单项式的数字因数为单项式的系数，单项式的所有字母的指数的和为单项式的次数可解决此题．【解答】解：根据单项式的系数与次数的定义，满足条件的单项式可为﹣3x4（答案不唯一）．故答案为：﹣3x4（答案不唯一）．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【分析】根据多项式的相关概念回答即可．【解答】解：根据题意得：xy5﹣xy+xy2（答案为不唯一）．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【分析】根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一．【解答】解：3﹣x+2y﹣4xy2（答案不唯一）．【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为128x8；（2）第二行第n个单项式为（﹣2）n x n；（3）第三行第8个单项式为﹣129x9；第n个单项式为（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1．【分析】通过观察很容易得到三组数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可．【解答】解：（1）因为第一行的每个单项式，数字因数后面都是前面的2倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第一行第8个单项式为128x8；（2）因为第二行的每个单项式，数字因数后面都是前面的（﹣2）倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第n个单项式为（﹣2）n x n；（3）通过观察第三行的这组单项式，这组单项式符合（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1，第8个单项式是﹣129x9；第n个单项式为（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1．故答案为：（1）128x8，（2）（﹣2x）n，（3）﹣129x9 ，（﹣1）n+1（1+2n﹣1）x n+1【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是﹣6049x4033．【分析】系数的规律：第n个对应的系数的绝对值是3n﹣2，指数的规律：第n个对应的指数是2n﹣1，依此即可求解．【解答】解：根据分析的规律，2017÷3＝672…1，第2017个表达式是：﹣6049x4033．故答案为：﹣6049x4033．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：1 2a2b，−14a2b2，18a2b3，−116a2b4，…．（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【分析】（1）要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，数字变化规律是（﹣1）n+112n，字母变化规律是a2b n；（2）利用（1）中规律得出答案．【解答】解：（1）∵12a2b，−14a2b2，18a2b3，−116a2b4，…∴第10个单项式为：−1210a2b10；（2）第n个单项式为：（﹣1）n+1×12n a2b n（n≥2），系数为：（﹣1）n+1×12n，次数为：2+n．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：a2，a 43，a65，a87，⋯则第1008个式子是a20162015．【分析】观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可求解．【解答】解：a2，a4，a6，a8…，分子可表示为：a2n，1，3，5，7，…分母可表示为2n﹣1，则第n个式子为：a 2n2n−1．故第1008个式子是a 20162015．故答案为：a 20162015．【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是a9+b17．【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【解答】解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，a n，第二项依次是b，﹣b3，b5，﹣b7，…，（﹣1）n+1b2n﹣1，所以第9个式子即当n＝9时，代入到得到a n+（﹣1）n+1b2n﹣1＝a9﹣b17．故答案为：a9+b17．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是128a﹣b7．【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【解答】解：多项式的第一项依次是2a，4a，8a，16a，…2n a，第二项依次是﹣b，b2，﹣b3…（﹣1）n b n，则可以得到第7个多项式是128a﹣b7．故答案为：128a﹣b7．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x 的值为2．【分析】由方阵可以看出每一行的每一个式子的第一项为2n﹣1x，第二项是n，由此得出等式求得x的数值即可．【解答】解：∵每一个式子的第二项是2n﹣1x+n，∴第10行第2项的值为29x+10＝1034，解得x＝2，故答案为2．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为（n+1）2x+n2y．【分析】先根据已知数据找出规律，根据所得的规律得出即可．【解答】解：∵第1格的“特征多项式”为4x+y＝（1+1）2x+12•y，第2格的“特征多项式”为9x+4y＝（2+1）2x+22•y，第3格的“特征多项式”为16x+9y＝（3+1）2x+32•y，∴第n格的“特征多项式为：（n+1）2x+n2y，故答案为：（n+1）2x+n2y．。

《初中数学旋转知识点全解析》在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何变换概念。

它不仅在数学知识体系中占据着关键地位，也为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。

一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

如果图形上的点 P 经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

例如，时钟的指针围绕时钟的中心旋转，风车的叶片绕着中心轴旋转等，都是生活中常见的旋转现象。

二、旋转的性质1. 对应点到旋转中心的距离相等。

即旋转前后，图形上任意一点到旋转中心的距离始终保持不变。

例如，在一个正三角形绕其中心旋转的过程中，三角形的三个顶点到旋转中心的距离始终相等。

2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

旋转过程中，对应点与旋转中心连接形成的线段之间的夹角大小与旋转角相等。

比如，一个矩形绕其对角线的交点旋转一定角度，任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。

3. 旋转前后的图形全等。

经过旋转，图形的形状和大小都不会发生改变。

无论旋转角度是多少，旋转后的图形与旋转前的图形完全相同。

例如，一个圆绕其圆心旋转任意角度，得到的图形仍然是与原来一样的圆。

三、旋转的三要素1. 旋转中心旋转中心是图形旋转时所围绕的那个定点。

它决定了图形旋转的位置。

不同的旋转中心会导致图形的旋转结果不同。

2. 旋转方向旋转方向分为顺时针和逆时针两种。

明确旋转方向对于准确描述和进行旋转操作至关重要。

3. 旋转角度旋转角度是指图形绕旋转中心转动的角度大小。

旋转角度的不同会使图形的位置发生不同程度的变化。

四、旋转的应用1. 解决几何问题在证明三角形全等、相似等问题时，常常可以通过旋转图形，使分散的条件集中起来，从而找到解题的思路。

例如，对于两个有公共顶点的等腰三角形，可以通过旋转其中一个三角形，使它们的对应边重合，进而证明全等。

2. 设计图案利用旋转可以设计出各种美丽的图案。

七年级旋转平移知识点归纳总结旋转和平移是数学中非常重要的几何变换方式，它们在解决问题、证明定理等方面有着广泛的应用。

在七年级的几何学习中，学生首次接触到旋转平移的概念和相关知识点。

本文将对七年级旋转平移的知识进行归纳总结。

一、旋转旋转是指物体以某一点为中心进行旋转，使物体的每一点都绕着这一中心旋转相同的角度。

旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。

1. 旋转的基本概念旋转可以用角度来表示，常用的单位有度和弧度。

旋转角度可以为正数、负数或零。

当旋转角度为正数时，表示顺时针旋转；当旋转角度为负数时，表示逆时针旋转。

2. 旋转的性质旋转具有以下性质：- 旋转不改变物体的大小和形状，只改变物体的位置和方向；- 旋转之后，物体上各点之间的距离保持不变；- 旋转是一个可逆变换，即可以通过相同的角度进行逆时针旋转恢复到原来的位置。

3. 旋转的图像变化通过以下几点进行总结：- 若旋转角度为90°或270°，则图像是以旋转中心为对称中心的；- 若旋转角度为180°或360°，则图像是以旋转中心为象限对称的；- 旋转不会改变物体上各点与旋转中心的连线长度。

二、平移平移是指物体在平面上沿直线方向移动一段距离，使物体的各个点保持平行距离不变。

1. 平移的基本概念平移可以用向量来表示。

平移向量的大小和方向表示了平移的位移量和方向。

2. 平移的性质平移具有以下性质：- 平移不改变物体的大小、形状和方向，只改变物体的位置；- 平移后，物体上各点之间的相对位置关系保持不变；- 平移是一个可逆变换，即可以通过相反方向的平移恢复到原来的位置。

3. 平移的图像变化通过以下几点进行总结：- 平移不改变形状，只改变位置；- 平移前后，物体上各点之间的距离保持不变；- 平移后的图像与原图像是全等图形。

三、旋转和平移的关系旋转和平移是几何中的两种基本变换方式，它们之间有着密切的关系。

1. 旋转与平移的区别旋转和平移的区别主要体现在以下几个方面：- 旋转是以某一点为中心进行旋转，而平移是沿直线方向进行移动；- 旋转可以改变物体的方向，平移只改变物体的位置；- 旋转会保持物体的形状不变，而平移不改变物体的形状。

旋转知识定位旋转在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，是解决平面几何中最重要的工具之一，它的有关知识是今后我们学习综合题目重要基础。

本节需要掌握旋转图形变换的特征；学会运用旋转的特征进行图形的求解换。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中旋转相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、旋转的定义在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点。

注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。

2、旋转的基本特点（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3、旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形。

常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．4、中心对称（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

数学图形与变换（二）某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：1、了解现实生活中图形的相似。

2、了解相似变换的概念。

3、了解图形相似变换的性质：不改变图形中每一个角的大小；每条线段都扩大或缩小相同的倍数。

4、掌握按要求作出简单平面图形经相似变换后的图形。

5、灵活运用相似解决一些简单的实际问题。

6、运用轴对称、平移、旋转、相似变换的基本性质解决一些常见的问题。

二. 重点、难点：重点：相似变换基本知识的落实。

难点：利用轴对称、平移、旋转、相似变换的基本性质解决一些常见的问题。

【典型例题】一、相似变换的复习：（一）现实生活中图像的相似：1、如图，形状相同的图像有哪些？1、9相似；2、4相似；、5、7相似；3、10相似（二）相似图像的概念及性质： 1、下列说法不正确的是（ D ）（A ）一个图形相似变换后，对应角的大小不变；（B ）中国地图可看成中国实际版图通过相似变换所得的图像； （C ）图像作相似变换时，图形中的各条线段都扩大或缩小了k 倍； （D ）图形作相似变换时，各条线段都扩大n 倍，则面积也扩大n 倍。

2、用2倍放大镜照一个边长为3的等边三角形，则放大后三角形的（ C ） （A ）边长为3 （B ）边长为4 （C ）内角为60︒ （D ）内角为120︒（三）作图1、如图，把四边形在方格纸上作相似变换所得的图形的边长是原图形的2倍。

（四）利用图形相似解决一些实际问题：1、在某城市地图（比例尺1:9000）上，解放大街的图上长度与中兴大街的图上长度分别为16cm 和10cm ，求解放大街与中兴大街的实际长度各是多少？解：根据题意，得：19000解放大街的图上长度＝解放大街的实际长度19000中兴大街的图上长度＝中兴大街的实际长度∴解放大街的实际长度是：()()()1690001440001440cm cm m ⨯== 中兴大街的实际长度是：()()()10900090000900cm cm m ⨯==2、旗杆的影子长6m ，同时测得旗杆的高度是10m ，如果此时附近小树的影子长3m ，那么小树有多高？解：由题意可得：旗杆的影子长小树的影子长＝旗杆的高度小树的高度∴6310=小树的高度∴小树的高度为5米。