七年级数学暑假专题 分式方程及其应用 人教四年制版 知识精讲

《分式方程的应用》知识清单一、分式方程的定义分式方程是指分母中含有未知数的方程。

例如：＼（＼frac{1}｛x} ＋ 2 ＝ 3\）就是一个简单的分式方程。

二、分式方程的解法1、去分母将分式方程两边同乘各分母的最简公分母，化为整式方程。

例如，对于方程＼（＼frac{x}｛x 1} ＝＼frac{2}｛x 1}＼），最简公分母是＼（x 1\），两边同乘＼（x 1\）得到：＼（x ＝ 2\）。

2、解整式方程按照解整式方程的方法求解。

3、验根将求得的解代入原分式方程的分母中，若分母不为零，则该解是原分式方程的解；若分母为零，则该解不是原分式方程的解，应舍去。

例如，对于上面求出的解＼（x ＝ 2\），代入＼（x 1\）中，＼（2 1 ＝ 1\neq 0\），所以＼（x ＝ 2\）是原方程的解。

三、分式方程的应用类型1、行程问题行程问题中，基本公式为：路程＝速度×时间。

例如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。

甲的速度为＼（x\）千米/小时，乙的速度为＼（y\）千米/小时，经过＼（t\）小时相遇，A、B 两地相距＼（s\）千米。

可列出方程：＼（xt ＋ yt ＝ s\）。

如果已知路程和其中一人的速度，求另一人的速度，就可能用到分式方程。

2、工程问题工程问题中，基本公式为：工作总量＝工作效率×工作时间。

例如：一项工程，甲单独完成需要＼（x\）天，乙单独完成需要＼（y\）天，两人合作需要＼（t\）天完成。

可列出方程：＼（＼frac{t}｛x} ＋＼frac{t}｛y} ＝ 1\）。

3、销售问题销售问题中，涉及到利润、成本、售价、销售量等。

例如：某商品进价为＼（a\）元，售价为＼（b\）元，销售量为＼（x\）件，利润为＼（y\）元。

根据利润＝售价进价，可列出方程：＼（y ＝（b a)x\）。

如果已知利润、进价和售价，求销售量，可能会用到分式方程。

4、浓度问题浓度问题中，基本公式为：浓度＝溶质质量÷溶液质量。

七年级数学分式的乘除法人教四年制版【本讲教育信息】一. 教学内容：分式的乘除法二. 重点、难点掌握分式乘除法的运算规则，及分式乘方的意义。

什么是最简分式。

要满足以下三个条件才能是最后的最简分式，结果。

（1）分子、分母没有公因式，即分子分母不可约。

（2）分子分母的系数是整系数。

（3）分子、分母的最高次项不能为负。

【典型例题】[例1] 化简2222)1()1()1(-+-x x x 解：原式1)1()1()1()1(2222=-++-=x x x x [例2] 化简223211aa a a a +-+-- 分析：这是含有绝对值的分式，要化简，先要讨论a 的取值X 围，但是要注意a 在分母中，取值不等使分母为0。

解：当0≥a 且1≠a 时原式223211a a a a a +-+--=1)1()1)(1)(1()1()1()1(222+=-+--=----=a a a a a a a a a当0<a 且1-≠a 时原式1)1()1()1)(1)(1()1()1()1(2112222223+-=++--=+---=+++--=a a a a a a a a a a a a a a a [例3] 化简pqq pq p q p pq q pq p 4)23(2)3()4()23(222222222-++-+-+ 分析：注意到分子上的三项都是平方元素，而且有一项符号为负，所以把分子上的三项两项结合，用平方差，再化简。

解：原式pq q p q p q pq p q pq p q p q p 4))(3(2)43)(43()()3(222222+-+-++-+-=pq q p q p q p q p q p q p q p q p 4))(3(2))(3)()(3()()3(22+---++-+-=pq q pq p q pq p 823232222++--+=21=[例4] 计算2222442222222)21()2()(xax a a x x ax a x a x a +-⋅-++÷+- 分析：此题含有乘方、乘、除的混合运算，运算时先算乘方再算乘除，当分子，分母中有多项式时，不要用多项式的乘方处理，即不要展开，应写成幂的形式，先将多项式分解因式再乘方。

七年级数学暑假专题 分式方程及其应用同步练习 人教四年制版（答题时间：50分钟）1. 12663324222--=++--x x x x x x x 2.86107125265222+--=---+-+x x x x x x x x x 3. cx b x a x -=-+-321（032≠-+c b a ，a ，b ，c 各不相等） 4. x a bx b b ax a 2=+++（022≠+b a ，0≠ab ） 5. )0(422222≠-=-++m x m m x m x x m x 6. )0(2)(≠+-+=+n m x mn n m x m n n m 7. 71513111+-+=+-+x x x x 8. 78563412++-++=++-++x x x x x x x x 9. 32148521761543103--+--=--+--x x x x x x x x 10. 从火车上下来两个旅客，他们沿着同一个方向到同一地方去，第一个旅客一半路程以速度a 行走，另一半路程以速度b 行走；第二个旅客一半时间以速度a 行走。

另一半时间以速度b 行走。

问：哪个旅客先到达目的地？11. 两辆汽车同时从甲、乙两地相向而行。

在离甲地64千米处两车相遇，相遇后两车继续按原速前进，分别到达两地后立刻返回，又在离甲地32千米处第二次相遇。

求：甲、乙两地的距离是多少？12. 某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付给甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需付给乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的2/3，厂家需付给甲、丙两队5500元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工作各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

13. 完成一项工作，甲独做所需时间为乙与丙共同工作所需时间的3倍；乙独做所需时间为甲与丙共同工作所需时间的2倍；甲独做此工作所需时间比乙独做所需时间多5天。

七年级分式方程数学知识点数学是一门需要持之以恒的学科，而分式方程更是数学中的重要知识点之一。

尤其是七年级的学生，对于分式方程的学习非常关键。

本文将详细介绍七年级分式方程数学知识点，帮助大家更好地掌握相关知识。

1.分式的定义分式就是分数形式的式子，它可以表示为a/b的形式，其中a、b为整数，且b不等于0。

其中，分子a称为分式的被除数，分母b称为分式的除数。

2.分式的简化分式的简化是指将分式化简成最简分式的形式。

最简分式是指分子、分母没有相同的因数，或者它们的最大公约数为1的分式。

要简化一个分式，我们需要先求出它的分子和分母的最大公约数，然后将分子、分母同时除以这个最大公约数即可。

3.分式方程的解法分式方程是指方程中含有分式的方程。

例如：x/3+2=5。

解决分式方程的方法有两种，一种是通分法，另一种是消元法。

通分法的步骤如下：（1）将方程中所有的分式通分；（2）将方程中变量的系数移到等式左侧，常数项移到等式右侧；（3）将等式左侧的分式进行合并；（4）移项得到最终解。

例如：解方程x/3+2=5/6，通分后得到2x/6+2=5/6，将等式左侧的分式进行合并得到2x/6+12/6=5/6，移项得到x=1/2。

消元法的步骤如下：（1）将方程中所有的分式化成通分式；（2）将方程中变量的系数移到等式左侧，常数项移到等式右侧；（3）将等式中含有同一个未知数的项合并；（4）移项得到最终解。

例如：解方程2/x+3/x=1，化分后得到(2+3)/x=1，移项得到x=5。

4.综合应用在实际应用中，分式方程的解法往往和其他数学知识点相结合，例如代数式、整式等。

我们可以通过代数式化简、整式化分的方法，将问题转化为分式方程，然后利用上述的解法进行解题。

例如：求解“一个工人一天可以干完1/5，另一个工人一天可以干完1/8，两个工人一起干完这项工作需要几天？”这个问题。

我们可以设两个工人一起干完这项工作需要x天，根据题意可得分式方程1/5x+1/8x=1，化分后得到13/40x=1，解得x=40/13。

七年级分式方程知识点在学习代数时，分式方程是不可避免的一部分。

在七年级的课程中，学生们需要掌握分式方程的基本知识，包括如何解决分式方程，变量的含义和如何将它们放在方程中。

本文将介绍七年级学生需要了解的分式方程知识点。

第一，什么是分式方程？分式是指一种可以用两个整数或两个多项式表示的表达式，其中一个是另一个的分母。

分式方程是指带有分式的方程。

例如：(2/3)x + 3 = 5在这个方程中，2/3是分式，x是变量，3、5和3是整数（x可以是一个未知的数量）。

第二，如何解决分式方程？解决分式方程需要使用某些技巧和策略。

下面是解决分式方程的几种方法：方法1：通分将分数的分母相同，然后将方程两侧乘以公共分母。

其次，通过将变量相加或相减，将它们带到一个方程中。

例如：(2/x) + (1/3) = 1 解决步骤如下：将分数的分母相同，得到(6/x) + (2/6) = 6/6将方程两侧乘以x，得到6 + 2x = 6x通过将变量相加或相减，把它们带到一个方程中，得到 6 = 4x，进一步得出x = 3/2。

方法2：消元通过乘法或除法，消除方程两边的分数。

例如：(5/x) + (2/x-1) = 1 解决步骤如下：通过乘以(x-1)，消除分母，得到5(x-1) + 2x = x(x-1)通过移项得到x^2 - 4x + 5 = 0求解这个方程，得到x = 2±i（负根号下的1）第三，变量的含义变量通常是代数方程中的未知量。

在分式方程中，变量可以是任何数字，通常用字母来表示。

例如：(x/2) + 1 = 3在这个分式方程中，x是变量，它代表一个未知的数字。

第四，如何将变量放在方程中将变量放在分式方程中需要一些技巧和策略。

下面是两种方法：方法1：根据题目分析有时，变量在分式方程中的位置是明显的。

例如，如果问题描述了5个苹果的价格是2美元，则可以编写以下分式方程：(2/5)x = 1,其中x代表每个苹果的价格。

初中数学知识归纳分式方程的解法与应用分式方程是初中数学的重要内容之一，解决分式方程的问题需要归纳总结各种解法和应用方法。

本文将系统地介绍分式方程的解法与应用。

一、基本概念分式方程是含有分式的方程，形如：$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$其中，a、b、c为已知实数，x、y为未知数。

求解分式方程即是要找到使等式成立的x、y的取值。

二、分式方程的基本解法1. 通分法对于分式方程中的两个分式，如果其分母之间没有公约数，可以采用通分法求解。

具体步骤如下：Step 1：确定两个分式的最小公倍数为分母的通分分母。

Step 2：对原方程的两个分式进行通分，得到分母相同的两个分式。

Step 3：将通分后的两个分式的分子相加，得到新的分式。

Step 4：将新的分式等于给定的实数c，得到新的分式方程。

Step 5：解新的分式方程，得到x、y的值。

2. 消元法对于分式方程中只有一个未知数的情况，可以采用消元法求解。

具体步骤如下：Step 1：选择未知数的系数较小的一方作为基准，将另一方的分子乘以基准方的分母，将两个分式的分母统一。

Step 2：将新的方程化简，得到未知数的一次方程。

Step 3：解未知数的一次方程，得到未知数的值。

Step 4：将求得的未知数代入原分式方程中，得到另一个未知数的值。

三、分式方程的应用1. 比例问题分式方程在解决比例问题时非常有用。

比例问题可以通过建立分式方程来解决，而求解分式方程就是求解比例问题的具体步骤。

例如，已知某比例中，一个分数和另一个分数的和等于1，可以建立分式方程求解两个分数的值。

2. 速度问题分式方程在解决速度问题时也具有广泛的应用。

速度问题涉及到物体的速度、时间和距离等概念，通过建立分式方程，可以求解物体的速度、时间和距离等具体数值。

例如，已知两个物体以不同的速度出发，相隔一定距离后相遇，根据已知条件可以建立分式方程求解两个物体的速度和相遇时间。

数学知识点分式方程的解法和应用数学知识点：分式方程的解法和应用分式方程是指方程中含有分式的数学等式。

解分式方程需要运用一些特定的方法和策略，以找到变量的值满足方程的条件。

本文将介绍分式方程的解法和应用。

首先，我们将讨论如何解一元分式方程。

一元分式方程的解法解一元分式方程的方法主要分为两个步骤：首先将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程得到变量的值。

步骤一：转化为整式方程为了将分式方程转化为整式方程，我们可以通过两种方法：通分或消去分母。

例子 1：解方程： 5/x - 2/(3x) = 1/4通分即可得到：15/(3x) - 2/(3x) = 3/(12x)化简为：13/(3x) = 3/(12x)例子 2：解方程： (2x - 1)/3 - (x + 1)/(2x) = 2/3将所有分式通分得到：2(2x - 1)/(6x) - 3(x + 1)/(6x) = 4/6整理化简为：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6步骤二：求解整式方程得到整式方程后，我们可以使用常规的方程求解方法，将变量的值计算出来。

例子 1的继续：13/(3x) = 3/(12x)通过交叉相乘可得：39x = 36x整理化简为：x = 0例子 2的继续：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6化简为：x - 5 = 2/6继续整理可得：x = 3到此为止，我们已经学习了解一元分式方程的方法。

接下来，我们将探讨分式方程的应用。

分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用。

下面将介绍两个常见的应用场景：比例问题和物体混合问题。

应用一：比例问题比例问题是指涉及到数量比例关系的问题。

通过设立分式方程，我们可以解决这类问题。

例子 3：甲、乙、丙三个人的年龄比例为5:3:2。

如果乙的年龄比甲大9岁，而丙的年龄比乙大8岁，求三个人的年龄。

设甲的年龄为5x岁，则乙的年龄为3x岁，丙的年龄为2x岁。

乙的年龄比甲大9岁，可以设立方程：3x = 5x - 9通过解方程可得：x = 4因此，甲的年龄为20岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为8岁。

分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案. 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．A ．3214312x x +−−=B ．124111x x x x x −+−=+−− C ．21305x x += D ．x ax a b +=，（a ，b 为非零常数）【答案】B ；【解析】A 、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B 项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程2、 解分式方程（1）10522112x x +=−−；（2）225103x x x x −=+−．【答案与解析】解：（1）10522112x x +=−−，将方程两边同乘(21)x −，得10(5)2(21)x +−=−．解方程，得74x =． 检验：将74x =代入21x −，得52102x −=≠．∴ 74x =是原方程的解．（2）225103x x x x −=+−，方程两边同乘以(3)(1)x x x +−，得5(1)(3)0x x −−+=．解这个方程，得2x =．检验：把2x =代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．∴ 原方程的解是2x =．【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．举一反三：【变式】解方程：21233xx x −=−−−．【答案】 解：21233x x x−=−−−， 方程两边都乘3x −，得212(3)x x −=−−−，解这个方程，得3x =，检验：当3x =时，30x −=，∴ 3x =是增根，∴ 原方程无解．类型三、分式方程的增根3、（2015春•安岳县期中）若解关于x 的分式方程会产生增根，求m 的值．【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【答案与解析】解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得2（x+2）+mx=3（x ﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x ﹣2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=﹣4或6．【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．举一反三：【变式】如果方程11322x x x−+=−−有增根，那么增根是________． 【答案】2x =；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20x −=或20x −=可得2x =．所以增根是2x =．类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．【答案与解析】解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种()2x +棵树．由题意可得60662x x =+，解这个方程，得20x =．经检验20x=是原方程的根且符合题意．所以222x+=(棵)．答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．举一反三：【变式】（2016•淮安）王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？【答案】解：设原计划每小时检修管道x米．由题意，得60060021.2x x−=．解得50x=．经检验，50x=是原方程的解．且符合题意．答：原计划每小时检修管道50米．。

分式方程在科研中的应用
01
生物学
分式方程可以描述基因表达、细胞增殖等生物学过程，帮助生物学家
研究生命的本质。
02
物理学
分式方程在物理学研究中广泛应用于量子力学、相对论和复杂系统等
领域，帮助科学家探索物理世界的奥秘。
03
化学
分式方程可以描述化学反应的动态过程，帮助化学家研究新的化学反
应路径和优化化学反应条件。
助工程师设计高效的机械设备。
分式方程在日常生活中的应用
物理学
分式方程可以描述物体的运动规律，例如加速度、速度和位移之间的关系，帮助我们解决 日常生活中的力学问题。
医学
分式方程可以描述生理参数之间的关系，例如药物在人体内的吸收、分布和代谢情况，帮 助医生制定更有效的治疗方案。
经济学
分式方程可以描述经济变量之间的关系，例如消费、投资和经济增长之间的关系，帮助政 策制定者制定有效的经济政策。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正 确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母 中含未知数的形式的问题，但 有些问题不适合使用分式方程
。
解法有限
分式方程的解法有限，没有通 用的解法，需要根据具体问题
选择合适的解法。
精度有限
分式方程的精度有限，无法得 到高精度的解。
分式方程的应用前景
分式方程及其应用课件
xx年xx月xx日
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学 模型

七年级数学分式方程知识点在七年级的数学学习中，分式方程是一个很重要的知识点。

分式方程是指方程中出现了分式的形式。

下面我们将会详细介绍分式方程的相关内容。

一、分式的概念分式是指把一个整体分成若干份，其中的一份就是分式。

例如：$\frac{3}{4}$，表示将一个整体分成四份，取其中的3份。

二、分式方程的概念分式方程是指方程中出现了分式的形式。

例如：$\frac{x}{2}-1=\frac{x+1}{3}$，此方程中存在两个分式。

三、解分式方程的方法1.化为通分式如果分母不同，那么我们需要将分式通分后才能进行计算。

例如：$\frac{2}{3x}+\frac{3}{4x}=\frac{5}{6x}$，我们可以将此方程化为通分式：$\frac{8+9}{12x}=\frac{5}{6x}$，化简后得到$7x=30$，解得$x=\frac{30}{7}$。

2.去分母如果方程中存在分母为0的情况，则要排除该情况。

去分母可使用两种方法。

（1）交叉相乘法此方法需要将方程等号两侧的分式分别乘上对方的分母，然后将分子相乘。

例如：$\frac{2}{x-4}+\frac{3}{x+3}=\frac{5}{x-2}$，我们可对此方程使用交叉相乘法：$(x-2)\cdot 2+(x-4)\cdot 3=(x-4)(x+3)\cdot \frac{5}{1}$，化简后得到$2x-5=0$，解得$x=\frac{5}{2}$。

（2）通分方法通分方法需要将方程等号两侧的分式通分后，然后消去分式分母。

例如：$\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+2}=\frac{1}{2x}$，将此方程通分：$\frac{6}{2x(x-1)}-\frac{4}{2x(x+2)}=\frac{x-1}{2x(x-1)(x+2)}$，化简后得到$2x^2-3x-2=0$，解得$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$。

四、分式方程的注意事项1.在分式方程中，分母不为0。

初一数学知识讲解：分式方程及其应用
初一数学知识讲解：分式方程及其应用
1．分式方程:分母中含有（）的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以（），约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入（），看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；
② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列（）；（2）检验所求的解是否
（）.
5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项. （2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.
8.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．。

初中数学：分式方程知识整理及实际应用今天给大家带来了初中四大方程中最特别的一个：“分式方程”，赶快来一起看看吧。

知识整理 1.分式的定义形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子，叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

整式和分式统称为有理式，即有理式包括整式和分式。

分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果代数式含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.因此，我们很容易看出来C选项是分式.2.分式的基本性质分式的基本性质与分数类似，我们可以对比分数的基本性质复习。

（1）分式的分子分母同乘（除）一个不为0的整式，分式的值不变；（2）分式的变号：分式的分子、分母同时变号则分式的值不变；（3）分式的约分、通分：①约分：约去分式分子分母的公因式.即寻找分子分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式，然后约去公因式；②通分：把几个异分母分式转化为与原分式相等的同分母分式的过程叫做通分，找出最简公分母是通分的关键。

①对分母进行因式分解（若分母为单项式，不用进行因式分解）；②找出各分母系数的最小公倍数；③找各分母所含所有因式的最高次幂；④所得到的系数和各因式的最高次幂的乘积即为最简公分母。

（4）分式的运算：和分数的运算性质相同。

a.分式的乘除：分子乘分子，分母乘分母，然后再分别用它们的乘积作为分子和分母，并且对得到的结果要通过约分进行化简。

在进行分式除法时，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

b.分式的加减：同分母分式：分母不变，分子相加减；异分母分式：先通分，变为同分母分式，然后再加减。

c.分式的乘方：d.整数指数幂：3.分式方程方程中含有分式，且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

4.解分式方程解分式方程的基本思路在于“转化”，将分式方程转化为整式方程。

具体作法就是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母。

要注意的是，在去分母后得到的方程的解有可能使原方程分母为0，因此需要进行检验：将转化后的整式方程的解带入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，不是原方程的解。

人教版初中数学分式方程及其应用精讲精练复习要点1、了解分式方程的概念。

2、会解分式方程。

3、分式方程的应用考点方向一、分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 二、分式方程的解法去分母法，换元法．1、解分式方程：=﹣．三、解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”.2、解分式方程：21233x x x -+=--． 注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．四、解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【温馨提示】方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 跟踪训练1．某修路队计划x 天内铺设铁路120km ，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km ，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（ ）A ．12012032x x =+-B ．12012032x x =+-C ．12012032x x =++D ．12012032x x =++ 2．甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x 小时，据题意可列出方程为（ ）A ．1.2 1.216x +=B ．1.2 1.213x +=C ．1.2 1.2162x +=D ．1.2 1.2132x += 3．分式方程1x x +12x +-＝1的解是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3 4．某次列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ，则方程50s s v x x++=所表达的等量关系是（ ）A ．提速前列车行驶s km 与提速后行驶(s ＋50)km 的时间相等B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v hD ．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km5．关于x 的分式方程2m x x +--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ）A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2 6．一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、若千个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是310，袋中白球共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 7．分式方程2152x x =+-的解是______．8．若关于x 的分式方程2x x -﹣2＝3m x -有增根，则m ＝___．9．某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元．（1）求一件A 、B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A 、B 型商品共160件进行试销，其中A 型商品的件数不小于B 型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？（3）已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．10．解方程：（1）225x x +=；（2）14733x x x -+=--．。

七年级数学可化为一元一次方程的分式方程人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容可化为一元一次方程的分式方程二. 教学重点、难点重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法难点：对解分式方程可能产生根的理解和认识不足，解题中，易忽略验根。

三. 教学要点1. 分式方程——分母里含有未知数的方程叫分式方程 例如：4251=+xx 2. 解分式方程的基本思想是去掉分母将分式方程转化为整式方程3. 解分式方程的解答步骤：（1）去分母（方程两边都乘以各分母的最小公倍式）化为整式方程（2）解整式方程（3）检验：将整式方程解得的解代入各分母的最小公倍式若不为零是原方程的根，若等于零是增根舍去。

【典型例题】[例1] 解方程22416222-+=--+-x x x x x 解：方程两边都乘以)2)(2(-+x x ，约去分母得 22)2(16)2(+=--x x解这个方程，得2-=x检验：当2-=x 时 0)2)(2(=-+x x 所以2-是增根，原方程无解。

[例2] 解方程6272332+=++x x 解：将原方程整理得)3(272332+=++x x 方程两边都乘以 )3(2+x得7)3(34=++x 解得 2-=x检验：将2-=x 代入02)32(2)3(2≠=+-=+x∴2-=x 是原方程的根[例3] 解方程xx x x x -=-++2224123 解：将方程整理，得)1(4)1)(1(2)1(3-=-+++x x x x x x 把方程两边都乘以)1)(1(-+x x x得 )1(42)1(3+=+-x x x 44233+=+-x x x解得 7=x检验：将7=x 代入)17)(17(7)1)(1(-+=-+x x x 0336≠=∴7=x 是原方程的根[例4] 分式方程0111=+--+-x x x x x k 有增根1=x 求k 的值。

解：将原方程去分母，得0)1()1()1(=--+++x x x x x k022=+-+++x x x x k kx k x k -=+)2(把1=x 代入整式方程得 k k -=+2 解得1-=k[例5] m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根。

四写结论
4、 写结论。
试一试
1.
要把方程
2 5 0 3y 6 3y
化为整式方程，
方程两边可以同乘以（ D ）
A. 3y-6
B. 3y
C. 3 (3y-6)
D. 3y (y-2)
2.
解分式方程
x8 x7
5x 14 2x
8
时，去分母后得到
的整式方程是（ A ）
（x-8)+5x=16(x-7)
B.2(x-8)+5x=8
2 5
x 1 x 2
解：方程两边同乘 x 1(x 2)
x=3是得分式方
程的解5吗x ？1 2(x 2)
x 1 x 2
2
5
解：方程两边同乘10，得
5x 1 2(x 2)
解得：
x3
x=3是方程的 解吗？
5x 5 2x 4 5x 2x 4 5
3x 9
检验：把 x 3 代入方程
2 去分母时，不要漏乘不含分母的项；
3 最后不要忘记验根。
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时, 它以最大航速沿江顺流航行90千米所用时间,与 以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水 的流速为多少? 解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
90 60 30 v 30 v
1、关于x的方程
2x 1 3x 1 x
整式方程
分式方程
探究2
2 5
x 1 x 2
类 比
转 化
如何求分式方程解 呢？
x 1 x 2
2
5
1 去分母
2 去括号
3 移项 4 合并同类项
5 系数化为1
解方程
1

七年级数学暑假专题 分式方程及其应用 人教四年制版【本讲教育信息】一. 教学内容：分式方程及其应用二. 重点、难点解方程的一种重要方法是转化即把不熟悉的方程形式转化为熟悉的方程形式。

而分式方程的应用首先要求同学们对题目的逻辑关系有深入的认识，把题目中的关系转化为数量关系。

【典型例题】[例1] 解方程22)221(44168222-=-+++-+-x x x x x x x 解：在方程的等式两边同乘以2)2(-x 得)2(216822-=++-x x x x x整理得164=x解之得4=x经检验4=x 是原方程的根[例2] 解方程：14263)12(212--=+-x x x 分析：此题可用一般的去分母的方法进展求解，但也可将14262--x x 化为局部分式求解。

解：∵ )12(21)12(2514262-++=--x x x x ∴ 原方程可化为)12(21)12(253)12(21-++=+-x x x∴ 3)12(25=+x ∴ 121-=x 经检验121-=x 是原方程的解[例3] 解关于x 的方程1)1(+=-x ax a解：原方程可转化为1)1(2+=-a x a即1)1)(1(+=-+a x a a当0)1)(1(≠-+a a 即1±≠a 时原方程的解为11-=a x 当1=a 时方程为20=x原方程无解当1-=a 时，方程为00=x原方程的解为任意实数综上：当1±≠a 时，原方程的解为11-=a x 当1=a 时，原方程无解当1-=a 时，原方程的解为任意数[例4] 甲、乙两车从A 、B 两地相向开出，甲车比乙车早开出15分钟，甲、乙两车的速度之比为3:2，相遇时，甲车比乙车少行6千米，乙车走这条路需要小时。

求：甲、乙两车的速度和A 、B 两地的间隔 。

解：设甲车速度为x 2，那么乙车速度为x 3全程为x x 5.45.13=⋅ 根据题意413325.42325.4++=-x x x x 20=x∴ 甲车速度为402=x 千米/小时乙车速度为603=x 千米/小时全程为90205.4=⨯千米答：甲车速度为40千米/小时，乙车速度为60千米/小时，A 、B 两地间隔 为90千米。

七年级数学分式方程的应用人教实验版五四制知识精讲【典型例题】[例1] 某人骑摩托车从A 地去相距100km 的B 地执行任务，出发半小时后，发现按原速前进就会迟到30min ，于是把车速增大到原来的1.5倍，恰好准时到达，求某人骑摩托车原来的速度。

答案：200 /km h解析：设某人原速度为/xkm h ，由题意得1100100122 1.5x x x --=，解得200x =，经检验：200x =是原方程的解[例2] 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的23，则甲、乙两队单独完成各需多少天？答案：甲需4天，乙需6天解析：设乙队单独完成工程需x 天，则甲队单独完成工作需23x 天，由题意得32123x x +=，解得6x =，所以243x =[例3] 某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组高14，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间少半个小时，那么，甲、乙两组每小时各加工多少个零件？答案：甲组每小时加工500件，乙组每小时加工400件解析：设乙组每小时加工x 件，甲组每小时加工54x 件，由题意得200011800524x x +=，解得400x =，55004x =[例4] 两条船分别从河的两岸同时相对开出，它们的速度是固定的，第一次相遇，在距河的一岸800m 处，然后继续前进，都到达对岸后立即返回，第二次相遇，在距河另一岸600m 处，若认为掉头不耽误时间，问河有多宽？答案：1800m解析：设河宽为xm ，由题意得8006008002600x x x +=--，解得1800x =，所以河宽1800m[例5] 一游泳者在河中逆流而上，在A 桥下将水壶遗失，再继续前进20min 后，发现水壶遗失，于是立即返回寻找水壶，在B 桥下找到，若两桥相距2km ，问水流速度是多少？答案：3/km h解析：设水流速度为/xkm h ，游泳者速度为/ykm h ，由题意可得1()21233y x y x x-++=+，解得3x =，所以水流速度为3/km h[例6] 某农场原有水田4002hm ，旱田1502hm ，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，应把多少公顷旱田改为水田？答案：2100hm解析：设应把2xhm 旱田改为水田，则由题意得150140010x x -=+，解得100x =[例7] 我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥24km ，我部队离桥头30km ，我部队急行军速度为敌人的1.5倍，结果比敌人提前48min 到达，求我部队速度？答案：7.5/min km解析：设我部队速度为每分钟xkm ，则由题意得244830601.5x x-=，解得7.5x =[例8] 从火车上走下两个旅客，他们沿着同一方向到同一个地点去，第一个旅客一半路程以速度a 行走，另一半路程以速度b 行走，第二个旅客一半时间以速度a 行走，另一半时间以速度b 行走，问哪个旅客先到达目的地？答案：同时或者第二个旅客先到达解析：设车站到目的地的距离为skm ，由题意得，第一个旅客所需时间为22s sa b+，第二个旅客所需时间为2s a b +，因为22()222()s s s s a b a b a b ab a b ?? ?-+-= ?++，所以当a b =时，两旅客同时到达；当a b ≠时，()22a b s s ab a b +>+，第二个旅客先到【模拟试题】一. 选择题：1. 一个两位数的十位数字是4，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得新数与原数的比为47，则原来的数为（）A. 42B. 47C. 24D. 482. 某工程队计划在若干天内挖一条长180m 的水渠，施工时，工效比原计划提高1倍，因而提前9天完成，设工程队的原计划工效为x ，则列出方程为（） A. 18018092x x += B. 18018091 x x -=+ C. 18018091x x =-+ D. 18018092x x=- 3. 进水管单独进水ah ，可注满一池水，放水管单独放水bh ，可把一池水放完()b a >，现在两个水管同时进水和放水，注满一池水需要的时间为（）h A. 11()b a - B. ab b a - C. 1ab D. 1b a - 4. 一个桶中装有液态纯农药aL ，刚好一满桶，第一次倒出8L 后用水加满，第二次又倒出混合药液4L ，则这4L 混合药液中含药量为（）L A. 32a B. 4(8)a a - C. 48a - D. 24(8)a a - 5. 甲、乙两人组成一队参加踢毽子比赛，甲踢m 次用时间1t s ，乙在2t s 内踢了n 次，若两人同时分别踢毽子，共S 次，所用的时间是Ts ，则T 等于（） A. 12S t t + B. S m n + C. 12S m m t t + D. 12S t t m n+二. 填空题：1. 甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少23h ，已知两个人每小时共做70个机器零件，若设甲每小时做x 个零件，则可列方程2. 甲、乙、丙三人进行百米跑比赛，当甲到达终点时，乙离终点还有1m ，丙离终点还有2m ，当乙到达终点时，丙离终点还有 m3. 某人从甲地前往乙地，每小时行驶1v km ，t 小时可到达，若每小时行驶2v km ，那么可提前达到的时间为4. 若9人做了14天完成了一件工作的35，剩下的工作要在4天内完成，那么还要增加的人数为5. 运动员攀登一座山峰，上山用18min，沿原路下山时速度加快15，运动员下山用________分钟三. 解答题：1. 甲、乙两人分别从A，B两地到C地，甲从A地到C地需3h，乙从B地到C地需223h，已知A，C两地间的距离比B，C两地间的距离远10km，每行1km，甲比乙少花10min，求A，C两地间的距离；2. 某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效为原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10h，采用新工艺前后每小时分别加工多少个零件？试题答案一.1. A2. D3. B4. B5. C二.1. 1802402 703x x=--2.100993. 212()v v tv-4. 125. 15三.1.18km2. 40个；60个。