七年级数学暑假专题 分式方程及其应用 人教四年制版 知识精讲

《分式方程的应用》知识清单一、分式方程的定义分式方程是指分母中含有未知数的方程。

例如：＼（＼frac{1}｛x} ＋ 2 ＝ 3\）就是一个简单的分式方程。

二、分式方程的解法1、去分母将分式方程两边同乘各分母的最简公分母，化为整式方程。

例如，对于方程＼（＼frac{x}｛x 1} ＝＼frac{2}｛x 1}＼），最简公分母是＼（x 1\），两边同乘＼（x 1\）得到：＼（x ＝ 2\）。

2、解整式方程按照解整式方程的方法求解。

3、验根将求得的解代入原分式方程的分母中，若分母不为零，则该解是原分式方程的解；若分母为零，则该解不是原分式方程的解，应舍去。

例如，对于上面求出的解＼（x ＝ 2\），代入＼（x 1\）中，＼（2 1 ＝ 1\neq 0\），所以＼（x ＝ 2\）是原方程的解。

三、分式方程的应用类型1、行程问题行程问题中，基本公式为：路程＝速度×时间。

例如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。

甲的速度为＼（x\）千米/小时，乙的速度为＼（y\）千米/小时，经过＼（t\）小时相遇，A、B 两地相距＼（s\）千米。

可列出方程：＼（xt ＋ yt ＝ s\）。

如果已知路程和其中一人的速度，求另一人的速度，就可能用到分式方程。

2、工程问题工程问题中，基本公式为：工作总量＝工作效率×工作时间。

例如：一项工程，甲单独完成需要＼（x\）天，乙单独完成需要＼（y\）天，两人合作需要＼（t\）天完成。

可列出方程：＼（＼frac{t}｛x} ＋＼frac{t}｛y} ＝ 1\）。

3、销售问题销售问题中，涉及到利润、成本、售价、销售量等。

例如：某商品进价为＼（a\）元，售价为＼（b\）元，销售量为＼（x\）件，利润为＼（y\）元。

根据利润＝售价进价，可列出方程：＼（y ＝（b a)x\）。

如果已知利润、进价和售价，求销售量，可能会用到分式方程。

4、浓度问题浓度问题中，基本公式为：浓度＝溶质质量÷溶液质量。

七年级数学分式的乘除法人教四年制版【本讲教育信息】一. 教学内容：分式的乘除法二. 重点、难点掌握分式乘除法的运算规则，及分式乘方的意义。

什么是最简分式。

要满足以下三个条件才能是最后的最简分式，结果。

（1）分子、分母没有公因式，即分子分母不可约。

（2）分子分母的系数是整系数。

（3）分子、分母的最高次项不能为负。

【典型例题】[例1] 化简2222)1()1()1(-+-x x x 解：原式1)1()1()1()1(2222=-++-=x x x x [例2] 化简223211aa a a a +-+-- 分析：这是含有绝对值的分式，要化简，先要讨论a 的取值X 围，但是要注意a 在分母中，取值不等使分母为0。

解：当0≥a 且1≠a 时原式223211a a a a a +-+--=1)1()1)(1)(1()1()1()1(222+=-+--=----=a a a a a a a a a当0<a 且1-≠a 时原式1)1()1()1)(1)(1()1()1()1(2112222223+-=++--=+---=+++--=a a a a a a a a a a a a a a a [例3] 化简pqq pq p q p pq q pq p 4)23(2)3()4()23(222222222-++-+-+ 分析：注意到分子上的三项都是平方元素，而且有一项符号为负，所以把分子上的三项两项结合，用平方差，再化简。

解：原式pq q p q p q pq p q pq p q p q p 4))(3(2)43)(43()()3(222222+-+-++-+-=pq q p q p q p q p q p q p q p q p 4))(3(2))(3)()(3()()3(22+---++-+-=pq q pq p q pq p 823232222++--+=21=[例4] 计算2222442222222)21()2()(xax a a x x ax a x a x a +-⋅-++÷+- 分析：此题含有乘方、乘、除的混合运算，运算时先算乘方再算乘除，当分子，分母中有多项式时，不要用多项式的乘方处理，即不要展开，应写成幂的形式，先将多项式分解因式再乘方。

七年级数学暑假专题 分式方程及其应用同步练习 人教四年制版（答题时间：50分钟）1. 12663324222--=++--x x x x x x x 2.86107125265222+--=---+-+x x x x x x x x x 3. cx b x a x -=-+-321（032≠-+c b a ，a ，b ，c 各不相等） 4. x a bx b b ax a 2=+++（022≠+b a ，0≠ab ） 5. )0(422222≠-=-++m x m m x m x x m x 6. )0(2)(≠+-+=+n m x mn n m x m n n m 7. 71513111+-+=+-+x x x x 8. 78563412++-++=++-++x x x x x x x x 9. 32148521761543103--+--=--+--x x x x x x x x 10. 从火车上下来两个旅客，他们沿着同一个方向到同一地方去，第一个旅客一半路程以速度a 行走，另一半路程以速度b 行走；第二个旅客一半时间以速度a 行走。

另一半时间以速度b 行走。

问：哪个旅客先到达目的地？11. 两辆汽车同时从甲、乙两地相向而行。

在离甲地64千米处两车相遇，相遇后两车继续按原速前进，分别到达两地后立刻返回，又在离甲地32千米处第二次相遇。

求：甲、乙两地的距离是多少？12. 某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付给甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需付给乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的2/3，厂家需付给甲、丙两队5500元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工作各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

13. 完成一项工作，甲独做所需时间为乙与丙共同工作所需时间的3倍；乙独做所需时间为甲与丙共同工作所需时间的2倍；甲独做此工作所需时间比乙独做所需时间多5天。

七年级分式方程数学知识点数学是一门需要持之以恒的学科，而分式方程更是数学中的重要知识点之一。

尤其是七年级的学生，对于分式方程的学习非常关键。

本文将详细介绍七年级分式方程数学知识点，帮助大家更好地掌握相关知识。

1.分式的定义分式就是分数形式的式子，它可以表示为a/b的形式，其中a、b为整数，且b不等于0。

其中，分子a称为分式的被除数，分母b称为分式的除数。

2.分式的简化分式的简化是指将分式化简成最简分式的形式。

最简分式是指分子、分母没有相同的因数，或者它们的最大公约数为1的分式。

要简化一个分式，我们需要先求出它的分子和分母的最大公约数，然后将分子、分母同时除以这个最大公约数即可。

3.分式方程的解法分式方程是指方程中含有分式的方程。

例如：x/3+2=5。

解决分式方程的方法有两种，一种是通分法，另一种是消元法。

通分法的步骤如下：（1）将方程中所有的分式通分；（2）将方程中变量的系数移到等式左侧，常数项移到等式右侧；（3）将等式左侧的分式进行合并；（4）移项得到最终解。

例如：解方程x/3+2=5/6，通分后得到2x/6+2=5/6，将等式左侧的分式进行合并得到2x/6+12/6=5/6，移项得到x=1/2。

消元法的步骤如下：（1）将方程中所有的分式化成通分式；（2）将方程中变量的系数移到等式左侧，常数项移到等式右侧；（3）将等式中含有同一个未知数的项合并；（4）移项得到最终解。

例如：解方程2/x+3/x=1，化分后得到(2+3)/x=1，移项得到x=5。

4.综合应用在实际应用中，分式方程的解法往往和其他数学知识点相结合，例如代数式、整式等。

我们可以通过代数式化简、整式化分的方法，将问题转化为分式方程，然后利用上述的解法进行解题。

例如：求解“一个工人一天可以干完1/5，另一个工人一天可以干完1/8，两个工人一起干完这项工作需要几天？”这个问题。

我们可以设两个工人一起干完这项工作需要x天，根据题意可得分式方程1/5x+1/8x=1，化分后得到13/40x=1，解得x=40/13。

七年级分式方程知识点在学习代数时，分式方程是不可避免的一部分。

在七年级的课程中，学生们需要掌握分式方程的基本知识，包括如何解决分式方程，变量的含义和如何将它们放在方程中。

本文将介绍七年级学生需要了解的分式方程知识点。

第一，什么是分式方程？分式是指一种可以用两个整数或两个多项式表示的表达式，其中一个是另一个的分母。

分式方程是指带有分式的方程。

例如：(2/3)x + 3 = 5在这个方程中，2/3是分式，x是变量，3、5和3是整数（x可以是一个未知的数量）。

第二，如何解决分式方程？解决分式方程需要使用某些技巧和策略。

下面是解决分式方程的几种方法：方法1：通分将分数的分母相同，然后将方程两侧乘以公共分母。

其次，通过将变量相加或相减，将它们带到一个方程中。

例如：(2/x) + (1/3) = 1 解决步骤如下：将分数的分母相同，得到(6/x) + (2/6) = 6/6将方程两侧乘以x，得到6 + 2x = 6x通过将变量相加或相减，把它们带到一个方程中，得到 6 = 4x，进一步得出x = 3/2。

方法2：消元通过乘法或除法，消除方程两边的分数。

例如：(5/x) + (2/x-1) = 1 解决步骤如下：通过乘以(x-1)，消除分母，得到5(x-1) + 2x = x(x-1)通过移项得到x^2 - 4x + 5 = 0求解这个方程，得到x = 2±i（负根号下的1）第三，变量的含义变量通常是代数方程中的未知量。

在分式方程中，变量可以是任何数字，通常用字母来表示。

例如：(x/2) + 1 = 3在这个分式方程中，x是变量，它代表一个未知的数字。

第四，如何将变量放在方程中将变量放在分式方程中需要一些技巧和策略。

下面是两种方法：方法1：根据题目分析有时，变量在分式方程中的位置是明显的。

例如，如果问题描述了5个苹果的价格是2美元，则可以编写以下分式方程：(2/5)x = 1,其中x代表每个苹果的价格。

初中数学知识归纳分式方程的解法与应用分式方程是初中数学的重要内容之一，解决分式方程的问题需要归纳总结各种解法和应用方法。

本文将系统地介绍分式方程的解法与应用。

一、基本概念分式方程是含有分式的方程，形如：$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$其中，a、b、c为已知实数，x、y为未知数。

求解分式方程即是要找到使等式成立的x、y的取值。

二、分式方程的基本解法1. 通分法对于分式方程中的两个分式，如果其分母之间没有公约数，可以采用通分法求解。

具体步骤如下：Step 1：确定两个分式的最小公倍数为分母的通分分母。

Step 2：对原方程的两个分式进行通分，得到分母相同的两个分式。

Step 3：将通分后的两个分式的分子相加，得到新的分式。

Step 4：将新的分式等于给定的实数c，得到新的分式方程。

Step 5：解新的分式方程，得到x、y的值。

2. 消元法对于分式方程中只有一个未知数的情况，可以采用消元法求解。

具体步骤如下：Step 1：选择未知数的系数较小的一方作为基准，将另一方的分子乘以基准方的分母，将两个分式的分母统一。

Step 2：将新的方程化简，得到未知数的一次方程。

Step 3：解未知数的一次方程，得到未知数的值。

Step 4：将求得的未知数代入原分式方程中，得到另一个未知数的值。

三、分式方程的应用1. 比例问题分式方程在解决比例问题时非常有用。

比例问题可以通过建立分式方程来解决，而求解分式方程就是求解比例问题的具体步骤。

例如，已知某比例中，一个分数和另一个分数的和等于1，可以建立分式方程求解两个分数的值。

2. 速度问题分式方程在解决速度问题时也具有广泛的应用。

速度问题涉及到物体的速度、时间和距离等概念，通过建立分式方程，可以求解物体的速度、时间和距离等具体数值。

例如，已知两个物体以不同的速度出发，相隔一定距离后相遇，根据已知条件可以建立分式方程求解两个物体的速度和相遇时间。

数学知识点分式方程的解法和应用数学知识点：分式方程的解法和应用分式方程是指方程中含有分式的数学等式。

解分式方程需要运用一些特定的方法和策略，以找到变量的值满足方程的条件。

本文将介绍分式方程的解法和应用。

首先，我们将讨论如何解一元分式方程。

一元分式方程的解法解一元分式方程的方法主要分为两个步骤：首先将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程得到变量的值。

步骤一：转化为整式方程为了将分式方程转化为整式方程，我们可以通过两种方法：通分或消去分母。

例子 1：解方程： 5/x - 2/(3x) = 1/4通分即可得到：15/(3x) - 2/(3x) = 3/(12x)化简为：13/(3x) = 3/(12x)例子 2：解方程： (2x - 1)/3 - (x + 1)/(2x) = 2/3将所有分式通分得到：2(2x - 1)/(6x) - 3(x + 1)/(6x) = 4/6整理化简为：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6步骤二：求解整式方程得到整式方程后，我们可以使用常规的方程求解方法，将变量的值计算出来。

例子 1的继续：13/(3x) = 3/(12x)通过交叉相乘可得：39x = 36x整理化简为：x = 0例子 2的继续：4x - 2 - 3x - 3 = 4/6化简为：x - 5 = 2/6继续整理可得：x = 3到此为止，我们已经学习了解一元分式方程的方法。

接下来，我们将探讨分式方程的应用。

分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用。

下面将介绍两个常见的应用场景：比例问题和物体混合问题。

应用一：比例问题比例问题是指涉及到数量比例关系的问题。

通过设立分式方程，我们可以解决这类问题。

例子 3：甲、乙、丙三个人的年龄比例为5:3:2。

如果乙的年龄比甲大9岁，而丙的年龄比乙大8岁，求三个人的年龄。

设甲的年龄为5x岁，则乙的年龄为3x岁，丙的年龄为2x岁。

乙的年龄比甲大9岁，可以设立方程：3x = 5x - 9通过解方程可得：x = 4因此，甲的年龄为20岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为8岁。

分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案. 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．A ．3214312x x +−−=B ．124111x x x x x −+−=+−− C ．21305x x += D ．x ax a b +=，（a ，b 为非零常数）【答案】B ；【解析】A 、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B 项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程2、 解分式方程（1）10522112x x +=−−；（2）225103x x x x −=+−．【答案与解析】解：（1）10522112x x +=−−，将方程两边同乘(21)x −，得10(5)2(21)x +−=−．解方程，得74x =． 检验：将74x =代入21x −，得52102x −=≠．∴ 74x =是原方程的解．（2）225103x x x x −=+−，方程两边同乘以(3)(1)x x x +−，得5(1)(3)0x x −−+=．解这个方程，得2x =．检验：把2x =代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．∴ 原方程的解是2x =．【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．举一反三：【变式】解方程：21233xx x −=−−−．【答案】 解：21233x x x−=−−−， 方程两边都乘3x −，得212(3)x x −=−−−，解这个方程，得3x =，检验：当3x =时，30x −=，∴ 3x =是增根，∴ 原方程无解．类型三、分式方程的增根3、（2015春•安岳县期中）若解关于x 的分式方程会产生增根，求m 的值．【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【答案与解析】解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得2（x+2）+mx=3（x ﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x ﹣2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=﹣4或6．【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．举一反三：【变式】如果方程11322x x x−+=−−有增根，那么增根是________． 【答案】2x =；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20x −=或20x −=可得2x =．所以增根是2x =．类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．【答案与解析】解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种()2x +棵树．由题意可得60662x x =+，解这个方程，得20x =．经检验20x=是原方程的根且符合题意．所以222x+=(棵)．答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．举一反三：【变式】（2016•淮安）王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？【答案】解：设原计划每小时检修管道x米．由题意，得60060021.2x x−=．解得50x=．经检验，50x=是原方程的解．且符合题意．答：原计划每小时检修管道50米．。

七年级数学分式方程知识点在七年级的数学学习中，分式方程是一个很重要的知识点。

分式方程是指方程中出现了分式的形式。

下面我们将会详细介绍分式方程的相关内容。

一、分式的概念分式是指把一个整体分成若干份，其中的一份就是分式。

例如：$\frac{3}{4}$，表示将一个整体分成四份，取其中的3份。

二、分式方程的概念分式方程是指方程中出现了分式的形式。

例如：$\frac{x}{2}-1=\frac{x+1}{3}$，此方程中存在两个分式。

三、解分式方程的方法1.化为通分式如果分母不同，那么我们需要将分式通分后才能进行计算。

例如：$\frac{2}{3x}+\frac{3}{4x}=\frac{5}{6x}$，我们可以将此方程化为通分式：$\frac{8+9}{12x}=\frac{5}{6x}$，化简后得到$7x=30$，解得$x=\frac{30}{7}$。

2.去分母如果方程中存在分母为0的情况，则要排除该情况。

去分母可使用两种方法。

（1）交叉相乘法此方法需要将方程等号两侧的分式分别乘上对方的分母，然后将分子相乘。

例如：$\frac{2}{x-4}+\frac{3}{x+3}=\frac{5}{x-2}$，我们可对此方程使用交叉相乘法：$(x-2)\cdot 2+(x-4)\cdot 3=(x-4)(x+3)\cdot \frac{5}{1}$，化简后得到$2x-5=0$，解得$x=\frac{5}{2}$。

（2）通分方法通分方法需要将方程等号两侧的分式通分后，然后消去分式分母。

例如：$\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+2}=\frac{1}{2x}$，将此方程通分：$\frac{6}{2x(x-1)}-\frac{4}{2x(x+2)}=\frac{x-1}{2x(x-1)(x+2)}$，化简后得到$2x^2-3x-2=0$，解得$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$。

四、分式方程的注意事项1.在分式方程中，分母不为0。