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Newmark 算法程序计算报告1.Newmark 算法理论基础在~t t t +∆的时间区域内，Newmark 积分方法采用下列的假设，即()2112t t t t t t t tt t t t t t t tδδαα+∆+∆+∆+∆=+-+∆⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+∆+-+∆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a a a a a a a a a （1.1） 其中α和δ是按积分精度和稳定性要求决定的参数。
另一方面，α和δ取不同的值则代表了不同的数值积分方案。
当1/6,1/2αδ==时，（1.1）式相应于线性加速度法，因为这时他们可以由下式得到()/ (0)t t t t t t t t ττ+∆+∆=+-∆≤≤∆a a a a （1.2）当1/4,1/2αδ==时，Newmark 算法相应于常平均加速度法这样一种无条件稳定的积分方案。
此时，t ∆内的加速度为()12t t t t t +∆+∆=+a a a （1.3） 因此，将（1.1）式可以得到()211112t t t t t t t t t ααα+∆+∆⎛⎫=---- ⎪∆∆⎝⎭a a a a a （1.4） 代入到动力学平衡方程中可以得到22111112 112t t t t t t t t t t t t t t t t δαααααδδδααα+∆+∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++-+ ⎪ ⎪⎢⎥∆∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-∆ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦K M C a Q M a a a C a a a （1.5）2.Newmark 算法计算步骤（1）形成刚度矩阵 K 、质量矩阵M 、阻尼矩阵 C 。
（2）给定0 a ，0a ，和0a（3）选择时间步长t ∆及参数α和δ，并计算积分常数。
这里要求：()20.5,0.250.5δαδ≥≥+()012324567111,,,121,2,1,2c c c c t t t t c c c t c t δααααδδδδαα====-∆∆∆∆⎛⎫=-=-=∆-=∆ ⎪⎝⎭（4）形成有效刚度矩阵01ˆˆc c + K :K =K +M C （5）三角分解ˆˆTK:K =LDL 对于每一个时间步长（1）计算时间t t +∆的有效载荷()()023145ˆt t t t t t t t t t c c c C c c c +∆+∆=++++++Q Q M a a a a a a（2）求解时间t t +∆的位移ˆT t t t t+∆+∆=LDL a Q （3）计算时间t t +∆的加速度和速度()02367t t t t t t t t t t t t tc c c c c +∆+∆+∆+∆=---=++a a a a a a a a a3.程序设计思路（1） 读入质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷列向量；读入初始状态值，如初始位移、初始速度、初始加速度；读入控制变量，如时间步长、时间步； （2） 计算8个积分常数；（3） 计算有效刚度矩阵ˆK并对有效刚度矩阵ˆK 进行LU 分解； （4） 求解时间t t +∆的有效载荷向量ˆt t+∆Q ； （5） 求解时间t t +∆的位移t t +∆a ；（6） 求解时间t t +∆的的加速度t t +∆a 和速度t t +∆a （7）计算下一时刻的有效载荷向量并循环。
newmark法计算多自由度结构响应多自由度结构是指具有多个独立振动模式的结构，在地震、风荷载等外部力作用下，结构会产生复杂的振动响应。
为了分析这种结构的振动响应，工程师通常使用有限元法中的newmark法。
本文将介绍newmark法的基本原理，以及如何使用该方法计算多自由度结构的振动响应。
一、newmark法的基本原理newmark法是一种常用的求解结构动力学问题的数值方法，它通过离散化结构的振动方程，将结构的振动响应分解为一系列的时间步长来进行计算。
newmark法的基本原理是基于结构的动力学方程和位移速度加速度之间的关系，通过数值积分的方法求解结构的位移、速度和加速度随时间的变化。
newmark法的基本框架可以表示为：\[ M\Delta \ddot{u}^{n+1} + C\Delta\dot{u}^{n+1} +Ku^{n+1} = P^n \]其中\(M\)是结构的质量矩阵，\(C\)是结构的阻尼矩阵，\(K\)是结构的刚度矩阵，\(\Delta \ddot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的加速度增量，\(\Delta\dot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的速度增量，\(u^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的位移，\(P^n\)是时间步长\(n\)时刻的外部荷载。
通过对上述结构动力学方程进行离散化，并选取合适的数值积分格式，可以得到newmark法的具体计算公式，其中包括了位移、速度和加速度的更新公式。
因此，newmark法可以方便地用于求解多自由度结构的振动响应。
二、使用newmark法计算多自由度结构的振动响应1.模型建立首先，需要对多自由度结构进行建模。
建模过程包括确定结构的几何形状、确定结构的材料性质、确定结构的边界条件等。
一般来说，可以采用有限元法来对多自由度结构进行离散化，将结构划分为多个小单元，并在每个小单元上建立适当的位移场和应变场。
1/87结构动力学教师：刘晶波助教：宝鑫清华大学土木工程系2016年秋2/87结构动力学第5章动力反应数值分析方法3/87主要内容：❑数值算法中的基本问题❑分段解析法❑中心差分法❑一般时域逐步积分法的构造❑Newmark —β法❑Wilson —θ法❑时域逐步积分算法的新发展❑结构非线性反应分析4/875.1数值算法中的基本问题5/875.1数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法：时域分析方法—Duhamel 积分法，频域分析方法—Fourier 变换法。
●这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。
当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。
●这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性(弹塑性)，或结构位移较大时，结构可能进入几何非线性，这时叠加原理将不再适用。
此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。
6/875.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark －β法；（6）Wilson －θ法；（7）Houbolt 法；（8）广义α法；•••••••••时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
7/875.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel 积分，Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。
时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。
时程分析阻尼模型及数值计算方法1、阻尼模型阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。
结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。
结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。
常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。
试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。
根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。
本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。
瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即[][][]C M K αβ=+ (4.15)式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。
根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：22k k k βωαξω=+(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数222j i i ji ji jξωξωαωωωω-=- 222j i i ji jξωξωβωω-=- (4.16b)i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。
本文取前两阶振型频率求得α、β值。
2、数值积分方法多自由度结构体系动力微分方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}()gM x C x K x M x t I ++=-(4.17) 其中，[]M －质量矩阵；[]C －阻尼矩阵；[]K －刚度矩阵；{}I －单位对角阵；()g x t －地面运动加速度；{}x 、{}x 、{}x－结构楼层相对于地面的位移、速度和加速度反应。
在结构动力计算中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法和Newmark-β法等。
第三章离散化结构动力方程的解法(2013.4.24）§3.1 绪言对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程[]{}[]{}[]{}{}++=（3.1）M u C u K u F(t)这里，{}u、{}u、{}u及{}F t分别表示加速度、速度、位移及所()作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。
从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。
但是，由于[]M、[]C 和[]K的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。
目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。
一是坐标变换法，它是对结构动力方程式（3.1），在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Ritz变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前q阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。
通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。
还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。
显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。
用Ritz矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。
二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，将式（3.1）分为各离散时刻的方程，然后，将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成，于是，式（3.1）就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值，通常又称为逐步积分法。
线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。
主要有中央差分法，Houbolt 方法，Wilson -θ法和Newmark 方法等。
时程分析阻尼模型及数值计算方法1、阻尼模型阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。
结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。
结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。
常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。
试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。
根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。
本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。
瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即[][][]C M K αβ=+ (4.15)式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。
根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：22k k k βωαξω=+(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数222j i i ji ji jξωξωαωωωω-=- 222j i i ji jξωξωβωω-=- (4.16b)i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。
本文取前两阶振型频率求得α、β值。
2、数值积分方法多自由度结构体系动力微分方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}()gM x C x K x M x t I ++=-(4.17) 其中，[]M －质量矩阵；[]C －阻尼矩阵；[]K －刚度矩阵；{}I －单位对角阵；()g x t －地面运动加速度；{}x 、{}x 、{}x－结构楼层相对于地面的位移、速度和加速度反应。
在结构动力计算中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法和Newmark-β法等。
非线性动力学方程的求解方法1、概述在工程实际问题中，我们常常面临这样的选择：我们所遇的问题究竟是静力的还是动力的。
静力问题与动力问题，从力学的角度看就是是否考虑与加速度有关的力，而从数学求解方法看则是一个三维边值问题还是一个四维边值-初值问题。
在这个问题的选择上没有固定的原则，一般取决于我们研究者、分析者对工程问题的判断。
一般认为，实际工程大都是处于动力环境之中，因而属于动力问题。
但是，由于时间、经费等方面的原因的限制，我们不可能把所有的问题都按照动力问题的方法来分析。
对于许多具体的问题，与速度和加速度有关的力足够小，但是又影响结构分析结果的，将采用静力假定来模拟这些力。
线性的动力有限元控制方程如式(1-1)所示。
[]}{}]{[}]{[}{R q K q D qM =++ (1-1) 式中[M ][D ][K ]分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵，{R }为荷载列矢量，}{q、}{q 和}{q 分别是加速度、速度和位移列矢量。
式(1-1)的解法大体上可以分为两类：直接积分法和模态叠加法。
直接积分法在对控制方程进行数值积分之前不对方程做任何形式的变换，直接用数值积分的方法在时域上一步一步地对方程进行积分。
模态叠加法是在求解之前对方程进行某种数学变换，使基底降低，或使矩阵的带宽减小，再进行求解。
这两种方法在形式上不同，但是密切相关。
上述每一类求解方法中又有许多具体的解法，每一种解法又有各自的特点。
因此我们在选择一种方法求解一个问题时，要对该方法的收敛性、稳定性、效率、精度和费用等进行一些分析，讨论它对所求问题的有效性，从而使我们能够针对某一特定的问题，选择合适的方法。
直接积分法基于以下两条：(1)不是在求解时间区间内任意时刻t 都满足式(1-1)，而是在相隔△t 上的一些离散时刻满足式(1-1)。
(2)对位移、速度和加速度在每一时间区间△t 内变化的形式进行假设，事实上若把式(1-1)看成一个常系数微分方程组，便可以用任何一种有限差分格式通过位移来近似表示速度和加速度，因此不同的差分格式就得到不同的方法。
显式和隐式动力分析比较随着国内各种动力弹塑性的兴起，对动力时程分析中提到的方法多有各种说法，对于设计院的人来说更是云里雾里的多，今天看到一篇文章讲得不错，于是结合下自己的看法大概说说显式和隐式动力分析的差别。
首先简单的解释下：显式分析：用上一步的结果和当前步的结果计算下一步的计算结果。
有条件收敛，要求时间步较小。
通常做动力分析用这种方法。
隐式分析：用当前步结果和下一步未知结果反复迭代下一步结果，必须通过迭代得到。
无条件收敛。
是一种能量平衡的结果。
通常做静力分析用这种方法。
两者均是求解动力方程，只是显式求解的每一步不是绝对平衡，而隐式求解是在每一步都是近似绝对平衡的。
显式算法：显式算法最大优点是有较好的稳定性。
动态显式算法采用动力学方程的一些差分格式（如广泛使用的中心差分法、线性加速度法等），不用直接求解切线刚度，不需要进行平衡迭代，计算速度快，时间步长只要取的足够小，一般不存在收敛性问题。
显式算法不需要迭代，也不需要组集总刚，因此需要的内存也比隐式算法要少。
并且数值计算过程可以很容易地进行并行计算，程序编制也相对简单。
但显式算法要求质量矩阵为对角矩阵，而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥, 因而往往采用减缩积分方法，容易激发沙漏模式，影响应力和应变的计算精度。
"静态显式法基于率形式的平衡方程组与Euler向前差分法，不需要迭代求解。
由于平衡方程式仅在率形式上得到满足，所以得出的结果会慢慢偏离正确值。
为了减少相关误差，必须每步使用很小的增量。
这个方法目前应用比较少。
总之显式方法不需要迭代是个利好，每步的时间基本是固定的，可以根据设置的波长和分析步长估算出计算总时间。
根据上面论述可以看出，一般多采用动态显式，一般有中心差分法、线加速度法等，也有人列出精细积分法为显式算法。
其中中心差分法的变种也非常多，有蛙跳式、向后差分式等。
由于其算法上当前步结果只跟上一步结果有关，因此只要对角化质量矩阵和阻尼矩阵即可不需要联立动力方程，可解耦到每个单元的差分公式，大大简化了计算过程。
第三章离散化结构动力方程的解法（2013.4.24）§3.1 绪言对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程M &u& C &u K u F（ t ）（ 3.1）这里，u&&、u& 、u 及F（t）分别表示加速度、速度、位移及所作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。
从数学的角度来看，式（ 3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。
但是，由于M 、C 和K 的阶数非常高，使得式（ 3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。
目前，用于求解式（ 3.1）的方法，大致可分为两大类。
一是坐标变换法，它是对结构动力方程式（ 3.1），在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种 Ritz 变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前 q 阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。
通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。
还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。
显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。
用 Ritz 矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。
二是直接积分法，它是对式（ 3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，将式（ 3.1）分为各离散时刻的方程，然后，将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成，于是，式（3.1）就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值，通常又称为逐步积分法。
线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。
主要有中央差分法， Houbolt 方法，Wilson-。
法和Newmark方法等。
3.2 模态（振型）迭加法设有 n 个自由度的系统，在外力F（t）的作用下，常常被激起较低阶的一部分模态（即振型），而绝大部分高阶模态被激起的分量很小，一般可忽略不计。
例如，在地震载荷作用下，通常，只有最低的二阶，三阶模态起主要作用。
所以，对于这样的一些问题，采用模态迭加法是有效的。
设有式（ 3.1）的 n 阶动力方程，起主要作用的是其前 q 阶模态，通常取q= n。
按Ritz变换，则可将式（3.1）中的u用前 q 个模态的线性组合来表示，即q{u} Y1{ 1} Y2{ 2} ... Y q{ q} { j }Y jj1[ ]{Y} （3.2）其中，[]nq为结构的已知的保留主模态矩阵，而{Y}q R是维的模态基坐标矢量，它形成了一个 q 维的模态空间。
它表示在 {Y } 中，各阶主模态所占有的成分的多少。
假定[ ] 已用第二章所述的某一方法解出，再将式（3.2）代入（ 3.1），并左乘以[ ]T，可得* oo * o * *[ M ]*{Y&&} [C]*{Y&} [K]*{Y} {F}*（3.3）式中* T[M]* [ ]T[M ][ ]* T[K]* [ ]T[K][ ]*T[C]* [ ]T [C][ ] {F}* [ ]T{F}显然，式（ 3.3）是一个 q 阶的微分方程组。
由于 q n ，所以，它比式（ 3.1）的 n 阶就小的多了，实现了降阶，因而也就容易求解多了。
若展开上述的[ M ]*的表达式，根据主模态（主振型）关于[ M ] 的表达式，根据主模态的（主振型）关于 [M] 的正交性质，可知 m ij*0（i j ）所以，[M]*是一个对角阵。
同理可知[ K ]*也是一个对角阵。
然而，在一般的情况下，[C]*是一个非对角阵，即在模态空间中，系统的的阻尼一般是耦合的。
因此，式（ 3.3）是一个完全解耦的动力学方程。
但是，它是一个已降阶的 q 阶的动力方程，可使用后面即将介绍的直接积分法求解。
当系统的阻尼为比例阻尼时，即 [C] 可以表示为[C]*[M ]*[K]*（3.4）则[C]*为对角阵。
此外，若系统的阻尼是一般的的线性阻尼，并非比例阻尼，但是只要结构的固有频率不相等，而且不十分接近，则可用舍去[C]*阵中的非对角元来实现[C]*的对角阵，也不会引起太大的误差。
在上述两种情况下，可以获得对于模态坐标的完全解耦的动力学方程。
即式（ 3.3）是 q 个独立的方程，每个方程只包含一个未知量，相互之间不耦合。
因而式（ 3.3）可按单自由度的动力学方程写为m H & C ii & k H y i F i (t)(i 1,2,...q) (3.5)或弭+2j j&+ i2y i f「(t)(i 1,2,...q) (3.6) 其中* * * * _____________________________________________________________________________________________________2 i i c ii / m ii , f i(t) F i (t)/m ii o式( 3.6)可用直接积分法计算，或用Duhamel积分求得其解为1 t (t、二y i(t) 0 f i( )e i i( )sin i di (3.7)e i i t{a i sin _i t b i cos 一i t}( i 1,2,... q)i厂i2，而q，b i由初始条件式中，一i{y。
} ([M]*) 1[ ]T[M]{ U o}g (3.8){%} ([M]*) 1[ ]T[M]{u o}得出的y Co与&o决定。
由于有阻尼的存在，由初始条件所激发的振动，随时间的增长而衰减以致消失。
因此，常可不计式( 3.7)中的第二项，即是由初始条件激发的自由衰减振动。
计算出y i (t)后，便可利用式(3.2)，计算出物理坐标的响应{u(t)}。
数学计算步骤可归纳如下:第一步：根据结构的离散化模型，建立系统的[M],[K]以及{F(t)}，并进行结构的固有特性分析，即求解特征值问题([K]- 2[M]){ } {0}求出前q阶特征对(i，{ i}) , ( i 1,2,...,q )第二步：形成模态阵[]nq [{ l} { 2}…{ q}]，并建立模态基坐标下的动力方程* 2 i i% i2y i f j(t) (i 1,2,..., q)其中f i(t) —{ i}T{F(t)}，而m ii { i}T[M]{ i}。
根据实验结果或经验m ii数据确定各阶主振动中的比例阻尼i。
第三步：求解主模态基坐标的动力方程，有Y i(t)丄0 f i( )e i i(t- )sin{ i(t- )}d，其中，i第四步：进行坐标变换后，求得动力响应u [ ] Y§3.3模态假设法上节所述的模态迭加法，是用系统的真实主模态组成的模态矩阵，再对系统的物理坐标进行模态坐标变换，从而在主模态空间中得到降阶并解耦的动力学方程，这样来实现简化计算。
而这里提出的假设模态法，则是用一组假设模态矩阵，对系统的物理坐标进行模态坐标转换，从而在模态空间中得到一组只降阶的动力学方程。
若令假设模态矩阵为①n m，而m<<n，进行坐标变换，即(3.10)X t n1 n m q t m1把它代入式(3.1),并左乘T，则可得到降阶的动力学方程为* * *M q& C K q Q t (3.11) 其中* T * TM M ,K K ,* T TC C ,Q t F(t)。
它们分别对应于假设模态坐标q的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵与广义力列阵。
因为矩阵中的各列都是假设模态，它们一般不具有正交性，所以，M *、C*和K*都不是对角阵。
于是，方程(3.11)是不能解耦的方程组，但它却是比式(3.1)的阶数要低得多了。
显然，对式(3.11)采用直接积分法求解，将比对式 (3.1)求解要简便得多。
这是假设模态法的优点。
假设模态法的计算精度，很显然地是取决于假设模态阵中模态假设的好坏与质量。
因此，应用假设模态法能否成功的关键在于确定出一个适宜的假设模态矩阵。
在第五章中，我们介绍了几种构造假设模态的方法。
实际上，在§2.9中介绍的Rayleigh-Ritz分析，可认为是一种假设模态法。
它的作用，在于降低方程的阶数，简化计算。
它的基本思想是，事先假定出若干近似的特征矢量，然后按照这些特征矢量的最佳线性组合，而算得前若干阶特征值的近似值。
显然，运用这种方法时，其计算精度与事先假定的特征矢量的近似程度和数量有关。
按照Ritz变换的思想，找到了近似的特征矢量X i后，i=0, ,q，即有a1 X! a2 X2 a q X q (3.12) 求解如下的广义特征值问题，即(3.13) 其中*TK *= XTK X*TM * = X T M XK和M为原结构离散化之刚度阵和质量阵，它们都是n阶方阵。
求解式 (3.13)，得到q 个特征矢量，有A1 1 a1 1 a21T a q1A2 =2 2 2T a1 a2a qA q = a1q a2q T aqq再按照 Ritz 的变换，即式 (3.12)，由特征矢量A j ，可计算出矢量 1 ， 2 ，，q ，即是qi i a j i x i j1 i=1,2, ,q(3.14)现在用n q 1 2 q来表示此变换阵，它就是我们要构造的假设模态矩阵。
§3.4 中心差分法(显示法) 现在开始讨论直接积分法，或称逐步积分法。
前面讨论的模态迭加法，并非总是有效的。
当刚度矩阵K ，或质量矩阵M ，或阻尼矩阵 C 出现随时间变化时，或当外荷载激起的振型太多，需要计算的特征对太大时，就不宜于采用模态迭加法，在这些情况下，采用逐步积分法是适宜的。
中心差分法就是其中的一种。
这种方法的特点，是将动力方程在时间域上离散，化成对时间的差分格式，然后根据初始条件，利用直接积分法逐步求解出一系列时刻上的响应值。
假定t 0时，位移、速度和加速度分别为已知的U o，U o和U o 再将求解的时间区间划分为n个等分，即t T。
我们要建立的积n分格式就是从已知的0, t , 2 t,…，t的解来计算下一个时间步的解。
在中心差分法中，是按中心差分将速度和加速度矢量离散化为{跖1{u}t t {u}t t2 t(3.15){&}t 1t2{u}t t 2{u}t {u}t t (3.16)于是上面二式，就将t时刻的速度和加速度用相邻时刻的位移来表示了。
考虑在t时刻的动力方程，有[M]{&}t [C]{U}t [K]{u}t {F}t （3.17）将式（3.15）和（3.16）代入式（3.17）中，得到1 12 1 1〒[M] ^^[C] {u}t t {F}t [K] 下[M] {u}t 〒[M] 厂[C] {u}t t（3.18）这样，上式就化为用相邻时刻的位移表示的代数方程组。
