加速度修正的Wilson-θ法的精度分析

midas时程荷载工况中几个选项的说明时程荷载工况中几个选项的说明动力方程式如下：在做时程分析时，所有选项的设置都与动力方程中各项的构成和方程的求解方法有关，所以在学习时程分析时，应时刻联想动力方程的构成，这样有助于理解各选项的设置。

另外，正如哲学家所言：运动是绝对的，静止是相对的。

静力分析方程同样可由动力方程中简化(去掉加速度、速度项，位移项和荷载项去掉时间参数)。

0.几个概念自由振动: 指动力方程中P(t)=0的情况。

P(t)不为零时的振动为强迫振动。

无阻尼振动: 指[C]=0的情况。

无阻尼自由振动: 指[C]=0且P(t)=0的情况。

无阻尼自由振动方程就是特征值分析方程。

简谐荷载: P(t)可用简谐函数表示，简谐荷载作用下的振动为简谐振动。

非简谐周期荷载: P(t)为周期性荷载，但是无法用简谐函数表示，如动水压力。

任意荷载: P(t)为随机荷载(无规律)，如地震作用。

随机荷载作用下的振动为随机振动。

冲击荷载: P(t)的大小在短时间内急剧加大或减小，冲击后结构将处于自由振动状态。

1.关于分析类型选项目前有线性和非线性两个选项。

该选项将直接影响分析过程中结构刚度矩阵的构成。

非线性选项一般用于定义了非弹性铰的动力弹塑性分析和在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)的结构动力分析中。

当定义了非弹性铰或在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)，但是在时程分析工况对话框中的分析类型中选择了“线性”时，动力分析中将不考虑非弹性铰或非线性连接的非线性特点，仅取其特性中的线性特征部分进行分析。

只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界在动力分析中将转换为既能受压也能受拉的单元或边界进行分析。

如果要考虑只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界的非线性特征进行动力分析应该使用边界条件>一般连接中的间隙和钩来模拟。

2.关于分析方法选项目前有振型叠加法、直接积分法、静力法三个选项。

这三个选项是指解动力方程的方法。

结构动力学大作业(威尔逊- 法）姓名：学号:班级：专业：威尔逊—θ法原理及应用【摘要】在求解单自由度体系振动方程时我们用了常加速度法及线加速度法等数值分析方法。

在多自由度体系中，也有类似求解方法,即中心差分法及威尔逊—θ法。

实际上后两种方法也能求解单自由度体系振动方程。

对于数值方法，有三个重要要求：收敛性、稳定性及精度。

本文推导了威尔逊-θ法的公式，并利用MATLAB 编程来研究单自由度体系的动力特性。

【关键词】威尔逊—θ法 冲击荷载 阻尼比【正文】威尔逊-θ法可以很方便的求解任意荷载作用下单自由度体系振动问题。

实际上,当 1.37θ>时，威尔逊—θ法是无条件收敛的. 一、威尔逊—θ法的原理威尔逊-θ法是线性加速度法的一种拓展（当1θ=时,两者相同），其基本思路和实现方法是求出在时间段[],t t t θ+∆时刻的运动，其中1θ≥,然后通过内插得到i t t +∆时刻的运动（见图 1。

1)。

图 1。

11、公式推导推导由t 时刻的状态求t t θ+∆时刻的状态的递推公式:{}{}{}{})(t t t t t yy t y y -∆+=∆++θτθτ对τ积分{}{}{}{}{})(22t t t t t t yy t y y y-∆++=∆++θτθττ{}{}{}{}{}{})(6232t t t t t t t yy t y y y y -∆+++=∆++θτθτττt ∆=θτ{}{}{}{}{})(21t t t t t t t yy t y t y y -∆+∆+=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{})2(6)(2t t t t t tt yy t y t y y +∆+∆+=∆+∆+θθθθ {}{}{}{}{}t t t t t t t y y t y y t y26)()(62-∆--∆=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{}t t t t t t t yty y y t y22)(3∆---∆=∆+∆+θθθθ[]{}[]{}[]{}{}P y k y C ym =++ []{}[]{}[]{}{}t t t t t t t t P y k y C y m ∆+∆+∆+∆+=++θθθθ[]{}{}t t tt R y k ∆+∆+=θθ[][][][]c tm t k k ∆+∆+=θθ3)(62[]{}{}{}[]{}{}{}[]{}{}{})223()26)(6()(2t tt t t t t tt ty ty y t c y y t y t m P P P R ∆++∆++∆+∆+-+=∆+θθθθθ2、MA TLAB 源程序: clc;clear;K=input （’请输入结构刚度k （N/m ）')； M=input （'请输入质量（kg ）')；C=input （’请输入阻尼（N ＊s/m ）'）; t=sym （’t ’);%产生符号对象t Pt=input(’请输入荷载）;Tp=input （’请输入荷载加载时长（s)')； Tu=input （'请输入需要计算的时间长度(s ） ’）； dt=input （'请输入积分步长（s)'）; Sita=input('请输入θ’）;uds=0：dt:Tu;％确定各积分步时刻pds=0：dt：Tp;Lu=length（uds）;Lp=length（pds）;if isa(Pt,'sym'）%荷载为函数P=subs(Pt,t，uds）; %将荷载在各时间步离散if Lu〉LpP（Lp+1:Lu)=0;endelseif isnumeric（Pt）%荷载为散点if Lu〈=LpP=Pt(1:Lu)；elseP(1:Lp)=Pt;P(Lp+1：Lu）=0；endendy=zeros（1,Lu)；％给位移矩阵分配空间y1=zeros(1,Lu);％给速度矩阵分配空间y2=zeros(1，Lu)；%给加速度矩阵分配空间pp=zeros(1,Lu-1);％给广义力矩阵分配空间yy=zeros(1，Lu-1)；％给y（t+theta*t）矩阵分配FF=zeros（1，Lu);%给内力矩阵分配空间y(1)=input('请输入初位移(m)’）；y1（1）=input（’请输入初速度(m/s)');％——-—-——-———--———--初始计算-—-—------———————--——--——y2(1)=(P(1）—C＊y1(1)-K*y（1)）/M；％初始加速度FF（1）=P(1）-M＊y2(1）；l=6/（Sita*dt）^2；q=3/(Sita*dt);r=6/（Sita＊dt);s=Sita＊dt/2；for z=1:Lu—1kk=K+l＊M+q*C;pp(z)=P（z)+Sita＊（P（z+1）—P(z））+(l＊y（z）+r＊y1（z）+2＊y2（z))＊M+（q*y(z）+2＊y1（z）+s＊y2（z)）*C；yy（z)=pp（z）/kk;y2（z+1）=l/Sita＊（yy（z)—y（z)）-l＊dt＊y1(z)+（1-3/Sita）*y2（z）；y1（z+1）=y1（z）+dt/2*（y2（z+1)+y2(zp));y(z+1）=y（z）+y1(z)*dt+dt＊dt/6*(y2(z+1)+2＊y2(z））；FF(z+1）=P(z+1）—M*y2(z+1）;endplot （uds ，y ，’r ’）,xlabel('时间 t ’）,ylabel('位移 y ’），title （'位移图形’） 二、利用威尔逊-θ法求冲击荷载下的结构反应1、矩形脉冲研究不同时长脉冲作用下，体系振动位移。

中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法与精确解的误差分析作者：于津津贾慧敏宋敏来源：《教育周报·教育论坛》2018年第05期摘要：在动荷载作用下的物体位移、速度和加速度的计算中，中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法三类方法都是可取的，为结构动力学的理论研究提供了参考。

但三类方法与精确值之间均存在一定的误差，本文基于这一问题进行研究和计算，通过图表展示这三类方法与精确值之间的关系。

关键词：结构动力学;中心差分法;纽马克法;威尔逊-θ法一、引言：结构动响应的数值计算问题，主要针对多自由或者连续体经过空间散离后建立的二阶常微分方程组形式的运动控制方程：[M] {¨x}+[ C] {﹒x}+[ K ]{x}=Q ;;（1）为了探究三种方法相较于精确解的误差，用如下具体问题进行具体分析。

如图1所示，该体系在冲击荷载 p（t）=[0 10]T 作用下，求该体系的位移反应表达式，质量单位Kg，弹簧k单位N/cm。

另：自由振动的周期T1=4.45，T2=2.8，使用中心差分法计算，取时间步长Δt=0.1，T2=0.28，并假定X0=0;V0=0试计算这个系统在前12个时间步长的反应。

取δ=0.25，γ=0.5，用纽马克法计算该系统的动力反应。

取θ=1.4，用威尔逊-θ法计算该系统的反应。

二、计算方法简介1、精确解计算根据精确解的计算公式可得：X1（t）=1-5/3×cos（2^0.5×t）+2/3×cos（5^0.5×t）X2（t）;=3-5/3×cos（2^0.5×t）-4/3×cos（5^0.5×t）速度的计算公式为位移的导数，加速度的公式为速度的导数。

（下同）2、中心差分法用位移向前一步的差分表示的速度后一步的差分表示的速度的平均来确定当前时刻的速度，得到以当前时刻t为中心的前后时刻位移的差分表示的速度，即：若：x=x0-1/（2×a1）×d x0+1/（2×a0）×d2x0; ;x1（t）=x0（1）;x2（t）=x0（2）;3、纽马克法当在t时刻的响应{x}t，{﹒x}t，{¨x}t，已知时，要求下一时刻t+Δt的响应值{x} t+Δt，{﹒x} t+Δt，{¨x} t+Δt，令在待求时刻动力学方程成立，即：{﹒x} t+Δt={﹒x}t+Δt（1-γ）{¨x} t +γΔt{¨x} t+Δt ;;（2）{x} t+Δt={x}t+{﹒x}tΔt+（0.5-δ）{¨x} tΔt^2+δ{¨x} t+ΔtΔt^2 ;（3）β，γ为按积分精度和稳定性要求而确定的参数，由式3可解得：1/{¨X}t+Δt;=βΔt 2（{X}t+Δt -{x}t）-βΔt ×1/{﹒x}t-（2β-1） ×1/{¨x}t ;;（4）将（4）带入（2）得：{﹒x}t+Δt =γ/βΔt 2×（{x}t+Δt -{x}t）+（1 –γ/β）{﹒x}t +（1 -1/2β）t{¨x}t ;;（5）{x}t +Δt 可由t +Δt 时刻的运动方程求得，即：[M]{¨X}t+Δt +[C]{¨X}t +Δt +[K]{X}t +Δt =[F] t +Δt ;;（6）將式（4）、式（5）代入式（6），可求得求得{X}t+Δt，后求{﹒X}t +Δt 和{¨X}t +Δt。

第4期王东东等:薪火相传,勇立潮头 厦门大学土木工程学科创办85周年h t t p :ʊjx m u .x m u .e d u .c n d o i :10.6043/j.i s s n .0438-0479.202204100 ㊃序 言㊃薪火相传,勇立潮头厦门大学土木工程学科创办85周年厦门大学工科的办学历史始于1922年设立的工学部.1923年,工学部改为工科.1924年,工科归并到理科,下设工程学系,毕业于爱丁堡大学土木工程专业的田渊添教授任物理学系主任兼工程学系主任.1926年,工程学系独立为工科,下设土木工程系㊁电气工程系㊁机械工程系.1927年,工科停办.1937年,在国家危亡㊁中华民族全面抗战的艰难岁月里,时任校长萨本栋教授考虑到战后国家急需建设人才,于7月30日宣布复办土木工程系,并亲自兼任土木工程系主任.厦门大学土木工程学科从此正式创办,时光荏苒,距今已85载.1938—1953年,厦门大学土木工程系共培养了13届毕业生,合计296人,其中新中国成立前9届176人,新中国成立后4届120人,为国家和社会输送了一大批优秀的土木工程专业人才.这其中包括:著名岩土工程专家㊁1939级校友曾国熙先生,随机结构动力学著名学者㊁美国工程院院士㊁1941级校友林幼堃先生,原台湾省考试院考试委员㊁1941级校友卢衍祺先生,全国工程勘察设计大师㊁青藏铁路副总设计师㊁1943级校友吴自迪先生,著名固体力学家㊁1944级校友刘鸿文先生,原台湾省公路局局长㊁1945级校友严启昌先生,中国煤炭科工集团首席科学家㊁中国工程院院士㊁1952级校友洪伯潜先生等这一时期毕业生的杰出代表.1953年全国院校大调整,厦门大学土木工程系师生内迁并入浙江大学㊁华东水利学院等兄弟院校.1999年经教育部批准,厦门大学恢复了土木工程专业,2003年获结构工程 硕士学位授权点,2004年复办土木工程系,2005年获得土木工程 一级学科和 建筑与土木工程(土木水利) 专业学位硕士授权点.随后,厦门大学土木工程学科进入了一个快速发展时期,2012年入选福建省重点学科,2015年设置了 建筑环境监测与防护 二级学科博士点,2017年成立厦门市交通基础设施智能管养工程技术研究中心 ,2022年获批 福建省滨海土木工程仿真重点实验室 .土木工程专业2014年通过了住房城乡建设部高等教育土木工程专业评估,2018年通过了全国工程教育认证.2019年入选福建省一流本科专业建设点,2022年入选国家级一流本科专业建设点.在土木工程专业恢复后的二十多年时间里,培养本科生1290名,研究生393名,80%以上的毕业生在政府机关㊁事业单位㊁大型国企等单位从事建设工程管理㊁设计㊁施工等工作,数十位毕业生在双一流大学等重点高校任教,其中4名毕业生入选国家级青年人才计划.目前,厦门大学土木工程学科有教师37人,其中教授11人㊁副教授12人㊁助理教授8人㊁工程厦门大学学报(自然科学版)2022年h t t p :ʊj x m u .x m u .e d u .c n 技术系列6人.专任教师中,国家优秀青年科学基金获得者1人,教育部新世纪优秀人才3人, 闽江学者 特聘教授1人,福建省杰出青年科学基金获得者1人,福建省科技创新领军人才2人,福建省教学名师1人,福建省新世纪优秀人才3人,福建省教学团队1个,福建省研究生导师团队2个.近年来,土木工程学科结合国家发展和地方需求,在结构健康监测与损伤识别㊁结构高性能数值仿真㊁重大工程防灾减灾与韧性评估等领域进行了深入的研究,形成了具有鲜明特色的研究成果.与此同时,学科教师充分发挥专业优势,积极参与厦门大学马来西亚校区建设,主动服务国家 一带一路 战略,在校区设计㊁组织和实施等方面作出了重要贡献.值此厦门大学土木工程学科创办85周年之际,‘厦门大学学报“(自然科学版)特别组织了该专题,希望通过专题展示厦门大学土木工程学科的最新研究成果,供相关领域研究人员参考.本专题包含12篇研究论文,内容涵盖了结构监测与振动控制㊁结构数值仿真和工程应用研究3个研究方向.结构监测与振动控制领域的论文包括:张建霖等撰写的 带伸臂超高层建筑风振控制方法对比分析 ,该文针对超高层建筑研究了设置调谐质量阻尼器㊁伸臂加强层阻尼体系以及两者混合控制的方案,优化了振动控制效果;雷鹰等撰写的 考虑结构质量未知的非链式结构系统识别方法 ,该文针对结构质量未知的非链式结构系统的识别,提出了一种仅需要观测结构部分加速度响应的扩展卡尔曼滤波方法;张建国等撰写的 某大跨度拱桥的台风抖振响应分析 ,该文对影响厦门地区的台风 苏迪罗 的近地风场特性进行了实测和分析,详细分析了其对某沿海大跨度拱桥的影响;刘中华等撰写的 多模态耦合的覆冰导线风致舞动分析 ,该文提出了一种覆冰导线面内-面外-扭转多阶模态耦合的非线性动力分析模型,分析了脉动风下覆冰导线各阶模态舞动特性.结构数值仿真领域的论文包括:王东东等撰写的 基于数据非线性预处理的结构动力响应贝叶斯回归代理模型 ,该文通过发展有限元动力分析数据的非线性预处理技术,提出了基于机器学习的一种结构动力响应贝叶斯回归代理模型,明显提升了有限元动力分析效率;古泉等撰写的 基于滑动单元的高速磁浮列车-轨道梁耦合系统的动力相互作用分析 ,该文在O p e n S e e s 平台上开发了二维平面内高速磁浮列车-轨道梁耦合系统的有限元模型,探讨了磁浮列车与桥梁的动力响应;雷家艳等撰写的 基于计算扰动修正的W i l s o n -θ法稳定性和精度分析,该文基于计算扰动的概念来量化W i l s o n -θ法中每一步中存在的计算误差,然后通过计算扰动再分配改进了方法的精度;陈昌萍等撰写的 海面上下击暴流风场特性模拟及分析 ,该文通过数值模拟,研究了二维下击暴流作用于海洋上层水域的风场特性与风浪分布.工程应用研究领域的论文包括:李庶林等撰写的 削扩支盘桩承载力的抗拔测试研究 ,该文针对厦门英蓝国际金融中心工程,通过抗拔承载力与变形测试分析了削扩支盘桩的承载力特性,提出了工程改进措施;高婧等撰写的 基于振动测试和模态分析的泵站安全研究 ,该文通过数值仿真和现场实测,详细研究了江东泵站的振动特性,提出了减振措施;陈东霞等撰写的 干湿循环下花岗岩残积土裂隙演化及其对边坡稳定性 ,该文通过干湿循环和直剪试验研究了东南沿海地区花岗岩残积土的粘聚力与裂隙度关系,分析了残积土边坡稳定性;雷家艳等撰写的 刚性吊杆拱桥主要受力构件冲击效应差异性 ,该文依托厦门天圆大桥,通过三维车桥耦合振动体系的数值模拟,研究了拱梁组合体系主要构件的冲击效应.在 厦门大学土木工程学科创办85周年专题出版之际,我们衷心感谢论文作者和‘厦门大学学报“编辑部的大力支持!王东东 张建国 张建霖厦门大学建筑与土木工程学院2022年4月㊃815㊃。

中心差分法、纽马克法和威尔逊—θ法与精确解的误差分析作者：于津津贾慧敏宋敏来源：《教育周报·教育论坛》2018年第24期摘要：在动荷载作用下的物体位移、速度和加速度的计算中，中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法三类方法都是可取的，为结构动力学的理论研究提供了参考。

但三类方法与精确值之间均存在一定的误差，本文基于这一问题进行研究和计算，通过图表展示这三类方法与精确值之间的关系。

关键词：结构动力学；中心差分法；纽马克法；威尔逊-θ法一、引言：结构动响应的数值计算问题，主要针对多自由或者连续体经过空间散离后建立的二阶常微分方程组形式的运动控制方程：[M] {¨x}+[ C] {﹒x}+[ K ]{x}=Q （1）为了探究三种方法相较于精确解的误差，用如下具体问题进行具体分析。

如图1所示，该体系在冲击荷载 p（t）=[0 10]T 作用下，求该体系的位移反应表达式，质量单位Kg，弹簧k 单位N/cm。

P1 P2图1另：自由振动的周期T1=4.45，T2=2.8，使用中心差分法计算，取时间步长Δt=0.1，T2=0.28，并假定X0=0；V0=0试计算这个系统在前12个时间步长的反应。

取δ=0.25，γ=0.5，用纽马克法计算该系统的动力反应。

取θ=1.4，用威尔逊-θ法计算该系统的反应。

二、计算方法简介1、精确解计算根据精确解的计算公式可得：X1（t） =1-5/3×cos（2^0.5×t）+2/3×cos（5^0.5×t）X2（t） =3-5/3×cos（2^0.5×t）-4/3×cos（5^0.5×t）速度的計算公式为位移的导数，加速度的公式为速度的导数。

（下同）2、中心差分法用位移向前一步的差分表示的速度后一步的差分表示的速度的平均来确定当前时刻的速度，得到以当前时刻t为中心的前后时刻位移的差分表示的速度，即：若：x=x0-1/（2×a1）×dx0+1/（2×a0）×d2x0； x1（t）=x0（1）；x2（t）=x0（2）；3、纽马克法当在t时刻的响应{x}t，{﹒x}t，{¨x}t，已知时，要求下一时刻t+Δt的响应值{x} t+Δt，{﹒x} t+Δt，{¨x} t+Δt，令在待求时刻动力学方程成立，即：{﹒x} t+Δt={﹒x}t+Δt（1-γ）{¨x} t +γΔt{¨x} t+Δt （2）{x} t+Δt={x}t+{﹒x}tΔt+（0.5-δ）{¨x} tΔt^2+δ{¨x} t+ΔtΔt^2 （3）β，γ为按积分精度和稳定性要求而确定的参数，由式3可解得：1/{¨X}t+Δt =βΔt 2（{X}t+Δt -{x}t）-βΔt ×1/{﹒x}t-（2β-1） ×1/{¨x}t （4）将（4）带入（2）得：{﹒x}t+Δt =γ/βΔt 2×（{x}t+Δt -{x}t）+（1 –γ/β）{﹒x}t +（1 -1/2β）t{¨x}t （5）{x}t +Δt 可由t +Δt 时刻的运动方程求得，即：[M]{¨X}t+Δt +[C]{¨X}t +Δt +[K]{X}t +Δt =[F] t +Δt （6）将式（4）、式（5）代入式（6），可求得求得{X}t+Δt，后求{﹒X}t +Δt 和{¨X}t +Δt。

基于Wilson-θ和Newmark-β法的非线性动力学方程改进算法刘广;刘济科;陈衍茂【摘要】When using Wilson-θ or Newmark-β method to solve nonlinear dynamic equations,usually,we rewrite the equations in the form of incremental equilibrium equations.The coefficient matrix has to be updated in each integral step according to the state variables.In essence,this procedure is to linearize the considered nonlinear system in a single time step.It is usually difficult,however,to handle some strongly nonlinear problems with multiple-degrees-of-freedom.By using an incremental process,in the paper a new fast algorithm was proposed based on Wilson-θ method or Newmark-β method.According to the obtained solution at one time point,we present an initial guessed solution at the next time instant.Then the guessed solution can converge to the true solution via iterative corrections.Numerical examples show that,using the presented fast algorithm together with Wilson-θ method or Newmark-β method,one can get highly accurate solutions.Moreover,the presented algorithm can provide us with a simple way to adjust the convergence as necessary.As the presented methods avoid linearization of the considered nonlinear dynamic systems,they are not only more applicable but also more computationally efficient.%Wilson-θ法和Newmark-β法是非线性动力学方程求解的常用方法.它们的一个基本步骤是,将方程改写为增量平衡的形式,在每一个积分步长内用状态参量修正平衡方程的系数矩阵,其本质是在单个步长内对系统的非线性环节进行了线性化处理.本文基于增量思想分别改进了Wilson-θ法和Newmark-β法,根据即时解给出下一步的猜测解,然后对猜测解进行迭代校正,最终得到收敛的近似解.算例表明,改进算法的精度更高,且收敛准则简单.更为重要的是,本文方法无须对非线性项进行线性化处理,因而计算效率更高,适应范围更广.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】7页(P433-439)【关键词】Wilson-θ法;Newmark-β法;非线性动力学方程;猜测解;迭代校正【作者】刘广;刘济科;陈衍茂【作者单位】中山大学力学系,广州 510275;中山大学力学系,广州 510275;中山大学力学系,广州 510275【正文语种】中文【中图分类】O322Wilson-θ 法和 Newmark-β 法都是动力学方程数值计算常用的经典方法[1-5]。

多自由度体系wilson-θ法程序编写多自由度体系Wilson-θ法是一种广泛应用于多体动力学和结构动力学领域的数值计算方法。

本文将介绍如何使用Python编程语言编写多自由度体系Wilson-θ法的程序。

一、引言多自由度体系Wilson-θ法是一种基于有限元法的数值计算方法，适用于求解多体动力学和结构动力学中的问题。

该方法通过将体系分解为一系列有限元子系统，并采用θ矩阵方法进行求解，能够有效地处理大规模的多自由度体系。

二、程序编写1. 导入必要的库和模块在编写程序之前，需要导入必要的库和模块，包括numpy、scipy 和matplotlib等。

这些库提供了必要的数学运算、数值分析和图形绘制等功能。

2. 定义体系结构和有限元节点首先需要定义多自由度体系的结构和有限元节点的位置。

可以使用网格划分工具将体系划分为有限元网格，并定义每个节点的位置和编号。

3. 构建有限元矩阵和求解器使用Wilson-θ法进行数值计算，需要构建有限元矩阵和求解器。

该矩阵可以采用三角矩阵的形式进行表示，并使用θ矩阵方法进行求解。

在程序中，需要实现矩阵的构建、求解器的初始化等操作。

4. 迭代求解体系响应使用构建好的矩阵和求解器，可以进行迭代求解多自由度体系的响应。

在每次迭代中，需要输入当前时刻的体系响应作为初值，并输出下一时刻的响应结果。

5. 结果可视化最后，可以使用matplotlib等库将求解得到的响应结果进行可视化。

可以将时间历程、振型、频率响应等结果进行绘制，以便更好地分析体系的动态特性。

三、示例代码以下是一个简单的示例代码，用于演示如何使用Python编程语言编写多自由度体系Wilson-θ法的程序。

代码中假设体系由3个自由度的弹簧-质量系统组成，采用三角形矩阵进行求解。

```pythonimport numpy as npfrom scipy.sparse import csc_matrix, dia_matriximport matplotlib.pyplot as plt# 定义体系结构和有限元节点nodes = np.array([[0], [0.5], [1]]) # 节点位置数组degrees_of_freedom = 3 # 自由度数量system_size = len(nodes) # 体系大小node_indices = np.arange(system_size) # 节点编号数组# 构建有限元矩阵和求解器theta_matrix = csc_matrix(dia_matrix(system_size - degrees_of_freedom, 0)) # θ矩阵mass_matrix = csc_matrix(np.diag([0.5, 0.5, 1])) # 质量矩阵solution = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 初始响应数组forces = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 输出力数组forces[:degrees_of_freedom] = np.zeros((system_size, degrees_of_freedom)) # 初始输出力数组为零向量solver = theta_matrix.dot(solution) +theta_matrix.dot(forces) + mass_matrix # 初始化求解器theta_vector = np.zeros(system_size) # θ向量用于控制有限元矩阵的构造和更新# 进行迭代求解体系响应for iteration in range(100): # 迭代次数限制为100次response = solver.dot(theta_vector) # 输入当前时刻的响应作为初值进行迭代求解下一时刻的响应结果输出为力向量output_forces在每个节点上作用在体系的上结果可与theta向量用于控制有限元矩阵的构造和更新为了演示程序的基本结构和流程以上给出了一个简单的示例代码其中包含的主要内容有定义体系结构和有限元节点构建有限元矩阵和求解器以及进行迭代求解体系响应结果可视化等当然在实际应用中可能还需要考虑更多的因素例如如何处理边界条件如何处理体系的非线性特性等等因此在实际应用中需要根据具体问题对程序进行适当的修改和优化以下是一些可能需要的注意事项和技巧：1. 选择合适的有限元网格划分工具和算法，以确保计算的精度和效率。