平面平行力系平衡方程文本.

MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程，即
F，平衡锤重WQ，已知W、F、a、b、e、l，欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒，求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1）考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin（a+b）WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系
平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零（假如 主矢、主矩有一个不等于零，则平面力系就可以简化为合力或合力 偶，力系就不平衡）。因此，平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零，即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下： 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交 点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。

01
02
03
04
仅适用于小变形的情况
对于大变形或复杂的结构，需 要使用更高级的力学理论
仅适用于线性弹性材料
对于非线性弹性材料或塑性材 料，需要使用更高级的材料模
型
04
平面任意力系平衡方 程的优化与改进
优化求解算法
线性化求解
将平衡方程转化为线性方程，降 低求解难度，提高求解速度。
迭代法优化
采用更高效的迭代算法，如牛顿法 、拟牛顿法等，加快收敛速度。
03
平面任意力系平衡方 程的适用范围
适用场景与条件
适用于平面任意力系 的平衡问题
力的作用点可以不在 物体的重心上
物体处于平衡状态， 即没有加速度或速度
不适用场景与原因
不适用于空间力系的平衡问题
不适用于具有加速度或速度的 物体
力的作用点不在物体的重心上 时，需要考虑科氏力等因素
限制因素与局限性
平衡状态
物体在受到一组的力作用后，如果处 于静止或匀速直线运动状态，则称该 物体处于平衡状态。
平衡方程
对于平面任意力系，其平衡方程为合 力为零，即合力在x轴和y轴上的投影 分别为零。
02
平面任意力系的平衡 方程
平衡方程的推导
1 2 3
静力平衡
在无外力作用下，物体处于静止状态，此时物体 内部各部分之间无相对运动趋势，处于平衡状态 。
并行计算
利用多核CPU或分布式计算资源， 实现并行计算，大幅缩短求解时间 。
提高计算精度
精细化建模
采用更高精度的物理模型，提高 方程的准确性和精度。
高阶有限元方法
采用高阶有限元方法，降低误差 ，提高计算精度。
自适应步长控制
根据误差大小自动调整步长，确 保计算的稳定性和精度。

刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
重庆大学出版社
建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
重庆大学出版社
建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
重庆大学出版社
建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：

10
例题二的解答
解：选取研究对象：杆CE（带有销 钉D）以及滑轮、绳索、重物组成 的系统（小系统）受力分析如图， 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
29
滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶Ｍ 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： ◆ 其大小由平衡条件确定； ◆ 转向与滚动趋势相反； ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时， Ｍ = Ｍ max =δFN
式中：δ —滚动摩擦系数，它的量纲为长度； FN —法向反力（一般由平衡条件确定）。
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
16
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
2012年11月3日星期六
x
xC
x
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
5
平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)

未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
（未知量不能全部由平衡方程求解）
物体系的平衡·静定和超静定问题
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
∑ M B = 0 −8FAy + 5*8 +10*6 +10* 4 +10* 2 = 0
得 FAy = 20kN ∑ Fiy = 0 FAy + FBy − 40 = 0
得 FBy = 20kN
求各杆内力
取节点A
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
Fiy Fix
= =
0 0
→ →
FAD FAC
取节点C
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
解得 P3max=350kN
22mm 22mm
所以，平衡载重P3取值范围为：
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
（2）P3=180kN时：
∑ M A = 0 4P3 − 2P2 −14P1 + 4FB = 0
解得 FB=870kN
∑ Fy = 0 FA + FB − P1 − P2 − P3 = 0
∑M =0
FA'
⋅r
sinθ
− M2
=
0
解得 M 2 = 8kN ⋅m
FB = FA = 8kN
例
已知：OA=R，AB=
l,
r F
,
不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡；
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，滑块给导 轨的侧压力.

第 3 章 力系的平衡
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R

0，M O

0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则

G sin cos

G sin cos( )
cos( ) 1,

arctan 3
3652'
Pmin

G sin

20

3 5

12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q

G(b
e) 50b a

Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。

原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0

第四章 平面力系的简化与平衡方程
工程实例：
厂房吊车梁实例：
平面任意力系：
本章任务：
（1）掌握平面任意力系向一点的简化---主矢 和主矩 （2）掌握平面任意力系的平衡条件· 平衡方程 （3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩 擦的物系平衡问题的处理）
一、平面一般力系向一点(简化中心O点)简化：
解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；
（2）列平衡方程， 求解未知力。 ∑X=0，XA +qL =0 XA A
1.5L
q
B
NB
L
X
∑Y=0，YA +NB
=0
YA
∑ mA（Fi）=0 1.5LNB -0.5L×qL =0
XA =-qL(←)
NB =qL/3
YA = -qL/3(↓)
[例4-4]十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在 水平力P的作用下各支座的约束反力。
[例4-1] 在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有 F1、 F2 、 F3 、F4等四个力，如图所示。已知F1=40N，F2=60N， F3=60N，F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。
解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7N R′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°- 80cos30°=-106.1N R′=√(R′ x)2+(R′ y)2=122.4N cos=60.7/122.4 , =60.27°
1.若R´=0，Mo=0，原力 系为平衡力系，物体处于 平衡状态。
平衡
2．若 R´=0，Mo≠0， 原力系与一力偶等效， 其力偶矩就是原力系 的 主矩。并且简化结 果与 简化中心位置无关。

F1
F3 F2
M1 F1
M3 F3
M2 F2
F1 M
F3
F
F2
(三)平面任意力系
2、平面任意力系的平衡条件及方程平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和力系对任一点O的主矩分别等于零
∑FR=0
∑M=0
用解析式表示 ∑Fx=0
∑Fy=0
∑MA（F）=0
上式共有3个独立方程，可求解三个未知量
(三)平面任意力系
也可以表示为两力矩形式，即
∑Mo(F)=0
∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0
但AB连线不能与诸力平行，此平衡方程有两个，只能解两个未知量
(三)平面任意力系
各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系，又称为平面一般力系 平面任意力系向一点简化如图所示由图可知，平面任意力系向作用面内一点简化， 可得到一个主矢F和一个主矩M
(1)力在坐标轴上的投影：
已知力F作用于构件的点A(图a)，
A
在力F作用线所在平面建立直角坐标系Oxy， 从力P的始点A和末端点B分别向x轴、 y轴作垂足a、b和a、b，通常F在x轴
图a y
上投影用Fx表示，在y轴上的投影用Fy 表示，Fx，Fy是力F沿x轴、y轴分解所 得到的两交分力，其正负号规定为： 若投影的指向与坐标轴正向一致为正，
(四)考虑摩擦时平衡方程的解法
2、摩擦角
将全约束反力与法线间夹角的最大值称为摩擦角
F
a FN
FT
当FT达到最大值FTmax时，a也达到最大值，即 tanØ m= Fmax/FN=us. FN/FN=us即： 摩擦角的正切值等于静摩擦系数
F Ø m FN
FTmax

FL
11
答案：
m
FA y
A
F Ax
A
AB梁:
Q 1 qL 2
Fx 0
B
F Ax 0
Fy 0
F Ay Q 0
1 F Ay 2 qL
mA 0
mA
Q
L 3
0
mA
qL2 6
12
其他例题
P92-94例5-2，例5-3，例5-5 。
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梁的自重不计
求：A、B支座反力。 解：取简支梁AB为研究对象
Q
1 2
qc
L 2
3kN
AD 2 L L 2m 32 3
yQ F
F L/3 L
x
αF
mA 0
F B cos 300 L m Q AD 0
F B 1.54kN （ ）
FX 0
α
F Ax F B sin 300 0
e G1
由(4)、(5)式 得：
G3
G1(b a
e)
6
A
B
FN A
b
FN B
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致
翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件为：
G2L G1e ab
G3
G1(b a
e)
8
例4.匀质刚杆ABC
θ
FA
P
θ θ
θ 2P
已知: BC=2AB=2L
mA 0
求：当刚杆ABC平衡时 BC与水平面的倾角θ? 解：取刚杆ABC为研究
2P
L
cos
L
cos(900
)
P
L 2
cos(900

节 点 为 铆 接
杆件的截取
FA
A B
FB
n
轴向
FA
A
FN FN
B
FB
假设为拉力
二、平面桁架平衡时各杆的内力计算 1、节点法
取各节点为研究对象
各节点上的力系都是平面汇交力系
节点法就是逐个取各节点为研究对象，根据平 面汇交力系的平衡条件，求出各杆的内力。 假设各杆内力为拉力
FP FP C
30°

q FAx MA
A l
M
FAx F cos 45 0.707 F
45
B x
F
FAy
1 2 M A ql 0.707 Fl M 2
FAy ql 0.707 F
平面平行力系
y
F2
F
x
0
Ｏ
F1
F3
Fn
x
独立平衡方程
Fyi 0 M ( F ) 0 o
M
B
F2
60
解： 1. 研究对象:梁AB 受力分析如图。 2. 列平衡方程。
l2
l1
M
A
(F ) 0

FByl2 M F1l1 F2 (l1 l2 ) sin 60 0, FBy 3.56 kN
F 0 , FAx F2 cos 60 0 FAx 0.75 kN x
A

K C
B Ⅰ
FEy
E
Ⅱ
E
FEx
Ⅱ
G
G
三个未知量：FA，FEx，FEy，可解。
已知G，求：A，E约束力及BD杆的力。
D A D
FDB

研究方法：几何法，解析法。
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡

FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
解：取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
FE' 12.5kN
取右边刚架,画受力图. M C 0 6FBy 10FBx 4P FE 0 解得
M
A
0 MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得： FAx 316.4kN FAy 300kN
MA 1188kN m
已知： P kN, P2 200kN, 尺寸如图； 1 700 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
解得
FDB
3 2 ( 拉) P 8
求:
力偶矩M 的大小，轴承O处 的约束力，连杆AB受力，冲 头给导轨的侧压力。 取冲头B,画受力图. Fiy 0 F FB cos 0
解:
F
ix
0 FN FB sin 0
FN F tan FR l 2 R2
F Fl 解得： FB cos l 2 R2
三矩式
A, B, C
三个取矩点，不得共线
§3-2
平面平行力系的平衡方程
0 0 0 0 Fx 0 反例力偶 F F F 0 F 0 1 2 3 y Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
取轮,画受力图：
F
ix
0
Fox FA sin 0
Fox

理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）任何第四个方程只是前三个方程的线 性组合，因而不是独立的。
我们可以利用这个方程来校核计算的结果。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
四、平面平行力系
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1．平面平行力系是平面任意力系的一种特 殊情形。 2．如图3-10 所示，设物体受平面平行力系 F1，F2，…，Fn 的作用。如选取 x 轴与各力 垂直，则不必力系是否平衡，每一个力在 x 轴上的投影恒等于零，即 。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q， 重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支 座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程
取坐标系如图3-6 所示，列平面任意力 系的平衡方程，即
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）求解方程
求解以上方程，得
FB 为负值，说明它的方向与假设的方向相 反，即应指向左。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。 c．如果再加上 ，那么力系如 有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

FA 366N
FB 448N
特例2、平面平行力系
当平面内的各力相互平行，设均平行于轴y，
则各力在轴x上的投影恒等于零，即
n
Fix 0
i 1
独立的平衡方程式个数减到两个，为
n
n

Fiy 0,
M O (Fi ) 0
，
i 1
i 1
特例3、平面力偶系
平面力系的主矢为零，即
得:FC=FB=2000N
再取[AD]: Mi=0, M2–FC’L/sinj=0
得：M2=800N·m。
MiO 0
平面任意力系平衡方程的基本形式的三个独 立的， 平衡方程，可求解三个未知量。
多力矩形式
二力矩式： A,B连线不垂直轴x。
n

M A (Fi ) 0,
i 1
n

M B (Fi ) 0,
i 1
n i 1
Fi x

0
矩心A与B连线不能与力投影轴 x垂直
多力矩形式
二力矩式： A,B连线不垂直轴x。
n

M A (Fi ) 0,
i 1
n

M B (Fi ) 0,
i 1
n i 1
Fi x

0
矩心A与B连线不能与力投影轴 x垂直
三力矩式： A,B,C 三点不能共线。
n

M A (Fi ) 0,
i 1
解： 试用三力矩方程
B
M A 0,
2 lF1 5lF 0 l
5F
F1 2
l
M C 0 , F2l 4lF 0

20
[例6] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
根据∑mi=0有:
解: 各力偶的合力偶距为
m m1 m2 m3 m4 4(15) 60N m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
y
F2
O
F1
x
mO (Fi ) 0
于是，由平面一般力系平衡方 程的基本形式，得平面汇交力 系的平衡方程：
Fn
∑FXi=0
∑FYi=0
18
三、平面平行力系的平衡方程
图示平行力系， 取如图所示直角坐标系，则
y
F1
O
F2 Fn
∑FXi≡0 于是，由平面一般力系平衡方程的 基本形式及二力矩式，得平面平行 力系的平衡方程：
0.45m
d
mA 1m
B
0.5m 0.45m
FAy
W1
W2
mA(Fi) = 0
mA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0
mA = 5.043 kN.m
11
例题2-5. 一容器连同
2m
盛装物共重W=10kN,
作用在容器上的风荷
载q=1kN/m,在容器的
Fxi= 0 投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.
(c)三力矩式
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 mC(Fi) = 0
三个矩心A ,B 和 C不在一直线上.
2
FX i 0 FY i 0
mO (Fi ) 0
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 Fxi= 0

G3 A
1.8 m
G2 G
G1
2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
FA
FB
例题
3-5
解： 1.取汽车及起重机为研究 取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 对象，受力分析如图。 2.列平衡方程。 列平衡方程。 列平衡方程
G3 G2 G
3.0 m
A
1.8 m
G1
2.0 m
B
2.5 m
∑F = 0,
F y
F
c
C
α
B
FAy
A
FAx
α D C E B xA来自WDaWE
b
解：
WD W
WE
l
1.取伸臂 为研究对象。 取伸臂AB为研究对象 取伸臂 为研究对象。 2.受力分析如图。 受力分析如图。 受力分析如图
3.选如图坐标系，列平衡方程。 3.选如图坐标系，列平衡方程。 选如图坐标系
∑F = 0, ∑Fy = 0, ∑M (F) = 0,
∑F = 0 , ∑F
x
y
= 0,
∑m (F) = 0
O
力系中的各力在其作用平面内两坐轴上的 投影的代数和分 力系中的 各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和 分 各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和 别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。 别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。 对任一点矩的代数和也等于零
∑F = 0,
x
FAx = 0
∑F
y
= 0,
FAy − F + FD = 0
AB −F× + FD × 2 − M = 0 2
y M FAy

a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx