2018届安徽省六安市毛坦厂中学高三下学期四月月考数学(理)试题(word版)

高三理 科 数 学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i iai212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i -2．已知集合{}2|0=-<A x x x ，{}|=<B x x a ,若A B A = ，则实数a 的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，26414a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．12 D ．184．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是A ．3[,0]4-B ．[33- C ．[ D ．2[,0]3-5．下列四个结论中错误的个数是①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件 ③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,, n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,R n ax ax ax a a +++>∈ 的方差为12,则a 的值为2A ．0B ．1C ．2D ．36．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．8(4)π+ B ．8(8)π+ C ．16(4)π+ D ．16(8)π+7．已知向量AB与AC 的夹角为120︒，AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为A ．45B ．45-C ．25D ．25-8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的k 值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则实数k 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1 C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,4110．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2()=--f x x f x ．当(,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ；若(2)()44+--≤+f m f m m ，则实数m 的取值范围是A ．(]1，-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为 ．12．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：33331+2+3+n = ．13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知()lg2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41a b+的最小值是 ． 15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC的中点，cos BAM ∠=, tan AMC ∠=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6BAC π∠=，BC 边上的中线AM的长为，求ABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =．（Ⅰ）证明：OB OA =； （Ⅱ）证明：AB OP ⊥；（Ⅲ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 18．(本小题满分12分)在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率； （Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ． 19．(本小题满分12分)已知数列{}n a 和{}n b 满足1232(N*)n bn a a a a n =∈ ．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，326b b =+．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设1n nc b =-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意N *n ∈，均有n k S S ≥．OBCPM∙20．（本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ．（Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求22PMPF 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知λ∈R ，函数()ln xf x e x x λ=-（ 2.71828e = 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当11,n n ne λ++⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在，求n 的值；若不存在，说明理由．高三理科数学试题参考答案及评分说明1-5 BCABB 6-10 BCBBC 11.1412. ()2214n n +13.144 14.9215.16. 解：（Ⅰ）由cos BAM ∠=得sin BAM ∠=，所以tan 5BAM ∠=……………………………………2分 又AMC BAM B ∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan AMC BAMB AMC BAM AMC BAM∠-∠=∠-∠=+∠∠-== ……………………………………4分 又()0,B π∈ ， 所以23B π= …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=，且6BAC π∠= 所以，6C π=，则AB BC =…7分 设BM x =，则2AB x =在AMB ∆中由余弦定理得2222cos AB BM AB BM B AM +-⋅=，………9分 即2721x =解得x = …………………10分故2124sin 23ABC S x π∆=⨯⨯=． ………………………………12分17. 证明：（Ⅰ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直，所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+……………1分又△ABC 为等边三角形，BC AC =所以=+22OC OA 22OC OB + …………………2分故OB OA = …………………………3分 （Ⅱ）取AB 的中点D ，连接OD 、PD ………4分 因为OB OA =，PB PA =，所以,OD AB PD AB ⊥⊥OD PD D = ，所以AB ⊥平面POD所以AB PO ⊥ …………………6分 （Ⅲ）如图建立空间坐标系因为::AP PO OC ，可设1OC =,则AP PO == 由（Ⅰ）同理可得1OA OB OC === …………………7分 因为222PO AP OA =+，所以 OA AP ⊥ …………………8分所以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C 设(,,)P x y z （0,0,0x y z >>> ）所以222010100126OA AP x x AB OP x y y z x y z OP ⎧⋅=⎧-==⎧⎪⎪⎪⎪⋅=⇒-+=⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪=++=⎩=⎩⎪⎩所以(1,1,2)P …………………………10分平面OAB 的法向量为(0,0,1)OC =设平面POA 的法向量为000(,,)n x y z = 则00002000x y z n OP x n OA ⎧++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩取01,z = 则02y =- 所以(0,2,1)n =-…………………………11分cos OC n OC nθ⋅===⋅ …………………………12分 18. 解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A ，“后两次均取到白球”为事件B ，则()47P A =，()432476535P AB ⨯⨯==⨯⨯．所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”()()()1|5P AB P B A P A ==………………………………4分（或()113211651|5C C P B A C C ==） ……………………………………4分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3． …………………………………………5分212121431(0)18C C P X C C ==⋅=11121221222121434361(1)+183C C C C C P X C C C C ==⋅⋅==21111212222121434391(2)=182C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=2122214321(3)=189C C P X C C ==⋅=． ………………………………………9分X 的分布列为：……………………………10分111150123183293EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………………12分 19. 解：（Ⅰ）解：由题意1232()n bn a a a a n N *=∈ ，326b b =+知323264b b a -==又由14a =，得公比4q =（4q =-，舍去）所以数列{}n a 的通项为2*42()n n n a n N ==∈ ……………………………………3分所以(1)2(1)212322n n n n n a a a a +⨯+==故数列{}n b 的通项为*(1)()n b n n n N =+∈ …………………………………5分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知*1111()()21n n n c n N b n n =-=--∈+…………7分 所以21111111112222231111111221111212n n n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--+-++-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=- ⎪++⎝⎭- ………………9分 ②因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，1(1)[1](1)2n nn n c n n +=-+而11(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=>得5(1)5(51)122n n n +⋅+≤< 所以，当5n ≥时，0n c <；综上，对任意*n N ∈恒有4n S S ≥，故4k = ………………………12分20. 解：（Ⅰ）设直线l 的方程为)(1+=x k y ，设)()()()(44332211y ,x D ,y ,x E ,y ,x B ,y ,x A ．联立方程组⎩⎨⎧=+=xy x k y 412)(，得0422222=+-+k x k x k )(．显然0≠k ，且0>∆，即0442422>--k k )(，得1<k 且0≠k ．得222124k k x x -=+，121=x x ………………………………………………4分122221-=+=kx x x P ，k )k k y P 21122=+-=][(．直线PF 的方程为：)(112--=x k ky ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=xy x k k y 41122)(，得0141212222222222=-++-+-)())(()(k k x k k x k k ， 得21422243+=+kk x x )-(，143=x x ……………………………………6分 若四边形AEBD 为平行四边形，当且仅当222124k k x x -=+43222214x x kk +=+=)-(，即0122=-)(k k ， 得10±=,k ，与1<k 且0≠k 矛盾． …………………………8分 故不存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形 ………………………9分（Ⅱ）222422222222222213131122PF k k k k k k k PMk k ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭===++-++⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………11分由1<k 且0≠k ，得2112k <+<；当21k +=，22PM PF取得最小值3；当112=+k 时，22PMPF 取1；当212k +=时，22PMPF 取12；所以223,1)PF PM∈ ………………………………………13分21. 解证：（Ⅰ）因为()10f =，所以0λ=，此时()ln f x x x =-， 证法一：设曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线经过点2,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭则曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线()000()()y f x f x x x '-=- 所以()00002ln 1ln 3x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭化简得：()0021ln 03x x -+= ………………………………2分令()2()1ln 3h x x x =-+，则232()133x h x x x-'=-=， 所以当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当2,3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 为增函数， 所以222222()1ln ln 0333333h x h ⎛⎫⎛⎫≥=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()0021ln 03x x -+=无解 所以曲线()y f x =的切线都不经过点2,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭………………………………4分 证法二：设曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线经过点()(),0 0M s s > 则曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线()000()()y f x f x x x '-=- 所以()()0000ln 1ln x x x s x =---化简得：()001ln 0x s x -+= ………………………………2分 令()()1ln h x x s x =-+，则()1s x s h x x x-'=-=， 所以当()0,x s ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当(),x s ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数， 所以()()()1ln ln h x h s s s s s s ≥=-+=-，要使()h x 存在零点0x ，则须有ln 0s s -≤，所以ln 0s ≥，即1s ≥，所以曲线()y f x =的切线都不经过点2,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭………………………………4分（Ⅱ）函数的定义域为()0,+∞，因为()()1ln xf x e x λ'=-+，所以()f x 在定义域上不单调，等价于()f x '有变号零点， …………………………………………5分 令()0f x '=，得1ln x x e λ+=，令()1ln xxg x e+=（0x >）． 因为()11ln x g x e x x -⎛⎫'=--⎪⎝⎭，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<，所以()h x 是()0,+∞上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，…………………………………………6分当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增；当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减；故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11g e =， 所以1e λ<，即λ的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭………………………………………8分 （Ⅲ）证法一：函数()f x 的图象在x 轴的上方，即对任意0x >，()0f x >恒成立． ()0f x >⇔ln 0x e x x λ->．令()ln x e F x x x λ=-（0x >）， 所以()()()221111xx x e F x x e x x x xλλ-'⎡⎤=-=--⎣⎦…………………………9分 （1）当1n =时，22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，即22e λ≥ ①当01x <≤时，()0F x '<，()F x 是减函数，所以()()10F x F e λ≥=>； ②当1x >时，()()()211x x x F x e x x λλ⎡⎤-'=-⎢⎥-⎣⎦， 令()()1x x G x e x λ=--，则()()2101x G x e x λ'=+>-，所以()G x 是增函数， 所以当2x ≥时， ()()222220e G x G e λλλ-≥=-=≥，即()0F x '≥ 所以()F x 在[)2,+∞上是增函数，所以()()22ln 21ln 202e F x F λ≥=-≥->，当()1,2x ∈时，取()1,2m ∈，且使()21m e m λ>-，即2211e m e λλ<<-， 则()()2201m m G m e e e m λ=-<-=-， 因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()1,2t ∈，即()F x 有唯一的极值点且为最小值点()1,2t ∈……………………10分所以()()min ln t e F x F t t t λ==-⎡⎤⎣⎦，又()()01t t G t e t λ=-=-，即()1t t e t λ=-， 故()()min 1ln ,1,21F x t t t =-∈⎡⎤⎣⎦-，设()1()ln ,1,21r t t t t =-∈-， 因为()211()01r t t t '=--<-，所以()r t 是()1,2上的减函数， 所以()(2)1ln 20r t r >=->，即()min 0F x >⎡⎤⎣⎦ 所以当22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，对任意0x >，()0f x >恒成立………………12分 （2）当2n ≥时，11n n ne λ++≥，因为1312n n ne e ++<，取32e λ=， 则()32ln ln x x e e F x x x x e x λ=-=-，()23212ln 2ln 202e F e e=-=-<， 所以()0f x >不恒成立，综上所述，存在正整数1n =满足要求，即当22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方 ……………………………14分 证法二：()0f x >恒成立，等价于λ>ln ()x x x P x e =的最大值； 当(]0,1x ∈，ln ()0x x x P x e =≤，所以ln x x x eλ>恒成立………………9分 当()1,x ∈+∞时，ln ()0x x x P x e =>， ()()1ln 11ln 1()1x x xx x x P x e x e ----'==-， 设1()ln 1q x x x =--，()211()01q x xx '=--<-， 所以()q x 在()1,+∞上是减函数，因为(2)1ln 20q =->，1(3)ln 302q =-<， 所以()q x 有唯一零点()2,3t ∈ ……………………………10分 当()1,x t ∈时，()0q x >，即()0P x '>，()P x 是增函数，当(),x t ∈+∞时，()0q x <，即()0P x '<，()P x 是减函数，所以[]()max ln ()t t t P x P t e ==，且1()ln 01q t t t =-=-，所以1ln 1t t =- 所以[]max 1()(1)t tt t t P x e t e -==- ……………………………12分 设()(1)t t M t t e =-，()2,3t ∈所以()221()01t t t M t t e-+-'=<-， 所以()M t 在()2,3上是减函数，所以(3)()(2)M M t M <<， 即3232()2M t e e << ……………………………13分 因为11n n ne λ++≥使()0f x >，所以22e λ≥，只有1n =符合要求， 综上所述，存在正整数1n =满足要求，即当22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方 ……………………………14分。

高三年级五月份考试卷数学(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|4-x-2>0},B={x|4x-3<0},则A∪B=A.(-,)B.RC.(-∞,)D.(-∞,-)2.设复数z1=+2i(x∈R,且x>0),(1+i)z2=x+2+x i,若|z1|≥|z2|,则A.x的最小值为1B.x的最大值为1C.x的最小值为2D.x的最大值为23.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是:个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出;十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为.1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示,则的运算结果可用算筹表示为A.B.C. D.4.(2x-y)4的展开式的中间项为A.24B.24x2y2C.-8D.-8xy35.设x,y满足约束条件则z=2x-y的取值范围为A.[-1,6]B.[-1,5]C.[0,6]D.[0,5]6.在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=6,现有以下四个命题p1:<;p2:△ABC的面积为;p3:>;p4:△ABC中最大角的余弦值为.那么,下列命题中为真命题的是A.p1∧p4B.p3∧p4C.p1∨p2D.(p2)∧(p4)7.执行如图所示的程序框图,若输出的n=3,则输入的t的取值范围为A.[-2,0)B.(-∞,-2]C.[-6,-2)D.(-∞,-6]8.若α∈(0,π),且sin α+2cos α=2,则tan(-)=A.-B.C.-D.9.已知F是椭圆C:+=1的左焦点,P为C上一点,A(1,),则|PA|+|PF|的最小值为A.B.C.4 D.10.若函数f(x)=sin(2x-)与g(x)=cos(x+)都在区间(a,b)(0<a<b<π)上单调递减,则b-a的最大值为A. B. C. D.。

2018-2019学年安徽省毛坦厂中学高一下学期期末考试数学（理）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(2,3)A ，(3,2)B --，则直线AB 的斜率是（ ） A. 1 B. -1C. 5D. -5【答案】A 【解析】 【分析】由23k 32AB --=--,即可得出结果. 【详解】直线AB 的斜率23132k --==--. 【点睛】本题主要考查直线的斜率，属于基础题型.2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，4B π=，a =，则b =（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】A【解析】 【分析】 利用正弦定理sin sin a b A B=，可直接求出b 的值. 【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin 4sin sin3a Bb A ππ⋅===故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。

高三年级数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：现根据一元二次不等式和绝对值不等式求解集合，再根据集合的交集运算，即可得到．详解：因为集合或，集合，所以，故选D．点睛：本题考查集合的运算问题，对于集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．请在此填写本题解析!2. 若（为虚数单位，），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据复数的除法运算，求解复数，利用复数模的公式，即可求解复数的模．详解：因为，所以，故选A．点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A. 46,45B. 45,46C. 46,47D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A............................4. 若在集合中随机取一个元素，则“大于1”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：解不等式可得，以长度为测度，即可求得集合中随机取一个元素，恰使大于1成立的概率.详解：若，可以求得，在集合中随机取大于2的数，满足条件的值所对应的几何度量就是区间的长度等于，而对应的在集合中随机取一个数所对应的几何度量是区间的长度等于，所以对应事件的概率为，故选C.点睛：该题考查的是有关几何概型的问题，在解题的过程中，需要解一个对数不等式，在求解的过程中，需要把握利用对数函数的单调性求解对数不等式，之后需要将对应集合涉及的测度都求出，之后利用概率公式求得结果.5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果.详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知是两条不同的直线，是平面，则下列命题是真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】分析：根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案．详解：若，则或；若，则；若，则与位置关系不确定；若，则或，故选B．点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C.点睛：解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由，结合条件可知直线为的一条对称轴，且，从而可得解.详解：∵,且，在区间上有最小值，无最大值，∴直线为的一条对称轴，∴，∴，又ω>0，∴当时,ω=.易知当时，此时在区间内已存在最大值.故选D.9. 已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由点是抛物线上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.详解：将点坐标代入抛物线方程，得，解得点，据题设分析知，，又为外接球半径），外接圆面积，故选B.点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10. 函数（）的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：判定函数的奇偶性，排除选项，利用函数的单调性，即可判定函数的图象．详解：因为，则，所以函数为奇函数，根据图象排除A、C；由于，即，排除D，故选B．点睛：函数图像问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择支，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等确定图象．11. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，，，又，，，，又，故选A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12. 已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：构造新函数，求导得到的单调性和最值，即可求解．详解：引入函数，则，因为，所以，所以，所以在区间上单调递增，又，所以不等式等价于，又，所以，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得，又函数的定义域为，得，故不等式的解集为，故选C．点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为120°，，则__________．【答案】【解析】分析：根据平面向量的数量积运算的定义，即可得到答案．详解：因为，所以，所以．点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．14. 若，则__________．【答案】【解析】分析：由，根据同角三角函数之间的关系，求出与的值，利用两角差的余弦公式求解即可.详解：由，可得.又，结合，可得.，故答案为.点睛：本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15. 已知实数满足不等式组则的最大值是__________．【答案】12【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.详解：作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 已知为数列的前项和，，若，则__________．【答案】【解析】分析：由已知数列的递推关系式可得数列的所有偶数构成以为首项，以为公比的等比数列，把奇数项转化为偶数项，然后借助于等比数列的前项和求解．详解：由，当为奇数时，，则；当为偶数时，，则，又，所以．点睛：本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，需要进行判断.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）2；（2）【解析】分析：第一问根据题中所给的的值，应用平方关系，求得的值，结合题中的条件的值以及的值，利用正弦定理求得的值，第二问利用面积公式，借助求得的值，再借助的值利用余弦定理，求得，从而借助平方公式求得结果.详解：(1)∵，，∴又，，∴，解得.（2）据题意，得的面积,,∴，即又，，，∴，∴，∴的周长等于.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意应用与该题相关的知识点以及题中所给的量，建立相应的等量关系式，最后求得结果，这里第二问在求解时，要注意整体思维的运用，不用单纯的去求的值，而是需要应用完全平方式求其和即可.18. 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．（l）求每个家庭能中签的概率.（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，房间号分别记为2702,2703；第28层有4套房，房间号分别记为2803,2804,2806,2808．（ⅰ）求该单元27、28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数；（ⅱ）求甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率.【答案】（1）；（2）（ⅰ）2771，（ⅱ）【解析】分析：第一问根据在抽签的过程中每个个体被抽到的概率是相等的，利用公式求得结果；第二问中第一小题将剩下的房间号码相加除以6即可求得平均数，第二小题用列举法求得所有的情况共有15种，而甲、乙两个家庭住在同一楼层的可能情况只有7种，应用公式求得对应事件发生的概率.详解：(Ⅰ) 因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率.（2）（i）该单元27、28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数.（ii）将这6套房编号，记第27层2套房分别为，第28层有4套房分别为，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有共15种.其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有，共7种，所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为.点睛：该题考查的知识点由抽签的时候每个个体被抽到的概率是相等的，一堆数据的平均数的求法，随机事件发生的概率公式，在求解的过程中，需要对题的条件分析好，明确各种问题的求解步骤及公式即可得结果.19. 如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．（l）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：第一问咬住直线与平面平行的判定定理的内容，根据题中的条件，在平面内寻找直线的平行线，从而证得结果，第二问抓住三棱锥的体积公式，利用等级法将三棱锥转化，在题中寻找与其相关的量，来求得三棱锥的底面积和高，利用公式求得结果.详解：(1)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）求解知，直线是的中位线，所以，因为二面角是直二面角，平面平面，平面，，所以平面，又因为，所以点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，题中涉及到平面多边形的翻折，有关线面平行的判定，三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要明确翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的，翻折到什么程度等，还有就是求体积时，等级法的应用.20. 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为. （l）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质，，列出关于、的方程组，求出、，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，又点也在直线上，进而得结果.详解：（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得.又椭圆经过点，所以.所以.所以椭圆的标准方程为.证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为-2.所以可设直线的方程为.据得.设点，，.所以，.所以，.因为，所以.所以点在直线上.又点，也在直线上，所以三点共线.点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数（且）.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）设函数，若存在使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）函数单调递增转化为导数恒为正值，分类讨论求即可；（2）分离参数，转化为求函数的最值，利用导数即可求出最值。

安徽省六安市毛坦厂中学高三下学期四月月考数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：现根据一元二次不等式和绝对值不等式求解集合，再根据集合的交集运算，即可得到．详解：因为集合或，集合，所以，故选D．点睛：本题考查集合的运算问题，对于集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．请在此填写本题解析!2. 若（为虚数单位，），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据复数的除法运算，求解复数，利用复数模的公式，即可求解复数的模．详解：因为，所以，故选A．点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A. 46,45B. 45,46C. 46,47D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A............................4. 若在集合中随机取一个元素，则“大于1”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：解不等式可得，以长度为测度，即可求得集合中随机取一个元素，恰使大于1成立的概率.详解：若，可以求得，在集合中随机取大于2的数，满足条件的值所对应的几何度量就是区间的长度等于，而对应的在集合中随机取一个数所对应的几何度量是区间的长度等于，所以对应事件的概率为，故选C.点睛：该题考查的是有关几何概型的问题，在解题的过程中，需要解一个对数不等式，在求解的过程中，需要把握利用对数函数的单调性求解对数不等式，之后需要将对应集合涉及的测度都求出，之后利用概率公式求得结果.5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果.详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知是两条不同的直线，是平面，则下列命题是真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】分析：根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案．详解：若，则或；若，则；若，则与位置关系不确定；若，则或，故选B．点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C.点睛：解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由，结合条件可知直线为的一条对称轴，且，从而可得解.详解：∵,且，在区间上有最小值，无最大值，∴直线为的一条对称轴，∴，∴，又ω>0，∴当时,ω=.易知当时，此时在区间内已存在最大值.故选D.9. 已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由点是抛物线上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.详解：将点坐标代入抛物线方程，得，解得点，据题设分析知，，又为外接球半径），外接圆面积，故选B.点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10. 函数（）的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：判定函数的奇偶性，排除选项，利用函数的单调性，即可判定函数的图象．详解：因为，则，所以函数为奇函数，根据图象排除A、C；由于，即，排除D，故选B．点睛：函数图像问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择支，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等确定图象．11. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，，，又，，，，又，故选A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12. 已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：构造新函数，求导得到的单调性和最值，即可求解．详解：引入函数，则，因为，所以，所以，所以在区间上单调递增，又，所以不等式等价于，又，所以，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得，又函数的定义域为，得，故不等式的解集为，故选C．点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为120°，，则__________．【答案】【解析】分析：根据平面向量的数量积运算的定义，即可得到答案．详解：因为，所以，所以．点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．14. 若，则__________．【答案】【解析】分析：由，根据同角三角函数之间的关系，求出与的值，利用两角差的余弦公式求解即可. 详解：由，可得.又，结合，可得.，故答案为.点睛：本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15. 已知实数满足不等式组则的最大值是__________．【答案】12【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.详解：作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 已知为数列的前项和，，若，则__________．【答案】【解析】分析：由已知数列的递推关系式可得数列的所有偶数构成以为首项，以为公比的等比数列，把奇数项转化为偶数项，然后借助于等比数列的前项和求解．详解：由，当为奇数时，，则；当为偶数时，，则，又，所以．点睛：本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，需要进行判断.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）2；（2）【解析】分析：第一问根据题中所给的的值，应用平方关系，求得的值，结合题中的条件的值以及的值，利用正弦定理求得的值，第二问利用面积公式，借助求得的值，再借助的值利用余弦定理，求得，从而借助平方公式求得结果.详解：(1)∵，，∴又，，∴，解得.（2）据题意，得的面积,,∴，即又，，，∴，∴，∴的周长等于.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意应用与该题相关的知识点以及题中所给的量，建立相应的等量关系式，最后求得结果，这里第二问在求解时，要注意整体思维的运用，不用单纯的去求的值，而是需要应用完全平方式求其和即可.18. 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．（l）求每个家庭能中签的概率.（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，房间号分别记为2702,2703；第28层有4套房，房间号分别记为2803,2804,2806,2808．（ⅰ）求该单元27、28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数；（ⅱ）求甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率.【答案】（1）；（2）（ⅰ）2771，（ⅱ）【解析】分析：第一问根据在抽签的过程中每个个体被抽到的概率是相等的，利用公式求得结果；第二问中第一小题将剩下的房间号码相加除以6即可求得平均数，第二小题用列举法求得所有的情况共有15种，而甲、乙两个家庭住在同一楼层的可能情况只有7种，应用公式求得对应事件发生的概率.详解：(Ⅰ) 因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率.（2）（i）该单元27、28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数.（ii）将这6套房编号，记第27层2套房分别为，第28层有4套房分别为，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有共15种.其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有，共7种，所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为.点睛：该题考查的知识点由抽签的时候每个个体被抽到的概率是相等的，一堆数据的平均数的求法，随机事件发生的概率公式，在求解的过程中，需要对题的条件分析好，明确各种问题的求解步骤及公式即可得结果.19. 如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．（l）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：第一问咬住直线与平面平行的判定定理的内容，根据题中的条件，在平面内寻找直线的平行线，从而证得结果，第二问抓住三棱锥的体积公式，利用等级法将三棱锥转化，在题中寻找与其相关的量，来求得三棱锥的底面积和高，利用公式求得结果.详解：(1)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）求解知，直线是的中位线，所以，因为二面角是直二面角，平面平面，平面，，所以平面，又因为，所以点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，题中涉及到平面多边形的翻折，有关线面平行的判定，三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要明确翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的，翻折到什么程度等，还有就是求体积时，等级法的应用.20. 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.（l）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质，，列出关于、的方程组，求出、，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，又点也在直线上，进而得结果.详解：（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得.又椭圆经过点，所以.所以.所以椭圆的标准方程为.证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为-2.所以可设直线的方程为.据得.设点，，.所以，.所以，.因为，所以.所以点在直线上.又点，也在直线上，所以三点共线.点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21. 已知函数（且）.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）设函数，若存在使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）函数单调递增转化为导数恒为正值，分类讨论求即可；（2）分离参数，转化为求函数的最值，利用导数即可求出最值。

2018-2019学年安徽省六安市毛毯厂中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 为△ABC的内角，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C 解析：而2. 如图所示，点A（x1，2），B（x2，﹣2）是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的图象上两点，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．以上答案均不正确参考答案：A试题分析：根据A，B两点之间的距离为5，求出|x1﹣x2|=3，进而求出函数的周期和ω，利用f（0）=1，求出φ，即可得到结论．解：|AB|==5，即（x1﹣x2）2+16=25，即（x1﹣x2）2=9，即|x1﹣x2|=3，即=|x1﹣x2|=3，则T=6，∵T==6，∴ω=，则f（x）=2sin（x+φ），∵f（0）=1，∴f（0）=2sinφ=1，即sinφ=，∵0≤φ≤，解得φ=，即f（x）=2sin（x+），则f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin（﹣）=2×=﹣1，故选：A3. 如图的三视图所示的几何体是（）A．六棱台B．六棱柱C．六棱锥D．六边形参考答案：C【考点】由三视图还原实物图．【专题】阅读型．【分析】由俯视图结合其它两个视图可以看出，此几何体是一个六棱锥．【解答】解：由正视图和侧视图知是一个锥体，再由俯视图知，这个几何体是六棱锥，故选C．【点评】本题主要考查了由三视图还原实物图，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为锥体．4. 如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A． B． C．D．参考答案：A试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱的组合体.圆柱的底面面积为,侧面积为,圆锥的底面积为,由于其母线长为,因此其侧面面积为,故该几何体的表面积,故应选A.考点：三视图的识读及圆柱与圆锥的表面积的求解计算.5. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是的值等于（）A．1 B． C． D．高考参考答案：B6. 袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率（）A. B. C. D.参考答案：C7. 已知函数f(x)=，则f(1)的值为（）A.2B.4C.6D.8参考答案：B略8. 下列函数为幂函数的是（）A．y=x2﹣1 B．y=C．y=D．y=﹣x3参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义即可判断出．【解答】解：根据幂函数的定义可知：y=x﹣2=是幂函数．故选：C．9. 在△ABC中，若，则等于（）A． B． C． D．参考答案：D 解析：10. 要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：D【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先把y=sin（2x+）整理为sin2（x+）；再根据图象平移规律即可得到结论．（注意平移的是自变量本身，须提系数）．【解答】解：因为：y=sin（2x+）=sin2（x+）．根据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2（x+）相右平移个单位得到函数y=sin2x的图象．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}前n项和为S n，若，则S n= ．参考答案：令，得，解得，当时，由），得，两式相减得整理得，且∴数列是首项为1公差为的等差数列，可得所以12. 数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．参考答案：略13. 函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上是递增的，实数a的取值范围．参考答案：（，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】先将函数解析式进行常数分离，然后利用增函数的定义建立关系，进行通分化简，判定每一个因子的符号，从而求出a的范围．【解答】解：f（x）===+a、任取x1，x2∈（﹣2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=．∵函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∵x2﹣x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，∴1﹣2a＜0，a＞，即实数a的取值范围是（，+∞）．14. 函数的周期为________参考答案：【分析】由题得函数的最小正周期为π，再利用图像得到函数的周期. 【详解】由题得函数的最小正周期为π，函数就是把函数的图像在x轴上的保持不变，把x轴下方的图像对称地翻折到x轴上方，如图，所以函数的周期为π.故答案为：π【点睛】本题主要考查函数的周期，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15. 若，则函数的值域。

高三年级四月份月考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：解不等式得集合A,求函数定义域得集合B，根据交集定义求解集合交集即可.详解：集合，，所以.故选B.点睛：本题主要考查了集合的描述法和集合交集的运算，属于基础题.2. 定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根基题中定义可得，利用除法运算可得，进而得，从而得解.详解：因为.复数在复平面内对应的点为，故选A.点睛：本题主要考查了复数的乘法和除法运算，属于基础题，难度不大，但是注意题中问题是共轭复数，容易出错.3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A. 46,45B. 45,46C. 46,47D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A.点睛：本题主要考查众数、中位数求法，属于简单题.要解答本题首先要弄清众数、中数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据.4. 若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据圆心到直线的距离小于半径求出的范围，利用几何概型概率公式求解即可.详解：若直线与圆相交，则，解得或，又所求概率，故选C.点睛：解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，几何概型问题还有以下几点容易造成失分：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果.详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中说法正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】分析：①和②可举反例，，即可判断；③运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断；④由线面平行的性质和面面垂直的性质，可举反例或与相交且与不垂直.详解：①若，则，或；②若，则，则，或；③若，则,正确；④若，则，或或与相交且与不垂直.故选C.点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C.点睛：解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，结合条件可知直线为的一条对称轴，且，从而可得解.详解：∵,且，在区间上有最小值，无最大值，∴直线为的一条对称轴，∴，∴，又ω>0，∴当时,ω=.易知当时，此时在区间内已存在最大值.故选D.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9. 已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由点是抛物线上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.详解：将点坐标代入抛物线方程，得，解得点，据题设分析知，，又为外接球半径），外接圆面积，故选B.点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10. 在的二项展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则二项展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，二项展开式的二项式系数和为，，解得，的展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为，故选B.11. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，，，又，，，，又，故选A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12. 已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用，判断出的单调性，结合列不等式求解即可.详解：引入函数，则，，，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，即，又，又函数在区间上单调递增，，解得，又函数的定义域为，得，解得，故不等式的解集是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为60°，，则__________．【答案】6【解析】分析：先求出向量与的数量积，把平方后，将，，代入所求数量积代入，即可的结果.详解：与的夹角为，，又，，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 若，则__________．【答案】【解析】分析：由，根据同角三角函数之间的关系，求出与的值，利用两角差的余弦公式求解即可.详解：由，可得.又，结合，可得.，故答案为.点睛：本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15. 已知实数满足不等式组则的最大值是__________．【答案】12【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.详解：作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】分析：取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，根据正方体的性质，利用余弦定理可得结果.详解：如图，取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，不妨设正方体的棱长为，则，，在中，由余弦定理，得，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和为，且成等差数列，．（l）求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.【答案】(1) (2)【解析】分析：（1）由成等差数列，可得，进而得两式相减可化为，由此得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得结果；（2）据（1）求解知，，进而可得，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.详解：（1）因为成等差数列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）据（1）求解知，，，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为，，，，，，，，，，，所以.点睛：已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式. 18. 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．（l）求每个家庭能中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望.【答案】(1) (2)【解析】分析：(1)直接利用古典概型概率公式求解即可；（2）的所有可能取值是，利用组合知识，由古典概型概率公式可求得，每个随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：(1) 因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率.（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2，，的分布列为的数学期望.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．（l）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（l）由勾股定理可得，结合是的中点可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零，列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值，进而可得结果.详解：(1)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且分别是的中点，所以，所以有点，所以，设平面的一个法向量为，则即，所以令，则设直线与平面所成角的大小为，则.又，所以，所以.故直线与平面所成角的正切值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.（l）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质，，列出关于、的方程组，求出、，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，又点也在直线上，进而得结果.详解：（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得.又椭圆经过点，所以.所以.所以椭圆的标准方程为.证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为-2.所以可设直线的方程为.据得.设点，，.所以，.所以，.因为，所以.所以点在直线上.又点，也在直线上，所以三点共线.点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21. 已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；（2）若函数区间上无零点，求实数的取值范围．【答案】(1)实数的最小值是-1 (2)【解析】分析：(1) 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令是所求区间的子集即可得结果；（2）“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”，讨论三种情况，分别画出函数的图象，结合直线过定点，即可求得实数的取值范围.详解：（1）函数的定义域为，.讨论：当时，，此时函数在上单调递增，满足题设；当时，令，得；令，得，所以此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.又函数在区间上单调递增，所以，解得.综上，实数的最小值是-1.（2）由，得.设，，则“函数区间上无零点”等价于“函数与函数的图象在上没有公共点”.讨论：当时，在上是单调递增函数，函数在上也是单调递增函数.作出函数与函数满足题意的草图（草图可能有两种情况）如下：（ⅰ）如图1，，即，解得；（ⅱ）如图2，对任意恒成立.又当时，，所以，解得.又，得.综上，或；当时，符合题意；当时，在上是单调递减函数，在上是单调递增函数.作出函数与函数的草图如下：观察图象可知，符合题意.综上，所求实数的取值范围是.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点的极坐标是．（1）求直线的普通方程，（2）求直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由直线的参数方程，利用代入法消去参数，即可得到直线的普通方程为；（2）的极坐标是化为直角坐标，过点作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求点.详解：（1）直线的普通方程为.（2）点的直角坐标是.过点作直线的垂线，垂足为，则点即为所要求的直线上到点距离最小的点.直线的方程是，即.据解得所以直线上到点距离最小的点的直角坐标是.点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23. 已知函数.（l）若，解不等式；（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)原不等式等价于，从而可得或，进而可得结果；（2）函数解析式化为分段函数形式，分三种情况讨论，分别求出其最大值与最小值即可.详解：（1）若，则为.所以，所以或，所以或.故不等式的解集是.（2）当时，讨论：当即时，，；当时，，，；当且时，，，.。