2014年成考高等数学(二)应试模拟及解析第5套

最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-山东卷解析：C对于f(x)=ax，当a1时，f(x)在R上是增函数。

对于g(x)=(2-a)x，当2-a>0时，g(x)在R上是增函数；当2-a<0时，g(x)在R上是减函数。

所以当a>2时，f(x)是减函数，g(x)是增函数，两者同时成立，为充分必要条件。

答案选C。

4在平面直角坐标系内，点A(0,0)，点B(3,4)，点C(4,3)，则△ABC的面积为A5B6C7D8解析：BABC的面积可以用向量叉积求解，设向量BA=(3,-4)，向量CA=(4,-3)，则ABC的面积为1/2|BA×CA|=1/2|3×(-3)-4×4|=6.答案选B。

5已知集合A={x|x2-2x-3<0}，则A的取值范围是A(-∞,1)∪(3,∞)B(-∞,1)∪(3,∞)C(-∞,-1)∪(3,∞)D(-∞,-1)∪(1,3)∪(3,∞)解析：Dx2-2x-3=(x-3)(x+1)<0，解得x∈(-∞,-1)∪(3,∞)。

答案选D。

6已知函数f(x)=x3-3x2+5x-1，则f(x)的单调递减区间为A(-∞,1)B(1,2)C(2,+∞)D(1,+∞)解析：Af'(x)=3x2-6x+5，判别式△=6-4×3×5=-560的解不存在，f(x)在R上单调递减。

答案选A。

7已知集合A={x|x2+px+q>0}，其中p,q∈R，若A中至少有一个元素，则下列说法正确的是A p2-4q≤0B p2-4q>0C p2+4q≤0D p2+4q>0解析：B当A中至少有一个元素时，x2+px+q>0，即判别式△=p2-4q0.答案选B。

8已知函数f(x)=x2-2ax+a2+3a-1，若对于任意实数x，都有f(x)≥0，则a的取值范围是A(-∞,-2]∪[1,2]B(-∞,-2]∪[2,+∞)C[-1,2]D(-∞,-1]∪[2,+∞)解析：Bf(x)=x2-2ax+a2+3a-1=(x-a)2+(3a-1)，当a≥2或a≤-2时，(3a-1)≤0，所以f(x)≤0，不符合条件。

2021成人高考专升本?高数二?经管类冲刺真题训练讲义1(微积分局部基此题型)说明：我们根据十多年来专升本考试内容及实体的分析与研究，按考试中出现的知识点及题型进展分类归纳，可以使大家一目了然地看出：哪些知识是必考的，考试题型是什么，此题型在十几年的试卷中考到的概率是多少。

备注【10-1】表示2021年试卷笫1题。

题目后的【A 】代表答案。

笫一章极限和连续常考知识点一、极限〔1〕函授在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。

〔2〕极限的性质以及四那么运算。

〔3〕无穷小量的概念、性质及无穷小量阶的比较，等价无穷小量代换及其应用。

〔4〕两个重要的极限及其应用。

二、连续(1)函数在一点处连续与连续的概念及连续的判定。

〔2〕闭区间上连续函数的性质。

三、试卷内容比例本章内容约占试卷总分的15%共计22分。

真题训练及常用解题方法与技巧一. 求极限1. 代入法考试要点：lim ()()x af x f a →=，直接把x a =代入()f x 中，其依椐是初等函数连续性定理。

考察概率：50% 【10-1.】1ln(1)lim 1x x x →+=+A.ln 22B.0C.ln 2D.ln 2-[]【A 】【09-1.】2tan(1)lim1x x x →-=-A.0B.tan1C.4πD.2[]【B 】【06-11】2031lim 1x x x x →+-+【1-】【05-11】31lim(2)x x x →-+【2】【04-07】2limln(1)x x →+【0】2. 第一重要极限与等价无穷小替换法考察概率：70% 考试要点0sin (1)lim 1;(2)0~sin ~tan x xx x x x x→=→当时，【11-12】.2sin(2)lim_________.2x x x →-=-【1】【10-21】计算21sin(1)lim 1x x x →--.【12】 【10-12】当0x →时,()f x 与sin 2x 是等价无穷小量,那么0()lim _____.sin 2x f x x→=答案：【1】【08-12】____________0sin 2limx xx→=.【2】【07-12】____________21sin(1)lim 1x x x →-=-.【12】 【06-12】0tan 3lim x xx→=_________.【3】【05-1】设0sin 5lim x xx →等于〔〕A.0B.15C.1D.5【答案D 】【04-8】假设0x →时,函数()f x 与sin x 是等价无穷小，那么0()lim sin x f x x→=________.【答案1】 【04-2】设0sin lim 3x axx→=,那么a 的值为〔〕A.13B.1C.2D.3【答案D 】 【03-2】x xx 52sin lim 0→等于〔〕A.0B.52C.1D.25【答案B 】VIP 免费资料【02-7】xxx 2sin lim0→=__________.【答案2】【01-17】计算xx x sin )21ln(lim 0+→.【答案：2cos )21(2lim sin )21ln(lim0"0"0=+=+→→xx x x x x 】【01-2.】4)2sin(lim22--→x x x 等于〔〕 A.0B.41C.21D.1【答案B 】【00-6】65)1sin(lim21-+-→x x x x =____________.【答案71】3. 重要极限 考试要点〔1〕101lim(1);lim(1);xx x x e x e x→∞→+=+=〔2〕对于演算题，常用“添倒数辅助项方法〞；〔3〕推广公式0(1)lim(1);lim(1);bC bx C ab ab xx x a e ax e x++→∞→+=+= 考察概率40%【11-21.】计算20lim(1)xx x →+.【答案.2122lim(1)lim[(1)]x x x x x x e →→+=+=】【09-12.】1lim(1)_________.3xx x→∞-=【13e -】【06-1.】()20lim 1xx x →+=〔〕A.1B.eC.2eD.2e 【答案.D 】【05-12】3lim(1)x x x→∞-=________.【答案3e -】【04-16】计算2lim(1)x n x →∞+.【答案22222lim(1)lim(1)x x x x e x x →∞→∞⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦】【03-6】xx x)211(lim -∞→=_________.【12e -】【01-18.】计算xx xx 3)2(lim -∞→_________. 【答案(2)3332221lim()lim(1)lim(1)()2xx x x x x x x x x x -⋅-⋅→∞→∞→∞-=-=+-6621lim[(1)]()2xx e x---→∞=+=-】 【01-1】以下各式中,正确的选项是[]A.e xxx =-∞→)11(lim ;B.e x x x =+∞→1)11(lim ;C.e x x x =+-→10)1(lim ;D.e x x x =+→10)1(lim【答案D 】【00-17】假设xx kx k x )2(lim -+∞→=8,求常数k .【答案：k k k xx xx x x x x x e ee xk x k x k x x k x k x k x 32)21(lim )1(lim )()(lim )2(lim ==-+=++=-+-∞→∞→∞→∞→】4. 用洛必达法那么求极限要点：对于00,∞∞型,直接用洛必达公式()'()lim lim ()'()=f x f x g x g x 洛,对于⋅∞∞-∞0,型,设法化为00,∞∞型后,再用洛必达方法. 考察概率：1993-2021年共考了20次，属于必考题，概率为100%。

2014年浙江省某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A ＝{x|x >1}，B ＝{x|x <m}，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是（ ）A −1B 0C 1D 22. 已知a ，b ∈R ，则“a 2+b 2<2”是“ab <1”的（ ）A 必要而不充分条件B 充要条件C 充分而不必要条件D 既不充分也不必要条件3. 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)[90, 100)，则图中x 的值等于（ ）A 0.754B 0.048C 0.018D 0.0124. 已知f(x)=cos(ωx +π3)的图象与y =1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y =f(x)的图象，只需把y =sinωx 的图象（ ）A 向左平移512π个单位长度B 向右平移512π个单位长度C 向左平移712π个单位长度D 向右平移712π个单位长度5. 下列命题正确的是（ ）A 若平面α不平行于平面β．则β内不存在直线平行于平面αB 若平面α不垂直于平面β．则β内不存在直线垂直于平面αC 若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lD 若直线l 不垂于平面α．则α内不存在直线垂直于直线l6. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A 126B 105C 91D 667. 若α∈(π4, π)且3cos2α=4sin(π4−α)，则sin2α的值为（ ）A 79B −79C −19D 198. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1→=4BF 1→，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A √32+1B √13+13C √133+1D √3+129. 已知函数f(x)=x 3−6x 2+9x −abc ，其中a <b <c ，且f(a)=f(b)=f(c)=0，现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0．其中正确结论的个数是（ ）A 1B 2C 3D 410. 用n(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A ∗B ={n(A)−n(B)，当n(A)≥n(B)n(B)−n(A)，当n(A)<n(B)，若A ={x|x 2−ax −14=0, a ∈R}，B ={x||x 2+bx +2014|=2013, b ∈R}，设S ={b|A ∗B =1}，则n(S)等于（ ）A 4B 3C 2D 1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11. 分别在集合A ={1, 2, 4}和B ={3, 5, 6}中随机的各取一个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为________．12. 一个几何体的三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，俯视图是半圆和正方形，则这个几何体的体积为________．13. 过点A(11, 2)作圆x 2+y 2+2x −4y −164＝0的弦，其中弦长为整数的共有________条．14. 若实数x ，y 满足不等式组{x +2y ≥22x +y ≤4x −y ≥−1，则4|x −1|+y 的最大值是________．15. 已知F 1为椭圆C ：x 22+y 2=1的左焦点，直线l:y =x −1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A|+|F 1B|的值为________．16. 已知O 为△ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC =120∘．若AO =λ1AB +λ2AC ，则2λ1+λ2=________．17. 设a +2b =3，b >0，则12|a|+|a|3b 的最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. △ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60∘，a=(√3−1)c．（1）求角A的大小；（2）已知△ABC的面积为12+4√3，求函数f(x)=cos2x+asinx的最大值．19. 已知等差数列数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q．（1）求a n与b n；（2）设c n=3b n−λ⋅2a n3(λ∈R)，若{c n}满足：c n+1>c n对任意的n∈N∗恒成立，求λ的取值范围．20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=AB，E是BD的中点．∠BCD=90∘，PA=PD=DC=CB=12（1）求证：EC // 平面APD；（2）求BP与平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角P−AB−D的正弦值．21. 已知函数f(x)=2x2+3(a2+a)lnx−8ax．（I）若曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线y=32x−62平行，求a的值；（II）若函数f(x)在其导函数f′(x)的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．22. 如图，已知过点A(1, 2)的抛物线C:y2=ax与过点T(3, −2)的动直线l相交于P、Q两点．（1）求直线AP与直线AQ的斜率的乘积；（2）若∠APQ=∠AQP，求证：△APQ的周长为定值．2014年浙江省某校高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. C3. C4. A5. B6. B7. C8. B9. B10. A11. 7912. (π+8)√36 13. 3214. 515. 8√2316. 317. 12 18. 解：（1）∵ B =60∘，∴ A +C =120∘，即C =120∘−A ，∵ a =(√3−1)c ，由正弦定理可得：sinA =(√3−1)sinC ，sinA =(√3−1)sin(120∘−A)=(√3−1)(√32cosA +12sinA)， 整理得：32cosA +√32sinA −√32cosA −12sinA =sinA ， 即3−√32cosA =3−√32sinA ，即sinA =cosA ，∴ tanA =1，则A =45∘；（2）∵ S △ABC =12acsinB =12+4√3，c =√3−1，sinB =√32， ∴ 122√3−1√32=12+4√3， 解得：a =4√2，∴ f(x)=1−2sin 2x +4√2sinx =−2(sinx −√2)2+5，则当sinx =1时，函数f(x)取得最大值4√2−1．19. 解：（1）由S 2=a 1+a 2=3+a 2，b 2=b 1q =q ，且b 2+S 2=12，S 2=b 2q ．∴ {q +3+a 2=123+a 2=q2，消去a 2得：q 2+q −12=0，解得q =3或q =−4（舍）， ∴ a 2=q 2−3=32−3=6，则d =a 2−a 1=6−3=3，从而a n =a 1+(n −1)d =3+3(n −1)=3n ，b n =b 1q n−1=3n−1；（2）∵ a n =3n ，b n =3n−1，∴ c n =3b n −λ⋅2a n3=3n −λ2n ．∵ c n+1>c n 对任意的n ∈N ∗恒成立，即：3n+1−λ⋅2n+1>3n −λ⋅2n 恒成立，整理得：λ⋅2n <2⋅3n 对任意的n ∈N ∗恒成立，即：λ<2⋅(32)n 对任意的n ∈N ∗恒成立．∵ y =2⋅(32)x 在区间[1, +∞)上单调递增，∴ y min =2⋅32=3， ∴ λ<3．∴ λ的取值范围为(−∞, 3)．20. （1）证明：如图，取PA 中点F ，连结EF 、FD ，∵ E 是BP 的中点，∴ EF // AB 且EF =12AB ， 又∵ DC // AB 且DC =12AB ， ∴ EF // DC 且EF =DC ，∴ 四边形EFDC 是平行四边形，故得EC // FD …又∵ EC ⊄平面PAD ，FD ⊂平面PAD ，∴ EC // 平面ADE …（2）解：取AD 中点H ，连结PH ，因为PA =PD ，所以PH ⊥AD∵ 平面PAD ⊥平面ABCD 于AD∴ PH ⊥面ABCD∴ HB 是PB 在平面ABCD 内的射影∴ ∠PBH 是PB 与平面ABCD 所成角…∵ 四边形ABCD 中，∠ABC =∠BCD =90∘∴ 四边形ABCD 是直角梯形，DC =CB =12AB 设AB =2a ，则BD =√2a ，在△ABD 中，易得∠DBA =45∘，∴ AD =√2a ，PH =√PD 2−DH 2=√22a ， 又∵ BD 2+AD 2=4a 2=AB 2，∴ △ABD 是等腰直角三角形，∠ADB =90∘∴ HB =√DH 2+DB 2=√102a ， ∴ 在Rt △PHB 中，tan∠PBH =PH HB =√55… （3）解：在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影，故PG ⊥AB ，∴ ∠PGH 是二面角P −AB −D 的平面角，由AB =2a…∴ HA =√22a ， 又∠HAB =45∘∴ HG =12a ，PG =√32a 在Rt △PHG 中，sin∠PGH =PH PG =√63，∴ 二面角P−AB−D的正弦值为√63…21. 解：(I)由于函数f(x)=2x2+3(a2+a)lnx−8ax，则f′(x)=4x+3(a2+a)⋅1x−8a．因为曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线y=32x−62平行，则切线的斜率k=32，即3a2−5a−28=0，解得或a=−73．而当a=−73时，切线与y=32x−62平行，符合题意当a=4时，切线为y=32x−62重合，不合条件，舍去故a=−73．(II)f′(x)=4x+3(a2+a)⋅1x −8a=4x2−8ax+3(a2+a)x，设g(x)=4x2−8ax+3(a2+a)，△=16(a2−3a)，设g(x)=0的两根为x1，x2(x1<x2)（1）当△≤0即0≤a≤3时，f′(x)≥0，∴ f(x)单调递增，满足题意；（2）当△>0即a<0或a>3时，①若x1<0<x2，则34(a2+a)<0，即−1<a<0，此时，f(x)在(0, x2)上单调递减，在(x2, +∞)上单调递增，而f′(x)在(0, +∞)上单调递增，故不满足题意②若x1<x2≤0，则{2a<034(a2+a)≥0解得a≤−1，此时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，满足题意③若0<x1<x2，则{2a>034(a2+a)>0解得a>0，此时，f(x)在(0, x1 )上单调递增，(x1, x2)上单调递减，在(x2, +∞)上单调递增，故不满足题意综上得a的取值范围为(−∞, −1]∪[0, 3]．22. （1）解：由抛物线C:y2=ax过点A(1, 2)知a=4…设直线l的方程为x=m(y+2)+3代入抛物线方程得y2−4my−8m−12=0…设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则y1+y2=4m，y1y2=−8m−12…∴ k AP k AQ=16y1y2+2(y1+y2)+4=−2…（2）证明：PQ的中点坐标为(x1+x22, y1+y22)，即(y124+y2242, y1+y22)，∴ PQ的中点坐标为(2m2+2m+3, 2m)，…由已知得2m−22m2+2m+3−1=−m，即m3+m2+2m−1=0．…设f(m)=m3+m2+2m−1，则f′(m)=3m2+2m+2>0，∴ f(m)在R上是增函数，又f(0)=−1，f′(1)=3，故f(m)在(0, 1)内有一个零点，函数f(m)有且只有一个零点，即方程m3+m2+2m−1=0有唯一实根．∴ 满足条件的三角形唯一确定，从而△APQ的周长为定值．…。

绝密★启用前 试卷类型：A山东省2014届高三高考仿真模拟冲刺考试（五）数学（文）试题满分150分 考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线l 1：kx-y-3=0和l 2：x+（2k+3）y-2=0互相垂直，则k=（ ）A ．-3B ．-2C ．12-或-1 D ．12或1 2． 300cos 的值是（ ）A ．21B ．21- C ．23D ．23-3．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为 （ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．34．若a ＞b ＞0，则下列不等式不成立的是（ ）A．a b +< B ．1122a b > C ．ln ln a b > D ．0.30.3a b <5．执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的 （ ）A ．49B ． 67C ．89D ．10116．“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数z=x+y ，则 （ ） A ．max 0z = B ．max 52z = C ．min 52z = D ．max 3z = 8．若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是 （ ） A．12π B．12π C．3π D．3π 9．已知2010120101ln-=a ，2011120111ln -=b ，2012120121ln -=c 则 （ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>10．函数()(a x y a 13log -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则nm 21+的最小值等于（ ）A ．16B ．12C ．9D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（5小题，每题5分，共25分） 11．22,sin sin sin ,,ABC C A B B a C +==在中则角△ ．12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = ．13．过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．14．在平面区域()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥=20,y x x x y y x M 内随机取一点P ，则点P 取自圆122=+y x 内部的概率等于__________.15．已知f （1，1）=1，f （m ，n ）∈N *（m 、n ∈N *），且对任意m 、n ∈N *都有：① f （m ，n+1）= f （m ，n ）+2； ② f （m ＋1，1）=2 f （m ，1）． 给出以下三个结论：（1）f （1，5）=9；（2）f （5，1）=16；（3）f （5，6）=26．其中正确的个数为 ． 三、解答题（共75分） 16．（本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x n x x m -==，设函数n m x f ⋅=)(． （Ⅰ）求函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间； （Ⅱ）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若1)62sin()(=-+πA A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长．如图，在直角坐标系xoy 中，有一组底边长为n a 的等腰直角三角形n n n A B C （n =1，2，……），底边n n B C 依次放置在y 轴上（相邻顶点重合），点1B 的坐标为（0，b ）． （Ⅰ）若1b =，12a =，24a =，求点12,A A 的坐标； （Ⅱ）若123,,A A A ，……，n A 在同一直线上，求证：数列{}n a 是等比数列．小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋．（Ⅰ）写出数量积X的所有可能取值；（Ⅱ）分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点，且CC ．1（Ⅰ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅱ）求证：B1M⊥平面AMG．已知中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线2y=-的焦点为F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）垂直于OC的直线ι与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线ι的方程和圆P的方程．21．（本小题满分14分）设0a >，0b >，已知函数()1ax b f x x +=+.（Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数．（i ）判断(1)f ， f ，()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤;（ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H .若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围．文科数学（五）一、选择题二、填空题11．π612． 6- 13．8π 15．3三、解答题16．解：（Ⅰ）由题意得21cos 2()sin cos 22x f x x x x x -==1sin(2)26x π=-+ ………………………………………………………………………3分 令3222262k x k πππππ+≤+≤+,Z k ∈解得：263k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈ 30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，263x ππ∴≤≤，或7362x ππ≤≤.所以函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间为2[,]63ππ，73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………6分 （Ⅱ）由1)62sin()(=-+πA A f 得：1)62sin()62sin(21=-++-ππA A ,化简得：212cos -=A ,又因为02A π<<，解得：3π=A ………9分由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ，解得8=bc ， 又7=+c b ,所以22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+14928(1)252=-⨯⨯+=,故所求边a 的长为5． ……12分17．18．(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1 (2)数量积为-2的只有25OA OA ∙一种数量积为-1的有15OA OA ∙,1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六种 数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种 数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为1715p =因为去唱歌的概率为2415p =,所以小波不去唱歌的概率2411111515p p =-=-= 19．解：（Ⅰ）设AB 1 的中点为P ，连结NP 、MP ………………………1分∵CM 112AA ，NP 112AA ，∴CM NP ， …………2分 ∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP …………………………3分 ∵CN ⊄埭 平面AMB 1，MP ⊂奂 平面AMB 1，∴CN ∥平面AMB 1…4分 （Ⅱ）∵CC 1⊥平面ABC ，∴平面CC 1 B 1 B ⊥平面ABC ， ∵AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面CC 1 B 1 B ，∴B 1M ⊥AG ………6分设：AC=2a ，则1CC =Rt ,MCA AM ==在中△……8分同理，1B M =………………………………………9分 ∵ BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，1,AB ∴===222111,,AM B M AB B M AM ∴+=∴⊥…………………10分1,.AG AM A B M AMG ⋂=∴⊥又平面 ……………………12分20．解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>22441,a b+=则①………………………1分21y F =-抛物线的焦点为,c ∴= ②………２分222a b c =+又 ③由①、②、③得a 2=12,b 2=6……………3分所以椭圆E 的方程为221126x y +=……………………4分（Ⅱ）依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线ι的方程为y=-x+m ，……………5分代入椭圆E 方程，得22342120.x mx m -+-=……6分22221612(212)8(18),18.m m m m ∆=--=-<由得………………7分11(,)A x y 记、22212124212(,),,33m m B x y x x x x -+==则……………8分1212,,22x x y y P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭圆的圆心为12r x =-=半径9分2121212(),2,24x x x x P y r x x ++==当圆与轴相切时,则2222(212)4,918,339m m m m -==<=±即………………11分当m=3时，直线ι方程为y=-x+3，此时，x 1 +x 2=4，圆心为（2， 1），半径为2，圆P 的方程为（x-2）2+（y-1）2=4；…………………12分 同理，当m=－3时，直线ι方程为y=-x －3， 圆P 的方程为（x+2）2+（y+1）2=4；……………13分。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （ ）(A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000ab a bcd c d= （ ）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a dbc -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y ∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,L 1()(()),n n f x f f x -=L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2xx -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （ ）(A)1 (B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ 22222200011()arctan 11limlimlim lim ()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数 则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式0000000ab a bcd c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列000000000000a b a b a b a b a cd c b c d dcdc d=--()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. 【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数 则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x Q 的周期为4，()()711f f ∴=-= (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z = 故1111(,)(,)222211,22z z x y∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.【解析】 由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'><所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=⎰⎰12D D I dxdy ∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰π 2201211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得， ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则 ()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤Q ，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xa g t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0u ag t dt u a ≤≤-⎰ ()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===L L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x xf x f x f x f x x x x nx====++++L 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭,(I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L 与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M L L M ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LM =，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T L ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭O .B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

2014年高三第五次模拟考试数学试题（理/文）2014.3.22命题人：邬小军 审核：高三数学组第Ⅰ卷 选择题（共75分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分;）1．（理）已知集合{}2,0xA y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=( B )A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ （文）复数(34)i i +的虚部等于（ A ）A. 3B. 3iC. 4-D. 42．（理）下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ B ） A. 32x y = B. 1+=x yC. 42+-=x yD. xy -=2（文）函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（ B ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]- 3．（理）已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg )5b f =则 （ A ）A ．a+b=1B ．a-b=0C ．a+b=0D ．a-b=1 （文）下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（ D ）A. sin()23xy π=+ B. sin()23x y π=-C. sin(2)3y x π=- D. sin(2)3y x π=+4．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ B ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)5．（理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则数列{}n a 是（C ）A ．等差数列B ．等比数列C ．既非等差又非等比D ．既是等差又是等比（文）已知x ，y 满足,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 46．已知x 、y 的取值如右表所示从散点图分析，y 与x 线性相关，且a x y +=8.0ˆ，则a =( B )A. 0.8B. 1C. 1.2D. 1.57.已知平面向量,a b 满足||2,||3,(2)0a b a a b ==⋅-= 则||a b -=（ B ）A ．2 B. 3 C. 4 D. 68．（理）航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ D ） A ．12种B.16种C.24种D. 36种（文）已知一个三棱柱的所有棱长均相等，侧棱垂直于底面,其侧视图如图所示，那么此三棱柱正视图的面积为（ A ）A.23B. 4C. 3D. 439．(理)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ A ） A.a<v<ab B.v=ab C.ab <v<2a b + D.v=2a b+ (文)已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是（ B ） A ． 相切B. 相交C. 相离D. 不确定10．如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( C )A ． 112π-B ．1πC ．21π-D ．2π第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分）11．（理）如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，那么a 1＋a 2＋…＋a 6的值等于 0 . （文）已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则n S = 24n n + .12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝154;13．已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 （0，1） .侧视图214．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则正整数0n = 8或9 .15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 R .B . (几何证明选做题)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= 5 .C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是（1，0）。

2014年安徽省高考数学模拟试卷（五）（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题锁所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 复数z =(2−i)(1+i)i（i 为虚数单位），则|z|等于（ ）A 10B √10C 5D √52. 已知全集U =R ，A ={x|−1<x ≤1}，B ={x|lg(2x 2−1)≤0}，则A ∩(∁U B)等于（ ） A [12, √22] B [−√22, −12] C [−√22, 12] D [−√22, √22] 3. 已知cos2α=13，则sin 2(α+π2)等于（ ） A √53B 13C 14D 234. 已知命题p ：“a <−12”是“函数f(x)=x 2+4ax +1在区间(−∞, 1)上是减函数”的充分不必要条件，命题q:a ，b 是任意实数，若a >b ，则a 2>b 2．则（ ） A “p 且q”为真 B “p 或q”为真 C p 假q 真 D p ，q 均为假命题 5. 已知单位向量a →，b →的夹角为π3，则|a →−4b →|等于（ ） A 13 B 11 C √13 D √116. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A 26B 572 C 27 D 5927. 函数f(x)=sin(2x +φ)+√3cos(2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π2个单位后关于y 轴对称，则φ的值为（ ）A π6B π4C π3D −π68. 等比数列x ，3x +3，6x +6，…的前十项和等于（ ） A −1 B −3 C −1024 D −30699. 设关于x ，y 的不等式组{x −2y +1>0x −m >0y −m >0表示的平面区域内存在点P(x 0, y 0)，满足3x 0−2y 0=1．则m 的取值范围是（ ）A (−∞, 23) B B(−∞, 13) C (−∞, 1) D (−∞, −1)10. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0, +∞)上是增函数，如果f(ax+1)≤f(x−2)在x∈[12，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A [−2, 1]B [−5, 0]C [−5, 1]D [−2, 0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. (1−x)2(1+y)5的展开式中含xy2项的系数是________．12. 在平面直角平面内，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2，圆M的参数方程为为{x=2+2cosθy=−1+2sinθ（其中θ为参数），若直线l与圆M相交于A，B两点，M是圆心，则直线AM与BM的斜率之和________．13. 某程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的结果是14. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面ABCD的中心是O，顶点A1，B1，C1，D1在以O 为球心的球O的球面上，若正方体的棱长为2，则球O的表面积为________．15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，①若A=60∘，b=2，c=3，则a=√7；②若C=60∘，b=√6，c=3则A=75∘；③b2+c2<a2，则A为钝角；④若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形；⑤若cosCc =cosBb+cosAa，则abc2的最大值为32，在这五个命题中真命题是________．三、解答题（共6小题，满分75分）16. 已知向量a→=(sin x3, cos x3)，b→=(cos x3, √3cos x3)，函数f(x)=a→⋅b→，（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域．17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的N件产品作为样本称出它们的重量（单位；克），重量的分组区间为(490, 495]，(495, 500]，…(510, 515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，若其中重量超过510克的产品件数为3． (1)求N ；(2)在抽取的重量超过505克的产品中任取2件，设ξ为重量超过510克的产品数量，求ξ的分布列及数学期望．18. 如图，ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的夹角为60∘（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）求二面角C −PB −D 的正弦值．19. 已知正项等比数列{a n }满足：lna 1+lna 3=4，lna 4+lna 6=10． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n =lna 1+lna 2+...+lna n ，数列{b n }满足b n =12S n，若存在n ∈N ，使不等式K <(b 1+b 2+...+b n )(23)n 成立，求实数K 的取值范围．20. 已知抛物线D:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，P 是抛物线上一动点，Q 是圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12上一动点，且|PF|+|PQ|最小值为3√22． （1）求抛物线D 的方程；（2）已知动直线l 过点N(4, 0)，交抛物线D 与A ，B 两点，坐标原点O 为线段NG 中点，求证：∠AGN =∠BGN ．21. 已知a 为常数，a ∈R ，函数f(x)=(x −1)lnx ，g(x)=−13x 3+2−a 2x 2+(a −!)x ．（1）求函数f(x)的最值；（2）若a >0，函数g′(x)为函数g(x)的导函数，g′(x)≤k(a 3+a)恒成立，求k 的取值范围．（3）令ℎ(x)=f(x)+g(x)，若函数ℎ(x)在区间(0, 1]上是单调函数，求a 的取值范围．2014年安徽省高考数学模拟试卷（五）（理科）答案1. B2. D3. D4. B5. C6. B7. A8. D9. C 10. D11. −20 12. −8313. 8314. 24π15. ①②③⑤16. 解：（1）∵ 向量a →=(sin x3, cos x 3)b →=(cos x3, √3cos x3)，∴ 函数f(x)=a →⋅b →=sin(2x 3+π3)+√32， 令2kπ−π2≤2x 3+π3≤2kπ+π2，解得3kπ−54π≤x ≤3kπ+π4(k ∈Z)．故函数f(x)的单调递增区间为[3kπ−54π，3kπ+π4](k ∈Z)． （2）由已知b 2=ac ，cosx =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12，∴ 12≤cosx <1，∴ 0<x ≤π3∴ π3<2x 3+π3≤5π9∴ √32<sin(2x3+π3)≤1， ∴ √3<sin(2x 3+π3)+√32≤1+√32∴ f(x)的值域为(√3, 1+√32] 17. 解：(I)∵ 重量超过510克的产品件数为3，由频率直方图得重量超过510克的产品的频率为0.01×5=0.05． ∴ 由N ×0.01×5=3，得N =60． (II)ξ的所有可能取值为0，1，2，重量超过505克的产品数量为60×(0.05×5+0.01×5)=18件， P(ξ=0)=C 152C 182=3551，P(ξ=1)=C 151C 31C 182=517，P(ξ=2)=C 32C 182=151，∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=0×3551+1×1551+2×151=13．18. （1）证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，∴ PD ⊥AC ，∵ ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ， ∴ AC ⊥平面PBD ．（2）解：∵ DA ，DC ，DP 两两垂直， ∴ 建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，∵ BE 与平面ABCD 所成角为60∘，即∠DBP =60∘， ∴ PDDB =√3，由AD =3，得PD =3√6，∴ D(0, 0, 0)，B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，P(0, 0, 3√6)，A(3, 0, 0)， PB →=(3, 3, −3√6)，PC →=(0, 3, −3√6)， 设平面PBC 的法向量n →=(x,y,z)， 则{n →⋅PC →=3y −3√6z =0˙，取z =√6，得n →=(0, 6, √6)，∵ AC ⊥平面PBD ，∴ 平面PBD 法向量为AC →=(−3, 3, 0)， 设二面角C −PB −D 的平面角为θ， 则cosθ=|cos <n →，AC →>|=|18√42⋅√18|=√217， ∴ sinθ=√1−(√217)2=2√77． ∴ 二面角C −PB −D 的正弦值为2√77． 19. 解：(I)∵ 正项等比数列{a n }满足：lna 1+lna 2=4，lna 4+lna 5=10，∴ a 1a 3=e 4，a 4a 6=e 10，∴ q 6=e 6，由q >0，解得q =e ，a 1=e ， ∴ a n =e n ．(II)由(I)知S n =1+2+3+...+n =n(n+1)2，b n =1n(n+1)=1n −1n+1，∴ b 1+b 2+...+b n =1−12+12−13+...+1n −1n+1=1−1n +1=n n+1，设c n =(b 1+b 2+...+b n )(23)n ， ∴ c n =n n+1(23)n ，c n+1−c n =n +1n +2(23)n+1−n n +1(23)n=−n 2−2n+23(n+1)(n+2)⋅(23)n <0，∴ c n >c n+1，∴ 数列{c n }单调递减， (c n )max =c 2=13，∴ k <13．20. 解：（1）圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12的圆心坐标为M(−1, 2)，半径为√22， ∵ |PF|+|PQ|最小值为3√22，Q 是圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12上一动点，∴ 当Q 、P 、F 三点共线时，|QF|最小，M 、Q 、P 、F 四点共线时，|MF|最小为2√2， ∴ √(p2+1)2+4=2√2，∴ p =2，∴ 抛物线D 的方程是y 2=4x ； （2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由于O 为NG 之中点，故当l ⊥x 轴时，由抛物线的对称性知，一定有：∠AGN =∠BGN ， 当l 不垂直x 轴时，设l:y =k(x −4)，代入抛物线方程得k 2x 2−4(2k 2+1)x +16k 2=0， ∴ x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2，x 1x 2=16， ∴ k AG +k BG =k(x 1−4)x 1+4+k(x 2−4)x 2+4=0，∴ ∠AGN =∠BGN ．21. 解：（1）由题意可知f(x)的定义域为{x|x >0}，f ′(x)=1−1x +lnx ，且f ′(1)=0，当0<x <1时，f ′(x)<0，当x >1f ′(x)>0．所以在x =1时取极小值，且为最小值，f(x)无最大值． 所以f(x)min =f(1)=0 （2）g(x)=−13x 3+2−a 2x 2+(a −!)x ．g′(x)=−x 2+(2−a)x +(a −1)，对称轴x =1−a2∴ g′(x)max=a24，要使g′(x)≤k(a3+a)恒成立，只需a24≤k(a3+a)，即k≥a 24(a3+a)=14(a+1a)，因为14(a+1a)≤18，所以k≥18（3）ℎ(x)=f(x)+g(x)，ℎ′(x)=−x2+(2−a)x+a−1x+lnx．设m(x)=−x2+(2−a)x+a−1x +lnx，m′(x)=−2x+1x2+1x+(2−a)观察可得m′(x)在区间(0, 1]上是单调函数，所以m′(x)≥m′(1)=2−a∵ 函数ℎ(x)在区间(0, 1]上是单调函数，∴ 只有ℎ′(x)不变符号，ℎ′(1)=0，ℎ′(12)<0可以判断ℎ′(x)≤0，ℎ′(x)≤ℎ′(1)，∴ m(x)为增函数，m′(x)≥0，从而可得2−a≥0，所以a≤2。

2014年浙江省高考数学二模试卷（提优卷）（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足：(1−2i)z =(1+i)2，则z 的值是（ ）A −45+25iB −25+35iC 45−25iD 25−35i 2. 设集合M ={x|1<x ≤2}，N ={x|x ≤a}，若M ∩(∁R N)=M ，则a 的取值范围是（ ）A (−∞, 1)B (−∞, 1]C [1, +∞)D (2, +∞)3. 设x 为非零实数，则p:|x +1x |>2是q:|x|>1成立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A 2B −2C 3D −35. 李先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，途中（不绕行）共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为16，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值Eξ是（ ）A 16B 1C 6×(56)6D 6×(16)6 6. 如果函数y =|cos(π4+ax)|的图象关于直线x =π对称，则正实数a 的最小值是（ ）A a =14B a =12C a =34D a =1 7. 已知函数y =f(x)在R 上为偶函数，当x ≥0时，f(x)=log 3(x +1)，若f(t)>f(2−t)，则实数t 的取值范围是（ ）A (−∞, 1)B (1, +∞)C (23, 2)D (2, +∞)8. 已知双曲线C 的方程是：x 22m−m 2−y 2m =1(m ≠0)，若双曲线的离心率e >√2，则实数m 的取值范围是（ ）A 1<m <2．B m <0C m <0或m >1D m <0或1<m <2．9. 在△ABC 中，已知AB →⋅AC →=4，|BC →|=3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →⋅AN →的值是( )A 5B 214C 6D 8 10. 正四面体ABCD ，线段AB // 平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（ ）A [0, √22]B [√22, 1]C [12, 1]D [12, √22]二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 设(1−2x )4=a 0+a 1(1x )+a 2(1x )2+a 3(1x )3+a 4(1x )4，则a 2+a 4的值是________． 12. 设变量x ，y 满足约束条件{y −a ≥0x −5y +10≥0x +y −8≤0，且目标函数z =2x −5y 的最小值是−10，则a 的值是________．13. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3．14. 在数列{a n }中，a 1=3，(a n+1−2)(a n −2)=2(n ∈N ∗)，则该数列的前2014项的和是________．15. 若实数x ，y 满足：3x +4y =12，则x 2+y 2+2x 的最小值是________．16. 将编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片，放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放入一张卡片，则编号为3与6的卡片恰在同一个盒子中的不同放法共有________．17. 已知函数f(x)={e x −1，x ≥0−x 2−2x ，x <0，若关于x 的方程f(x)=|x −a|有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60∘，b +c =3√2．（1）求三角形ABC 的面积；（2）求sinB +sinC 的值及△ABC 中内角B ，C 的大小．19. 在数列{a n }中，a 1=255，11+a n+1−11+a n =1256(n ∈N ∗)， （1）求数列{a n }的通项公式（2）设b k =ka 2k (k ∈N ∗)，记数列{b k }的前k 项和为B k ，求B k 的最大值．20. 如图，△ABC在平面α内，∠ACB=90∘，AB=2BC=2，P为平面α外一个动点，且PC=√3，∠PBC=60∘（1）问当PA的长为多少时，AC⊥PB．（2）当△PAB的面积取得最大值时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．21. 设椭圆C1:x25+y2=1的右焦点为F，P为椭圆上的一个动点．（1）求线段PF的中点M的轨迹C2的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C1相交于点A、D，与曲线C2顺次相交于点B、C，当|AB|=|FC|−|FB|时，求直线l的方程．22. 已知函数f(x)=e x−2x，g(x)=x2+m(m∈R)（I）对于函数y=f(x)中的任意实数x，在y=g(x)上总存在实数x0，使得g(x0)<f(x)成立，求实数m的取值范围（II）设函数ℎ(x)=af(x)−g(x)，当a在区间[1, 2]内变化时，（1）求函数y=ℎ′(x)x∈[0, ln2]的取值范围；（2）若函数y=ℎ(x)，x∈[0, 3]有零点，求实数m的最大值．2014年浙江省高考数学二模试卷（提优卷）（理科）答案1. A2. B3. B4. C5. B6. A7. B8. D9. C10. B11. 4012. 213. 32314. 704915. 816. 240种17. (−94，0)∪(0,14)18. 解：（1）∵ a=3，A=60∘，b+c=3√2，∴ 由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，即9=18−3bc，∴ bc=3，则S △ABC =12bcsinA =32×√32=3√34； （2）∵ a =3，A =π3， ∴ 由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC 得：b+c sinB+sinC =a sinA =√32=2√3， ∵ b +c =3√2，∴ sinB +sinC =√22√3=√62， ∵ B +C =120∘，即B =120∘−C ，∴ sinB +sinC =sin(120∘−C)+sinC =√32cosC +12sinC +sinC =√32cosC +32sinC =√3sin(C +30∘)=√62，即sin(C +30∘)=√22， ∴ C +30∘=45∘或135∘，即C =15∘或C =105∘，则B =105∘，C =15∘或B =15∘，C =105∘．19. 解：（1）设c n =a n +1，则数列{1c n }是一个等差数列， 又1c 1=1256，d =1256． ∴1c n =1256+1256(n −1) =n 256∴ c n =256n∴ a n =c n −1=256n −1．（2）由（1）得b n =n ⋅a 2n =256n2n −n∵ 当n ≤256时，a n ≥0，由2k ≤256，得k ≤8∴ 数列{b k }的前8项和B 8最大．又B 8=256×(12+222+323+⋯+828)−(1+2+3+⋯+8)令T 8=12+222+323+⋯+828由错位相减法可求得T 8=2−5×(12)7 ∴ B 8=256×[2−5(12)7]−36=466．∴ B k 的最大值为466．20.解：（1）∵ ∠ACB =90∘，∴ AC ⊥BC ，当AC ⊥PC 时，AC ⊥平面PBC ，而PB ⊂平面PBC AC ⊥PB 时，PA =√AC 2+PC 2=√3+3=√6，即当PA =√6时，AC ⊥PB ．（2）在△PBC 中，∵ PC =√3，∠PBC =60∘，BC =1，∴ BC ⊥PC ，PB =2．当△PAB 的面积取得最大值时，∠PBA =90∘， 如图，在Rt △PBA 中，∵ BP =BA =2，∴ BD =√2，又在Rt △BCD 中，∵ BC =1，∴ CD =1，过C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，由于PA ⊥平面BCD ，∴ 平面BCD ⊥平面PBA ，由两个平面互相垂直的性质可知：CE ⊥平面PBA ， ∴ ∠CPE 就是直线PC 与平面PAB 所成角，在Rt △BCD 中，CE =BC⋅CDBD =1×1√2=√22， 在Rt △PEC 中，sin∠CPE =CE PC =√22÷√3=√66， ∴ 直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值是√66．21. 解：（1）设点M(x, y)，F(2, 0)，故P 点的坐标为(2x −2, 2y)， 代入椭圆方程得：(2x−2)25+(2y)2=1，即线段PF 的中点M 的轨迹C 2的方程为：4(x−1)25+4y 2=1； （2）设直线l 的方程为：x =my +2，解方程组{x =my +2x 25+y 2=1⇒(m 2+5)y 2+4my −1=0，△1=16m 2+4(m 2+5)=20m 2+20，当m >0时，则y A =−4m+2√5√m 2+12(m 2+5)， 解方程组{x =my +24(x−1)25+4y 2=1⇒4(m 2+5)y 2+8my −1=0，△2=64m 2+4(4m 2+20)=80m 2+80，|y c |=8m+4√5√m 2+12(4m 2+20)， 由题设|AB|=|FC|−|FB|，可得|AF|=|FC|，有|y A |=|y C |，所以−4m+2√5√m 2+12(m 2+5)=8m+4√5√m 2+12(4m 2+20)，即6m =√5√m 2+1(m >0)， 由此解得：m =√531，故符合题设条件的其中一条直线的斜率k=1m =√1555；当m<0时，同理可求得另一条直线方程的斜率k=−√1555，故所求直线l的方程是y=±√1555(x−2)．22. 解(I)原命题可化为[g(x)]min<[f(x)]min，令f′(x)=e x−2=0，得x=ln2．当x>ln2时，f′(x)>0；当x<ln2时，f′(x)<0，故当x=ln2时，y=f(x)取得极（最）小值，其最小值为2−2ln2；而函数y=g(x)的最小值为m，故当m<2−2ln2时，结论成立(II)(1)∵ 由ℎ(x)=a(e x−2x)−x2−m，∴ 可得ℎ′(x)=a(e x−2)−2x，将ℎ′(x)看作关于a的一次函数：当x∈[0, ln2]时，e x−2<0，因为a∈[1, 2]，故2(e x−2)−2x≤ℎ′(x)≤(e x−2)−2x，令M(x)=2(e x−2)−2x，x∈[0, ln2]，则M′(x)=2e x−2>0，M(x)在x∈[0, ln2]为增函数，故ℎ′(x)在x∈[0, ln2]最小值为M(0)=−2，又令N(x)=(e x−2)−2x，同样可求得N(x)在x∈[0, ln2]的最大值N(0)=−1，故函数y=ℎ′(x)在x∈[0, ln2]的值域为[−2, −1](II)(2)由（1）可知x∈[0, ln2]时，y=ℎ′(x)<0，故∀a∈[1, 2]，ℎ(x)在x∈[0, ln2]均为单调递减函数，故函数ℎ(x)max=ℎ(0)=a−m；当x∈[ln2, 3]时，∵ e x−2>0，a∈[1, 2]，∴ ℎ′(x)的值在区间[(e x−2)−2x, 2(e x−2)−2x]上变化，此时，对于函数M(x)=2(e x−2)−2x，存在x0∈[ln2, 3]，M(x)在x∈[ln2, x0]单调递减，在x∈[x0, 3]单调递增，∴ ℎ(x)在x∈[ln2, 3]的最大值为ℎ(3)=a(e3−6)−9−m，∵ a∈[1, 2]，ℎ(3)−ℎ(0)=a(e3−7)−9>0，∴ ℎ(3)>ℎ(0)，因此ℎ(x)的最大值是ℎ(3)=a(e3−6)−9−m，故当函数y=ℎ(x)有零点时，a(e3−6)−9−m≥0∵ a∈[1, 2]，m≤2(e3−6)−9，∴ 实数m的最大值是m=2(e3−6)−9=2e3−21．。

2014年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：1．集合()(){}1231A x x x =--≤，312B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则A B 为（ ）A ．1322x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤B ．312x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤C ．1322x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤ D ．1322x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤ 答案：D【考点】交集及其运算． 【专题】集合．【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可．【解答】解：由A 中的不等式变形得：22520x x -+≤，即()()2120x x --≤，解得：122x ≤≤，即122A x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤≤； 312B x x ⎧⎫∴=-<<⎨⎬⎩⎭， 1322A B x x ⎧⎫∴=<<⎨⎬⎩⎭ ．故选：D ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．在样本频率分布直方图中，共有五个小长方形，这五个小长方形的面积由小到大成等差数列{}n a ．已知212a a =，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为（ ） A ．100 B ．120 C ．150 D ．200 答案：A【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计．【分析】根据直方图中的各个矩形的面积代表了频率，各个矩形面积之和为1，求出小长方形面积最大的一组的频率，再根据频数=频率⨯样本容量，求出频数即可．【解答】解： 直方图中的各个矩形的面积代表了频率，这5个小方形的面积由小到大构成等差数列{}n a ，212a a =，1d a ∴=，313a a =，414a a =，515a a =根据各个矩形面积之和为1，则123451151a a a a a a ++++==1115a ∴=，小长方形面积最大的一组的频率为5115153a =⨯= 根据频率=频数样本容量可求出频数13001003=⨯=故选：A ．【点评】本题考查了频率、频数的应用问题，各小组频数之和等于样本容量，各小组频率之和等于1． 3．复数1z 、2z 满足()214i z m m =+-，()()22cos 3sin i ,,z m θλθλθ=++∈R ，并且12z z =，则λ的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．9,716⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．9,116⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：C【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用12z z =，可得22cos 43sin m m θλθ=⎧⎨-=+⎩，化为2394sin 816λθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用1sin 1θ-≤≤和二次函数的单调性即可得出．【解答】解：12z z = ，22cos 43sin m m θλθ=⎧∴⎨-=+⎩， 化为24sin 3sin θλθ=+，2394sin 816λθ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，1sin 1θ- ≤≤，∴当3sin 8θ=时，λ取得最小值916-；当sin 1θ=-时，λ取得最大值7．9716λ∴-≤≤．∴λ的取值范围是9,716⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：C ．【点评】本题考查了复数相等、正弦函数的单调性、二次函数的单调性，属于基础题．4．已知α是三角形的最大内角，且1cos22α=，则曲线221cos sin x y αα+=的离心率为（ ）ABCD答案：D【考点】双曲线的简单性质；二倍角的余弦． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件推导出150α=︒，曲线221cos sin x y αα+=等价转化为22112y =，由此能求出结果． 【解答】解：α 是三角形的最大内角，且1cos22α=，2300α∴=︒，150α∴=︒，cos cos150cos30α∴=︒=-︒=，1sin sin150sin302α=︒=︒=，∵曲线221cos sin x y αα+=，2112y 2∴=，a ∴=c =e=c a ∴==． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的求法，是中档题，解题时要熟练掌握三角函数的性质．5．已知实数x ，y 满足不等式组315033505x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则z x y =+的最大值为（ ）A ．15B ．17C ．20D ．30 答案：B【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合．【分析】由线性约束条件作出可行域，求出最优解，则目标函数的最大值可求．【解答】解：由不等式组315033505x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥作可行域如图，联立31503350x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得98x y =⎧⎨=⎩．()9,8B ∴．由图可知，使z x y =+取得最大值的最优解为()9,8B ． z x y ∴=+的最大值为9817+=．故选：B ．【点评】本题只是直接考查线性规划问题，近年来线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合法是重要的数学思想方法，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．是中档题．6．已知i为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6⎛ ⎝的展开式中含2x -的系数是（ ）A ．192B ．32C ．42-D ．192- 答案：C【考点】程序框图；二项式定理的应用． 【专题】算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件100S ≤，求得输出i 的值，再利用二项展开式定理的通项公式求得2x -的系数．【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行i=1，11021S -=+=； 第二次运行i=1+1=2，21123S -=+=； 第三次运行i=2+1=3，21227S =++=； 第四次运行i=3+1=4，37215S =+=； 第五次运行i=4+1=5，415231S =+=； 第六次运行i=5+1=6，531263S =+=； 第七次运行i=6+1=7，6632127S =+=． 不满足条件100S ≤，输出i=7，6⎛∴ ⎝的通项()662216C 71r rr r r r T x x ---+=⋅⋅-⋅，令6222r r --=-得5r =，2x-∴的系数为()5561C 742-⋅⋅=-．故选：C ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，考查了二项展开式定理，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．7．若双曲线()2210,0x y a b a b -=>>和椭圆()2210x y m n m n+=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=（ ） A ．22m a - B．()12m a - D ．()m a - 答案：D【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】在同一直角坐标系中作出双曲线()2210,0x y a b a b -=>>和椭圆()2210x y m n m n+=>>的图形，利用双曲线与椭圆的定义得到1PF 与2PF 的关系式，从而可求得12PF PF ⋅的值．【解答】解：依题意，作图如下：不妨设点P 为第一象限的交点则12PF PF +=，①12PF PF -=②22①-②得：()1244PF PF m a ⋅=-，12PF PF m a ∴⋅=-，故选：D ．【点评】本题考查双曲线与椭圆的定义及其标准方程，考查作图与运算求解能力，属于中档题． 8．已知函数()e x f x =，如果1x ，2x ∈R ，且12x x ≠，下列关于()f x 的性质： ①()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦； ②()y f x =不存在反函数；③()()121222x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭；④方程()2f x x =在()0,+∞上没有实数根，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④答案：B【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性判断①的正误；通过函数具有反函数的性质判断②的正误；利用函数的凹凸性判断③的正误；函数的零点判断④的正误．【解答】解：函数()e x f x =，函数是单调增函数，如果1x ，2x ∈R ，且12x x ≠， ①()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；说明函数是增函数，满足题意，∴①正确； ②()y f x =不存在反函数；函数有反函数函数必须是单调函数，∴②不正确；③具有性质()()121222x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭的函数是凸函数，而()e x f x =是凹函数；∴③不正确； ④方程()2f x x =，即2e x x =，函数()e x f x =，()2g x x =．在()0,+∞上没有交点，就是说分没有实数根，∴④正确．综上正确的结果为：①④． 故选：B ．【点评】本题考查函数的基本性质的应用，函数的单调性、反函数函数的凹凸性以及函数的零点，基本知识考查．9．设{}n a 是等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，对任意正整数n ，有1220n n n a a a ++++=，又12a =，则101S =（ ） A ．200 B ．2 C ．2- D ．0答案：B【考点】等比数列的性质；等比数列的前n 项和． 【专题】计算题．【分析】设出等比数列的公比为q ，利用等比数列的性质化简已知的等式，根据0n a ≠，等式左右两边同时除以n a ，得到关于q 的方程，求出方程的解得到公比q 的值，由1a 及q 的值，利用等比数列的前n 项和公式即可求出101S 的值．【解答】解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，对任意正整数n ，有1220n n n a a a ++++=， 220n n n a a q a q ∴++=，又0n a ≠，可得：2120q q ++=， 解得： 1q =-，又12a =， 则()101211211S ⨯+==+．故选B【点评】此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n 项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．10．在三棱椎P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（ ）CDAP正视图侧视图A ．AD ⊥平面PBC 且三棱椎D ABC -的体积为83B ．BD ⊥平面PAC 且三棱椎D ABC -的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱椎D ABC -的体积为163D ．BD ⊥平面PAC 且三棱椎D ABC -的体积为163答案：C【考点】直线与平面垂直的判定；命题的真假判断与应用；简单空间图形的三视图． 【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可证明直线与平面垂直，求出几何体的体积即可．【解答】解：PA ⊥ 平面ABC ，PA BC ∴⊥，又AC BC ⊥，PA AC A = ， BC ∴⊥平面PAC ， BC AD ∴⊥，又由三视图可得在PAC △中，4PA AC ==，D 为PC 的中点， AD PC ∴⊥，AD ∴⊥平面PBC ．又4BC =，90ADC ∠=︒，BC ⊥平面PAC ．故11164323D ABC B ADC V V --==⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的体积的求法，考查命题的真假的判断与应用．11．已知函数()2cos sin f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ． ()f x 既是偶函数又是周期函数B ．()f x 最大值是1C ． ()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图象关于直线πx =对称答案：B【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A 、B 、C 、D 四个选项逐一分析即可． 【解答】解：A ，()2cos sin f x x x = ，()()()()22cos sin cos sin f x x x x x f x ∴-=--==， ()f x ∴是偶函数；又()()()()222πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x f x +=+=+==， ()f x 是周期函数；()f x ∴既是偶函数又是周期函数，即A 正确；B ，cos 1x ≤，2sin 1x ≤，二者不能同时取到等号，∴无论x 取什么值，()2cos sin f x x x =均取不到值1，故B 错误；C ，()()()()2222πcos sin cos πsin πcos sin cos sin 0f x f x x x x x x x x x +-=+--=-= ， ()f x ∴的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，即C 正确；D ，()()()()222πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x f x -=--== ， ()f x ∴的图象关于直线πx =对称，即D 正确．综上所述，结论中错误的是：B ．故选：B ．【点评】本题考查三角函数的性质，着重考查函数的周期性、奇偶性、对称性及最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．12．自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运劝，点Q 在OB 上运动且保持PQ为定值a（点P ，Q 不与点O 重合），已知60AOB ∠=︒，a =PQ PO QP QOPO QO ⋅⋅+ 的取值范围为（ ）答案：BA ．1,2⎡⎢⎣ B ．,⎝ C ．1,2⎛- ⎝ D ．7⎛⎤ ⎥ ⎝⎦答案：B【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．【分析】作图，记向量PQ 与PO 的夹角为α，0120α︒<<︒可得向量QP 与QO的夹角为120α︒-，可得()cos cos 120PQ PO QP QO PQ QP PO QOαα⋅⋅+=+︒-，由三角函数的公式化简结合角的范围可得所求．【解答】解：（如图）记向量PQ 与PO的夹角为α，0120α︒<<︒可得向量QP 与QO的夹角为()18060120αα︒-︒+=︒-， ()cos cos 120PQ PO QP QO PQ QP PO QO αα⋅⋅∴+=+︒-()1120cos cos 2ααααα⎫=+︒-=-+⎪⎪⎭()1cos302ααα⎫==+︒⎪⎪⎭0120α∴︒<<︒，3030150α∴︒<+︒<︒()1sin301α∴<+︒≤()30α<+︒≤.PQ PO QP QOPO QO⋅∴+的取值范围为,⎝故选：BA120°-ααOQB【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角函数的化简及应用，属中档题．二、填空题：13．过圆22240x y x y++-=的圆心，且与直线230x y+=垂直的直线方程为．答案：3270x y-+=【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】求出圆的圆心，以及直线的斜率，利用点斜式方程即可得到直线的方程．【解答】解： 圆的标准方程为()()22125x y++-=，∴圆心坐标为()1,2-，直线230x y+=的斜率23k=-，则与直线230x y+=垂直的直线斜率32k=，∴所求的直线方程为()3212y x-=+，即3270x y-+=，故答案为：3270x y-+=【点评】本题主要考查直线方程的求法，求出圆心坐标以及直线斜率是解决本题的关键，比较基础．14．四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有对．答案：5【考点】平面与平面垂直的判定；棱锥的结构特征．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】因为PA⊥平面ABCD，得到2组互相垂直的平面．再利用四边形ABCD为正方形得到其他互相垂直的平面即可．【解答】解：因为PA⊥平面ABCD，所以平面PDA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥平面PAD⇒平面ABP⊥平面PAD，同理可得平面PBC⊥平面PAB．平面PAD⊥平面PAB．故图中互相垂直的平面共有5组．故答案为：5．CBDAP【点评】本题考查面面垂直的判定．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．15．已知()24g x x =--，()f x 为二次函数，满足()()()()0f x g x f x g x ++-+-=，且()f x 在[]1,2-上的最大值为7，则()f x = ．答案：2142x x -+或224x x -+【考点】二次函数的性质． 【专题】函数的性质及应用．【分析】设出函数的解析式，由()()()()0f x g x f x g x ++-+-=，可得二次项系数和常数项，结合二次函数的图象和性质分类讨论()f x 在[]1,2-上的最大值为7时，一次项系数的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：()f x 为二次函数，∴设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()()()()()()222224422280f xg x f x g x ax bx c x ax bx c x a x c ++-+-=+++--+-++--=-+-=即220280a c -=⎧⎨-=⎩解得：14a c =⎧⎨=⎩()24f x x bx ∴=++，()f x 的图象是开口朝上且以直线2bx =-为对称轴的抛物线故当122b -≤，即1b -≥时，()f x 在[]1,2-上的最大值为()2287f b =+=，解得12b =-故当122b -≥，即1b -≤时，()f x 在[]1,2-上的最大值为()157f b -=-+=，解得2b =-，()2142f x x x ∴=-+或()224f x x x =-+，故答案为：2142x x -+或224x x -+．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握选定系数法的步骤和二次函数的图象和性质是解答的关键． 16．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群， ，第n 群， ，第n 群恰好n 个数，则第n 群中n 个数的和是 ．111828404832914202416710128564321答案：3223nn ⋅-- 【考点】归纳推理．【专题】规律型；等差数列与等比数列．【分析】观察图例，我们可以得到每一行的数第一个构成一个以1为首项，以2为公比的等比数列，每一行的从右边的第k 个数都构成一个以2k 为公差的等差数列，进而可分析出第n 群中n 个数的和的表达式．【解答】解：观察图例，我们可以得到每一行的数第一个构成一个以1为首项，以2为公比的等比数列，每一行的从右边的第k 个数都构成一个以2k 为公差的等差数列， 故第n 群的第一个数为：12n -，第n 群的第二个数为：2122232n n n ---+=⋅， 第n 群的第三个数为：22322252n n n ---+⨯=⋅， …第n 群的第1n -个数为：()()2222232n n +-⨯=-⋅， 第n 群的第n 个数为：()11221n n +-⨯=-，故第n 群中n 个数的和()()1232325223221n n n n S n n ---=+⋅+⋅++-⋅+- ，…① 故()()122223252232212n n n n S n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，…② ②-①得：()()122222222213223n n n n n S n n --=+++++--=⋅-- ，故答案为： 3223n n ⋅--【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，己知()πcos ,A A =，()2cos ,2cos n A A =-，π1n ⋅=- ．（Ⅰ）若a =2c =，求ABC △的面积；（Ⅱ）求()2cos 60b ca C -︒+的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算． 【专题】三角函数的求值． 【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为1-，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A 的度数，由a 与c 的值，利用正弦定理求出sin C 的值，即可确定出ABC △的面积；（Ⅱ）原式利用正弦定理化简后，根据A 的度数，得到B C +的度数，用C 表示出B ，代入关系式整理后约分即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）()πcos ,A A = ，()2cos ,2cos n A A =-，π1n ⋅=- ．222cos cos cos 211A A A A A ∴-=+=-，即2212cos 22A A ⎫--=-⎪⎪⎝⎭， πsin 216A ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，A 为三角形内角，ππ262A ∴-=，即π3A =，a = 2c =，∴由正弦定理sin sin a cA C=，得：2sin 1sin 2c A C a ===， C 为三角形内角，π6C ∴=，π2B ∴=，则122ABC S =⨯⨯△；（Ⅱ）2sin sin sin a b cR A B C=== ，即2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，∴原式()1sin 2sin sin 1202sin 60sin 2sin 2sin cos 60C C C C C C B C A C +-︒--︒+-======︒+【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位参赛者去询问成绩，回答者对甲说“根遗憾，你和乙都投有得到冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”． （Ⅰ）从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况；（Ⅱ）比赛组委会规定，第一名获奖金1000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四及第五名没有奖金，求丙获奖金数的期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用． 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）由已知条件，先求出冠军有几种可能，再求乙的名次有几种可能，上述位置确定后，求出甲连同其余二人可任意排列，有几种可能，按乘法原理计算名次排列的可能情况的种数．（Ⅱ）丙可能获得第一名、第二名、第三名、第四名或第五名，并分别求出相应的概率，能得到随机变量丙获得奖金数X 的可能取值为1000，800，600，0，由此能求出结果． 【解答】解：（Ⅰ） 甲、乙都没有得冠军， ∴冠军是其余3人中的一个，有13A 种可能， 乙不是第五名，∴乙是第二、第三或第四名中的一名，有13A 种可能，上述位置确定后，甲连同其余二人可任意排列，有33A 种可能， ∴名次排列的可能情况的种数有：113333A A A 54⋅⋅=种可能．（Ⅱ）丙可能获得第一名、第二名、第三名、第四名或第五名，P （丙获第一名）13=，P （丙获第二名）111222C C C 45427==， P （丙获第三名）P =（丙获第四名）427=，P （丙获第五名）29=，∴随机变量丙获得奖金数X 的可能取值为1000，800，600，0，()110003P X p ==，()480027P X ==， ()460027P X ==， ()4210027927P X ==+=， 1441460010008006003272727EX =⨯+⨯+⨯=（元）． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题．解题时要注意排列组合的合理运用．19．已知四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，2PC =，且底面ABCD 是边长为1的正方形．E 是最短的侧棱PC 上的动点．（Ⅰ）求证：P 、A 、B 、C 、D 五点在同一个球面上，并求该球的体积；（Ⅱ）如果点F 在线段BD 上，3DF BF =，EF ∥平面PAB ，求PEEC 的值．DAFBCEP【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积． 【专题】综合题；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）设PA 的中点为M ，证明CM PM AM BM DM ====，即可得出结论； （Ⅱ）连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK ，则利用线面平行的性质，可得EF PK ∥，利用3DF BF =，AB CD ∥，即可得出结论． 【解答】（Ⅰ）证明：设PA 的中点为M ，则 PAC △为直角三角形，CM PM AM ∴===．设正方形ABCD 的中心为点O ，则OM PC ∥，1OM =且PC ⊥底面ABCD ， OM ∴⊥底面ABCD ， O 为BD 的中点，BM DM ∴==，CM PM AM BM DM ∴====，P ∴、A 、B 、C 、D 五点在以M 为球心，球的体积为34π3⋅=⎝⎭； （Ⅱ）解：连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK ，则EF ∥平面PAB ，EF ⊂面PCK ，面PCK 平面PAB PK =， EF PK ∴∥，3DF BF = ，AB CD ∥，3CF KF ∴=， EF PK ∥，3CE PE ∴=， 13PE EC ∴=．EP【点评】本题考查线面平行的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆()2222:10x y E a b ab+=>>，过其右焦点2F 作与x 轴垂直的直线l 与该椭圆交于A 、B 两点，与抛物线24y x =交于C 、D 两点，且AB = ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若过点()2,0M 的直线与椭圆E 相交于G 、H 两点，设P 为椭圆E 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当OG OH -< 时，求实数t 的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题设条件推导出2222c a baa b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，由此能求出椭圆E 的方程．（Ⅱ）设直线GH 的方程为2x my =+，联立22213216x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224280m y my ++-=，由此入手能求出实数t 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ） 直线l 过右焦点2F 且于x 轴垂直，22bAB a∴=，CD =又 椭圆E，且AB =，2222c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪∴=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得223216a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴椭圆E 的方程为：2213216x y +=．（Ⅱ）由题意知直线GH 的斜率不为0，设直线GH 的方程为2x my =+，联立22213216x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2224280m y my ++-=，设(),P x y ，()11,G x y ，()22,H x y ，12242m y y m ∴+=-+，122282y y m =-+， ()12122842x x m y y m ∴+=++=+， OG OH tOP += ，1221228242tx x x m m ty y y m ⎧=+=⎪⎪+∴⎨⎪=+=-⎪+⎩，()()2284,22m P t m t m ⎛⎫ ⎪∴- ⎪++⎝⎭， P 点在椭圆上，∴将P 点代入椭圆方程，得2212t m =+，OG OH -()()222121GH m y y ∴=+-()()22121214m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦()22224428122m m m m ⎡⎤-⨯⎛⎫=++⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()()()222232147641192m m m++⨯=<+, 421411250m m +-<,201m ∴<≤，22111,232t m ⎛⎫∴=∈ ⎪+⎝⎭，,t ⎡∴∈⎢⎣⎭⎝⎦． ∴实数t的取值范围是,⎡⎢⎣⎭⎝⎦． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，解题时要综合运用直线与圆锥曲线的位置关系，合理地进行等价转化．21．已知函数()()()32ln 2123x f x ax x ax a =++--∈R ，（Ⅰ）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当12a =-时，方程()()3113x b f x x --=+有实根，求实数b 的最大值． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．有 【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）()y f x =在[)3,+∞上为增函数，等价于()'f x ()()2221442021x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+≥在[)3,+∞上恒成立，分类讨论，当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有210ax +>对3x ≥恒成立，故只能0a >，所以()()22214420ax a x a +--+≥在[)3,+∞上恒成立，构造函数()()()2221442g x ax a x a =+--+，要使()0g x ≥在[)3,+∞上恒成立，只要()30g ≥即可，从而可求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当12a =-时，方程()()3113x b f x x --=+有实根，等价于23ln b x x x x =+-在()0,+∞上有解，即求()23ln g x x x x x =+-的值域．构造()()2ln 0h x x x x x =+->，证明()h x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数，即可得出结论．【解答】解：（I ）因为函数()y f x =在[)3,+∞上为增函数， 所以()()()2221442'021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+≥在[)3,+∞上恒成立当0a =时，()()'20f x x x =-≥在[)3,+∞上恒成立，所以()y f x =在[)3,+∞上为增函数，故0a =符合题意当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有210ax +>对3x ≥恒成立，故只能0a >， 所以()()22214420ax a x a +--+≥在[)3,+∞上恒成立 令函数()()()2221442g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-， 因为0a >，所以1114a-<， 要使()0g x ≥在[)3,+∞上恒成立，只要()30g ≥即可， 即()234610g a a =-++≥，a ≤因为0a >，所以0a <≤综上所述，a 的取值范围为0,⎡⎢⎣⎦；（Ⅱ）当12a =-时，方程()()3113x b f x x --=+有实根，等价于23ln b x x x x =+-在()0,+∞上有解， 即求()23ln g x x x x x =+-的值域．令()()2ln 0h x x x x x =+->，则()()()211'x x h x x+-=，01x ∴<<时，()'0h x >，从而()h x 在()0,1上为增函数，当1x >时()'0h x <，从而()h x 在()1,+∞上为减函数， ()()10h x h ∴=≤， 0x > ，()0b xh x ∴=≤， 1x ∴=时，b 取得最大值0．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，构建函数是关键，也是难点．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．如图所示，ABC △是圆O 的内接三角形，AC BC =，D 为弧AB 上任一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．（Ⅰ）求证：BD AE =；（Ⅱ）若AC BC ⊥，求证：AD BD +=．【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】直线与圆． 【分析】（Ⅰ）由题意知CAD E ECA CAB BAD ∠=∠+∠=∠+∠，由此能够证明ECAQD DCB △△，从而得到BD AE =．（Ⅱ）由已知条件推导出90ECA ACD ∠+∠=︒，DE=，由此能够证明AD CD +． 【解答】（Ⅰ）证明：由题意知CAD E ECA CAB BAD ∠=∠+∠=∠+∠， AC BC = ，CAB DCB ∴∠=∠，ECA DCB ∴∠=∠， ECAQD DCB ∴△△，BD AE ∴=．（Ⅱ）证明：AC BC ⊥ ，90ACB DAB ACD ∴∠=︒=∠+∠， 90ECA ACD ∴∠+∠=︒，CECD = ，DE ∴=， BD AE = ，AD BD DE +=，AD CD ∴+=．【点评】本题考查线段长相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的灵活运用． 五、坐标系与参数方程23．己知直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）．（I ）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ；（Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】坐标系和参数方程． 【分析】（I ）把参数方程化为普通方程，联立方程组求得点A 、B 的坐标，可得AB 的值．（Ⅱ）由题意求得曲线2C 的参数方程，设点1cos ,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求得点P到直线l的距离π24d θ⎤⎛⎫=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦，再根据正弦函数的值域，求得d 的最小值． 【解答】解：（I）直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的普通方程为)1y x -；曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）的直角坐标方程为221x y +=．由)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，求得11x y =⎧⎨=⎩，或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，()1,0A ∴、1,2B ⎛ ⎝⎭．1AB ∴==． （Ⅱ）由题意可得曲线2C的参数方程为1cos 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），设点1cos ,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则点P 到直线l 的距离π24d θ⎤⎛⎫=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦， 故当πsin 14θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d)1． 【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题 六、不等式选讲24．已知函数()1f x x x a =-+-．（Ⅰ）若2a =，解不等式()2f x ≥；（Ⅱ）若1a >，x ∀∈R ，()11f x x +-≥，求实数a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当2a =时，()23,1121,1223,2x x f x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=⎨⎪->⎩≤≤，解不等式()2f x ≥即可求得答案；（Ⅱ）令()()1F x f x x =+-，则()32,12,132,x a x F x x a x a x a x a -++<⎧⎪=-+<⎨⎪--⎩≤≥函数先单调递减，再单调增，从而可得实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，()23,1121,1223,2x x f x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=⎨⎪->⎩≤≤，而()2f x ≥，解得12x ≤或52x ≥．（Ⅱ）令()()1F x f x x =+-，则()32,12,132,x a x F x x a x a x a x a -++<⎧⎪=-+<⎨⎪--⎩≤≥()y F x = 在(),1-∞上单调递减，在[)[)1,,a a +∞ 上单调递增，∴当1x =时，()F x 有最小值()11F a =-，11a ∴-≥，解得2a ≥，∴实数a 的取值范围为[)2,+∞．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论去掉绝对值符号是关键，考查运算求解能力，属于中档题．。

2013年高数（二）预测真题第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、选错或多选者，该题无分. 1．下列极限等于1的是 （ ）A ．arctan limx x x →∞ B. 0arctan lim x xx→C ．21lim 35x x x →∞++ D. sin lim x x x→∞2．函数1y x =+在x = 0处 （ ） A ．无定义 B. 不连续C ．连续但是不可导 D. 可导 3. 函数y =1()2x xe e -+在区间（1-，1）内 （ ） A. 单调减少 B. 单调增加 C. 不增不减 D. 有增有减4. 函数()f x =42246x x x -+在定义域内的凸区间是 （ ） A ．（,0-∞） B.（2,2-） C.（0,+∞） D.（,-∞+∞）5. 若()xf t dt ⎰=42x ，则40f dx ⎰等于 （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 166.积分22sin 1cos xdx xππ+⎰等于 （ ）A. 1-B. 0C. 1D. 27. 若kxe dx -∞⎰=13，则k 等于 （ ） A. 13 B. 13- C. 3 D. 3-8. 设z =xyxe ，则z x∂∂等于 （ ）A. xy xyeB. 2xyx e C. xye D. (1)xyxy e +9.设函数z =2ln x y xy e +，则(1,2)|zy∂∂= （ ） A ．2122e - B ．212e + C ．212e + D ．21e +10．把两封信随机地标号为1，2，3，4的四个邮筒中，则1，2号邮筒各有一封信的概率等于 （ ） A.116 B. 112C. 18D. 14第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、 填空题（本大题共10小题，10个空，每空4分，共40分.把答案填在题中的横线上） 11. 32lim(1)xx x→∞-=________.12. y =tan xe ，则(0)y '=________.13. 设y =()y x 由222x xy y +-=2x 确定且(2)y = 0，则2|x y ='=_______.14. 曲线222x y x +=在(1,1)A 处的切线方程为________.15. 曲线y =32321x x x -++的拐点是_________.16.11)(1)dx x+⎰=_________. 17．sin 2cos x xdx ⎰=_________.18．1-⎰=_________.19．1ln exdx ⎰=_________.20．若z =ln()yx e +，则2zx y∂∂∂=_________.三、解答题（本大题共8个小题，共70分.解答应写出推理、演算步骤） 21.（本题满分8分） 计算2x →求极限011lim()11xx x e →---.23. （本题满分8分） 求x xe dx +∞-⎰.24. （本题满分8分）设f ''存在，z =1()f xy x +1()yf x y x +，求2zx y∂∂∂.25. （本题满分8分）一个袋子中有5只球，编号为1，2，3，4，5从中同时任取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，求随机变量X 的概率分布.26. （本题满分10分）求y =32231214x x x --+的极值点和极值以及函数曲线的凹凸区间、拐点.27. （本题满分10分） 设z =2sin()xy +2x ye ，求dz .当x ＞0时，证明xe ＞1x +.参考答案一、选择题1.B2.C3.D4.B5.D6.B7.C8.D9.B 10.C 二、填空题 11. 16e- 12.12 13. 12- 14. y =1 15.（1，1） 16. 312222ln 3x x x x C -+-+17. 32cos 3x C -+ 18. 227 19.120. 2()yy e x e -+三、解答题21.解：原式=2x →0x →t原式=211lim 1t t t→--=1lim(1)t t →+= 2.22.解：该极限属”,∞-∞”型不定式，可通分后求极限.原式=01lim (1)x x x e xx e →---=01lim 1x x x x e e xe →--+=0lim x x x x x e e e xe →++=12. 23.解：x xe dx +∞-⎰=0limAx A xe dx -→+∞⎰=0limAx A xde -→+∞⎰=0lim ()|xAA xe -→+∞-+0limAx A e dx -→+∞⎰=lim ()AA Ae-→+∞-+0lim ()|x A A e -→+∞-=lim (1)A A e -→+∞-= 1. 24.解z x ∂∂=21()f xy x -+1()f xy y x'∙+()yf x y '+2zx y∂∂∂=21()f xy x x '-∙+1[()()]f xy yf xy x x '''∙∙+()f x y '++()yf x y ''+=()yf xy ''+()f x y '++()yf x y ''+.25.解：依题意，随机变量X 只能取值3，4，5；且{}3P X ==351C =110. 所以，X 的概率分布为：26．解：y '=26612x x -- y ''=126x - 令y '= 0得驻点1x =1-，2x = 2当2x = 2时，y ''=18＞0 ∴()f x 在2x =取极小值6.1x =1-时，y ''＜0 ∴()f x 在x =1-处取极大值1.又，令y ''= 0，得x =12，x ＜12时，y ''＜0，从而曲线为凸的；x ＞12时，y ''＞0，从而曲线为凹的；且曲线有拐点（12，152）.27.解：z x∂∂=2cos xy 2y ∙+22x y e xy ∙z y∂∂=2cos xy 2xy ∙+2x e y ∙2x ∴dz =（22cos y xy +22x y xye ）dx +（22cos xy xy +22x y x e ）dy .28.解：证明：在[0,]x 上关于()F x =xe 使用拉格朗日定理，()F x -(0)F =()(0)F x ε'-ε∈（0,x ），即 1x e -=e x ε∙由于e ε＞1 ∴1xe -＞x 即xe ＞1x +.。

第二部分应试模拟高等数学(二)应试模拟第1套一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．1．当x→2时，下列函数中不是无穷小量的是（）．A．B．C．D．2．A．-3B．一1C．0D．不存在3．A．B．C．D．4．A．B．C．D．5．A．0B．2x3C．6x2D．3x26．设ƒ(x)的一个原函数为Inx，则ƒ(x)等于（）．A．B．C．D．7．A．y=x+1B．y=x-1C．D．8．A．0B．e一1C．2(e-1)D．9．A.y4cos(xy2)B.- y4cos(xy2)C.y4sin(xy2)D.- y4sin(xy2)10．设100件产品中有次品4件，从中任取5件的不可能事件是（）．A．“5件都是正品”B．“5件都是次品”C．“至少有1件是次品”D．“至少有1件是正品”二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题：21～28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．21．22．23．24．25．(本题满分8分)设事件A与B相互独立，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，求P(A+B).26．27．28．(本题满分10分)求由曲线y=2-x2，)，=2x-1及X≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．高等数学(二)应试模拟第1套参考答案及解析一、选择题1．【答案】应选C．2．【答案】应选D．【解析】本题考查的知识点是分段函数在分段点处的极限计算．分段点处的极限一定要分别计算其左、右极限后，再进行判定．3．【答案】应选A．【提示】本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式．只需注意e3是常数即可．4．【答案】应选D．5．【答案】应选C．【解析】本题考查的知识点是函数在任意一点x的导数定义．注意导数定义的结构式为6．【答案】应选A．【提示】本题考查的知识点是原函数的概念，因此有所以选A．7．【答案】应选B．【解析】本题考查的知识点是：函数y=ƒ(x)在点(x，ƒ(x))处导数的几何意义是表示该函数对应曲线过点(x,ƒ(x)))的切线的斜率．由可知，切线过点(1，0)，则切线方程为y=x-1，所以选B．8．【答案】应选C．【解析】本题考查的知识点是奇、偶函数在对称区间上的定积分计算．注意到被积函数是偶函数的特性，可知所以选C．9．【答案】应选D．【提示】 z对x求偏导时应将y视为常数，则有所以选D．10．【答案】应选B．【解析】本题考查的知识点是不可能事件的概念．不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件．由于只有4件次品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以选B．二、填空题11．【答案】应填2．12．13．【答案】应填一2sin 2x．【提示】用复合函数求导公式计算即可．14．【答案】应填4．15．【答案】应填1．16．【提示】凑微分后用积分公式．17．【答案】应填2In 2．【解析】本题考查的知识点是定积分的换元积分法．换元时，积分的上、下限一定要一起换．18．19．【答案】20．【答案】应填0．【解析】本题考查的知识点是二元函数的二阶混合偏导数的求法．三、解答题21．【解析】型不定式极限的一般求法是提取分子与分母中的最高次因子，也可用洛必达法则求解．解法１解法2洛必达法则．22．本题考查的知识点是函数乘积的导数计算．23．本题考查的知识点是凑微分积分法．24．本题考查的知识点是定积分的凑微分法和分部积分法．【解析】本题的关键是用凑微分法将ƒ(x)dx写成udυ的形式，然后再分部积分．25．本题考查事件相互独立的概念及加法公式．【解析】若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．P(A+B)=P(A)+P(B)-p(AB)=P(A)+P(B)-p(A)P(日)=0．6+0．7-0．6×0．7=0．88．26．本题考查的知识点是利用导数的图像来判定函数的单调区间和极值点，并以此确定函数的表达式．编者希望通过本题达到培养考生数形结合的能力．【解析】 (1)(2)因为由上面三式解得α=2，b=-9，c=12．27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法．利用公式法求导的关键是需构造辅助函数然后将等式两边分别对x(或y或z)求导．读者一定要注意：对x求导时，y，z均视为常数，而对y或z求导时，另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量．求全微分的第三种解法是直接对等式两边求微分，最后解出出，这种方法也十分简捷有效，建议考生能熟练掌握．解法1等式两边对x求导得解法2解法328．本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算．【解析】本题的难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积S．求面积的关键是确定对x积分还是对Y积分．确定平面图形的最简单方法是：题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的．确定对x积分还是对y积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示．本题如改为对y积分，则有计算量显然比对x积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键．在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是戈轴还是y轴．由于本题在x轴下面的图形绕x轴旋转成的体积与x轴上面的图形绕x轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算x轴上面的图形绕戈轴旋转的旋转体体积即可．如果将旋转体的体积写成上面的这种错误是考生比较容易出现的，所以审题时一定要注意．解由已知曲线画出平面图形为如图2—1—2所示的阴影区域．文章来源：更多成考资源资料下载完全免费。