2.5曲线与与方程 学案

曲线与方程教案
教案标题：曲线与方程
教案目标：
1. 了解曲线与方程的基本概念和关系；
2. 掌握曲线与方程之间的相互转化方法；
3. 学会利用曲线图解和方程表示解决实际问题。

教案内容：
一、引入与导入
1. 准备一些简单的曲线图形，如直线、抛物线等，并与学生讨论曲线的特征和方程的关系。

2. 引导学生思考曲线与方程之间的关系，并提出探究的问题：“何为曲线的方程？如何通过给定的曲线图形确定方程？”
二、学习活动
1. 理论学习：
a. 讲解曲线与方程的定义和基本概念。

b. 介绍常见曲线的特征和对应方程的形式。

c. 解释如何通过给定的曲线图形确定方程，并举例进行说明。

2. 实例演练：
a. 给出一些曲线图形，要求学生写出对应的方程，并互相交流、比较答案。

b. 给出一些方程，要求学生画出对应的曲线图形，并互相交流、比较结果。

3. 拓展应用：
a. 提供一些实际问题，要求学生通过曲线图形解决问题，并
用方程表示结果。

b. 小组合作，设计一个实际问题，并用曲线和方程解决问题，然后分享给全班。

三、巩固与拓展
1. 布置相关作业，要求学生进一步巩固并展开所学内容。

2. 提供更多的曲线与方程的相关资料供学生自主学习和拓展。

3. 搜集一些有趣的曲线图形和对应的方程，与学生分享。

教案总结：
通过本节课的学习，学生理解了曲线与方程之间的关系，掌握了确定曲线方程和绘制曲线图形的方法，并能够运用所学知识解决实际问题。

同时，通过拓展应用和自主学习，学生对曲线与方程的理解和应用也得到了拓展和巩固。

曲线与方程教案一、教学目标1. 了解曲线的基本概念和性质；2. 掌握曲线的方程的求法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1. 曲线的基本概念和性质（1）曲线的定义曲线是指平面上的一条不断变化的线条，可以是直线、圆、椭圆等等。

（2）曲线的性质曲线有很多性质，其中比较重要的有：• 曲线的长度：曲线的长度是指曲线上所有点的连线的长度之和； • 曲线的斜率：曲线的斜率是指曲线在某一点的切线的斜率；• 曲线的凸性：曲线的凸性是指曲线在某一点的切线与曲线的交点在曲线的上方或下方。

2. 曲线的方程的求法（1）直线的方程直线的方程可以表示为 y =kx +b 的形式，其中 k 是直线的斜率，b 是直线的截距。

（2）圆的方程圆的方程可以表示为 (x −a )2+(y −b )2=r 2 的形式，其中 (a,b ) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。

（3）椭圆的方程椭圆的方程可以表示为(x−a )2a 2+(y−b )2b 2=1 的形式，其中 (a,b ) 是椭圆的中心的坐标。

3. 应用实例（1）例题一已知一条直线的斜率为 2，截距为 3，求该直线与 x 轴、y 轴的交点坐标。

解：直线与 x 轴的交点坐标为 (32,0)，与 y 轴的交点坐标为 (0,3)。

（2）例题二已知一个圆的圆心坐标为 (2,3)，半径为 4，求该圆的方程。

解：该圆的方程为 (x −2)2+(y −3)2=16。

（3）例题三已知一个椭圆的中心坐标为 (2,3)，长轴长度为 6，短轴长度为 4，求该椭圆的方程。

解：该椭圆的方程为 (x−2)29+(y−3)24=1。

三、教学方法本教案采用讲授、练习、讨论等多种教学方法，注重理论与实践相结合，注重学生的主动参与和思考。

四、教学评价本教案注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，能够提高学生的数学素养和综合能力，是一份优秀的教学资源。

1《曲线和方程》教案2【课题】曲线和方程3【教材】人教版普通高中课程标准实验教科书——数学选修2-14【教学目标】5◆知识目标：61、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；72、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；83、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；94、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

10◆能力目标：1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系1112的认识；132、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；14153、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化16化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识；17◆情感目标：181、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；192、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

2021【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念22【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程23【教学方法】问题探索和启发引导式相结合24【教具准备】多媒体教学设备25【教学过程】一、感性认识阶段——以旧带新，提出课题2627师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应28关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何29一个二元一次方程也表示着一条直线。

下面看一个具体的例子：30（出示幻灯片2）幻灯片231借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论：3233（出示幻灯片3）3435（出示幻灯片4，引导学生类比、推广并思考相关问题）3637师：以上问题就是本节课研究的内容：曲线和方程（板书课题）。

38幻灯片4类比：推广：幻灯片31、直线上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。

2.1.1曲线与方程【学习目标】理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．【重点难点】重点：求曲线的方程难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法【使用说明及学法指导】阅读课本P34-35，完成下列任务。

在自主学习中，学生紧抓曲线的方程概念。

预习案一、知识梳理曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二元方程F(x,y)=0之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C上的点的坐标，都是方程F(x,y)=0的解；2．以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，都是曲线C上的点，那么，方程F(x,y)=0叫做；曲线C叫做．注意：1︒如果……，那么……2︒“点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法．4︒曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．（请学生再认真阅读一遍课本中的定义，真正弄懂曲线方程的概念．）二、问题导学问题1、画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程问题2、提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．能否写成y=|x|，为什么？三、预习自测1、点P(1,a)在曲线x2+2xy-5y=0上，则a=_______________．2、A(1,0)，B(0,1)，线段AB的方程是x+y-1=0吗？3、由到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y-5=0吗？4、离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？探究案例1、证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（0k>）的点的轨迹方程是xy k=±例2、若曲线220y xy x k-++=过点(,)()a a a R-∈，求k的取值范围课堂检测1、以O为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2、下列方程的曲线分别是什么？(1)2xyx=(2)222xyx x-=-(3) log a xy a=3、画出方程()(0x y x+=的曲线．4、设集合{(,)|0}A x y x=，{(,)|0}B x y y=，则A⋂B表示的曲线是____________________，A⋃B表示的曲线是____________________2.1.2求曲线的方程【学习目标】(1)掌握求曲线的方程的步骤；(2)会根据具体条件正确写出曲线的方程． 【重点难点】重点：求方程的步骤, 正确写出曲线的方程． 难点：正确写出曲线的方程. 【使用说明及学法指导】阅读课本P35-37，完成下列任务。

曲线与方程教案一、概述曲线与方程是高中数学中的一个重要的内容，它是研究数学对象（点、直线、圆等）的位置关系的一种方法。

在现实生活中，曲线与方程可以应用于各种问题的求解，例如物体的运动轨迹、电路的分析等。

二、教学目标1. 理解曲线与方程的基本概念和特点；2. 掌握一些常见曲线的方程；3. 能够通过方程确定曲线的位置和性质；4. 运用曲线与方程解决实际问题。

三、教学内容及教学步骤第一节曲线与方程的基本概念1. 引入：以一个物体的运动轨迹为例，由此导出曲线与方程的概念；2. 定义：介绍曲线与方程的基本概念，包括曲线、方程、坐标系等；3. 特点：讨论曲线与方程的一般特点，包括连续性、唯一性等。

第二节常见曲线与方程1. 直线的方程：介绍直线的一般方程和特殊情况的方程，如平行于坐标轴的直线等；2. 抛物线的方程：介绍抛物线的一般方程和特殊情况的方程，如开口方向、对称轴等；3. 圆的方程：介绍圆的一般方程和特殊情况的方程，如半径、圆心等；4. 椭圆的方程：介绍椭圆的一般方程和特殊情况的方程，如长轴、短轴等；5. 双曲线的方程：介绍双曲线的一般方程和特殊情况的方程，如焦点、渐近线等。

第三节方程与曲线的应用1. 方程与实际问题的转化：通过实际问题，让学生将问题转化为方程；2. 解方程求解问题：通过解方程，求解实际问题；3. 应用练习：让学生自己设计一些实际问题，并通过方程解决。

四、教学方法与手段1. 概念讲解法：通过讲解的方式介绍曲线与方程的基本概念和特点；2. 例题演示法：通过示例演示如何确定曲线的方程和解决实际问题；3. 合作学习法：让学生小组合作，共同解决实际问题，并归纳总结。

五、教学重点和难点1. 重点：直线、抛物线、圆、椭圆和双曲线的方程及其性质；2. 难点：方程与实际问题的转化。

六、教学评价与反思1. 评价方法：通过观察学生的思维、解题过程、课堂表现和小组讨论等方法进行评价；2. 反思：根据学生的反馈和评价结果，及时调整教学方法和教学内容，以提高教学效果。

《曲线与方程》导学案1曲线与方程授时间第周星期第节课型讲授新课主备课人郝蓉学习目标1. 了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.会判定一个点是否在已知曲线上重点难点重点：曲线与方程的对应关系，感受数形结合的思想难点:方程的曲线，曲线的方程的理解学习过程与方法自主学习：方程的曲线，曲线的方程的含义：阅读课本84页完成下列问题①到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是吗？②已知方程的曲线经过点和点，求、的值精讲互动课本85页例1若直线与的交点在曲线上，求的值达标训练课本86页练习1课本86页练习2课本86页练习3已知方程表示的曲线F经过点，求的值作业布置学习小结/教学反思2圆锥曲线的共同特征授时间第周星期第节课型讲授新课主备课人郝蓉学习目标了解圆锥曲线的共同特征，曲线方程的基本求法重点难点总结曲线的共同特征与曲线方程的基本求法学习过程与方法自主学习：椭圆的定义椭圆的标准方程，双曲线的定义双曲线的标准方程，抛物线的定义抛物线的标准方程，，，圆锥曲线的共同特征不同之处精讲互动课本86页例2结论：椭圆是定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点所形成的曲线曲线上的点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数①求曲线方程②指出与例2的相同处和不同处达标训练课本87页练习1课本87页练习2作业布置学习小结/教学反思3直线与圆锥曲线的交点授时间第周星期第节课型讲授新课主备课人郝蓉学习目标用坐标法解决一些简单的直线与圆锥曲线的交点重点难点两曲线交点坐标与方程组实数解之间关系的理解学习过程与方法自主学习：过点作直线与抛物线y2 = 8x只有一个公共点，这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条方程组的实数解与曲线上点的坐标之间的关系精讲互动课本87页例3课本88页例4达标训练课本89页练习1课本89页练习2补充1.已知双曲线方程为，过P的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有A. 4条B. 3条c. 2条D. 1条过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线A.有且仅有一条B.有且仅有两条c.有无穷多条D.不存在。

曲线与方程学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第13课时曲线与方程教学过程一、问题情境在解析几何中,为了研究曲线的性质,我们首先建立了直线、圆及圆锥曲线的方程,那么对于一般的曲线,曲线的方程的含义是什么二、学生活动问题1我们知道以原点O为圆心、半径为5的圆O的方程为x2+y2=25,那么为什么圆O的方程不是y=呢解因为圆O上的点的坐标不都是方程的解,如圆O上的点(4,-3)不是方程y=的解,所以圆O的方程不是y=.问题2已知A(4,0),B(0,2),O为坐标原点,D为Rt△AOB的斜边AB的中点,那么线段OD的方程是否为y=x呢解因为满足方程y=x的点(-2,-1)不在线段OD上,所以线段OD的方程不是y=x.问题3由上面两个问题,请同学们思考,曲线C与方程f(x,y)=0之间需要满足什么样的条件才能说“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”呢解一般地,如果曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解;以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上,那么,这个方程f(x,y)=0叫做曲线C的方程,这条曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线.三、数学运用【例1】判断点A(1,-2),B(2,-3)是否在曲线x2-xy+2y+1=0上.[1](见学生用书P39) [处理建议]根据曲线与方程的关系,要判定点是否在曲线上,看点的坐标是否满足曲线的方程.[规范板书]解因为12+2-4+1=0,故点A满足曲线的方程,所以点A在曲线上.又因为22-2×(-3)+2×(-3)+1=5≠0,故点B不满足曲线的方程,所以点B不在曲线上.[题后反思]解决此问题的依据是曲线方程的定义.依据定义可知,点P(x,y)在曲线C上⇔(x,y)是方程f(x,y)=0的解.变式已知方程x2+y2=20表示的曲线F经过点A(2,m),求m的值.[规范板书]解因为方程x2+y2=20表示的曲线F经过点A(2,m),所以22+m2=20,解得m=±4.(例2)【例2】(教材第60页例2)已知一座圆拱桥的跨度是36 m,圆拱高为6 m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图),求圆拱的方程.[2](见学生用书P40) [处理建议]先让学生根据圆的相关知识自行解答,再引导学生利用曲线方程的定义进一步完善解题过程.[规范板书]解法一由题意可知,圆拱所在的圆O1的圆心在y轴的负半轴上,所以可设O1(0,b).设圆O1的半径为r,则解得因为圆拱只是它所在的圆位于x轴上方的一部分(包括x轴上的点),所以圆拱的方程是x2+(y+24)2=900(0≤y≤6).解法二由题意可知,圆拱所在的圆O1的圆心在y轴的负半轴上,所以可设O1(0,b).设圆O1的半径为r,则圆O1的方程为x2+(y-b)2=r2.又由题意可知,B(18,0),C(0,6),所以解得因为圆拱只是它所在的圆位于x轴上方的一部分(包括x轴上的点),所以圆拱的方程是x2+(y+24)2=900(0≤y≤6).[题后反思]解决此类问题的依据是曲线方程的定义,因此必须在圆的方程的基础上加限制条件,使得方程为曲线的方程.不能将所求曲线的方程写为x2+(y+24)2=900(-18≤x≤18),因为此时方程的曲线为两段圆弧.变式已知△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(2,-1),C(5,7),则边AB上的中线的方程为3x-2y-1=0(-1≤x≤5).提示AB的中点D的坐标为(-1,-2),所以直线CD的方程为y-7=(x-5),即3x-2y-1=0.所以边AB上的中线的方程为3x-2y-1=0(-1≤x≤5).【例3】求曲线9x2+y2=9与曲线y2=-4(x-1)的交点坐标.[3](见学生用书P40) [处理建议]求曲线的交点坐标,等价于求由两曲线方程联立的方程组的解.[规范板书]解联立方程得消去y得9x2-4x-5=0,解得x=1或x=-,代入②得y=0或y=±.因此,交点坐标为(1,0)或.[题后反思]求曲线交点问题可转化为联立曲线方程求解问题,方程组有几解,两条曲线就有几个交点.变式已知直线y=x+m与曲线y=x2-x+2有两个公共点,求实数m的取值范围.[规范板书]解由消去y整理得x2-2x+2-m=0,所以Δ=4-4(2-m)>0,得m>1.所以实数m的取值范围是(1,+∞).[题后反思]此题方程组的解的个数与一元二次方程的解得个数相同,因此可以利用判别式来研究解的个数.【例4】(教材第67页习题第7题)已知直线y=x+b与抛物线x2=2y交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求实数b的值.[规范板书]解设A(x 1,y1),B(x2,y2),则=(x1,y1),=(x2,y2).因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.又y1=x1+b,y2=x2+b,所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2,所以2x1x2+b(x1+x2)+b2=0.由消去y整理得x2-2x-2b=0,所以x1x2=-2b,x1+x2=2,所以-4b+2b+b2=0,解得b=0(舍去)或b=2.所以实数b的值为2.[题后反思]由向量知识可知,OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0,再利用一元二次方程根与系数的关系来解决问题.变式已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过坐标原点O,求实数a的值.[规范板书]解设A(x 1,y1),B(x2,y2),则=(x1,y1),=(x2,y2).因为以AB为直径的圆经过坐标原点O,所以·=0,所以x1x2+y1y2=0.又y1=ax1+1,y2=ax2+1,所以y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,所以(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0.由消去y整理得(3-a2)x2-2ax-2=0.因为直线与双曲线有两个交点,所以解得a2<6且a2≠3.由根与系数的关系可知x1+x2=,x1x2=,所以(a 2+1)·+a·+1=0,解得a2=1,满足a2<6且a2≠3,所以a=±1.所以实数a的值为±1.四、课堂练习1.椭圆x2+4y2=13与圆x2+y2=4的交点的个数为4.2.若点M(m,)与点N在方程x2(x2-1)=y2(y2-1)所表示的曲线上,则实数m=±,n=±或±.提示因为点M(m,),N在曲线上,所以它们的坐标都是方程的解,即m2(m2-1)=2,且×=n2(n2-1),解得m=±,n=±或±.3.若直线2x-y+k=0与直线x-y-2=0的交点在曲线x2+y2=4上,则k的值为-4或-2.4.已知直线l:y=k(x-)与双曲线x2-y2=1的右支相交于A,B两点,则直线l的倾斜角的取值范围是∪.提示由得(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0,所以解得k>1或k<-1.所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.五、课堂小结1.体会曲线的方程的定义(两个方面的含义).2.会判断点是否在曲线上.3.掌握利用方程研究曲线的交点坐标的方法.。

曲线与方程教案曲线与方程教案教学目标：1. 理解曲线和方程之间的关系；2. 能够根据给定的方程，画出相应的曲线；3. 掌握常见曲线的方程及其特点。

教学内容：1. 曲线的定义：曲线是指在平面上由一系列点连接而成的连续图形。

2. 方程的定义：方程是指数、代数、函数或者几何等方面的等式或不等式。

3. 曲线与方程的关系：方程可以表示曲线的几何特征，曲线是方程的图形解。

教学步骤：Step 1: 引入新知识执教教师可以使用简单的例子来引入曲线与方程之间的关系，比如以一元一次方程为例，通过给定方程y = 2x + 3，可以让学生画出与之对应的曲线并分析其几何特征。

Step 2: 曲线的方程与特征讲解常见曲线的方程及其特征：- 一次函数曲线：y = kx + b，斜率k决定曲线的斜率方向和变化趋势，截距b决定曲线的位置；- 二次函数曲线：y = ax² + bx + c，二次函数曲线的开口方向和大小由二次项的系数a决定；- 平方根函数曲线：y = √x，平方根函数曲线是一条从原点开始向右上方的开口曲线；- 绝对值函数曲线：y = |x|，绝对值函数曲线以y轴为对称轴，开口形状像字母V；- 正弦函数曲线：y = sinx，正弦函数曲线是一条周期性的波浪线。

Step 3: 案例演示与讲解以具体的曲线及其方程为例讲解如何绘制这些曲线，强调方程中的各个参数对曲线的影响，如斜率对曲线的倾斜程度，二次函数曲线的开口方向等。

Step 4: 练习与巩固开展练习活动，让学生根据给定的方程，画出相应的曲线，并分析其特征，如方程y = x² - 4x + 3对应的曲线的开口方向、顶点坐标等。

Step 5: 拓展应用引导学生思考如何利用方程来解决实际问题，如使用曲线方程来分析某种现象的趋势或者预测未来的发展方向。

Step 6: 总结与评价总结曲线与方程的关系，并评价本节课的学习情况。

可以通过提问或小测验的方式进行学生知识的巩固和检测。

数学《曲线与方程》教案【教学目标】1.了解和掌握一次函数和二次函数的图像、性质和应用。

2.掌握一次方程和二次方程的基本知识、解题方法和应用。

3.掌握实际问题应用中解方程的方法。

【教学重点】1.掌握一次函数和二次函数的图像、性质和应用。

2.掌握一次方程和二次方程的基本知识、解题方法和应用。

3.掌握实际问题应用中解方程的方法。

【教学难点】1.一次函数和二次函数的图像、性质和应用的综合应用。

2.实际问题应用中解方程的方法。

【教学过程】一、引入新课教师可引导学生通过问答、引入故事等方式，调动学生的学习兴趣，引入新的知识领域。

二、概念的讲解和探究1.一次函数(1)定义：函数y=kx+b(x∈R)称为一次函数，其中k,b均为常数，k为非零实数。

(2)一次函数的图像：一次函数图像是由一条直线组成，图像有倾斜的趋势，当斜率k>0时，图像从左向右上升，k<0时，图像从左向右下降。

截距b为函数图像在y轴上的截距。

(3)应用：一次函数常常代表一种线性关系，如速度、距离、重量、价格等。

2.二次函数(1)定义：函数y=ax^2+bx+c(x∈R)称为二次函数，其中a,b,c为常数，且a≠0。

(2)二次函数的图像：二次函数图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，当a>0时，图像开口朝上；a<0时，图像开口朝下。

顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))（f(x)=ax^2+bx+c）。

(3)应用：二次函数常常在抛物线问题中使用，如炮弹的运动、神经元的发放等等。

三、基本解法的演示1.一次方程的解法(1)基本初等变形法：对等式两边进行加、减、乘、除等运算，化简方程，将未知数分离出来。

(2)解题步骤：Step1：用合适的字母表示未知数。

Step2：列出等式。

Step3：对等式进行变形。

Step4：将未知数分离出来。

Step5：检验解。

2.二次方程的解法(1)配方法：当方程右侧项不为0时，可以采用配方法将方程化为平方差的形式，从而求得方程的解。

曲线和方程教案课题：曲线和方程（1）教学目标：知识与技能目标：1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3.学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

过程与方法目标：1.通过直线方程的复引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；2.在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；3.能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感与态度目标：1.通过概念的复引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；2.通过本节课的研究，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；3.学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

教材分析：本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。

由于学生已经具备了用方程表示直线，抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例，揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。

为强化其认识，又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。

教学重点：曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

教学难点：如何利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。

借助多媒体，让学生通过直观的方式深刻理解直线方程的特点：直线上的点的坐标都是方程的解，以及以方程的解为坐标的点都在直线上。

这种对应关系说明直线和方程是等价的。

《曲线与与方程》教学案一﹑教材内容的地位与作用分析《曲线与方程》是高二数学选修2-1第二章第一节的内容。

曲线与方程的概念既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程和方程的直线等数学知识的深化，又是今后学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程。

曲线和方程分别是几何与代数中的概念。

在直角坐标系中，曲线有它的方程，方程有它的曲线。

曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是代数方程的一种几何表示。

根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，使几何图形的研究实现代数化。

数与形的有机结合，在本章得到充分的展现。

通过本节课的课堂教学，使学生初步了解数形结合的基本数学思想方法。

二、学生学习情况分析学生已经学习了直线的方程和方程的直线的概念，初步掌握了利用直线的方程来研究两直线的位置关系、两条直线的夹角和点到直线的距离等与直线有关的知识，但未真正理解直线的方程和方程的直线的含义。

通过本节课让学生进一步理解直线的方程和方程的直线的含义。

三、设计思想建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。

也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。

基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。

具体流程如下：知识回顾(根据所学知识，提出新的问题)→构建新知(师生共同探究，得出新的知识)→巩固新知(通过质疑讨论，理解突破难点)→尝试练习(进一步理解概念)→课堂小结(回顾并反思)→布置作业四、教学目标1、理解曲线的方程和方程的曲线的概念2、能证明满足已知条件的曲线C的方程是给定的方程f(x，y)=03、判断曲线与方程的关系五、教学重点与难点重点与难点：曲线的方程和方程的曲线的概念六、教学过程设计(一)知识回顾、提出问题1、回顾直线的有关知识：两直线的位置关系；两直线的夹角；点到直线的距离等；2、我们是如何研究上述问题的(教师适时给予提示)；3、给出直线的方程和方程的直线的定义：①直线上的点的坐标都是某个一元一次方程的解；②以该方程的解为坐标的点都是直线上的点。

§2.5直线与圆锥曲线学习目标 1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝1相切a≠0，Δ<00相离知识点二 弦长公式若直线l ：y ＝kx ＋b 与圆锥曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．( × ) 2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．( √ )题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判定例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？ 解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ 这个关于x 的一元二次方程的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C 没有公共点．反思感悟 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形．跟踪训练1 已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，直线l 的斜率为k 且直线l 过点P (1,1)，当k 为何值时，直线l 与双曲线C ：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ 解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.(*)当k 2－2＝0，即k ＝±2时，(*)式只有一解，直线l 与双曲线相交，只有一个公共点． 当k 2－2≠0时，Δ＝24－16k ，若Δ＝0，即k ＝32，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若Δ>0，即k <32且k ≠±2，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若Δ<0，即k >32，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．综上，(1)当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点；(2)当k <32且k ≠±2时，直线l 与双曲线有两个公共点；(3)当k >32时，直线l 与双曲线无公共点．题型二 中点弦及弦长问题例2 已知点A (－1,0)，B (1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且k MA ·k MB ＝－2. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|PQ |＝322，求直线PQ 的方程．解 (1)设M (x ，y )，则k MA ＝y x ＋1，k MB ＝yx －1(x ≠±1)， ∴yx ＋1×yx －1＝－2，∴x 2＋y 22＝1(x ≠±1)． (2)当直线PQ 的斜率不存在，即PQ 是椭圆的长轴时，其长为22，显然不合题意，即直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.∵Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0，∴k ∈R ，x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2， ∴|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝22·k 2＋1k 2＋2，∴|PQ |＝322＝22·k 2＋1k 2＋2，k 2＝2，k ＝±2，∴直线PQ 的方程是y ±2x －1＝0.反思感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意．跟踪训练2 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B ，C 是AB 中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 设椭圆方程为ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0，a ≠b )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得，a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a ， 再由|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 2＋2y 2＝3. 题型三 圆锥曲线中的最值及范围问题例3 已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)求证：直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值．(1)证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx (易知k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，得B (2k 2，－2k )．∴直线AB 所在直线方程为(y ＋2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x －2k 2)，化简得x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k y －2＝0，∴直线过定点P (2,0)．(2)解 由于直线AB 所在直线方程过定点P (2,0)， ∴可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，得y 2－2my －4＝0.∴|y 1－y 2|＝2m 2＋16＝4m 2＋16.∴S △AOB ＝12|y 1|·|OP |＋12|y 2|·|OP |＝12|OP |·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝4m 2＋16≥4.∴△AOB 面积的最小值为4. 反思感悟 (1)求参数范围的方法根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． (2)求最值问题的方法 ①几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． ②代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k2， 设C (x C ，y C )，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k2， ∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5>m ，则m ≥1， 若5<m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1,4) 答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交， 设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，得4x 2－4x －m ＝0.(*)设此直线与抛物线相切，有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入(*)式，得x ＝12，y ＝1，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.∴S △AOB ＝12|OF ||y A －y B |＝53.5．过点A (6,1)作直线l 与双曲线x 216－y 24＝1相交于两点B ，C ，且A 为线段BC 的中点，则直线l 的方程为________________． 答案 3x －2y －16＝0解析 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116－y 214＝1，x 2216－y224＝1，∴x 21－x 2216－y 21－y 224＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24y 1＋y 2＝124×2＝32. 即k BC ＝32，∴直线l 的方程是y －1＝32(x －6)．即3x －2y －16＝0，经验证符合题意．1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切． 2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．一、选择题1．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，F 是其右焦点，过F 的直线l 只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l 的斜率等于( ) A ．1B ．－1C ．±1D．±2 答案 C解析 结合题意，F (2，0)，且渐近线为y ＝±x ，欲使直线l 与其右支有唯一交点，只需其斜率与渐近线斜率相等．2．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 21－y 213＝1与x 22－y 223＝1得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3x 1＋x 2y 1＋y 2＝6.3．对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 20<4x 0的点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，若点M (x 0，y 0)在抛物线的内部，则直线l ：y 0y ＝2(x ＋x 0)与拋物线C ( )A ．恰有一个公共点B ．恰有两个公共点C ．可能有一个公共点也可能有两个公共点D ．没有公共点 答案 D解析 C 与l 联立得y 0y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 24＋x 0，即y 2－2y 0y ＋4x 0＝0，Δ＝4y 20－16x 0， 由题意y 20<4x 0，∴Δ<0，没有公共点．4．已知M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一定点，直线MP ，MQ 的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P ，Q 两点，则直线PQ 的斜率为( ) A ．－14B ．－12C.14D.12答案 B解析 由题意得M (2,2)．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2， 由k MP ＝－k MQ ， 得y 1－2y 212－2＝－y 2－2y 222－2， 则y 1＋y 2＝－4，故k PQ ＝2y 1＋y 2＝－12. 5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.3＋12 D.5＋12答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－bc.∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0.两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.6．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( ) A ．48B ．56C ．64D ．72 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y 2＝4x ，得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.设|AP |＝10，|BQ |＝2，又|PQ |＝8， ∴梯形APQB 的面积为S ＝12(|AP |＋|BQ |)×|PQ |＝12(10＋2)×8＝48.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1. 8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)被抛物线y 2＝4x 的准线截得的弦长为3，以坐标原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋22相切，则椭圆的离心率为( ) A.12B.22C.23D.24 答案 A解析 由题意得抛物线准线方程为x ＝－1，且椭圆被抛物线截得的弦长为3， 故椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，将该点代入椭圆方程，得1a 2＋94b2＝1，① 又点(0,0)到x －y ＋22＝0的距离为a ， 即|0－0＋22|12＋－12＝a ，②由②得a ＝2，代入①得b ＝ 3. 故c ＝a 2－b 2＝1，所以其离心率e ＝c a ＝12.二、填空题9．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，(*)∵y 2＝1－x 24，代入(*)式得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________． 答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． ∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)，B (4,4)． ∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2.11．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中所有正确结论的序号是__________． 答案 ②③ 解析设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2(a >1)，将原点(0,0)代入，等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程，等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则12F PF S＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．三、解答题12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.13．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝－x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)若△OAB 的面积为10，求k 的值； (2)求证：以弦AB 为直径的圆必过原点.(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，原点O 到直线AB 的距离为d ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝－x ，化简整理得k 2x 2＋(2k 2＋1)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0， 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－2k 2＋1k2，x 1x 2＝1.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·1k4＋4k2，由点到直线距离公式得d ＝|k |1＋k2，得S △OAB ＝12|AB |·d ＝121k 2＋4＝10，解得k ＝±16.(2)证明 ∵k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2，∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2. ∵y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)2， ∴k OA ·k OB ＝1y 1y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝－x ，得ky 2＋y －k ＝0，∴y 1y 2＝－1， 即k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB ， ∴以弦AB 为直径的圆必过原点．14．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 D解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形． ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝x －a 2＋y 2， ∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．15．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 为椭圆C 上的一点，满足OE →＝OF 1→＋22OB →，且△EF 1F 2的周长为2(2＋1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 的距离的取值范围． 解 (1)由已知得F 1(－c,0)，不妨设B (0，b )， 则OF 1→＝(－c,0)，OB →＝(0，b )， 所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b .又点E 在椭圆C 上，所以c 2a 2＋12b 2b2＝1，得c a ＝22.① 又△EF 1F 2的周长为2(2＋1)， 所以2a ＋2c ＝2＋22.②由①②，得c ＝1，a ＝2，所以b ＝1. 所以所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (m,0)(0<m <1)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点为N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k1＋2k2， 所以x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k2， y 0＝y 1＋y 22＝－k 1＋2k2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2. 因为△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形， 所以MN ⊥PQ ，即k 2m 1＋2k 2－2k 2＝－1. 所以m ＝k 21＋2k2＝12＋1k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 设点M 到直线l ：kx －y －k ＝0的距离为d ，则d 2＝k2m －12k 2＋1＝k 2k 2＋11＋2k 22<14k 2＋k 2＋121＋2k22＝14， 所以d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(或k 2＝m 1－2m 且m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以d 2＝k 2m －12k 2＋1＝m (1－m )<14⇒d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 即点M 到直线l 的距离的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.。

数学教案－曲线和方程一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够： - 理解曲线和方程的关系 - 掌握曲线和方程的基本术语和概念 - 能够在具体问题中应用曲线和方程进行求解二、教学重点•曲线和方程的定义和特点•曲线的分类和方程的形式•利用曲线和方程解决实际问题的能力三、教学内容1. 曲线和方程的关系•曲线是由方程所描述出来的图形，方程是用来表示曲线的数学符号表达式。

•曲线和方程是密不可分的，通过曲线可以找到方程，通过方程可以绘制出曲线。

2. 曲线的分类•根据曲线所在的平面，可以分为二维曲线和三维曲线。

•根据曲线的形状，可以分为直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线等。

3. 方程的形式•一元方程：只含有一个未知数的方程，如x^2 + 3x - 2 = 0。

•二元方程：含有两个未知数的方程，如x + y = 5。

•多元方程：含有多个未知数的方程，如2x + 3y + 4z = 10。

4. 利用方程解决实际问题•实际生活中，许多问题可以通过建立方程来求解。

•例如，求解一个矩形的面积可以通过方程A = l * w来表示，其中A表示面积，l表示长，w表示宽。

四、教学方法•理论讲解结合实际问题，引导学生思考曲线和方程的关系。

•分组讨论，让学生通过小组合作解决实际问题，激发学生的学习兴趣。

•利用电子白板和计算机软件展示曲线和方程的图形，提高学生对于知识的直观理解。

五、教学步骤1. 导入新知识•引导学生回顾前几次课的内容，复习曲线和方程的定义和特点。

2. 讲解曲线和方程的关系•通过示意图展示曲线和方程之间的联系，让学生理解曲线是由方程所描述出来的。

3. 分组讨论•将学生分成小组，每个小组解决一个实际问题。

•通过建立方程，并利用方程求解实际问题。

4. 汇报和讨论•每个小组介绍他们的解决方案，并进行讨论和分享。

•教师引导学生总结各组的解决方法，形成全局性的认识。

5. 实际应用练习•提供多个实际问题，让学生独立解决，并将解题过程记录下来。

2.1 曲线与方程1、 学习目标知识与技能：理解曲线的方程、方程的曲线的意义，会用坐标法求曲线的方程并通过方程研究曲线的性质；过程与方法：通过了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系掌握曲线的方程和方程的曲线的概念，通过例题体验建立适当的坐标系求曲线方程的方法；情感与态度：树立数形结合的观点，具备方程思想、分类讨论思想，体验现实世界、社会生活中运动变化的现象与数学的联系；2、 重点与难点重点：理解曲线的方程、方程的曲线的概念，会用坐标法求曲线的方程；难点：根据曲线上的点适合的条件列出等式求曲线的方程；3、学法指导（1）曲线的方程和方程的曲线是解析几何的重要概念，可通过了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系掌握这两个概念；（2）求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程。

建立坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单；（3）根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式。

仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M 相关的相等关系，结合基本公式列出等式，并实行化简；（4）求曲线的方程与求曲线的轨迹的主要区别是：求曲线的轨迹不但要求出曲线的方程，而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形、在何处，即图形的形状、位置、大小等；4、自主学习课前自学：（1） 相关知识回顾直线方程的五种形式斜截式：b kx y +=，其中k 为直线的斜率，b 为直线在y 轴上的截距。

点斜式：)(00x x k y y -=-，其中k 为直线的斜率，点),(00y x 为直线所过定点。

截距式：1=+by a x ，其中a,b 分别为直线在x 轴与y 轴上的非零截距。

两点式：),,(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--表示过点),(),,(2211y x y x 的直线。

课题：曲线与方程（第一课时）一、学习目标：1、 从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念；2、会用曲线和方程的概念直接判断比较简单的曲线和方程间的关系；3、感受“数”与“形”的结合的思想.二、情景创设:2011年11月，我国发射的神州八号飞船与天宫一号目标飞行器成功实现对接、分离、再对接这一过程，并且神州八号飞船成功返回，这标志着我国航天事业飞速发展，中国成为第三个掌握空间交会对接技术的国家。

作为中国人的我们感到非常自豪。

神州八号飞船与天宫一号目标飞行器能准确实现对接，这其中的原理和我们今天要学习的知识有一定的关系。

三、完成以下任务阅读课本P34-P35并思考以下两个问题：问题一：第一、三象限角平分线上的点的坐标满足方程|y|=|x|吗?是否可以得到这条直线的方程就是|y|=|x|？问题二：以C （a,b ）为圆心，r 为半径的圆上的点与方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的解之间的关系是什么？ 定义：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0f x y =之间，如果具有以下两个关系：（1）．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；（2）．以方程(,)0f x y =的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程(,)0f x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0f x y =的曲线． 问题三：求曲线方程的一般步骤？四、巩固练习A 组1．（1）点A （1，-2），B （2，-3），C （3，10）是否在方程x 2-xy+2y+1=0表示的曲线上？为什么？总结：如果曲线C 的方程是f (x , y )＝0，点P 0(x 0, y 0)在曲线C 上 ⇔ f (x 0, y 0)＝0；练习：已知方程222ax by +=的曲线经过A （0，53）和点B （1,1），则a = ，b = 。

2.判断下列结论的正误并说明理由（1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3（2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=13条件甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0 的解”，条件乙：“曲线C 是方程f (x ，y)=0 的曲线”，则甲是乙的( )(A)充分非必要条件 (B)必要条件(C)充要条件 (D)非充分也非必要条件4.若命题“曲线C 上的点的坐标满足方程f(x ，y)=0 ”是正确的，则下列命题中正确的是( )(A)方程f(x ，y)=0 所表示的曲线是C (B)坐标满足 f(x ，y)=0 的点都在曲线C 上(C)方程f(x ，y)=0的曲线是曲线C 的一部分或是曲线C(D)曲线C 是方程f(x ，y)=0的曲线的一部分或是全部5．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.则按曲线(1)(2)(3)(4)的顺序，依次与之对应的方程的编号是( )A ．③②①④B ．④②①③C ．②④①③D ．①②③④6．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线7. (1)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合①而不符合②.(2)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合② 而不符合① .(3) 举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系既符合①又符合②。

曲线与方程导学案（复习课）授课人：一．知识梳理1.曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:那么,这个方程叫做的方程;这条曲线叫做的曲线.2.求轨迹方程的基本步骤二.核心考点考向一：定义法求点的轨迹方程【典例1】△ABC 的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C 的轨迹方程是 .母题变式已知圆M:(x+1)2+y 2=1,圆N:(x-1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,则圆心P 的轨迹方程为 .规律方法小结 ：定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条件动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义。

(2)关键定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征。

在写方程时需注意：查漏去杂！考向二：相关点(代入)法求轨迹方程【典例2】P 是椭圆 =1上的任意一点,F 1,F 2是它的两个焦点,O 为坐标原点,则动点Q 的轨迹方程是 .12OQ PF PF =+，2222b y a x +母题变式已知点P 是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q 是线段PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q 点的轨迹方程是 ( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0规律方法小结 ：相关点(代入)法求轨迹方程的适用条件两动点间存在关联或相关关系,且其中的一动点存在确定的运动规律.考向三 参数法求轨迹方程 【典例3】设A 1,A 2是椭圆 =1 长轴的两个端点,P 1,P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2的交点M 的轨迹方程是 .规律方法小结 ：参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,也没有明显的相关点,但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关.考向四 ：直接法求轨迹方程命题方向1:已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹) 22x y 94【典例4】已知两定点A(1,1),B(-1,-1),动点P(x,y)满足 则点P 的轨迹是 ( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.拋物线命题方向2:无明确等量关系求轨迹方程【典例5】设动圆M 与y 轴相切且与圆C:x 2+y 2-2x=0相外切, 则动圆圆心M 的轨迹方程 为 ( )A.y 2=4xB.y 2=-4xC.y 2=4x 或y=0(x<0)D.y 2=4x 或y=0规律方法小结 ：1.由动点满足的关系式求轨迹方程的步骤(1)设动点的坐标.(2)将已知关系坐标化.(3)化简并注明范围.2.无明确等量关系求轨迹方程的关键关键是在理解题意的基础上找到与动点相关的代数或几何等量关系.三.归纳总结求动点的轨迹方程可以理解为求曲线方程，主要的方法有定义法，相关点（代入）法，参数法，直接法等，要结合题中条件，数形分析，选择合适的方法。