北师版数学高二《 曲线与方程》同步学案 北师大

4.1 曲线与方程(二)学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.知识点一坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？梳理(1)坐标法：借助于______，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出__________.②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究________.知识点二求曲线的方程的步骤类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍.求动点P 的轨迹方程. 引申探究若将本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列.求点P 的轨迹方程.类型二 代入法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程.反思与感悟 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝fx ，y ，y 0＝g x ，y(3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2 △ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条定直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程.类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝ax(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围.反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧Fx ，y ＝0，G x ，y ＝0的解来确定.跟踪训练3 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.1.曲线y ＝1x与xy ＝2的交点是( )A.(1,1)B.(2,2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在2.方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是( )3.直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________.4.已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________.5.M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP ∶PM ＝3，求动点P 的轨迹方程.求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或代入法.(4)参数法：将x ，y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法. (5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.提醒：完成作业 第三章 §4 4.1(二)答案精析问题导学 知识点一思考1 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.思考2 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准. 梳理 (1)坐标系 (2)①表示曲线的方程 ②曲线的性质 知识点二有序实数对(x ，y ) P ＝{M |p (M )}p (M ) f (x ，y )＝0 f (x ，y )＝0方程的解 题型探究例1 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2|PA |. 则|8－x |＝2x －2＋y －2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究解 据题意设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又|PA |＝x －2＋y －2，故|y －8|＝2x －2＋y －2，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 跟踪训练1 解 设点P (x ，y )， 由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0).∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x ).于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12x ＋＋－x ，－x －x ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0). 例2 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.跟踪训练2 解 如图所示，以BC 所在的定直线为x 轴，以过A 点与x 轴垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点的坐标为(0，b ).设△ABC 的外心为M (x ，y )，作MN ⊥BC 于N ，则MN 是BC 的垂直平分线. ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心， ∴M ∈{M ||MA |＝|MB |}. 而|MA |＝x 2＋y －b2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝a 2＋y 2， ∴x 2＋y －b2＝a 2＋y 2，化简，得所求轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0. 例3 解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －，y ＝ax，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点. ∴Δ＝[－(2－k )]2＋4ka >0. 设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ， ∴k ＝2－a ，代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪(2，83).跟踪训练3 解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)， 再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25， 整理得(x －52)2＋y 2＝254.∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －522＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <165).当堂训练 1.D 2.D3.x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)4.x ＝325.解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.。

4.1 曲线与方程学习目标：1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．(重点) 2.掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲线与方程的关系，感受解析几何的思想方法．(难点)1．方程与曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方程”． 思考：曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解，能否说f (x ，y )＝0是曲线C 的方程？试举例说明．[提示] 不能．还要验证以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C 为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x 2＋y 2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x 2＋y 2＝4.2．方程与曲线的关系3．求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 思考：求曲线的方程的某些步骤是否可以省略？[提示] 可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．1.判断正误(1)过点P (x 0，y 0)斜率为k 的直线的方程是y －y 0x －y 0＝k ( )(2)若点P (x 0，y 0)在曲线C 上，则有f (x 0，y 0)＝0 ( ) (3)方程y ＝x 与y ＝x 2x表示同一条曲线( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．下列点中，在曲线x ＋25－y 2＝0上的是( ) A ．(4，3) B ．(3，－4) C ．(－4，3)D ．(5，0)C [经检验，只有(－4，3)满足方程x ＋25－y 2＝0.] 3．方程x 2＋xy ＝x 表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个点和一条直线 C ．一条直线D ．两条直线D [由x 2＋xy ＝x 变形得x (x ＋y －1)＝0， ∴x ＝0或x ＋y －1＝0，故选D.]4．在平面直角坐标系内，到原点距离为3的点M 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝9 [设M (x ，y )，则x 2＋y 2＝3，∴x 2＋y 2＝9.]所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．[解] (1)把点A (－4，3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．1．下列图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是( )D [方程x 2＋y 2＝1表示的曲线是图(1)；方程x 2－y 2＝0表示的曲线是图(2)；方程lg x ＋lg y ＝1表示的曲线是图(3)；故选D.](1)(x ＋y －1)x －1＝0； (2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；[解] (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1. (2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0. ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2＝0，（y ＋1）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．2．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形是( )A ．前后两者都是一条直线和一个圆B ．前后两者都是两点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 C [x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1， 表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1.x2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝±1表示点(0，1)，(0，－1)．]1．“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？[提示] (1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x ，y )所适合的方程f (x ，y )＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围．(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．2．求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．求解时需要注意什么？[提示] (1)求曲线方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验．(2)求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．即由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题． 【例3】 (1)已知点M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝16D ．x 2＋y 2＝16(x ≠±4)(2)动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．[思路探究] (1)直接利用直角三角形的性质建立等量关系；(2)设点P 的坐标(x ，y )与点M (x 0，y 0)及点B (3，0)的坐标间满足：x ＝x 0＋32，y ＝y 02，代入曲线x 2＋y 2＝1中，化简即可．(1)A [由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO |＝2，即x 2＋y 2＝4，但M ，N ，P 不能共线，故P 点轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．](2)解：设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y .又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.(1)直接法求动点轨迹的方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．(2)代入法求解轨迹方程的步骤： ①设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)． ②利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）.③代入相关动点的轨迹方程． ④化简、整理，得所求轨迹方程．提醒：对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围．1．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是( )A．曲线C的方程是F(x，y)＝0B．方程F(x，y)＝0的曲线是CC．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上C[原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此说法即C.]2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是( )A B C DC[∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0.]3．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________．5[由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.]4．已知定点A(0，1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为________．x2＝4y[设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，所以动点C的轨迹是以A(0，1)为焦点以直线l1：y＝－1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为x2＝4y.]5．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．[解]设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2（x－2）2＋（y－0）2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.。

4.1 曲线与方程学习目标：1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．(重点) 2.掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲线与方程的关系，感受解析几何的思想方法．(难点)1．方程与曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方程”．思考：曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．[提示] 不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.2．方程与曲线的关系3．求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．思考：求曲线的方程的某些步骤是否可以省略？[提示] 可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．1.判断正误(1)过点P (x 0，y 0)斜率为k 的直线的方程是y －y 0x －y 0＝k ( ) (2)若点P (x 0，y 0)在曲线C 上，则有f (x 0，y 0)＝0( ) (3)方程y ＝x 与y ＝x 2x表示同一条曲线( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．下列点中，在曲线x ＋25－y 2＝0上的是( ) A ．(4，3) B ．(3，－4) C ．(－4，3)D ．(5，0)C [经检验，只有(－4，3)满足方程x ＋25－y 2＝0.] 3．方程x 2＋xy ＝x 表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个点和一条直线 C ．一条直线D ．两条直线D [由x 2＋xy ＝x 变形得x (x ＋y －1)＝0， ∴x ＝0或x ＋y －1＝0，故选D.]4．在平面直角坐标系内，到原点距离为3的点M 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝9 [设M (x ，y )，则x 2＋y 2＝3，∴x 2＋y 2＝9.]所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．[解] (1)把点A (－4，3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．1．下列图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是( )D [方程x 2＋y 2＝1表示的曲线是图(1)；方程x 2－y 2＝0表示的曲线是图(2)；方程lg x ＋lg y ＝1表示的曲线是图(3)；故选D.](1)(x ＋y －1)x －1＝0； (2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；[解] (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0. ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2＝0，（y ＋1）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．2．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形是( ) A ．前后两者都是一条直线和一个圆 B ．前后两者都是两点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 C [x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1， 表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1.x2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝±1表示点(0，1)，(0，－1)．]1．“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？[提示] (1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x ，y )所适合的方程f (x ，y )＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围．(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．2．求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．求解时需要注意什么？[提示] (1)求曲线方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验．(2)求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．即由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题． 【例3】 (1)已知点M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝16D ．x 2＋y 2＝16(x ≠±4)(2)动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．[思路探究] (1)直接利用直角三角形的性质建立等量关系；(2)设点P 的坐标(x ，y )与点M (x 0，y 0)及点B (3，0)的坐标间满足：x ＝x 0＋32，y ＝y 02，代入曲线x 2＋y 2＝1中，化简即可．(1)A [由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO |＝2，即x 2＋y 2＝4，但M ，N ，P 不能共线，故P 点轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．](2)解：设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y .又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.(1)直接法求动点轨迹的方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．(2)代入法求解轨迹方程的步骤： ①设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)． ②利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）.③代入相关动点的轨迹方程． ④化简、整理，得所求轨迹方程．提醒：对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围．1．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( ) A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0 B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上C [原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此说法即C.]2．方程x 2＋y 2＝1(xy ＜0)的曲线形状是( )A B C DC [∵xy ＜0，∴x ＞0，y ＜0或x ＜0，y ＞0.]3．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________．5 [由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.]4．已知定点A(0，1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为________．x2＝4y[设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，所以动点C的轨迹是以A(0，1)为焦点以直线l1：y＝－1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为x2＝4y.]5．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．[解] 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2（x－2）2＋（y－0）2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.。

§4曲线与方程4.1曲线与方程(一)学习目标 1.了解曲线和方程的概念(重点).2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义(重、难点).知识点曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线.【预习评价】如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.题型一曲线与方程的概念【例1】(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么()A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0解析命题C是原命题的逆否命题，它与原命题是等价的.答案 C(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系.解 ①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.规律方法 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.【训练1】 判断下列命题是否正确.(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2－x 2；(2)过点A (2，0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.解 (1)不正确.设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点.因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、r 为半径的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解.所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(2)不正确.直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解.然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2.题型二 由方程判断其表示的曲线【例2】 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.规律方法 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.【训练2】 方程(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0表示什么曲线？解 因为(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x ＋2y >0，或者x ＋2y ＝8，即2x ＋3y －5＝0(x <10)或者x ＋2y ＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x <10)(去除端点)和一条直线x ＋2y ＝8.【探究1】 已知直线l ：x －y ＝a 及曲线x 2＋y 2－4y －4＝0，当a 取何值时，分别有一个交点、两个交点、无交点？解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝a ，x 2＋y 2－4y －4＝0消去x ，得 2y 2＋(2a －4)y ＋a 2－4＝0, 则Δ＝(2a －4)2－8(a 2－4)＝－4a 2－16a ＋48.当Δ＝0，即－4a 2－16a ＋48＝0时，得a ＝－6或a ＝2，此时方程组有一解； 当Δ＞0，即－4a 2－16a ＋48＞0时，得－6＜a ＜2，此时方程组有两解； 当Δ＜0，即－4a 2－16a ＋48＜0时，得a ＜－6或a ＞2，此时方程组无实数解；综上所述，当a ＝－6或a ＝2时有一个交点：当－6＜a ＜2时有两个交点；当a ＜－6或a ＞2时无交点.【探究2】 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围. 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 【探究3】 (1)已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，＋∞)D.∅ 解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图像大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.答案 A(2)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1（y ≥0）.消去x，得到2y2＋2by＋b2－1＝0(y≥0).l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b2－8（b2－1）>0，y1＋y2＝b>0，y1y2＝b2－12≥0，解得1≤b< 2.所以b的取值范围为[1，2).规律方法(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.课堂达标1.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析∵y＝－2x≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上时，点M不一定在y＝－2x上.反之，点M在y＝－2x上时，点M一定在y2＝4x上.答案 B2.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.选B. 答案 B3.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________.解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π3.答案 π3或5π34.过点P (1，1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为______________.解析 设M (x ，y )，如图，由直角三角形的性质可知|PM |＝|MO |，即(x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2，∴x ＋y －1＝0.答案 x ＋y －1＝05.试画出方程log x y －log y x ＝0所表示的曲线.解 由原方程知x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1，由原方程得log x y ＝1log xy ， 所以log x y ＝±1，所以y ＝x 或y ＝1x .所以原方程等价于y ＝x 或y ＝1x (其中x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1)，其图像如图.课堂小结1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上.2.点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程.3.方程表示的曲线的判断步骤：4.判断方程表示曲线的注意事项：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线.(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想.。

4.1曲线与方程(一)学习目标 1. 认识曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2. 初步领悟“曲线的方程”与“方程的曲线”的观点.3. 学会依据已有的情境资料找规律，学会剖析、判断曲线与方程的关系，加强“形”与“数”的一致以及互相转变的思想方法.知识点一曲线与方程的观点思虑 1设平面内有一动点P，属于以下会合的点构成什么图形？(1){ P| PA＝PB}( A，B是两个定点 ) ；(2){ P| PO＝ 3 cm}( O为定点 ).思虑 2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为何？梳理一般地，在平面直角坐标系中，假如某曲线C(看作知足某种条件的点的会合或轨迹)上的点与一个二元方程 f ( x， y)＝0的实数解成立了以下的关系：(1)____________ 都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在______上，那么，这个方程叫作__________；这条曲线叫作__________.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思虑 1曲线C上的点的坐标都是方程 f ( x， y)＝0的解，可否说 f ( x， y)＝0是曲线 C 的方程？试举例说明.思虑 2方程x－y＝0可否表示直角坐标系中的第一、三象限的角均分线？方程x－ y＝0呢？梳理(1) 曲线的方程和方程的曲线是两个不一样的观点，是从不一样角度出发的两种说法. 曲线C的点集和方程 f ( x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质能够反应在它的方程上，方程的性质又能够反应在曲线上. 定义中的条件①说明曲线上的全部点都合适这个方程；条件②说明合适方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着密切的关系，经过曲线上的点与实数对( x，y) 成立了__________ 关系，使方程成为曲线的代数表示，经过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质 .种类一曲线与方程的观点理解与应用命题角度 1曲线与方程的判断例 1命题“曲线 C上的点的坐标都是方程 f ( x，y)＝0的解”是正确的，以下命题中正确的是 ()A. 方程f ( x，y) ＝ 0的曲线是 CB. 方程f ( x，y) ＝ 0的曲线不必定是 CC. f ( x，y) ＝ 0 是曲线C的方程D. 以方程f ( x，y) ＝ 0 的解为坐标的点都在曲线C上反省与感悟解决“曲线”与“方程”的判断这种问题( 即判断方程能否是曲线的方程或判定曲线能否是方程的曲线 ) ，只需一一查验定义中的“两性”能否都知足，并作出相应的回答即可 .判断点能否在曲线上，就是判断点的坐标能否合适曲线的方程.追踪训练1设方程f(x，y)＝0的解集非空，假如命题“坐标知足方程 f ( x， y)＝0的点都在曲线 C上”是不正确的，那么以下命题正确的选项是()A. 坐标知足方程 f ( x， y)＝0的点都不在曲线C上B. 曲线C上的点的坐标都不知足方程 f ( x， y)＝0C. 坐标知足方程 f ( x， y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D. 必定有不在曲线C上的点，其坐标知足 f ( x， y)＝0命题角度2曲线与方程的观点应用例 2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k( k>0)的点的轨迹方程是xy＝± k.反省与感悟解决此类问题要从双方面下手：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为齐备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程 .追踪训练2写出方程(x＋y－1)x－1＝0表示的曲线.种类二曲线与方程关系的应用例 3 已知方程x2＋ ( y－ 1) 2＝ 10.(1)判断点 P(1，－2)， Q( 2，3)能否在此方程表示的曲线上；m(2)若点 M 2，－ m 在此方程表示的曲线上，求 m的值.反省与感悟判断曲线与方程关系问题时，能够利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.追踪训练3若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈ R)，求k的取值范围.1. 曲线f ( x，y) ＝ 0 对于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为()A. f ( x－ 3，y) ＝0B. f ( y＋ 3，x) ＝0C. f ( y－ 3，x＋ 3) ＝ 0D. f ( y＋ 3，x－ 3) ＝ 02.方程 xy2－ x2y＝2x 所表示的曲线()A. 对于x轴对称B. 对于y轴对称C. 对于原点对称D. 对于直线x－y＝ 0 对称3.方程 4x2－y2＋ 6x－ 3y＝ 0 表示的图形为 ________.2214.若曲线 ax ＋ by ＝4过点 A(0，－2)， B(2，3)，则 a＝________， b＝________.5.方程 ( x2－ 4) 2＋ ( y2－ 4) 2＝ 0 表示的图形是 ________.1.判断点能否在某个方程表示的曲线上，就是查验该点的坐标能否是方程的解，能否合适方程 . 若合适方程，就说明点在曲线上；若不合适，就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，进而可研究相关参数的值或范围问题.提示：达成作业第三章§4 4.1( 一 )答案精析问题导学知识点一思虑 1 (1) 线段AB的垂直均分线；(2)以 O为圆心，3 cm为半径的圆.思虑 2 y＝±x. 在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标( x0，y0)知足 y0＝ x0或y0＝－ x0，即( x0， y0)是方程 y＝± x 的解；反之，假如( x0，y0) 是方程y＝x或y＝－x的解，那么以 ( x，y ) 为坐标的点到两坐标轴距离相等 .00梳理 (1)曲线上点的坐标(2)曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思虑 1 不可以 . 还要考证以方程 f ( x， y)＝0的解为坐标的点能否都在曲线上. 比如曲线C为“以原点为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋ y2＝4”，曲线上的点都知足方程，但曲线的方程不是x2＋ y2＝4.思虑 2 方程x－y＝0不可以表示直角坐标系中的第一、三象限的角均分线. 由于第一、三象限角均分线上的点不全部是方程x－ y＝0的解.比如，点 A(－2，－2)不知足方程，但点 A 是第一、三象限角均分线上的点. 方程x－y＝0 能够表示第一、三象限的角均分线.梳理 (2)一一对应题型研究例 1 B追踪训练 1 D例 2证明①如图，设M( x0， y0)是轨迹上的随意一点.由于点 M与 x 轴的距离为| y0|，与 y 轴的距离为| x0|，所以 | x0| ·|y0| ＝k，即 ( x0，y0) 是方程xy＝±k的解 .②设点 M1的坐标( x1， y1)是方程 xy＝± k 的解，则 x1y1＝± k，即| x1|·|y1|＝ k.而 | x1| ， | y1| 正是点M1到纵轴、横轴的距离，所以点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点 M1是曲线上的点.由①②可知， xy＝± k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k( k>0)的点的轨迹方程 .追踪训练 2由方程 ( x＋y－1)x－1≥0，解x－1＝0可得x＋ y－1＝0或 x－1＝0.即 x＋y－1＝0( x≥1)或 x＝1，∴方程表示直线 x＝1和射线 x＋y－1＝0( x≥1).例 3解 (1) ∵12＋ ( － 2－ 1) 2＝ 10，(2) 2＋ (3 － 1) 2＝6≠10，∴ P(1，－2)在方程 x2＋( y－1)2＝10表示的曲线上， Q(2， 3) 不在此曲线上 .(2) ∵m2＋(－2m2＋( －－1)2＝ 10.解得＝ 2 或，－ m 在方程x y1) ＝10表示的曲线上，∴M 22m m＝－18.m5追踪训练3解∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋ k＝0.2121∴ k＝－2a －2a＝－2 a＋2＋2.1∴k≤，21∴ k 的取值范围是－∞，2.当堂训练1.D2.C3. 两条订交直线4.415.4 个点。

曲线与方程——求点的轨迹方程[考纲]1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2了解解析几何的根本思想和利用坐标法研究几何问题的根本方法．3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程知识点1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C看作满足某种条件的点的集合或轨迹上的点与一个二元方程f，＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．知识点2求动点的轨迹方程的根本步骤1．必会结论1“曲线C是方程f，＝0的曲线〞是“曲线C上的点的坐标都是方程f，＝0的解〞的充分不必要条件．2曲线的交点与方程组的关系①两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；②方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．2．必清误区1求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．1．思考辨析判断以下结论的正误．正确的打“√〞，错误的打“×〞1f0，0＝0是点，点F0,1①求圆C的圆心轨迹L的方程；②求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．【解析】1由题意知|CA|－|CB|＝63．【答案】错误!－错误!＝1>32①设圆2＋＋42＝1的圆心O0，－4，圆2＋－22＝1的圆心O′0,2，圆C 的半径为r，由题意知，|CO|＝r＋1，|CO′|＝r＋1，从而|CO|＝|CO′|，所以为线段OO′的垂直平分线，的方程为＝－1②由m＝n知，动点M到定点F和定直线的距离相等．由抛物线的定义知，动点M的轨迹Q是以点F0,1为焦点，以直线＝－1为准线的抛物线，且Q⊥A为A垂直平分AP连结AQ，那么|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2又|AC|＝2错误!>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C－错误!，0，A错误!，0为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝错误!，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为2－2＝11长为错误!P是AB上一点，且错误!＝错误!错误!，那么点P的轨迹方程为________．2设直线－＝4a与抛物线2＝4a交于两点A，Ba为定值，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．【解析】1设Aa,0，B0，b，P，，那么错误!＝－a，，错误!＝－，b－，由错误!＝错误!错误!得－a，＝错误!－，b－，即错误!所以错误!又a2＋b2＝3＋2错误!，所以错误!＋2＝1【答案】错误!＋2＝12设△ABC的重心为G，，点C的坐标为0，0，A1，1，B2，2．由方程组错误!消去并整理得2－12a＋16a2＝0∴1＋2＝12a，1＋2＝1－4a＋2－4a＝1＋2－8a＝4a∵G，为△ABC的重心，∴错误!∴错误!又点C0，0在抛物线上，∴将点C的坐标代入抛物线的方程得3－4a2＝4a3－12a，即错误!2＝错误!－4a．又点C与A，B不重合，∴≠6±2错误!a，∴△ABC的重心的轨迹方程为错误!2＝错误!－4a≠6±2错误!a．相关点代入法的根本步骤1．设点：设被动点坐标为，，主动点坐标为1，1．2．求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式错误!3．代换：将上述关系式代入曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．[变式训练]2021·武汉模拟P是椭圆错误!＋错误!＝1a>b>0上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足错误!＝错误!＋错误!，那么动点Q的轨迹方程是________．【解析】由题意知F1－c,0，F2c,0，设P0，0，Q，，由错误!＝错误!＋错误!得，＝－c－0，－0＋c－0，－0，即错误!所以错误!又错误!＋错误!＝1，所以错误!＋错误!＝1【答案】错误!＋错误!＝1。

高中数学 曲线与方程（第一课时）参考教案 北师大版选修2-1（2）一、教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；2．根据曲线方程的概念解决一些简单问题．二、教学重点，难点：教学重点：曲线方程的概念 ；教学难点：曲线方程概念的理解．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境： 在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．2．问题： 怎样理解这个表述？（二）．学生活动在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．这句话的含义是，圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解，且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上．（三）．新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M （x 0,y 0）是抛物线上的点，那么（x 0,y 0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程y =x 2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解；（2）以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么，方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程；曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5．从集合的角度看，曲线c 上所有点组成的集合记作A ；B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集，关系(2)指集合B 是集合A 的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．（四）．知识运用例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上．分析：判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．解：∵22241216+=+=，即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解， 所以该点在圆上．∵22311016+=≠，即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解，所以该点不在这个圆上．例2．已知一座圆拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图所示），求圆拱的方程．解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上，可设为1(0,)O b ，设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =，即 22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上， ∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分（包括x 轴上的点），所以，圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3．画出方程的曲线：0log log =-x y y x ． 解：由0log log =-x y y x ，得：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ，即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ，（图略）． 说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。

4.1 曲线与方程．能解决一些简单的曲线与方程问题. 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)________________都是这个方程的解；(2)______________________都在曲线上，那么这条曲线叫作______________，这个方程叫作__________．预习交流想一想：到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x －y ＝0吗？为什么？答案：曲线上点的坐标 以这个方程的解为坐标的点 方程的曲线 曲线的方程 预习交流：提示：到两坐标轴距离相等的点满足的方程不只是x －y ＝0，还有x ＋y ＝0，以方程x －y ＝0的解为坐标的点都在曲线上，但曲线上的点的坐标不都是这个方程的解，有些是方程x ＋y ＝0的解，所以方程x －y ＝0不是已知曲线的方程，曲线也不是该方程的曲线．1．曲线与方程的判定下列命题是否正确？若不正确，请说明理由．(1)过点(5,0)且平行于y 轴的直线l 的方程是|x |＝5；(2)到直线y ＝x 的距离等于2的点的轨迹方程是x －y ＋2＝0.设A (2,0)，B (0,2)，能否说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？只有同时满足以下两个条件：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点时，这条曲线才是方程的曲线，这个方程才是曲线的方程．2．求曲线的方程已知Rt △ABC ，∠C 为直角，A (－1,0)，B (1,0)，求满足条件的点C 满足的方程．过原点作直线l 与曲线y ＝x 2－4x ＋6交于A ，B 两点．求线段AB 的中点M 满足的方程．求曲线方程实质上是将产生曲线的条件逐步转化成代数方程，即文字语言描述的条件→数学语言描述的等式→数学符号语言中含动点的坐标x ，y 的代数方程→化简方程．答案：活动与探究1：解：(1)不正确．因为点(－5,0)满足方程|x |＝5，但该点不在过点(5,0)且平行于y 轴的直线上．(2)不正确．因为(3,1)是到直线y ＝x 的距离等于2的点，但不满足方程x －y ＋2＝0. 迁移与应用1：解：不能．因为点(3，－1)的坐标是方程x ＋y －2＝0的解，但该点不在线段AB 上．活动与探究2：解：设C 点坐标为(x ，y )，则AC →＝(x ＋1，y )，BC →＝(x －1，y )．∵∠C 为直角，∴AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝0.即(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0，化简得x 2＋y 2＝1.∵A ，B ，C 三点要构成三角形，∴A ，B ，C 不共线，∴y ≠0.∴满足条件的点C 满足的方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．迁移与应用2：解：设直线l 的方程为y ＝kx ，把它代入曲线方程y ＝x 2－4x ＋6，得x 2－(4＋k )x ＋6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )．则x 1＋x 2＝4＋k ，y 1＋y 2＝kx 1＋kx 2＝k (x 1＋x 2)＝k (4＋k )．∴x ＝4＋k 2，y ＝k (4＋k )2，得y ＝2x 2－4x .又由于直线与曲线有两个交点， ∴(4＋k )2－24＞0，解得k ＜－4－26或k ＞－4＋2 6.由x ＝4＋k 2得，x ＜－6或x ＞ 6. ∴线段AB 的中点M 满足的方程为y ＝2x 2－4x (x ＜－6或x ＞6)．1．一条线段长为10，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 点在线段AB 上，且AM ＝4MB ，则点M 满足的方程为( )．A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝82．▱ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 满足的方程为( )．A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝03．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与斜线AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为( )．A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．抛物线4．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 满足的方程为______．答案：1．B 解析：设M 点坐标为(x ，y )，由A ，B 分别在x 轴、y 轴上，且AM →＝4MB →，得A (5x,0)，B ⎝⎛⎭⎫0，54y . 又由|AB |＝10，得(5x )2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝100，整理得16x 2＋y 2＝64. 2．A 解析：设AC ，BD 交于点P ，∵点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－2. 设B 为(x ，y )，则D 为(5－x ，－4－y )，∵点D 在直线3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0，即3x －y －20＝0.3．A 解析：设l 转到l 1位置时l 1∩α＝C 1，由l ⊥AB ，l 1⊥AB ，知AB ⊥平面ACC 1，且由l ，l 1确定的平面交α于CC 1，故当l 转动时，l 与平面α的交点在直线CC 1上．4．x 2＋y 2＝4 解析：设P (x ，y )，圆x 2＋y 2＝1的圆心为O .∵∠APB ＝60°，圆O 的半径为1，∴|OP |＝2，∴x 2＋y 2＝4.。

3.4.1 曲线与方程
学习目标：曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础，理解曲线与方程之间的一一对应关系。

学习重点：曲线与方程的一一对应关系。

学习难点：常见的几何模型与代数模型的转换。

学习过程：
一、复习：
同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。

一、新旧知识连接：
复习直线、圆、圆锥曲线的标准方程与曲线的一一对应关系。

二、我能自学：
1.认识角的概念：
一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 F (x , y )=0的实数解建立了如下的关系
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么曲线C 叫做方程F (x , y )=0的曲线；方程F (x , y )=0叫做曲线C 的方程
曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程
三、巩固训练
1．22
:(3,4),5(3)(4)25,M x y -+-=证明圆心为半径为的圆的方程
(1,0),(1,0),(1,2)O A B --并判断点是否在这个圆上.
2．求直角坐标系下一三象限的角分线方程，下列方法是否正确？
3. 求证：与两条坐标轴的距离的积等于1的点的轨迹方程是|xy |=1
例4. 甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程 f (x ，y )=0 的解”，乙：“曲线C 是方程
f (x ，y )=0 的曲线”，则甲是乙的( )
(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 非充分也非必要条件。

§4 曲线与方程4.1 曲线与方程自主整理1.在直角坐标系中,如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解满足以下关系：如果点的坐标(x,y)都是___________的解,且以方程___________的解(x,y)为坐标的点都在上,那么,方程f(x,y)=0叫作___________,曲线C叫作___________.2.如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是___________.高手笔记1.结合自己已学过的曲线与方程的实例,了解曲线与方程的关系,进一步感受数形结合的基本思想,称曲线C的方程是f(x,y)=0,必须满足两点要求,缺一不可,即指曲线C上的点的坐标都是这个方程的解,反之,以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上.2.要判断坐标平面上的一个点是否在给定的曲线上,只需判断此点的坐标是否满足方程即可.3.对曲线与方程的定义的理解应结合实例去感受,进一步体会数形结合的思想在此处的体现.4.定义的实质是平面上,曲线上的点集{M|P(M)}和方程f(x,y)=0的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间的一一对应关系,透过这一关系既可以通过方程研究曲线的性质,也可由曲线求出其方程.5.证明曲线的方程或方程的曲线,可设曲线上任意一点的坐标,依据曲线的性质,写出该点坐标满足的条件,看是否与方程一致;同时还要看以方程的任一解为坐标的点是否适合曲线上的点的要求.方程与曲线是从两个不同的方面反映两个量x,y的同一关系.名师解惑1.怎样理解曲线C与方程f(x,y)=0的定义?剖析:定义中的“曲线C上的点的坐标(x,y)都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,即指曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性).定义中的“以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上”阐明符合条件的所有点都是曲线C上的点而毫无遗漏(完备性).2.怎样证明方程的曲线或曲线的方程?剖析:要证明方程的曲线或曲线的方程,均需证明两点:一是以方程的解为坐标的点都在曲线上,二是曲线上每一点的坐标都是方程的解,两者缺一不可.讲练互动【例1】线段AB与CD互相垂直平分于点O,|AB|=2a(a>0),|CD|=2b(b>0),动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,求P点的轨迹方程.解析:本题考查曲线与方程的关系及曲线方程的求法.建立直角坐标系,然后把已知条件用坐标表示,再化简得出所求方程.答案:以O为坐标原点,直线AB,CD分别为x轴,y轴建立直角坐标系,设P(x,y)是所求轨迹上任一点,则A(-a,0),B(a,0),C(0,-b),D(0,b).由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|可得22)222222∙+a+yx-∙++,x-=++b)(()()(bxyyxya化简,得x 2-y 2= 222b a -. 绿色通道求曲线的方程,根据曲线与方程的关系,在建立直角坐标系的前提下,设出轨迹上任一点的坐标为(x,y),建立关于x,y 的等式,即所求方程.这类问题中,建立直角坐标系是关键,建系恰当,可使运算量较小,若建系不当,会增加计算量,有时很可能得不出正确的结果.变式训练1.已知线段AB 长为10,动点P 到A,B 两点的距离的平方和为122,求动点P 的轨迹方程. 答案:以AB 所在直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0). 设P(x,y)是曲线上任意一点,由|PA|2+|PB|2=122,得(x+5)2+y 2+(x-5)2+y 2=122.化简,得x 2+y 2=36.【例2】证明圆心为P(a,b),半径等于r 的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2.解析:本题考查曲线与方程的定义,设出圆上的任意一点M(x 0,y 0)适合方程,且以(x 0,y 0)为坐标的点在圆上.答案:(1)设M(x 0,y 0)是圆上任一点,则|MP|=r, 所以2020)()(b y a x -+-=r,即(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2.说明(x 0,y 0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的解.(2)设(x 0,y 0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的解,则有(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2, 所以2020)()(b y a x -+-=r,即点M(x 0,y 0)到点P(a,b)的距离等于r.所以点M(x 0,y 0)在圆上.所以由曲线与方程的定义可知(x-a)2+(y-b)2=r 2是圆心在P(a,b)点,半径为r 的圆的方程. 绿色通道证明方程的曲线或曲线的方程需证明两条:(1)曲线上每一点的坐标都是方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.变式训练2.判断曲线C:到两坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x 2-y 2=0的关系.答案:显然曲线C 就是两条互相垂直的直线,其方程为y=x 和y=-x.而方程x 2-y 2=0,即为x=y 或y=-x,所以x 2-y 2=0就是曲线C 的方程.教材链接【思考交流】到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x-y=0吗?为什么?答:到两坐标轴距离相等的点满足的方程不是x-y=0,是x-y=0或x+y=0,例如点P(1,-1)到两坐标轴的距离相等,都是1,但点P 的坐标不满足x-y=0,即不符合定义.。

§4 曲线与方程4.1曲线与方程●三维目标1．知识与技能(1)了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．(2)初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(3)学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．2．过程与方法(1)通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识．(2)在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点．(3)能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．3．情感、态度与价值观(1)通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律．(2)通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具．(3)学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性．●重点难点重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．本节课，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，可通过反例揭示两者缺一不可的关系．为了强化认识，可用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，这将有助于学生的理解．通常在由已知曲线建立方程的时候，不验证以方程的解为坐标的点是否在曲线上，就认为所求的是曲线方程．为了突破这个难点，可设计不同层次的问题，通过这些问题让学生进一步领会二者缺一不可．●教学建议本节课，学生已有了用方程表示曲线的感性认识(二元一次方程表示直线)，现在要进一步研究平面内的曲线和含有二元方程之间的关系，是由直观上升到抽象的过程．所以本节课可采用复习引入课题、从特殊到一般的方法让学生易于接受．教学方法上，可采用启发探究式，以问题的提出、问题的解决为主线进行教学．在教学中，通过探究发现、合作交流、归纳反思等数学活动，倡导学生主动参与，让学习过程成为主动认知过程．在教学中，要循善诱，精心启发，创造思维情景让学生去观察、去探索、去发现问题、去解决问题，进而培养学生的创造性思维．●教学流程设置情境导入新课.――→探究通过例子探究定义中两个条件缺一不可――→概括归纳曲线与方程的定义――→探究求曲线方程的方法―→训练反馈―→归纳提升1．如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，会出现什么情况？举例说明．【提示】 方程y ＝1－x 2表示的曲线是半圆，而非整圆．2．轨迹与轨迹方程这两个概念相同吗？。

课题学习目标 ：1.结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解数与形结合的基本思想．3.通过直线与方程、圆与方程理解曲线与方程的关系；利用数形结合，直观体会曲线上点的坐标与方程解的关系．学习重点：.结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系.学习难点：利用数形结合，直观体会曲线上点的坐标与方程解的关系．学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。

学习过程一、课前预习指导：1.曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1) ；(2) ．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．二、新课学习问题探究一 曲线的方程与方程的曲线1 在直角坐标系中，平分一、三象限的直线和方程x －y ＝0有什么关系？2 以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆和方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2有什么关系？3 曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解，能否说f (x ，y )＝0是曲线C 的方程？4 曲线的方程与方程的曲线有什么区别？例1 证明圆心为M （3,4），半径等于5的圆的方程是25)4()3(22=-+-y x ，并判断点O(0,0),A(-1,0),B(1,2)是否在这个圆上。

学后检测1 判断下列命题是否正确．(1)过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为|y |＝3.(2)以坐标原点为圆心，半径为r 的圆的方程是y ＝r 2－x 2.(3)方程(x ＋y －1)·x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是圆或直线．(4)点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)都在方程x 2＋y 2＝25 (x ≤0)所表示的曲线上．问题探究二 点和曲线的关系若点P 在曲线C 上，点的坐标和曲线的方程有什么关系？例2 已知方程10)1(22=-+y x(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． 学后检测2(1)已知方程(x －a )2＋(y －b )2＝36表示的曲线经过点O (0,0)和点A (0，－12)，求a 、b 的值；(2)若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R)，求k 的取值范围．三、当堂检测1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1,5) D ．(4,4) 2．已知坐标满足方程f(x ，y)＝0的点都在曲线C 上，那么( )A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f(x ，y)＝0B ．凡坐标不适合f(x ，y)＝0的点都不在C 上C ．不在C 上的点的坐标必不适合f(x ，y)＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f(x ，y)＝0，有些不适合f(x ，y)＝03．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )4．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是 ( )A ．y ＝x 与y2＝xB ．y ＝x 与x y＝1 C ．y 2－x 2＝0与|y|＝|x| D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x 四、课堂小结五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。

3.4.1曲线和方程知识与技能目标（1） 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；（2） 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；（3） 学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

过程与方法目标（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感与态度目标（1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；（2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；（3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

教学难点：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。

教学过程：一、创设情境，新课引入：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。

二、师生互动，新课讲解：例1：作出方程0=-y x 表示的直线借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形） 方程（数量） 。

变式训练1：作出函数y=x 2的图象类比方程2x y =与如图所示的抛物线。

这条抛物线是否与这个二元方程 2x y =也能建立这种对应关系呢？ （按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？这就是今天这节课的内容：曲线和方程。

2019-2020年北师大版高中数学（选修2-1）3.4《曲线和方程》word 教案【学习目标】1．了解曲线方程的概念；根据曲线方程的概念解决一些简单问题．2.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义；【学习重点】了解曲线方程的概念；根据曲线方程的概念解决一些简单问题．【学习难点】根据曲线方程的概念解决一些简单问题. 掌握圆锥曲线的定义；【知识衔接】1. 把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集．2 平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F 不在定直线l 上)．定点F 叫做抛物线的＿＿＿，定直线l 叫做抛物线的＿＿＿.3.把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于＿＿＿（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双曲线的＿＿＿．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=【学习过程】一、曲线与方程的定义：一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上． 分析：判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．例2 见教材例1,可以得到以下三种不同的曲线：1．椭圆的定义：平面内到两定点1F，2F的距离和等于常数（大于12F F）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F，2F叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注意：定义中的定值要大于12F F，否则不是椭圆．若定值等于12F F，则点的轨迹是线段12F F；若定值小于12F F，则点的轨迹不存在．２．双曲线的定义：（类比椭圆的定义）平面内到两定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数（大于0，小于12F F）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点1F，2F叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．说明：定义中的定值要小于12F F，否则不是双曲线．若定值等于0，则点的轨迹为线段12F F的中垂线；若定值等于12F F，则点的轨迹是两条射线；若定值大于12F F，则点的轨迹不存在．３．抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．说明：（１）F不在l上，若F在l上，则点的轨迹为过F与l垂直的直线．4.我们常利用下面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么：椭圆：动点M满足的式子：122MF MF a+=（122a F F>的常数）；双曲线：动点M满足的式子：122MF MF a-=（1202a F F<<的常数）；抛物线：动点M满足的式子：MF d=（d为动点M到直线L的距离）．三、圆锥曲线的第二定义：圆锥曲线的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比未定值e，当0<e<1时，圆锥曲线时椭圆；当e>1时，圆锥曲线是双曲线；当e=1时，圆锥曲线是抛物线。

4.1曲线与方程(二)学习目标 1. 认识用坐标法研究几何问题的有关知识和看法，感觉曲线的实质背景，明确其刻画现实世界和解决实质问题的作用.2. 认识分析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题 .3. 初步掌握依据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的看法.知识点一坐标法的思想思虑 1如何理解成立平面直角坐标系是分析几何的基础？思虑 2依照一个给定的平面图形，选用的坐标系独一吗？梳理(1) 坐标法：借助于______，经过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)分析几何研究的主要问题：①经过曲线研究方程：依据已知条件，求出__________.②经过方程研究曲线：经过曲线的方程，研究________.知识点二求曲线的方程的步骤种类一直接法求曲线的方程例 1一个动点P 到直线 x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点 P 的轨迹方程.引申研究若将本例中的直线改为“y＝8”，求动点P 的轨迹方程.反省与感悟直接法求动点轨迹的重点及方法(1)重点：①成立适合的平面直角坐标系；②找出所求动点知足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程按照求曲线方程的五个步骤，在实质求解时可简化为三大步骤：建系、设点；依据动点知足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提示：直接法求动点轨迹方程的打破点是将几何条件代数化.追踪训练 1→→→→→→已知两点 M(－1,0)，N(1,0)，且点 P 使 MP· MN， PM·PN， NM·NP成公差小于零的等差数列. 求点P的轨迹方程 .种类二代入法求解曲线的方程例 2动点M在曲线x2＋y2＝1上挪动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求 P点的轨迹方程.反省与感悟代入法求解轨迹方程的步骤(1) 设动点P( x，y) ，有关动点M( x0， y0).x0＝ f x，y，(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系y0＝ g x，y(3)代入有关动点的轨迹方程 .(4)化简、整理，得所求轨迹方程 .追踪训练 2 △ABC的极点A固定，点A的对边BC的长是 2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线挪动，求△ ABC外心的轨迹方程.种类三依据曲线的方程求两曲线的交点a例 3 过点M(1,2) 的直线与曲线y＝x( a≠0) 有两个不一样的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求 a 的取值范围.反省与感悟联合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程组成的方程组的解，因此能够把求两曲线交点坐标的问题转变为解方程组的问题，议论交点的个数问题转变为议论方程组解的个数问题. 即两曲线C1和 C2的方程分别为F( x， y)＝0和 G( x， y)＝0，则F x， y＝ 0，它们的交点坐标由方程组x， y 的解来确立 .G＝ 0追踪训练 3直线 l ：y＝ k( x－5)(k≠0)与圆 O：x2＋ y2＝16订交于 A，B 两点， O为圆心，当k 变化时，求弦AB的中点 M的轨迹方程.1. 曲线y＝1与 xy＝2的交点是()xA.(1,1)B.(2,2)C.直角坐标系内的随意一点D.不存在2. 方程x2＋y2＝ 1( xy<0) 表示的曲线是 ()3. 直线x＋ya＝ 1 与x，y轴交点的中点的轨迹方程是 ________________.2－a4.已知⊙ O的方程是 x2＋ y2－2＝0，⊙ O′的方程是 x2＋y2－8x＋10＝0，由动点 P向⊙ O和⊙O′所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是________.5.M为直线 l ：2x－ y＋3＝0上的一动点， A(4,2)为必定点，又点 P 在直线 AM上运动，且 AP∶ PM ＝ 3，求动点P的轨迹方程.求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接依据题目中给定的条件进行确立方程.(2)定义法：依照有关曲线的性质成立等量关系，进而确立其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点知足的条件不便用等式列出，但动点是跟着另一动点( 称之为有关点 ) 而运动的 . 假如有关点所知足的条件是显然的，或是可剖析的，这时我们能够用动点坐标表示有关点坐标，依占有关点所知足的方程即可求得动点的轨迹方程，这类求轨迹的方法叫作有关点法或代入法.(4) 参数法：将x， y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.(5) 待定系数法：依据条件能知道曲线的种类，可先依据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确立待定的系数.提示：达成作业第三章§4 4.1( 二 )答案精析问题导学知识点一思虑1只有成立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.思虑 2不独一，常以获得的曲线方程最简单为标准.梳理(1) 坐标系(2) ①表示曲线的方程②曲线的性质知识点二有序实数对 ( x，y)P＝{ M| p( M)}p( M) f ( x， y)＝0 f ( x， y)＝0方程的解题型研究例 1解设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则 |8 －x| ＝ 2x－2＋y－2，化简，得3x2＋ 4y2＝48，故动点 P 的轨迹方程为3x2＋ 4y2＝ 48.引申研究解据题意设(，y ) ，P x则 P 到直线 y＝8的距离 d＝| y－8|，又 || ＝x －2＋y－2，PA故 | y－8| ＝ 2x－2＋ y－2，化简，得4x2＋ 3y2－16x＋ 16y－ 48＝ 0.故动点 P 的轨迹方程为4x2＋ 3y2－ 16x＋ 16y－ 48＝ 0.追踪训练1解设点P(x，y)，由 M(－1,0)， N(1,0)，→→得 PM＝－ MP＝(－1－ x，－ y)，→→PN＝－ NP＝(1－x，－ y)，→→MN＝－ NM＝(2,0).→→∴ MP·MN＝2( x＋1)，→→22PM· PN＝ x ＋ y －1，→→NM· NP＝2(1－ x).→→→→→→于是， MP· MN，PM· PN， NM·NP成公差小于零的等差数列等价于x2＋ y2－1＝1x＋＋－x，2－x－x＋，x2＋ y2＝3，即x>0.∴点 P的轨迹方程为x2＋y2＝3( x>0).例 2 解设P( x，y) ，M( x0，y0) ，由于 P为 MB的中点，x＝x0＋3，2x＝2 －3，x因此y0即y0＝2y，y＝，2又由于在曲线x 2＋y2＝1 上，M因此 (2 x－ 3) 2＋4y2＝ 1.因此 P点的轨迹方程为(2 x－ 3) 2＋ 4y2＝ 1.追踪训练 2解如下图，以所在的定直线为x 轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，BC成立直角坐标系，则 A 点的坐标为(0， b).设△ ABC的外心为M( x， y)，作 MN⊥ BC于 N，则 MN是 BC的垂直均分线.∵|BC|＝2a，∴|BN|＝ a，| MN|＝| y|.又M是△ABC的外心，∴ M∈{M|| MA|＝| MB|}.而 | MA|＝x2＋y－ b2，| MB|＝| MN|2＋| BN| 2＝a2＋ y2，∴x2＋ y－ b 2＝ a2＋y2，化简，得所求轨迹方程为 x2－2by＋b2－ a2＝0.例 3 解当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不行能与曲线有两个公共点 .设直线方程为y－2＝ k( x－1)( k≠0)，y－2＝ k x－，联立曲线方程，得ay＝x，消去 x，得 y2－(2－ k) y－ka＝0.①当此方程有两个不一样的根，即方程组有两个不一样的解时，直线与曲线有两个不一样的交点.∴＝[ － (2 －k)] 2＋ 4ka>0.设方程①的两根分别为y1， y2，由根与系数的关系，得y1＋ y2＝2－ k.又∵ y1＋ y2＝ a，∴ k＝2－ a，代入>0 中，得a2＋ 4a(2 －a)>0 ，8解得 0<a<3.又∵ k≠0，∴2－a≠0，即a≠2.8∴ a 的取值范围是(0,2)∪(2，3).追踪训练3解设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由 OM⊥ MP，得| OP|2＝| OM|2＋| MP|2，∴ x2＋y2＋( x－5)2＋ y2＝25，52225整理得 ( x－ ) ＋y＝.24∵点 M应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分.x－52＋y2＝25，解方程组24x2＋ y2＝1616得两曲线交点的横坐标为x＝5，5222516故所求轨迹方程为( x－2) ＋y＝4 (0 ≤x< 5 ).当堂训练1.D2.D3.x＋ y－1＝0( x≠0， x≠1)3 4.x＝25. 解设点，的坐标分别为(0 ，y 0)，(，y) ，由题设及向量共线条件可得M P M x P x 4 ＝4＋3 0，4x－4x ＝3，x x0因此4y＝ 3y0＋ 2，y0＝4y－2，3由于点 M( x0， y0)在直线2x－ y＋3＝0上，4x－ 44y－ 2因此 2×－＋3＝0，3 3即 8x－ 4y＋ 3＝0，进而点 P 的轨迹方程为8x－ 4y＋3＝ 0.。

“曲线与方程”教学设计安徽省淮南第二中学章齐一、教学内容分析本节课的教学内容是北师大版《普通高中课程标准实验教科书选修2-1》第三章第四节第一小节“曲线与方程”.曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，在直角坐标系中，曲线有它的方程，方程有它的曲线，曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是代数的一种几何表示．在直角坐标系中，点可由它的坐标来表示，而曲线是点的轨迹，所以曲线可用含x、y的方程来表示．“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，对解析几何教学有着深远的影响，曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃．由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径．求曲线的方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一.因此，本节课的教学重点是曲线的方程和方程的曲线的定义.二、教学目标分析根据《普通高中数学课程标准（实验）》的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标.（1）通过求线段/直线的方程与给出右半圆的方程画曲线让学生体会曲线与方程的定义，并让其归纳曲线与方程的定义；（2）能根据曲线与方程的定义辨析所给的方程是否是某个曲线的方程；（3）能根据曲线与方程的定义证明曲线的方程和方程的曲线；（4）通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力；（5）通过学生的互动探究，培养学生的合作探究精神.三、学生学情分析从已经学习过的知识看，学生已经学习了直线，圆，椭圆，抛物线，双曲线等知识，并且知道这些特殊的曲线与其方程的对应关系，这为本节课的学习提供了知识准备.学生是宿城一中高二理科平行班的学生，基础较好，具备一定的抽象概括能力，因此，可以通过对已经学习过的特殊的曲线与方程的研究让其归纳出一般的曲线与方程的定义.另外，在前面学习直线，圆以及圆锥曲线的过程中，学生遇到的问题往往是求得的曲线是一条完整的曲线，不需要深究求得的方程的解所表示的点中是否会混入不在曲线上的点的问题.进入到一般的曲线的研究过程时，学生自然会在这方面出现这样或那样的问题.此外，一谈到范围，学生容易想到函数的定义域和值域，这会对本节课的学习产生负迁移.学生对曲线与方程定义中的两句话中的第二句话理解的不是很好，基于上述分析，本节课的教学难点是曲线的方程和方程的曲线的定义的生成与简单应用.四、教学策略分析本节课的难点是曲线的方程和方程的曲线的定义的生成与简单应用，主要突破策略如下：（1）创设问题情境，让学生了解用方程研究曲线是否可靠，如果可靠，说明曲线与方程应该存在着某种关系.从而让学生知道我们今天学习这节课的必要性，让学生带着疑问来学习.(2)通过对特殊的直线与直线的方程，线段与线段的方程，半圆与半圆的方程的研究让学生充分的理解两句话的作用，再通过反例加深对这两句话的理解，从而让学生归纳出一般的曲线的方程和方程的曲线的定义.(3)在学生归纳出方程的曲线与曲线的方程的定义后，我再从集合的角度对该定义进行解读，从而加深了学生对定义的理解，同时也加强了知识间的联系，有助于学生进一步的学习.(4)在师生共同得到定义后，通过对具体问题的分析，进一步加深学生对定义中两句话的理解.在本节课内容的教学中，主要以问题引领过程，通过教师引导，师生交流，学生合作，让学生自主构建方程的曲线与曲线的方程的定义.这样做可以使学生经历新概念产生的过程，从总体上认识新旧知识间的联系，在过程中感受学习新概念，解决新问题的方法.本节课采用的教学方法：以问题串引导，启发式教学，小组合作学习.五、教学过程1.复习引入通过师生观看笛卡尔图片，介绍笛卡尔是解析几何的创始人之一，同时阐明解析几何所使用的工具是坐标法，并且分析坐标法研究曲线的思路：曲线的定义曲线的性质.从而提出问题：为什么我们可以通过方程去研究曲线的性质，这种研究是否可靠，如果可靠，说明曲线与方程应该存在着某种关系，这就是我们今天要研究的课题：曲线与方程.板书课题.【设计意图】让学生了解数学史，并且知道坐标法研究曲线的思路都是一样的，并且让学生知道我们今天上这节课的必要性.2.探究新知问题1：请写出图1中直线与图2（实线部分）所表示的方程？【设计意图】从学生的最近发展区提出问题，初步体会曲线与方程的关系.问题2：你能说说图1中直线上点的坐标与方程x -y=0的解有什么关系吗？【设计意图】引导学生换个角度看直线和直线的方程，师生共同得出两个关系：（1）直线上点的坐标都是方程x -y=0的解；（2）以方程x -y=0的解为坐标的点都在直线上.问题3：图1中直线上点的坐标与方程x -y=0（1≤x ≤2）的解是否满足上述两个关系？【设计意图】满足（2）不满足（1），所以直线的方程不是x -y=0（1≤x ≤2），方程x -y=0（1≤x ≤2）所表示的曲线不是该直线.为后面学生归纳一般的方程的曲线和曲线的方程做铺垫.问题4：图2中线段上点的坐标与方程x -y=0的解是否满足上述两个关系？【设计意图】满足（1）不满足（2），所以线段的方程不是x -y=0，方程x -y=0所表示的曲线不是该线段.为后面学生归纳一般的方程的曲线和曲线的方程做铺垫.问题5：图2中线段上点的坐标与方程x -y=0（1≤x ≤2）的解是否也满足上述两个关系？【设计意图】满足（1）（2），说明线段的方程是x -y=0（1≤x ≤2），方程是x -y=0（1≤x ≤2）所表示的曲线是该线段.【阶段小结】上述两个关系都满足时，曲线才是方程的曲线，方程才是曲线的方程，有一个不满足时，曲线不是方程的曲线，方程也不是曲线的方程.问题6：请画出方程092=--y x 所表示的图形？【设计意图】让学生进一步体会方程092=--y x 与右半圆（包括端点）满足上述两个关系.学生有的画的不是右半圆，再进行引导错误的学生进行分析自己错在什么地方.视学情决定讲与不讲变式：如将“—”改为“+”，将“x ”与“y ”的位置互换，看图形时如何变化的，进一步的体会曲线与方程的关系.通过上述直线与直线的方程，线段与线段的方程，半圆与半圆的方程的分析，从而提出为题7.问题7:一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C （看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点和一个二元方程的实数解满足什么条件时，我们说曲线C 是该方程的曲线且这个方程是曲线C 的方程？【设计意图】让学生自己归纳出曲线的方程与方程的曲线的定义，即两个关系.（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.并让学生体会由特殊到一般的思想方法.教师板书曲线的方程（方程的曲线）（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程.下面再从集合的角度来加深学生对定义的理解，并让学生体会知识之间的联系.【设计意图】加深学生对方程的曲线与曲线的方程的理解，并让学生体会知识之间的联系.3. 例题讲解例1. 判断下列说法是否正确？并说明理由：（1）点A(0,3)，B(-2,0),C(2,0) 分别为三角形的三个顶点，边BC 的中线方程是x=0；（2）到x 轴的距离等于2的点的轨迹方程是|y|=2；（3）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x -y=0.【设计意图】让学生利用曲线与方程的定义来判断方程是否是曲线的方程，如果不满足，并让其指出是哪一条不满足还是两条都不满足，加深学生对定义的理解.关键处引导学生弄清每个问题中“曲线是什么”和“方程是什么”，尤其是曲线，再次强调解析几何中曲线的定义：满足某种条件的点的集合.例2. 证明圆心为M(3,4)，半径等于5的圆的方程是()(),254322=-+-y x 并判断点O(0,0),A(-1,0),B(1,2)是否在这个圆上.分析：如何证明以圆心为M(3,4)，半径等于5的圆的方程.()().254322=-+-y x 启发学生回归定义，证明圆和它的方程满足两个关系.曲线是什么？以圆心为M(3,4)，半径等于5的圆.方程是什么？()().254322=-+-y x 如何证明点是否在圆上？点的坐标是否满足圆的方程.【设计意图】通过该题的解决，让学生知道证明曲线的方程或是方程的曲线一定要用定义证明曲线与方程满足两个关系，点是否在曲线上等价于点的坐标是否满足曲线的方程.练习：请将以下四个方程和四个图形用连段连接起来：【设计意图】检测学生的反馈情况.该练习视学情决定讲与不讲.4.课堂小结：通过本节课的学习你学到了关于曲线与方程的哪些知识？在本节课的学习过程中渗透了哪些重要的数学思想方法？5.布置作业：(1).课本P86练习1，2，3(2).求到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程？【设计意图】巩固本节课的内容，为下节课求曲线的方程作铺垫.。

§4曲线与方程4．1曲线与方程知识点.曲线的方程与方程的曲线[填一填]一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．[答一答]到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为什么？提示：到两坐标轴距离相等的点满足的方程不只是x－y＝0，还有x＋y＝0，以方程x－y＝0的解为坐标的点都在曲线上，但曲线上的点的坐标不都是这个方程的解，有些是方程x＋y＝0的解，所以方程x－y＝0不是已知曲线的方程，曲线也不是该方程的曲线．1．曲线的方程，方程的曲线的定义的几个注意点：(1)只有满足了定义中的两个条件，才能称“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”和“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”．(2)方程f(x，y)＝0无实数解，则曲线C不存在；若方程f(x，y)＝0只有有限个实数解，则曲线C是一些孤立的点；若方程f(x，y)＝0可分解成f1(x，y)·f2(x，y)……f n(x，y)＝0，则曲线C是由f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0，……f n(x，y)＝0表示的曲线的全体构成的．(3)坐标系建立以后，平面上的点M与实数对(x，y)建立了一一对应关系，点的运动形成了曲线C.与之对应的实数对x与y的约束关系，就形成了方程f(x，y)＝0，即(4)定义的实质是平面曲线的点集{M|P(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系，由曲线和方程的这一对应关系．既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求出曲线的方程．2．求曲线方程的步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即：文字语言中的几何条件――→解析化数学符号语言中的等式――→坐标化数学符号语言中含动点坐标x，y的代数方程(x，y)＝0――→等价变形简化了的x、y的代数方程f(x，y)＝03．由曲线的方程讨论曲线的性质，一般包括以下几个方面：(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪些基本曲线组成的．在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；(2)研究曲线与坐标轴是否相交．如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；(3)研究曲线的对称性；(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表描点的方法，先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．类型一曲线与方程的定义【例1】(1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0(2)试说明过点P(5，－1)且平行于x轴的直线l和方程|y|＝1所代表的曲线之间的关系．【思路探究】(1)本题考查命题形式的等价转换．(2)“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．【解析】(1)题中所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A，C错误，选项B显然错误，故选D.(2)解：如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，所以直线l上的点都在方程|y|＝1表示的曲线上．但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上，因此方程|y|＝1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|＝1所表示曲线的一部分．【答案】(1)D(2)见解析规律方法在解曲线与方程概念的有关问题时，都必须同时满足两层含义：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．这是识别曲线和方程关系的基本依据．(1)若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是(B)A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是在曲线C 上解析：本题重在考查曲线和方程的定义．只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知选项A ，C ，D 错误．(2)已知A (2,0)，B (0,2)，能不能说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？解：不能说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0，如点(－3,5)的坐标是方程x ＋y －2＝0的一个解，但点(－3,5)不在线段AB 上，所以线段AB 的方程不是x ＋y －2＝0，而是x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)．类型二 曲线的组成【例2】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？【思路探究】 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点入手分析．【解】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0，或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)．(2)方程的左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0，而2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴方程表示的图形为点A (1，－1)．规律方法 曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．说明方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的图形．解：由(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x 2＋y 2－4≥0或x 2＋y 2－4＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4. 由圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22<2，得直线与圆相交， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4表示直线在圆x 2＋y 2＝4外的部分． 故原方程表示圆心在原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x 2＋y 2＝4外的部分．类型三 求曲线的方程【例3】 如图，已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，求动点P 的轨迹方程．【思路探究】 本题可设出P (x ，y )，则Q (－1，y )．然后由QP →·QF→＝FP →·FQ→得出P (x ，y )满足的关系式，整理后即可得P 的轨迹方程． 【解】 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，QP→＝(x ＋1,0)，QF →＝(2，－y )，FP →＝(x －1，y )，FQ →＝(－2，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，∴2x ＋2＝－2x ＋2＋y 2，即动点P 的轨迹方程为y 2＝4x .规律方法 (1)求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明(五步法)．在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．(2)直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法．已知在Rt △ABC 中，|AB |＝2a (a >0)，求直角顶点C 的轨迹方程．解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－a,0)，B (a,0)，设顶点C (x ，y )．方法1：由△ABC 是直角三角形可知|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，即(2a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋y 2＝a 2.依题意可知x ≠±a .故所求直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．方法2：由△ABC 是直角三角形可知AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1(AC ，BC 的斜率是显然存在的)，即y x ＋a ·y x －a＝－1(x ≠±a )．化简得直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．方法3：连接OC ，由△ABC 是直角三角形可知|OC |＝|OA |＝|OB |，且点C 与点A ，B 都不重合，所以x 2＋y 2＝a (x ≠±a )．化简得直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．——易错警示——求轨迹方程漏条件致错【例4】 等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【误解】 设另一端点C 的坐标为(x ，y )，依题意得|AC |＝|AB |，即(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，两边平方，得(x －4)2＋(y －2)2＝10，即另一端点C 的轨迹是以A (4,2)为圆心，以10为半径的圆．【正解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )，依题意得|AC |＝|AB |，即(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，两边平方，得(x －4)2＋(y －2)2＝10.令x ＋32＝4，y ＋52＝2，得x ＝5，y ＝－1.因为A ，B ，C 三点不共线，所以轨迹不包括点(3,5)，(5，－1)．故另一个端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10，且其轨迹不包括点(3,5)，(5，－1)，这是以A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，且除去点(3,5)，(5，－1)．规律方法 上述求得的轨迹方程忽视了A ，B ，C 不共线这个隐含条件，因为A ，B ，C 为三角形的顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即B ，C 不能重合，且B ，C 不能为圆A 的一直径的两个端点．点M 与已知点P (2,2)连线的斜率是它与点Q (－2,0)连线的斜率的2倍，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(x ，y )，当x ＝2时，直线PM 的斜率不存在；当x ＝－2时，直线MQ 的斜率不存在，均不合题意；当x ≠±2时，由已知得y －2x －2＝2×y x ＋2，化简整理得，点M 的轨迹方程为xy ＋2x －6y ＋4＝0(x ≠±2)．1．一条线段长为10，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M点在线段AB 上，且AM→＝4MB →，则点M 满足的方程为( B ) A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8 D.16x 2＋y 2＝8解析：设M 点坐标为(x ，y )，由A ，B 分别在x 轴、y 轴上，且AM→＝4MB →，得A (5x,0)，B (0，54y )．又由|AB |＝10，得(5x )2＋(54y )2＝100，整理得16x 2＋y 2＝64.2．▱ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 满足的方程为( A )A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D.3x －y －9＝0 解析：设AC ，BD 交于点P ，∵点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)．∴P 点坐标为(52，－2)．设B 为(x ，y )，则D 为(5－x ，－4－y )，∵点D 在直线3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0，即3x －y －20＝0.3．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与斜线AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为( A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆 D.抛物线 解析：设l 转到l 1位置时l 1∩α＝C 1，由l ⊥AB ，l 1⊥AB ，知AB ⊥平面ACC 1，且由l ，l 1确定的平面交α于CC 1，故当l 转动时，l 与平面α的交点在直线CC 1上．4．如图，已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆O 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线？解：设MN 切圆于点N ，则动点M 组成的集合是P ＝{M |MN |＝λ|MQ |，λ>0}，∵圆的半径|ON |＝1，∴|MN |2＝|MO |2－|ON |2＝|MO |2－1. 设点M 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故这个方程为所求的轨迹方程．当λ＝1时，方程化为x ＝54，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(54，0)；当λ≠1时，方程化为(x －2λ2λ2－1)2＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2，它表示圆，该圆的圆心坐标为(2λ2λ2－1，0)，半径为1＋3λ2|λ2－1|.。

2.1《曲线与方程》导学案【学习目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法. 【导入新课】 复习导入复习有关常见的曲线，及其对应的方程.例如我们一起回顾直线和圆的方程有关知识： 1.经过点P(0,b)和斜率为k 的直线l 的方程为y kx b =+， 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是y x = ，3.圆心为C(a,b) ,半径为r 的圆C 的方程 为()()222x a y b r -+-=，4．直线 x-y=0上 点的横坐标与纵坐标相等 x=y （或x- y=0） 即第一、三象限角平分线 含有关系：（1） 直线上点的坐标都是方程x-y=0的解 （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线x-y=0 上. 新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念： 我们把满足下面两个条件：（1） ；（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫 ，则该曲线，叫做 .例1下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ，为什么？ （1）x －y =0（2）x y -=0（3）x 2－y 2=0 （4）|x |－y =0解析：点评：例2 （1）判断点M1（3，－4），M2（－52）是否在方程x2+y2=25所表示的曲线上. （2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x2+y2=25.分析：解析：2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）将方程f（x，y）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点.（查漏除杂）.例3 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=. 分析： 证明：例4 设A 、B 两点的坐标是 （－1，－1）、（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 解3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法.用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”.（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （'y ,'x ）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将'y ,'x 表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得出P 的轨迹方程.代入法也称相关点法.（4）参数法：若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时，则可借助中间变量（参数），使x ，y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程.（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数（求两动直线的交点时常用此法），也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程.交轨法可以说是参数法的一种变形.4. 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系. 例5 经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析： 解 课堂小结曲线的方程和方程的曲线（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 作业见同步练习部分 拓展提升1． 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）x －2=0（2）（2x+3y －5）（0)13=--x （3）（3x －4y －12）[0]3)2(log 2=-+y x （4）0324222=++-+y x y x2. 已知点M与x轴的距离和点M与点F（0，4）的距离相等，求点M的轨迹方程.3. 已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在直线l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到直线l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.参考答案新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f（x，y）＝0的解；（2）做曲线的方程，方程的曲线.例1解析：方程（1）是表示直线l的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l的方程.（2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论.（3）中虽然“直线l 上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2=0的解为坐标的点不全在直线l 上，如点（2，－2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论.（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）.点评：理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定.判定时必须要同时满足（1）直线l 上的点的坐标都是方程的解.（2）以方程的解为坐标的点都在直线上.例2分析：第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上.第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明.解析：（1）把点M 1（3，－4），M 2（－25，2）分别代入到方程中，可知前者满足方程，后者不满足.（2）设圆心坐标为（0，0），半径为r=5，圆上的任意一点P （x ，y ），结合两点间距离公式，我们得到圆上的点满足的方程.2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f （x ，y ）=0； （4）将方程f （x ，y ）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点.（查漏除杂）. 例3分析：先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.证明：（1）设M （x 0，y 0）是轨迹上的任意一点，因为点M 与x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以 k y x =⋅00即),(00y x 是方程k xy ±=的解.（2）设1M 的坐标),(11y x 是方程k xy ±=的解，那么k y x ±=11即k y x =⋅11，而11,y x 正是点1M 到x 轴，y 轴的距离，因此点1M 到两条坐标轴的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点.由（1）（2）可知，k xy ±=是与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程. 例4解法一：∵7(1)23(1)--==--AB k ，∴所求直线的斜率k=－0.5又∵线段AB 的中点坐标是1317(,)22-+-+，即（1，3）， ∴线段AB 的垂直平分线的方程为13(1)2y x -=--.即x +2y －7=0. 解法二：设M （x ，y ）是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则|MA|=|MB| ∴2222(x +1)+(y +1)=(x -3)+(y -7)2222x +2x +1+y +2y +1=x -6x +9+y -14y +49∴∴270x y +-=（Ⅰ）（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程270x y +-=的解； （2）设点1M 的坐标11(,)x y 是方程（Ⅰ）的解，即11270x y +-= ∵以上变形过程步步可逆， ∴22221111(x +1)+(y +1)=(x -3)+(y -7)11M A =M B综上所述，线段AB 的垂直平分线的方程是x +2y -7=0. 例5分析：先设出点的坐标，利用中点公式和圆的方程，OM AB k k =，我们得到所求点与弦端点的坐标关系式，从而求其轨迹方程；或者直接设直线方程，引入参数K ，然后消去参数求轨迹方程.解法一：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且22111122222264906490x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩①② 由①－②得12121212()()()()x x x x y y y y -++-+12126()4()0x x y y ----= ∵OM AB k k =即1212y y y x x x -=-（易知12x x ≠） ∴22640y yx y x x+⋅--= ∴化简得22320x y x y +--=∴所求轨迹方程为02322=--+y x y x （在已知圆内部一段弧所对应的方程）解法二：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩设直线l 的方程为y kx = 由方程组226490=⎧⎨+--+=⎩y kxx y x y消去y 得22(1)(64)90k x k x +-++=121222649,11k x x x x k k ++=⋅=++∴22321321k x k k y k k +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⋅⎪+⎩消去参数k 得22320x y x y +--=点评：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将x’，y’表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程.相关点法也称代入法.简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标（x ，y ）之间的坐标. 拓展提升1.解：（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y 轴的直线；（2）因为 0)13)(532(=---+x y x.4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或故方程表示的曲线为一条射线)3x (05y 3x 2≥=-+和一条直线x=4.（3）因为（3x －4y －12）[0]3)2(log 2=-+y x直线。

3.3.1 双曲线的标准方程教学目标1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 3．培养学生发散思维的能力 教学重点：标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组课前预习案基础知识：1.双曲线的定义:平面内与两个定点_______的距离的差的_____等于常数2a （_______）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做________,两个焦点之间的距离叫做___________.2. 焦点在x 轴上的双曲线方程为__________,在y 轴上的为____________; 课前检测1.在双曲线的定义中：①当定义中2a>2c 时M 点的轨迹是_______________________. ②当定义中2a=2c 时M 点的轨迹是________________________. 2.已知两定点F1（-5，0）F2（5，0）动点P 满足|PF1|-|PF2|=2a ；①a=3时P 点的轨迹是__________;②a=5时P 点的轨迹是_______________; 3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为1(F ，点P 位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为（0，2），则双曲线的方程是（ ）A 、2214x y -= B 、2214y x -=C 、22123x y -=D 、22132x y -=4.已知方程2215||2x y k k -=--表示的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A 、k>5B 、k>5或-2<k<2C 、k>2或k<-2D 、-2<k<2课内探究案一.复习提问：问题1.椭圆的定义是什么？问题2.椭圆的标准方程是怎样的？c b a 、、关系如何？问题3.如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？二.形成概念，推导方程。