苏教版数学高二-湖南省邵阳市选修2-1学案 曲线与方程(2)

2.6曲线与方程2.6.1曲线与方程1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点)2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点)3．曲线与方程的对应关系．(易错点)[基础·初探]教材整理曲线的方程方程的曲线阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题．1．方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．2．方程与曲线的关系1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f (x ，y )＝0就是曲线的方程．( )(2)如果f (x ，y )＝0是某曲线C 的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )(3)若曲线C 上的点满足方程f (x ，y )＝0，则坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( )(4)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( )(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，则m ＝________. 【解析】 据题意，有14m 2＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或－185.【答案】 2或－1853．方程|y |＝|2x |表示的曲线是________．【解析】 ∵|y |＝|2x |，∴y ＝±2x ，表示两条直线．【答案】 两条直线4．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋2y －7＝0，则下列四点中，在曲线C 上的点有________(填序号)．①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．【解析】 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．【答案】 ①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3： 解惑：[小组合作型]曲线与方程概念的理解(1)判断点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知，只要点M 的坐标适合曲线的方程，则点M 就在方程所表示的曲线上；而若点M 为曲线上的点，则点M 的坐标(x 0，y 0)一定适合曲线的方程．【自主解答】 (1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．[再练一题]1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．【解析】只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．【答案】②由方程确定曲线方程2【精彩点拨】由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．【自主解答】方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0， ∴x －1＝0且y ＋1＝0，即x ＝1，y ＝－1.∴方程表示点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.[再练一题]2．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？【解】 方程(x ＋y －1)x －1＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1).点与曲线的关系及应用(1)点P (a ．(2)若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，则实数k 的取值范围是________．【精彩点拨】 (1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a ，－a )在曲线上，则点(a ，－a )适合方程，把k 用a 表示出来，利用求值域的方法得k 的范围．【自主解答】 (1)因为点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，所以a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或－5.(2)∵曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，∴a 2＝－a 2＋2a ＋k ，∴k ＝2a 2－2a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－12， ∴k ≥－12，∴k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 【答案】 (1)－1或－5 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞判断点与曲线位置关系的方法如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，点P 的坐标为(x 0，y 0)．(1)点P (x 0，y 0)在曲线C ：f (x ，y )＝0上⇔f (x 0，y 0)＝0.(2)点P (x 0，y 0)不在曲线C ：f (x ，y )＝0上⇔f (x 0，y 0)≠0.[再练一题]3．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为________.【导学号：09390055】【解析】 ∵点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，∴m －m 2＝0，解得m ＝0或m ＝1.【答案】 0或1[探究共研型]曲线与方程的关系探究1 【提示】 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．探究2 理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？【提示】 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74，D (8,0)中的________个点． 【精彩点拨】 方程表示两条直线x －4y －12＝0和x ＋2y －8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x ＋2y >0.【自主解答】 由对数的真数大于0，得x ＋2y >0.∴A (0，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74不符合要求； 将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．【答案】 2点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.[再练一题]4．已知直线l ：x ＋y ＋3＝0，曲线C ：(x －1)2＋(y ＋3)2＝4，若P (1，－1)，则点P与l，C的关系是________．【解析】由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P∉l；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴点P在曲线C上，即P∈C.【答案】P∉l，P∈C[构建·体系]1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0；③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.【解析】因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．【答案】④2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的________条件.【导学号：09390056】【解析】∵f(x0，y0)＝0，可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0，∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．【答案】 充要3．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为_______________________．【解析】 ∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，∴4－9a ＝1，解得a ＝13.【答案】 134．如图2-6-1中，方程表示图中曲线的是________．图2-6-1【解析】 ∵x 2＋y 2＝1表示单位圆，故①错；x 2－y 2＝0表示两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故②错；lg x ＋lg y ＝0可化为xy ＝1(x >0，y >0)，故④错；只有③正确．【答案】 ③5．方程(x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0表示什么曲线？【解】 (x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0变形为x 2＋y 2－9＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x 2＋y 2－9≥0，表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x ＋y －2＝0在圆x 2＋y 2－9＝0外面的两条射线．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题 1．如图2-6-2所示，方程y ＝|x |x 2表示的曲线是________．图2-6-2【解析】 y ＝|x |x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，所以图②满足题意．【答案】 ②2．方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示的曲线是________．【解析】 方程(x ＋y －1)x －y －3＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －3≥0，x ＋y －1＝0，或x －y －3＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥2)或x －y －3＝0，故方程(x ＋y －1)x －y －3＝0表示射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝0.【答案】 射线x ＋y －1＝0(x ≥2)和直线x －y －3＝03．条件甲“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则甲是乙的________条件．【解析】 在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．【答案】 必要不充分4．在平面直角坐标系中，方程|x 2－4|＋|y 2－4|＝0表示的图形是________．【解析】 易知|x 2－4|≥0，|y 2－4|≥0，由|x 2－4|＋|y 2－4|＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点． 【答案】 (2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点5．下列命题正确的是________(填序号)．①方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.【解析】 对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y ≠2；②中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有④是正确的．【答案】 ④6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).【导学号：09390057】①y＝x与y2＝x；②y＝x与xy＝1；③y2－x2＝0与|y|＝|x|；④y＝lg x2与y＝2lg x.【解析】①中y＝x时，y≥0，x≥0，而y2＝x时，x≥0，y∈R，故不表示同一曲线；②中xy＝1时，y≠0，而y＝x中y＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．【答案】③7．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.【解析】由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.【答案】 58．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线是________(填序号)．①过点P且垂直于l的直线；②过点P且平行于l的直线；③不过点P但垂直于l的直线；④不过点P但平行于l的直线．【解析】点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．【答案】②二、解答题9．分析下列曲线上的点与方程的关系．(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系；(2)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与方程y＝x2的关系；(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．【解】(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即y＝x.①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解；②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．(2)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程y＝x2，即方程y＝x2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y ＝x2.(3)如图所示，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程．10．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－25，2)是否在这个圆上．【解】①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以x20＋y20＝5，也就是x20＋y20＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x20＋y20＝25，两边开方取算术平方根，得x20＋y20＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由①②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．[能力提升]1．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．【解析】 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.【答案】 π3或5π3 2．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是____________(填序号)．图2-6-3【解析】 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0， 它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．【答案】 ③3．由方程(|x |＋|y |－1)(x 2＋4)＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________．【解析】 表示的曲线为|x |＋|y |＝1，其图形如图所示，为一正方形，S ＝(2)2＝2.【答案】 24．已知点P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．【证明】因为P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，所以P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，P在曲线g(x，y)＝0上，即g(x0，y0)＝0，所以f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ0＝0，故点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.。

2．3.1双曲线的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)理解双曲线的定义和标准方程的推导过程．(2)熟记双曲线的定义和标准方程与焦点位置的对应关系．(3)会在简单的题设条件下求双曲线的标准方程．2．过程与方法(1)在实验与类比的教学过程中，培养学生合理猜测的能力．(2)在标准方程的推导过程中，提高学生的运算和化简能力．(3)在求标准方程的过程中，体会待定系数法的应用．3．情感、态度与价值观(1)在整个的教学过程中，体验数与形的辨证统一关系．(2)在双曲线的定义剖析中，感受量变产生质变的唯物主义世界观．(3)在双曲线标准方程的推导过程中，培养学生耐心细致执着的个性品质．●重点难点重点：双曲线的标准方程的推导及应用．难点：双曲线的标准方程的推导．●教学建议本节课主要内容是双曲线的标准方程．学生在前面已经学习了椭圆的标准方程，掌握了圆锥曲线的标准方程的推导过程，标准方程的形式与分类标准，因此本节课宜采用类比教学的方法，引导学生自己动手，合作、交流、探究、对比、纠错、升华，得出双曲线的标准方程．并且在此基础上，学会利用双曲线的标准方程，以及利用待定系数法求具体双曲线的标准方程．●教学流程回顾椭圆和双曲线的定义，口答椭圆标准方程的推导过程及两种标准形式，引导学生利用类比思维推导双曲线的标准方程．⇒分组推导双曲线的标准方程，具体步骤是：小组讨论明确过程，分工探究每个细节，代表发言宣读结论，讨论纠错完善结果．⇒系统分析两类双曲线的标准方程，体会二者的区分办法及共性，并且与椭圆进行比较，从标准方程及基本量a，b，c的关系找出二者的联系与区别．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握双曲线标准方程的求法，待定形式应根据焦点的位置区分，应注意定义及方程的应用．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线标准方程的应用，根据双曲线标准方程完成基本量a，b，c的互求，注意双曲线定义与方程的综合应用，求解焦点三角形问题．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握与双曲线有关的轨迹问题的求法，会用双曲线定义判断曲线是否为双曲线，并用待定系数法求动点轨迹方程．⇒通过易错易误辨析，体会双曲线定义的严谨性，以及双曲线图形的特殊性，严防思维的漏洞．对于双曲线上一点，要分清所在哪一支．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程．(重点、难点)2．会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)双曲线的标准方程我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”航相距1 600 m 的“千岛湖”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)．1．“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？【提示】远340×3＝1 020米．2．若把“马鞍山舰”和“千岛湖舰”看成两个定点A、B，快艇看成动点M，M满足什么条件？【提示】MB－MA＝1 020.【问题导思2】在平面直角坐标系中A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．1．若动点M满足|MA－MB|＝4，则M的轨迹方程是什么？【提示】x24－y25＝1.2．若动点M满足|MC－MD|＝4，则点M的轨迹方程呢？【提示】y24－x25＝1.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系c2＝a2＋b2求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆x28＋y25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P(3，154)，Q(－163，5)且焦点在坐标轴上．【思路探究】(1)由椭圆方程得出双曲线的a，b，c，从而求出双曲线方程；(2)由双曲线定义求2a，也可设出方程代入求系数；(3)统一设为x2m＋y2n＝1(mn<0)，求m，n.【自主解答】(1)依题意，双曲线的焦点在x轴上且a＝3，c＝22，∴b2＝c2－a2＝5.∴双曲线的标准方程为x23－y25＝1.(2)法一∵c2＝16＋4＝20，∴c＝25，∴F(±25，0)，∴2a＝|32－252＋4－32＋252＋4|＝43，∴a2＝12，∴b2＝c2－a2＝8，∴双曲线方程为x212－y28＝1.法二 设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(3)设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn<0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.1．待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上，还是两种都有可能． (2)设方程：根据焦点位置，设出标准方程，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m·n<0)． (3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c(m ，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c(m ，n)代入所设方程即为所求．2．若求双曲线的标准方程，焦点所在坐标轴不定时，可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，以避免分类讨论．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)； (2)焦点在x 轴上，经过点M(3,2)和N(17,12)．【解】 (1)由已知得焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)，则c＝6.因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A 到两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|－5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|＝|13－5|＝8，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)．由已知条件，得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1172a 2－122b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝11b 2＝2.即双曲线的标准方程为x 2－y 212＝1.双曲线标准方程的应用已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，(1)若双曲线上一点P 到焦点F 1的距离为10，求点P 到焦点F 2的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32.试求△F 1PF 2的面积．【思路探究】 结合双曲线的定义列出|PF 1－PF 2|＝2a ，则(1)易解；(2)需利用上述关系式，结合余弦定理求解．【自主解答】 由双曲线的标准方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，则|PF 2－10|＝6，解得PF 2＝4或PF 2＝16.(2)易知PF 2－PF 1＝6，两边平方得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.双曲线的定义及标准方程常用于：(1)涉及双曲线上一点与两焦点的距离问题，依据|PF 1－PF 2|＝2a 求解，其中a 可由双曲线方程得到．注意不能忽略绝对值，而认为该点只能在双曲线的一支上．此外，要对所求结果进行验证(负数舍去；值不小于c －a)．(2)双曲线的焦点三角形问题，除注意定义的应用外，还需掌握解三角形的知识，把握整体思想的应用．双曲线x 216－y 29＝1上有一点P ，F 1、F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝π3，则△PF 1F 2面积为________．【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1－PF 2|＝8PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos π3＝100 ∴PF 1·PF 2＝36，∴S ＝12PF 1·PF 2·sin π3＝9 3.【答案】 9 3与双曲线有关的轨迹问题在△ABC 中，已知|AB|＝42，且三内角A 、B 、C 满足sin B －sin A＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线． 【思路探究】 利用正弦定理角化边→利用定义判断C 点的轨迹→求出对应a 、b 、c→写出轨迹方程→剔除不满足条件的点【自主解答】 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则点A(－22，0)，点B(22，0)．由正弦定理得sin A ＝a′2R ，sin B ＝b′2R ，sin C ＝c′2R.∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b′－a′＝c′2.从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x>2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．1．利用双曲线的定义判定动点轨迹时，一定要注意题目中的条件是否满足定义，若不完全满足，轨迹不是完整的双曲线，求方程时应加以限制．2．用定义法求轨迹方程的一般步骤是：①根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)； ②根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)； ③写出标准方程并下结论(定论)．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB ， ∵MA ＝MB ，∴MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝2.这表明动点M 与两定点C 2、C 1的距离的差是常数2，根据双曲线的定义，动点M 的集合为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)．这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y)，其轨迹方程为：x 2－y 28＝1(x≤1)．错用双曲线的定义致误已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝17，求PF 2的值．【错解】 由双曲线的定义可知，|PF 1－PF 2|＝2a ＝16，因为PF 1＝17，所以PF 2＝1或PF 2＝33.【错因分析】 出错的原因是忽略了双曲线中的一个隐含条件．双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c －a ，从而两解中要舍掉一个．【防范措施】 在求解双曲线上的点到焦点的距离时，一定要注意隐含的条件，实际上就是定义中的点需要满足的条件．【正解】 在双曲线中，由x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图形可得，点P 到右焦点F 2的距离d≥c －a ＝2.因为|PF 1－PF 2|＝2a ＝16，PF 1＝17，所以PF 2＝33(PF 2＝1舍去)．1．双曲线的定义与标准方程的简单综合主要有两类：一是利用双曲线定义判断点的轨迹或曲线的形状，然后利用标准方程求双曲线方程；二是已知双曲线方程，求出焦点和常数2a ，并用它们解决相关问题．2．求双曲线的标准方程有三种方法：一是求出a 、b ，代入标准方程；二是用待定系数法，若不能确定双曲线的位置，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(mn<0)；三是求点的轨迹方程，这其中又包含定义法，即若能根据双曲线定义判断出点的轨迹是双曲线，就可直接利用双曲线的标准方程求点的轨迹方程．3．求双曲线的标准方程一定要注意确定焦点的位置．如果不能确定，解决方法有两种：一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn<0)，解出的结果如果是m>0，n<0，那么焦点在x 轴上，如果m<0，n>0，那么焦点在y 轴上.1．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为________．【解析】 ∵c 2＝16＋9＝25，∴F(±5,0)． 【答案】 (±5,0)2．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，双曲线上的点P 到F 1的距离为12，则P 到F 2的距离为________．【解析】 ∵|PF 1－PF 2|＝10，PF 1＝12， ∴PF 2＝22或2. 【答案】 22或23．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为______． 【解析】 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为(62，0)． 【答案】 (62，0) 4．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(2)a ＝23，且与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点．【解】 (1)∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，又双曲线过点(－5,2)，且c ＝6，则 有⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1.故所求双曲线标准的方程为x 25－y 2＝1.(2)已知双曲线x 216－y 24＝1的焦点坐标为(±25，0)，所求双曲线的焦点在x 轴上，且c＝25，又a ＝23，∴b 2＝c 2－a 2＝8， 故所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.一、填空题1．双曲线x 25－y 24＝1的焦点坐标是________．【解析】 ∵c 2＝5＋4＝9，∴c ＝3，∴F(±3,0)． 【答案】 (±3,0)2．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 由题意知k<0. 【答案】 (－∞，0)3．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．【解析】 ∵a>0，∴焦点在x 轴上， ∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1. 【答案】 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．【解析】 ∵x M ＝3，∴324－y 2M 12＝1， ∴y M ＝±15.又∵右焦点为F 2(4,0)，∴MF 2＝3－42＋±15－02＝4.【答案】 4 5．双曲线5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k 的值为________．【解析】 双曲线方程化为标准形式为x 2－y 2－5k ＝1，由焦点是(6，0)，可得k<0，且1－5k＝(6)2，解得k ＝－1. 【答案】 －16．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．【解析】 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x(x>0)，因为PF 1⊥PF 2， 所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c)2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3.【答案】 2 37．已知方程ax 2＋by 2＝ab 和ax ＋by ＋c ＝0(其中ab≠0，a≠b ，c>0)，它们所表示的曲线可能是________．【解析】 方程ax 2＋by 2＝ab 可化为x 2b ＋y 2a＝1，若a>0，b>0，则直线ax ＋by ＋c ＝0在两轴上截距均为负值，无此图形；若a>0，b<0，则②符合；若a<0，b>0，无此图形．【答案】 ②8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋PA 的最小值为________．【解析】 如图，F(－4,0)，设F′为双曲线右焦点，则F′(4，0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，PF －PF′＝2a ＝4，而PF ＋PA ＝4＋PF′＋PA≥4＋AF′＝4＋5＝9.当且仅当A 、P 、F′三点共线时取等号．【答案】 9 二、解答题 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点P 1(3，－42)，P 2(94，5)； (2)与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与该椭圆在第一象限的交点A 的纵坐标为4. 【解】 (1)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB<0)，分别将点P 1(3，－42)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9A ＋32B ＝18116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧ A ＝－19B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)由椭圆的方程为标准方程，得焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．由题意点A 在椭圆x 227＋y 236＝1上，因为y A ＝4，则x 2A 27＋1636＝1， 解得x A ＝15(x A ＝－15舍去)，故点A 的坐标为(15，4)．由题意知，双曲线的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，点A(15，4)在双曲线上，则由双曲线定义可得2a ＝|AF 1－AF 2|＝|15－02＋4＋32－15－02＋4－32|＝4，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 10．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹． 【解】 设M(x ，y)，则k AM ＝y x ＋5(x≠－5)，k BM ＝y x －5(x≠5)，由题意知k AM ·k BM ＝49，即y x ＋5·y x －5＝49(x≠±5)，化简，整理得x 225－y 21009＝1(x≠±5)． 因此，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线(A ，B 两点除外)．11．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝12，tan∠MNP＝2，建立适当的平面直角坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．【解】以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x0，y0)、M(－c,0)、N(c,0)(y0>0，c>0)如图所示．则⎩⎪⎨⎪⎧y0x0＋c＝12，y0c－x0＝2，12·2c·y0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝3510，y0＝255，c＝52.设双曲线方程为x2a2－y254－a2＝1，将点P(3510，255)代入，可得a2＝14(a2＝94舍去)．∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1.方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求角α所在的象限．【思路探究】首先化成标准方程，应用标准方程的条件，结合三角函数的有关性质求解．【自主解答】将方程化为y21cos α－x21－sin α＝1.∵方程表示焦点在y轴上的双曲线，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α>0－sin α>0，即⎩⎨⎧cos α>0sin α<0.∴α在第四象限．1．求解本题时，也可直接判断⎩⎨⎧cos α>0sin α<0. 2．方程表示双曲线，则x 2，y 2的系数异号．双曲线焦点在x 轴上时：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)；焦点在y 轴上时：y 2a 2－x 2b2＝1(a>0，b>0)，焦点的位置是由x 2，y 2的系数的符号来判断的，只要解不等式即可．若方程x 22－m ＋y 2|m|－3＝1表示双曲线，求实数m 的取值范围． 【解】 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m>0|m|－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m<0|m|－3>0， 解得－3<m<2或m>3.所以实数m 的取值范围是－3<m<2或m>3.。

2．4.1抛物线的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．2．过程与方法(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系．(2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．3．情感、态度与价值观引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．●重点难点重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点．难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．●教学建议从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e＝1的特例．另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美．教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则．为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，易采用“引导探究”式的教学模式，在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程．本节课在实验画法的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比并形成抛物线的概念，构建自己的知识体系，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．●教学流程设置情景，导入新课．上课开始，用计算机出示太阳系九大行星运行图，以天文学热点事件“冥王星”的降级引入新课：同学们，最近在我们的太阳系发生了一件重大的事件，你们知道吗？⇒引导探究，获得新知(1)复习椭圆、双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的离心率e 的取值范围各是什么？(2)离心率e＝1是什么含义？你能据此设计一种方案，画出一个这样的点吗？(3)这条曲线是什么？⇒由学生自主建系，求出抛物线的标准方程．并根据焦点位置的不同，写出四种不同的标准方程．归纳标准方程、焦点坐标、准线方程的内在联系和对应关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握抛物线标准方程的求法，先定位，再定量，利用待定系数法求抛物线的标准方程．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由标准方程求其焦点坐标和准线方程，达到数与形的准确转换．弄清一次项变量系数与焦点同名坐标的四倍关系，焦点坐标与准线方程的相反关系．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握抛物线定义和标准方程的综合应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化，在此基础上数形结合，解证有关问题．⇒通过易错易误辨析，体会抛物线标准方程的不同形式，焦点位置有多个，就会有不同的标准方程．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点)2．抛物线标准方程与定义的应用．(难点)3．抛物线标准方程、准线、焦点的对应．(易错点)抛物线的标准方程1．用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？【提示】点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？【提示】根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy(如图所示)．图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)F(p2，0)x＝－p2y2＝－2px(p>0)F(－p2，0)x＝p2x2＝2py(p>0)F(0，p2)y＝－p2 x2＝－2py(p>0)F(0，－p2)y＝p2求抛物线的标准方程已知抛物线的顶点在原点，试求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)焦点到准线的距离为52.【思路探究】对于(1)，需要确定p的值和开口方向两个条件，∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)；对于(2)，∵标准方程下抛物线的焦点在坐标轴上，∴求出直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点(4,0)和(0，－2)，即为所求抛物线两种情况下的焦点；而对于(3)，由题意知，p＝52，下一步需要讨论抛物线的开口方向．【自主解答】(1)∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)．把点(－3,2)的坐标分别代入y2＝－2px(p>0)和x2＝2py(p>0)，得4＝－2p·(－3)或9＝2p·2，即2p＝43或2p＝92.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4.∴2p ＝16，此时抛物线方程为y 2＝16x . 当焦点为(0，－2)时，p2＝2.∴2p ＝8，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52，∴2p ＝5.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .1．只有顶点有原点，焦点在坐标轴上的抛物线才能将方程写成标准方程．2．求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，即先根据焦点位置设出方程形式，再利用题目条件求出待定字母的值．另外，若只知道焦点在x 轴上，可设抛物线标准方程为y 2＝mx 的形式，若只知道焦点在y 轴上，可设抛物线标准方程为x 2＝ny 的形式，避免分类讨论．一抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则其准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义知点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离， ∴p2－(－3)＝5，即p ＝4. ∴所求抛物线的方程为x 2＝－8y .由标准方程求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2＝20x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)y ＝ax 2(a ≠0)． 【思路探究】抛物线方程化为标准形式→求p →求焦点坐标→求准线方程【自主解答】 (1)由方程可得抛物线开口向右，且2p ＝20，即p ＝10，所以抛物线的焦点坐标为(5,0)，准线方程为x ＝－5.(2)将方程2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x ，焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝52，所以p ＝54，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.(3)将方程y ＝ax 2(a ≠0)化为x 2＝1ay ，焦点在y 轴上．当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y ＝－14a；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y 1＝－14a.1．本例中y ＝ax 2不是抛物线的标准方程，容易被误认为是标准形式，而将焦点写为F (a4，0)．2．求焦点坐标与准线方程的基本方法：(1)一般思路是先将已知方程整理为标准方程，再求解，不可与初中二次函数混淆． (2)此类问题中无论a 取正与负，拋物线y 2＝ax 的焦点坐标均为(a4，0)，准线均为x ＝－a 4.无论a 取正与负，拋物线x 2＝ay 的焦点坐标均为(0，a 4)，准线均为y ＝－a 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y ＝－18x 2；(2)x 2＝ay (a ≠0)．【解】 (1)方程可化为：x 2＝－8y ，∴F (0，－2)，准线y ＝2. (2)F (0，a 4)，准线y ＝－a4.抛物线标准方程及定义的应用图2－4－1如图2－4－1，已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l为其准线，点M 在抛物线上移动，问M 的坐标是什么时，MA ＋MF 取得最小值，最小值是多少？【思路探究】 如图，过M 向准线l 引垂线ME ，则MF ＝ME ，转化为求MA ＋ME 的最小值．【自主解答】 由题意知，抛物线y 2＝8x 的准线l 的方程为x ＝－2，过M 作ME ⊥l ，垂足为E ，由抛物线的定义知，ME ＝MF ，此时MA ＋MF ＝MA ＋ME ，当M 在抛物线上移动时，MA ＋ME 的值在变化，显然M 移动到与A ，E 共线时，MA ＋ME 取得最小值．此时，AM ∥x 轴，把y ＝－2代入y 2＝8x 得x ＝12，∴M 点的坐标为(12，－2)，距离最小值为6.1．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．2．数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么PF＝________.【解析】如图，由直线AF的斜率为－3，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF ＝60°.又由抛物线的定义知PA＝PF，∴△PAF为等边三角形，由HF＝4得AF＝8，∴PF＝8.【答案】8忽略对焦点位置的讨论而漏解顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．【错解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为AB＝2p＝8，所以所求抛物线的方程为y2＝8x.【错因分析】错解中只考虑焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x 轴的负半轴上的情况，故出现漏解．【防范措施】抛物线有四种标准方程，每一种所对应的焦点，准线都不相同．因此，在求抛物线方程的有关问题时，要充分考虑各种情况，以免漏解．【正解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)．因为AB＝|2a|＝8，所以2a＝±8.故所求抛物线的方程为y2＝±8x.1．求抛物线的标准方程，一般利用待定系数法，求解时一般分两步，即先定位，再定量．2．由抛物线的方程求焦点坐标和准线方程，若方程不是标准形式应先化成标准形式，然后求焦点坐标和准线方程，应注意方程中一次变量是谁，焦点就在相应坐标轴上，且焦点的同名坐标是一次变量系数的14.3．抛物线的定义可将抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，从而求解与抛物线有关的定值与最值问题.1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________． 【解析】 ∵p ＝2，∴F (1,0)． 【答案】 F (1,0)2．抛物线y ＝4x 2的准线方程为________． 【解析】 x 2＝14y ，∴2p ＝14，p ＝18，∴准线方程为y ＝－116.【答案】 y ＝－1163．抛物线y 2＝2px的准线经过双曲线x 23－y 2＝1的左焦点，则p ＝________.【解析】 双曲线c 2＝3＋1＝4，∴c ＝2，∴F 1(－2,0)， ∴抛物线准线为x ＝－2，∴－p2＝－2，∴p ＝4.【答案】 44．若圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心恰是抛物线的焦点，求抛物线的标准方程及准线方程． 【解】 圆心为(3,0)，∴p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线标准方程为y 2＝12x ，准线方程为x ＝－3.一、填空题1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是________． 【解析】 ∵p ＝4，∴准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－22．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为________． 【解析】 设抛物线方程为y 2＝mx ，将(2,2)代入得m ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝2x . 【答案】 y 2＝2x3．抛物线y 2＝2x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是________． 【解析】 准线x ＝－12，∴x M ＋12＝1，∴x M ＝12.【答案】 124．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，中点(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x y 0＝2y ＋1.∵y 0＝2x 20＋1，∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，∴y ＝4x 2.【答案】 y ＝4x 25．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．【解析】 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.【答案】 6 6．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．【解析】 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，所以p2＝2，解得p ＝4.【答案】 47．已知直线y ＝3(x －2)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若AF →＝λFB →，(|AF →|>|FB →|)，则λ＝________.【解析】 如图，设AF ＝n ，BF ＝m ，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FN ⊥AA 1于N ，BM ⊥x 轴于M .则AN ＝n －4，FM ＝4－m .又∠AFN ＝∠FBM ＝30°，∴⎩⎨⎧ n －4＝n 24－m ＝m 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8m ＝83，∴λ＝n m ＝3. 【答案】 38．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________．【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x 2＝－4y ，可知焦点坐标为F (0，－1)，因为－3<－14，所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点E 作EQ ⊥l 于点Q ，过点M 作MP ⊥l 于点P ，所以MF ＋ME ＝MP ＋ME ≥EQ ，又EQ ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.【答案】 4二、解答题9．求适合下列条件的拋物线方程．(1)顶点在原点，准线x ＝4；(2)拋物线的顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，焦点是双曲线的左顶点．【解】 (1)由题意p 2＝4，∴p ＝8. ∴拋物线方程为y 2＝－16x .(2)双曲线中心为(0,0)，左顶点为(－3,0)，∴拋物线顶点为(0,0)，焦点为(－3,0)，∴拋物线方程为y 2＝－12x .图2－4－210．如图2－4－2所示，动圆P 与定圆C ：(x －1)2＋y 2＝1外切且与y 轴相切，求圆心P 的轨迹．【解】 设P (x ，y )，动圆P 的半径为r .∵两圆外切，∴PC ＝r ＋1.又圆P 与y 轴相切，∴r ＝|x |(x ≠0)，即x －12＋y 2＝|x |＋1，整理得y 2＝2(|x |＋x )．当x >0时，得y 2＝4x ；当x <0时，得y ＝0.∴点P 的轨迹方程是y 2＝4x (x >0)和y ＝0(x <0)，表示一条抛物线(除去顶点)和x 轴的负半轴．11．(1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试给出FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式；(2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，求|FA →|＋|FB →|＋|FC →|.【解】 (1)由抛物线方程y 2＝2px (p >0)得准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义得FP 1＝x 1＋p 2，FP 2＝x 2＋p 2，FP 3＝x 3＋p 2，则FP 1＋FP 3＝x 1＋p 2＋x 3＋p 2＝x 1＋x 3＋p ，因为x 1＋x 3＝2x 2，所以FP 1＋FP 3＝2x 2＋p ＝2(x 2＋p 2)＝2FP 2，从而FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式为FP 1＋FP 3＝2FP 2.(2)设点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知2p ＝4，p ＝2，F (1,0)，又FA →＋FB →＋FC →＝0，则有x A －1＋x B －1＋x C －1＝0，即x A ＋x B ＋x C ＝3.由抛物线的定义可知，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x A ＋p 2)＋(x B ＋p 2)＋(x C ＋p 2)＝(x A ＋x B ＋x C )＋3×p 2＝3＋3＝6.已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．【思路探究】 设点P 的坐标为(x ，y )，利用圆P 与圆A 外切及与直线l 相切建立x ，y 的方程，化简即得．【自主解答】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )，圆P 半径为r ，由条件知AP ＝r ＋1， 即x ＋22＋y 2＝|x －1|＋1，化简，整理得y 2＝－8x .所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .法二 如图，作PK 垂直直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直直线x ＝2，垂足为Q ，则KQ ＝1，所以PQ ＝r ＋1.又AP ＝r ＋1，所以AP ＝PQ ，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和定直线x＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．所以p 2＝2，所以p ＝4.所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .1．法一是利用直接法求曲线方程的方法确定点P 的轨迹方程，法二是利用抛物线的定义确定轨迹为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程，即定义法，显然法二较为简洁．2．动圆圆心轨迹问题是一类常见问题，求解时一定要审清题意，究竟是外切，内切还是相切，都可能引起结果的不同．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，求动点P的轨迹C的方程．【解】设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－12＋y2－|x|＝1，化简得y2＝2x ＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．。

圆锥曲线定义的应用要的解题策略．如：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．已知A(4,0)，B(2,2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求MA＋MB 的最大值与最小值．【思路点拨】A(4,0)为椭圆的右焦点，B为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化．【规范解答】如图所示，由题意，知点A(4,0)恰为椭圆的右焦点，则A关于O的对称点为A1(－4,0)(左焦点)．由椭圆的定义，得MA＋MA1＝2a，∴MA＝2a－MA1，∴MA＋MB＝(2a－MA1)＋MB＝2a＋(MB－MA1)．∵|MB －MA 1|≤A 1B ＝210，即－210≤MB －MA 1≤210，又2a ＝10，∴MA ＋MB 的最大值是10＋210，最小值为10－210.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且AK ＝2AF ，求△AFK 的面积．【解】 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)，如图，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)， ∵AK ＝2AF ，又AF ＝AB ＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由BK 2＝AK 2－AB 2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4. ∴△AFK 的面积为12KF ·|y 0|＝12×4×4＝8.圆锥曲线的标准方程和几何性质圆锥曲线的方程，重在考查基础知识、基本思想方法，属容易题，其中对离心率的考查是重点．(2013·浙江高考改编)如图2－1，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．图2－1【思路点拨】由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．【解析】由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2 3.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝22，因此对于双曲线有a＝2，c＝3，所以C2的离心率e＝ca ＝62.【答案】6 2已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．【解析】由题意知双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．由双曲线的两条渐近线均与圆C相切可知直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2. ①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.【答案】 x 25－y 24＝1直线与圆锥曲线章最常见，同时也是最重要的综合问题，它主要分为交点个数、弦长、中点、垂直、对称、定值、最值、范围等问题，解决这些问题的方法是：(1)利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式；(2)利用设而不求、整体代入，包括点差法；(3)解方程组，求出交点坐标；(4)利用定义．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 【思路点拨】联立、消元→一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→韦达定理→弦长公式→求函数最值【规范解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m .得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．所以d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2[4m 225－45(m 2－1)] ＝2510－8m 2，所以当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x .圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其离心率为22，若C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为圆C 1的直径，求线段AB 的方程和椭圆C 2的方程．【解】 由e ＝22，得a 2＝2c 2＝2b 2， ∴椭圆C 2的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由圆心(2,1)， 得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵x 212b 2＋y 21b 2＝1，x 222b 2＋y 22b2＝1，相减整理，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 从而y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴直线方程为y －1＝－(x －2)，即y ＝－x ＋3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3x 22b 2＋y 2b 2＝1⇒3x 2－12x ＋18－2b 2＝0. ∵直线AB 与椭圆相交． ∴Δ>0，即b 2>3. 由AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×42－4×18－2b 23＝2203，得b 2＝8.∴a 2＝16.∴椭圆方程为x 216＋y 28＝1.动点轨迹方程的求法满足已知曲线的定义，若符合，就可直接利用已知的曲线方程比较简捷；若动点所满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点所满足的条件不明了，但与之相关的另一个点所满足的条件明了，我们就使用代入转移法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法．设圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C ，过原点作圆的弦OA ，求OA 中点B的轨迹方程．【思路点拨】 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解．【规范解答】 法一 (直接法)设B 点坐标为(x ，y )， 由题意，得OB 2＋BC 2＝OC 2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法二 (定义法)设B 点坐标为(x ，y )， 由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M (12，0)，则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法三 (代入法)设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)．法四 (交轨法)设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即(x －12)2＋y 2＝14(x ≠0,1)， 显然B (1,0)满足(x －12)2＋y 2＝14，故(x －12)2＋y 2＝14(去掉原点)为所求．已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ⊥PM ，PM →＝－32MQ →.当点P 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【解】 设M (x ，y )，P (0，b )，Q (a,0)，其中a >0， 则PM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )． ∵PM →＝－32MQ →，即(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴y －b ＝－32(－y )，b ＝－y2.∴PH →＝(－3，y 2)，PM →＝(x ，32y )．∵PH ⊥PM ，∴PH →·PM →＝0，即－3x ＋y 2·3y2＝0，整理得y 2＝4x ，∴动点M 的轨迹方程为y 2＝4x .函数与方程思想入手，通过联想与类比，将题目的条件转化为方程或方程组，然后通过方程或方程组从而使问题获解．本章中函数与方程思想应用广泛，尤其是方程思想，在讨论直线与圆锥曲线问题时，应用广泛．点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【思路点拨】 (1)由PA ⊥PF 得P 点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P 点的坐标． (2)由M 到直线AP 的距离等于MB 求出M 点坐标，将距离d 表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值．【规范解答】 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)．设点P (x ，y )，则k AP ·k PF ＝－1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1.则2x 2＋9x －18＝0.解得x ＝32，或x ＝－6(舍去)．所以x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.所以点P 的坐标是(32，532)．(2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M (m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|.又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离的平方为： d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.图2－2如图2－2所示，已知正方形ABCD 的两个顶点A ，B 在抛物线y 2＝x 上，C ，D 在直线l ：y ＝x ＋4上，求正方形的面积．【解】 法一 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，正方形的边长为d ，则D (y 22－2d ，y 2)，C (y 21，2d ＋y 1)，C ，D 在直线l 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝y 22－2d ＋4，①y 1＋2d ＝y 21＋4，②(y 21－y 22)2＋(y 1－y 2)2＝d 2，③由①②可知y 1，y 2都是t 2－t ＋4－2d ＝0的实数根， 所以y 1＋y 2＝1，y 1·y 2＝4－2d .∴y 1－y 2＝y 21－y 22，④将④代入③，得(y 1－y 2)2＝12d 2，所以(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12d 2即1－4(4－2d )＝12d 2，所以d 2－82d ＋30＝0，(d －32)(d －52)＝0， 解得d 2＝18或d 2＝50.从而正方形ABCD 的面积为18或50. 法二 设正方形ABCD 的边长为d ， 则直线AB 的方程为y ＝x ＋4－2d ，所以有方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4－2d ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－y ＋4－2d ＝0， 弦长AB ＝(1＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝2(1－16＋42d )＝82d －30，令82d －30＝d ，则d 2－82d ＋30＝0，以下同解法一． 综合检测(二)第2章 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．(2013·大连高二检测)双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程是________．【解析】 由题意知双曲线焦点在x 轴上a ＝3，b ＝2， ∴渐近线方程y ＝±23x .【答案】 y ＝±23x2．已知抛物线C 与椭圆x 25＋y 24＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的标准方程是________．【解析】 ∵抛物线的焦点为(±1,0)，∴抛物线的方程为y 2＝±4x . 【答案】 y 2＝±4x3．(2013·合肥高二检测)方程x 2(a －1)2＋y 2a 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________．【解析】 (a －1)2>a 2，a 2－2a ＋1>a 2，a <12，又∵(a －1)2≠0，a 2≠0， ∴a ∈(－∞，0)∪(0，12)．【答案】 (－∞，0)∪(0，12)4．以x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．【解析】 对于双曲线：a 1＝2，c 1＝4，∴对于椭圆：a 2＝4，c 2＝2，∴椭圆方程为：x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝15．过已知点P (3,0)且与抛物线x 2＝4y 只有一个公共点的直线有________条． 【解析】 数形结合知：有两条切线，一条对称轴的平行线．【答案】 36．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点坐标为(0,4)，则实数k 的值为________． 【解析】 椭圆方程可化为：x 212k ＋y 21k ＝1(k ＞0)．∴c 2＝1k －12k ＝16，∴k ＝132.【答案】1327．(2013·广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________．【解析】 右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为ca ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】 x 24－y 25＝18．下列双曲线中离心率为62的是________．①x22－y24＝1；②x24－y22＝1；③x24－y26＝1；④x24－y210＝1.【解析】由e＝62得c2a2＝32，即1＋b2a2＝32，b2a2＝12，则只有②正确．【答案】②9．(2012·全国新课标改编)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，AB＝43，则C的实轴长为________．【解析】设等轴双曲线方程为x2－y2＝m(m>0)，抛物线的准线为x＝－4，由AB＝43，则|y A|＝23，把坐标(－4,23)代入双曲线方程得m＝x2－y2＝16－12＝4，所以双曲线方程为x2－y2＝4，即x24－y24＝1，所以a2＝4，a＝2，所以实轴长2a＝4.【答案】 4图110．(2012·福建高考改编)如图1，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，则抛物线E的方程为________．【解析】依题意知，OB＝83，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝OB sin 30°＝43，y＝OB cos 30°＝12.因为点B(43，12)在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.【答案】x2＝4y11．(2013·苏锡常镇四市检测)如图2，已知椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________．图2【解析】 由BC ，OA 平行且相等及椭圆的对称性，可得点C 的横坐标为a2.由∠COx ＝∠OAB ＝30°，得C (a 2，3a 6)，代入椭圆的方程得14＋a 212b 2＝1，即a 2＝9b 2，则c 2＝a 2－b 2＝8b 2，故椭圆的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝8b 29b 2＝223. 【答案】232 12．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．【解析】 由抛物线定义知：点P 的轨迹是以(－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线的抛物线，故点P 的轨迹方程是y 2＝－8x . 【答案】 y 2＝－8x13．(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．【解析】 设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－(1－2a )≥0，a 2－a ≥0，(1－2a )2－4(a 2－a )＞0，解得a ≥1.【答案】 [1，＋∞)14．老师在黑板上画出了一条曲线，让四名同学各回答一条性质，他们回答如下： 甲：曲线的对称轴为坐标轴；乙：曲线过点(0,1)； 丙：曲线一个焦点为(3,0)；丁：曲线的一个顶点为(2,0)．其中有一名同学回答是错误的，请写出该曲线的方程________．(只需写出一个方程即可)【解析】 当乙错时，则曲线可以为双曲线，c ＝3，a ＝2，∴b 2＝9－4＝5，方程为x 24－y 25＝1. 当丙错误时，曲线可以为椭圆，其中a ＝2，b ＝1，方程为x 24＋y 2＝1.当丁错误时，曲线可以为椭圆，其中c ＝3，b ＝1， ∴a 2＝c 2＋b 2＝10， 方程为x 210＋y 2＝1.【答案】 x 210＋y 2＝1或x 24＋y 2＝1或x 24－y 25＝1(只需写出一个方程即可)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2013·西安高二检测)若椭圆经过M (－2，3)和N (1,23)，求椭圆的标准方程．【解】 设所求的椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )， 因为椭圆过M (－2，3)，N (1,23)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋3n ＝1m ＋12n ＝1，得⎩⎨⎧m ＝15n ＝115.所求椭圆方程为x 25＋y 215＝1.16．(本小题满分14分)(2012·安徽高考)如图3，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．图3【解】 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以S △AF 1B ＝12|F 1F 2|(y A －y B )＝835c 2＝403，∴c ＝5，故a ＝10，b ＝5 3.法二 设AB ＝t .因为AF 2＝a ，所以BF 2＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.17．(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P (32，6)，求抛物线的方程和双曲线的方程．【解】 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， ∵点P (32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32，解得2p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，则a 2＋b 2＝1，又点P (32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，得⎩⎨⎧a 2＝14b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去).∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分16分)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 19．(本小题满分16分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．【解】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b .∴PM 2＝x 2＋(y －32)2＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )，若b <12，则当y ＝－b 时，PM 2最大，即(b ＋32)2＝7，则b ＝7－32>12，故舍去．若b ≥12时，则当y ＝－12时，PM 2最大，即4b 2＋3＝7，解得b 2＝1.∴所求方程为x 24＋y 2＝1.20．(本小题满分16分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点， (1)若以AB 线段为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？说明理由．【解】 (1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－y 2＝1y ＝ax ＋1，消去y 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2x 1x 2＝－23－a2Δ＝(－2a )2＋8(3－a 2)>0由于以AB 线段为直径的圆经过原点，那么：OA →⊥OB →， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，得到(a 2＋1)×－23－a2＋a ×2a3－a2＋1＝0，a 2<6，解得a ＝±1.(2)假定存在这样的a ，使A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称．那么⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝13x 22－y 22＝1，两式相减得3(x 21－x 22)＝y 21－y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝3(x 1＋x 2)y 1＋y 2.(*) 因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝12×x 1＋x 22y 1－y2x 1－x 2＝－2代入(*)式得到：－2＝6，矛盾．也就是说不存在这样的a ，使A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称．。

2．3.2双曲线的几何性质[学习目标] 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．[知识链接]类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的哪些几何性质？答：(1)范围：x≥a或x≤－a；(2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的；(3)顶点：双曲线有两个顶点A1(－a,0)，A2(a,0)．[预习导引]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.要点一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .规律方法 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪演练1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率． 解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23，∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4. ∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.要点二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. (2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1 (mn >0)，从而直接求得．若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，还可以将方程设为x 2a2－y 2b2＝λ (λ≠0)，避免讨论焦点的位置． 跟踪演练2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： (1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (2)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x . 解(1)e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k ， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k (k ＞0)． 于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1，② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾，无解； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.(2)方法一 首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P (2，－1)在渐近线y ＝－3x 的上方还是下方．如图所示，x ＝2与y ＝－3x 交点为Q (2，－6)，P (2，－1)在Q (2，－6)的上方，所以焦点在x 轴上． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)．依题意，得⎩⎨⎧ba＝3，4a 2－1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝359，b 2＝35.∴所求双曲线方程为x 2359－y 235＝1.方法二 由渐近线方程y ＝±3x ， 可设所求双曲线方程为x 2－y 29＝λ (λ≠0)，(*) 将点P (2，－1)代入(*)，得λ＝359，∴所求双曲线方程为x 2359－y 235＝1.要点三 直线与双曲线的位置关系例3 直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l 的方程．解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 23－y 22＝1得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)]．∵AB ＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16.∴3m 2＝70，m ＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m 2－240， 把m ＝±2103代入上式，得Δ>0， ∴m 的值为±2103. ∴所求l 的方程为y ＝2x ±2103. 规律方法 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程．要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．跟踪演练3 设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若P A →＝512PB →，求a 的值．解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a >0)得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，所以0<a <2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)， 因为P A →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根， 且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2得－2a 21－a 2＝28960.由a >0，解得a ＝1713.1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________．答案 23解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3.2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为________． 答案 －14解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1， a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14.3．若在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 由于到原点O 和右焦点F 距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为x ＝c2.依题意，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x ＝c 2与右支有两个交点，故应满足c 2>a ，即ca>2，得e >2.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________．答案 x 220－y 25＝1解析 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0及点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20.1.渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．一、基础达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________． 答案 4 解析2x 2－y 2＝8可变形为x 24－y 28＝1，则a 2＝4，a ＝2,2a ＝4.2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是____________ 答案 y ＝±3x解析 双曲线方程可化为标准形式：x 21－y 23＝1，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 依题意焦点在x 轴上，c ＝4，ca ＝2，∴a ＝2.b 2＝c 2－a 2＝12.故方程为x 24－y 212＝1. 4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是________．答案 x 24－y 25＝1解析 依题意得c ＝3，e ＝32，所以a ＝2，从而a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝5.故方程为x 24－y 25＝1.5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________． 答案3解析 如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°. 又F 1F 2＝2c ， ∴MF 1＝2c cos30°＝433c ， MF 2＝2c ·tan30°＝233c .∴2a ＝MF 1－MF 2＝233c .∴e ＝ca＝ 3.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±12x解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12.故C 的渐近线方程为y ＝±12x . 7．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，其离心率为2.解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ (λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即4x 29－y 24＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为F 1F 2＝2c ，而e ＝ca ＝2.由双曲线的定义，得 |PF 1－PF 2|＝2a ＝c . 由余弦定理，得(2c )2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos60°)， 化简，得4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin60°＝12 3.所以PF 1·PF 2＝48.即3c 3＝48，c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12. 故所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.二、能力提升8．已知圆C 过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________． 答案163解析 由双曲线的几何性质，易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为±4.故圆心坐标为(4，±473)或(－4，±473)．易求得它到双曲线中心的距离为163.9．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．答案 (－12,0)解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，则1<4－k2<2，解得－12<k <0. 10．已知双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________． 答案 (4，＋∞)解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线的开口更开阔，∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e >2，即4＋m 4>2.∴m >4.11．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长． 解 双曲线方程可化为x 21－y 23＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2. ∴F 2(2,0)，又l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－72<0，∴A 、B 两点不位于双曲线的同一支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72，∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(－2)2－4×(－72)＝6.12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．解 椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3.①当双曲线的焦点在x 轴上时， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，b a ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1.②当双曲线的焦点在y 轴上时， 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，a b ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 三、探究与创新 13．给定双曲线x 2－y 22＝1，过点B (1,1)是否能作直线m ，使它与所给的双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，请说明理由．解 方法一 设存在直线m 过B 与双曲线交于Q 1、Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点，当直线m 的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点； 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为 y －1＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2－y 22＝1得 (2－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －(k 2－2k ＋3)＝0， 设该方程的两根为x 1、x 2， 由根与系数的关系，第- 11 -页 共11页 得x 1＋x 2＝2k 2－2k k 2－2＝2，解得k ＝2. 当k ＝2时，Δ＝(2k 2－2k )2＋4(2－k 2)(k 2－2k ＋3)＝－8<0，因此不存在满足题意的直线．方法二 假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1. ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2， 两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0， ∴2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，∴2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.若直线Q 1Q 2⊥Ox ，则线段Q 1Q 2的中点不可能是点Q (1,1)，∴直线Q 1Q 2有斜率，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2. ∴直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2 得2x 2－(2x －1)2＝2， 即2x 2－4x ＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．。

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。

1．双曲线的概念平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。

(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。

(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。

(3)当a＞c时，M点不存在。

2．双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线。

(2)当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线。

(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线。

(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在。

2．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。

(2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。

3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)。

(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)。

一、走进教材1．(选修2－1P 61A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________。

解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1>2，故|PF 2|＝6。

答案 62．(选修2－1P 61练习T 3改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。

2．6.2求曲线的方程●三维目标1．知识与技能能叙述求曲线方程的一般步骤，并能根据所给条件选择适当的坐标系，求出曲线的方程．2．过程与方法经过求曲线的方程的过程，培养学生发散思维和转化，归纳数形结合等数学思想方法，提高分析问题，解决问题的能力．3．情感、态度与价值观在问题解决过程中，培养学生积极探索和团结协作的科学精神．在民主，和谐的教学气氛中，充分的促进师生间的情感交流，形成学习数学的积极态度．激发学生热爱数学，学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神．●重点难点重点：求曲线方程的基本方法和步骤．难点：由已知条件求曲线方程．教学时，应通过基本例子，总结求曲线方程的基本方法和步骤，强调方程的得法及来源，通过不同的例子，体会求轨迹方程的各种方法：代入法、参数法、定义法等．●教学建议求曲线的方程是上节课内容曲线与方程的拓展与深化，也是解析几何两大基本问题之一，同时也是高考重点内容之一．它把高中数学中的解析几何和代数紧紧连在一起，容纳了高中数学教学中很多的数学思想，如函数与方程思想，数形结合思想，等价转换思想及运动变换思想，这正是高考中重点所要考察的数学思想，本节课宜采取启发式的教学方法，积极鼓励学生的行为参与和思维参与，给学生独立的思考空间，让学生经历知识形成的全过程，鼓励学生自主探索，发现解决问题的途径．在教学中，适当的对他们的数学学习过程进行评价，适当的评价他们的学习态度、在回答和思考中表现出来的自信、合作交流的意识，更进一步的激发了学生学习数学的兴趣，让他们体验成功的喜悦．在教学手段方面，利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，对于教学中遇到的一些复杂的轨迹问题，几何画板更以形象直观的形式给学生以充分的理解和掌握．改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念．让学生主体参与，主题参与，让学生动手，动脑，通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索．在学生的活动中，教师谨慎驾驭，肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生，揭示内涵，不断培养和训练学生的逻辑思维能力．●教学流程回顾曲线与方程的概念，强调两个条件．展示实例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？首先通过学生讨论，猜测军舰巡逻的路线，在用电脑演示军舰巡逻的动画效果，导入新课．⇒例谈直接法求动点轨迹方程的五步骤．由于学生已经学习直线与圆一个模块，教师引导学生解决例1并不困难，但重要的是引导学生总结求动点轨迹方程的五步骤，并且对每一步骤要强调注意问题，如坐标系的恰当与否，化简过程是否同解变形，特殊点的检验等．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握代入法求动点轨迹方程的方法．当一点随另一点运动时，求从动点轨迹方程一般利用代入法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握参数法求动点轨迹方程的方法．当动点坐标满足的方程不易直接求出时，可选择设出参与运动变化的变量即参数，找出动点坐标满足的方程组，然后消去参数，得出方程．⇒通过易错易误辨析，体会曲线与方程定义的严谨性，曲线上的点与方程的解必须一一对应，对方程必须注意是否需要限制范围．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)2.掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)3.对动点轨迹(方程)的限制与检验．(易错点)求曲线的方程的一般步骤1．怎样建立坐标系较为适当？【提示】建立适当的坐标系应遵从垂直性和对称性原则，常见的建系方法有：①以已知定点为原点；②以已知定直线为坐标轴(x 轴或y 轴)；③以已知线段所在的直线为坐标轴(x 轴或y 轴)，以已知线段的中点为原点； ④以已知互相垂直的两定直线为坐标轴； ⑤让尽量多的已知点在坐标轴上． 2．怎样检验取舍特殊点？【提示】 对动点轨迹(方程)的检验，一般都是对特殊点进行检验，如三角形三顶点不共线，利用斜率列方程，动点必须保证斜率存在等．求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下： 建立适当的坐标系 ↓设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y ) ↓列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0 ↓化方程f (x ，y )＝0为最简形式 ↓证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 求曲线方程的流程图可以简记为： 建系→设点→列式→化简→证明求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法.直接法求动点轨迹方程已知△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(－3,0)、(3,0)，边AC 、BC所在直线的斜率之积为－14，求顶点C 的轨迹方程．【思路探究】 设顶点C (x ，y )，把直线AC 、BC 的斜率之积为－14用坐标形式表示出来，化简后，即得到一个关于x ，y 的二元方程，注意形成三角形的条件．【自主解答】 设顶点C 的坐标为(x ，y )，则k CA ＝y x ＋3(x ≠－3)，k BC ＝yx －3(x ≠3)．∵k CA ·k BC ＝－14，∴y x ＋3·y x －3＝－14.化简得x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．当x ＝±3时，A 、B 、C 三点共线，则不能构成三角形，故x ≠±3. ∴所求顶点C 的轨迹方程为：x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．1．由于三角形三顶点，不共线，故应去掉两顶点．2．如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法．其步骤是：①寻求动点满足的几何条件；②用坐标表示几何条件并化简可得方程；③剔除不合题意的点并下结论．设m ∈R ，在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(mx ，y ＋1)，向量b ＝(x ，y －1)，a ⊥b ，动点M (x ，y )的轨迹为E .求轨迹E 的方程，并说明当m ＝0,1时该方程所表示的曲线的形状．【解】 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即(mx ，y ＋1)·(x ，y －1)＝0，得mx 2＋y 2－1＝0， 于是，轨迹E 的方程为mx 2＋y 2＝1.当m ＝0时，轨迹方程为y 2－1＝0，即y ＝1或y ＝－1， ∴原方程表示直线y ＝1和直线y ＝－1； 当m ＝1时，轨迹方程为x 2＋y 2＝1， ∴原方程表示圆x 2＋y 2＝1.代入法求动点的轨迹方程已知△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．【思路探究】 设重心坐标(x ，y )，C (x 0，y 0)，用x ，y 表示x 0，y 0，代入到y 0＝3x 20－1中．【自主解答】 设重心坐标为(x ，y )，顶点C (x 0，y 0)，依题意有⎩⎨⎧x ＝－2＋0＋x03，y ＝0－2＋y3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2. ①因为C 在y ＝3x 2－1上移动，所以y 0＝3x 20－1. ②将①代入②，得y ＝9x 2＋12x ＋3，即为重心的轨迹方程．1．根据重心坐标公式用重心坐标(x ，y )来表示顶点C 的坐标(x 0，y 0)是解答本题的关键． 2．利用一个动点是定曲线上的动点，而另一动点依赖于它，那么，可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，得到原动点的轨迹的方法，叫做代入法或相关点法．其用法思路是：当互相联系着的两动点P 、Q 中的动点Q (x ′，y ′)在给定曲线上运动，求动点P (x ，y )的轨迹方程时，先建立(x ，y )与(x ′，y ′)的关系式，用x 、y 表示x ′，y ′，而后将x ′、y ′代入定曲线方程即得P (x ，y )的轨迹方程．已知抛物线y 2＝x ＋1，定点A (3,1)，B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA ＝1∶2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解】 设P (x ，y )，B (x 1，y 1)，由题设，P 分线段AB 的比λ＝APPB ＝2，∴x ＝3＋2x 11＋2，y＝1＋2y 11＋2. 解得x 1＝32x －32，y 1＝32y －12.又点B 在抛物线y 2＝x ＋1上，其坐标适合抛物线方程， ∴(32y －12)2＝(32x －32)＋1. 整理得点P 的轨迹方程为(y －13)2＝23(x －13)，其轨迹为抛物线.参数法求动点的轨迹方程过点A (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，求l 被截得的弦的中点的轨迹方程．【思路探究】 思路一：设出直线l 方程y －1＝k (x －2)，运用方程思想，用k 表示中点坐标x ，y ，消去k 得x ，y 满足方程；思路二：设弦端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，运用点差法，用x 1，y 1，x 2，y 2表示x ，y ，然后消去x 1，y 1，x 2，y 2.【自主解答】 法一 设直线l 斜率为k ，则l 方程为y －1＝k (x －2)，设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，则把l 方程代入椭圆方程消去y 得： (1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－2＝0， Δ＝16k 2(1－2k )2－8(1＋2k 2)>0得－2k 2＋4k >0， ∴0<k <2，x ＝x 1＋x 22＝－2k 1－2k 1＋2k 2，∴中点满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2x ＝2k 2k －11＋2k 2，消去k 得轨迹方程x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)． 法二 设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1①x222＋y 22＝1②，由①－②得x 1＋x 2x 1－x 22＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∴y 1－y 2x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2，又∵k PQ ＝k AM ，∴y －1x －2＝－12×xy ，∴2y (y －1)＝－x (x －2)，即x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．1．本例中，法一是引进了动直线的斜率k 作为参数，法二是引进了弦的端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)作为参数，目的是为了间接地找到x ，y 满足的等式关系．2．当动点坐标x ，y 满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x ，y 的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．设椭圆的方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若O 是坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．【解】 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k4＋k2，y 1＋y 2＝84＋k2.设P (x ，y )，则有x ＝－k 4＋k 2，y ＝44＋k 2，消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0. 经检验，当直线l 的斜率不存在时，点P 的坐标满足上述方程． 所以P 的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.忽略变量范围而致错等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹表示的是什么．【错解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )， 则点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10.点C 的轨迹是以A (4,2)为圆心，以10为半径的圆．【错因分析】 错误的原因是没有认真考虑题中所给的几何条件． 【防范措施】 根据动点满足的几何条件对动点坐标加以限制． 【正解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )． 由题意得AC ＝AB ， 再由两点间的距离公式得x －42＋y －22＝4－32＋2－52，化简得(x －4)2＋(y －2)2＝10. ∵A ，B ，C 为三角形的三个顶点， ∴A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合，且B ，C 不能为圆A (圆A 是以A 为圆心，10为半径的圆)的一条直径的两个端点．∵点B ，C 不重合， ∴点C 的横坐标x ≠3，∵点B ，C 不能为圆A 的一条直径的两个端点， ∴x ＋32≠4，即点C 的横坐标x ≠5， 故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3且x ≠5)．点C 的轨迹是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆除去(3,5)和(5，－1)两点．1．求曲线的方程常用的方法有直接法、代入法、定义法、参数法、几何法等． 2．求曲线的方程，其步骤严格来说有五步，即建系，设点，列式，化简，证明．建立坐标系要恰当，证明一般要省略，即使检验也是对特殊点进行检验．3．求动点轨迹方程一定要注意解题的严谨性，当动点的轨迹不是整条曲线时，要去掉某些特殊点，即对变量x ，y 进行限制.1．到A (2，－2)和B (4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】 到A 、B 距离相等的点的轨迹为线段AB 的垂直平分线，设其斜率为k ， ∵k AB ＝－1＋24－2＝12，∴k ＝－2.设AB 中点为(x 1，y 1)， 则⎩⎨⎧x 1＝2＋42＝3，y 1＝－2－12＝－32.∴其方程为y ＋32＝－2(x －3)，即4x ＋2y －9＝0.【答案】 4x ＋2y －9＝02．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________． 【解析】 ∵AM ⊥MB ，∴M 的轨迹是以AB 为直径的圆x 2＋y 2＝1. 【答案】 x 2＋y 2＝13．设P 为曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ，∵x 204－y 20＝1， ∴x 2－4y 2＝1. 【答案】 x 2－4y 2＝14．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足PA ＝3PO ，求点P 的轨迹方程． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则x －12＋y －22＝3x 2＋y 2，化简得8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.∴点P 的轨迹方程为8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.一、填空题1．已知点A (－5,0)，B (5,0)，动点P 到A ，B 距离的平方和为122，则动点P 满足的方程是________．【解析】 依题意，设动点P (x ，y )．由PA 2＋PB 2＝122，得(x ＋5)2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝122，即x 2＋y 2＝36. 故所求动点P 满足的方程为x 2＋y 2＝36. 【答案】 x 2＋y 2＝362．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．【解析】 设A (x ，y )，D (x 0，y 0)， 则⎩⎨⎧x 0＝x ＋02，y 0＝y ＋02，即x 0＝x 2，y 0＝y2，又(x 0－5)2＋(y 0－0)2＝9，∴(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)为所求A 点的轨迹方程． 【答案】 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)3．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．【解析】 由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2＝4， 即x 24－y 22＝1.【答案】 x 24－y 22＝14．已知A (1,0)，B (－1,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程为________． 【解析】 由题意知，AB ＝2，则点M 的轨迹方程为射线y ＝0(x ≤－1)． 【答案】 y ＝0(x ≤－1)5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足条件PA ＝2PB ，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积等于________．【解析】 设P (x ，y )，由PA ＝2PB ，知x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，化简整理，得(x －2)2＋y 2＝4，所以，动点P 的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.【答案】 4π6．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．【解析】 由BP →＝2PA →及A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，知A (32x,0)，B (0,3y )，所以AB →＝(－32x,3y )．由点Q 与点P 关于y 轴对称，知Q (－x ，y )， 所以OQ →＝(－x ，y )，则由OQ →·AB →＝1，得(－32x,3y )·(－x ，y )＝32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．【答案】 32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)7．设点A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1长轴的两个端点，点P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为________．【解析】 由题意，不妨设A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)，直线A 1P 1与A 2P 2的交点P (x ，y )．∵点A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.①∵点A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.②由①②得x 0＝9x ，y 0＝3y x ，代入已知椭圆方程得x 29－y 24＝1.【答案】 x 29－y 24＝18．下列四个命题中不正确的是________(填序号)．①若动点P 与定点A (－4,0)，B (4,0)连线PA ，PB 的斜率之积为定值49，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分；②设m ，n ∈R ，常数a >0，定义运算“*”：m *n ＝(m ＋n )2－(m －n )2，若x ≥0，则动点P (x ，x *a )的轨迹是抛物线的一部分；③已知圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆B ：(x －1)2＋y 2＝25，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆；④已知A (7,0)，B (－7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．【解析】 ①正确，轨迹是双曲线去掉两个顶点；②正确，P (x ，x *a )即为P (x ，4ax )，设y ＝4ax ，则此方程表示抛物线的一部分；③正确，设动圆的半径为r ，因为MA ＝r ＋1，MB ＝5－r ，所以MA ＋MB ＝6>2，满足椭圆的定义；④不正确，设另一个焦点为F ，则AC ＋AF ＝BC ＋BF ，即AF －BF ＝BC －AC ＝15－13＝2，又0<2<AB ＝14，故F 点的轨迹为双曲线的一支．【答案】 ④二、解答题9．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为PA 、PB 、PC ，且满足PA 2＝PB 2＋PC 2，求P 点的轨迹方程．【解】 以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，设点P (x ，y )，B (－a,0)，C (a,0)，A (0，3a )，用点的坐标表示等式PA 2＝PB 2＋PC 2，有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即所求的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)．10．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，求点C 的轨迹方程．【解】 设C (x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ，y ＝m ＋3n ， ∴x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y ＝5，即x ＋2y －5＝0.11．将圆x 2＋y 2＝4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E .(1)求曲线E 的方程； (2)若曲线E 与x 轴、y 轴分别交于点A (a,0)，B (－a,0)，C (0，b )，其中a >0，b >0.过点C 的直线l 与曲线E 交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .当点P异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．【解】 (1)设曲线E 上任一点为M (x ，y )，相应圆上点为N (x 0，y 0)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x y 0＝2yx 20＋y 20＝4消去x 0，y 0得x 24＋y 2＝1. (2)显然A (2,0)，B (－2,0)，C (0,1)．根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1.可得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x ＝0或x ＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 方程得D 点坐标 为(－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1)． 又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)， 联立⎩⎨⎧x 2＋y ＝1，y ＝1＋2k 2－4k x ＋2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1. 因此Q (－4k,2k ＋1)，又P (－1k，0)， 所以OP →·OQ →＝(－1k，0)·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP →·OQ →为定值．已知点B ′为圆A ：(x －1)2＋y 2＝8上任意一点，点B (－1，0)，线段BB ′的垂直平分线和线段AB ′相交于点M .求点M 的轨迹E 的方程．【思路探究】 利用线段的垂直平分线的性质，得出MA ＋MB ＝22，从而利用椭圆的定义求出轨迹方程．【自主解答】 连结MB ，由题意得： MB ＝MB ′，MA ＋MB ′＝AB ′＝22，故MA ＋MB ＝22，而AB ＝2，故点M 的轨迹是以A ，B 为焦点且长轴长为22的椭圆，所以点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.1．本例中，先分析动点M 满足的几何条件，根据椭圆定义得出轨迹的曲线类型是椭圆，从而利用待定系数法求其方程．2．利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程的步骤是：(1)找出动点满足的几何条件，由圆锥曲线定义判定曲线类型；(2)利用待定系数法求曲线方程．如图所示，已知抛物线过定点R (1,2)，准线l 的方程为x ＝－1.(1)求抛物线顶点O ′的轨迹方程；(2)求焦点弦RQ 的另一端点Q 的轨迹方程．【解】 (1)设抛物线的顶点O ′(x ，y )，则由定义知顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离x ＋1，∴焦点坐标F (2x ＋1，y )．由题意知R 到焦点的距离与R 到准线的距离相等，∴2x＋1－12＋y－22＝1＋1，即x2＋y－224＝1(x>－1)．故动点O′的轨迹方程为x2＋y－224＝1(x>－1)．(2)设点Q的坐标为(x′，y′)，过R作RR′⊥l于R′，过Q作QP⊥l于P，则RQ＝RF＋QF＝RR′＋QP，∴x′－12＋y′－22＝x′＋1＋2，即(y′－2)2＝8(x′＋1)(x′>－1)．故焦点弦RQ的另一端点Q的轨迹方程是(y′－2)2＝8(x′＋1)(x′>－1)．。

求曲线的方程曹艳红教学目标：1．教学知识点．根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤2．能力训练要求．（1）会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程（2）会判断曲线和方程的关系3．德育渗透目标．（1）提高学生的分析问题能力（2）提高学生的解决问题能力（3）培养学生的数学修养（4）增强学生的数学素质教学重点：求曲线方程的步骤：（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；（2）用M（，表示所求曲线上任意一点的坐标；（3）用坐标表示条件，列出方程F，＝0；（4）化方程F，＝0为最简形式；（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点教学难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性教学方法：启发引导法．启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（，所满足的方程f，＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质教具准备：a 2a AB B A 、AB M 的坐标,因为三角形AOB 是直角三角形，M 为斜边AB 的中点，所以OM==a, 即a y x =+22两边平方得222a y x =+所以，动点M 的轨迹是以两条直线的交点为圆心，a 为半径的圆师生共同评价总结，求曲线的一般步骤：建设现（限）代化 变式：线段AB 的长为10，两个端点A,B 分别在X 轴正半轴上和Y 轴正半轴上滑动，求线段AB 的中点M 的轨迹B A 、2的轨迹方程变式：求平面内到两个定点B A 、的距离之比等于2的动点B A ,6M 26M M )0,2(A 1-=x 2M 的坐标；（2）写出适合条件的集合｜}；（3）用坐标表示条件），列出方程f ，=0；（4）化方程f ，＝0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明另外，根据情况，也可省略步骤（2），直接列出曲线方程五、课后作业为斜边中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，接下来再采用直接法求M 点轨迹方程。

2019-2020年苏教版高中数学选修（2-1）2.6《曲线与方程》word学案一、学生自主学习阅读课本P56—57曲线与方程的内容.，书本P58—59内容。

二、结合学习的内容思考如下问题：（1）“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是什么？（2）求曲线的方程基本步骤是什么？三、自主解答几道题目1.P57练习1—4题；P59练习1、2。

2. （1）画出方程所表示的曲线；（2）画出方程x2+y2=4所表示的曲线。

3．下列方程是否表示一、三象限角平分线C呢？说明理由（1）（2）（3）教案一、教学内容：曲线与方程二、教学目标：1、知识目标：了解曲线与方程的概念；能根据定义判断方程与曲线的关系，并解决一些简单的问题.；通过具体实例的学习，掌握求曲线方程的一般步骤。

2、能力目标：学生在学习新知识的过程中，了解概念形成的过程，培养学生的抽象概括能力，并进一步学习用代数的方法去讨论图形的性质。

3、情感目标：在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。

在教学优化学生的思维品质，培养学生辨证统一的思想。

三、教学重难点：教学重点：形成“方程的曲线”与“曲线的方程”的概念，掌握求曲线方程的方法、步骤，领会数形结合的思想方法教学难点：正确理解曲线和方程的关系。

（一）课前自主学习检查（二）导入(创设情景)1. 交流：（1）画出方程所表示的曲线；（2）画出方程x2+y2=4所表示的曲线。

问题1：方程F的解与曲线上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程F表示曲线C，同时曲线C 也表示方程F归纳总结出：（1）曲线C上点的坐标都是方程F的解（2）以方程F的解为坐标的点都是曲线C上的点2．下列方程是否表示一、三象限角平分线C呢？说明理由（1）（2）（3）（学生思考，讨论回答）问题2：通过2的学习，对方程F和曲线C的关系又有什么新的想法吗？什么情况下，才能用方程F表示曲线C，同时曲线C也表示方程F呢？（学生回答）问题3：如何定义曲线的方程，方程的曲线？（三）分析（互动对话）学生思考，讨论回答【建构数学】1．定义：如果曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2.6 曲线与方程2.6.1 曲线与方程 课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线．1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立如下关系：(1)__________________________都是方程f(x ，y)＝0的解；(2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f(x ，y)＝0叫做________________，曲线C 叫做__________________．2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔______________；②点P 不在曲线C 上⇔________________.一、填空题1．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是__________________．2．已知圆C 的方程f(x ，y)＝0，点A(x 0，y 0)在圆外，点B(x ′，y ′)在圆上，则f(x ，y)－f(x 0，y 0)＋f(x ′，y ′)＝0表示的曲线是________________．3．下列各组方程中表示相同曲线的是________．①y ＝x ，y x＝1； ②y ＝x ，y ＝x 2；③|y|＝|x|，y ＝x ；④|y|＝|x|，y 2＝x 2.4．“以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ，y)＝0”的____________条件．5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________．6．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________．7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.8．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号)①曲线C 的方程是F(x ，y)＝0；②方程F(x，y)＝0的曲线是C；③坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上；④坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上．二、解答题9．(1)过P(0，－1)且平行于x轴的直线l的方程是|y|＝1吗？为什么？(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为什么？10.画出方程y＝||x|－1|的曲线．能力提升11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.1．判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面． 2．判断方程表示的曲线，可以对方程适当变形，但要注意与原方程的等价性．3．方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x ，y)的关系． §2.6 曲线与方程2．6.1 曲线与方程知识梳理1．(1)曲线C 上点的坐标(x ，y ) (2)曲线C 的方程 方程f (x ，y )＝0的曲线2．①f (x 0，y 0)＝0 ②f (x 0，y 0)≠0作业设计1．与l 平行的一条直线解析 方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．2．过A 点与圆C 同心的圆解析 由点B (x ′，y ′)在圆上知f (x ′，y ′)＝0.由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数，点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立．所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点．3．④解析 ①中y ＝x 表示一条直线，而y x＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；②中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；③中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线； ④中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．4．必要不充分解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0.5．2解析 方程|x |＋|y |＝1所表示的图形是正方形ABCD (如图)，其边长为 2.∴方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.6．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5. ∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.7．16－83 28．③解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法③.特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然①、②、④中的说法都不正确．9．解(1)如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上．所以|y|＝1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|＝1所表示曲线的一部分．(2)由方程x＋y－2＝0知，当x＝4时，y＝－2.故点(4，－2)的坐标是方程x＋y－2＝0的一个解，但点(4，－2)不在线段AB上．∴x＋y－2＝0不是线段AB的方程．10．解①x∈R，y≥0，②令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝±1，∴曲线与坐标轴的交点为(0,1)，(1,0)，(－1,0)．③用－x代入x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y.∴曲线关于y轴对称．④当x≥0时，有y＝|x－1|，此时，若x≥1，则y＝x－1，若0≤x<1，则y＝1－x.先画出图象在y轴右侧的部分，再根据图象关于y轴对称，便可得到方程的曲线，如图所示．11．4π12．证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．。

第 1 页 第13课时 曲线与方程
预习导引 1．若曲线()()22225x m y m -+-=经过坐标原点，则实数m =____。

2．曲线22y x =-与直线y x =的交点坐标为____。

3．给出下面四组方程：①2y x =与y x =；②2lg y x =与2lg y x =；③112
y x +=-与()()lg 1lg 2y x +=-；④221x y +=与21y x =-。

其中，表示同一条曲线的是____。

4．方程2x xy x +=表示的曲线是____。

导学过程
【例1】判断点()1,2A -，()2,3B -是否在曲线2210x xy y -++=上。

【例2】（教材第60页例2）已知一座拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图），求圆拱的方程。

（例2）
【例3】求曲线22
99x y +=与曲线()241y x =--的交点坐标。

课堂练习
1．椭圆22413x y +=与圆22
4x y +=的交点的个数为____。

2．若点()
,2M m 与点3,2N n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在方程()()222211x x y y -=-所表示的曲线上，则实数____m =，____n =。

3．若直线20x y k -+=与直线20x y --=的交点在曲线224x y +=上，则k 的值为____。

4．已知直线():2l y k x =-与双曲线221x y -=的右支相交于A ，B 两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是____。