高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质(2) 精品导学案 苏教版选修1-1

2.5圆锥曲线的共同性质1(离心率)的动点的轨迹．问题1：当比值大于0小于1时轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：当比值大于1时轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆；当e＞1时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.在圆锥曲线的定义中，定点F是焦点，定直线l是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线．问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程1．关于圆锥曲线共同特征的认识(1)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，只是当0<e <1时为椭圆，当e ＝1时为抛物线，当e >1时为双曲线．(2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线．2．圆锥曲线共同特征的应用设F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点A 到定直线的距离，由AF d＝e 变形可得d ＝AF e.由这个变形可以实现由AF 到d 的转化，借助d 则可以解决一些最值问题．[对应学生用书P36][例1] 已知动点M (x ，y )到点F (2,0)与到定直线x ＝8的距离之比为12，求点M 的轨迹．[思路点拨] 该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求．[精解详析] 法一：由题意得x －2＋y 2|x －8|＝12，整理得x 216＋y 212＝1.法二：由圆锥曲线的统一定义知，M 点的轨迹是一椭圆．c ＝2，a 2c＝8，则a 2＝16，∴a ＝4，∴e ＝24＝12，与已知条件相符，∴椭圆中心在原点，焦点(±2,0)，准线x ＝±8，b 2＝12， 其方程为x 216＋y 212＝1.[一点通](1)解决此类题目有两种方法：①直接列方程，代入后化简整理即得方程．②根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．(2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义时，要进行适当的变形，通过推导找出与之相关的距离问题进行验证，通过点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径，对于这种轨迹问题，一般都要通过定义解决．1．平面内的动点P (x ，y )(y >0)到点F (0,2)的距离与到x 轴的距离之差为2，求动点P 的轨迹．解：如图，作PM ⊥x 轴于M ，延长PM 交直线y ＝－2于N . ∵PF －PM ＝2.∴PF ＝PM ＋2. 又∵PN ＝PM ＋2，∴PF ＝PN .∴P 到定点F 与到定直线y ＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P 的轨迹是以F 为焦点以y ＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝8y .∴动点P 的轨迹是抛物线．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，直线l ：x ＝－2，动点M 到F 1的距离是它到定直线l 距离d 的2倍．设动点M 的轨迹曲线为E .(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)设点F 2(4,0)，若直线m 为曲线E 的任意一条切线，且点F 1，F 2到m 的距离分别为d 1，d 2，试判断d 1d 2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M (x ，y )， 则有MF 1＝x ＋2＋y 2，点M (x ，y )到直线l 的距离d ＝|x －(－2)|＝|x ＋2|， 故x ＋2＋y 2＝2|x ＋2|，化简得x 2－y 2＝8.故动点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝8.(2)d 1d 2是常数，证明如下：若切线m 斜率不存在，则切线方程为x ＝±22， 此时d 1d 2＝(c ＋a )·(c －a )＝b 2＝8.当切线m 斜率存在时，设切线m ：y ＝kx ＋t ， 代入x 2－y 2＝8，整理得：x 2－(kx ＋t )2＝8， 即(1－k 2)x 2－2tkx －(t 2＋8)＝0. Δ＝(－2tk )2＋4(1－k 2)(t 2＋8)＝0， 化简得t 2＝8k 2－8.又由kx －y ＋t ＝0，d 1＝|－4k ＋t |k 2＋1，d 2＝|4k ＋t |k 2＋1， d 1d 2＝|16k 2－t 2|k 2＋1＝|16k 2－k 2－k 2＋1＝8,8为常数．综上，对任意切线m ，d 1d 2是常数.[例2] 若点P 的坐标是(－1，－3)，F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点Q 在椭圆上移动，当QF ＋12PQ 取得最小值时，求点Q 的坐标，并求出最小值．[思路点拨] 利用定义把QF 转化成到准线的距离，然后再求它与12PQ 的和的最小值．[精解详析] 在x 216＋y 212＝1中a ＝4，b ＝2 3，c ＝2，∴e ＝12，椭圆的右准线l ：x ＝8，过点Q 作QQ ′⊥l 于Q ′， 则QFQQ ′＝e . ∴QF ＝12QQ ′.∴QF ＋12PQ ＝12QQ ′＋12PQ ＝12(QQ ′＋PQ )．要使QQ ′＋PQ 最小，由图可知P 、Q 、Q ′三点共线，所以由P 向准线l 作垂线，与椭圆的交点即为QF ＋12PQ 最小时的点Q ，∴Q 的纵坐标为－3，代入椭圆得：Q 的横坐标为x ＝2.∴Q 为(2，－3)，此时QF ＋12PQ ＝92.[一点通] 利用圆锥曲线的定义通过把到焦点的距离转化为到准线的距离，或把到准线的距离转化为到焦点的距离，从而求得距离问题的最值是这一部分的常见题型，应熟练掌握．3．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，M 为双曲线的动点，求MA ＋35MF 的最小值．解：双曲线离心率e ＝53，由圆锥曲线的共同性质知MFd ＝e (d 为点M 到右准线l 的距离)，右准线l 的方程为x ＝95，而AM ＋35MF ＝MA ＋35de ＝MA ＋d .显然当AM ⊥l 时，AM ＋d 最小，而AM ＋d 的最小值为A 到l 的距离为9－95＝365.即MA ＋53MF 的最小值为365.4．已知定点A (－2，3)，点F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点M 在椭圆上运动，求AM＋2MF 的最小值，并求此时点M 的坐标．解：∵a ＝4，b ＝23，∴c ＝a 2－b 2＝2.∴离心率e ＝12.A 点在椭圆内，设M 到右准线距离为d ，则MF d ＝e ，即MF ＝ed ＝12d ，右准线l ：x ＝8.∴AM ＋2MF ＝AM ＋d .∵A 点在椭圆内，∴过A 作AK ⊥l (l 为右准线)于K ，交椭圆于点M 0.则A 、M 、K 三点共线，即M 与M 0重合时，AM ＋d 最小为AK ，其值为8－(－2)＝10. 故AM ＋2MF 的最小值为10，此时M 点坐标为(23，3).[例3] 求椭圆x 216＋y 225＝1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线，且离心率互为倒数的双曲线方程．[思路点拨] 由方程确定a ，c ，从而求e 与准线，由椭圆的准线、离心率，再确定双曲线的实轴长、虚轴长，从而求出双曲线的方程．[精解详析] 由x 216＋y 225＝1知a ＝5，b ＝4，c ＝3，e ＝c a ＝35，准线方程为y ＝±253.设双曲线虚半轴长为b ′，实半轴长为a ′，半焦距为c ′，离心率为e ′. 则e ′＝1e ＝53，又∵a 2c ＝a ′2c ′＝253.解得：a ′＝1259，c ′＝62527，b ′2＝250 000729.双曲线方程为81y 215 625－729x2250 000＝1.[一点通] 在圆锥曲线中，a ，b ，c ，e ，p 是确定图形形状的特征量，把握它们之间的内在联系是解决此类问题的关键．5．过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为________．解析：设圆锥曲线的离心率为e ，M 为AB 的中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ，d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝FA ＋FB 2＝e d 1＋d 22.由题意知R ＞d ，则e ＞1，故圆锥曲线为双曲线．答案：双曲线6．(天津高考)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝11．圆锥曲线的准线：在求解圆锥曲线的准线时，应根据曲线的方程先化为其对应的标准形式，通过标准形式确定好曲线的焦点在坐标轴的位置，求出相应的量a 、c 或p ，然后写出其准线．2．圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是： (1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义．[对应课时跟踪训练(十四)]1．若双曲线x 28－y 2b2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．解析：根据题意和已知可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝2，a 2＝8，⇒⎩⎨⎧c ＝4，a ＝2 2，⇒e ＝ 2.答案： 22．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值是________．解析：曲线C 1：x 26＋y 22＝1与曲线C 2：x 23－y 2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点．则PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，解得PF 1＝6＋3，PF 2＝6－3.又F 1F 2＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得 cos ∠F 1PF 2＝6＋32＋6－32－426＋36－3＝13. 答案：133．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________．解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1＝12，最小值为PF 1－1＋PF 2－1＝8. 答案：8,124．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a＝2cc ＋3c＝3－1.答案：3－15．已知椭圆x 24＋y 22＝1内部的一点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA ＋2MF 的最小值为________．解析：设M 到右准线的距离为d ， 由圆锥曲线定义知MFd ＝22，∴d ＝2MF . ∴MA ＋2MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值．MA ＋d ≥2 2－1.答案：2 2－16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，求此双曲线离心率e 的最大值．解：设P 点坐标为P (x 0，y 0)，由圆锥曲线的统一定义得：e ＝PF 1x 0＋a 2c ＝PF 2x 0－a 2c，把PF 1＝4PF 2. 代入则有：x 0＋a 2c ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0－a 2c .整理得5a2c＝3x 0≥3a (∵x 0≥a )．∴e ＝c a ≤53.∴离心率e 的最大值为53.7．已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝2 2的距离与点P 到定点F (2，0)之比为 2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有x －22＋y 2|x －2 2|＝22. 整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)，x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1.k 1·k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝2－12x 21－2＋12x 22x 21－x 22＝－12，为定值． 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若PF ＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线的方程．解：(1)证明：右准线为l 2：x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b a x ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，又F (c,0)，∴k PF ＝abc －0a 2c－c ＝－ab .又∵k l ＝b a ，∴k PF ·k l ＝－a b ·b a＝－1.∴PF ⊥l . (2)∵PF 的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离， ∴|bc |a 2＋b 2＝3，∴b ＝3.又e ＝c a ＝54，∴a 2＋b 2a 2＝2516.∴a ＝4.故双曲线方程为x 216－y 29＝1.[对应学生用书P38]一、圆锥曲线的意义 1．椭圆平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3．抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1．椭圆的标准方程和几何性质2．双曲线的标准方程和几何性质3. 抛物线的标准方程和几何性质三、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的共同性质1．圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e .这个常数e 叫值圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．2．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e ＝1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测二 见8开试卷(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．(四川高考改编)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －PA ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：444．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即x ＋2＋y 2＝2－x .∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x5．两个焦点为(±2,0)且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程为________．解析：∵两个焦点为(±2,0)， ∴椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫522a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322b 2＝1a 2－b 2＝4，，解得a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.答案：x 210＋y 26＝16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________. 解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有，焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.答案：27．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：578．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是________．解析：设P (x ，y )为抛物线上任意一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝x －2＋3|5，∴当x ＝1时，d 取最小值35，此时P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)9．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α， 在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①， 在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝ca＝3aa＝ 3.答案： 310．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为______________________．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值是________．解析：取P 在双曲线的右支上， 则⎩⎨⎧PF 1＋PF 2＝2 m ，PF 1－PF 2＝2 a ，∴⎩⎨⎧PF 1＝m ＋a ，PF 2＝m －a .∴PF 1·PF 2＝(m ＋a )(m －a )＝m －a . 答案：m －a13．若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 的中点的连线斜率为22，则nm的值为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0∴x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n .∴y 0＝mm ＋n. 又y 0x 0＝22，∴m n ＝22，∴nm＝ 2. 答案： 214．(四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：22二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．解：在椭圆x 236＋y 249＝1中，焦点坐标为(0，±13)，离心率e ′＝137， 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13，137∶a 2＋b 2a ＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.∴双曲线的方程为y 29－x 24＝1.16．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为32，且与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝32，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把直线方程代入并化简，得5x 2－8x ＋4－4b 2＝0. 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝15(4－4b 2)．∴y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝15(1－4b 2)．由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 解得b 2＝58，a 2＝52.∴椭圆方程为25x 2＋85y 2＝1.17．(本小题满分14分)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．(本小题满分16分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.19．(本小题满分16分)(陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2x －2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>32.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2，① x 1x 2＝243＋4k2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以直线m 的斜率为－32或32.20．(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0， 故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程得 (m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－m 2＋m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0. 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8109，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16109.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16109.综上所述，△PB 2Q 的面积为16109.。

2019-2020年高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质（二）导学案 苏教版选修1-1学习目标：1. 了解圆锥曲线的共同性质并能够解决有关简单问题；2. 能够根据圆锥曲线的标准方程求准线方程，能够熟练运用直接法和定义法 求曲线方程。

教学重点：圆锥曲线的准线定义与方程的求解。

教学难点：用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题． 课前预习：1. 已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ．2. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12， 则C 的方程是 ．3.已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂直x 轴的直线交C 于 A ，B 两点，且|AB|＝3，则C 的方程为4. 在y ＝2x2上有一点P ，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是课堂探究：1.椭圆x225＋y29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于 2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．变式： 已知椭圆x24b2＋y2b2＝1上一点P 到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P 到左准线的距离．2.已知椭圆x28＋y26＝1内有一点P(1，－1)，F 是椭圆的右焦点， 在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．变式：已知双曲线x29－y216＝1的右焦点为F ，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M ， 使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值．变式：已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为8a ，求该双曲线的离心率。

课堂检测：1. 椭圆上一点P 到左焦点的距离是4，则它到右准线的距离是 ．2. 椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c ， 若d1，2c ，d2成等差数列，则椭圆的离心率为 ．3. 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x2m2－y2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点 (－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项， 则椭圆的离心率是________．。

2019-2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质学案苏教版选修(1)完成下表:二、问题探究探究1:平面内到一个定点F的距离和到一个定直线l（F不在l上）的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线．当这个比值是一个不等于１的常数时，定点P的轨迹又是什么曲线呢？探究2:在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程222)(y c x a cx a +-=-， 将其变形为ac x c a y c x =-+-222)(，你能解释这个方程的几何意义吗？ 在推导双曲线标准方程时，我们也得到一个类似的方程，你能写出来并解释其几何意义吗？探究３:根据问题１与问题２，你能得出什么结论呢？例1．已知点),(y x P 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线ca x l 2:=的距离的比是常数)0(>>c a ac ，求点P 的轨迹．探究４:例１中若括号中条件)0(>>c a 变为)0(>>a c ，点P 的轨迹是何种曲线？探究５:焦点在y 轴上的椭圆与双曲线其准线方程是什么？例２．已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离是14，求点P 到右准线的距离。

三、思维训练１.试写出下列曲线的焦点坐标与准线方程：（１）14491622=+y x ；（2）（２）328422=-y x ；（３）y x 322-=． ２.若动圆的圆心在抛物线y x 122=上，且圆与直线03=+y 相切，则此动圆恒过定 点 ．３.已知点)2,1(A 在椭圆1121622=+y x 内点F 的坐标为)0,2(，在椭圆上求一点P ，使PF PA 2+最小．四、课后巩固1．椭圆64322=+y x 的离心率为 ．2．若椭圆13622=+my x 的焦点在x 轴上，离心率32=e ，则=m ．3．若椭圆116222=+b y x 过点)3,2(-，则其焦距为 ．4． 2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ．5．已知方程12322=-+-ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围为 ．6．已知双曲线19222=-b y x )0(>b 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围为 ．７.AB 是抛物线2x y =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为１，则弦AB 的长度的最大值为 ．８. 椭圆1422=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围．。

圆锥曲线的共同性质一、学习目标：掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。

二、学习重点：圆锥曲线第二定义的推导学习难点：对圆锥曲线第二定义的理解与运用三、知识链接学习椭圆、双曲线、抛物线存在一些困惑1、椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别较大2、离心率：椭圆0＜e ＜1 ，双曲线e ＞1, 抛物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？四、学习过程（一）、探究圆锥曲线的统一定义问题1、在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子222)(y c x a cx a +-=-，将其变形为ac x c a y c x =-+-222)(，你能解释这个式子的几何意义吗?问题2、已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l:x = a 2c 的距离之比是常数c a（a >c >0），求点P 的轨迹方程.变式 将条件a >c >0改为c >a >0呢？圆锥曲线的统一定义：平面内到一定点F 的距离和到一定直线l (F 不在l 上）的距离比为常数e （不等于）的动点P 的轨迹。

其中e 是圆锥曲线的 ，定点F 是圆锥曲线的 ，定直线l 是圆锥曲线的 。

例1:求下列曲线的焦点坐标和准线方程例2：已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.22(1)24x y +=22(2)24y x -=2(3)0x y +=2=的焦点，点M 在抛物线上例3：若点A 的坐标为（3，2）,F 为抛物线xy2移动时求|MA|+|MF |的最小值，并求这时M 的坐标.五、基础达标1.填表2.中心在原点,准线方程为4±=x ,离心率为 21的椭圆方程是 3.设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此双曲线的离心率为 .4.已知A （-1,1),B （1,0),点P 在椭圆13422=+y x 上运动，求|PA|+2|PB|的最小值。

§2.5 圆锥曲线的共同性质学习目标 1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.知识点 圆锥曲线的共同性质思考 圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？ 答案 如图，过点M 作MH ⊥l ，H 为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知M ∈{M |FM ＝eMH }.取过焦点F ，且与准线l 垂直的直线为x 轴，F (O )为坐标原点，建立直角坐标系.设点M 的坐标为(x ，y )，则OM ＝x 2＋y 2.①设直线l 的方程为x ＝－p ，则MH ＝|x ＋p |.② 把①，②代入OM ＝eMH ， 得x 2＋y 2＝e |x ＋p |.两边平方，化简得(1－e 2)x 2＋y 2－2pe 2x －p 2e 2＝0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质.梳理 (1)圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比等于常数e .当0<e <1时，它表示椭圆；当e >1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线.其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的准线方程为x ＝±a 2c ，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的准线方程为y ＝±a 2c .双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为x ＝±a 2c ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的准线方程为y ＝±a 2c.1.若平面内动点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个常数e (e >0)，则动点P 的轨迹是圆锥曲线.( × )2.双曲线x 2－y 2＝1的准线方程为x ＝±22.( √ )3.x 225＋y 29＝1上的点到左准线的距离是92，则该点到右准线的距离是8.( √ ) 4.点M (x ，y )与定点F (4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数45，则点M 的轨迹为x 225＋y 29＝1.( × )类型一 已知准线求圆锥曲线的方程例1 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过点A (26，3)，求双曲线的方程. 考点 准线题点 由准线等条件求曲线方程解 (1)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧24a 2－9b 2＝1，2a 2c ＝4，∴a 2＝2c ，b 2＝c 2－a 2＝c 2－2c .代入24a 2－9b2＝1，整理得c 2－14c ＋33＝0，∴c ＝3或c ＝11.∴a 2＝6，b 2＝3或a 2＝22，b 2＝99. ∴双曲线的方程为x 26－y 23＝1或x 222－y 299＝1.(2)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由已知得9a 2－24b2＝1.将a 2＝2c ，b 2＝c 2－2c 代入9a 2－24b2＝1得，2c 2－13c ＋66＝0，Δ<0，此方程无实数解. 综合(1)(2)可知，双曲线的方程为x 26－y 23＝1或x 222－y 299＝1. 反思与感悟 (1)在此类题中，两准线间的距离是一个定值2a2c，不论双曲线位置如何，均可使用.(2)已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个：①利用统一定义，②直接列出基本量a ，b ，c ，e 的关系式.跟踪训练1 已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a2＝1上的点，F 2是椭圆的右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB的中点N 到椭圆左准线的距离为32，求此椭圆方程.考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 解 设F 1为左焦点，连结AF 1，BF 1， 则根据椭圆定义知，AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a .再设A ，B ，N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理，得d 1＋d 2＝2d 3＝3. 而已知b 2＝925a 2，∴c 2＝1625a 2.∴离心率e ＝45，由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2， ∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1，∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1.类型二 圆锥曲线统一定义的应用 命题角度1 求有关最值问题例2 已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点.(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值； (2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质求最值解 (1)如图所示，由x 225＋y 29＝1得a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以A (4,0)为椭圆的右焦点，F (－4,0)为椭圆的左焦点. 因为MA ＋MF ＝2a ＝10， 所以MA ＋MB ＝10－MF ＋MB .因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210， 所以－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210， 即MA ＋MB 的最大值为10＋210， 最小值为10－210.(2)由题意得椭圆的右准线l 的方程为x ＝254.由图可知点M 到右准线的距离为MM ′， 由圆锥曲线的统一定义得MA MM ′＝e ＝45， 所以54MA ＝MM ′.所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.由图可知当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′最小， 即BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，由x 225＋229＝1，解得x ＝±553(负值舍去)，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫553，2. 故MB ＋54MA 的最小值为174，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫553，2. 反思与感悟 (1)解答此类题时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义. (2)圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程.跟踪训练2 试在抛物线y 2＝4x 上求一点A ，使点A 到点B (3，2)与到焦点的距离之和最小. 考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质求最值解 由已知易得点B 在抛物线内，p2＝1，准线方程为x ＝－1，过点B 作C ′B ⊥准线l 于C ′，直线BC ′交抛物线于A ′，则A ′B ＋A ′C ′为满足题设的最小值.因为C ′B ∥x 轴，B 点的坐标为(3，2)， 所以A ′点的坐标为(x,2).又因点A ′在抛物线上，所以A ′(1,2)即为所求A 点，此时最小值为BC ′＝3＋1. 命题角度2 焦点弦问题例3 椭圆C 的一个焦点为F 1(2,0)，相应准线方程为x ＝8，离心率e ＝12.(1)求椭圆的方程；(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C 所得的弦长. 考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质研究焦点弦问题解 (1)设椭圆上任一点P (x ，y )，由统一定义得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12，两边同时平方，得4[(x －2)2＋y 2]＝(8－x )2， 化简得x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知椭圆的另一个焦点F 2(－2,0)，过F 2且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x ＋2， 代入方程x 216＋y 212＝1，得7x 2＋16x －32＝0.设交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－167，AB ＝AF 2＋BF 2＝a ＋ex 1＋a ＋ex 2＝2a ＋e (x 1＋x 2)＝2×4＋12(x 1＋x 2)＝487.反思与感悟 (1)在此类题中，若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些. (2)对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便.跟踪训练3 已知椭圆的一个焦点是F (3,1)，相应于F 的准线为y 轴，l 是过点F 且倾斜角为60°的直线，l 被椭圆截得的弦AB 的长是165，求椭圆的方程.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质研究焦点弦问题 解 设椭圆离心率为e ，M (x ，y )为椭圆上任一点，由统一定义MF d ＝e ，得(x －3)2＋(y －1)2|x |＝e ，整理得(x －3)2＋(y －1)2＝e 2x 2.① ∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y －1＝3(x －3)，② ①②联立得(4－e 2)x 2－24x ＋36＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝244－e 2，∴AB ＝e (x 1＋x 2)＝e ·244－e 2＝165， ∴e ＝12(负值舍去)，∴椭圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝14x 2，即(x －4)24＋(y －1)23＝1.1.椭圆x 225＋y 29＝1的准线方程是____________. 考点 准线 题点 求准线方程 答案 x ＝±254解析 ∵a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴准线方程为x ＝±254.2.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的________倍. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案 9解析 ∵2c ＝13×2a ，∴c ＝13a ，即a ＝3c .∴两准线间距离为2a2c＝18c ，为2c 的9倍.3.若双曲线x 29－y 216＝1左支上的一点P 到左焦点的距离为15，则点P 到右准线的距离为________. 考点 共同性质题点 共同性质的简单运用 答案635解析 ∵a ＝3，b ＝4，∴c ＝5，∴e ＝53.∵PF 1＝15，∴PF 2＝PF 1＋2a ＝15＋6＝21， ∴P 到右准线的距离为d ＝PF 2e ＝635. 4.已知椭圆方程为x 216＋y 212＝1，右焦点为F ，A (2,1)为其内部一点，P 为椭圆上一动点，为使PA ＋2PF 最小，P 点坐标为__________.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线共同性质求最值 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2333，1 解析 由题意得a ＝4，b ＝23，∴c ＝2，e ＝c a ＝12.由统一定义知，2PF 即为P 到右准线的距离，因此，要使PA ＋2PF 最小，P 点除了应在y 轴的右侧外，还要使AP 垂直于准线，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 216＋y 212＝1，解得P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2333，1. 5.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ＝12，且它的一个顶点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为____________. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案3x ±y ＝0解析 由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为抛物线y 2＝－4x 的焦点坐标为(－1,0)，由此可得a ＝1.由a 2c ＝12，得c ＝2.所以b 2＝c 2－a 2＝3，于是双曲线的方程为x2－y 23＝1，其渐近线方程为3x ±y ＝0.1.在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性.2.在已知准线方程时，一般转化为a 2c的数量关系，结合其他条件求出基本量a ，b ，c .若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型.3.根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程.一、填空题 1.若椭圆的离心率为22，准线方程为x ＝±8，则椭圆的标准方程为____________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案x 232＋y 216＝1 解析 由准线方程为x ＝±8，可知椭圆的焦点在x 轴上.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a 2c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝42，c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝32－16＝16. 因此所求椭圆的标准方程为x 232＋y 216＝1. 2.已知椭圆x 2100＋y 236＝1上一点P 到椭圆的左准线的距离为10，则点P 到椭圆的右焦点的距离为________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案 12 解析 椭圆x 2100＋y 236＝1的离心率e ＝45.根据椭圆的第二定义，得点P 到椭圆的左焦点的距离为10e ＝8.再根据椭圆的第一定义，得点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12.3.如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案463解析 由题意可知a ＝2，b ＝2，c ＝6，右准线方程为x ＝a 2c ＝46，e ＝c a ＝62.设P 到y 轴的距离为d ，则2d －46＝62，所以d ＝463. 4.与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且其中一条准线的方程为x ＝185的双曲线的标准方程为____________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案x 236－y 264＝1 解析 由题意，可设所求双曲线的方程为x 29λ－y 216λ＝1(λ>0).该双曲线的右准线方程为x ＝9λ5λ＝185，所以λ＝4，所以所求双曲线的标准方程为x 236－y264＝1. 5.若双曲线x 28－y 2b2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________. 考点 准线题点 准线方程的运用 答案2解析 y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，因此，双曲线的一条准线方程为x ＝－2，则－a 2c＝－2.又a 2＝8，∴c ＝4.∴e ＝c a ＝422＝ 2.6.已知椭圆的一个焦点坐标为F 1(0，－22)，对应的准线方程为y ＝－924，且离心率e 满足23，e ，43成等比数列，则此椭圆的方程为________. 考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程 答案 x 2＋y 29＝1解析 ∵23，e ，43成等比数列，∴e 2＝23×43，则e ＝223. 设P (x ，y )是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义，得x 2＋(y ＋22)2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋924＝223，化简得9x 2＋y 2＝9，即x 2＋y 29＝1. 7.已知双曲线x 24－y 25＝1，F 为其右焦点，A (4,1)为平面上一点，P 为双曲线上任意一点，则PA ＋23PF 的最小值为________.考点 共同性质题点 运用圆锥曲线统一定义求最值答案 83解析 设P 到右准线的距离为PQ .因为e ＝32，所以23PF ＝PQ ， 即PA ＋23PF ＝PA ＋PQ . 而PA ＋PQ 的最小值为点A 到右准线的距离， 即4－a 2c ＝4－43＝83， 故PA ＋23PF 的最小值为83. 8.已知A (－1,0)，B (1,0)，点C (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，则AC ＋BC ＝________. 考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 4解析 ∵点C 到B (1,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比为12， ∴点C 的轨迹是椭圆，且c a ＝12，a 2c＝4， ∴a ＝2，c ＝1.∴点A 恰好是椭圆的另一个焦点，∴AC ＋BC ＝2a ＝4.9.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________.考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 33解析 依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c. 又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca. 由已知可得b 2c ＝6·bc a， 所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝ca ＝33. 10.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则椭圆C 的离心率为________.考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 33 解析 设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图所示，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则BF ＝b 2＋c 2＝a .作DD 1⊥y 轴于点D 1， 则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD ＝23， 所以DD 1＝32OF ＝3c 2，即x D ＝3c 2. 由圆锥曲线的统一定义，得FD ＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －3c 2＝a －3c 22a . 又由BF →＝2FD →，得a ＝2a －3c 2a， 整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13，所以e ＝－33(舍去)或e ＝33. 二、解答题11.已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上的一点，F 1，F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标.考点 共同性质题点 共同性质的运用解 设点P 的坐标为(x ，y ).∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴e ＝35，准线方程为x ＝±253. 由圆锥曲线的统一定义知， PF 1＝ed 1＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋253＝35x ＋5， PF 2＝ed 2＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫253－x ＝5－35x . ∵PF 1∶PF 2＝2∶1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋5∶⎝ ⎛⎭⎪⎫5－35x ＝2∶1， 解得x ＝259，代入椭圆的方程，得y ＝±8149. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫259，8149或⎝ ⎛⎭⎪⎫259，－8149. 12.已知A ，B 为椭圆x 2a 2＋25y 29a 2＝1上的两点，F 2是椭圆的右焦点，若AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点M 到椭圆的左准线的距离为32，试确定该椭圆的方程.考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程解 由椭圆的方程，可得b ＝35a ，则c ＝45a ，e ＝45，两准线间的距离为52a . 设A ，B 两点到右准线的距离分别是d A ，d B ，则AF 2d A ＝BF 2d B ＝45， ∴AF 2＋BF 2＝45(d A ＋d B )＝85a ，∴d A ＋d B ＝2a ，则AB 的中点M 到椭圆右准线的距离为a ，于是点M 到左准线的距离为52a －a ＝32，解得a ＝1， 故椭圆的方程为x 2＋25y 29＝1. 13.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a ，b 的值；(2)设M ，N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.考点 共同性质题点 共同性质的运用(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22，故可设M (22，y 1)，N (22，y 2).由F 1M →·F 2N →＝0 知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋6y 1＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1--→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与拓展14.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率e 的最大值为________.考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 53解析 设P 点坐标为P (x 0，y 0)，由圆锥曲线的统一定义得e ＝PF 1x 0＋a 2c ＝PF 2x 0－a 2c， 把PF 1＝4PF 2代入则有x 0＋a 2c ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0－a 2c ， 整理得5a 2c＝3x 0. ∵x 0≥a ，∴e ＝c a ≤53， ∴离心率e 的最大值为53. 15.已知椭圆x 225＋y 29＝1上不同的三点A (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，95，C (x 2，y 2)与焦点F (4,0)的距离成等差数列.(1)求证：x 1＋x 2＝8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率. 考点 共同性质题点 共同性质的运用(1)证明 由已知得a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝45. 因为AF ＝a －ex 1＝5－45x 1，CF ＝a －ex 2＝5－45x 2，BF ＝5－45×4＝95，且AF ＋CF ＝2BF ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 2＝185，即x 1＋x 2＝8. (2)解 因为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1，① x 2225＋y 229＝1，②由①－②得y 21－y 22＝－925(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－7225(x 1－x 2)(y 1≠y 2). 又因为线段AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22， 所以线段AC 的垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －4).③ 又因为点T 在x 轴上，则设点T 的坐标为(x 0,0)，代入③得x 0－4＝y 21－y 222(x 1－x 2)，所以x 0－4＝－3625. 所以直线BT 的斜率k ＝－95x 0－4＝54. 故直线BT 的斜率为54.。

圆锥曲线的共同性质（2）【学习目标】1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．【自主学习】（认真自学课本P36-P37例3） 复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?【合作探究】例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ；例2：(教材P36例3) 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．【目标检测】1．．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是 （ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥2．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是 （ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个3．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA •=,则点P 的轨迹方程是 ．4. 已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．【作业布置】任课教师自定。

江苏省响水中学高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质导学案1 苏教版选修1-1学习目标：1. 掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念2. 类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板 等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的 方程。

3.培养学生类比推理的能力,探究能力，激发学习兴趣。

教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成教学难点：圆锥曲线方程的推导课前预习：1.抛物线的定义：2.思考:1≠d PF 呢3.圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率,定点F 叫做圆锥曲线的焦点,定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 4. (1) 上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？ (2) 另一焦点的坐标和准线的方程是什么？课堂探究：1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数 c a (a>c>0),求P 的轨迹.变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:= 的距离的比是常数 c a (c>a>0),求P 点的轨迹.２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:22(1) 1259x y += 22(2) 416x y += 22(3) 1259x y -=22(4) 416y x-=2(5) 16y x=2(6) 16x y=-课堂检测：1.椭圆22|348|(2)(2)25x yx y++-+-=的离心率为2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆中心距离的取值范围是3、P是椭圆22143x y+=上点,F1、F2是两焦点,则PF1·PF2的最大值是。

椭圆的几何性质课程标准；经历从实际背景中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的标准方程[目标细化]，椭圆的几何性质[目标细化]1． 会由方程研究性质，以及由性质求方程，会画图；2． 掌握,,,a b c e 的几何意义以及它们之间的相互关系3． 认识特征三角形与焦点三角形中的定量与变量，以及二者的关系。

[重点难点]重点：1，2（目标中心）难点：3（目标中心）[学习过程]一、预习导航1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较（填写以下空格）2．椭圆上两个重要三角形：（1）椭圆上任意一点(,)(0)p x y y ≠与两焦点1F ，2F 构成12PF F ∆称为焦点三角形，焦点三角形的周长为 __________ ，12cos F PF ∠=____________________（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，三边关系为___________________3．离心率的取值对椭圆扁圆程度的影响：（1）当1e →时，c a →，b =_____________（2）当0e →时，0c →，b a →，椭圆越_____________二、牛刀小试1．求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率（1）22981x y += （2）22259225x y +=（3）221625x y += （4）22451x y +=2．根据下列条件求椭圆的标准方程（1）长轴长和短轴长分别是8和6， （2）焦距是12，离心率是34，焦点在x 轴上 焦点在x 轴上（3）经过点(2,0)P -，(0,3)Q - 两点 （4）一焦点坐标(3,0)-，一顶点坐标为(0,5)三、展示自我.根据下列条件求椭圆的标准方程1．焦点在x 轴上，焦距为2，椭圆上一点M 与两焦点的距离之和等于62．一个焦点坐标(3,0),过点A (5,0)-4． 一个焦点坐标(0,4),过点B (1四、巩固提高1．已知椭圆2255kx y +=的一个焦点坐标是(2,0)，求k 的值2．已知1F ，2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果12PF F ∆是直角三角形，求P 点坐标。

高二数学选修2第二章圆锥曲线与方程教案课题：圆锥曲线课时编号：SX2－02－01教学目标：1、通过用平面截圆锥曲面，经历从具体抽象圆锥曲线过程；2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义教学难点：椭圆、双曲线、抛物线的定义教学过程：一、问题情景几何画板演示：天体的运行二、建构数学1、圆锥曲线：画板演示2、椭圆、双曲线、抛物线的动画演示3、椭圆、双曲线与抛物线的定义椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.说明：①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法；②要求学生注意常数要大于∣F1F2∣的条件，同时让学生明确常数小于或等于∣F1F2∣时，轨迹为无轨迹或一条线段.双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线.说明：①常数小于21FF；②这两个定点叫做双曲线的焦点；③这两焦点的距离叫双曲线的焦距.222ay x =+圆的定义 坐标系中的圆 圆的方程？椭圆的定义 坐标系中的椭圆 椭圆的方程抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 三、回顾总结： 四、布置作业：《数学之友》T2.1圆锥曲线课 题：椭圆（1） 课时编号：SX2－02－02 教学目标：1、掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程；2、能利用标准方程判断曲线是否是椭圆 教学重点：椭圆的定义与标准方程 教学难点：标准方程的推导过程 教学过程： 一、创设情景1、学习直线与圆时，对圆的认识经历了以下过程2、学习了椭圆的定义，也有类似的思考二、建构数学1、椭圆标准方程的推导如图，建立直角坐标系x O y ，使x 轴经过点F 1、F 2，并且O 与线段F 1F 2的中点重合.设M （x ,y ）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c (c ＞0)，那么焦点F 1、F 2的坐标分别是（－c ,0），(c ,0). 又设M 与F 1和F 2的距离的和等于常数2a. 由椭圆定义，椭圆就是集合 P =｛M ∣∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a ｝因为∣MF 1∣=22)(y c x ++，∣MF 2∣=22)(y c x +- 所以得：22)(y c x +++22)(y c x +-=2a 整理得：（a 2－c 2）x 2+a 2y 2=a 2(a 2－c 2).由椭圆的定义可知：2a ＞2c ，即a ＞c ，故a 2－c 2＞0. 令a 2－c 2=b 2，其中b ＞0，代入上式整理得：)0(12222>>=+b a by a x 2、椭圆的标准方程：x o F 1 F 2Py三、数学运用 1、例1 已知一个运油车上的储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的两个点到两个焦点的距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程。

2.5 圆锥曲线的共同性质华罗庚说过，“就数学本身而言，是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的……”圆锥曲线有着独特和奇异的一面，其中蕴藏着奥妙和魅力，也蕴藏着规律和道理.但“天得一以清，地得一以宁，……，万物得一以生”，圆锥曲线的共同性质又体现了圆锥曲线的“统一美”，这“统一美”使圆锥曲线充满了勃勃生机.教学目标：知识目标：掌握圆锥曲线的统一定义和共同性质，了解圆锥曲线的联系和区别，能利用圆锥曲线的有关知识解决有关的问题.能力目标：通过对圆锥曲线的统一性的研究，进一步培养观察能力和探索能力，同时达到进行运动变化、对立统一的辩证唯物主义思想教育.情感目标：通过学习圆锥曲线的统一定义，体验和感受数学的整体之美、统一之美、和谐之美，进一步激发学习数学的主动性和积极性.教学重点：圆锥曲线的统一定义和共同性质.教学难点：圆锥曲线的共同性质.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教学过程：一、问题情境回忆抛物线定义，并在此基础上提出问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？（以抛物线的定义作为新知识的生长点）二、学生活动阅读课本P47，初步感知当比值大于1和比值小于1时动点P的轨迹.三、建构数学1.圆锥曲线的统一定义（1）多媒体演示；（2）引导学生回忆椭圆标准方程的推导过程，思考课本P47的“思考”，并在此基础上讲解例1，引导得出椭圆的第二定义，再类比得出双曲线的第二定义.2.圆锥曲线的共同性质（1）圆锥曲线的共同性质给出了三个量：定点F，定直线l，常数e.其中要求定点F 不在定直线l上，且规定e是到定点的距离与到定直线的距离的比值，两者顺序包括颠倒.（2）圆锥曲线的共同性质揭示了曲线上的点到焦点的距离与它到准线的距离的关系，规律是：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，上焦点对应上准线，下焦点对应下准线.具体如下：①对于22221(>>0)x ya ba b+=而言，左焦点1(,0)F c-对应左准线2axc=-，右焦点2(,0)F c对应右准线2axc =.②对于22221(>>0)y x a b a b +=而言，上焦点1(0,)F c 对应上准线2a y c=，下焦点2(0,)F c -对应右准线2a y c=-. ③对于22221(>0,>0)x y a b a b -=而言，左焦点1(,0)F c -对应左准线2a x c=-，右焦点2(,0)F c 对应右准线2a x c=. ④对于22221(>0,>0)y x a b a b -=而言，上焦点1(0,)F c 对应上准线2a y c=，下焦点2(0,)F c -对应右准线2a y c=-. 四、数学应用例1 求下列曲线的焦点坐标和准线方程（1）22144x y +=； （2）22221125x y -=； （3）224936y x -=； （4）22y x =-； （5）240x y +=.一般思路：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数a 、b 、c 或p ，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标和准线方程.应注意的是：椭圆和双曲线分别有两条准线，而抛物线只有一条准线；若题中含有参变量，则应分类讨论.练习：课本P48 练习 第1题. 例2 已知双曲线2216436x y -=上一点P 到左焦点的距离是14，求点P 到右准线的距离. 引导学生审清题意，寻找解题思路.可先求出22||(PF F 为焦点)，再利用统一定义进行求解，也可利用两准线间的距离是22a c进行求解. 解：（略） （答案：24）练习：1，求该椭圆的离心率.五、本节小结：（略）六、板书设计：（略）七、布置作业：八、教后反思：。

2.4.2 抛物线的几何性质教学过程：一、 问题情境1．上节课我们学习了抛物线，通过抛物线的定义研究了它的标准方程。

首先来回顾一下抛物线的定义及其标准方程。

2．同学们觉得这节课应该研究什么内容？类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课应该来研究“抛物线的几何性质”。

二、探索研究同学们自己先类比探索“抛物线的几何性质有哪些？如何研究？”，必要时可与同桌交流你的结论。

三、归纳总结四、例题解析1．求满足下列条件的抛物线方程：(1) 顶点在坐标原点，焦点为F(5，0)；(2) 顶点在坐标原点，关于y 轴对称，且经过M(2, 22-)；(3) 顶点在坐标原点，准线方程为x=32．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm ，反光曲面的顶。

由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线。

为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)3．设过抛物线y 2=2px 的焦点F 的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为y 1、y 2，求证： y 1y 2=-p 2。

变式：1.x 1x 2为定值.2.求/AB/.3.通径的概念.对抛物线开口的影响.4.课后思考通径是最短的焦点弦.五、巩固练习六、板书设计七、课堂小结：通过本节学习, 要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标解：如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系。

设抛物线方程为）（022p ＞px y =灯应安装在其焦点F 处。

将A 点坐标代入方程 pxy 22=解得p ≈70.3，它的焦点坐标约为F （35，0）。

因此，灯泡应该安装在距顶点约35mm 处。

o x y c A B 在x 轴上取一点C ，使OC=69，过C 作x 轴的垂线，交抛物线于A 、B 两点，AB 就是灯口的直径，即AB=197，所以A 点的坐标为（69 ,98.5 ）。

21971.求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点为（0，5）；（2）对称轴为x 轴，顶点在原点，且过点（-3，4）。

圆锥曲线的共同性质【教学目标】1、 知识与技能通过本节的学习，掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的意义。

2、 过程与方法教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。

3、 情感、态度与价值观通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。

【教学重点】圆锥曲线第二定义的推导【教学难点】对圆锥曲线第二定义的理解与运用【教学手段】多媒体演示【教学方法】讨论发现法【教学过程】一、知识回顾1在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：222)(y c x a cx a +-=-，将其变形为：ac x c a y c x =-+-222)(， 你能解释这个式子的意义吗？这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线c a x 2=的距离之比等于定值ac ，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？二、新课讲解已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线ca x l 2:=的距离之比是常数)0(>>c a ac ，求点P 的轨迹。

解：由题意可得化简得)()(22222222c a a y a x c a -=+-。

令222b c a =-，则上式可以化为这是椭圆的标准方程。

所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆。

若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率e类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线ca x l 2:=（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数ac 就是双曲线的离心率e 。

F 和到一条定直线l （F 不在定直线l 上）的距离之比是一个常数e 。

第13课时 圆锥曲线的共同性质【学习目标】了解圆锥曲线统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法． 【问题情境】问题1：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？问题2：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程：a 2－cx ＝a (x －c )2＋y 2，将其变形为：(x －c )2＋y2a2c－x ＝ c a，你能解释这个方程的几何意义吗？【合作探究】已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l ：x ＝a 2c 的距离之比是常数ca（a >c >0），求点P 的轨迹．可以发现圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 当0＜e ＜1时，它表示椭圆； 当e ＞1时，它表示双曲线； 当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． 思考1：（1）椭圆和双曲线有几条准线？（2）准线方程分别是什么？思考2：椭圆 y 2a 2＋x 2b 2 = 1 （a ＞b ＞0）和双曲线y 2a 2－x 2b2＝1 （a ＞0，b ＞0）的准线方程分别是什么？ 【展示点拨】例1．求下列曲线的准线方程：（1）221259x y +=； （2） 22416x y += ； （3）32822=-y x ； （4）422-=-y x ； （5）216y x = ； （6）23x y =-．例2．已知椭圆上一点P 到左焦点的距离为4，求P 点到左准线的距离．变式1 如何求求点P 到右准线的距离．例3．已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离．例4．已知点(1,1)A -，点(1,0)B ，点P 在椭圆22143x y +=上运动，求2PA PB +的最小值.【学以致用】 1．已知动点P 到直线40x +=的距离比到定点(2,0)M 的距离大2，则动点P 的轨迹方程为 ．2．双曲线的渐近线为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，双曲线标准方程___ ____．3．已知点()03，A ，()02，F ，点P 在双曲线1322=-y x 上，PF PA 21+的最小值为______，此时点P 的坐标为____________．4．在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则椭圆的离心率为 ．已知双曲线 13622=-x y 上一点P 到一个焦点的距离为4，求P 点到此焦点相应准线的距离 ． 5．求下列曲线的准线方程：（1）224936x y += ；（2）22981x y -=；（3）22941x y +=；（4）22194x y -=.第13课时 圆锥曲线的共同性质【基础训练】1．椭圆221259x y +=的准线方程为 ． 2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆的右准线的距离是 ．3．双曲线221x y m-=上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于 ．4．已知椭圆的焦点到相应准线的距离为长半轴长，则椭圆的离心率是 ． 5．双曲线C 为等轴双曲线，它的一条准线方程为4x =-，则双曲线的方程为 ．6．若抛物线的顶点在原点，准线与椭圆18422=+y x 的上准线重合，则抛物线的方程为 ． 【思考应用】7．根据下列条件求圆锥曲线的标准方程：（1）准线方程是4y =±，离心率为12；（2）准线方程是163x =±，离心率为3．8．.已知点A （1，2）在椭圆2211612x y +=内，点P 在椭圆上，F 的坐标为（2，0），求使2PA PF +取最小值时P 点的坐标．9．已知抛物线214y x =上的一点P 到顶点和准线的距离相等，求P 点坐标．10．点P 到定点（0，10）与到定直线518=y 的距离之比是35，则求点P 的轨迹方程．【拓展提升】11．已知椭圆22110036x y +=上一点P ，到其左．右焦点的距离之比为13，求P 到两条准线的距离及P 点坐标．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21F F 、．点P 为其上的动点，当21PF F ∠ 为钝角时．点P 横坐标的取值范围为多少？第13课时 圆锥曲线的共同性质作业12x <<。

2.5 圆锥曲线的共同性质1.了解圆锥曲线的共同性质.(重点)2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题.(难点)[基础·初探]教材整理 圆锥曲线的共同性质阅读教材P 53至思考以上部分，完成下列问题. 1.圆锥曲线的共同性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e .这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线.2.圆锥曲线离心率的范围： (1)椭圆的离心率满足0＜e ＜1， (2)双曲线的离心率满足e ＞1， (3)抛物线的离心率满足e ＝1.3.椭圆和双曲线的准线方程：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是x ＝±a 2c.1.判断正误：(1)到定点F 与定直线l 的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.( ) (2)离心率e ＝1时不表示圆锥曲线.( )(3)椭圆的准线为x ＝±a 2c (焦点在x 轴上)，双曲线的准线为x ＝±c 2a(焦点在x 轴上).【解析】 (1)×.定点F 不在定直线l 上时才是圆锥曲线. (2)×.当e ＝1时表示抛物线是圆锥曲线.(3)×.双曲线的准线也是x ＝±a 2c.【答案】 (1)× (2)× (3)×2.离心率为12，准线为x ＝±4的椭圆方程为________.【解析】 由题意知a ＝2，c ＝1，b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝1 [质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]求下列曲线的焦点坐标和准线方程：(1)x 2－y 2＝2； (2)4y 2＋9x 2＝36； (3)x 2＋4y ＝0； (4)3x 2－3y 2＝－2.【导学号：24830053】【精彩点拨】 把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解. 【自主解答】 (1)化方程为标准形式：x 22－y 22＝1.焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝4，c ＝2. ∴焦点为(±2,0)，准线方程为x ＝±22＝±1.(2)化方程为标准形式：y 29＋x 24＝1.焦点在y 轴上，a 2＝9，b 2＝4，c ＝ 5. ∴焦点坐标为(0，±5)，准线方程为y ＝±95＝±95 5.(3)由方程x 2＝－4y 知，曲线为抛物线，p ＝2， 开口向下，焦点为(0，－1)，准线为y ＝1.(4)化方程为标准形式y 223－x 223＝1，a 2＝23，b 2＝23，c ＝23＋23＝233，故焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±233.准线方程为y ＝±a 2c ＝±23233＝±33.1.已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值a ，b ，c 或p ，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程.2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.[再练一题]1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程： (1)3x 2＋4y 2＝12；(2)2x 2－y 2＝4.【解】 (1)化方程为标准形式：x 24＋y 23＝1.焦点在x 轴上，a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，c ＝1.∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为x ＝±a 2c＝±4.(2)化方程为标准形式：x 22－y 24＝1.焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝4，c 2＝6，c ＝ 6.∴焦点坐标为(±6，0)，准线方程为x ＝±a 2c ＝±26＝±63.双曲线x 29－y 216＝1上有一点P ，它到右准线的距离为115，求它到左焦点的距离.【精彩点拨】 首先判定点P 在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把到准线的距离转化为到焦点的距离求解.【自主解答】 双曲线x 29－y 216＝1的左准线和右准线分别为x ＝－95和x ＝95，若点P 在双曲线的左支上，则点P 到右准线的最小距离为95－(－3)＝245＞115，故点P 不可能在左支上，而在右支上，所以点P 到右焦点的距离为115e ＝113，再根据双曲线的定义知PF 1－PF 2＝6，即PF 1＝6＋PF 2＝6＋113＝293.即点P 到左焦点的距离为293.解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决；(2)把思路(1)的两步过程交换先后顺序来解决.[再练一题]2.椭圆x 225＋y 216＝1上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离为283，求点P 到椭圆的右焦点的距离.【导学号：24830054】【解】 椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，b 2＝16，则a ＝5，c ＝3，故离心率为e ＝35.由圆锥曲线的性质得点P 到椭圆的左焦点的距离为283e ＝285，再根据椭圆的定义得，P到右焦点的距离为2a －285＝10－285＝225.[探究共研型]探究1 F 的距离PF ，与点P 到对应准线的距离d 有什么关系？【提示】PFd＝e ，即PF ＝de (e 为椭圆或双曲线的离心率). 探究2 设椭圆x 24＋y 23＝1内一点A (1,1)，P 为椭圆上一点，过P 作椭圆的准线x ＝4的垂线，垂足为D ，则PA ＋PD 的最小值是什么？【提示】 过A 作直线x ＝4的垂线交椭圆于P ，垂足为D ，则PA ＋PD 最小，最小值为AD ＝4－1＝3.探究3 设椭圆x 24＋y 23＝1外一点M (1,3)，F 为其右焦点，P 为椭圆上一点，P 到椭圆的准线x ＝4的距离为PD ，则PA ＋12PD 的最小值是什么？【提示】 易知椭圆的离心率是e ＝12，由PF PD ＝12，得PF ＝12PD ，故PA ＋12PD ＝PA ＋PF ≥AF＝3.即PA ＋12PD 的最小值是3.已知椭圆x 28＋y 29＝1内有一点M (1,2)，F 是椭圆在y 轴正半轴上的一个焦点，在椭圆上求一点P ，使得MP ＋3PF 的值最小.【精彩点拨】 因为椭圆离心率为13，∴PF d ＝13(d 为P 到相应准线的距离)，∴3PF ＝d ，将MP ＋3PF 转化为MP ＋d .【自主解答】 设P 点坐标为(x 0，y 0)，P 到F 对应准线的距离为d ，由方程知a 2＝9，a ＝3，b 2＝8，c 2＝1，∴e ＝13，∴PF d ＝13，∴3PF ＝d ，∴MP ＋3PF ＝MP ＋d . 当MP 与准线l 垂直时MP ＋d 最小.此时P 点的横坐标为x 0＝1，将x 0＝1代入椭圆方程x 208＋y 209＝1，得y 0＝3414.∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3414，最小距离为a 2c －2＝9－2＝7.即MP ＋3PF 的最小值为7.求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.[再练一题]3.如图2­5­1所示，已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，定点A 的坐标为(3,1)，P 是双曲线右支上的动点，则12PF ＋PA 的最小值为多少？图2­5­1【解】 由x 24－y 212＝1知a ＝2，c ＝4，e ＝2.设点M 是点P 在左准线上的射影.则PM 是P 到左准线x ＝－1的距离，则PFPM＝2. 所以12PF ＝PM ，所以12PF ＋PA ＝PM ＋PA .显然当A ，P ，M 三点共线时，12PF ＋PA 的值最小，即12PF ＋PA 的最小值为点A 到双曲线左准线的距离：3＋a 2c ＝3＋44＝4.故12PF ＋PA 的最小值为4.1.椭圆x 23＋y 22＝1的准线方程是________.【解析】 由方程可知a 2＝3，b 2＝2，c 2＝1，∴c ＝1，则准线方程为x ＝±a 2c＝±3.【答案】 x ＝±32.双曲线y 2－x 2＝－4的准线方程是________.【解析】 把双曲线方程化为x 24－y 24＝1，∴a 2＝4，b 2＝4，c 2＝8，即c ＝22，故准线方程是x ＝±a 2c ＝±422＝± 2.【答案】 x ＝± 23.若椭圆的焦点坐标为(1,0)，准线方程是x ＝12，则该椭圆的方程是________.【解析】 易知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝1，故准线方程是x ＝a 2c ＝a 2＝12，则b 2＝a 2－c 2＝11，故椭圆方程是x 212＋y 211＝1.【答案】x 212＋y 211＝1 4.椭圆x 24＋y 23＝1上一点P 到其焦点的距离为2，则点P 到对应的准线的距离为________.【解析】 由题意知a ＝2，c ＝1，∴e ＝12，所以p 到准线的距离为2÷12＝4.【答案】 4 5.椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离为10，求点P 到椭圆的右焦点的距离.【导学号：24830055】【解析】 椭圆x 2100＋y 236＝1中，a 2＝100，b 2＝36，则a ＝10，c ＝a 2－b 2＝8，故离心率为e ＝45.根据圆锥曲线的统一定义得，点P 到椭圆的左焦点的距离为10e ＝8. 再根据椭圆的定义得，点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(十二)圆锥曲线的共同性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.双曲线x 22－y 2＝1的右准线方程是________.【解析】 由方程可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，即c ＝ 3.故双曲线的右准线方程是x ＝a 2c ＝233.【答案】 x ＝2332.已知椭圆的离心率为12，准线方程为x ＝±4，则椭圆的长轴长为________.【解析】 由c a ＝12，a 2c ＝4，得a ＝c a ×a 2c ＝12×4＝2，故长轴长为2a ＝4.【答案】 43.方程x －2y 2＝0表示的曲线为________，焦点为________，准线方程为________. 【解析】 化方程为标准形式y 2＝12x ，表示焦点在x 正半轴上的抛物线，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，准线x ＝－18. 【答案】 抛物线 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 x ＝－184.已知椭圆的两条准线方程为y ＝±9，离心率为13，则此椭圆的标准方程为________.【导学号：24830056】【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝9c a ＝13⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝1.从而b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∵椭圆的焦点在y 轴上，∴所求方程为y 29＋x 28＝1.【答案】y 29＋x 28＝1 5.已知椭圆两准线间的距离为8，虚轴长为23，焦点在x 轴上，则此椭圆标准方程为________.【解析】 依题得：a 2c＝4，∴a 2＝4c .又∵2b ＝23，∴b ＝3，b 2＝3.∴b 2＋c 2＝4c ，∴c 2－4c ＋3＝0，(c －3)(c －1)＝0， ∴c ＝3或c ＝1.当c ＝3时，a 2＝12.椭圆方程为x 212＋y 23＝1.当c ＝1时，a 2＝4，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝1或x 212＋y 23＝1 6.如果双曲线x 216－y 29＝1上的一点P 到左焦点的距离是10，那么P 到右准线的距离为________.【解析】 由双曲线方程知a 2＝16，b 2＝9，故c 2＝25，所以e ＝54，由双曲线定义知P到右焦点的距离为10±8＝2或18，由圆锥曲线的统一定义知，P 到右准线的距离为2×45＝85或18×45＝725.【答案】 85或7257.椭圆x 29＋y 216＝1上一点M ，到焦点F (0，7)的距离为27，则M 到椭圆上方准线的距离是________.【解析】 ∵a 2＝16，a ＝4，b 2＝9，b ＝3，∴c 2＝7，c ＝7. ∴e ＝c a ＝74，设所求距离为d ，则MF d ＝74， ∴d ＝2774＝8.【答案】 88.已知椭圆x 2a＋y 2＝1(a ＞0)的一条准线与抛物线y 2＝－10x 的准线重合，则椭圆的离心率为________.【导学号：24830057】【解析】 抛物线y 2＝－10x 的准线方程是x ＝52.由题意知，椭圆x 2a2＋y 2＝1的一条准线方程为x ＝52，即右准线方程为x ＝52，故a 2c ＝52，∴a 2＝52c ，∵b ＝1，∴c 2＋1＝52c ，解得c 1＝2，c 2＝12.当c ＝2时，a 2＝52c ＝5，a ＝5，∴e ＝255；当c ＝12时，a 2＝52c ＝54，a ＝52，∴e ＝52.【答案】52或255 二、解答题9.已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上一点，F 1、F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标.【解】 设点P 的坐标为(x ，y ). ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.∴e ＝35，准线方程为x ＝±253.由圆锥曲线的统一定义知PF 1＝ed 1＝35⎝⎛⎭⎪⎫x ＋253＝35x ＋5，PF 2＝ed 2＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫253－x ＝5－35x .∵PF 1∶PF 2＝2∶1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋5∶⎝ ⎛⎭⎪⎫5－35x ＝2∶1，解得x ＝259，代入椭圆的方程得y ＝±8914.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫259，8914或⎝ ⎛⎭⎪⎫259，－8914.10.求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程得x ＝3，离心率为53的椭圆方程.【解】 方法一：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0). 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝3，c a ＝53，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，c ＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝209. ∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1. 方法二：设M 为椭圆上任意一点，其坐标为(x ，y ). 由法一知，准线x ＝3对应的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0. 由圆锥曲线的统一定义得MFd ＝53. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2|3－x |＝53，化简得4x 2＋9y 2＝20. ∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1. [能力提升]1.已知点M (x ，y )满足 x －1 2＋y 2＝12|x －3|， 则M 点的轨迹是________. 【解析】 由题意得 x －1 ＋y 2|x －3|＝12，所以M 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之比为定值12，∴M 的轨迹是椭圆. 【答案】 椭圆 2.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为________.【解析】 由题意得2m ＝3＋1，m ＝2，故椭圆的方程是x 24＋y 23＝1，该椭圆的离心率是12，设点P 到右准线的距离等于d ，由圆锥曲线的统一定义得1d ＝12，d ＝2，即点P 到右准线的距离等于2.【答案】 23.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为________.【解析】 ∵A (1,2)在椭圆上，∴1a 2＋4b 2＝1， ∴b 2＝4a 2a 2－1，则中心到准线距离a 2c 的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝a 4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 4－a 2a 2－5. 令a 2－5＝t ＞0，f (t )＝ t ＋5 2－ t ＋5 t ＝t ＋20t＋9≥9＋4 5. 当且仅当t ＝20t时取“＝”， ∴a 2c ≥9＋45＝5＋2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c min ＝5＋2. 【答案】 5＋2 4.已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点. (1)求MA ＋MB 的最大值和最小值.(2)求MB ＋54MA 的最小值. 【解】 (1)由x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4. ∴点A (4,0)为椭圆的右焦点，则其左焦点为F (－4,0).又∵MA ＋MF ＝2a ＝10，∴MA ＋MB ＝10－MF ＋MB .∵|MB －MF |≤BF ＝ －4－2 2＋ 0－2 2＝210，∴－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210.即MA ＋MB 的最大值为10＋210，最小值为10－210.(2)由题意椭圆的右准线为x ＝254，设M 到右准线的距离为MN ，由椭圆的统一定义知MA MN ＝e ＝45，∴54MA ＝MN ，MB ＋54MA ＝MB ＋MN ，易知 当B ，M ，N 共线时，MB ＋MN 最小，最小值为254－2＝174，此时M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫553，2.。