常用逻辑用语1109

常用逻辑用语知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等. （2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”.③“非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。

可以类比于集合中“或”.（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论.知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定.知识点三：充分条件与必要条件1. 定义：对于“若p 则q ”形式的命题：从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件p 与结论q 之间的关系． ①若p q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若pq ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；③若q p ⇒且p ≠>q ，则p 是q 成立的必要不充分条件； ④若既有pq ，又有qp ，记作pq ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）；⑤若p ≠>q 且q ≠>p ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件．从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断p 、q 相应的集合关系．建立与p 、q 相应的集合，即(){:p A x p x =成立}，(){:q B x q x =成立}．若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 成立的充分不必要条件；若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 成立的必要不充分条件；若A B =，则p 是q 成立的充要条件；若A ⊆/B 且B ⊇/A ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件． 2. 理解：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”、“有且仅有”、“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，比如A B可判断为A B；A=B可判断为A B，且B A，即A B.如图：“”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件.知识点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．（4）重点讲解逆否命题：由于互为逆否命题的两个命题真假性一致，所以命题真假性不好判断的 时候，可以判断与它互为逆否命题的题目的真假性。

（①原命题和它的逆否命题；②原命题的否命题和原命题的逆命题“互为逆否命题”） （5）注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否定（①“原词语”的否定是“否定词语”②“否定词语”的否定是“原词语”）二、充分条件与必要条件1.定义：如果“若p 则q ”为真，记为p q ⇒，如果“若p 则q ”为假，记为q p ⇒/.1.⎩⎨⎧⇒⇒的必要条件q 是p 的充分条件，p 是q ，则p q 若2.的必要条件p 是q 的充分条件，q 是p ，则q p 1.若 件件”，后是前的必要条后；前是后的“充分条前⇒2.⎩⎨⎧⇒/⇒/的必要条件q 不是p 的充分条件，p 则q不是的必要条件p 不是q 的充分条件，q 不是p 则若，若，p q q p3．若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件． 4.若q p ⇒/，且p q ⇒/，则p 、q 互为既不充分也不必要条件．天道酬勤2.q p ,四种关系（1）充分但不必要条件 定义：若q p ⇒，但p q ⇒/，则p 是q 的充分但不必要条件；（2）必要但不充分条件定义：若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的必要但不充分条件（3）充要条件 定义：若q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；（4）既不充分也不必要条件定义：若q p ⇒/，且p q ⇒/，则p 、q 互为既不充分也不必要条件．三、简单的逻辑联结词(1) 命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作p ∧q ，读作“p 且q ”． ②用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作p ∨q ，读作“p 或q ”．③对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p ”或“p 的否定”． (2)简单复合命题的真值表：*p ∧q ： p 、q 有一假为假，四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示． 2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立” 可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立” 可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定⎩⎨⎧≠≠==≠≠==⌝⌝⌝⌝4)x 3x 4x 3x q 或p “ 的否定：” q p 且4)x 3x 4x 3x .q 且p “ 的否定：” q 或p 或的否定为“且”（“且的否定为“或（”“ ◎“或”否定是“且”；“且”否定是“或”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念， 命题的否定：只否定结论；否命题：全否（条件否，结论否）对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 的结论，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q如命题P:“若9≥x ,则1>x ”①否命题为“若9<x ,则1≤x ”②否定（⌝p ）：“若9≥x ,则1≤x ”。

常用逻辑用语讲义)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March常用逻辑用语1.四种命题的形式（1）原命题：若p ，则q （2）逆命题：若q ，则p （3）否命题：若p ⌝，则q ⌝ （4）逆否命题：若q ⌝，则p ⌝2.四种命题之间的相互关系3.四种命题的真假关系（1）互为逆否的两个命题具有相同的真假性.（2）互逆或互否的两个命题真假性没有关系.4.充分条件与必要条件的判断方法（I ）定义法①若p q ,q p ⇒⇒，则说p 是q 的充分不必要条件 ②若q p ,p q ⇒⇒，则说p 是q 的必要不充分条件 ③若p q ,q p ⇒⇒，则说p 是q 的充分必要条件 ④若p q ,q p ⇒⇒，则说p 是q 的既不充分也不必要条件（II ）集合法对于集合}q x |x {B },p x |x {A 满足条件满足条件==， 则①若B A ≠⊂，则说p 是q 的充分不必要条件②若A B ≠⊂，则说p 是q 的必要不充分条件 ③若B A =，则说p 是q 的充分必要条件④若A 与B 无包含关系，则说p 是q 的既不充分也不必要条件归纳总结：小范围可推出大范围， 大范围不能推出小范围 . 小范围是大范围的充分不必要条件， 大范围是小范围的必要不充分条件.(III)等价转换法把判断“p 是q 的什么条件”转化为判断“q ⌝ 是p ⌝的什么条件”(正难则反），这种方法特别适合以否定形式给出的命题.5.复合命题"p ","q p ","q p "⌝∧∨ 的真假性判断（1）当q ,p 中有一个为真时，则q p ∨为真；当q ,p 中有一个为假时，则q p ∧为假.（2）p 与p ⌝的真假性相反.6.全称命题与特称命题（1）全称命题的否定是特称命题 ； （2）特称命题的否定是全称命题基础巩固：1.下列命题中的真命题为( )(A)若1x =1y ,则x=y (B)若x 2=1,则x=1 (C)若x=y, (D)若x<y,则x 2<y 22.命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( ) (A)若α≠π4,则tan α≠1 (B)若α=π4,则tan α≠1 (C)若tan α≠1,则α≠π4 (D)若tan α≠1,则α=π43.(1)命题“若x>1,则x>0”的否命题是( )(A)若x>1,则x ≤0 (B)若x ≤1,则x>0 (C)若x ≤1,则x ≤0 (D)若x<1,则x<0(2)命题“已知c>0,若a>b,则ac>bc ”的逆命题是________________________________.4.有以下命题:①“若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m ≤1,则x 2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A ∩B=B,则A ⊆B ”的逆否命题. 其中真命题为( )(A)①② (B)②③ (C)④ (D)①②③ 5.设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P 在直线l:x+y-1=0上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.“2x >”是“0)1x (log 2>+”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若p:x ≠1或y ≠2;q:x+y ≠3,则p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件8.已知p:3x 1<<,q:02x 3x 2<+-,则 p ⌝是q ⌝的_____________条件.9.设命题p:函数y=sin 2x 的最小正周期为π2;命题q:函数y=cos x 的图象关于直线x=π2对称.则下列判断正确的是( )(A)p 为真 (B)⌝q 为假 (C)p ∧q 为假 (D)p ∨q 为真10. 若命题“p且q”为假,有“⌝p”为假,则( )(A)“p或q”为假 (B)q假 (C)q真 (D)p假11.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( )(A)对任意x∈R,都有x2<0 (B)不存在x∈R,使得x2<0(C)存在x0∈R,使得20x≥0 (D)存在x0∈R,使得20x<012.若“m≤a”是“方程x2+x+m=0有实数根”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是_____________.13.(1)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .(2)不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是13<x<12,则m的取值范围是___________.14.若“∃x∈R,x2-ax+1≤0”为假命题,则a的取值范围为______________.例题讲解例1设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.变式训练：已知:p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且⌝p是⌝q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.例2已知c>0,且c≠1,设p:函数y=c x在R上单调递减;q:函数f(x)=x2-2cx+1在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数c的取值范围.变式训练：已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真命题，p且q为假命题，求m的取值范围．课后作业：1.命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0 B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0 D．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝02.已知p：a<0，q：a2>a，则p是q的_________________条件．3.“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的_______________条件.4. 已知p：∀x∈R，cos x≥1，则﹁p是__________________________.5．命题p：∀x∈R，3x>x，命题q：若函数y＝f(x－3)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像关于点(3，0)成中心对称，下列说法错误的是( )A．p∨q为真命题 B．p∧q为真命题 C． q为真命题 D．﹁p 为假命题6.已知命题:“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题,则a的取值范围是.。

第一章常用逻辑用语
§1.1命题及其关系
一、命题
1.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，
其中判断为真的语句叫做真命题，
判断为假的语句叫做假命题。

2.“若p，则q”
P—条件
q—结论
§1.2充分条件与必要条件
一、充分和必要条件
1．“若p，则q”为真命题，叫做由p推出q，
记作p=>q，并且说p是q的充分条件，
q是p的必要条件。

2．“若p，则q”为假命题，叫做由p推不出q，
记作p≠>q，并且说p不是q的充分条件（或p是q的非充分条件），
q不是p的必要条件(或q是p的非必要条件）。

二、充要条件
如果既有p=>q，又有q=>p，
就记作p<=>q，并且说p是q的充分必要条件（或q是p的充分必要条件），
简称充要条件。

§1.4全称量词与存在量词
一、全称量词
在语句中含有短语“所有”、“每一个”、“任何一个”、“任意一个”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词。

含有全称量词的命题叫作全称命题。

对M中任意的x，有p(x)成立，记作∀x∈M，p(x)
二、存在量词
短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词。

含有存在量词的命题叫作特称命题。

存在M中的一个x，使p(x)成立”。

记作∃ x∈M，p(x)。

常用逻辑用语知识总结1.复合命题真假的判断。

“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。

如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。

其中正确的是__________（答：⑴⑶）2.四种命题及其相互关系。

若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若﹁p 则﹁q ” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。

提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。

（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为（答：在ABC ∆中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。

3.充要条件。

关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

如（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。

第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1．命题的定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。

判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2．命题的结构：“若p ，则q ”，p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

3．四种命题：用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p ，则q ； 等价说法：如果p ，那么q ；只要p ，就有q逆命题： 交换原命题的条件和结论否命题： 同时否定原命题的条件和结论逆否命题： 交换原命题的条件和结论，同时进行否定4．四种命题之间的关系由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的 ；（要证明某命题，证其逆否命题）（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 。

5．反证法：原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困 难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。

用反证法证明的步骤如下：（1）假设结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从结论反面成立出发，经过推理论证得出矛盾（与题目所给条件或公理定理等）；（3）由矛盾判定假设不正确，即结论成立。

特别注意：①否命题与命题的否定是不相同的，若p 表示命题，“非p ”叫做命题的否定。

如果原命题是“若p 则q ”，否命题是“若¬p ，则¬q ”，而命题的否定是“p 则¬q ”，即只否定结论。

②反证法常用于证明如下形式的问题：否定性问题、存在性问题、唯一性问题，至多、至少问题，结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握的问题。

③常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）：正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 有 是 都是 全是 否定词语 不等于（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 无 不是 不都是 不全是 正面词语 任意的 任意两个 至少有一个 至多有一个 所有的至多有n 个 或 否定词语某个 某两个 一个也没有 至少有两个 某些 至少有1+n 且互否 为逆 为逆 互 否 互否 互 否 互 逆 原命题若p 则q 互 逆逆命题 若q 则p 逆否命题 若¬q 则¬p逆否命题若¬q 则¬p个例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。

常用逻辑用语(讲义)1.下面是常用逻辑用语的总结：1.四种命题的形式：1) 原命题：若 p，则 q2) 逆命题：若 q，则 p3) 否命题：若 p，则 ~q~4) 逆否命题：若 ~q~。

则 ~p~2.四种命题之间的相互关系：互为逆否的两个命题具有相同的真假性；互逆或互否的两个命题真假性没有关系。

3.四种命题的真假关系：1) 互为逆否的两个命题具有相同的真假性。

2) 互逆或互否的两个命题真假性没有关系。

4.充分条件与必要条件的判断方法：I) 定义法：①若p→q，q→p，则说 p 是 q 的充分不必要条件；②若q→p，p→q，则说 p 是 q 的必要不充分条件；③若p→q，q→p，则说 p 是 q 的充分必要条件；④若p→q，q→p，则说 p 是 q 的既不充分也不必要条件。

II) 集合法：对于集合 A={x|x满足条件 p}，B={x|x满足条件 q}，则：①若 A⊂B，则说 p 是 q 的充分不必要条件，p 是 q 的必要不充分条件；②若 B⊂A，则说 q 是 p 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件；③若 A=B，则说 p 是 q 的充分必要条件；④若 A 与 B 无包含关系，则说 p 是 q 的既不充分也不必要条件。

III) 等价转换法：把判断“p 是 q 的什么条件”转化为判断“ ~q~ 是 ~p~ 的什么条件”。

这种方法特别适合以否定形式给出的命题。

5.复合命题：p∨~q 是 ~p 的什么条件”（正难则反），q，p∧q，~p 的真假性判断。

1) 当 p,q 中有一个为真时，则 p∨q 为真；当 p,q 中有一个为假时，则 p∧q 为假。

2) p 与 ~p 的真假性相反。

6.全称命题与特称命题：1) 全称命题的否定是特称命题；2) 特称命题的否定是全称命题。

基础巩固：1.下列命题中的真命题为 (C)。

2(A) 若 x=y，则 x=y；(B) 若 x=1，则 x=1；(C) 若 x=y，则 x=y；(D) 若 x<y，则 x<y。