高二数学《椭圆的标准方程》PPT课件

步骤五：化简方程 因为a2(a2－c2) ≠0，所以两边同除以 a2(a2－c2)得： 2 x y2 2 2 1， 2
a a c
又因为a2－c2＞0，所以可设a2－c2＝ b2(b＞0)，于是得：
x y 2 1(a b 0) ． 2 a b
2 2
结论形成
y
1.焦点在x轴
2. 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，
4 2 点P到两个焦点的距离分别是 5和 5， 3 3 过点P作焦点所在直线的垂线恰好过椭圆 的一个焦点, 求此椭圆的标准方程。
1 3. 已知椭圆经过两点A(0,2)和B( , 3 ), 2 求此椭圆的标准方程。
4. 已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆， 它的焦距为2m，外轮廓线上一点到两个焦点 的距离之和为4m，求这个椭圆的标准方程。
F1 o F2
一.椭圆的标准方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2 2
x
2.焦点在y轴
y F2
o
F1
x
y x 2 1 (a b 0) 2 a b
2
2
练习
x y 1.椭圆 1的焦点在 4 9 两焦点的坐标分别为 ，
2 2
2
2
上， 。
2.椭圆9 x 16 y 144的焦点在 两焦点的坐标分别为
2 2 2 2
建立直角坐标系
列等式 代坐标
设坐标
化简方程
根据已知条件求椭圆的标准方程： (1)确定焦点所在的位置，选择 标准方程的形式； (2)求解a，b的值，写出椭圆的 标准方程．
P F1 F2
设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2， 它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点 P到F1，F2 的距离的和为2a(2a>2c)．
步骤一：建立直角坐标系 以F1，F2所在直 y 线为x轴，线段F1F2 的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系xOy， F1 O 则F1，F2的坐标分别 为(－c，0)，(c， 0)．
如能需要什么条件？
3 形如Ax
2
By C中，只有A,B,C同号且A B时
2
才能表示椭圆。
常设椭圆方程为Ax By 1，A,B均应大于0.
2 2
例题
确定椭圆的焦点位置
x2 y2 1. 已知方程 1表示焦点在y轴上的椭圆， m5 9m 则m的范围是 x y 2. 已知方程 1表示椭圆， m5 9m 则m的范围是
利用直接法和待定系数法求椭圆方程的步骤：
注意：
2
定类型 列方程 求系数a, b
5.将圆x y 4上的点的横坐标保持不变，
2
纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程， 并说明它是什么曲线。
回 顾
椭圆的标准方程：
x y y x 2 1(a b 0) 2 2 1(a b 0) 2 a b a b 方程建立的过程：
借助于椭圆的标准方程，我们就可以 回答上述问题。那么怎样建立椭圆的方程呢？

椭 圆 的 标 准 方 程
思考：如何建立椭圆的方程？
1.建系 建立适当的直角坐标系 2.设点 设出曲线上任意一点的 坐标
等量关系 ★3.找等量关系 曲线上任意一点满足的 4.坐标化 代入点的坐标 度 5.化简 把曲线方程化到最简程
P F2 x
步骤二：设动点坐标
设椭圆上任意一点P的坐标为(x，y) ，
步骤三：列等式
根据椭圆定义知：PF1＋PF2＝2a，
步骤四：代入坐标 即： ( x c ) y ( x c ) y 2a ．
2 2 2 2
步骤五：化简方程 移项得： ( x c ) 2 y 2 2a ( x c ) 2 y 2 ， 两边平方得：
复习：
平面内到两个定点F1，F2的距离 的和等于常数 ( 大于F1F2 )的点的轨 迹——椭圆 两个定点F1，F2——椭圆的焦点 两焦点间的距离——椭圆的焦距
椭圆？
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线 的形状像椭圆．
椭圆？ 将一个圆进行均匀 压缩变形后，所得 的图形也像椭圆．
问题：它们是不是数学概念上 的椭圆？怎样来检验所 得的曲线是不是椭圆？
2 2
3.椭圆5 x 2 ky2 5的一个焦点是（ ， 02 ），则k
求椭圆的标准方程 练习 求适合下列条件的椭圆 的标准方程 1.a 4, b 3, 焦点在x轴上； 2.b 1, c 15 , 焦点在 y轴上
1. 已知椭圆的两个焦点分别是F1 (2,0), F2 (2,0), 5 3 且过点P( , )，求椭圆的标准方程。 2 2
2 2
上，
， 。
上，
x y 3.椭圆 2 2 1的焦点在 m m 1 两焦点坐标分别为 ， 。
说 明
（1）与方程有关的三个数a，b，c中， a为最大，且满足b2＝a2－c2． （2）椭圆的焦点位置可由方程中x2与 y2的分母的大小来确定，焦点在分母 大的项所对应的坐标轴上． 2 2 形如Ax By C的方程能否表示椭圆？ 思考：
( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2，
整理得： 2 cx a ( x c ) 2 y 2． a 两边再平方得：
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．