北师大选修2-2 1.3 反证法

学数学常用的解题方法数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。

教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。

下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。

1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

北师大版教材（选修2－2）与人教A 版教材（选修2－2）对比研究一、对比内容按必修、选修模块顺序，逐一对比。

内容包括章节内容（可按章节细化成知识点进行对比，如集合，二次函数，指数函数，对数函数…）语言描述、符号表达等方面的区别 二、具体情况 模块 北师大教材人教A 版教材选修2-2共有五章，第一章 推理与证明；第二章 变化率与导数；第三章 导数应用；第四章 定积分；第五章 数系的扩充与复数的引入；（2）章节最后有一个探究活动及三个附录；（3）章节前面有一引言或图画且小目录在后，更细。

（1）共有三章，第一章 导数及其应用；第二章 推理与证明；第三章 数系的扩充与复数的引入；（2）章节前给出本书部分数学符号；（3）章节前面有一引言或图画且小目录在前。

本书部分数学符号 图的标注 图1-2图1.1-1目录§1变化的快慢与变化率 §2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 §3 计算导数§4导数的四则运算4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 §5简单复合函数的求导法则 1.1变化率与导数 1.1.1变化率问题 1.1.2导数的概念 1.1.3导数的几何意义 1.2导数的计算1.2.1几个常见函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则平均变化率平均变化率（average rate of change ）x ∆称作自变量的改变量x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”瞬时速度瞬时速度（instantaneous velocity ）导数的概念设函数)(x f y =，当自变量x 从0x 变到1x 时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101，当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(x f y =在0x 点的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数)(x f y =在0x 点的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→)()(lim )()(lim)(0000101001一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x y x x x ∆-∆+=∆∆→∆→)()(limlim00001，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数（derivative ），记作)(0x f '或0x x y ='，即xx f x x f x yx f x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→)()(limlim)(000001信息技术应用：用割线逼近切线导函数的概念通过例题求一个函数多点处的导数抽象概括出导函数的概念：一般地，如果一个函数)(x f 在区间),(b a 上的每一点x 处都有导数，导数值记为)(x f '：xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(000，则)(x f '是关于x 的函数，称)(x f '为)(x f 的导函数，通常也简称为导数。

习题课（一） 推理与证明1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：选B 求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ，所以S 7＝2×72－7＝91.答案：918．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N ＋)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(2k ＋2)；当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋2k ，其差为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.答案：3k ＋29．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和310．已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |.证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |，即证(x ＋y )2≤(1＋xy )2，即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2，即证(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，|y |≤1，所以x 2－1≤0,1－y 2≥0，所以(x 2－1)(1－y 2)≤0，不等式得证．11．设函数f (x )＝e x ln x ＋2e x －1x ，证明：f (x )>1.证明：由题意知f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e. 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1 e.综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.12．各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1a1＋1a2＋…＋1a n≤2n－1对一切n∈N＋恒成立．解：(1)∵a2n＋1－a2n＝2，∴数列{a2n}为首项为1，公差为2的等差数列，∴a2n＝1＋(n－1)·2＝2n－1，又a n>0，则a n＝2n－1.(2)证明：由(1)知，即证1＋13＋…＋12n－1≤2n－1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立．当n＝2时，左边<右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋13＋…＋12k－1≤2k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋13＋…＋12k－1＋12k＋1≤2k－1＋12k＋1<2k－1＋22k＋1＋2k－1＝2k－1＋2(2k＋1－2k－1)2＝2k＋1＝2(k＋1)－1.所以当n＝k＋1时不等式成立．由①②知对一切n∈N＋不等式恒成立．由Ruize收集整理。

反证法说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是“反证法”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“反证法”是高中数学选修 2-2 第一章“推理与证明”中的重要内容。

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

反证法作为一种间接证明的方法，不仅在数学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和创新能力也具有重要的意义。

本节课是在学生已经学习了综合法和分析法这两种直接证明方法的基础上，进一步学习反证法这种间接证明方法。

通过本节课的学习，学生将完善证明方法的体系，提高逻辑推理能力。

二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一定的逻辑推理基础，对于综合法和分析法有了一定的了解和运用。

但是，反证法这种思维方式对于学生来说可能较为陌生，需要通过具体的例子和引导，帮助学生理解和掌握。

此外，学生在学习过程中可能会遇到思维上的障碍，比如如何正确地提出反设，如何进行推理得出矛盾等。

因此，在教学过程中要注重启发引导，让学生积极参与思考和讨论。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤。

（2）能够运用反证法证明一些简单的命题。

2、过程与方法目标（1）通过对反证法的探究，培养学生的观察、分析、归纳和推理能力。

（2）让学生经历“提出问题分析问题解决问题”的过程，体会反证法的思维方式。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识。

四、教学重难点1、教学重点（1）理解反证法的概念和思维过程。

（2）掌握反证法的证明步骤，并能运用反证法证明简单命题。

2、教学难点（1）如何正确地提出反设。

（2）如何通过推理得出矛盾。

五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，启发学生的思维。