北师大高中数学选修1-2 反证法

《反证法》教学设计一1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。

6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

上，都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) .例1、已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=. 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．例2、求证：2不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。

例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设； （2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例１ 已知函数()f x 对其定义域内的任意两个实数a b ，，当a b <时，都有()()f a f b <．求证：至多有一个实数x 使得()0f x =．证明：假设存在两个不等实数12x x ，，使得12()()0f x f x ==．()* 不妨设12x x <，由条件可知12()()f x f x <，与()*式矛盾．故至多有一个实数x 使得()0f x =．二、证明“不可能”问题例2 给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a-=∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．证明：假设函数图象上存在两点12M M ，，使得直线12M M 平行于x 轴． 设111222()()M x y M x y ，，，且12x x ≠．由120M M k =，得212121212121111110(1)(1)x x y y ax ax a x x x x ax ax -------===----，解得1a =．与已知1a ≠矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴.例3 双曲线1xy =的两支为12C C ，，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．求证：P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．证明：假设正三角形的三顶点P Q R ，，位于双曲线同一支如1C 上，其坐标分别为112233()()()x y x y x y ，，，，，，不妨设1230x x x <<<，则一定有1230y y y >>>． 于是222PQ QR PR ++22222122313122313[()()()][()()()]x x x x x x y y y y y y =-+---+-+--- 21232122()()2()()0x x x x y y y y --+--<． 因此，222PQ QR PR +<．这说明PQR △是钝角三角形，与PQR △为正三角形矛盾．故P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4 已知函数2()f x ax bx c =++的图象过点(10)-，．问是否存在常数a b c ，，，使不等式21()(1)2x f x x +≤≤对一切实数x 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在符合条件的a b c ，，． ()f x ∵的图象过(10)-，， (1)0f -=∴，即0a b c -+=．又21()(1)2x f x x +∵≤≤对一切实数都成立， 令1x =，则211(11)12a b c +++=≤≤． 1a b c ++=∴，12b =∴，12a c +=．211()22f x ax a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∴．由2()1()(1)2f x x f x x ⎧⎪⎨+⎪⎩，，≥≤得221102211022ax x a a x x a ⎧⎛⎫-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，①．②≥≤ 据题意，对于任意实数x ，①与②都成立．对于①，若0a =，则1x ≤，不合题意；若0a >，欲使①的解集为R ，则需00a >⎧⎨⎩∆，，≤即0114042a a a >⎧⎪⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩，．≤解得14a =． 对于14a =，再考虑②，把14a =代入②，得2210x x -+≥，其解集为R ． 所以，存在满足条件的abc ，，，其中1142a cb ===，．。

(一)用反证法证明数学命题的一般步骤(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；(2)归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立．（二）反证法得出的矛盾反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；(4)与简单的、显然的事实矛盾．（三）注意事项(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如1．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．2．适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．3．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C)①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论A．①② B．①②④C．①②③ D．②③2．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.其中顺序正确的是(C)A．①②③ B．①③②C．③①② D．③②①解析：根据反证法的步骤，容易知道选C.3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC 内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设________和________两类．解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP BAP＞∠CAP4．求证：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，且n>1)．证明：假设na不大于nb，则na＝nb，或na＜nb当na＝nb时，则有a＝b.这与a＞b＞0相矛盾．当na＜nb时，则有a＜b，这也与a＞b相矛盾．所以na＞nb.。

北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。

提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。

二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。

常用的直接证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

反证法反证法，可以说是一个难点。

因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章。

而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限，从而不能深刻或正确理解反证法思想。

其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用。

下面这两则故事，对于我们正确理解反证法很有帮助。

故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。

乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。

”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。

”实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。

风水先生当然不会承认这个事实了。

那么，显然，他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。

如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二。

故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。

一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动。

等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。

”这是很著名的“道旁苦李”的故事。

实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成象几何题目中的“已知、求证、证明”再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了。

至此，反证法的思路及步骤就一目了然了。

我们在以后运用反证法时，可对照此例。

则反证法可运用自如矣。

反证法就是证明命题的等价问题——逆否命题,从而间接地证明原命题正确。