北师大高中数学选修1-2 反证法

《反证法》教学设计一1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。

6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

上，都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) .例1、已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=. 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．例2、求证：2不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。

例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设； （2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例１ 已知函数()f x 对其定义域内的任意两个实数a b ，，当a b <时，都有()()f a f b <．求证：至多有一个实数x 使得()0f x =．证明：假设存在两个不等实数12x x ，，使得12()()0f x f x ==．()* 不妨设12x x <，由条件可知12()()f x f x <，与()*式矛盾．故至多有一个实数x 使得()0f x =．二、证明“不可能”问题例2 给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a-=∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．证明：假设函数图象上存在两点12M M ，，使得直线12M M 平行于x 轴． 设111222()()M x y M x y ，，，且12x x ≠．由120M M k =，得212121212121111110(1)(1)x x y y ax ax a x x x x ax ax -------===----，解得1a =．与已知1a ≠矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴.例3 双曲线1xy =的两支为12C C ，，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．求证：P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．证明：假设正三角形的三顶点P Q R ，，位于双曲线同一支如1C 上，其坐标分别为112233()()()x y x y x y ，，，，，，不妨设1230x x x <<<，则一定有1230y y y >>>． 于是222PQ QR PR ++22222122313122313[()()()][()()()]x x x x x x y y y y y y =-+---+-+--- 21232122()()2()()0x x x x y y y y --+--<． 因此，222PQ QR PR +<．这说明PQR △是钝角三角形，与PQR △为正三角形矛盾．故P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4 已知函数2()f x ax bx c =++的图象过点(10)-，．问是否存在常数a b c ，，，使不等式21()(1)2x f x x +≤≤对一切实数x 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在符合条件的a b c ，，． ()f x ∵的图象过(10)-，， (1)0f -=∴，即0a b c -+=．又21()(1)2x f x x +∵≤≤对一切实数都成立， 令1x =，则211(11)12a b c +++=≤≤． 1a b c ++=∴，12b =∴，12a c +=．211()22f x ax a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∴．由2()1()(1)2f x x f x x ⎧⎪⎨+⎪⎩，，≥≤得221102211022ax x a a x x a ⎧⎛⎫-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，①．②≥≤ 据题意，对于任意实数x ，①与②都成立．对于①，若0a =，则1x ≤，不合题意；若0a >，欲使①的解集为R ，则需00a >⎧⎨⎩∆，，≤即0114042a a a >⎧⎪⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩，．≤解得14a =． 对于14a =，再考虑②，把14a =代入②，得2210x x -+≥，其解集为R ． 所以，存在满足条件的abc ，，，其中1142a cb ===，．。

(一)用反证法证明数学命题的一般步骤(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；(2)归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立．（二）反证法得出的矛盾反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；(4)与简单的、显然的事实矛盾．（三）注意事项(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如1．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．2．适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．3．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C)①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论A．①② B．①②④C．①②③ D．②③2．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.其中顺序正确的是(C)A．①②③ B．①③②C．③①② D．③②①解析：根据反证法的步骤，容易知道选C.3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC 内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设________和________两类．解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP BAP＞∠CAP4．求证：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，且n>1)．证明：假设na不大于nb，则na＝nb，或na＜nb当na＝nb时，则有a＝b.这与a＞b＞0相矛盾．当na＜nb时，则有a＜b，这也与a＞b相矛盾．所以na＞nb.。

北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。

提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。

二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。

常用的直接证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

反证法反证法，可以说是一个难点。

因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章。

而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限，从而不能深刻或正确理解反证法思想。

其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用。

下面这两则故事，对于我们正确理解反证法很有帮助。

故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。

乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。

”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。

”实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。

风水先生当然不会承认这个事实了。

那么，显然，他说的就是谬论了。

这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。

如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二。

故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。

一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动。

等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。

”这是很著名的“道旁苦李”的故事。

实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成象几何题目中的“已知、求证、证明”再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了。

至此，反证法的思路及步骤就一目了然了。

我们在以后运用反证法时，可对照此例。

则反证法可运用自如矣。

反证法就是证明命题的等价问题——逆否命题,从而间接地证明原命题正确。

●三维目标1．知识与技能结合实例了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题．2．过程与方法使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识．3．情感、态度与价值观注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而发展学生的数学思维能力，提高思维品质．●重点难点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或己知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相矛盾的地方；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学法，让学生参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学生积极参与的热情，开发其论证推理能力的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下几点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出矛盾——得出结论．(2)提出反设的方式方法：引导学生弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬方法：在归谬过程中要注意假设条件的利用，通过例题分析总结归谬的方法技巧．(4)反证法的适用范围及对象：反证法一般适用于题目条件中含有量词“至多”“至少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．●教学流程创设问题情境，通过“道旁苦李”的故事，引导学生认识反证法，了解其特点、推理方式及应用范畴．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解反证法的证明格式、步骤、思维方式、证明思想等．引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，老师指导完善，并完成变式训练．学生分组探究例题2解法，总结反证法证明唯一性命题的反设方式及证明的方法，完成例题2变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，教师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？【提示】实质运用了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．【自主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n ，an ＋b 均为奇数． 又a ＋b 为偶数， ∴an －a 为奇数， 即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． ∴f (x )＝0无整数根．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．常见否定词语的否定形式如下表所示：已知非零实数a 、b 、c 成等差数列a ≠c ，求证：1a ，1b ，1c 不可能成等差数列． 【证明】 假设1a ，1b ，1c 成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac ， 又a 、b 、c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ， ∴b ＝a ＋c 2， ∴4a ＋c ＝a ＋cac ， ∴(a －c )2＝0，即a ＝c . 这与a ≠c 矛盾． 故假设错误，原命题正确.0，且f (x )在[a ，b ]上单调递增，求证：f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．【思路探究】 先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a ，b )内有零点，再用反证法证明零点唯一．【自主解答】 由于f (x )在[a ，b ]上的图象连续不断开，且f (a )＜0，f (b )＞0，即f (a )·f (b )＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0， 假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，即f (n )＝0， 则n ≠m .若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾； 若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．【证明】如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A 的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立.求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个小于2.【思路探究】明确“至少”的含义―→对结论作出假设―→得出矛盾．【自主解答】假设1＋xy，1＋yx都不小于2，即1＋xy≥2，1＋yx≥2.∵x＞0，y＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx 中至少有一个小于2.常见结论词与反设词列表如下：在本例中，若x，y>0且x＋y＝2，求证：1＋xy，1＋yx中至少有一个不小于2.【证明】假设1＋xy，1＋yx都小于2.则1＋x<2y,1＋y<2x，，那么2＋x＋y<2x＋2y，∴x＋y>2与已知x＋y＝2矛盾．所以假设不成立，原命题成立.利用反证法证题时，假设错误而致误已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c ＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0.【防范措施】用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．1．反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．2．反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．3．反证法的基本步骤是：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．1．用反证法证明“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”的假设内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a ＜3b C.3a ≤3bD ．3a ≥3b【解析】 “大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”． 【答案】 C2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为( )A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角【解析】 原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角． 【答案】 A3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．【解析】 ∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1. 【答案】 a ≠1或b ≠14．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根． 【证明】 ∵2x ＝3，∴x ＝32， ∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ②由①－②得2(x1－x2)＝0，∴x1＝x2，这与x1≠x2矛盾．故假设不正确，从而方程2x＝3有且仅有一个实根.一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【解析】由反证法的定义可知应选C.【答案】 C2．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【解析】三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．【答案】 B3．实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D.【答案】 D4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确【解析】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．【答案】 D5．下列命题不适合用反证法证明的是()A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1【解析】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．【答案】 C二、填空题6．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是______________．【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．【答案】 “三角形中最少有两个内角是直角”7．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．【解析】 “a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”【答案】 “a 、b 不全为0”8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角． ③假设△ABC 中有两个直角， 不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________． 【答案】 ③①② 三、解答题9．(2013·泰安高二检测)用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【解】 假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．10．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0. 【证明】 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0， 由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾， 故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0.11．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【解】 假设a ，b ，c 都不大于0， 即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0. 而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3， 因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数， (x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0， 所以a ＋b ＋c >0.这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a ，b ，c 中至少有一个大于0.(教师用书独具)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【思路探究】 第(1)问考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求解．第(2)问先假设任三项b p 、b q 、b r 成等比数列，再用反证法证明．【自主解答】 (1)设公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R.(1)若a＋b≥0，是否有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，是否有a＋b≥0?以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．【解】(1)若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立．证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0成立．证明：(反证法)假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，而f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．以上两式相加，得f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，所以假设错误，因此a＋b≥0.。

3.4 反证法学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.学习过程一、课前准备复习1：直接证明的两种方法: 和;复习2：是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※学习探究探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题.这种证明方法叫.试试：证明：5,2不可能成等差数列.,3反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→ 从假设出发，经推理论证得到矛盾→ 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.※典型例题例1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.变式：证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.※ 动手试试练1. 如果12x >,那么2210x x +-≠.练2. ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B <︒.三、总结提升※ 学习小结1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）.A ．假设三内角都不大于60︒B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至多有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c 不全为0等价于为（ ）.A ．,,a b c 均不为0B ．,,a b c 中至多有一个为0C ．,,a b c 中至少有一个为0D ．,,a b c 中至少有一个不为03.设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++（ ）.A ．都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .5. “4x >”是“240x x ->”的 条件.课后作业1. 已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x y y x ++中至少有一个小于2.2. .。

§4反证法课时过关·能力提升1.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”.其中正确的叙述有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①错,应为a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上.答案:B2.用反证法证明“如果a>b,那么假设的内容应是ABC且或解析:假设的内容应是结论的反面的否定是或故选.答案:D3.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.1在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛解析:将30秒跳绳成绩确定的学生,按其成绩从大到小,把他们的序号排列为3,6,7,10,1与5并列,4;由题意可知3,6,7号同时进入立定跳远和30秒跳绳的决赛.假设5号学生没有进入30秒跳绳决赛,则1号和4号学生也没有进入30秒跳绳决赛.这与“同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人”矛盾.故5号学生进入30秒跳绳决赛,故选B.答案:B4.已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数),且a>b,则两个数列中序号与数值均相同的项有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个2解析:假设两个数列中存在序号与数值均相等的项,即存在n0,使得则an0+2=bn0+1,即an0+1=bn0,则an0<bn0,∵n0∈N+,∴a<b,这与a>b矛盾.∴不存在n0,使得故选A.答案:A5.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:必要性显然.充分性:若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负数一个正数,不妨假设P<0,Q<0,R>0.∵P<0,Q<0,∴a+b<c,b+c<a,∴a+b+b+c<c+a,∴b<0,这与a,b,c是正数矛盾.故P,Q,R同时大于零.答案:C6.用反证法证明命题“若p1p2=2(q1+q2),则关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实数根”时,假设应为.答案:两个方程都没有实数根7.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.背面朝上,打乱后甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.3解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.答案:1和38.★设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)解析:若a则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出.若a=b=1,则a+b=2,故②推不出.若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出.若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出.对于③,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2.与a+b>2矛盾,因此假设不成立.故a,b中至少有一个大于1.答案:③9.求证:抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明如图,不妨设抛物线的方程为y2=ax(a>0),且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)是抛物线上不同的四点.若AD,BC的斜率均不存在,由抛物线的对称性知四边形ABCD为梯形,不是平行四边形.若AD,BC的斜率有一个不存在,则易知AD与BC不平行,故四边形ABCD不是平行四边形.4若AD,BC的斜率均存在,则k AB----同理k BC假设四边形ABCD是平行四边形,则k AB=k CD,k BC=k DA,从而得y1=y3,y2=y4,进而得x1=x3,x2=x4,于是A,C重合,B,D重合,这与A,B,C,D是抛物线上不同的四点相矛盾.故四边形ABCD不可能是平行四边形.10.已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于分析:本题结论中含有“至少”,结论情况比较多,可用反证法证明.证明假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2,出现矛盾,所以假设不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于11.★已知x,y,z∈R,x+y+z=1,x2+y2+z2求证分析:本题中的条件比较复杂,而结论比较简单,不太容易入手证明,可用反证法证明.证明由条件,得y+z=1-x,y2+z2≥则≥x25=x2-假设x,y,z中有负数,不妨设x<0,则x-这与-矛盾,∴x,y,z中没有负数.假设x,y,z中有一个大于不妨设x则x>0.-这与-矛盾.∴x,y,z中没有大于的.综上所述,x,y,z∈6。

反证法解题反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。

即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。

应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。

实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

Ⅰ、再现性题组：1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根2. 已知a<0,－1<b<0，那么a 、ab 、ab 2之间的大小关系是_____。

A. a>ab> ab 2B. ab 2>ab>aC. ab>a> ab 2D. ab> ab 2>a3. 已知α∩β＝l ，a α，b β，若a 、b 为异面直线，则_____。

A. a 、b 都与l 相交B. a 、b 中至少一条与l 相交C. a 、b 中至多有一条与l 相交D. a 、b 都与l 相交4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。

(97年全国理)A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A ；2小题：采用“特殊值法”，取a ＝－1、b ＝－0.5，选D ；3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B ；4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C 104－C 64×4－3－6,选D 。