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中职数学指数函数教案 (1)本节课的教学重点是让学生了解指数函数的概念和图像性质，并能简单应用指数函数的性质。
教学难点在于引导学生掌握指数函数的图像和性质，以及培养学生的动手能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力和简约直观的思维方法和良好的思维品质。
同时，教师还需要通过设问、追问、反问、分组讨论等主动参与教学的活动，培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能、主人翁意识和集体主义精神。
y=1/2^x，都是以底数为2的指数函数。
指数函数是一种函数，其自变量是指数，常数底数为正实数，函数值是底数的指数幂。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，x为实数。
二、指数爆炸：指数函数的特点是增长速度非常快，如2的指数爆炸就是2的指数函数，不断增长，增长速度极快。
当指数函数的底数大于1时，函数值随着自变量的增加呈指数增长，这种增长速度是非常快的。
而当底数小于1时，函数值随着自变量的增加呈指数衰减，这种衰减速度也是非常快的。
三、指数函数的应用：指数函数在科学领域中有着广泛的应用，如生物学、物理学、经济学等领域。
在生物学中，指数函数可以用来描述生物种群的增长；在物理学中，指数函数可以用来描述放射性物质的衰变；在经济学中，指数函数可以用来描述经济增长的速度等。
四、指数函数的图像：指数函数的图像呈现出一种特殊的形态，当底数大于1时，函数图像呈现出增长趋势；当底数小于1时，函数图像呈现出衰减趋势。
指数函数的图像在x轴的左侧是一个渐近线，而在x轴的右侧则是一个上升或下降的曲线。
设计意图：通过讲解指数函数的概念、特点、应用和图像，引导学生了解指数函数在实际生活中的应用和重要性，激发学生对数学的兴趣和研究动力，同时培养学生的归纳总结和图像分析能力。
学生回答：“指数函数的底数是常数，指数是自变量。
”老师点赞后，解释这正是本节课要研究的指数函数。
（多媒体显示出指数函数的概念）一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是实数集R。
函数一轮复习学案五（指数与指数函数）知识梳理一．指数的概念与分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果一个数的n 次方等于)1(*N n n a ∈>且,那么这个数叫做a 的n 次方根。
也就是说，若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1N n n ∈>且。
式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
2、根式的性质：（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示。
（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。
正负两个n 次方根能够合写为)0(>±a a n 。
此时，负数没有n 次方根。
（3）()a a nn=；（4）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n（5）零的任何次方根都是零。
3、分数指数幂的意义： （1）)1,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 且，；（2）)1,,0(1≥∈>=⨯-n N n m a aanm nm ，且4、指数的运算法则： （1）),,0(Q s Q r a aa a sr sr∈∈>=⋅+；（2））（Q s Q r a a a a sr sr∈∈>=÷-,,0 （3）()),,0(Q s Q r a a a rs sr∈∈>=；（4）()),,0(Q s Q r a a a ab sr r∈∈>⋅=二．指数函数的图像和性质1、指数函数的概念：一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量， 的定义域是R 。
3、深化：（1）指数函数的定义必须符合xa y =才能够，如函数xy 32⨯=不是指数函数。
第七单元4.2《指数函数》教案
1.2x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 其中指数x 是自变量，定义域是x +∈N .
情境2细胞每分裂 1 次其数量变为原来的两倍, 则每次分裂后的细胞数量见表 4-1
如果设细胞分裂的次数为 x , 对应分裂后的细胞数量为 y , 那么 y 与 x 的函数关系是2x y =. ② 其中指数 x 是自变量, 定义域是x +∈N .
二、知识学习
如果用字母a 代替上述 ①②两式中的底数
12和2, 那么函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
和2x y =就可以表示为x y a =的形式, 其中指数 x 是自变量, 底数a 是一个大于 0 且不等于1 的常量 .
一般地, 形如x y a =(0,1a a >≠且)的函数叫作指数函数, 其中指数x 是自变量, 定义域是 R.
三、例题讲解
例1 判断下列函数中，哪些函数是指数函数？
（1）31x y =-；
（2）35x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （3）3y x =.
解 第（1）小题错误，因为3x 后面多了常数1-；
.。
指数函数（一）四川武胜飞龙中学 （638402） 何成宝教学目标：知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用.能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法 ，增强识图用图的能力. 情感目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质.教学重点：指数函数的图象、性质及其简单运用.教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系. 教学方法：探究式教学法.教学手段：采用多媒体辅助教学.教学过程：一、创设情景，引出课题前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此基础上学习一类新的基本函数.问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。
我们来看一种球菌的分裂过程：动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------.一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的关系式是：x y 2=.问题2：某种机器设备每年按%6的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过x 年后，机器的价值为原来的y 倍，则y 与x 的关系为x y 94.0=.思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？共同点：变量x 与y 构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同.大家能给这样的函数起个名字吗？ （指数函数）这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数.（引出课题）二、探索研究(一)指数函数的概念：函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数.其中x 是自变量.函数的定义域为R . 在以前我们学过的函数中，一次函数用形如)0(≠+=k b kx y 的形式表示，反比例函数用形如)0(≠=k xk y 的形式表示，二次函数用)0(2≠++=a c bx ax y 的形式表示．这些函数对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值.思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？（1）若0<a ,例如当21,2=-=x a 时，2-无意义 （2）若0=a ，x=0时， 00无意义；的必要；（3）若1=a ，则11=x ,x a 是一个常量，也没有研究。
一阶微分方程指数函数指数函数在数学中是一类非常重要的函数，它的定义形式为f(x) = a^x，其中a是一个大于0且不等于1的常数。
指数函数具有很多独特的性质和特点，本文将从微分方程的角度出发，探讨指数函数的一阶微分方程。
我们来看指数函数的定义。
指数函数的底数a可以是任意正实数，但不能等于1。
指数函数的图像可以是递增或递减的曲线，其基本性质是在自变量x不断增大的过程中，函数值f(x)也在不断变化。
指数函数在数学和科学中有广泛的应用，例如在金融领域中的复利计算、物理学中的衰变过程等。
接下来，我们将探讨指数函数的微分方程。
一阶微分方程是指方程中最高阶导数只有一次的微分方程。
对于指数函数f(x) = a^x来说，它的一阶导数可以表示为f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)是底数a的自然对数。
因此，指数函数的微分方程可以表示为：dy/dx = a^x * ln(a)这个微分方程描述了指数函数在每个点x处的斜率，即函数曲线在该点的切线斜率。
通过求解这个微分方程，我们可以得到指数函数在不同点的切线斜率，从而了解函数的变化趋势。
下面，我们来看一个具体的例子，以指数函数f(x) = 2^x为例。
对于这个指数函数，它的微分方程可以表示为：dy/dx = 2^x * ln(2)我们可以通过求解这个微分方程来得到函数f(x) = 2^x在不同点的切线斜率。
首先，我们将微分方程改写为dy = 2^x * ln(2)dx。
然后，对方程两边同时积分，得到函数f(x)的原函数：∫dy = ∫2^x * ln(2)dx根据积分的性质，我们可以将2^x * ln(2)视为常数，得到：y = ∫2^x * ln(2)dx = ln(2) * ∫2^xdx进一步计算得到：y = ln(2) * (2^x) / ln(2) + C = 2^x + C其中C是常数。
这表示函数f(x) = 2^x在每个点x处的函数值与切线斜率之间存在着特定的关系。
指数函数等于1的条件
指数函数等于1，是指对每一个定义域上根号点，函数值都等于1。
若指数函数等于1，必须满足下列条件：
1、当指数函数具有定义域$R$时，只要其中一个根号点$x_0$满足
$f\left(x_0\right)=1$，则指数函数等于1；
2、当指数函数具有定义域$R\left[a,b\right]$时，必须满足区间内的所有根号点均满足函数值$f\left(x\right)=1$；
3、当指数函数具有定义域$\mathbb{Z}$时，必须满足整个定义域内的
所有根号点均满足函数值$f\left(x\right)=1$；
4、当指数函数具有定义域$Q$时，必须满足定义域内的所有根号点均
满足函数值$f\left(x\right)=1$；
5、当指数函数是一种特殊函数，具有定义域$Q_+$时，必须满足定义
域内的所有根号点均满足函数值$f\left(x\right)=1$。
以上就是指数函数等于1的条件。
指数函数（一）
教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章2.2.2 指数函数是在学生学习了函数的定义及其图象、性质，掌握了研究函数的一般思路，并将幂指数从整数扩充到实数范围的基础上，接触的第一个重要的基本初等函数，是《函数》一章的重要内容.本节内容分三课时完成，第一课时学习指数函数的概念、图象与性质；第二、三课时为指数函数性质的应用，本课为第一课时.
1．教学目标：
（１）知识与技能
掌握指数函数的概念、图象和性质；
能运用指数函数的单调性，比较两个指数式值的大小；
了解函数图象的平移变换.
（２）过程与方法
通过自主、合作探究，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，体会会数形结合、分类讨论、归纳转化等数学思想方法，发展学生的思维能力.（３）情感、态度与价值观
让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用. 2．教学重点、难点：
重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。
因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质.
难点： (1)对于a>1和0<a<1时函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚.因此，弄清楚底数a 对函数图象的影响是本节的难点之一；
(2)底数相同的两个函数图象间的关系.
3．教学方法与教学手段：
探究发现式教学法、多媒体辅助教学.
4．教学过程：
一、问题情境
激疑引趣：百万富翁与“指数爆炸” 小故事一则.
情境1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个……，这样的细胞分裂x 次后，求细胞个数y 与x 的函数关系式.
情境2：考古中利用14C 的衰减来测定古生物年代的例子.
二、学生活动
观察、对比、归纳：函数y =0.999879x 与函数y =2x 具有哪些相同特征？
得到：函数解析式都是指数形式，底数为定值且自变量在指数位置.（若用a 代换两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集则得到……）
三、建构数学
1.指数函数的定义
一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 叫做指数函数，函数的定义域是R . 学生活动：判断2
1)3(-、20-无意义，如果1=a ，11==x y ，没有研究的必要.说明为什么规定定义中10≠>a a 且.
问题1：指数函数解析式有什么特点? （学生通过完成练习1总结、归纳）
x a 的前的系数是1 ;指数必须是单个x ;底数a >0，且a ≠1.
练习1：下列哪些是指数函数？
(1) 2x y = （2） x y 2= (3) x y -=2
(4) x y 32⋅= (5) x y 32= (6) 13+=x y
练习2: 已知函数y =(a 2-3a +3).a x 是指数函数，求实数a 的取值.
（学生讨论、作答）
问题2：我们研究函数的性质，通常都研究哪些性质？又通常如何去研究？
学生口答：定义域，值域，单调性，奇偶性等.我们通常是根据图像来研究函数的相关性质的.
师追问：一般用什么方法得到函数的图象？
学生口答：描点法：列表、描点、作图.
2.指数函数图象与性质
指数函数的图象是怎样的呢？先看特殊例子（将同学们分两组用描点法分别画出下列函数的图象）
师生合作列表.
第一组：画出x y 2=，x y )21(=的图象；第二组：画出x y 3=，x y )3
1(=的图象.
（及时指导学生作图，然后播放作函数图象的动画，让学生比较与自己所画出来的有哪些异同点.）
学生观察、对比、归纳：作出的两组图象有何共同特征？当底数10<<a 和1>a 时图象有何区别？
根据指数函数的图象特征，由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质，完成下表：
引导探究：（1）在画图的过程中，你还发现指数函数的其他性质吗？
（2）函数x y 2=与x y 2
1(=的图象有怎样的关系？能得到更一般的结论吗？ （学生讨论、回答）
四、数学应用
1.例题
例1：比较下列各组数中两个值的大小：
（1） 2.5 3.21.5,1.5；（2） 1.2 1.50.5,0.5--；（3）0.3 1.21.5,0.8．
引导讨论：利用指数函数的单调性．
学生总结：比较指数幂大小的方法：构造指数函数，利用指数函数的单调性．
①“同底不同幂”型（包括可以化为同底的）；
②“既不同底也不同幂”型．
例2:(1)已知0.5
x≥，求实数x的取值范围；
33
(2)已知0.225
x<，求实数x的取值范围.
学生分析：利用指数函数的单调性.
引导总结:通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.
2.练习
教材第52页课后练习第2题，第4题.
五、回顾小结
本节课主要研究了指数函数的概念、图像与性质.体会了分类讨论、数形结合、归纳转化等数学思想.
六、课外作业
教材第52页课后练习第5题
习题2.2(2) 第2题、第3题、第4题
教学设计说明
高中数学新课程标准所渗透的基本理念之一是知识点的形成要经历“具体—抽象—具体”的过程，即概念是由具体的实例引入，形成概念，再次运用于实际问题或具体数学问题，它的应用性，实用性更明显的体现出来。
本节内容为数学发展中具有代表性的知识。
指数函数既是函数的深化，又是学习对数函数的必备，于是，我依据新课程标准、教材及教学要求，力求使学生通过本节内容的学习，在掌握知识的同时感受到数学的实用价值。
学数学重在培养学生的思维品质，但是如果让学生感到离我们的生活太远，那么很难激发他们的学习兴趣，所以，在教学中，我尽力抓住知识的本质，以实际问题引入新知识。
本课设计时有意识的选取了“指数爆炸”、“细胞分裂”、“指数函数在考古中的应用”等知识，让学生感受到生活中到处都有数学，要学会用数学的眼光观察世界，发现自然界的奥秘。
另外，对于学生来说所有的新知识都是陌生的，在大脑中没有形成基本的框架结构，需要老师的引导，使他们逐渐建立。
数学中任何知识的形成都体现出它的思想与方法，如何让学生领悟其中的思想，运用其中的方法去学习新的知识，是非常重要的。
正所谓“授人于鱼不如授人于渔”。
本节课的设计体现了“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。
在教学的每一个环节中均设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生解决问题的方式进行，让课堂活动变得生动而愉悦。
