2018届高三数学一轮复习： 第1章 第1节 课时分层训练1

第一章1.2 1.2.2第二课时 分段函数及映射课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( ) ①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ； ②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ； ③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.2．若A 为含三个元素的数集，B ＝{－1,3,5}，使得f ：x →2x －1是从A 到B 的映射，则A 等于( )A ．{－1,2,3}B ．{－1,0,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2}解析：选C 由映射的概念，A 中的元素在关系x →2x －1下，成为－1,3,5，则A ＝{0,2,3}．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f [f (3)]＝( )A.15B ．3C.23 D ．139解析：选D f (3)＝23，f [f (3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139. 4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2.若f (x )＝3，则x ＝( )A ．1B ．±3 C.32D ． 3解析：选D 若⎩⎨⎧ x ＋2＝3，x ≤－1，即⎩⎨⎧x ＝1，x ≤－1无解；若⎩⎨⎧ x 2＝3，－1＜x ＜2，⎩⎨⎧x ＝±3，－1＜x ＜2，所以x ＝ 3. 若⎩⎨⎧2x ＝3，x ≥2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，x ≥2无解．综上可知，x ＝ 3.5．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x ＝________.解析：由题意知，⎩⎨⎧ 5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－10.所以y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：107．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，x ＋1，x ≥2的值域是________．解析：当0≤x ≤1时，2x 2∈[0,2]；当x ≥2时，x ＋1≥3，所以函数f (x )的值域是[0,2]∪[3，＋∞)．答案：[0,2]∪[3，＋∞)8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元．则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 答案：139．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．解：∵当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ，f (0)＝c ，f (－1)＝(－1)2－b ＋c .∵f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎨⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－2.则f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1. 由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， ∴方程f (x )＝x 的解为－2,2.10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．解：当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4＜x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8＜x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4＜x ≤8，24－2x ，8＜x ≤12.‖层级二‖|应试能力达标|1．函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选C f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，分段画出，应选C.2．(2019·兰州高一检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：选B g (π)＝0，f [g (π)]＝f (0)＝0.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x ＜0}解析：选A 当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1， 所以0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x ＜0，综上，x ≤1.∴解集为{x |x ≤1}，故选A. 4.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自点O 开始移动．设线段OE ＝x ，过点E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D解法一：当x∈[0,2]时，直线OA：y＝12x，此时S＝12·x·⎝⎛⎭⎪⎫x2＝x24；当x∈(2,3]时，直线AB：y＝3－x，S＝12·3·1－12·(3－x)·(3－x)＝－x22＋3x－3；当x>3时，S＝32.对比图形特征易得D符合．解法二：显然当x＝2时，面积为1，排除A，B，注意到x∈[0,2]时，面积增速越来越快，排除C.5．(2019·聊城高一检测)若定义运算a⊙b＝⎩⎨⎧b，a≥b，a，a＜b，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意知f(x)＝⎩⎨⎧2－x，x≥1，x，x＜1.画出图象为由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]6．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2，－1≤x＜0，－12x，0＜x＜2，3，x≥2，则f⎩⎨⎧⎭⎬⎫f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝⎛⎭⎪⎫－34＝________.解析：∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12，而0<12<2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.答案：327．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则实数a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－348．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0＜12，且f (x 0)＝x 0＋12， 又12≤x 0＋12＜1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12∈B ，所以f [f (x 0)]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f [f (x 0)]∈A ， 所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0＜12， 所以14＜x 0＜12.由Ruize收集整理。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案 D2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．答案 A3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，则“m∥β”是“α∥β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析mα，m∥βα∥β，但mα，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．答案 B4．(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析显然a＝0时，f(x)＝sin x－1x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－1－x＋a＋sin x－1x＋a＝0.因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．答案 C5．下列结论错误的是() A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”解析C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－14，不能推出m>0.所以不是真命题．答案 C6．设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由|x－2|<1，得1<x<3，所以1<x<2⇒1<x<3；但1<x<31<x<2.所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件．答案 A7．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.答案 A8．(2017·汉中模拟)已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由ln a>ln b⇒a>b>0⇒a>b，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立．答案 B二、填空题9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案 210．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．解析cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．答案充分不必要11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ， ∴⎩⎨⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (0,3) 12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确． 答案 ②③能力提升题组 (建议用时：10分钟)13．(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若x >1且y >1，则x ＋y >2.所以p ⇒q ；反之x ＋y >2 x >1且y ＝1，例如x ＝3，y ＝0，所以qp .因此p 是q 的充分不必要条件． 答案 A14．(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，则m <1.由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<m <1.因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件． 答案 B 15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 解析A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴AB ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案 (2，＋∞)16．(2016·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号)．①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“任意x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“存在x 0∈R ，sin x 0>1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.解析 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误．对于②，命题：“任意x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“存在x 0∈R ，sin x 0>1”，故②正确．对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误．对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误． 答案 ②。

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课时分层提升练一集合(30分钟65分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列结论正确的是( )A.0∈N*B.0∈∅C.{0}⊆N*D.∅⊆N*【解析】选D.集合N*表示正整数集,∅中不含任何元素,所以A,B,C都不正确,∅是任何集合的子集,故D正确.2.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B= ( )A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)【解析】选A.因为A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},所以A∪B=.3.(2017·荆州模拟)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N等于( )A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2}【解析】选D.因为M={-2,0},N={0,2},所以M∪N={-2,0,2}.4.(2016·天津高考)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A ∩B= ( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}【解析】选D.因为A=,B=,所以A∩B=.【加固训练】已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},B为整数集,则A∩B= ( )A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1}【解析】选B.因为A={x|-1≤x≤2},B为整数集,所以A∩B={-1,0,1,2}.5.(2017·石家庄模拟)已知全集为R,集合A={x|x≥0},B={x|x2-6x+8≤0},则A∩(ðB)= ( )RA.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4}C.{x|0≤x<2或x>4}D.{x|0<x<2或x≥4}【解析】选C.因为B={x|2≤x≤4},所以A∩(ðB)={x|0≤x<2或x>4}.R6.(2017·广州模拟)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|-1<log2x<2},则A∩B= ( )A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{0,1}D.{1,2}【解析】选D.因为B=,所以A∩B={1,2}.【加固训练】(2017·临沂模拟)已知集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1},若A⊆B,则实数x的值为( )A.1或-1B.1C.-1D.2【解析】选A.验证法,当x=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=-1时,A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=2时,A={0,2},B={4,-4,1},不满足A⊆B.故选A.【一题多解】解答本题还可采用如下方法:选A.因为A⊆B,所以0∈B,因为x≠0,所以|x|-1=0,即x=±1,经验证,易知x=±1满足题意.7.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且ð(A∪UB)={4},B={1,2},则A∩ðB= ( )UA.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选 A.由U={1,2,3,4},ð(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又UB={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩ðB={3}.U【一题多解】本题还可用Venn图求解如下:如图,由图及已知易得A∩ðB={3}.U【加固训练】已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(ðA)∩B=R( )A.{-2,-1}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{0,1}【解析】选A.由x+1>0⇒x>-1,所以ðA={x|x≤-1},故得(RðA)∩B={-2,-1}.R二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2016·江苏高考)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B= .【解析】由集合A,B及交集的运算可知A∩B={-1,2}.答案:{-1,2}9.设全集U={n∈N|1≤n≤10},A=,B=,则(ðA)U∩B= .【解析】由题意知ðA=,B=,故(UðA)∩B=.U答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.若集合A={x∈R|(a2-1)x2+(2a+1)x+1=0}中只有一个元素,求实数a的值构成的集合.【解题提示】按二次项系数是否为0分类讨论.【解析】当a2-1=0,即a=1或a=-1时,方程分别为3x+1=0或-x+1=0,方程都有一个根,满足题意.当a2-1≠0时,Δ=(2a+1)2-4(a2-1)=0,即4a+5=0,a=-.此时方程有两个等根,满足题意.故a的值构成的集合为.11.(2017·郑州模拟)设A={1,4,2x},B={1,x2},若B⊆A,求x的值. 【解析】由B⊆A,得x2=4或x2=2x.当x2=4时,x=±2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾;当x2=2x时,x=0或x=2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾.综上所述,x=-2或x=0.(20分钟40分)1.(5分)(2017·郑州模拟)已知集合A={x|y=},A∩B=∅,则集合B不可能是( )A.{x|4x<2x+1}B.{(x,y)|y=x-1}C.{x|x<-1}D.{y|y=log2(-x2+2x+1)}【解析】选D.A={x|y=}={x|x≥1},{y|y=log2(-x2+2x+1)}={y|y ≤1}.【加固训练】某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:则三个模块都选择的学生人数是.【解题提示】设三个模块都选择的学生人数是x,用Venn图表示三个两两相交的集合,把每一部分的学生数用x表示出来,再根据总数为50列方程求解. 【解析】设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.答案:62.(5分)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4},由A⊆C⊆B,方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C 的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.方法二:C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个.3.(5分)(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.【解题提示】利用韦恩图解决问题.【解析】①如左图所示,第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16;②如右图所示,这三天售出的商品最少有19+13-3=29.答案:①16②294.(12分)已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时,求A∪B.(2)若A⊆B,求实数m的取值范围.(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,B={x|-2<x<2},A={x|1<x<3},则A∪B={x|-2<x<3}.(2)由A⊆B知解得m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].(3)由A∩B=∅,得①当2m≥1-m,即m≥时,B=∅,符合题意;②当2m<1-m,即m<时,需或得0≤m<或∅,即0≤m<.综上知m≥0,即实数m的取值范围为[0,+∞).【加固训练】已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0},C={x|x2-4ax+3a2<0},若ð(A∪UB)⊆C,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-2<x<3},B={x|x<-4,或x>2},A∪B={x|x<-4,或x>-2},ð(A∪B)={x|-4≤x≤-2},U而C={x|(x-a)(x-3a)<0}.①当a>0时,C={x|a<x<3a},显然不成立.②当a=0时,C=∅,不成立.③当a<0时,C={x|3a<x<a},要使ð(A∪B)⊆C,U只需即-2<a<-.5.(13分)(2017·惠州模拟)已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a的取值范围.【解析】因为A∪B=A,所以B⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,所以所以a=1.(2)当B A时,有B≠∅和B=∅两种情况.①当B≠∅时,B={0}或B={-4},所以方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有相等的实数根0或-4,所以Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,所以a=-1,所以B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ<0,a<-1.综上知实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.关闭Word文档返回原板块。

课时分层训练(一) 集 合A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}C [B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0,1}．又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．]2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) 【导学号：51062002】A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A BD ．B AD [∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴2,3∈A 且2,3∈B,1∈A 但1∉B ，∴BA .] 3．(2017·湖州模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 D [由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]4．设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞) C [由已知得A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，则A ∪B ＝{x |x >－1}．]5．(2017·杭州第一次质检)设集合A ＝{x |x 2－2x ≥0}，B ＝{x |－1<x ≤2}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤0}B ．{x |0<x <2}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |－1<x ≤0} B [因为A ＝{x |x ≥2或x ≤0}，所以∁R A ＝{x |0<x <2}，(∁R A )∩B ＝{x |0<x <2}，故选B.]6．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) 【导学号：51062004】A ．1B ．3C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.] 7．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则集合(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) C [∵S ＝{x |x ＞－2}，∴∁R S ＝{x |x ≤－2}，又T ＝{x |－4≤x ≤1}，∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．]二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062005】(－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]9．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.{1,4} [因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．]10．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________. 【导学号：51062006】[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1,0)．]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 21－x ＞1，x ∈R ，B ＝{}x | y ＝1－x 2，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1＜x ＜1}C ．{－1,1}D ．{1}C [集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 21－x ＞1，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{}x | y ＝1－x 2＝{x |－1≤x ≤1}，∴∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}．因此(∁R A )∩B ＝{－1,1}．]2．(2017·诸暨调研)设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的区间是( )图1­1­2A ．[0,1]B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D [A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]3．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． (－∞，－2] [由4≤2x≤16，得2≤x ≤4，则A ＝[2,4]，又B ＝[a ，b ]，且A ⊆B . ∴a ≤2，b ≥4，故a －b ≤2－4＝－2.因此a －b 的取值范围是(－∞，－2]．]4．设集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x －a ≥0}．若存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x ＜3}，则A ∪B ＝________.{x |x ＞－2} [A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x ≥a }．如图，由A ∩B ＝{x |0≤x ＜3}，得a ＝0，A ∪B ＝{x |x ＞－2}．]百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

课时提升作业三量词、逻辑联结词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2017·吉林模拟)命题“任意x∈0,+∞),x3+x≥0”的否定是( )A.任意x∈(-∞,0),x3+x<0B.任意x∈(-∞,0),x3+x≥0C.存在x∈0,+∞),x3+x<0D.存在x∈0,+∞),x3+x≥0【解析】选C.命题“任意x∈0,+≦),x3+x≥0”的否定是“存在x∈0,+≦),x3+x<0”.2.“存在x∉M,p(x)”的否定是( )A.任意一个x∈M,非p(x)B.任意一个x∉M,p(x)C.任意一个x∉M,非p(x)D.任意一个x∈M,p(x)【解析】选C.命题“存在x∉M,p(x)”的否定是“任意x∉M,非p(x)”.3.(2017·营口模拟)已知直线l1:ax+3y+1=0与l2:2x+(a+1)y+1=0,给出命题p:l1∥l2的充要条件是a=-3或a=2;命题q:l1⊥l2的充要条件是a=-.对于以上两个命题,下列结论中正确的是( )A.“p且q”为真B.“p或q”为假C.“p或(非q)”为假D.“p且(非q)”为真【解析】选C.对于命题p,因为当a=2时,l1与l2重合,故命题p为假命题; 当l1⊥l2时,2a+3a+3=0,解得a=-,当a=-时,l1⊥l2,故命题q为真命题,非q 为假命题,故命题p且q为假命题,p或q为真命题,p或(非q)为假命题,p 且(非q)为假命题.【加固训练】已知命题p:函数y=a x(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:log a2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( ) A.p或q B.p且qC.(非p)且qD.p或(非q)【解析】选D.当0<a<1时,y=a x在R上是减函数,因此p假,非p真,当a=时,log a2+log2a=-2<2,因此q假,非q真.从而命题p或(非q)为真命题.4.(2017·通辽模拟)给出如下四个命题:①若“p或q”为真命题,则p,q均为真命题;②“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;③“任意一个x∈R,x2+x≥1”的否定是“存在x∈R,x2+x≤1”;④“x>0”是“x+≥2”的充要条件.其中假命题是( )A.①②B.②③C.①③D.③④【解析】选C.①若“p或q”为真命题,则p,q不一定都是真命题,所以①不正确;②“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”,所以②正确;③“任意x∈R,x2+x≥1”的否定是“存在x∈R,x2+x<1”,所以③不正确;④“x>0”是“x+≥2”的充要条件,所以④正确.【加固训练】在一次跳伞训练中,甲乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(非p)或(非q)B.p或(非q)C.(非p)且(非q)D.p或q【解析】选A.“至少有一位学员没有降落在指定范围”表示学员甲乙两人中有人没有降落在指定范围,所以应该是(非p)或(非q).5.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意x∈A,2x∈B,则( )A.非p:任意x∈A,2x∉BB.非p:任意x∉A,2x∉BC.非p:存在x∉A,2x∈BD.非p:存在x∈A,2x∉B【解析】选D.命题p:任意x∈A,2x∈B的否定是非p:存在x∈A,2x∉B.6.(2017·济宁模拟)下列说法正确的是( )A.命题“若ax2<bx2,则a<b”的逆命题是真命题B.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题C.命题“p且q”为假命题,则命题“p”和命题“q”均为假命题D.命题“存在t∈R,t2-t≤0”的否定是“任意t∈R,t2-t>0”【解析】选D.因为当x=0时,若a<b,则ax2<bx2不成立,所以A不正确;因为原命题“若x=y,则sinx=siny”为真,其逆否命题也为真,所以B不正确;因为p与q中只要有一个为假,则p且q为假,所以C不正确;D项显然正确.【加固训练】设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p或qB.p且qC.(非p)且(非q)D.p或(非q)【解析】选A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,有a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不一定成立,可知命题p是假命题,命题非p是真命题;易知命题q为真命题,命题非q是假命题.结合复合命题的真假判断方法知,选项A正确.7.(2017·鞍山模拟)下列说法中,正确的是( )A.任意α,β∈R,sin(α+β)≠sinα+sinβB.命题p:存在x∈R,x2-x=0,则非p:任意x∈R,x2-x<0C.在△ABC中,“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件D.已知x∈R,则“x>1”是“x>2”成立的充分不必要条件【解析】选C.在A中,当β=0时,显然有sin(α+β)=sinα+sinβ,故A错误;B中,非p:任意x∈R,x2-x≠0,故B项错误;C中,由△ABC为锐角三角形,显然能得到·=||·||cosA>0,但当·>0时只能说明A是锐角,无法说明B,C是否为锐角,故“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件,故C项正确;D中,“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故D项错误.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·渭南模拟)已知命题p:x2+4x+3≥0,q:x∈Z,且“p且q”与“非q”同时为假命题,则x=________.【解析】若p为真,则x≥-1或x≤-3,因为“非q”为假,则q为真,即x∈Z,又因为“p且q”为假,所以p为假,故-3<x<-1,由题意,得x=-2.答案:-29.已知下列命题. 世纪金榜导学号99972423①存在x∈,sinx+cosx≥;②任意x∈(3,+∞),x2>2x+1;③存在x∈R,x2+x=-1;④任意x∈,tanx>sinx.其中真命题为________.(填序号)【解析】对于①,当x=时,sinx+cosx=,所以此命题为真命题;对于②,当x∈(3,+≦)时,x2-2x-1=(x-1)2-2>0,所以此命题为真命题;对于③,任意一个x∈R,x2+x+1=+>0,所以此命题为假命题;对于④,当x∈时,tanx<0<sinx,所以此命题为假命题.答案:①②10.设实数a>0,且a≠1.已知p:关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0};q:函数y=的定义域为R.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是________. 世纪金榜导学号99972424【解析】由指数函数的性质得,若p是真命题,则0<a<1.若q是真命题, 则ax2-x+a≥0对任意一个x∈R恒成立,因为a>0,且Δ=1-4a2≤0,解得a≥.所以a≥且a≠1.因为p且q为假,p或q为真,所以p, q一真一假.①p假q真时,a>1;②p真q假时,0<a<.由①②知,a的取值范围为∪(1,+≦).答案:∪(1,+≦)(20分钟40分)1.(5分)(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)=log2(x+a)+log2(x-a)(a∈R).命题p:存在a∈R,函数f(x)是偶函数;命题q:任意a∈R,函数f(x)在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是( )A.非qB.p且qC.(非p)且qD.p且(非q)【解析】选C.因为当a≥0时,由得x>a,即函数的定义域为(a,+≦),当a<0时,由得x>-a,即函数的定义域为(-a,+≦).所以命题p为假.因为y=log2(x+a)是增函数,y=log2(x-a)是增函数,所以函数f(x)=log2(x+a)+log2(x-a)在定义域内是增函数,即q为真.故非q为假,p且q为假,(非p)且q为真,p且(非q)为假.2.(5分)已知f(x)=3sinx-πx,命题p:任意一个x∈,f(x)<0,则( )A.p是真命题:非p:任意一个x∈,f(x)>0B.p是真命题:非p:存在x∈,f(x)≥0C.p是假命题:非p:任意一个x∈,f(x)≥0D.p是假命题:非p:存在x∈,f(x)≥0【解析】选B.因为f′(x)=3cosx-π<0,所以f(x)在内是减少的,又f(0)=0,所以任意x∈,f(x)<0,即p是真命题,它的否定是非p:存在x∈,f(x)≥0.3.(5分)已知命题p:存在x∈R,x-2>lgx;命题q:任意一个x∈R,-x2+x-1<0.给出下列结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且(非q)”是假命题;③命题“(非p)或q”是真命题;④命题“p或(非q)”是假命题.其中所有正确结论的序号为________.世纪金榜导学号99972425 【解析】对于命题p,取x=10,则有10-2>lg10成立,故命题p为真命题;对于命题q,方程-x2+x-1=0,即x2-x+1=0,Δ=1-4×1<0,故方程无解,所以命题q为真命题.综上“p且q”是真命题,“p且(非q)”是假命题,“(非p)或q”是真命题,“p或(非q)”是真命题,即正确的结论为①②③. 答案:①②③【加固训练】(2017·成都模拟)已知命题p:存在一个x∈R,2-x>e x,命题q:任意a∈(0,+∞)且a≠1,log a(a2+1)>0,给出下列结论:①命题p或(非q)是假命题;②命题p且(非q)是真命题;③命题p或q是假命题;④命题p且q是真命题.其中正确的是________.【解析】对于命题p:存在一个x∈R,2-x>e x,当x=0时,此式成立,故命题p是真命题;命题q:任意一个a∈(0,+≦)且a≠1,log a(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q是假命题.由此知命题p或(非q)是真命题,命题p且(非q)是真命题,命题p或q是真命题,命题p且q是假命题. 答案:②4.(12分)(2017·太原模拟)已知命题p:存在一个x∈R,e x-mx=0,q:任意一个x∈R,x2+mx+1≥0,若p或(非q)为假命题,求实数m的取值范围.世纪金榜导学号99972426【解题指南】根据p或(非q)为假命题确定p,q的真假,再根据p,q的真假求m的取值范围.【解析】由p或(非q)为假命题知p假q真.由p假知命题“任意x∈R,e x-mx≠0”为真命题,即函数y=e x与y=mx的图像无交点.设直线y=mx 与曲线y=e x相切的切点为(x′0,y′0),则切线方程为y-=(x-x′又切线过原点,则可求得0),x′0=1,y′0=e,从而m=e,所以命题p为假时有0≤m<e.命题q为真时有Δ=m2-4≤0.即-2≤m≤2.综上知,m的取值范围是0≤m≤2.5.(13分)已知a>0,设命题p:函数y=a x在R上是增函数;命题q:不等式ax2-ax+1>0对任意x∈R恒成立.若p且q为假,p或q为真,求a的取值范围. 世纪金榜导学号99972427【解析】由题意知:p:a>1.由ax2-ax+1>0对任意x∈R恒成立,且a>0,所以Δ=a2-4a<0,解得0<a<4.所以q:0<a<4.因为p且q为假,p或q为真,所以p,q一真一假.①p假q真时,0<a≤1;②p真q假时,a≥4.由①②知,a的取值范围为(0,1]∪4,+≦).关闭Word文档返回原板块。

第一章1.3 1.3.1第二课时 函数的最大值、最小值课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标| 1．函数y ＝－|x |在R 上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．无最大值，有最小值0 C ．既无最大值，又无最小值 D ．以上都不对解析：选A 因为函数y ＝－|x |的图象如图所示，所以函数y ＝－|x |在R 上有最大值0，无最小值．2．函数y ＝x －1x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．0 B ．32 C ．2D ．3解析：选B 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x 在[1,2]上是增函数． 当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．函数y ＝⎩⎨⎧x ＋3，x ＜1，－x ＋6，x ≥1的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 当x ＜1时，函数y ＝x ＋3单调递增，且有y ＜4，无最大值；当x ≥1时，函数y ＝－x ＋6单调递减，则在x ＝1处取得最大值为5.所以，函数在整个定义域内的最大值为5.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析：选C 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a ＜0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2. 所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数f (x )＝x ＋x －2在[3,4]上的值域为________． 解析：∵函数f (x )＝x ＋x －2在[3,4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝3＋1＝4，f (x )max ＝f (4)＝4＋ 2. 答案：[4,4＋ 2 ]7．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b >0成立，且f (－3)＝m ，f (－1)＝n ，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是________．解析：由f (a )－f (b )a －b>0知f (x )在R 上为增函数， ∴f (x )在[－3，－1]上的最大值为f (－1)＝n .答案：n8．函数f (x )＝x －1的最小值是________． 解析：设x ＝t ，t ≥0，所以f (t )＝t 2－1，t ≥0. 所以f (x )＝x 2－1，x ≥0，因为f (x )＝x 2－1在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )的最小值为－1.即f (x )＝x －1的最小值是－1. 答案：－19．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由(x －1)2＋2＝3，得x ＝0或x ＝2.作出函数图象如图所示，由图象知，m 的取值范围是1≤m ≤2.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 由表格得方程组⎩⎨⎧ 45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30,54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．‖层级二‖|应试能力达标|1．函数y ＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，1－x ，x ＜0的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选C 画出y ＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，1－x ，x ＜0的图象．由图象知，值域为[－1，＋∞)．2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设该公司在甲地销售x 辆(0≤x ≤15，x ∈N )，则在乙地销售(15－x )辆，公司获得利润为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.故当x ＝9或10时，L 取得最大值120万元．3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2，2]解析：选C 要求函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域，只需求t ＝－x 2＋4x (x ∈[0,4])的值域即可．设二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4(x ∈[0,4])，所以f (x )的值域是[0,4]．因为t ＝f (x )，所以t 的值域是[0,2]，－t 的值域是[－2,0]．故函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是[0,2]．故选C.4．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2,4]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选B f (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈[0，m ]． 由最小值为1知m ≥2.又最大值为5，f (0)＝5，f (4)＝5. 所以2≤m ≤4.故选B.5．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________．解析：函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2,3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值，由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3，解得m ＝6. 故实数m 的值为6. 答案：66．用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值．设f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝x ＋2和y ＝10－x 的图象，如图所示．根据min{x ＋2,10－x }(x ≥0)的含义可知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x ＞4，所以函数f (x )的图象应为图中的实线部分．解方程x ＋2＝10－x 得x ＝4，此时y ＝6，故两图象的交点为(4,6)．观察图象知，f (x )的最大值为图象最高点的纵坐标，即f (x )的最大值为6.答案：67．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.解析：设矩形花园的宽为y m，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．答案：208．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可得g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.由Ruize收集整理。

第1讲 集合及其运算A 应知应会一、 选择题 1. (2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0},B ＝{x |x －1<0},则A ∩B 等于( ) A. (－∞,1) B. (－2,1) C. (－3,－1) D. (3,＋∞) 2. (2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2},B ＝{x |x 2≤1},则A ∩B 等于( ) A. {－1,0,1} B. {0,1} C. {－1,1} D. {0,1,2} 3. (2019·宁德质检)已知集合A ＝{x |x ≥1},B ＝{x |x 2－2x －3<0},则A ∪B 等于( ) A. {x |1≤x <3} B. {x |x ＞－1} C. {x |1<x <3} D. {x |x ≥1}4. (多选)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0},B ＝{x |ax －1＝0},若A ∩B ＝B ,则实数a 的值可以为( )A. 15B. 0C. 3D. 135. (多选)给出下列关系,其中正确的选项是( ) A. ∈{{}} B. ⊆{{}} C. ∈{} D. ⊆{}二、 解答题6. 已知M ＝{2,a ,b },N ＝{2a ,2,b 2},且M ＝N ,求实数a ,b 的值．7. 若A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0},B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0},C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1) 若A ＝B ,求a 的值；(2) 若B ∩A ≠,C ∩A ＝,求a 的值．∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅B 巩固提升一、 填空题 1. (2018·南通模拟)已知集合A ＝{0,e x },B ＝{－1,0,1},若A ∪B ＝B ,则x ＝________． 2. (2018·青岛模拟)设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≤14 ,则(∁R A )∩B ＝________．3. (2019·张家口期末)已知全集U ＝Z,A ＝{x |x ＝3n －1,n ∈Z},B ＝{x ||x |＞3,x ∈Z},则A ∩(∁U B )中元素的个数为________．4. (2019·深圳调研)已知集合M ＝{x |x ＞0},N ＝{x |x 2－4≥0},则M ∪N ＝________． 二、 解答题5. 设集合U ＝{2,3,a 2＋2a －3},A ＝{|2a －1|,2},∁U A ＝{5},求实数a 的值．6. 已知全集S ＝{1,3,x 3＋3x 2＋2x },A ＝{1,|2x －1|},如果∁S A ＝{0},则这样的实数x 是否存在？若存在,请说明理由．第2讲 充分条件与必要条件A 应知应会一、 选择题1. 设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad ＝bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. (2019·淄博诊断)若a ,b ∈R,则“|a |＋|b |＞1”是“|a ＋b |＞1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线b 和平面α,则“b α”是b 与α平行的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. (2019·江西九校联考)已知命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0 ,命题q ：B ＝{x |x －a <0},若命题p 是命题q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A. (2,＋∞)B. [2,＋∞)C. (－∞,1)D. (－∞,1]5. “a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. (2019·烟台一模)已知a ,b ∈R,则“ab ＞0”是“b a ＋ab ＞2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. (2019·济宁一模)将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π6 个单位长度后,得到函数g (x )的图象,则“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. (2019·枣庄一模)设a ,b 都是不等于1的正数,则“0<b <a <1”是“log a 3<log b 3”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件二、 解答题9. 已知p ：(x －m )2＞3(x －m ),q ：x 2＋3x －4<0.若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．⊂B巩固提升一、填空题1. (2019·合肥质检)若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件,则m的取值范围是________．2. “|x|<3”是“x2－x－6<0”的________条件．3. 设a∈R ,则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2 ：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．4. (2019·郴州三模)已知p：x2－3x－4≤0；q：x2－6x＋9－m2≤0,若非q是非p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________．二、解答题5. (2020·江苏八校联考)已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9),x∈R},B＝{x||x－m|≥1,x∈R}．(1) 求集合A；(2) 若p：x∈A,q：x∈B,且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围．6. 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n＋t(n∈N*).求证：数列{a n}是等比数列的充要条件是t＝－1.第3讲全称量词和存在量词A应知应会一、选择题1. (多选)下列命题中是全称命题并且是假命题的是()A. π是无理数B. 若2x为偶数,则任意x∈NC. 对任意x∈R,x2＋2x＋1＞0D. 所有菱形的四条边都相等2. (2019·南昌调研)下列命题中的假命题是( ) A. 存在x 0∈R,lg x 0＝1 B. 存在x 0∈R,sin x 0＝0 C. 任意x ∈R,x 3＞0 D. 任意x ∈R,2x ＞03. 命题“任意n ∈N *,f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A. 任意n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )＞n B. 任意n ∈N *,f (n )N *或f (n )＞n C. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *且f (n 0)＞n 0 D. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *或f (n 0)＞n 04. (2019·中原名校联盟)已知命题“x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14 ≤0”是假命题,则实数a 的取值范围为( )A. (－∞,0)B. [0,4]C. [4,＋∞)D. (0,4)5. 若命题p ：x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ,sin 2x 0＋cos 2x 0<a 是假命题,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1]B. (－∞,2 ]C. [1,＋∞)D. [2 ,＋∞) 二、 解答题6. 判断下列命题的真假．(1) 已知a ,b ,c ,d ∈R,若a ≠c 或b ≠d ,则a ＋b ≠c ＋d ； (2) ∀x ∈N,x 3＞x 2；(3) 若m ＞1,则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4) 存在一个三角形没有外接圆．7. 已知命题“∀x ∈R,x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题,求实数a 的取值范围．∉∉∉∃∃B 巩固提升一、 填空题1. 若命题p ：x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ,使得2x 2－λx ＋1<0成立,则非p 为_______________． 2. 若命题p 的否定是“对所有正数x ,x ＞x ＋1”,则命题p 可写为________________． 3. 若命题“t ∈R, t 2－2t －a <0”是假命题,则实数a 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x ＋4x ,g (x )＝2x ＋a ,若任意x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1 ,存在x 2∈[2,3],使得f (x 1)≤g (x 2),则实数a 的取值范围是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1).若f (x )在区间(－∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a ＋1],总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1,g (x )＝ax,其中a ＞0,x ≠0.(1) 对任意x ∈[1,2],都有f (x )＞g (x )恒成立,求实数a 的取值范围；(2) 对任意x 1∈[1,2],x 2∈[2,4],都有f (x 1)＞g (x 2)恒成立,求实数a 的取值范围．∃∃第4讲 不等式的性质、一元二次不等式一、 选择题1. (2019·南昌模拟)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋m b ＋m＞ab(a ,b ,m ＞0且a <b ),恒成立的个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 02. (多选)已知a ,b ,c ,d 均为实数,则下列命题中正确的是( ) A. 若ab ＞0,bc －ad ＞0,则c a －db ＞0B. 若ab ＞0,c a －db ＞0,则bc －ad ＞0C. 若bc －ad ＞0,c a －db＞0,则ab ＞0D. 若a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,则ac ＞bd3. (多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0),下列判断正确的是( ) A. 若不等式的解集为{x |x <－3或x ＞－2},则k ＝－25B. 若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠1k ,则k ＝66C. 若不等式的解集为R,则k <－66 D. 若不等式的解集为,则k ≥664. (2019·黄冈联考)若关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是(1,＋∞),则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A. (－∞,1)∪(2,＋∞)B. (－1,2)C. (1,2)D. (－∞,－1)∪(2,＋∞)5. (2019·合肥模拟)若不等式2kx 2＋kx －38 <0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A. (－3,0)B. [－3,0)C. [－3,0]D. (－3,0] 二、 解答题6. 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2<x <3},求不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集．7. 若对于满足0≤p ≤3的任意实数p ,不等式x 2＋2px ＞4x ＋p －3恒成立,求x 的取值范围．∅B 巩固提升一、 填空题1. 不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．2. 若关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8<0的解集为空集,则实数k 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ＞0时,f (x )＝x 2－4x ,则不等式f (x )＞x 的解集为________．4. 已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ,a ∈R},∃a ∈R,使得集合A 中所有整数的元素和为28,则a 的取值范围是________．二、 解答题5. 若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2 .(1) 求实数a 的值；(2) 求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．6. 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R),当x ∈[－1,＋∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围．第5讲 基本不等式一、 选择题1. (多选)有下面四个不等式,其中恒成立的有( ) A.a ＋b2≥ab B. a (1－a )≤14C. a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋caD. b a ＋ab≥2 2. (多选)下列四个函数中,最小值为2的是( ) A. y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π2 B. y ＝ln x ＋1ln x (x ＞0,x ≠1)C. y ＝x 2＋6x 2＋5D. y ＝4x ＋4－x3. 已知a ＞0,b ＞0,若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立,则m 的最大值为( )A. 9B. 12C. 18D. 244. (2019·豫南九校一联)若a ＞0,b ＞0,且2a ＋b ＝4,则1ab 的最小值为( )A. 2B. 12C. 4D. 145. (2019·济宁期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点(a ,b ),且点P 在直线mx －ny －2＝0上,则mn 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，14B. ⎝⎛⎦⎤0，14C. ⎝⎛⎭⎫－∞，14D. ⎝⎛⎦⎤－∞，14 二、 解答题6. (2019·黄山质检)已知f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1 (x ＞0),求f (x )的最小值．7. 已知lg 3x ＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1). (1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋y 的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0,b ＞0)过点(1,2),则2a ＋b 的最小值为________．2. (2017·天津卷)若a ,b ∈R,ab ＞0,则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．3. 若a ＞0,b ＞0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值为________．4. 已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 2 ＋b 的最小值为________,a 24 －2a ＋b 2－1b的最小值为________．二、 解答题5. (1) 设x 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y 2 的最大值． (2) 若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝10,求lg a ·lg b 的最大值．6. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).(1) 求y 关于x 的函数关系式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ,求y 关于x 的函数关系式,并求出x 为何值时,y 取得最大值．(第6题)微难点1 “三个二次”关系一、 选择题1. 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1)B. (1,＋∞)C. (－∞,1]D. [1,＋∞)2. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f (x )( )A. 在(－∞,2]上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增B. 在(－∞,3)上单调递增C. 在[1,3]上单调递增D. 单调性不能确定二、 填空题3. (2019·南昌质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0,则a ＋4b 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b .若f (0)＝4,则f (1)的最大值为________．5. 已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0,＋∞),则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．6. 已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋4的定义域为[a ,b ],其中a <b ,值域为[3a ,3b ],则满足条件的数组(a ,b )为________．三、 解答题7. 对任意a ∈[－1,1],函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零,求x 的取值范围．8. 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的零点为－13 ,12. (1) 试求a ＋c 的值；(2) 解不等式－cx 2＋2x －a ＞0.9. 设a ∈R,关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实数根x 1,x 2,且0<x 1<1<x 2<2,求a 的取值范围．10. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ,b ∈R 且a ≠0),x ∈R ．(1) 若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0,求f (x )的解析式,并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下,f (x )＞x ＋k 在区间[－3,－1]上恒成立,试求k 的取值范围．。

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课时提升作业二命题、充分条件与必要条件(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=【解析】选C.把原命题中的条件和结论“换位”又“换质”后得到逆否命题:若tanα≠1,则α≠.2.(2017·合肥模拟)原命题:“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个【解析】选C.原命题:“若c=0,则不成立”.由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题:因为ac2>bc2知c2>0,由不等式的基本性质得a>b,所以逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,所以有2个真命题.3.下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题【解析】选A.对于A,其逆命题是:若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x>y;对于B,否命题是:若x≤1,则x2≤1,是假命题,如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题是:若x≠1,则x2+x-2≠0,由于x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x2>0,则x≠0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题.【加固训练】下列命题中是真命题的是( )①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;④“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④【解析】选B.对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,所以原命题是真命题,其逆否命题也是真命题,即③为真命题;对于④,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③④.4.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆UðC”是“A ∩B=⌀”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.依题意,若A⊆C,则UðC⊆UðA,当B⊆UðC,可得A∩B=∅;若A ∩B=∅,不妨令C=A,显然满足A⊆C,B⊆UðC,故满足条件的集合C是存在的.5.已知a>0,b>0,则“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的世纪金榜导学号99972418( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.满足条件a2+b2<1的点M(a,b)在以原点为圆心,1为半径的圆内,又因为a>0,b>0,所以0<a<1,0<b<1.又由ab+1>a+b得ab+1-a-b>0,(a-1)b+(1-a)>0,(a-1)(b-1)>0,所以a>1,b>1或a<1,b<1.又因为a>0, b>0,所以a>1,b>1或0<a<1,0<b<1,所以a2+b2<1⇒ab+1>a+b,反之不成立.【一题多解】本题还可采用如下解法:选 B.因为a>0,b>0,若a2+b2<1,则a2+2ab+b2<1+2ab<1+2ab+(ab)2,即(a+b)2< (1+ab)2,所以a+b<1+ab成立;反之,当a=b=2时,有1+ab>a+b成立,但a2+b2<1不成立,所以“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的充分不必要条件.【加固训练】(2015·北京高考)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】结合向量共线的定义及向量的数量积的运算进行判断. 【解析】选A.由a·b=|a||b|得cos<a,b>=1,<a,b>=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.6.已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件.现有下列命题:①s是q的充要条件;②p 是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;④p是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是( )A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤【解析】选B.如图,,可得①②④是正确的,③⑤是错误的.【加固训练】(2016·济南模拟)若a=log2x,b=,则“a>b”是“x>1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.函数a=log2x,b=的图像如图所示,由图像可知,若a>b,则x>2,即x>1成立,反之,若x>1,当x=时,a<b.7.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=0且b=0”的逆否命题是( )A.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0【解析】选D.“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,“a=0且b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,故选D.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是对“a=0且b=0”的否定理解出错,其否定应为a≠0或b≠0.二、填空题(每小题5分,共15分)8.有下列几个命题:①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若集合A是集合B的子集,则集合A是集合B的真子集”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.【解析】①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,是假命题,如-1<0,但是(-1)2>0;②原命题的逆命题为“若集合A是集合B的真子集,则集合A是集合B的子集”是真命题;③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,是真命题.答案:②③9.若“任意x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________. 世纪金榜导学号99972419【解析】由题意知m≥(tanx)max.因为x∈,所以tanx∈,因为tan==-1,所以m≥-1.所以m的最小值为-1.答案:-110.已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________. 世纪金榜导学号99972420【解析】p:x>m+3或x<m,q:-4<x<1,因为p是q成立的必要不充分条件.则{x|-4<x<1}Ü{x|x>m+3或x<m},所以m+3≤-4或m≥1,即m≤-7或m≥1,故m的取值范围为(-∞,-7]∪1,+∞).答案:(-∞,-7]∪1,+∞)(20分钟40分)1.(5分)已知命题:若a>2,则a2>4,其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.原命题显然是真命题,其逆命题为“若a2>4,则a>2”,显然是假命题,由互为逆否命题的等价性知,否命题是假命题,逆否命题是真命题.2.(5分)“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A.-1<k<3B.-1≤k≤3C.0<k<3D.k<-1或k>3【解析】选C.“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”等价于<,解得k∈(-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是0<k<3.【加固训练】使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是( )A.a+b>0B.a-b>0C.ab>1D.>1【解析】选A.因为a>0,b>0⇒a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出a-b>0,ab>1,>1.3.(5分)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”,由“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.【加固训练】(2017·贵阳模拟)已知a,b,c是实数,则b2≠ac是a,b,c 不成等比数列的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】从正、反两个方面推理时,可用与其等价的逆否命题的真假进行判断.【解析】选A.因为命题“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”的逆否命题为“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,是真命题,所以b2≠ac是a,b,c 不成等比数列的充分条件;因为“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,所以“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”是假命题,即b2≠ac不是a,b,c不成等比数列的必要条件.4.(12分)集合A={y|y=x2-x+1,x∈},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件,求实数m的取值范围. 世纪金榜导学号99972421 【解析】y=x2-x+1=+,因为x∈,所以≤y≤2,所以A=.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-,所以实数m的取值范围是∪.5.(13分)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. 世纪金榜导学号99972422(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论.(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.【解析】(1)否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).该命题是真命题,证明如下:因为a+b<0,所以a<-b,b<-a.又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),因此f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),所以否命题为真命题.(2)逆否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0.真命题,可通过证明原命题为真来证明它.因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.关闭Word文档返回原板块。

第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］ 考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________． 解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。