高三第一轮复习数学——集合的概念

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第1课时集合[复习要求] 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表示集合的关系与运算．集合的基本概念(1)集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)；(2)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性；(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(2)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(3)补集：若U为全集，A⊆U，则∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．集合的常用运算性质(1)A∩∅＝∅；A∩A＝A；(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；(3)A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A；(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B；A⊆B⇔(∁U A)⊇(∁U B)⇔A∩(∁U B)＝∅；(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；(6)如图所示，用集合A ，B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A ∩B ；A ∩(∁U B)；B ∩(∁U A)；∁U (A ∪B)或(∁U B)∩(∁U A)；(7)card(A ∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A ∩B)．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)集合{x ∈N |x 3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(2){x|y ＝x 2}＝{y|y ＝x 2}＝{(x ，y)|y ＝x 2}．(3)若5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，则m 的取值集合为{1，－1，3}．(4)若P ∩M ＝P ∩N ＝A ，则A ⊆M ∩N.(5)设U ＝R ，A ＝{x|lgx<1}，则∁U A ＝{x|lgx ≥1}＝{x|x ≥10}．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×解析 (1)由于－1∉N ，故(1)错．(2)中{x|y ＝x 2}＝R ，{y|y ＝x 2}＝{y|y ≥0}＝[0，＋∞)，以上两集合为数集，{(x ，y)|y ＝x 2}表示抛物线y ＝x 2上所有点的集合，故(2)错．(3)当m ＝－1时，m ＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故(3)错．(4)正确．(5)中A ＝{x|0<x<10}，∁U A ＝{x|x ≤0或x ≥10}．故(5)错．2．(课本习题改编)若x ∈R ，则x 2＋1＝0的解集A ＝________；不等式x 2≤0的解集B ＝________；0与A 的关系为________；A 与B 的关系为________．答案 ∅ {0} 0∉A A ⊆B(或填A B)3．(2020·课标全国Ⅱ)已知集合U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U (A ∪B)＝( )A ．{－2，3}B ．{－2，2，3}C ．{－2，－1，0，3}D ．{－2，－1，0，2，3}答案 A解析 由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，则∁U (A ∪B)＝{－2，3}．故选A.4．(1)(2021·衡水中学调研卷)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－2x －3≤0}，B ＝{y|y ＝2x }，则A ∩B 的子集的个数为________．(2)已知集合M ＝{x|x －a ＝0}，N ＝{x|ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 答案 (1)8 (2)0或1或－15．(2020·《高考调研》原创题)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N |0≤x ≤9}，若集合B ＝{1，3，5，7}，则A ∩(∁U B)＝________．答案 {0，2，4，6，8，9}解析 由题意知集合A 中至少包含0，2，4，6，8，9几个元素，而∁U B ＝{0，2，4，6，8，9}，∴A ∩(∁U B)＝{0，2，4，6，8，9}．题型一 集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ＝BB ．A BC ．B AD ．无法比较【解析】 方法一(列举法)：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－12，12，32，52，72，…， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…. 显然A B.方法二(描述法)：集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，2k ＋1可以表示任意奇数，k 可以表示任意整数，故A B. 【答案】 B(2)(2021·重庆八中摸底考试)设集合M ＝{y|y ＝2cosx ，x ∈[0，5]}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝( )A ．{x|1<x ≤5}B ．{x|－1<x ≤0}C ．{x|－2≤x ≤0}D ．{x|1<x ≤2}【解析】 ∵M ＝{y|y ＝2cosx ，x ∈[0，5]}＝{y|－2≤y ≤2}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}＝{x|x>1}，∴M ∩N ＝{y|－2≤y ≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x ≤2}．【答案】 D(3)集合A ＝{1，0，x}，B ＝{|x|，y ，lg(xy)}，且A ＝B ，则x ，y 的值分别为________．【解析】 ∵x ，y 均不能为0，∴lg(xy)＝0，故xy ＝1.又∵x ≠1，∴y ≠1，从而y ＝1x，且|x|＝1，故x ＝y ＝－1. 【答案】 －1，－1状元笔记由本例讲透集合的基础知识(1)由本例(1)讲清：列举法与描述法及它们之间的相互转换，并通过此题使学生深刻理解元素与集合，集合与集合之间的关系，并共同总结此类题的解法．(2)本例(2)的难点是对集合M ，N 的识别：M 是函数y ＝2cosx 的值域，N 是函数y ＝log 2(x －1)的定义域．(3)由本例(3)深刻理解集合中元素的互异性的应用．思考题1 (1)给出以下四个命题：①{(x ，y)|x ＝1或y ＝2}＝{1，2}；②{x|x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x|x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．【解析】 ①中左边集合表示横坐标为1或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1或y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1，3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，正确．易错点在于认为3k ＋1与3k－2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中真子集的个数为24－1＝15.④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，∴集合为{－2 021，－ 2 021}，∴真子集有22－1＝3(个)．正确．【答案】 ②③④(2)(2020·课标全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈N *，y ≥x}，B ＝{(x ，y)|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以满足x ＋y ＝8的有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.【答案】 C(3)(2020·杭州学军中学月考)集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5，1－a}，若A ∩B ＝{9}，则a ＝( )A ．－3B ．3或－3C ．3D ．3或－3或5【解析】 由A ∩B ＝{9}可知9为集合A 与B 的公共元素，也是唯一公共元素．当2a －1＝9时，解得a ＝5，此时A ＝{－4，9，25}，B ＝{9，0，－4}，不合题意(舍去)； 当a 2＝9时，解得a ＝3或－3.若a ＝3，则A ＝{－4，5，9}，a －5＝1－a ＝－2，集合B 不满足互异性，不合题意(舍去)．若a ＝－3，则A ＝{－4，－7，9}，B ＝{9，－8，4}，符合题意．综上所述，a ＝－3.【答案】 A题型二 集合的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x|(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x|m －1≤x ≤2m ＋1}．若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 A ＝{x|－1≤x ≤6}．∵A ∩B ＝B ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m<－2，符合题意．当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52.得m<－2或0≤m ≤52. 【答案】 (－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 (2)设A ＝{0，－4}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，①若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________；②若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ①A ＝{0，－4}，当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)<0，解得a<－1；当B 为单元素集合时，a ＝－1，此时B ＝{0}符合题意；当B ＝A 时，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. 综上可知，a ≤－1或a ＝1.②若A ⊆B ，必有A ＝B ，由①知a ＝1.【答案】 ①(－∞，－1]∪{1} ②{1}状元笔记判断两集合关系的常用方法(1)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系，如本例(2)．(2)数形结合法：利用数轴或Venn 图直观判断，如本例(1)．易错提醒：当B 为A 的子集时，易漏掉B ＝∅的情况而致误．思考题2 (1)已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________．【解析】 ∵A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，∴m ＝3或m ＝m.∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，与集合中元素的互异性不符．【答案】 0或3(2)设A ＝{x|x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}．①若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； ②若B A ，求实数a 组成的集合C.【解析】 ①由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5，∴A ＝{3，5}．若a ＝15，由ax －1＝0，得15x －1＝0，即x ＝5. ∴B ＝{5}．∴B A.②∵A ＝{3，5}，又BA ， 故若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由ax －1＝0，得x ＝1a . ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15. 故C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 【答案】 ①B A ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15题型三 集合的基本运算(微专题)微专题1：集合的交、并、补运算例3 (1)(2021·兰州市高三诊断)设集合M ＝{x|x 2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x ≤5}，则M ∩(∁R N)＝( )A ．(0，4]B ．[0，4)C ．[－1，0)D ．(－1，0)【解析】 ∵M ＝{x|x 2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x ≤5}，∴∁R N ＝{x|x<0或x>5}．M ∩(∁R N)＝{x|－1<x<0}．【答案】 D(2)(2021·湖北黄冈重点中学联考)全集U ＝{x|x<10，x ∈N *}，A ⊆U ，B ⊆U ，(∁U B)∩A ＝{1，9}，A ∩B ＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4，6，7}，则A ∪B ＝________．【解析】 由已知条件可得U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn 图如图所示．从而A ∪B ＝{1，2，3，5，8，9}．【答案】 {1，2，3，5，8，9} (3)(2021·八省联考)已知M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，则M ∪(∁R N)＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解析】 方法一：如图所示易知答案为B.方法二：特值法． 不妨设∁R M ＝(1，2)，N ＝(0，3)，则M ∪(∁R N)＝M.【答案】 B状元笔记集合运算的基本类型(1)具体集合的运算：高考对集合的考查，多是考查具体集合(给出或可以求出集合的具体元素)的交、并、补运算，如本例(1)，(2)，其解法依然是化简集合、列举法或借助于数轴、韦恩图等．预测明年对于集合的考查仍以此类题为主．(2)抽象集合的运算：本例(3)是考查抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题．解决此类问题的途径有二：一是利用特例法将抽象集合具体化；二是利用韦恩图化抽象为直观．思考题3(1)(2021·湖北八校联考)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x ≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}【解析】由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．【答案】D(2)(2020·《高考调研》原创题)已知复数集U，f(n)＝i n，(n∈N*)，集合A＝{z|z＝f(n)}，集合B＝N*，则A∩(∁U B)中有________个元素．【解析】A＝{1，－1，i，－i}，∁U B是由复数集中不属于N*的所有数组成的集合，∴A∩(∁U B)＝{－1，i，－i}．【答案】3(3)如图，图形中的阴影部分表示集合()A．(A∪B)∩(B∪C) B．(A∪B)∩(A∪C)C．(A∩B)∪C D．(A∪B)∩C【答案】C微专题2：利用集合的运算求参数例4(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)．故选B.【答案】B(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．(－1，2] B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)【答案】D状元笔记(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．思考题4(1)(2020·启东中学模拟)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x >2m }，若A ∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4]【解析】 ∵A ＝{x ∈Z |－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x>m 2}，A ∩B 有三个元素，∴1≤m 2<2，即2≤m<4. 【答案】 C(2)(2020·课标全国Ⅰ，理)设集合A ＝{x|x 2－4≤0}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4【解析】 求解二次不等x 2－4≤0可得A ＝{x|－2≤x ≤2}，求解一次不等式2x ＋a ≤0可得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，所以－a 2＝1，解得a ＝－2.故选B. 【答案】 B1．通过例1～例3的讲解使学生对集合的表示及子、交、并、补运算等基础知识再一次巩固并系统化，体现本书：以“基础知识”为根本、以“通性通法”为重点的宗旨．2．解决集合问题的关键是正确地将集合进行化简求解，一般规律为：(1)若给定的集合是点集(离散型)，用列举法(或结合Venn 图)求解．(2)若给定的集合是不等式的解集(连续型)，用数轴求解．(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn 图求解．集合中的创新型问题在知识交汇点处命题的信息迁移题是今后几年高考中的热点题型，解决此类问题，既要有扎实的基本功，又要有创新意识，要迅速阅读理解题意，准确把握新的信息，敢于下笔计算．例1 定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n，m ∈A ，n ∈B}，已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【解析】 由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13 }，则B A∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素． 【答案】 B例2 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x|ax 2－1＝0，a>0}，N ＝{－12，12，1}，若M 与N “相交”，则a ＝________． 【解析】 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，若1a ＝12，则a ＝4，若1a＝1，则a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意； 当a ＝1时，M ＝{－1，1}，满足题意．【答案】 1例3 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M ＝{2，3，6}，则∁U M 表示的6位字符串为________；(2)已知A ＝{1，3}，B ⊆U ，若集合A ∪B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是________．【解析】 (1)由已知，得∁U M ＝{1，4，5}，则∁U M 表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A ∪B ＝{1，3，6}，而A ＝{1，3}，B ⊆U ，则B 可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B 的个数是4.【答案】 (1)100110 (2)4题组层级快练(一)一、单项选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)}答案 B2．集合M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.选B.3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 4．(2021·长沙市高三统一考试)若集合M ＝{x ∈R |－3<x<1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{－1，0}C ．{－1，0，1}D ．{－2，－1，0，1，2}答案 B解析 由题意，得N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}＝{－1，0，1，2}，M ＝{x ∈R |－3<x<1}，则M ∩N ＝{－1，0}．故选B.5．(2021·山东新高考模拟)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y)|y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．{(1，1)}B ．{(－2，4)}C ．{(1，1)，(－2，4)}D ．∅答案 C6．(2021·清华附中诊断性测试)已知集合A ＝{x|log 2(x －2)>0}，B ＝{y|y ＝x 2－4x ＋5，x ∈A}，则A ∪B ＝( )A ．[3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)答案 C解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x>3，∴A ＝(3，＋∞)，∴y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2，∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.7．已知集合A ＝{x ∈N |1<x<log 2k}，集合A 中至少有3个元素，则( )A ．k>8B ．k ≥8C ．k>16D ．k ≥16答案 C解析 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k>4，所以k>24＝16.故选C.8．(2020·重庆一中月考)已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B ＝( )A ．[2，4]B ．{2，3，4}C ．{1，2，3，4}D ．[1，4]答案 B解析 由log 2x<1，解得0<x<2，故A ＝(0，2)，故∁R A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x 2＋4≤5x ，即x 2－5x ＋4≤0，解得1≤x ≤4，又x ∈Z ，所以B ＝{1，2，3，4}．故(∁R A)∩B ＝{2，3，4}．故选B.9．(2021·郑州质检)已知集合A ＝{x|x>2}，B ＝{x|x<2m ，m ∈R }且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由B ＝{x|x<2m ，m ∈R }，得∁R B ＝{x|x ≥2m ，m ∈R }．因为A ⊆∁R B ，所以2m ≤2，m ≤1.故选A.10．(2021·江淮十校联考)已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1x，x ≠0}，集合B ＝{x|x 2－4≤0}，若A ∩B ＝P ，则集合P 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B二、多项选择题11．(2021·沧州七校联考)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <7，下列集合中，是A 的子集的是( ) A ．{x|－1<x<1} B ．{x|1<x<3}C ．{x|1<x<2}D ．∅答案 ACD解析 依题意得，A ＝{x|－1<x<log 27}，∵2＝log 24<log 27<log 28＝3，∴选ACD.12．设集合M ＝{x|(x －3)(x ＋2)<0}，N ＝{x|x<3}，则( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．M ∩(∁R N)＝∅D ．M ∪N ＝R答案 ABC解析 由题意知，M ＝{x|－2<x<3}，N ＝{x|x<3}，所以M ∩N ＝{x|－2<x<3}＝M ，M ∪N ＝N ，因为∁R N ＝{x|x ≥3}，所以M ∩(∁R N)＝∅.故选ABC.三、填空题与解答题13．(2021·浙江温州二模)集合A ＝{0，|x|}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x|∈B ，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．14．(1)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lgx<1}，若A ∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案 {2，4，6，8}解析 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{2，4，6，8}．(2)已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，c>0.若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c ≥2.15．已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|2m<x<1－m}．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝(1，2)，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．答案 (1)(－∞，－2] (2)－1 (3)[0，＋∞)解析 (1)由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－m>2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1. (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m<1－m ，即m<13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m<13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m<13，2m ≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．16．已知集合A ＝{x|1<x<k}，集合B ＝{y|y ＝2x －5，x ∈A}，若A ∩B ＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为( )A ．5B ．4.5C ．2D ．3.5答案 D解析 B ＝(－3，2k －5)，由A ∩B ＝{x|1<x<2}，知k ＝2或2k －5＝2，因为k ＝2时，2k －5＝－1，A ∩B ＝∅，不合题意，所以k ＝3.5.故选D.17．设f(n)＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ^＝{n ∈N |f(n)∈P}，Q ^＝{n ∈N |f(n)∈Q}，则P ^∩(∁N Q ^)＝( )A ．{0，3}B ．{0}C ．{1，2}D ．{1，2，6，7}答案 B解析 设P 中元素为t ，由方程2n ＋1＝t ，n ∈N ，解得P ^＝{0，1，2}，Q ^＝{1，2，3}，∴P ^∩(∁N Q ^)＝{0}．18．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4答案 A解析 方法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 31C 31＝9.故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图象，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数．故选A.第2课时充分条件与必要条件、全称量词与存在量词[复习要求] 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．充分条件与必要条件(1)若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件．(2)若q⇒p且p q，则p是q的必要不充分条件．(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．全称量词和存在量词(1)全称量词有：一切，每一个，任给，用符号“∀”表示．存在量词有：有些，有一个，对某个，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作：“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．(课本习题改编)(1)x>0是x(x＋1)>0的________条件．(2)|a|>0是a>0的________条件．(3)α>β是sinα>sinβ的________条件．答案(1)充分不必要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要2．(2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案A解析(1)若甲是假命题，则乙、丙、丁是真命题，则x1＝3.x2＝－1，符合题意．(2)若乙是假命题，则甲、丙、丁是真命题，则x1＝1.x2＝1，两根不异号，不符合题意．(3)若丙是假命题，则甲、乙、丁是真命题，则两根不异号，不符合题意．(4)若丁是假命题，则甲、乙、丙是真命题，则两根和不为2，不符合题意．故选A.3．(2020·上海春季高考题)“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若α＝β，则sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2α＝1，∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分条件；若sin2α＋cos2β＝1，则sin2α＝sin2β，得不出α＝β，∴“α＝β”不是“sin2α＋cos2β＝1”的必要条件，∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分不必要条件．故选A.4．特称命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假5．【多选题】下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．∃x∈R，sinx＋cosx＝3D．∀x∈R，|x|＋x2≥0答案BC解析此类题的解法有二：①判断原命题的真假，则其否定与其结论相反．②先写出命题的否定，再判断真假，本题宜用方法①.题型一充分、必要条件的判定例1(1)判断下列各题中，p是q的什么条件？①p：a>b，q：a>b－1；②p：a>b，q：lga>lgb；③p ：a>b ，q ：2a >2b; ④p ：a>b ，q ：a 2>b 2.【解析】 ①p ⇒q ，q ⇒/p ，∴p 是q 的充分不必要条件．②q ⇒p ，p q ，∴p 是q 的必要不充分条件．③p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．④p q ，q p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．【答案】 ①充分不必要条件 ②必要不充分条件③充要条件 ④既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中，p 是q 的什么条件？①在△ABC 中，p ：A>B ，q ：BC>AC ；②p ：x>1，q ：x 2>1；③p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；④p ：a<b ，q ：a b <1. 【解析】 ①定义法：由三角形中大角对大边可知，若A>B ，则BC>AC ；反之，若BC>AC ，则A>B.因此，p 是q 的充要条件．②方法一(定义法)：由x>1可以推出x 2>1；由x 2>1得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此p 是q 的充分不必要条件．方法二(集合法)：p ＝(1，＋∞)，q ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴p ⊆q ，故p 是q 的充分不必要条件．③由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此p 是q 的必要不充分条件．④由于a<b ，当b<0时，a b >1；当b>0时，a b <1，故若a<b ，不一定有a b <1.当b>0，a b<1时，可以推出a<b ；当b<0，a b<1时，可以推出a>b.因此p 是q 的既不充分也不必要条件． 【答案】 ①p 是q 的充要条件 ②p 是q 的充分不必要条件 ③p 是q 的必要不充分条件 ④p 是q 的既不充分也不必要条件(3)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a|a|＞b|b|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 方法一：当a>b>0时，a>b ⇔a|a|>b|b|；当a>0>b 时，a>b ⇔a|a|>b|b|；当b<a<0时，a>b ⇔a|a|>b|b|，∴选C.方法二：构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R 上为奇函数．因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.选C.【答案】 C状元笔记判断充分必要条件的步骤(1)弄清条件p 和结论q 分别是什么．(2)尝试p ⇒q ，q ⇒p.(3)可简记为：充分条件是小推大，必要条件是大推小．(4)充要条件可以融入到数学各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解．思考题1 (1)(2020·天津)设a ∈R ，则“a>1”是“a 2>a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 定义法：由a 2>a 得a>1或a<0，反之，由a>1得a 2>a ，则“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.【答案】 A(2)“1x>1”是“e x －1<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1，即x ∈(－∞，1)．∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．或用集合法：∵(0，1)(－∞，1)，∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件． 【答案】 A(3)(2021·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cosx ≠cosy ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 “x ≠y ”不能推出“cosx ≠cosy ”，但“cosx ≠cosy ”一定有“x ≠y ”．【答案】 C(4)(2021·合肥一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此若a>|b|≥0，则f(a)>f(|b|)，即f(a)>f(b)，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分条件；若f(a)>f(b)，则f(|a|)>f(|b|)，可得|a|>|b|≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a>|b|，则“a>|b|”不是“f(a)>f(b)”的必要条件，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件．故选A.【答案】 A题型二 充分、必要条件的应用例2 (1)已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．【解析】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x|－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 [0，3](2)在(1)中若把条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”改为“若x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是________．【解析】 方法一：由(1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，满足题意；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x ≤4}满足题意，故m 的取值范围为[0，3]．方法二：若x ∈P 是x ∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解， ∴m 的取值范围是[0，3]．【答案】 [0，3]状元笔记本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．思考题2 (1)已知p ：1≤x ≤2，q ：(x －a)(x －a －1)≤0，若p 是q 的充要条件，则实数a 的值为________．【答案】 1(2)已知p ：4x ＋m<0，q ：x 2－x －2>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围．【解析】 ∵4x ＋m<0，∴x<－m 4，∴p ：x<－m 4. ∵x 2－x －2>0，∴x<－1或x>2，∴q ：x<－1或x>2.∵p ⇒q ，∴－m 4≤－1，∴m ≥4. 即m 的取值范围是[4，＋∞)．【答案】 [4，＋∞)(3)(2021·北京西城区期末)已知函数f(x)＝sin2x ，x ∈[a ，b]，则“b －a ≥π2”是“f(x)的值域为[－1，1]”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由图可知，若a ＝0，π2<b<3π4，则b －a>π2，但f(x)＝sin2x 的值域不是[－1，1]．反之，因为值域是[－1，1]，说明b －a ≥12T ，而T ＝π.所以b －a ≥π2.【答案】B题型三全(特)称命题及其真假的判断例3指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，a x＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使x02＋1＜0.【解析】(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x＞0(a＞0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．【答案】(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题；(1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题状元笔记全(特)称命题真假的判断方法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．(3)不管是全称命题还是特称命题，当其真假不易判定时，可先判断其否定的真假．思考题3(2021·湖北宜昌一中月考)下列命题中是假命题的是() A．∃x0∈R，log2x0＝0B．∃x0∈R，cosx0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0【解析】因为log21＝0，cos0＝1，所以A，B项均为真命题，因为02＝0，所以C项为假命题，因为2x>0，所以选项D为真命题．【答案】C题型四含量词命题的否定例4写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p1：所有的正方形都是矩形；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)p4：∃x0∈{x|x∈Z}，log2x0>0.【解析】(1)綈p1：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(2)綈p2：所有的整数，都不能被2或5整除，是假命题．(3)綈p3：∃x0∈{x|x是无理数}，x02不是无理数，是真命题．(4)綈p4：∀x∈{x|x∈Z}，log2x≤0，是假命题．【答案】命题的否定见解析，(1)(2)(4)的否定为假命题，(3)的否定为真命题状元笔记(1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可．(2)常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假思考题4(1)写出下列命题的否定并判断真假．①p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；②p：每一个非负数的平方都是正数；③p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；④p：有的四边形没有外接圆．【解析】①綈p：存在末位数字是0和5的整数不能被5整除，是假命题．②綈p：存在一个非负数的平方不是正数，是真命题．③綈p：任何一个三角形，它的内角和不大于180°，是真命题．④綈p：所有的四边形都有外接圆，是假命题．【答案】命题的否定见解析，①④的否定为假命题，②③的否定为真命题(2)(高考真题·浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nD．∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定是“∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n”．【答案】D1．充分、必要条件的判定方法．(1)定义法．(2)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．2．含一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．题组层级快练(二)一、单项选择题1．(2021·开封市一模)若a ，b 是非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为a ，b 为非零向量，a ·b >0，所以由向量数量积的定义知，a 与b 的夹角为锐角或a 与b 方向相同；反之，若a 与b 的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a ·b >0成立．故“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.2．(2021·湖南长郡中学模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m<1，0<a<1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0.故选B.4．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由已知綈p ⇒綈q ，得q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．5．(2019·北京)设A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若|AB →＋AC →|>|BC →|，则|AB →＋AC →|2>|BC →|2，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>|BC →|2，∵点A ，B ，C 不共线，∴线段AB ，BC ，AC 构成一个三角形ABC ，设内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，c 2＋b 2＋2bc·cosA>c 2＋b 2－2bc·cosA ，∴cosA>0，又A ，B ，C 三点不共线，故AB →与AC →的夹角为锐角．反之，易得当AB →与AC →的夹角为锐角时，|AB →＋AC →|>|BC →|，∴“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.6．(2019·浙江)设a>0，b>0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为a>0，b>0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝13，满足ab ≤4，但a ＋b>4，所以必要性不成立．所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.7．(2018·北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 (定义法)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝dc，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝cd ，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B.8．命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x >0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0<0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x <0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0≤0答案 D解析 全称命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x >0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.9．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q 答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．10．(2021·湖南邵阳高三大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 02＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1，2]D ．(－1，2) 答案 C解析 命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2.故选C.11．“m>2”是“关于x 的方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两根都大于1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设方程x 2－mx ＋m ＋3＝0有两根，两根分别为x 1，x 2，则Δ≥0，且x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝m ＋3.。

高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数与导数12⑤换元法 法3（1① 若f(x)解出 ② 若 （2)； ③根据“45⑵)(x f 是奇函数f(－x)=－f(x)；是偶函数f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <；②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；⑵单调性的判定定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）③复合函数法；④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

高三一轮复习课第一课集合的概念与运算一、教材分析集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。

二、教学目标（一）集合的含义与表示1、了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系2、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题（二）集合间的基本关系1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

2、在具体情境中，了解全集与空集的含义（三）集合的基本运算1、理解两个集合的的并集与交集的含义，会求两个检点集合的并集与交集。

2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

三、教学重点了解集合的含义，理解集合间包含与相等的含义，理解俩个集合的并集与交集的含义，会用集合语言表达数学对象或数学内容。

四、教学难点集合相关的概念与符号的理解。

教学过程设计：基础知识自查1、集合与元素（1）集合元素的三个特征：______________ _____________ ________________（2）元素与集合的关系是：______________和______________关系，符号是：______________（3）集合的表示方法：________________________________________________________（4）集合的分类:按集合中元素的个数，集合可分为：_____ _____ _____2、集合间的基本关系（1）子集A 是B 的子集，符号：_____或_____（2）真子集：A 是B 的真子集，符号：_____或_____（3）等集：A B ⊆且B A ⊆⇔_____3、集合间的运算及性质（1）并集：符号__________ 图形语言：__________（2）交集： 符号语言__________ 图形语言：__________（3）补集： 符号语言__________ 图形语言：__________4、集合的运算性质并集的性质：(1) A ∪A= ;(2)A ∪∅= ;(3)A ∪B=交集性质： (1) A ∩A= ;例1 是（. 考点2、集合与集合的关系例2、（2010高考浙江卷）设{}4<=x x P ，{}42<=x x Q 则 A Q P ⊆ B P Q ⊆ C ⊆P ∁Q R D ⊆Q ∁P R分析：判断集合间的关系常转化为元素与集合的关系，对描述法表示的集合要抓住元素的属性，可列举出来或借助数轴、韦恩图或函数图像等手段解决。

第01课 集合的概念与运算（2）教学目标：教学方法：教学过程：一、基础自测1．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于 2．已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )= 3．满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是4．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为5．若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ， y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M}，则N 中元素的个数为 6．{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则P Q =7．集合{}A =0一条边为2，一个角为50的等腰三角形中的元素个数为8．已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是二、例题讲解例1．设全集2{2,3,23}U a a =+-，{|1|,2}A a =+， {5}U C A =，集合B 是 由a 的取值组成的集合；试写出2{|log ||,}M x x a a B ==∈的全部子集．例2．已知集合2{|320}A x x x =-+=，2{|10}B x x ax a =-+-=，若A B A =，求实数a 的取值．例3．设22{(,)|10},{(,)|42250}A x y y x B x y x x y =--==+-+=，{(,)|},C x y y kx b ==+是否存在,,k b N +∈使得()A B C =∅？证明此结论.例4．（选讲）设2{|2},{23,},{|,},A x x a B y x x A C z z x x A =-≤≤==+∈==∈求使C B ⊆ 的充要条件.三、课后作业班级 姓名 学号 等第 1．已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|，Q P N x x Q 则},|{∈=等于 2．已知全集U =A B 中有m 个元素，()()U U A B 中有n 个元素．若A B 非空，则A B 的元素个数为3．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝｛x |2＜x ＜3｝ 4．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ⊆A ，则实数m ＝ 5．”“22≤≤-a 是 “实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的 6．已知集合22{|23,},{|27,},A y y x x x R B x x y x y R ==-+∈==-++∈则A B =7．已知A {|25},{|121},t t B x p x p =-≤≤=+≤≤-若.AB A =则实数p 的取值范围是8．已知集合21{(,)|21},{(1,)},2A a b a aB =-=则A 与B 的关系是9．有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题： ①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card ()A + card ()B ； ②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ； ③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ； ④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .其中真命题的序号是（1）. ③、④ （2）. ①、② （3）. ①、④ （4）. ②、③10．已知集合2{|4260},{|0}.A x x mx m B x x =-++==<若A B ≠∅则实数m 的取值范围是1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.11．已知集合A={(x,y)|x 2+mx －y+2=0},B={(x,y)|x －y+1=0,且0≤x ≤2},如果 A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围．12．集合2{|320}A x x x =-+=，2{|10}B x x ax a =-+-=，2{|C x x mx =-20}+=，已知,A B A A C C = =，求,a m 的值．13．已知 22{|190}A x x px p =-+-=， 22{|log (58)1}B x x x =-+=228{|21}xx C x +-==，又,A B A C ≠∅ =∅，求p 的值14．（选做）已知,a R ∈二次函数2()22.f x ax x a =--设不等式()0f x >的解集为A ，又知集合{|12}B x x =<<，若A B ≠∅，求a 的取值范围。

第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集 集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中集合 相等集合A ，B 中元素相同A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝A ∩B ＝∁U A ＝➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞ B ．[)1,2 C ．()1,2D ．[]1,22．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－23．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．24．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)[举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1]5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,95．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5B ．6C ．10D ．152.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75 D ．最多人数是80[举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．302．[2021·四川成都联考]已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1，B 2，B 3，…，B k ，k ∈N *.记b i 为集合B i (i ＝1,2,3，…，k )中的最大元素，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ＝( )A ．45B ．105C ．150D ．2103．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M ，N 都是非空集合U 的子集，令集合S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}，下列说法正确的是( )A ．若S ＝N ，则M ＝∅B ．若S ＝∅，则M ＝NC ．若S ⊆M ，则M ⊆ND ．∃M ，N ，使得S ＝(∁U M )∪(∁U N )4．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．235．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .第1讲 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合 相等集合A ，B 中元素相同 A ＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝ {x |x ∈A 或x∈B }A ∩B ＝ {x |x ∈A 且x ∈B }∁U A ＝ {x |x ∈U 且 x ∉A }➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1.故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}， 所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [举一反三]1．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））已知集合()(){}20A x a x x a =--<，若2A ∉，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞+∞B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,2【答案】D【解析】因为2A ∉，所以()()2220a a --≥，解得12a ≤≤．故选：D ．2．（2022·菏泽模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．(多选)（2022· 广州一调）已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．2解析：选BD.因为集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，－2n ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝4－4m ＝0，n ＝－－22m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝12或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，所以m ＋n ＝12或m ＋n ＝2.故选BD.4．（2022·福建·模拟预测）设集合{2,1,1,2,3}A =--，{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ，则集合B 元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】当2x =±时，y ＝1；当1x =±时，y ＝0；当x ＝3时，2log 3y =．故集合B 共有3个元素．故选：B.5．（2022·武汉校级月考）已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32➢考点2 集合的基本关系R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．[－1，2]C ．[－2，1]D ．[2，＋∞)【解析】 (1)因为M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，所以N ＝∁R M ，所以M ∪(∁R N )＝M .故选B.(2)集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为B ⊆A ，所以有⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1. 【答案】 (1)B (2)C [举一反三]1.（2022·广东广州·一模）已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ，{}02B x x =≤≤，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题可知{}1,0,1A =-，所有{}0,1A B =，所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅，所有共有4个子集，故选：C2．[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 求解一元二次方程，得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，易知B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.3．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知集合M ，N 是全集U 的两个非空子集，且()U M N ⊆，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．()U N M U ⋃=【答案】A 【解析】UN 表示集合N 的补集，因为()U M N ⊆，所以M N ⋂=∅．故选：A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}．若A ∩B 只有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[0,1]D ．(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A ＝{x ∈Z |x ≥a }，集合B ＝{x ∈Z |2x ≤4}＝{x ∈Z |x ≤2}，故A ∩B ＝{x ∈Z |a ≤x ≤2}．因为A ∩B 只有4个子集，所以A ∩B 中元素只能有2个，即A ∩B ＝{1,2}，所以0<a ≤1，故选D.5．[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：由题易得M ＝{a }．因为M ∩N ＝N ， 所以N ⊆M ， 所以N ＝∅或N ＝M ， 所以a ＝0或a ＝±1. 答案：0或1或－1➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－3≤x <4}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则( )A ．M ∪N ＝{x |－3≤x <4}B ．M ∩N ＝{x |－2≤x <4}C ．(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D ．M ∩(∁U N )＝(－3，－2)【解析】 (1)方法一：由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B ，所以2∈A ∪B ，所以2∉∁U (A ∪B )，故排除B ，D ；又0∈A ，所以0∈A ∪B ，所以0∉∁U (A ∪B )，故排除C ，故选A.(2)由x 2－2x －8≤0，得－2≤x ≤4，所以N ＝{x |－2≤x ≤4}，则M ∪N ＝{x |－3≤x ≤4}，A 错误；M ∩N ＝{x |－2≤x <4}，B 正确；由于∁U M ＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁U M )∪N ＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C 正确；由于∁U N ＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M ∩(∁U N )＝[－3，－2)，D 错误．故选BC.【答案】 (1)A (2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B.(2)根据集合并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 【答案】 (1)B (2)D [举一反三]1．（2022·河北石家庄·二模）已知集合{3,2,1,0,1}A =---，301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[3,1)-B ．[3,1]-C ．{3,2,1,0,1}---D ．{2,1,0}--【答案】D 【解析】因为30311x x x +<⇒-<<-，所以{}2,1,0B =--，而{3,2,1,0,1}A =---， 所以A B ={2,1,0}--，故选：D2．[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]解析：选C 因为A ∩B ≠∅，所以结合数轴可知实数a 的取值范围是a <3，故选C. 3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C.4．（2022·重庆·二模）已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,3,5,7,9B ．{}1,3,5,9C ．{}1,3,5D ．{}1,3,9【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示()R A B ⋂，由214480x x -+≤，得68x ≤≤， 所以{}68B x x =≤≤，所以{R 6B x x =<或}8x >，因为{}1,3,5,6,7,8,9A =， 所以(){}R1,3,5,9AB =，故选：B5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =.故选：C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞D ．(1，＋∞)[答案] B [解析] A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知，若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 7.（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A 【解析】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.（2022·北京房山·一模）已知U 是非实数集，若非空集合A 1，A 2满足以下三个条件，则称（A 1，A 2）为集合U 的一种真分拆，并规定（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ） A ．5 B ．6C ．10D ．15【答案】A 【解析】解：由题意，集合U ={1，2，3，4，5，6}的真分拆有{}{}125,1,2,3,4,6A A ==；{}{}121,4,2,3,5,6A A ==；{}{}123,4,1,2,5,6A A ==；{}{}124,5,1,2,3,6A A ==；{}{}124,6,1,2,3,5A A ==，共5种，故选：A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A 0＝{x |0<x <1}．给定一个函数y ＝f (x )，定义集合A n＝{y |y ＝f (x )，x ∈A n －1}，若A n ∩A n －1＝∅对任意的x ∈N *成立，则称该函数具有性质 “∅”． (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y ＝1x ；②y ＝x 2＋1；③y ＝cos π2x ＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析] (1)答案不唯一，合理即可．示例： 对于解析式y ＝x ＋1，因为A 0＝{x |0<x <1}，所以A 1＝{x |1<x <2}， A 2＝{x |2<x <3}，…，显然符合A n ∩A n －1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y ＝x ＋1. (2)对于①，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |x >1}，A 2＝{x |0<x <1}，…， 依次循环下去，符合A n ∩A n －1＝∅.对于②，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |1<x <2}，A 2＝{x |2<x <5}，A 3＝{x |5<x <26}，…，根据函数y ＝x 2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n ∩A n －1＝∅.对于③，A 0＝{x |0<x <1}，A 1＝{x |2<x <3}，A 2＝{x |1<x <2}，A 3＝{x |1<x <2}， 不符合A n ∩A n －1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②. [答案] (1)y ＝x ＋1 (2)①②3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( ) A ．最多人数是55 B ．最少人数是55 C ．最少人数是75D ．最多人数是80解析：选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ，其中带感冒药的人组成集合A ，带胃药的人组成集合B .设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ，则0≤x ≤20.设以上两种药都带的人数为y .由图可知，x ＋card(A )＋card(B )－y ＝100.∴x ＋75＋80－y ＝100，∴y ＝55＋x .∵0≤x ≤20，∴55≤y ≤75，故最少人数是55. [举一反三]1．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，中元素的个数为则A BA．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．2．[2021·四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，B k，k∈N*.记b i为集合B i(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋b k＝()A．45 B．105C．150 D．210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20.在集合B i(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C23＝3个；最大元素为5的集合有C24＝6个；最大元素为6的集合有C25＝10个，所以b1＋b2＋b3＋…＋b k＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.故选B.3．[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是()A．若S＝N，则M＝∅B．若S＝∅，则M＝NC．若S⊆M，则M⊆ND．∃M，N，使得S＝(∁U M)∪(∁U N)[答案] ABD [解析]本题考查Venn 图．用Venn 图表示，集合S 为如图1中的阴影部分，对于A 选项，若S ＝N ，利用S 的Venn 图观察，则有M ∩N ＝∅，M ＝∅，故A 选项正确；对于B 选项，若S ＝∅，则M ＝N ，故B 选项正确；对于C 选项，反例：如图集合S 为如图2中的阴影部分，N ⊆M ，故C 选项错误；对于D 选项，例如U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{4}，S ＝{x |x 恰好属于M ，N 中的一个}＝{1,2,3,4}＝U ，而(∁U M )∪(∁U N )＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S ，故D 选项正确，故选ABD.图1 图24．[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则整数x 的最小值为( ) A ．128 B ．127 C ．37D ．23解析：选D ∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A ，B ，C 三个集合，故选D.5．[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b ，c ，d )＝________，符合条件的全部有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________． 解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个． 答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 66．[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.求集合A.解：假设a1∈A，则a2∈A.又若a3∉A，则a2∉A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a1∉A.假设a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，且a1∉A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a4∉A.故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．。

第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素：一般地，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。

知识点2.集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的。

设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．（2）互异性： 给定一个集合，它的任意两个元素是互不相同的。

也就是说集合中的元素是不重复出现的。

集合中相同的元素只能算是一个。

（3）无序性：集合中的元素是不分先后顺序的．知识点3.元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。

特别注意：（1）集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的；（2）元素与集合之间不存在大小与相等的关系，只存在属于或不属于的关系。

如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。

知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子：中国的直辖市组成的集合。

还比如：地球上的四大洋组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。

数学中有一些常用数集，就是自然语言表示的， 这些常用数集及记法如下： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N 。

（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N 。

（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z 。

（4）全体有理数数组成的集合称为有理数集，记作Q 。

（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。

知识点5.集合的表示方法 （1）自然语言 （2）列举法列举法概念：像这样把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。

专题2：集合知识点与典型例题（解析版）考点一：集合的定义及其关系基础知识复习（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表+示实数集.1．下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数π相差很小的全体实数【答案】B【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D 中相差很小的对象不确定，故错.故选：B2．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【分析】根据集合元素满足确定性可判断①②③④⑤中的对象能否构成集合，即可得出结论. 【详解】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；”不确定，不能构成集合； 故③④正确. 故选：A.3．能够组成集合的是（ ） A ．与2非常数接近的全体实数 B ．很著名的科学家的全体 C ．某教室内的全体桌子 D ．与无理数π相差很小的数 【答案】C 【分析】由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可 【详解】解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合； B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合； C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合. 故选：C.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. 4．下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ） A ．0N ∈ B ．0Z ∈C ．32Q ∈ D ．Q π∈【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】根据元素与集合的关系可得0N ∈，0Z ∈，32Q ∈，Q π∉，故D 不正确，符合题意. 故选：D.5．设A ＝{y |y ＝﹣1+x ﹣2x 2}，若m ∈A ，则必有（ ）A ．m ∈{正有理数}B ．m ∈{负有理数}C ．m ∈{正实数}D ．m ∈{负实数}【答案】D 【分析】求出函数212y x x =-+-的值域，就是集合A ，进而可判断结果 【详解】解：因为22177122()488y x x x =-+-=---≤-， 所以78A y y ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭；∴若m ∈A ，则m ＜0，所以m ∈{负实数}. 故选：D.6．(){}2414M x R k x k=∈+≤+，对任意的k ∈R ，总有（ ）A ．2,0M M ∉∉B ．2,0M M ∈∈C ．2,0M M ∈∉D ．2,0M M ∉∈【答案】B 【分析】依次将0x =和2x =代入讨论求解即可得答案. 【详解】解：将0x =代入得440k +≥显然成立，故0M ∈ 将2x =代入不等式得42422k k +≥+，即()22110k +≥﹣ ，显然成立，∴2M ∈；所以2,0M M ∈∈ 故选：B .（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 7．用描述法表示正偶数集______. 【答案】{|2,}x x n n N *=∈ 【分析】用描述法表示出正偶数集即可.【详解】因为偶数可以表示为2()n nN ，所以正偶数集为{|2,}x x n n N *=∈， 故答案为：{|2,}x x n n N *=∈.8．用列举法表示方程组02x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集为_________.【答案】(){}1,1 【分析】解方程组，并用列举法表示点的集合. 【详解】 解：解方程组02x y x y -=⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，故方程组解的集合为：(){}1,1.故答案为：(){}1,1（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等9．已知集合{}12A x x =≤≤，{}2,B y y x a x A ==+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．[]2,1--C ．[]22-,D ．[]1,1-【答案】B 【分析】根据题意，求得集合B ，结合A B ⊆，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合[]1,2A =，可得{}[]2,2,4B y y x a x A a a ==+∈=++， 因为A B ⊆，所以2142a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得[]2,1a ∈--．故选：B.10．已知集合{}*A 2,n n x x N ==∈，{}*2n,n B x x N ==∈，则（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B ⋂=∅D ．A B =【答案】A 【分析】可根据特殊元素与集合的关系作答. 【详解】A. *n 2,n N ∀∈为偶数，故2n B ∈，故A B ⊆B. 6,6B A ∈∉，故B 错C. 4,4B A ∈∈，故A B ⋂=∅错D. 6,6B A ∈∉,故D 错 故选：A11．下列集合与集合{2,3}A =相等的是（ ）A ．{(2,3)}B ．{(,})|2,3}x y x y ==C ．{}2|560x x x -+=D ．{}290x N x ∈-≤【答案】C 【分析】根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可； 【详解】解：集合{2,3}A =，表示含有两个元素2、3的集合， 对于A ：{(2,3)}，表示含有一个点(2,3)的集合，故不相等； 对于B ：{(,})|2,3}x y x y ==，表示的是点集，故不相等；对于C ：{}2|560x x x -+=，表示方程2560x x -+=的解集，因为2560x x -+=的解为2x =，或3x =，所以{}{}2|5602,3x x x -+==对于D ：{}{}2903,2,1,0,1,2,3x N x ∈-≤=---，故不相等故选：C12．已知集合{}{}1,2,3,4,5,61,2,3U A ==，，集合A 与B 的关系如图所示，则集合B 可能是（ ）A ．{}2,4,5B ．{}1,2,5C ．{}1,6D ．{}1,3【答案】D 【分析】由图可得B A ⊆，由选项即可判断. 【详解】解：由图可知：B A ⊆，{}1,2,3A =，由选项可知：{}1,3A ⊆， 故选：D.（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.13．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ） A ．16 B ．8C ．7D ．4【答案】C 【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可. 【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个．故选：C ．14．集合A ＝{a ，b ，c ，d }非空子集的个数是（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C 【分析】根据集合A 的元素个数求解. 【详解】∵集合A ＝{a ，b ，c ，d }中有4个元素， ∴非空子集的个数为：24﹣1＝15， 故选：C.考点二：集合的基本运算 基础知识复习1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B(读作”A 交B ”)，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。

第一章集合与常用逻辑用语高考导航知识网络1.1 集合及其运算典例精析题型一 集合中元素的性质【例1】设集合A ＝{a ＋1，a －3，2a －1，a 2＋1}，若－3∈A ，求实数a 的值. 【解析】令a ＋1＝－3⇒a ＝－4，检验合格； 令a －3＝－3⇒a ＝0，此时a ＋1＝a 2＋1，舍去； 令2a －1＝－3⇒a ＝－1，检验合格； 而a 2＋1≠－3；故所求a 的值为－1或－4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A 的元素，但A 中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a 的值以后，又需要由元素的互异性检验a 是否符合要求.【变式训练1】若a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求a 和b 的值.【解析】由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，得①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+a b a b b a ,1,0 或②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+1,,0b a a b b a 显然①无解；由②得a ＝－1，b ＝1.题型二 集合的基本运算【例2】已知A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a .【解析】由已知得A ＝{3，5}.当a ＝0时，B ＝∅⊆A ；当a ≠0时，B ＝{1a}.要使B ⊆A ，则1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或15.综上，a ＝0或13或15.【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练2】(2010江西)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于()A.{x|－1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，所以y10≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.又A⊆B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|2x－1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}【解析】选C.化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为∁R M∩N＝{x|1＜x≤2}.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.1.2命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一四种命题的写法及真假判断【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.(1)若m，n都是奇数，则m＋n是奇数；(2)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.【解析】(1)逆命题：若m＋n是奇数，则m，n都是奇数，假命题；否命题：若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数，假命题；逆否命题：若m＋n不是奇数，则m，n不都是奇数，假命题.(2)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5，真命题；否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2，真命题；逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5，假命题.【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是()A.若⌝p，则⌝qB.若⌝q，则⌝pC.若q，则pD.若⌝q，则p【解析】选B.题型二充分必要条件探究【例2】设m＞0，且为常数，已知条件p：|x－2|＜m，条件q：|x2－4|＜1，若⌝p是⌝q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.【解析】设集合A＝{x||x－2|＜m}＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|3＜x＜5或－5＜x＜－3}.由题设有：⌝q⇒⌝p且⌝p不能推出⌝q，所以p⇒q且q不能推出p，所以A⊆B.因为m＞0，所以(2－m，2＋m)⊆(3，5)，故由2＋m≤5且2－m≥3⇒0＜m≤5－2，故实数m的取值范围为(0，5－2].【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是()A.0≤a≤2B.－2＜a＜2C.0＜a≤2D.0＜a＜2【解析】选A.因为A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，且A∩B＝∅，所以如图，由画出的数轴可知，即0≤a≤2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列{a n}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝n－1a1a n成立的充要条件是{a n}为等差数列.【证明】(1)(充分性)若{a n}为等差数列，设其公差为d，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝1d[(1a1－1a2)＋(1a2－1a3)＋…＋(1a n－1－1a n)]＝1d(1a1－1a n)＝a n－a1da1a n＝n－1a1a n.(2)(必要性)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， 两式相减得1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1－n －1a 1a n ⇒a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.①于是有a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，②由①②得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1(n ≥2). 又由1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3⇒a 3－a 2＝a 2－a 1，所以n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求. 【变式训练3】设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若x sin x ＜1，因为x ∈(0，π2)，所以x sin x ＞x sin 2x ，由此可得x sin 2x ＜1，即必要性成立.若x sin 2x ＜1，由于函数f (x )＝x sin 2x 在(0，π2)上单调递增，且π2sin 2π2＝π2＞1，所以存在x 0∈(0，π2)使得x 0sin 2x 0＝1.又x 0sin x 0＞x 0sin 2x 0＝1，即x 0sin x 0＞1，所以存在x 0′∈(0，x 0)使得x 0′sin 2x 0′＜1，且x 0′sin x 0′≥1，故充分性不成立.总结提高1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.3.p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，相当于分别满足条件p 和q 的两个集合P 与Q 之间有包含关系：P ⊆Q ，即P Q 或P ＝Q ，必要条件正好相反.而充要条件p ⇔q 就相当于P ＝Q .4.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p ，则q ”为真；②p ⇒q ；③p 是q 的充分条件；④q 是p 的必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一 全称命题和特称命题的真假判断 【例1】判断下列命题的真假.(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12；(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.【解析】(1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞12.(2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意.(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4∉N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.则下面结论正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧⌝q ”是假命题C.命题“⌝p ∨q ”是真命题D.命题“⌝p ∧⌝q ”是假命题【解析】选D.先判断命题p 和q 的真假，再逐个判断.容易知命题p 是真命题，如x ＝π4，⌝p 是假命题；因为当x ＝0时，x 2＝0，所以命题q 是假命题，⌝q 是真命题.所以“p ∧q ”是假命题，A 错误；“p ∧⌝q ”是真命题，B 错误；“⌝p ∨q ”是假命题，C 错误；“⌝p ∧⌝q ”是假命题，D 正确.题型二 含有一个量词的命题的否定 【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. 【解析】(1) ⌝p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，是假命题.(2) ⌝q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. (3) ⌝r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，是真命题. (4)⌝s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3x ＞0，则⌝p 为 .【解析】∃x 0∈(1，＋∞)，log 3x 0≤0. 题型三 命题的真假运用【例3】若r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0，如果“对任意的x ∈R ，r (x )为假命题”且“对任意的x ∈R ，s (x )为真命题”，求实数m 的取值范围.【解析】因为由m ＜sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)恒成立，得m ＜－2；而由x 2＋mx ＋1＞0恒成立，得m 2－4＜0，即－2＜m ＜2.依题意，r (x )为假命题且s (x )为真命题，所以有m ≥－2且－2＜m ＜2， 故所求m 的取值范围为－2≤m ＜2.【点拨】先将满足命题p 、q 的m 的取值集合A 、B 分别求出，然后由r (x )为假命题(取A 的补集)，s (x )为真命题同时成立(取交集)即得.【变式训练3】设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立.已知下列函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos πx ，其中属于集合M 的函数是 (写出所有满足要求的函数的序号).【解析】②④.对于①，方程1x ＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x ＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg 3，显然也无实数解； 对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π， 即cos πx ＝12，显然存在x 使等式成立.故填②④.总结提高1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.。

集合一、知识点1、集合的定义：把某些能够确切指定的对象看做一个整体，这个整体就叫做集合，简称集，通常用大写字母A,B,C,D……来表示集合，集合中的各个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a,b,c,d.……来表示元素。

如果说a是A中的元素，就说a属于A，记为a∈A；如果b不是B中的元素，就说b不属于B，记为b∉B。

2.集合中元素的特征（1）确定性（2）互异性（3）无序性（1）列举法（2）描述法｛x∣x具有性质p｝（3）韦恩图（文氏图）（1）有限集（2）无限集5.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ（1）自然数集N（正整数集N+或N*）（2）整数集Z（正整数集Z+，负整数集Z）（3）有理数集Q（无理数集C R Q）（4）实数集R （5）复数集C7、区间的概念：通常把介于两个实数a，b（a＜b）之间的实数集合称之为区间，并规定（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示[a,b]；（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示﹙a,b﹚；（3）满足不等式a≤x<b,或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示[a,b﹚,﹙a,b].（4）满足不等式x>a或x<a的实数x的集合叫做无限区间,表示（a,+∞）,(∞,a）（5）（+∞,∞）=R（实数集合）（1）子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或 B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。

（2）真子集：如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。

（3）子集、真子集的一些性质：①规定空集φ是任何集合的子集；②对于含n个元素的集合，它的子集个数为2n，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个。

9.集合的运算（1）交集：由集合A和集合B的公共元素组成的集合，叫做集合A和集合B的交集，记作A∩B，读作A交B。

数学一轮总复习 第一章 集合与简易逻辑第一节 集合【考纲要求】【知识网络】【考点梳理】 一．集合的概念：集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算 描 述 法图 示 法列 举 法 相 等 包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集1.一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。

集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、…… 2.集合中元素特征（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 3.集合的分类：根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分Φ，}{Φ，}0{，0等符号的含义 4、常用数集（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N *或N + （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N *或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *二．集合的表示法：1.列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；2.描述法：例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 3.韦恩图： 4.区间法：三．集合间的基本关系：1.元素与集合的关系，用∈或∉表示；属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写.2.集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

高三数学第一轮复习知识点高三数学第一轮复习集合知识点一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2.集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于属于的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R|x-32}或{x|x-32}4、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系1.包含关系子集注意：有两种可能(1)A是B的`一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.相等关系(55，且55，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}元素相同结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B三、集合的运算1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作A交B)，即AB={x|xA，且xB}.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解集合考点要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B ，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B} A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B} A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A} ∁U A常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x ∈N |x 3＝x }，用列举法表示为{－1,0,1}．(×) (2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(×) (3)若1∈{x 2，x }，则x ＝－1或x ＝1.(×) (4)对任意集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )．(√) 教材改编题1．若集合A ＝{x ∈N |2x ＋10>3x }，则下列结论正确的是() A ．22∈A B ．8⊆A C ．{4}∈A D ．{0}⊆A 答案D2．已知集合M ＝{a ＋1，－2}，N ＝{b,2}，若M ＝N ，则a ＋b ＝________. 答案－1解析∵M ＝N ，∴⎩⎨⎧a ＋1＝2，b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－1.3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∩B ＝____________，A ∪(∁UB )＝____________.答案{x |2≤x ≤3}{x |－2<x ≤3}解析∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≤－2或x ≥2}， ∴∁U B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，A ∪(∁U B )＝{x |－2<x ≤3}.题型一 集合的含义与表示例1(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为() A ．2B ．3C ．4D ．6 答案C解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．(2)若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案0或1解析①当a －3＝－3时，a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}， ②当2a －1＝－3时，a ＝－1， 此时A ＝{－4，－3，－3}舍去，③当a 2－4＝－3时，a ＝±1，由②可知a ＝－1舍去，则当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}， 综上，a ＝0或1. 教师备选若集合A ＝{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k 的取值集合是________．答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 解析依题意知，方程kx 2＋x ＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k ＝0或⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝1－4k ＝0，∴k ＝0或k ＝14，∴k的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14.思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 跟踪训练1(1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪4x －2∈Z ，则集合A 中的元素个数为() A ．3B ．4 C ．5D ．6 答案C 解析∵4x －2∈Z ， ∴x －2的取值有－4，－2，－1,1,2,4， ∴x 的值分别为－2,0,1,3,4,6， 又x ∈N ，故x 的值为0,1,3,4,6. 故集合A 中有5个元素． (2)已知a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，则a 2023＋b 2023＝________.答案0解析∵{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b 且a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴a ＝－b ， ∴{1,0，－b }＝{0，－1，b }， ∴b ＝1，a ＝－1，∴a 2023＋b 2023＝0.题型二 集合间的基本关系例2(1)设集合P ＝{y |y ＝x 2＋1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}，则集合M 与集合P 的关系是() A ．M ＝P B ．P ∈M C ．M P D ．P M答案D解析因为P ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，M ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R ，因此PM .(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． 答案[－1，＋∞) 解析∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，解得m >2；②当B ≠∅时，⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)． 延伸探究在本例(2)中，若把B ⊆A 改为B A ，则实数m 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析①当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，∴m >2； ②当B ≠∅时，⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1<4或⎩⎨⎧2m －1≤m ＋1，2m －1>－3，m ＋1≤4.解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)． 教师备选已知M ，N 均为R 的子集，若N ∪(∁R M )＝N ，则() A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ⊆∁R N D ．∁R N ⊆M 答案D解析由题意知，∁R M ⊆N ，其Venn 图如图所示，∴只有∁R N ⊆M 正确．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． 跟踪训练2(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－6x <0}，则满足A C ⊆B 的集合C 的个数为() A ．4B ．6 C ．7D ．8 答案C解析∵A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}， 且A C ⊆B ，∴集合C 的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．(2)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为________． 答案0，±1解析∵M ＝{－1,1}，且M ∩N ＝N ， ∴N ⊆M .若N ＝∅，则a ＝0； 若N ≠∅，则N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a ， ∴1a ＝1或1a＝－1，∴a ＝±1综上有a ＝±1或a ＝0. 题型三 集合的基本运算 命题点1集合的运算例3(1)(2021·全国乙卷)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2}，集合N ＝{3,4}，则∁U (M ∪N )等于() A ．{5}B ．{1,2} C ．{3,4}D ．{1,2,3,4} 答案A解析方法一(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．方法二(先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3,4,5}，∁U N＝{1,2,5}，所以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．(2)集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<x<5}，则集合(∁R A)∩B＝________.答案{x|1<x≤4}解析A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，A＝{x|－1≤x≤4}，∴∁RA)∩B＝{x|1<x≤4}．∴(∁R命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)答案D解析由题意得，B＝{x|logx<1}＝{x|0<x<2}，2∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈(A∩B)，∴a∉(A∩B)，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－3)∪(4，＋∞)解析A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，∵A∩B＝∅，∴a－1>3或a＋1<－2，即a>4或a<－3.教师备选(2022·铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁R B)≠∅，则实数a的取值范围是()A．1≤a≤2B．1<a<2C．a≤1或a≥2D．a<1或a>2答案D解析A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，B＝{x|a－1<x<a＋1}；所以∁R又A∩(∁R B)≠∅，所以a－1<0或a＋1>3，解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2.思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 跟踪训练3(1)(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N 等于() A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5} 答案B解析因为M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4. (2)(2022·南通模拟)设集合A ＝{1，a ＋6，a 2}，B ＝{2a ＋1，a ＋b }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝________，b ＝________. 答案22解析由题意知，4∈A ，所以a ＋6＝4或a 2＝4， 当a ＋6＝4时，则a ＝－2，得A ＝{1,4,4}， 故应舍去；当a 2＝4时，则a ＝2或a ＝－2(舍去)， 当a ＝2时，A ＝{1,4,8}，B ＝{5,2＋b }， 又4∈B ，所以2＋b ＝4，得b ＝2.所以a＝2，b＝2.题型四集合的新定义问题例5(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为()1A．15B．16C．20D．21答案D解析由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，12＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.(2)若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的1不同分拆种数是________．答案27解析不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，当A 1＝{1,2,3}时，A 2可为A 1的子集，共8种， 故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆． 教师备选非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝2x，x ∈[1，4]，其中是“互倒集”的序号是________． 答案②③解析①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意； ②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}， 即{x |3－22≤x ≤3＋22}， 显然0∉A ， 又13＋22≤1x ≤13－22， 即3－22≤1x≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意；③中，⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝2x ，x ∈[1，4]， 易得⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12≤y ≤2，0∉A ， 又12≤1y≤2，故1y也在集合A中，符合题意．思维升华解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝____________.答案{x|－3≤x<0或x>3}解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}．∴A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}．课时精练1．(2022·天津模拟)设全集U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{5}B．{0,5}C．{0,3,4,5}D．{－5，－4，－3，－2，－1,0,5}答案B解析∵集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，∵U＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,5}．2．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＋3>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁U B)等于()A．R B．(1,2]C．(1,2) D．[2，＋∞)答案C解析A＝{x|x＋3>2}＝(1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴∁U B＝(－∞，2)，∴A∩(∁U B)＝(1,2)．3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为()A．2B．3C．8D．9答案B解析由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3. 4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a＋a2＋a3等于()1A．1B．2C．3D．6答案C解析集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a}，3则所有非空真子集的元素之和为a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3.5．已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是() ①P ∪Q ＝R ；②P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}；③P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}； ④P ∩Q 的真子集有3个． A ．①②④B．②③④ C ．②④D．③④ 答案C解析联立⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴P ∩Q ＝{(1,0)，(0,1)}， 故②正确，③错误； 又P ，Q 为点集，∴①错误；又P ∩Q 有两个元素，∴P ∩Q 有3个真子集， ∴④正确．6．已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A ．a <－2B ．a ≤－2C ．a >－4D ．a ≤－4 答案D解析集合A ＝{x |－2≤x ≤2}， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2，由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图．可知－a2≥2，即a ≤－4.7．(2022·重庆模拟)已知全集U ＝{x ∈N |log 2x <3}，A ＝{1,2,3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B 不可能为() A ．{3,6}B ．{3,4,5} C ．{2,3,6}D ．{3,5,6} 答案C解析由log 2x <3得0<x <23，即0<x <8， 于是得全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}， 因为∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}， 则有A ∩B ＝{3},3∈B ； 对于A 选项，若B ＝{3,6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，A 可能； 对于B 选项，若B ＝{3,4,5}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，B 可能； 对于C 选项，若B ＝{2,3,6}，则A ∩B ＝{2,3}， 所以∁U (A ∩B )＝{1,4,5,6,7}，矛盾，故C 不可能； 对于D 选项，若B ＝{3,5,6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1,2,4,5,6,7}，D 可能．8．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的个数是()①A∩B＝∅；②A∩B＝B；③A∪B＝U；④(∁U B)∪A＝A.A．1B．2C．3D．4答案B解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故①②均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知(∁U A)⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由(∁U A)⊆B，知(∁U B)⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故③④均正确．9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，所以m＝－3.10．(2022·宁夏模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则下列Venn图中阴影部分的集合为________．答案{－1,2,3}解析集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，Venn图中阴影部分表示的集合是M∩(∁R N)＝{－1,2,3}．11．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________.答案{－5，－2,4}解析∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2,4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)，综上，有A∪B＝{－5，－2,4}．12．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(∁R B)∪A＝R，则实数a的取值范围是____________．答案[2，＋∞)解析由已知可得A＝(－∞，a)，B＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∁RB)∪A＝R，∴a≥2.∵(∁R13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.答案－11解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.14．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B 都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___人．答案18解析赞成A的人数为40×35＝24，赞成B的人数为24＋3＝27，设对A，B都赞成的学生有x人，则13x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，解得x＝18.15．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为()A ．15B ．16C ．32D ．256答案A解析由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15. 16．已知集合A ＝{x |8<x <10}，设集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，若(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，则实数a 的取值范围是______________．答案⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92 解析当B ＝∅时，2a －1≤a ，解得a ≤1，此时∁U B ＝U ，(∁U B )∩A ＝U ∩A ＝{x |8<x <9}，符合题意；当B ≠∅时，2a －1>a ，解得a >1，因为集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，所以∁U B ＝{x |0<x ≤a 或2a －1≤x <9}，因为(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，所以2a －1≤8，解得a ≤92， 所以B ≠∅时，1<a ≤92， 综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92.。

第一章 集合与简易逻辑——第1课时：集合的概念一．课题：集合的概念二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．四．教学过程：（一）主要知识：1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．（三）例题分析：例1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则（ D ） ()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠；（2）若0xy =，则0x =或0y =．当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠；当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-，由P Q =得220y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩ ① 或220y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ② 由①得1y =-，由②得1y =，∴{01x y ==-或{01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．第一章 集合与简易逻辑——第1课时：集合的概念例3．设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈， 1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则 （ B ） ()A M N = ()B M N ⊂≠ ()C M N ⊇ ()D M N φ= 解法一：通分； 解法二：从14开始，在数轴上表示． 例4．若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆，求实数a 的取值范围． 解：（1）若A φ=，则240a ∆=-<，解得22a -<<；（2）若1A ∈，则2110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意；（3）若2A ∈，则22210a ++=，解得52a =-，此时5{2,}2A =，不合题意； 综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)-．例5．设2()f x x px q =++，{|()}A x x f x ==，{|[()]}B x f f x x ==，（1）求证：A B ⊆；（2）如果{1,3}A =-，求B ．解答见《高考A 计划（教师用书）》第5页．（四）巩固练习：1．已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P 为1{0,2,}3-；P 的子集有 8 个；P 的非空真子集有 6 个．2．已知：2()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a 、b 的值分别为2,4-． 3．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ，最小值为 55 ．4．设数集3{|}4M x m x m =≤≤+，1{|}3N x n x n =-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是112．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5，6，7，8，9，11，12．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

高三数学一轮复习集合的常用结论与考点归纳一、基础知识
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
(4)五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A?B(或B?A)．
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作A B或B A.
二、常用结论
考点一集合的基本概念
考点二集合间的基本关系
考点三集合的基本运算。

第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］ 考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________． 解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。