2019-2020最新高三数学一轮复习第1讲集合教案

2019-2020学年高考数学一轮复习 1.1集合教案教学目标：知识与技能：了解集合的含义，元素与集合的属于关系，理解集合之间的包含与相等关系，理解子集与补集的关系。

过程与方法：会求两个集合的交，并，补集，能使用韦恩图表达集合的关系及运算。

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验集合的具体应用，应用集合解决实际问题的方法。

教学重点：集合的交，并，补关系及运算教学难点：使用韦恩图表达集合的关系及运算教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.集合的含义与表示方法2.集合间的基本关系3.集合的基本运算二、例题讲解例1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则A=B=C.( )(2)含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.( )(3)A ∩B= 的充要条件是A=B= .( )(4)A ∩B=A ⇔A ⊆B.( )(5)A ∪B=A ⇔B ⊆A.( )(6) (A ∪B)=( A)∩( B).( )【解析】(1)错误．集合A 是函数y=x2的定义域，即A=(-∞,+∞)；集合B 是函数y=x2的值域，即B=［0,+∞)；集合C 是满足方程y=x2的实数x,y 的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等．(2)正确．空集的子集个数为1个，即 ；含有1个元素的集合{a1}的子集个数为2个，即 ,{a1}；含有2个元素的集合{a1,a2}的子集个数为4个，即 ,{a1},{a2},{a1,a2}……归纳可得含有n 个元素的集合的子集个数为2n 个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2．(3)错误．A ∩B= 时，只要集合A,B 没有公共元素即可，不一定是A=B= ．(4)正确．当A ⊆B 时，显然A ∩B=A ；当A ∩B=A 时，对任意x ∈A ，得x ∈A ∩B ，得x ∈B ，即x ∈A ⇒x ∈B ，故A ⊆B ．(5)正确．当B ⊆A 时，显然A ∪B=A ；当A ∪B=A 时，对任意x ∈B ，则x ∈A ∪B ， ∅∅得x∈A，即x∈B⇒x∈A，即B⊆A．(6)正确．设x∈ (A∪B)，则x (A∪B)，得x A且x B，即x∈ A且x∈ B，即x∈( A)∩( B)，即 (A∪B)⊆( A)∩( B)；反之，当x∈( A)∩( B)时，得x∈ A且x∈ B得x A且x B，得x (A∪B)，得x∈ (A∪B)，即 (A∪B) ( A)∩( B)．根据集合相等的定义得 (A∪B)=( A)∩( B)．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√考向 1 集合的基本概念【典例1】(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5}, B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y ∈A},则B中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足x∈A,y∈A,x-y∈A的有序实数对，根据要求分类列举求解．(2)据1∈A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数．【规范解答】(1)选D.方法：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个．所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10．(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A={1,0,1}，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A={2,1,3}或A={0,1,1}，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A={1,0,1}或A={0,1,1}，都与集合元素的互异性相矛盾．综上可知，只有a=0符合要求，故集合B中只有一个元素．【互动探究】在本例(1)的集合B中如果去掉x-y∈A的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理当x=2,3,4,5时，y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有5×5=25个元素【变式训练】定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B={0，2，4}，故集合A*B中所有元素之和为6.考向 2 集合间的基本关系【典例2】(1)(2014·三明模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A ∪B=A ∩B,则实数a 的取值集合是 .【思路点拨】(1)求出A,B 中的元素,由A ⊆C ⊆B,知集合C 的个数由B 中有A 中没有的元素个数决定.(2)A ∪B=A ∩B ⇔A=B ，得出关于a,b 的方程组，解出a,b ，再根据集合元素的性质加以检验得出结论．【规范解答】(1)选D.A={x|x2-3x+2=0,x ∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x ∈N}={1,2,3,4},由A ⊆C ⊆B,方法一:则C 中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C 的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.方法二:则C 可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个(2)方法一：因为A ∪B=A ∩B,所以A=B ，所以{1,b}={a2,ab}， 所以 解得 反代回A,B 集合知，只有 适合， 所以 即实数a 的取值集合是{-1}.【变式训练】(1)已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M ∩N=N ，则实数a 的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-1【解析】选D ．M ∩N=N ⇔N ⊆M ．当a=0时，N= ，符合要求， 当a ≠0时，只要 即a=±1即可．(2)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy}，若A=B ，则实数对(x,y)的取值集合是_________.【解析】由A=B ，且0∈B ，故集合B 中的元素x2≠0,xy ≠0，故x ≠0,y ≠0，那么只能是集合A 中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，{x,y}={x2,xy}， 答案：{(1,-1),(-1,1)}考向 3 集合的基本运算【典例3】(1)(2012·福建高考)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是( )(A)N ⊆M (B)M ∪N=M (C)M ∩N=N (D)M ∩N={2} 221ab,1a b ab b a =⎧⎧=⎨⎨==⎩⎩，或，a 1a 1a 1,b 0b R b 1.=-==⎧⎧⎧⎨⎨⎨=∈=⎩⎩⎩，，或或a 1b 0=-⎧⎨=⎩，a 1b 0.=-⎧⎨=⎩，∅1a a =，22x y 0,x y 0,x x,x y,xy y xy x.+=+=⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩即或，x 1,x 1,y 1y 1.==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩解得或，(2)(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={0,1,3,5,8}，集合B={2,4,5,6,8}，则( A)∩( B)为( )(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【思路点拨】(1)根据集合M，N中元素的特点逐一验证.(2)可以根据补集定义求出 A, B，再根据交集定义得出结论，还可以利用Venn图解决．【规范解答】(1)选D.显然M∩N={2}. (2)选B.方法：集合( A)∩( B)= (A∪B)={7,9}．如图所示：【拓展提升】小结：集合的运算律(1)交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(2)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C).(3)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).【变式训练】(1)已知集合M={y|y=2x}，集合N={x|y=lg(2x-x2)}，则M∩N=( )(A)(0,2) (B)(2,+∞)（C）［0,+∞］ (D)(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】选A. 集合M为函数y=2x的值域，即M=(0,+∞)，集合N是函数y=lg(2x-x2)的定义域，由不等式2x-x2＞0，解得N=(0,2)，所以M∩N=(0,2).三，布置作业思考辨析，考点自测，知能巩固。

一．课题：集合（1）二．教学目标：1.理解集合的概念和性质．2.了解元素与集合的表示方法．3.熟记有关数集．4.培养学生认识事物的能力三．教学重、难点：集合概念、性质.四．教学过程：（一）复习：回顾初中代数中涉及“集合”提法（二）新课讲解：1.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.进一步指出：集合中每个对象叫做这个集合的元素.由此上述例中集合的元素是什么？（例（1）的元素为1、3、5、7，例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，例（3）的元素为满足不等式323x x +>+的实数x ，例（4）的元素为所有直角三角形，例（5）为高一·三班全体男同学.）请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.一般用大括号表示集合，则上几例可表示为……由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉（ ∉ 也可表示为 ）两种.请同学们熟记上述符号及其意义.∈请同学回答：已知a b c m ++=，2{|}A x ax bx c m =++=，判断1与A 的关系. [1A ∈]五．课堂练习：课本P 5，练习1、2补充练习：若23{1,3,1}m m m -∈-+，求m 。

[1m =-或2]m =-六．小结：1.集合的概念2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3.常见数集的专用符号.七．课后作业：课本P 7，习题1.1 第1题.。

第 章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语 言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间 包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的 含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交 集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能 使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号NN *(或N ＋)ZQR2.集合间的基本关系表 示文字语言符号语言记法关系A ⊆基 本子集集合 A 的元素都是集合 B 的元素x ∈A ⇒x ∈BB 或 B ⊇ 关 A 系真子集集合 A 是集合 B 的子集，但集合 A ⊆B ，∃x 0∈B ，x 0∉AA B 或B 中至少有一个元素不属于 AB A相等集合 A ，B 的元素完全相同 A ⊆B ，B ⊆A ⇒A ＝B A ＝ B空集不含任何元素的集合．空集是任 何集合 A 的子集∀x ，x ∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算 表示 文字语言符号语言图形语言记法运算 交集属于 A 且属于 B 的元素组成 的集合{x |x ∈A 且x ∈B }A ∩B并集属于 A 或属于 B 的元素组成 的集合{x |x ∈A 或x ∈B }A ∪B补集全集 U 中不属于 A 的元素组 成的集合{x |x ∈U ，x ∉A }∁U A[常用结论]1．若有限集 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n ，真子集的个数为 2n －1.2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3．A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U ；∁U (∁U A )＝A .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何集合都至少有两个子集． ( )(2)已知集合 A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则 A ＝B ＝C .( )(3)若{x 2，x }＝{－1,1}，则 x ＝－1. ( ) (4)若 A ∩B ＝A ∩C ，则 B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的． (2)错误．集合 A 是函数 y ＝x 2 的定义域，即 A ＝(－∞，＋∞)；集合 B 是函 数 y ＝x 2 的值域，即 B ＝[0，＋∞)；集合 C 是抛物线 y ＝x 2 上的点集．因此 A ，B ，C 不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C 可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝2 2，则下列结论正确的是() A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2 2知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C[∁A B＝{0,2,6,10}．]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1 或x＞3}，则A∩B＝() A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1 或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]集合的含义与表示1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M 中的元素个数为()A．3B．4C．5D．6B[因为集合M 中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3 时，x＝5,6,7.当b＝5，a＝1,2,3 时，x＝6,7,8.由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4 个元素．]2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()9 9 9A. B. C．0 D．0 或2 8 8D[若集合A 中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0 只有一个实根或有两个相等实根．2当a＝0 时，x＝，符合题意；39当a≠0 时，由Δ＝(－3)2－8a＝0 得a＝，89所以a 的取值为0 或.]8b3．已知a，b∈R，若{a，，1}＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019 为()aA．1 B．0 C．－1 D．±1bC[由已知得a≠0，则＝0，a所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1 或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1 应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.] 4．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.1[由A∩B＝{3}知a＋2＝3 或a2＋4＝3.解得a＝1.][规律方法]与集合中的元素有关的问题的求解策略1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集.2看这些元素满足什么限制条件.3根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.集合间的基本关系【例 1】 (1)已知集合 A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则( )A ．B ⊆A B ．A ＝BC ．AB D ．BA(2)(2019·大庆模拟)集合 A ＝Error!，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合 B 的子 集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2(3)已知集合 A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若 B ⊆A ，则实 数 a 的取值集合为________．C.1 1(1)C (2)B (3){， [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则 A B ，故选－，0}3 2x ＋1(2)由 ≤0 得－1≤x ＜3，则 A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝ x －3 {1,2,5}，其子集的个数为 23＝8 个．(3)A ＝{－3,2}，若 a ＝0，则 B ＝∅，满足 B ⊆A ，11 1 1 1若 a ≠0，则 B ＝{，由 B ⊆A 知， ＝－3 或 ＝2，故 a ＝－ 或 a ＝ ，a}aa 3 21 1因此 a 的取值集合为{.]－， ，0}3 2[规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法 1化简集合，从表达式中寻找两集合的关系. 2用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解.易错警示：B⊆A A≠∅，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.(1)(2018·长沙模拟)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为()A．1 B．2 C．4 D．8(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a 的取值范围是________．(1)C(2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B 得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]集合的基本运算►考法1集合的运算【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B ＝()A．{0}B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是()A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1 或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2 －x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2 －x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a 的取值范围是()A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1 C．2D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.][规律方法]解决集合运算问题需注意以下三点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.3要借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.(1)(2019·东北三省四市联考)设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x(x－3) ＜0}，则A∪B＝()A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝()A．{1}B．{2} C．{1,2}D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B ＝()A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27}(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1 或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2}B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3 知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则()A．A∩B＝Error!B．A∩B＝∅C．A∪B＝Error!D．A∪B＝RA[因为B＝{x|3－2x＞0}＝Error!，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝Error!，A∪B ＝{x|x＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2D[分析集合A中元素的特点，然后找出集合B中满足集合A中条件的元素个数即可．集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3 除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8 和14.故选D.]。

2019-2020年高考数学一轮总复习1.1集合及其运算教案理新人教A版高考导航考试要求 重难点击 命题展望1.考查集合本 身的基础知 识，如集合的 概念，集合间 的关系判断和 运算等； 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系； (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或本章重点： 描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系 1.集合的含义 与表示、集合间 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定的基本关系与 2.将集合知识 与其他知识点 综合，考查集 合语言与集合 思想的运用；3.考查命题的 必要条件、充 分条件与充要 条件，要求考 生会对所给命 题进行等价转 化； 集合的子集； 基本运算； (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 2.命题的必要 条件、充分条件 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个与充要条件，对 所给命题进行 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会等价转化. 简单集合的并集与交集； 求给定子集的补集； 本章难点： (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.4.命题及其关系 1.自然语言、图 形语言、集合语 言之间相互转 (1)理解命题的概念； (2)了解“若p ，则q”形式的命题及其逆命题，否换； 命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系； (3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.5.简单的逻辑联结词 2.充分条件、必 4.要求考生理 解全称量词与 存在量词的意 义，能正确地 对含有一个量 词的命题进行 否定.要条件的判断； 3.对含有一个 量词的命题进 行否定的理解. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 6.全称量词与存在量词 (1)理解全称量词与存在量词的意义； (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识网络1.1集合及其运算典例精析题型一集合中元素的性质【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.【解析】令a＋1＝－3⇒a＝－4，检验合格；令a－3＝－3⇒a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；令2a－1＝－3⇒a＝－1，检验合格；而a2＋1≠－3；故所求a的值为－1或－4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.b【变式训练1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求a和b的值.ab【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，，b}，aa b 0,a b 0,b b1, a,aa得① ba 或② b1 显然①无解；由②得a＝－1，b＝1.题型二集合的基本运算【例2】已知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a.1 【解析】由已知得A＝{3，5}.当a＝0时，B＝∅⊆A；当a≠0时，B＝{}.a1 1 11要使B⊆A，则＝3或＝5，即a＝或.35a a11综上，a＝0或或.35【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练2】(xx江西模拟)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B 等于( )A.{x|－1≤x≤1} C.{x|0≤x≤1}B.{x|x≥0} D.【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32. (2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，所以y≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.10又A⊆B，所以log2t≤12，即t≤212＝4096，所以t的取值范围为[256,4096](或[28,212]).2【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x| ≥1}，则图中阴影部分所x－1表示的集合是(A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2})【解析】选C.化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为∁RM∩N＝{x|1＜x≤2}.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想. (1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A ∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.2019-2020年高考数学一轮总复习1.3简易逻辑联结词、全称量词与存在量词教案理新人教A版典例精析题型一全称命题和特称命题的真假判断【例1】判断下列命题的真假.1(1)∀x∈R，都有x2－x＋1＞；2(2)∃α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N；(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.1 331【解析】(1)真命题，因为x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞.4422π(2)真命题，例如α＝π，β＝，符合题意.4 2(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是( )A.命题“p∧q”是真命题C.命题“p∨q”是真命题B.命题“p∧q”是假命题D.命题“p∧q”是假命题π【解析】选D.先判断命题p和q的真假，再逐个判断.容易知命题p是真命题，如x＝，p4 是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，q是真命题.所以“p∧q”是假命题，A错误；“p∧q”是真命题，B错误；“p∨q”是假命题，C错误；“p∧q”是假命题，D正确.题型二含有一个量词的命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；4(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.1【解析】(1)p：∃x∈R，x2－x＋＜0，是假命题.4(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.(3)r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题.(4)s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全 称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p ：∀x∈(1，＋∞)，log3x ＞0，则p 为【解析】∃x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0.题型三命题的真假运用 .【例3】若r(x)：sinx ＋cosx ＞m ，s(x)：x2＋mx ＋1＞0，如果“对任意的x∈R，r(x)为 假命题”且“对任意的x∈R，s(x)为真命题”，求实数m 的取值范围.π 【解析】因为由m ＜sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋)恒成立，得m ＜－2； 4而由x2＋mx ＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m ＜2.依题意，r(x)为假命题且s(x)为真命题，所以有m≥－2且－2＜m ＜2，故所求m 的取值范围为－2≤m＜2.【点拨】先将满足命题p 、q 的m 的取值集合A 、B 分别求出，然后由r(x)为假命题(取A 的 补集)，s(x)为真命题同时成立(取交集)即得.【变式训练3】(xx 广东模拟)设M 是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内1 存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.已知下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x ；③f(x) x＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx ，其中属于集合M 的函数是 (写出所有满足要求的函 数的序号).1 ＝1＋1，显然无实数解； 【解析】②④.对于①，方程 x ＋1x对于②，由方程2x ＋1＝2x ＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，显然也无实数解；对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π，1 即cos πx ＝，显然存在x 使等式成立.故填②④. 2总结提高1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用 中可以灵活选择.2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然 后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否 定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的， 即否命题.。

第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全A⊆B，A＝B相同B⊆A空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( )A ．a ∈PB ．{a }∈PC ．{a }⊆PD ．a ∉P解析：选D.因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a ∉P .故选D.2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．答案：{x |x 是直角}3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．解析：集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 答案：2 [易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或32．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或123．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞) 集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．92B ．98C ．0D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2.故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素． (2)当a ＝0时，显然成立； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0， 即a ＝98.(3)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1. 所以b －a ＝2.【答案】 (1)C (2)D (3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3解析：选B.因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所以m 的值为3或1.2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为________．解析：因为32－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：4集合的基本关系(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2，0，1，8}，C ＝{1，9，3，8}，则集合A 可以为( )A ．{1，8}B ．{2，3}C ．{0}D ．{9}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆{B ∩C }＝{1，8}，故选A.(2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.【答案】 (1)A (2)(－∞，3]1．(变条件)在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.2．(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．解析：由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0.答案：－2或03．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．答案：4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集∁U A∩B＝( )合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁U A＝{2，4，5}．故选C.(2)由题意可得∁U A＝{－1，3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.(3)因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．又因为A∩B＝{x|1<x<2}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．【答案】(1)C (2)A (3)(－1，3) (－∞，1]∪[2，＋∞)角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B ＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}．若A∪B＝R，则m的值可以是( )A．－1 B．0C．1 D．2【解析】(1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1－4＋m＝0，所以m＝3.由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.所以B＝{1，3}．经检验符合题意．故选C.(2)因为A∪B＝R，所以m>1.故m的值可以是2，故选D.【答案】(1)C (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁R Q＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁R Q)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁S A＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中xi1＝xi2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．【解析】(1)由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3项和为2.(2)由已知可得子集P 为{a 1，a 3，…，a 99}，子集Q 为{a 1，a 4，a 7，…，a 100}，则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项，即a 1，a 7，…，a 97，共17项．【答案】 (1)2 (2)17解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．解析：在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝{x |23≤x ≤34}， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝{x |14≤x ≤13}， 长度为13－14＝112. 综上，M ∩N 的长度的最小值为112. 答案：112[基础题组练]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，1]B ．(0，1]C ．[1，e]D ．(0，e]解析：选A.因为A ＝{}x |e x ≤1＝{}x |x ≤0， B ＝{}x |ln x ≤0＝{}x |0＜x ≤1，所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A.3．(2020·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁U B)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.4．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B.因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}解析：选C.由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B)∩A，因为∁R B＝{x|x≥0}，所以(∁R B)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C ．(0，1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B.因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{4，5，6}C ．{6，7，8}D ．{4，5，6，7，8} 解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U A ＝{4，5，6，7，8}，所以(∁U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去． 9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117 解析：选B.由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5有相同的元素，当y ＝3，x ＝5，15，25，…，95时，与y ＝5，x ＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.10．(2020·温州质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：选D.因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1.所以A ＝{x |x >2或x <1}，因为B ＝{x |x ≤a }，所以∁U B ＝{x |x >a }．因为∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.答案：412．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∪B＝________；A∩(∁U B)＝________．解析：log2(x－2)<1⇒0<x－2<2⇒2<x<4⇒B＝(2，4)，所以A∪B ＝[－1，4)，A∩(∁U B)＝[－1，2]．答案：[－1，4) [－1，2]13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B ＝________，A∩(∁R B)＝________．解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁R B＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．答案：{x|x<－2或x>4} {－1，2}14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R(M∩N)＝________．解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝(3，＋∞)，所以∁R(M∩N)＝(－∞，3]．答案：(3，＋∞)(－∞，3]15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＝________，n＝________．解析：由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N ＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4.答案：3 416．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B ＝________．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B .所以B ＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1][综合题组练]1．(2020·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝RB ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A 解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选 B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}．故选B.3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．解析：由题意，当m ＝2时，A ＝{1，2，2}，B ＝{1，2}，满足B ⊆A ；当m ＝m ，即m ＝0或1时，若m ＝0，则A ＝{1，2，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A .若m ＝1，则A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1舍去．当m ＝2时，∁A B ＝{2}；当m ＝0时，∁A B ＝{2}．答案：0或2 {2}或{2}4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅；②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅；③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ；④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R .其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错．②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错．③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}，则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}，则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .解：不等式18<2x <8的解为－3<x <3， 所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3， 所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1；若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

高三数学一轮复习教学案集合第1课时：集合的概念一、集合集合是一个原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称“集”。

集合中的每一个对象叫做这个集合的“元素”。

二、元素与集合的关系元素与集合是属于和从属关系，若a是集合A的元素，记作a∈A，若a不是集合B的元素，记作a∉B。

但是要注意元素与集合是相对而言的。

三、集合与集合的关系集合与集合的关系用符号表示：子集：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作A⊆B。

相等：若集合A中的所有元素都是集合B的元素，同时集合B中的所有元素都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作A=B。

真子集：若A是B的子集，但A不等于B，则说A是B 的真子集，记作A⊂B。

子集数量：若集合A含有n个元素，则A的子集有2^n 个，真子集有2^n-1个，非空真子集有2^n-1个。

四、集合的表示法集合的表示法常用的有列举法、描述法和韦恩图法三种。

有限集常用列举法，无限集常用描述法，图示法常用于表示集合之间的相互关系。

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及。

高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现。

空集 $\varnothing$ 是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素。

空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。

在解题时，不能忽视空集的存在。

典型例题：例1.已知集合 $A=\{x\in \mathbb{N}|6-x$ 是 $8$ 的正约数$\}$，试求集合 $A$ 的所有子集。

解：由题意可知 $6-x$ 是 $8$ 的正约数，所以 $6-x$ 可以是$1,2,4,8$，相应的$x$ 为$2,4,5$，即$A=\{2,4,5\}$。

2019-2020学年高三数学第一轮复习 9 集合（1）教学案（教师版）一、课前检测1.给出下列关系：①1;2R ∈Q ；③*3N ∈；④0Z ∈；⑤32i C +∈ 其中正确的个数是（ C ）A ． 1 B.2C ．3 D.42. （2010北京理）集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =（ B ）A ． {1,2} B.{0,1,2}C ．{x|0≤x<3} D.{x|0≤x ≤3}3. （2010山东文）（1）已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U C M =（ C ） A. {}22x x -<< B. {}22x x -≤≤ C ．{}22x x x <->或 D. {}22x x x ≤-≥或二、知识梳理1．集合中元素具有三个特性 ， ， 。

确定性、互异性、无序性 解读：2．集合的表示方法有 ， ， 。

列举法、描述法、韦恩图法 解读：3．集合按元素个数进行分类可分为 和 。

有限集和无限集 解读：4．集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，则可表示为 ；如果a 不是集合A 的元素，则可表示为 。

解读：5．集合与集合的关系用符号 表示。

解读：6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．解读：7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合 A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ．解读：8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ． 解读：9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子 集有 个．解读：10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ， ∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．解读：11．特殊集合的表示：实数集 ，整数集 ，有理数集 ，自然数集 ，正 整数集 ，复数集 。

2019-2020学年高中数学 1.1集合教案3 新人教A版必修1教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA（或a A）（举例）6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

2019-2020年高三数学第一轮复习 第1课时－集合的概念教案二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．四．教学过程：（一）主要知识：1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；3．若有限集有个元素，则的子集有个，真子集有，非空子集有个，非空真子集有个．（二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．（三）例题分析：例1．已知集合，，，，，则 （ ）解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．例2．设集合，，若，求的值及集合、．解：∵且，∴．（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，∴且；（2）若，则或．当时，，与集合中元素的互异性矛盾，∴；当时，，，由得 ① 或 ②由①得，由②得，∴或，此时．例3．设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈， ，则 （ ）解法一：通分；解法二：从开始，在数轴上表示．例4．若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合，且，求实数的取值范围．解：（1）若，则，解得；（2）若，则，解得，此时，适合题意；（3）若，则，解得，此时，不合题意；综上所述，实数的取值范围为．例5．设，，，（1）求证：；（2）如果，求．解答见《高考计划（教师用书）》第5页．（四）巩固练习：1．已知，，若，则适合条件的实数的集合为；的子集有 8 个；的非空真子集有 6 个．2．已知：，，则实数、的值分别为．3．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ，最小值为 55 ．4．设数集，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是．五．课后作业：《高考计划》考点1，智能训练4，5，6，7，8，9，11，12．2019-2020年高三数学第一轮复习 第20课时-等差数列与等比数列的基本运算教案二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前项和的公式，并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前项和的公式的应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前项和公式；2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前项和公式；3．等差中项和等比中项的概念．（二）主要方法：1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量来处理；2．使用等比数列前项和公式时，必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求．（三）例题分析：例1．（1）设数列是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项为 2 ．（2）已知等差数列的公差，且成等比数列，则．例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个书的和是，求这四个数．解：设这四个数为：，则2()16212a d a d a a d ⎧+-+=⎪⎨⎪+=⎩解得：或，所以所求的四个数为：；或．例3．由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式．解：当时，得不成立，∴，∴221122331111(1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ⎧--=⎪--⎨⎪+=⋅⎩由①得，代入②得，∴．说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．例4．已知等差数列，（1）在区间上，该数列有多少项？并求它们的和；① ②（2）在区间上，该数列有多少项能被整除？并求它们的和.解：1106(1)6104n a n n =+-=+，（1）由，得，又,∴ 该数列在上有项, 其和58821()25131002n S a a =+⨯=． （2）∵，∴要使能被整除，只要能被整除，即，∴，∴，∴，∴在区间上该数列中能被整除的项共有项即第项，其和．五．课后作业：《高考计划》考点20，智能训练5，6， 12，13，14，15．。

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念及运算考点一集合及其关系1集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于记为∈，不属于记为∉.(3)常见集合的符号集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中A B或B A的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)(1)利用集合元素的互异性找到解题的切入点．(2)在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.1．思维辨析(1){1,2,3}＝{2,3,1}．()(2)空集中只有一个元素0.()(3)集合{x2＋x,0}中实数x可取任意值．()(4)任何集合都至少有两个子集．()(5)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．()(6)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案D解析A＝{x∈N|x≤10}＝{0,1,2,3}而a＝22，∴a∉A.3．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A＝() A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}答案C解析由U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}，∴∁U A＝{2,4,7}，故选C.4．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( ) A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7} C ．{2,4,7} D ．{2,5,7}答案 C解析 由U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{1,3,5,6}，∴∁U A ＝{2,4,7}，故选C.[考法综述] 集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及集合与元素之间的关系及根据集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合中元素的个数，或求参数的取值范围，属于基础题．命题法1 集合的基本概念典例1 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98 [解析] (1)当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为1,0，－1；当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y 的值分别为2,1,0；∴B ＝{－2，－1，0,1,2}．∴集合B 中元素的个数是5个．(2)集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解集，且A 中只有一个元素，所以方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．若a ＝0，则方程为－3x ＋2＝0，解得x ＝23，满足条件；若a ≠0，则二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即Δ＝(－3)2－8a＝0，解得a＝98，所以a＝0或a＝9 8.[答案](1)C(2)D【解题法】解决集合概念问题的一般思路研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．命题法2集合之间的关系典例2已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．[答案](－∞，－1]【解题法】利用集合关系求参数取值范围及集合相等问题(1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论．注意点：注意区间端点的取舍．(2)若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解．1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A答案D解析由真子集的概念知B A，故选D.2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2C ．0D ．0或4答案 A解析 ax 2＋ax ＋1＝0只有一个根，当a ＝0时方程无解，当a ≠0，Δ＝0时，即a 2－4a ＝0，a ＝4，故选A.3.已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{x |x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}答案 D解析 B ＝{x |(x ＋1)(x －1)＝0}＝{－1,1}．若A ⊆B ，则有以下情况：当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B ；当a ≠0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝1a ，若A ⊆B ，则A ＝{－1}时，a ＝－1；A ＝{1}时，a ＝1；故当a ＝0，－1,1时满足A ⊆B .4．设集合P ＝{x |x >1}，Q ＝{x |x 2－x >0}，则下列结论正确的是( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P ＝QD ．P ∪Q ＝R答案 A解析 ∵Q ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}， 又P ＝{x |x >1}，∴P ⊆Q ，故选A.考点二 集合的基本运算1 集合的运算及性质 名称 交集 并集 补集 符号 A ∩B A ∪B ∁U A 数学语言A ∩B ＝{x |x ∈AA ∪B ＝{x |x ∈A∁U A ＝{x |x ∈U且x∈B}或x∈B}且x∉A}图形运算性质A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩∅＝∅B⊆A∪B，A⊆A∪B，A∪∅＝AA∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(∁U A)＝A(1)A∪B＝A⇔B⊆A.(2)A∩B＝A⇔A⊆B.(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B.(4)狄摩根定律：∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．注意点空集的特殊性在解题中，若未指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能，此时应分类讨论.1．思维辨析(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.()(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁U P＝{2}．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√2．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}答案A解析A＝{x|(x－2)(x＋1)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又B为整数集，所以A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.3．已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B 有________个．答案8解析由A∪B＝{0,1,2}得B⊆A，所以B是A的子集．由A中有3个元素知B有23＝8个．[考法综述]集合的基本运算是历年高考的热点，常与函数、不等式、方程等知识综合考查，主要以选择题形式出现．命题法求交集、并集和补集典例(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()A．[－2，－1] B．[－1,1]C．[－1,2) D．[1,2)(2)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}[解析](1)由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.(2)利用数轴分析求解．∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}．在数轴上表示，如图所示．∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．[答案](1)A(2)D【解题法】解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B ＝()A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{0,1,2}答案A解析因为B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<1}，A＝{－2，－1,0,1,2}，故A∩B＝{－1,0}．选A.2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)＝()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}答案A解析由已知得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩(∁U B)＝{2,5}．3．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝()A．[0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．[1,2]答案C解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∴∁R P＝{x|0<x<2}，∴(∁R P)∩Q＝(1,2)．4．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B 等于()A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅答案C解析A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.5．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝()A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)答案B解析∵M＝{x|x≥0，x∈R}．N＝{x|x2<1，x∈R}＝{x|－1<x<1，x∈R}．∴M∩N＝{x|0≤x<1}，即M∩N＝[0,1)．故选B.6．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{0,1}B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2}D．{－1,0,1}答案C解析M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，M∪N＝{－1,0,1,2}，故选C.7.设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝()A．[0,2]B．(1,3)C．[1,3)D．(1,4)答案C解析A＝{x||x－1|<2}＝{x|－1<x<3}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}＝{y|1≤y≤4}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}∩{y|1≤y≤4}＝{x|1≤x＜3}．8．设全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝lg (1－x )}，则∁R A ＝( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞)答案 C解析 ∵y ＝lg (1－x )，∴1－x >0，即x <1，∴∁R A ＝{x |x ≥1}．9．已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1,3]B ．{－1,3}C ．{－1,1}D ．{－1,1,3}答案 C解析 ∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0＝{x |－1≤x <3}，又集合A 为奇数集，∴A ∩B ＝{－1,1}，故选C.10.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≤2}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2} 答案 C解析 由x 2－2x >0得x >2或x <0，即B ＝{x |x <0，或x >2}，∴A ∪B ＝{x |x <0，或x >1}，∴∁U (A ∪B )＝{x |0≤x ≤1}．11．集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( )A ．{0,1,2}B ．{0,1,3}C ．{0,2,3}D ．{1,2,3}答案 D解析 因为M ∩N ＝{1}，所以log 3a ＝1，即a ＝3，所以b ＝1，即M＝{2,1}，N＝{3,1}，所以M∪N＝{1,2,3}，故选D.12．已知全集U，集合A⊆B⊆U，则有()A．A∩B＝B B．A∪B＝AC．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B D．(∁U A)∪(∁U B)＝∁U B答案C解析∵A⊆B⊆U，∴A∩B＝A，故选项A不正确；A∪B＝B，故选项B不正确；(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝∁U B，故选项C正确；(∁A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)＝∁U A，故选项D不正确．故选C.U13．设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln (1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1}D．{x|x≤1}答案B解析易知A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y ＝ln (1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．微型专题集合中的创新题型创新考向以集合为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，这类问题以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力．其命题形式常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等.创新例题已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77B．49C．45D．30答案C解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点．集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．创新练习1.设集合S＝{A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j＝A k，其中k为i＋j被3除的余数，i，j∈{1,2,3}，则使关系式(A i⊕A j)⊕A i＝A0成立的有序数对(i，j)总共有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案C解析i＝1时，j＝1符合要求，i＝2时，j＝2符合要求；i＝3时，j＝3符合要求，所以使关系式(A i⊕A j)⊕A i＝A0成立的有序数对(i，j)有(1,1)，(2,2)，(3,3)，共3对．2．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．答案6解析因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上，符合条件的有序数组的个数是6.3．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________．答案7解析根据题意，S4的所有奇子集为{1}、{3}、{1,3}，分析可得{1}的容量为1，{3}的容量为3，{1,3}的容量为3，则其容量之和为1＋3＋3＝7.创新指导1.准确转化：解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于集合创新问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解，同时注意培养学生领悟新信息、运用新信息的能力．已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N }，且A ∩B＝A ，则a 的所有可能值组成的集合是( )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14，0 [错解][错因分析] 集合A 为方程ax －1＝0的实数解构成的集合，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，A 可以为非空集合，也可以是空集．在解题中，很容易漏掉对A ＝∅的讨论，导致误选C.[正解] 由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .因为B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N }＝{x |2<x ≤4，x ∈N }＝{3,4}， 当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解，所以a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意．当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a . 要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或a ＝14.综上所述，a 的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14.故选D.[答案] D [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[·武邑中学模拟]已知集合A ＝{0,1}，B ＝{x |x ⊆A }，则下列集合A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A BC ．B AD ．A ∈B答案 D解析 因为x ⊆A ，所以B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A ＝{0,1}是集合B 中的元素，所以A ∈B .故选D.2．[·枣强中学一轮检测]已知集合A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{0,1,2,3,5,9}，C ＝{2,4,8,10}，则A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{4}D ．{2}答案 D解析 解法一：因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆(B ∩C )，故集合A 可以是{2}，故选D.解法二：逐项验证，可知当A ＝{1,2}时，不满足A ⊆C ；同理可知当A ＝{2,4}和A ＝{4}时，不满足A ⊆B ，故选D.3．[·衡水中学周测]若集合A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 的非空子集的个数是( )A ．4B ．7C ．8D ．15答案 B解析 解法一：因为x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n ，所以B ＝{5,6,7}，故B 的非空子集有{5}，{6}，{7}，{5,6}，{5,7}，{6,7}，{5,6,7}，共7个．解法二：因为x ＝m ＋n ，m ，n ∈A ，m ≠n ，所以B ＝{5,6,7}，根据公式可得集合B 的非空子集的个数是23－1＝7.4．[·冀州中学月考]已知集合A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 B解析 因为A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.故选B.5．[·武邑中学周测]设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，从而ba ＝－1，所以有a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2，故选C.6．[·衡水中学月考]已知集合A ＝(－2,5]，B ＝[m ＋1,2m －1]．若B ⊆A ，则m 的取值范围是( )A ．(－3,3]B ．[－3,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3) 答案 C解析 当B ＝∅时，m ＋1>2m －1即m <2，B ⊆A . 当B ≠∅时，由题意可画数轴m ≥2且⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－22m －1≤5解得2≤m ≤3.综上可知m ∈(－∞，3]，故选C.7．[·枣强中学猜题]设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1答案 C解析 若M ∩N ＝N ，则N ⊆M .结合集合元素的互异性得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝－1，所以a ＝－1.故选C. 8．[·衡水中学期中]若集合A ＝{x |1≤3x ≤81}，B ＝{x |log 2(x 2－x)>1}，则A∩B＝()A．(2,4]B．[2,4]C．(－∞，0)∪(0,4]D．(－∞，－1)∪[0,4]答案A解析因为A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B ＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|2<x≤4}＝(2,4]．9．[·武邑中学期中]已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)答案D解析由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．10．[·衡水中学期末]设全集U是实数集R，集合M＝{x|x2>2x}，N＝{x|log2(x－1)≤0}，则(∁U M)∩N为()A．{x|1<x<2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x<2}答案C解析x2>2x⇒x>2或x<0.M＝{x|x>2或x<0}，log2(x－1)≤0⇒0<x －1≤1,1<x≤2，N＝{x|1<x≤2}，(∁U M)∩N＝{x|1<x≤2}，故选C.11．[·冀州中学猜题]已知全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则下图中阴影部分表示的集合为()A ．{0,2}B ．{0,1,3}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}答案 C解析 集合A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{2}，阴影部分表示的集合为{1,3,4}．12．[·武邑中学仿真]已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝( ) A ．(1,2) B ．[0,2] C ．∅ D ．[1,2]答案 D解析 ∵2x <1，∴x －2x >0，∴x <0或x >2，∴M ＝{x |x <0或x >2}，∴∁R M ＝{x |0≤x ≤2}．∵y ＝x －1＋1，∴y ≥1，∴N ＝{y |y ≥1}，∴N ∩(∁R M )＝[1,2]，故选D.能力组13.[·衡水中学模拟]已知集合A ＝{0,1}，则满足条件A ∪B ＝{0,1,2,3}的集合B 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 D解析 由题知B 集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共四个，故选D.14．[·冀州中学期中]已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A ．－32<a ≤－1B ．a ≤－32C ．a ≤－1D ．a >－32答案 C解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3， 得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②得，a ≤－1.15. [·衡水中学仿真]已知集合A ＝{x |2x 2－2x <8}，B ＝{x |x 2＋2mx －4<0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，则实数m 等于________．答案 32解析 由2x 2－2x <8，得x 2－2x <3，解得－1<x <3，所以A ＝{x |－1<x <3}．因为A ∩B ＝{x |－1<x <1}，A ∪B ＝{x |－4<x <3}，所以B ＝{x |－4<x <1}．由不等式与方程之间的关系可得，－4,1是方程x 2＋2mx －4＝0的两根，所以－4＋1＝－2m ，即－2m ＝－3，解得m ＝32.16．[·枣强中学预测]已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2x ，－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是________．答案 29解析 依题意，函数y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1(－2≤x ≤2)的值域是A ＝{y |－1≤y ≤8}；由x 2＋2x －3≤0得－3≤x ≤1，即B ＝{x |－3≤x ≤1}，则A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1}，因此所求的概率等于1－(－1)8－(－1)＝29.第21页共21页。