2013年高考文科数学安徽卷试题

2013安徽高考文数解析一、选择题1.设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）32.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R A B =ð（ ）（A ）{}2,1-- （B ）{}2- （C ）{}1,0,1-（D ）{}0,13.如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ） （A ）34(B)16 (C)1112(D)25244.“(21)0x x -=”是“0x =”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ） (A)2 (B)2 (C)3 (D)9(A)1 （B ）2 （C ）4 （D ） 7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ） （A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）28.函数()y f x =的图象如图所示,在区间[],a b 上可找到()2n n ≥个不同的数123,,,,n x x x x ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围是（ ） (A){}2,3 (B){}2,3,4 (C){}3,4(D){}3,4,59.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2b c a +=,3sin 5sin A B =,则角C =（ ）(A)3π (B)23π (C)34π (D)56π10.已知函数()32f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，且()112f x x x =<，则关于x的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6 二、填空题11.函数1ln(1)y x=++的定义域为__________.12.若非负变量,x y 满足约束条件1,24,x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩则x y +的最大值为________.13.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a b 与夹角的余弦值为_______.14.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时，()(1)f x x x =-， 则当10x -≤≤时，()f x =_________.15.如图,正方体1111ABCD A BC D -棱长为1,P 为BC 的中点, Q 为线段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是_____.(写出所有正确命题的编号)①当102CQ <<时,S 为四边形； ②当12CQ =时,S 为等腰梯形； ③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时,S 为六边形； ⑤当1CQ =时,S 的面积为26. 三、解答题16.（本小题满分12分）设函数()sin sin()3f x x x π=++.（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到. 17.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）； （2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值. 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=.已知2,PB PD PA ===（1）证明：PC BD ⊥；（2）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积.Q1A BC19.（本小题满分13分）设数列{}n a 满足12a =，248a a +=,且对任意*n N ∈，函数1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅满足()02f π'=，(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）若122n n n a b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.(本小题满分13分)设函数()22(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间(){}0I x f x =>(1)求I 的长度(注:区间(),αβ的长度定义为βα-)；(2)给定常数()0,1k ∈,当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值.21.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P .数学（文科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分。

数学试卷 第1页（共9页） 数学试卷 第2页（共9页）数学试卷 第3页（共9页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷第1至第3页,第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分,考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无．．．．．．．．．．效．,在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．.4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位,若复数103i--a （∈a R ）是纯虚数,则a 的值为（ ） A .－3 B .－1 C .1D .32.已知}1{0|>=+A x x , 2 1 0{} 1，，，=--B ,则()A B =R ð（ ）A .{21}，-- B .{}2- C .{}1,0,1- D .{0,1}3.如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ）A .34 B .16 C .1112D .25244.“(21)0-=x x ”是“0=x ”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为（ ）A .23 B .25 C .35D .9106.直线250x y +-+=被圆22240--=+x y x y 截得的弦长为（ ） A .1 B .2 C .4D.7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,834=S a ,72=-a ,则9a =（ ） A .－6 B .－4 C .－2D .28.函数()=y f x 的图象如图所示,在区间[],a b 上可找到n （2n ≥）个不同的数1x ,2x ,…,n x ,使得11()f x x ＝22()f x x ＝…＝()n nf x x ,则n 的取值范围为（ ）A .{2,3}B .{2,3,4}C .{3,4}D .{3,4,5}9.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若2=+b c a ,3sin 5sin =A B ,则角C ＝--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共9页）数学试卷 第5页（共9页） 数学试卷 第6页（共9页）（ ）A .π3 B .2π3 C .3π4D .5π610.已知函数32()++=+f x x ax bx c 有两个极值点1x ,2x .若112()=<f x x x ,则关于x 的方程23(())2()0=++f x af x b 的不同实根个数为（ ） A .3B .4C .5D .6第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.函数1ln(1)=+y x的定义域为__________.12.若非负变量x ,y 满足约束条件124,x y x y --⎧⎨+⎩≥≤则+x y 的最大值为__________.13.若非零向量a ,b 满足||3|||2|＋==a b a b ,则a 与b 夹角的余弦值为__________.14.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()＋=f x f x .若当01x ≤≤时,()(1)－=f x x x ,则当10x -≤≤时,()=f x __________.15.如图,正方体1111－ABCD A B C D 的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①当012<<CQ 时,S 为四边形 ②当12=CQ 时,S 为等腰梯形 ③当34=CQ 时,S 与11C D 的交点R 满足113=C R④当341<<CQ 时,S 为六边形⑤当1=CQ 时,S三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.（本小题满分12分）设函数()si n )3n πsi (+=+f x x x .（1）求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图,说明函数()=y f x 的图象可由sin =y x 的图象经过怎样的变化得到.17.（本小题满分12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩（百分制）作为样本,样本数据的茎叶图如下：（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ,2x ,估计12-x x 值.18.（本小题满分12分）如图,四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形,60∠=BAD .已知2==PB PD,=PA（1）证明：⊥PC BD ；（2）若E 为P A 的中点,求三棱锥P －BCE 的体积.19.（本小题满分13分）设数列{}n a 满足12=a ,248=+a a ,且对任意*∈n N ,函数12()()++=-+n n n f x a a a x 12cos sin ++-+n a a x a x 满足π()02'=f .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1)22(=+nn n a b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（本小题满分13分）设函数22()(1)+=-f x ax a x ,其中0>a ,区间(){|}0=>I x f x .数学试卷 第7页（共9页）数学试卷 第8页（共9页） 数学试卷 第9页（共9页）（1）求I 的长度(注：区间()，αβ的长度定义为βα-)； （2）给定常数(0,1)∈k ,当11k a k +-≤≤时,求I 长度的最小值.21.（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0>>a b ）的焦距为4,且过点P.（1）求椭圆C 的方程；（2）设00()，Q x y （000≠x y ）为椭圆C 上一点.过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点A ,连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】21010(3i)10(3i)10(3i)(3i)(3)i 3i (3i)(3i)9i 10a a a a a a +++-=-=-=-=-+=----+-，所以3a =，故选D ． 【提示】先利用复数的运算法则将复数化为i(,)x y x y +∈R 的形式，再由纯虚数的定义求a 【考点】复数的基本概念． 2.【答案】A【解析】1x >-，{|1}A x x =≤-R ð，(){1,2}A B =--R I ð，故选A ． 【提示】解不等式求出集合A ，进而得A R ð，再由集合交集的定义求解． 【考点】集合的交集和补集运算． 3.【答案】C【解析】1120022n s s ===+=，，；111342244n s s ===+=，，；33111644612n s s ===+=，，； 11812n s ==，，输出，故选C ． 【提示】利用框图的条件结构和循环结构求解． 【考点】条件语句、循环语句的程序框图. 4.【答案】B【解析】1(21)002x x x -==，或，故选B ．【提示】先解一元二次方程(21)0x x -=，再利用充分条件、必要条件的定义判断． 【考点】充分条件和必要条件． 5.【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p ++==，故选D ． 【提示】把所求事件转化为求其对立事件，然后求出概率.【考点】随机事件与概率． 6.【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以弦长为4，故选C ．【提示】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后利用勾股定理求弦长． 【考点】直线与圆的相交方程，点到直线距离公式．【考点】等差数列的基本性质． 8.【答案】B【解析】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率；1212()()()n nf x f x f x x x x ===L 表示 1122(,()),(,())(,())n n x f x x f x x f x L ，，与原点连线的斜率，而1122(,()),(,()),(,())n n x f x x f x x f x L ，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B ． 【提示】利用()f x x的几何意义，将所求转化为直线与曲线的交点个数问题并列用数形结合求解． 【考点】斜线公式，直线与曲线相交． 9.【答案】B【解析】3sin 5sin A B =Q 由正弦定理，所以5353a b a b ==即；因为2b c a +=，所以73c a =，2221cos 22a b c C ab +-==-，所以2π3C =，故选B ． 【提示】利用正弦定理、余弦定理和解三角形的基本知识，将三角形中正弦关系转化为边的关系，进而利用余弦定理求解角的大小．【考点】正弦定理和余弦定理的基本运算． 10.【答案】A【解析】2()32f x x ax b '=++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象：如图则有3个交点，故选A ．【提示】先求给定函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出1()f x x =或2()f x x =，再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数． 【考点】函数的单调性、极值．第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】(0,1]【解析】2110011011x x x x x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(0,1]．【提示】列出函数有意义的限制条件，解不等式组． 【考点】复合函数的定义域. 12.【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404z x y =+=+=， 取得最大值．【提示】先画出可行线，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的最优解，代入即可得所求．【考点】二元线性规划求目标函数最值． 13.【答案】13-【解析】等式平方得：2222||9||||4||4a b a b a b ==++r r r r r r g 则222||||4||4||||cos a a b a b θ=++r r r r rg ，即 2204||43||cos b b θ=+r rg ，得1cos 3θ=-．【提示】根据两个向量的夹角公式，利用向量模的转化求出两向量夹角余弦值． 【考点】向量的线性运算，平面向量的数量积.【解析】当10x -≤≤，则011x ≤+≤，故(1)(1)(11)(1)f x x x x x +=+--=-+，又(1)2()f x f x +=， 所以(1)()2x x f x +=-． 【提示】根据题意把整体代入，再根据(1)2()f x f x +=求出()f x 【考点】函数解析式． 15.【答案】①②③⑤ 【解析】（1）12CQ =，S 等腰梯形，②正确，图（1）如下；图1（2）1CQ =，S 2）如下；图2（3）34CQ =，画图（3）如下：113C R =，③正确；图3（4）314CQ <<，如图（4）是五边形，④不正确；图4（5）102CQ <<，如下图（5），是四边形，故④正确．图5【提示】利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. 【考点】空间立体图形截面的基本性质． 三、解答题16.【答案】（1）ππ13()sin sin coscos sin sin sin sin 3322f x x x x x x x x x =++=+=+ππ66x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当πsin 16x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min ()f x = 此时π3π2π62x k +=+，4π2π,()3x k k ∴=+∈Z ，所以，()f x 的最小值为x 的集合4π2π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）sin y x =横坐标不变，倍，得y x ；然后y x =向左平移π6个单位，得π()6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【提示】把目标函数通过恒等变换转换为三角函数标准式得到结果，结合三角函数解析式，考查三角函数图象的平移伸缩变换等基础知识和基本技能． 【考点】三角函数的图象及性质，三角恒等变换．17.【答案】解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n ．由题意知，300.05n=，即600n =．样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为551306-=．（2）设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '．根据样本茎叶图可知，()121230()3030(75)(55814)241265(262479)(2220)92x x x x '-'='-'=-++-+--+--+-+249537729215=+--++=．因此120.5x x '-'=．故12x x -的估计值为0.5分．【提示】利用样本估计总体的思想，从茎叶图中得出数据进行平均数计算． 【考点】随机抽样,茎叶图.18.【答案】（1）连接AC ，交BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BO DO =．由PB PD =知，PO BD ⊥．再由PO AC O =I 知，BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥（2）因为E 是PA 的中点，所以1122P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----===．由2PB PD AB AD ==== 知，ABD PBD △≌△．因为60BAD ∠=︒，所以PO AO ==AC =1BO =．又PA =，222PO AO PA +=，即PO AC ⊥，故132APC S PO AC ==g △． 由（1）知，BO ⊥面APC ，因此11112232P BCE B APCAPC V V BO S --===g g g △． 【提示】根据线面垂直得到线线垂直；根据四棱锥体积求出体积. 【考点】点、直线、平面之间的位置关系，四棱锥体积公式.19.【答案】（1）由12a =，248a a +=，1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++-gg ， 1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅（），121π02n n n n f a a a a +++⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭，所以122n n n a a a ++=+{}n a ∴是等差数列．而12a =，34a =，1d =，2111n a n n ∴=+-=+g （）．（2）11112212(1)222n n n a n n b a n n +⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()112221212(21)11=(3)1312122n n n n n n S n n n n ++=+++-=++---．【提示】根据()f x 的导函数证明n a 为等差数列，然后根据首项、公差得到通项公式；把{}n a 通项公式代入{}n b ，求出结果.【考点】等差数列,等比数列的基本性质. 20.【答案】（1）21aa + （2）2122kk k --+【解析】（1）因为方程22100()()ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a=+，故()0f x >的解集为12{|}x x x x <<，因此区间20,1a a I ⎛⎫⎪+⎝⎭=，区间长度为21a a +． （2）设2()1ad a a=+，则222()11a a d a -(+')=，令()0d a '=，得1a =．由于01k <<，当11k a -≤<时，()0d a '>， ()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．因此当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而22123112311112<112k k k k d k k k d k k k -+(-)++(+)(-)--==(+)-+，故()1)1(d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间1,]1[k k -+上取得最小值2122kk k--+． 【提示】利用导数求函数单调区间、最值． 【考点】一元二次方程,导函数.21.【答案】（1）22184x y +=（2）见解析【解析】（1）因为焦距为4，所以224a b -=．又因为椭圆C过点P ，所以22231a b+=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）由题意，E 点坐标为0(),0x ．设0(),D D x，则0(,AE x =-u u u r，(,D AD x =-u u u r．再由AD AE ⊥知，0AE AD =u u u r u u u rg ，即080D x x +=．由于000x y ≠，故08D x x =-．因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫⎪⎝⎭．故直线QG 的斜率000028008G x Q k y x y x x =--=． 又因00()Q x y ，在C 上，所以220028x y +=④从而002QG x k y -=．故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭④将④代入C 方程，得22220000216640(1)6x y x x x y +-+-=．④再将④代入④，化简得220020x x x x -+=．解得0x x =，0y y =，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．【提示】根据焦距和点P 求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程求证公共点个数． 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆的位置关系.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）[试卷总评]2013年安徽文科卷相对于2012年安徽文科卷的难度来说有所加大。

从试卷命题特点方面：（1）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道是以压轴题的形式出现；（2）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第19题；另一方面重视对数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第9,13,17,21题），转化思想的考查（第8,10,20题），数形结合的考查（第6，8，10题）等等；（3）注重理论联系实际，如第17题概率统计；（4）注重对创新意识的考查，如第21题。

从试卷难度方面：选择填空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺畅。

第1题考查复数，难度不大；第2题考查集合的交与补以及不等式求法；第3题程序框图，简单；第4题充分必要条件，容易题；第5题古典概型，只要考生能够理解题意，基本没问题；第6题直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第7题等差数列基本量的求解，简单；第11题考查函数定义域的求法，简单；第12题常规的线性规划题，难度不大；第14题，抽象函数解析式的求解，难度中等。

选择题第8,9,10题，填空题第13,15题难度加大。

第8题考查函数转化思想以及数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第9题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算量大；第10题函数零点的考查，难度很大，不容易做好；第13题平面向量，数量积的运算，需要细心；第15题立体几何的截面问题，是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。

大题第16题三角函数：容易，主要考查恒等变形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙；大题第17题概率统计：难度不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做好；大题第18题立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点的过程中，需要考生注意看清垂直关系；大题第19题数列：综合性强，将函数求导利用到数列求通项中，只要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第20题函数：题型新颖，考查考生对新问题冷静处理的能力，对区间长度的准确理解；大题第21题：难度较大，计算量大，点比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘帖的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i是虚数单位，若复数a--（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3（2）已知A=｛x|x+1>0｝，B=｛-2，-1，0，1｝，则（RA）∩B=（）（A）｛-2，-1｝（B ）｛-2｝（C）{-2，0，1} （D）{0，1}（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）（B）（C）（D）（4）“（2x-1）x=0”是“x=0”的（A）充分不必要条件（B）必要补充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这无人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（A）2/3 (B)2/5(C)3/5 （D）9/10（6）直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（A）1 （B）2（C）4 （D）（7）设sn为等差数列｛an｝的前n项和，s1=4a3，a2=-2，则a9=（A）6 （B）4（C）-2 （D）2(8)函数y=f（x）的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…xn，使得f(x1)/x1=f(x2)/x2=…=f(xn)/xn,则n的取值范围为(A) {2,3} (B){2,3,4}(C){3,4} (D){3,4,5}(9)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB,则角C=(A) π/3(B)2π/3(C)3π/4(D)5π/6（10）已知函数f（s）=x3+ax2+bx+c有两个极致点x1，x2，若f（x1）则关于x的方程3(f（x）)2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（A）3 (B)4(C) 5 (D)6第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，文1)设i 是虚数单位，若复数103ia --(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案：D解析：由已知，得1010(3i)10(3i)3i (3i)(3)10a a a ++-=-=---+＝a －3－i ， ∵复数103ia --为纯虚数，∴a －3＝0，即a ＝3. 2．(2013安徽，文2)已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1，0,1}，则(R A )∩B ＝()．A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1} 答案：A解析：∵A ＝{x |x ＞－1}，∴R A ＝{x |x ≤－1}，∴(R A )∩B ＝{－2，－1}．3．(2013安徽，文3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )．A ．34 B ．16 C ．1112 D ．2524答案：C解析：开始，2＜8，s ＝0＋12，n ＝2＋2＝4； 返回，4＜8，113244s =+=，n ＝4＋2＝6； 返回，6＜8，31114612s =+=，n ＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112s =.4．(2013安徽，文4)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：由(2x－1)x＝0，得x＝12或x＝0.故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件．5．(2013安徽，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()．A．23B．25C．35D．910答案：D解析：五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．其中含甲或乙的情况有9种，故选D．6．(2013安徽，文6)直线x＋2y－50被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()．A．1 B．2 C．4 D．答案：C解析：由圆的一般方程可化为圆的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝5，可知圆心坐标为(1,2)1=，2=.故弦长为4.7．(2013安徽，文7)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()．A．－6 B．－4 C．－2 D．2答案：A解析：由S8＝4a3知：a1＋a8＝a3，a8＝a3－a1＝2d＝a7＋d，所以a7＝d＝－2.所以a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.8．(2013安徽，文8)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，x n，使得11f xx()＝22f xx()＝…＝nnf xx()，则n的取值范围为()．A．{2,3} B．{2,3,4} C．{3,4} D．{3,4,5}答案：B解析：11f xx()＝22f xx()＝…＝nnf xx()可化为11f xx()--＝22f xx()--＝…＝0nnf xx()--，所以可以理解为图象上一点与坐标原点确定的斜率相等．由数形结合可得：曲线①为n＝2，曲线②为n＝3，曲线③为n＝4.9．(2013安徽，文9)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )．A ．π3 B ．2π3 C ．3π4 D ．5π6答案：B解析：∵3sin A ＝5sin B ， ∴3a ＝5b . ① 又b ＋c ＝2a, ②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b ， ∴cos C ＝222222257335223b b b b ac ab b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=⨯＝12-.∴C ＝23π.10．(2013安徽，文10)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0，得 x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解，由题可知f (x )的草图为：由数形结合及x 1＜x 2可知满足f (x )＝x 1的解有2个，满足f (x )＝x 2的解仅有1个，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实数根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013安徽，文11)函数1ln 1y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭__________． 答案：(0,1]解析：由2110,10xx ⎧+>⎪⎨⎪-≥⎩⇒10,11x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或⇒0＜x ≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]．12．(2013安徽，文12)若非负变量x ，y 满足约束条件124,x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩则x ＋y 的最大值为__________．答案：4解析：约束条件表示的可行域如图阴影部分．由线性规划知识得最优解为(4,0)，令z ＝x ＋y ，则z max＝4＋0＝4.13．(2013安徽，文13)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为__________．答案：13-解析：∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |， ∴|a |2＝9|b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ， ∴a ·b ＝－|b |2，∴cos 〈a ，b 〉＝22||1||||3||3⋅-==-a b b a b b .14．(2013安徽，文14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝__________.答案：12-x (x ＋1) 解析：∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝12-x (x ＋1)． 15．(2013安徽，文15)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S的面积为2答案：①②③⑤解析：当CQ ＝12时，D 1Q 2＝D 1C 12＋C 1Q 2，AP 2＝AB 2＋BP 2，所以D 1Q ＝AP .又因为AD 1∥PQ ，AD 1＝2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，所以为四边形，故①也正确，如图①所示．图①如图②，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得 11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确．图②如图③所示，当CQ ＝1时，截面为APC 1E . 可知AC 1EP且APC 1E 为菱形，1APC E S 四边形＝2，故⑤正确． 当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF . 所以④错误．图③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(2013安徽，文16)(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin x ＋πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭. (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x ＋2cos x＝32sin x ＋2cos x πsin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以当x ＋π6＝2k π－π2，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取最小值.此时x 的取值集合为2π2π,3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z .(2)先将y ＝sin x 倍(横坐标不变)，得y x 的图象；再将y sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f (x )的图象． 17．(2013安徽，文17)(本小题满分12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -值． 解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知，30n＝0.05，即n ＝600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为55 -=. 1306(2)设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '.根据样本茎叶图可知，121230()3030x x x x '-'='-'＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此120.5x x '-'=.故12x x -的估计值为0.5分．18．(2013安徽，文18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB ＝PD ＝2，P A .(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 的中点，求三棱锥P －BCE 的体积． (1)证明：连接AC ，交BD 于O 点，连接PO . 因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，BO ＝DO .由PB ＝PD 知，PO ⊥BD ．再由PO ∩AC ＝O 知，BD ⊥面APC ，因此BD ⊥PC ． (2)解：因为E 是P A 的中点，所以V P －BCE ＝V C －PEB ＝12V C －P AB ＝12V B －APC ． 由PB ＝PD ＝AB ＝AD ＝2知，△ABD ≌△PBD ． 因为∠BAD ＝60°，所以PO ＝AO AC ＝BO ＝1.又P A ，PO 2＋AO 2＝P A 2，即PO ⊥AC ， 故S △APC ＝12PO ·AC ＝3. 由(1)知，BO ⊥面APC ，因此V P －BCE ＝12V B －APC ＝12·13·BO ·S △APC ＝12.19．(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a a ＋2sin x 满足π'02f ⎛⎫=⎪⎝⎭. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝212nn a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x ．对任意n ∈N *，π'2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝212nn a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝21112n n +⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·12n n (+)＋11122112n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝n 2＋3n ＋1－12n . 20．(2013安徽，文20)(本小题满分13分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221a x a =+，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，因此区间I ＝20,1a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，区间长度为21a a +. (2)设d (a )＝21a a+，则d ′(a )＝22211a a -(+)， 令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增；当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．因此当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而23223211211<111211kd k k k k k d k k kk -(-)--+(-)==+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122k k k--+. 21．(2013安徽，文21)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦距为4，且过点P，． (1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A(0,)，连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P)，所以22231a b+=，故a 2＝8，b 2＝4，从而椭圆C 的方程为22184x y +=. (2)由题意，E 点坐标为(x 0,0)．设D (x D,0)，则AE ＝(x 0，-)，AD ＝(x D，-)．再由AD ⊥AE 知，AE ·AD ＝0，即x D x 0＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝08x -. 因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G 08,0x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故直线QG 的斜率k QG ＝000200088y x y x x x =--. 又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 02＋2y 02＝8.① 从而k QG ＝002x y -. 故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.② 将②代入椭圆C 方程，得 (x 02＋2y 02)x 2－16x 0x ＋64－16y 02＝0.③再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 02＝0.解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）[试卷总评]2013年安徽文科卷相对于2012年安徽文科卷的难度来说有所加大。

从试卷命题特点方面：（1）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道是以压轴题的形式出现；（2）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第19题；另一方面重视对数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第9,13,17,21题），转化思想的考查（第8,10,20题），数形结合的考查（第6，8，10题）等等；（3）注重理论联系实际，如第17题概率统计；（4）注重对创新意识的考查，如第21题。

从试卷难度方面：选择填空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺畅。

第1题考查复数，难度不大；第2题考查集合的交与补以及不等式求法；第3题程序框图，简单；第4题充分必要条件，容易题；第5题古典概型，只要考生能够理解题意，基本没问题；第6题直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第7题等差数列基本量的求解，简单；第11题考查函数定义域的求法，简单；第12题常规的线性规划题，难度不大；第14题，抽象函数解析式的求解，难度中等。

选择题第8,9,10题，填空题第13,15题难度加大。

第8题考查函数转化思想以及数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第9题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算量大；第10题函数零点的考查，难度很大，不容易做好；第13题平面向量，数量积的运算，需要细心；第15题立体几何的截面问题，是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。

大题第16题三角函数：容易，主要考查恒等变形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙；大题第17题概率统计：难度不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做好；大题第18题立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点的过程中，需要考生注意看清垂直关系；大题第19题数列：综合性强，将函数求导利用到数列求通项中，只要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第20题函数：题型新颖，考查考生对新问题冷静处理的能力，对区间长度的准确理解；大题第21题：难度较大，计算量大，点比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘帖的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上．．．．对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题时可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．、草．．．．．．．．．．．．．．，在试题卷稿纸上答题无效．．．．．．．。

4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i是虚数单位，若复数a--错误！未找到引用源。

（a∈R）是纯虚数，则a 的值为（）（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3（2）已知A=｛x|x+1>0｝，B=｛-2，-1，0，1｝，则（错误！未找到引用源。

R A）∩B=（）（A）｛-2，-1｝（B）｛-2｝（C）{-2，0，1} （D）{0，1}（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）错误！未找到引用源。

（B）错误！未找到引用源。

（C）错误！未找到引用源。

（D）错误！未找到引用源。

（4）“（2x-1）x=0”是“x=0”的（A）充分不必要条件（B）必要补充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这无人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（A）2/3 (B)2/5(C)3/5 （D）9/10（6）直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）（7）设s n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，s 1=4a 3，a 2=-2，则a 9=（A ）6 （B ）4（C ）-2 （D ）2(8)函数y=f （x ）的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，…x n ，使得f(x 1)/x 1=f(x 2)/x 2=…=f(x n )/x n ,则n 的取值范围为(A) {2,3} (B){2,3,4}(C){3,4} (D){3,4,5}(9)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b+c=2a ，3sinA=5sinB,则角C=(A) π/3 (B)2π/3(C)3π/4 (D)5π/6（10）已知函数f （s ）=x 3+ax 2+bx+c 有两个极致点x 1，x 2，若f （x 1）则关于x 的方程3(f （x ）)2+2af （x ）+b=0的不同实根个数为（A ）3 (B)4(C) 5 (D)6第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，文1)设i 是虚数单位，若复数103ia --(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．32．(2013安徽，文2)已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1，0,1}，则(R A )∩B ＝( )． A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1}3．(2013安徽，文3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )．A ．34 B ．16 C ．1112 D ．25244．(2013安徽，文4)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2013安徽，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )．A ．23B ．25C ．35D ．9106．(2013安徽，文6)直线x ＋2y －50被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )． A ．1 B ．2 C ．4 D．7．(2013安徽，文7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．28．(2013安徽，文8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得11f x x ()＝22f x x ()＝…＝n nf x x ()，则n 的取值范围为( )．A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5} 9．(2013安徽，文9)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )．A ．π3 B ．2π3 C ．3π4 D ．5π610．(2013安徽，文10)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题．．．．．．．无效．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．(2013安徽，文11)函数1ln 1y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭__________．12．(2013安徽，文12)若非负变量x ，y 满足约束条件124,x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩则x ＋y 的最大值为__________．13．(2013安徽，文13)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为__________．14．(2013安徽，文14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝__________.15．(2013安徽，文15)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 的面积为2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(2013安徽，文16)(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin x ＋πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭. (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．17．(2013安徽，文17)(本小题满分12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -值．18．(2013安徽，文18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，P A.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为P A的中点，求三棱锥P－BCE的体积．19．(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列{a n}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(a n－a n＋1＋a n＋2)x＋a n＋1cos x－a a＋2sin x满足π'02f⎛⎫=⎪⎝⎭.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝212nn aa⎛⎫+⎪⎝⎭，求数列{b n}的前n项和S n.20．(2013安徽，文20)(本小题满分13分)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．21．(2013安徽，文21)(本小题满分13分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的焦距为4，且过点P．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点．过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．。

2013年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．【解答】解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，∴a﹣3=0，解得a=3．故选：D．2．（5分）（2013•安徽）已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B=（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{0，1}【分析】先利用一元一次不等式的解法化简集合A，再求其在实数集中的补集，最后求集合B与A的补集的交集即可．【解答】解：∵A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴C U A={x|x≤﹣1}，∴（∁R A）∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}={﹣2，﹣1}故选：A．3．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为：第1次S=0+，第2次S=+，第3次S=++，此时n=8不满足选择条件n＜8，退出循环，故输出的结果是S=++=．故选：C．4．（5分）（2013•安徽）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）（2013•安徽）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．【分析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出，再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则==．因此P（A）=1﹣P（）=1﹣=．故选：D．6．（5分）（2013•安徽）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．4【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选：C．7．（5分）（2013•安徽）设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（）A．﹣6B．﹣4C．﹣2D．2【分析】利用等差数列有前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第9项．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，∴，解得a1=10，d=﹣2，∴a9=a1+8d=10﹣16=﹣6．故选：A．8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…x n，使得==…=，则n的取值范围为（）A．{2，3}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{3，4，5}【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．【解答】解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选：B．9．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B．C．D．【分析】3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，可得a=，又b+c=2a，可得c=，不妨取b=3，则a=5，c=7．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=，又b+c=2a，可得c=2a﹣b=，不妨取b=3，则a=5，c=7．∴cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴．故选：D．10．（5分）（2013•安徽）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解的个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）（2013•安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为（0，1] ．【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组解之即可求出所求．＞，即＜或＞【解答】解：由题意得：解得：x∈（0，1]．故答案为：（0，1]．12．（5分）（2013•安徽）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y 的最大值为4．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，其中，可得A（4，0）目标函数z=x+y可以变形为y=﹣x+z，可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z=4+0=4最大故答案为：413．（5分）（2013•安徽）若非零向量，满足||=3||=|+2|，则与夹角的余弦值为﹣．【分析】利用条件化简可得4=﹣4，由此可得||•||=||•||cos＜，＞，从而求得与夹角的余弦值．【解答】解：由题意可得=9，且=+4+4，化简可得4=﹣4，∴||•||=﹣||•||cos＜，＞，∴cos＜，＞=﹣=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）（2013•安徽）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣x（x+1）．【分析】当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知表达式可求得f（x+1），根据f（x+1）=2f（x）即可求得f（x）．【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由题意f（x）=f（x+1）=（x+1）[1﹣（x+1）]=﹣x（x+1），故答案为：﹣x（x+1）．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．【解答】解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．三、解答题16．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=sinx+sin（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意x的集合；（Ⅱ）根据变换及平移规律即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+），∴当x+=2kπ﹣（k∈Z），即x=2kπ﹣（x∈Z）时，f（x）取得最小值﹣，此时x的取值集合为{x|x=2kπ﹣（k∈Z）}；（Ⅱ）先由y=sinx的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即为y=sinx的图象；再由y=sinx的图象上的所有点向左平移个单位，得到y=f（x）的图象．17．（12分）（2013•安徽）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、，估计﹣的值．【分析】（I）先设甲校高三年级总人数为n，利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05得=0.05求出n，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率；（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，利用茎叶图中同一行的数据之差可得30（a1﹣a2）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，从而求出a1﹣a2的值，最后利用样本估计总体的思想得出结论即可．【解答】解：（I）设甲校高三年级总人数为n，则=0.05，∴n=600，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率1﹣=；（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，由茎叶图可知，30（a1﹣a2）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+…+92=15，∴a1﹣a2==0.5．∴利用样本估计总体，故估计x1﹣x2的值为0.5．18．（12分）（2013•安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD，AC交于O点，分别证明出PO⊥BD，BD⊥AC，根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面PAC．（Ⅱ）先证明出△ABD≌△PBD，求得PO，根据勾股定理证明出AC⊥PO，求得=V B﹣PEC=V B﹣PAC求得答案．△PAC的面积，最后根据V P﹣BCE【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，AC交于O点，∵PB=PD，∴PO⊥BD，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）则AC=2，∵△ABD和△PBD的三边长均为2，∴△ABD≌△PBD，∴AO=PO=，∴AO2+PO2=PA2，∴AC⊥PO，S△PAC=•AC•PO=3，V P﹣BCE=V B﹣PEC=V B﹣PAC=••S△PAC•BO=××3×1=．19．（13分）（2013•安徽）设数列{a n}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N*，函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1cosx﹣a n+2sinx满足f′（）=0（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2（a n+）求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）利用导数的运算法则先求出f′（x），再利用，即可得到数列{a n}是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出a n；（II）利用（I）得出b n，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出S n．【解答】解：（I）∵f′（x）=a n﹣a n+1+a n+2﹣a n+1sinx﹣a n+2cosx，．∴2a n+1=a n+a n+2对任意n∈N*，都成立．∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a2+a4=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1．（II）由（I）可得，=2（n+1）+，∴S n=2[2+3+…+（n+1）]+==．20．（13分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，【解答】解：故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．21．（13分）（2013•安徽）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G 是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．【分析】（I）根据椭圆的焦距为4，得到c==2，再由点P（，）在椭圆C上得到，两式联解即可得到a2=8且b2=4，从而得到椭圆C的方程；（II）由题意得E（x0，0），设D的坐标为（x D，0），可得向量、的坐标，根据AD⊥AE得，从而算出x D=﹣，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（，0）．直线QG的斜率为k QG=，结合点Q是椭圆C 上的点化简得k QG=﹣，从而得到直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，即点Q 是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．【解答】解：（I）∵椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，∴c=2，可得=2…①又∵点P（，）在椭圆C上∴…②联解①②，可得a2=8且b2=4，椭圆C的方程为；（II）由题意，得E点坐标为（x0，0），设D（x D，0），可得=（x0，﹣），=（x D，﹣），∵AD⊥AE，可得∴x0x D+（﹣）•（﹣）=0，即x0x D+8=0，得x D=﹣∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（，0）因此，直线QG的斜率为k QG==又∵点Q（x0，y0）在椭圆C上，可得∴k QG==﹣由此可得直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），代入椭圆C方程，化简得（）x2﹣16x0x+64﹣16=0将代入上式，得8x2﹣16x0x+8=0，化简得x2﹣2x0x+=0，所以△=，从而可得x=x0，y=y0是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(安徽卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，文1)设i是虚数单位，若复数103ia--(a∈R)是纯虚数，则a的值为()．A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案：D解析：由已知，得1010(3i)10(3i)3i(3i)(3)10a a a++-=-=---+＝a－3－i，∵复数103ia--为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.2．(2013安徽，文2)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1，0,1}，则(R A)∩B＝()．A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}答案：A解析：∵A＝{x|x＞－1}，∴R A＝{x|x≤－1}，∴(R A)∩B＝{－2，－1}．3．(2013安徽，文3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为()．A．34B．16C．1112D．2524答案：C解析：开始，2＜8，s＝0＋12，n＝2＋2＝4；返回，4＜8，113244s=+=，n＝4＋2＝6；返回，6＜8，31114612s=+=，n＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112 s=.4．(2013安徽，文4)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：由(2x－1)x＝0，得x＝12或x＝0.故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件．5．(2013安徽，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()．A．23B．25C．35D．910答案：D解析：五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．其中含甲或乙的情况有9种，故选D．6．(2013安徽，文6)直线x＋2y－50被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()．A．1 B．2 C．4 D．答案：C解析：由圆的一般方程可化为圆的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝5，可知圆心坐标为(1,2)1=，2=.故弦长为4.7．(2013安徽，文7)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()．A．－6 B．－4 C．－2 D．2答案：A解析：由S8＝4a3知：a1＋a8＝a3，a8＝a3－a1＝2d＝a7＋d，所以a7＝d＝－2.所以a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.8．(2013安徽，文8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得11f x x ()＝22f x x ()＝…＝n nf x x ()，则n 的取值范围为( )．A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5} 答案：B 解析：11f x x ()＝22f x x ()＝…＝n n f x x ()可化为1100f x x ()--＝2200f x x ()--＝…＝00n n f x x ()--，所以可以理解为图象上一点与坐标原点确定的斜率相等．由数形结合可得：曲线①为n ＝2，曲线②为n ＝3，曲线③为n ＝4.9．(2013安徽，文9)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )．A ．π3 B ．2π3 C ．3π4 D ．5π6答案：B解析：∵3sin A ＝5sin B ， ∴3a ＝5b . ① 又b ＋c ＝2a, ②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b ， ∴cos C ＝222222257335223b b b b ac ab b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=⨯＝12-.∴C ＝23π.10．(2013安徽，文10)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0，得 x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解，由题可知f (x )的草图为：由数形结合及x 1＜x 2可知满足f (x )＝x 1的解有2个，满足f (x )＝x 2的解仅有1个，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实数根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．(2013安徽，文11)函数1ln 1y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭__________． 答案：(0,1]解析：由2110,10xx ⎧+>⎪⎨⎪-≥⎩⇒10,11x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或⇒0＜x ≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]．12．(2013安徽，文12)若非负变量x ，y 满足约束条件124,x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩则x ＋y 的最大值为__________．答案：4解析：约束条件表示的可行域如图阴影部分．由线性规划知识得最优解为(4,0)，令z ＝x ＋y ，则z max ＝4＋0＝4.13．(2013安徽，文13)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为__________．答案：13-解析：∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，∴|a |2＝9|b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ， ∴a ·b ＝－|b |2，∴cos 〈a ，b 〉＝22||1||||3||3⋅-==-a b b a b b . 14．(2013安徽，文14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝__________.答案：12-x (x ＋1) 解析：∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝12-x (x ＋1)． 15．(2013安徽，文15)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 答案：①②③⑤解析：当CQ ＝12时，D 1Q 2＝D 1C 12＋C 1Q 2，AP 2＝AB 2＋BP 2，所以D 1Q ＝AP .又因为AD 1∥PQ ，AD 1＝2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，所以为四边形，故①也正确，如图①所示．图①如图②，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得 11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确．图②如图③所示，当CQ ＝1时，截面为APC 1E . 可知AC 1EPAPC 1E 为菱形，1APC E S 四边形当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF . 所以④错误．图③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(2013安徽，文16)(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin x ＋πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭. (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x x＝32sin x x πsin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以当x ＋π6＝2k π－π2，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取最小值此时x 的取值集合为2π2π,3x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z .(2)先将y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的(横坐标不变)，得y ＝x 的图象；再将y x 的图象上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f (x )的图象．17．(2013安徽，文17)(本小题满分12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -值． 解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知，30n＝0.05，即n ＝600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为551306-=. (2)设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '.根据样本茎叶图可知，121230()3030x x x x '-'='-'＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此120.5x x '-'=.故12x x -的估计值为0.5分．18．(2013安徽，文18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2，P A(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 的中点，求三棱锥P －BCE 的体积． (1)证明：连接AC ，交BD 于O 点，连接PO . 因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，BO ＝DO .由PB ＝PD 知，PO ⊥BD ．再由PO ∩AC ＝O 知，BD ⊥面APC ，因此BD ⊥PC ． (2)解：因为E 是P A 的中点，所以V P －BCE ＝V C －PEB ＝12V C －P AB ＝12V B －APC ． 由PB ＝PD ＝AB ＝AD ＝2知，△ABD ≌△PBD ． 因为∠BAD ＝60°，所以PO ＝AO AC ＝BO ＝1.又P A ，PO 2＋AO 2＝P A 2，即PO ⊥AC ， 故S △APC ＝12PO ·AC ＝3. 由(1)知，BO ⊥面APC ，因此V P －BCE ＝12V B －APC ＝12·13·BO ·S △APC ＝12.19．(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a a ＋2sin x 满足π'02f ⎛⎫=⎪⎝⎭. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝212nn a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x ．对任意n ∈N *，π'2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1. (2)由b n ＝212nn a a ⎛⎫+⎪⎝⎭＝21112n n +⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·12n n (+)＋11122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝n 2＋3n ＋1－12n.20．(2013安徽，文20)(本小题满分13分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a =+，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，因此区间I ＝20,1a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，区间长度为21a a +. (2)设d (a )＝21a a +，则d ′(a )＝22211a a -(+)， 令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故 当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．因此当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而23223211211<111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k --+.21．(2013安徽，文21)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦距为4，且过点P．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A(0,，连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P，所以22231a b+=，故a 2＝8，b 2＝4，从而椭圆C 的方程为22184x y +=. (2)由题意，E 点坐标为(x 0,0)．设D (x D,0)，则AE ＝(x 0，-)，AD ＝(x D，-)．再由AD ⊥AE 知，AE ·AD ＝0，即x D x 0＋8＝0. 由于x 0y 0≠0，故x D ＝08x -.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G 08,0x ⎛⎫⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率k QG ＝000200088y x y x x x =--.又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以 x 02＋2y 02＝8.① 从而k QG ＝02x y -. 故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.② 将②代入椭圆C 方程，得(x 02＋2y 02)x 2－16x 0x ＋64－16y 02＝0.③ 再将①代入③，化简得 x 2－2x 0x ＋x 02＝0.解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘帖的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题共50分）1、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3（2）已知，则 （ ）（A）（B）（C） （D）（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）（B）（C）（D）（4）“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（A） (B)(C) （D）（6）直线被圆截得的弦长为（A）1 （B）2（C）4 （D）（7）设为等差数列的前项和，，则=（A）（B）（C）（D）2(8) 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为(A) (B)(C) (D)(9) 设的内角所对边的长分别为，若,则角=(A) (B)(C) (D)（10）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（A）3 (B) 4(C) 5 (D) 6第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。