2014-2015年北京市大兴区魏善庄中学高二上学期期中数学试卷及答案(文科)

市大兴区普通校高二联盟考试2014-2015学年度第一学期期中数学（理）一、选择题（每小题4分，共32分）1. 已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且a ∥b ，那么x y +等于（）A ．4-B ．2-C ． 2D ． 42.正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为（ ） A. 42 B. 42+4 C.43 D.43+43.一个球的外切正方体的全面积等于6cm 2，则此球的体积为 （ ）A.334cm πB.386cm πC.361cm π D.366cm π4.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中， 已知AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于 ( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －c D ．－a ＋b ＋c5.已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列说法中不正确的是 （ ） A ．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B ．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C ．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD ．若m⊥α，β⊂m ，则α⊥β6．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为( )A ．36B ．8C ．38D ．12 7.空间四边形ABCD中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为（ ）A 、030B 、045C 、060D 、0908．如图，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E 为面11B BCC 的中心，点F 为11B C 俯视图侧视图正视图23正（主）视图侧（左）视图的中点，则空间四边形1D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 二、填空题（每小题4分，共28分）9. 正方体1111ABCD A B C D -中,平面D 1B 1A 和平面C 1DB 的位置关系是-----------10. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2,3,6，则长方体的 体积是__.11.点(,2,1)P x 到(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则x 的值为_____.12. 将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为______________13.空间坐标系oxyz 中,点A 在x 轴上,点)2,0,1(B ,且5||=AB ,则点A 坐标为__14.一个几何体的三视图如图所示：则该几何体的外接球表面积为__________15.正方体1111D C B A ABCD -中,1=AB 则111D AB A 到面的距离为_________三、解答题（每小题12分，共60分）16.四边形ABCD 为直角梯形，2,4,//===CD BC AB CD AB ,BC AB ⊥,现将该梯形绕AB 旋转一周形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积。

2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高二（上）期中物理试卷（文科）一、本题共15小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的．（每小题4分，共60分）1．（4分）（2012•北京学业考试）下列物理量中属于矢量的是（）A．电场强度B．动能C．路程D．时间2．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）关于摩擦起电现象，下列说法正确的是（）A．摩擦起电现象使本来没有电子和质子的物体中产生电子和质子B．两种不同材料的绝缘体互相摩擦后，同时带上等量同种电荷C．摩擦起电，可能是因为摩擦导致质子从一个物体转移到了另一个物体而形成的D．丝绸摩擦玻璃棒时，电子从玻璃棒上转移到丝绸上，玻璃棒因质子数多于电子数而显正电3．（4分）（2015•海南）如图所示，把一条导线平行地放在磁针的上方附近，当导线中有电流通过时，磁针会发生偏转．首先观察到这个实验现象的物理学家是（）A．奥斯特B．爱因斯坦C．伽利略D．牛顿4．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）关于点电荷，以下说法正确的是（）A．足够小的电荷就是点电荷B．一个电子不论在何种情况下均可视为点电荷C．在实际中点电荷并不存在D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它尺寸的绝对值，而是看它的形状和尺寸对相互作用力的影响能否忽略不计5．（4分）（2012•北京学业考试）真空中有两个静止的点电荷，它们之间静电力的大小为F．如果保持这两个点电荷之间的距离不变，而将它们的电荷量都变为原来的3倍，那么它们之间的静电力的大小变为（）A．3F B．C．D．9F6．（4分）（2011春•大丰市校级期末）下列说法中正确的是（）A．电场强度反映了电场力的性质，因此场中某点的场强与试探电荷在该点所受的电场力成正比B．电场中某点的场强等于，但与试探电荷的受力大小及电荷量无关C．电场中某点的场强方向即试探电荷在该点的受力方向D．公式E=和E=对于任何静电场都是适用的7．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）关于磁场和磁感线下列说法不正确的是（）A．条形磁铁的磁感线是从北极出来回到南极B．磁感线可以形象地描述磁场的强弱和方向C．通电直导线在磁场中的受力方向就是该点的磁场方向D．磁场中任何两条磁感线都不相交8．（4分）（2012•北京学业考试）下面所示的四幅图中，正确标明了带电粒子所受洛伦兹力F方向的是（）A．B．C．D．9．（4分）（2014•青海学业考试）面积是S的矩形导线框，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，当线框平面与磁场方向垂直时，穿过导线框所围面积的磁通量为（）A．0B．B S C．D．10．（4分）（2011•北京学业考试）图是一正弦式交变电流的电流图象．此交流电的周期为（）A．0.01s B．0.02s C．0.03s D．0.04s11．（4分）（2009•北京学业考试）下列电器在工作时，主要利用电流热效应的是（）A．电暖器B．录音机C．D．电饭锅12．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）如图所示，电源压U=30V、定值电阻R=15Ω，不计电流表内阻，则闭合电键S后，电流表读数为（）A．1.5A B．2.0A C．4.0A D．6.0A13．（4分）（2014•辽宁模拟）把长0.10m的直导线全部放入匀强磁场中，保持导线和磁场方向垂直．已知磁场的磁感应强度B的大小为5.0×10﹣3T，当导线中通过的电流为3.0A时，该直导线受到的安培力的大小是（）A．3.0×10﹣3N B．2.5×10﹣3NC．2.0×10﹣3ND．1.5×10﹣3N14．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）表为某电饭锅铭牌上的一部分内容，根据表中的信息，可计算出在额定电压下达到额定功率时通过电饭锅的电流约为（）电器名称电饭锅额定功率700W额定电压220V 额定容量 4.0LA．6.2A B．3.2A C．4.6A D．5.5A15．（4分）（2015•海南）如图的实验中，能让灵敏电流计指针发生偏转的是（）A．磁铁静止在线圈上方B．磁铁静止在线圈右侧C．磁铁静止在线圈里面D．磁铁插入或抽出线圈的过程二、本题共3小题，在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是符合题意的．（每小题4分，共12分．每小题全选对的得4分，选对但不全的得3分，只要有选错的该小题不得分）16．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）关于电磁波的下列说法，正确的是（）A．可见光也是电磁波B．电磁波能在空气中传播C．麦克斯韦第一次通过实验验证了电磁波的存在D．赫兹第一次通过实验验证了电磁波的存在17．（4分）（2012•北京学业考试）有四种电场的电场线如图所示．已知有一正电荷q仅在电场力作用下由M点向N点做加速运动，且加速度越来越小，则该电荷所在的电场可能是图中的（）A．B．C．D．18．（4分）（2013•汕头校级模拟）关于电磁场理论，以下说法正确的是（）A．在电场周围一定会产生磁场B．任何变化的电场周围空间一定会产生变化的磁场C．均匀变化的电场会产生变化的磁场D．周期性变化的电场会产生周期性变化的磁场三、综合题（每小题4分，共12分）19．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）说出下面的符号所代表含义×和•表示垂直于纸面向内和向外⊗和⊙表示垂直于纸面向内和向外．20．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）标出图中各通电螺线管的N极和S极．21．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）画出图中通电导体棒所受的安培力的方向四、论述计算题（共16分）解题要求：写出必要的文字说明、方程式、演算步骤和答案．有数值计算的题，重力加速度可k取9.0×109N﹒m2/C2，答案必须明确写出数值和单位．22．（4分）（2014秋•大兴区校级期中）在磁感应强度B=0.8T的匀强磁场中，一根与磁场方向垂直放置，长度L=0.2m的通电导线中通有I=0.4A的电流，试求；导线所受磁场力的大小为多少．23．（6分）（2014秋•大兴区校级期中）如图所示，在一条直线上的三点分别放置Q A=+3×10﹣5C、Q B=﹣4×10﹣5C、Q C=+3×10﹣5C的A、B、C点电荷，试求作用在点电荷B上的作用力的大小．24．（6分）（2014•辽宁模拟）电场中某区域的电场线分布如图所示，已知检验电荷q=+5.0×10﹣8 C，在A点受电场力F=2.0×10﹣4N．求：（1）A点的电场强度的大小E A；（2）若将检验电荷的电量变为原来的2倍，则该检验电荷在A点受的电场力又为多大．。

2014-2015学年度⾼⼆第⼆学期期中考试（⽂科）数学试题（带答案）2014-2015学年⾼⼆第⼆学期期中考试数学试卷（⽂）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。

第Ⅰ卷1⾄2页，第Ⅱ卷3⾄4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。

第Ⅰ卷1⾄2页，第Ⅱ卷3⾄4页。

2. 答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上⽆效。

第Ⅰ卷⼀、选择题：该题共12个⼩题，每个⼩题有且只有⼀个选项是正确的，每题5分，共60分。

1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于（）A.1213B.513 C ．－513 D ．－12132．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的部分图象如图所⽰，则函数表达式为 ( )A ．y ＝－4sin π8x ＋π4B ．y ＝4sin π8x －π4C ．y ＝－4sin π8x －π4D ．y ＝4sin π8x ＋π43．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最⼤值和最⼩值分别是( )A ．7,5B ．7，－112C ．5，－112D ．7，－54、已知某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）( )A.8π3 B ．3π C.10π3 D ．6π5.P 为ABC ?所在平⾯外⼀点，PB PC =,P 在平⾯ABC 上的射影必在ABC ?的（）A ．BC 边的垂直平分线上B ．BC 边的⾼线上 C ．BC 边的中线上D ．BAC ∠的⾓平分线上6．有⼀块多边形的菜地它的⽔平放置的平⾯图形的斜⼆测直观图是直⾓梯形，如图所⽰45ABC ∠=2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的⾯积为.（）A ．2+B ．C ．22+D ． 21+7. 下列条件中,能判断两个平⾯平⾏的是（）A ．⼀个平⾯内的⼀条直线平⾏于另⼀个平⾯;B ．⼀个平⾯内的两条直线平⾏于另⼀个平⾯C ．⼀个平⾯内有⽆数条直线平⾏于另⼀个平⾯D ．⼀个平⾯内任何⼀条直线都平⾏于另⼀个平⾯8.正四棱锥(顶点在底⾯的射影是底⾯正⽅形的中⼼)的体积为12，底⾯对⾓线的长为26，则侧⾯与底⾯所成的⼆⾯⾓为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9．已知函数sin()y A x m ω?=++的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为2π，直线3x π=是其图象的⼀条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（）A ．4sin(4)3y x π=+B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（）A ．5[,],1212k k k Z ππππ-+∈B ．511[,],1212k k k Z ππππ++∈C ．[,],36k k k Z ππππ-+∈D ．2[,],63k k k Z ππππ++∈11．实数x 、y 满⾜3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最⼤值为（）A 、27 B 、4 C 、29D 、512.极坐标⽅程52sin42=θρ表⽰的曲线是( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线的⼀⽀D 、抛物线第Ⅱ卷⼆、填空题：该题共4个⼩题，每题5分，共20分，请将答案规范书写在答题卡的相应位置。

北京市大兴区普通校高二联盟考试2014-2015学年度第一学期期中数学（理）一、选择题（每小题4分，共32分）1. 已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且a ∥b ，那么x y +等于（ ）A ．4-B ．2-C ． 2D ． 4 2.正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为（ ） A. 42 B. 42+4 C.43 D.43+43.一个球的外切正方体的全面积等于6cm 2，则此球的体积为 （ ）A.334cm πB. 386cm π C. 361cm π D. 366cm π 4.如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中， 已知＝a ，＝b ，1＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于 ( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5.已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列说法中不正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β6．一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为( )A ．36B ．8C ．38D ．12 7.空间四边形ABCD中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为（ ）A 、030B 、045C 、060D 、090俯视图8．如图，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E 为面11B BCC 的中心，点F 为11B C 的中点，则空间四边形1D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 二、填空题（每小题4分，共28分）9. 正方体1111ABCD A BC D -中,平面D 1B 1A 和平面C 1DB 的位置关系是-----------10. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2,3,6，则长方体的 体积是__.11.点(,2,1)P x 到(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则x 的值为_____.12. 将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为______________ 13.空间坐标系oxyz 中,点A 在x 轴上,点)2,0,1(B ,且5||=AB ,则点A 坐标为__14.一个几何体的三视图如图所示：则该几何体的外接球表面积为__________15.正方体1111D C B A ABCD -中,1=AB 则111D AB A 到面的距离为_________三、解答题（每小题12分，共60分）16.四边形ABCD 为直角梯形，2,4,//===CD BC AB CD AB ,BC AB ⊥,现将该梯形绕AB 旋转一周形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积。

2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高二（上）期中生物试卷一、选择题每题1分，共50分7．（1分）（2013秋•沭阳县校级期末）在人体中，既是构成细胞膜的重要成分，还参与血液10．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）血红蛋白分子含四条多肽链，共由574个氨基酸构11．（1分）（2012秋•海安县期末）胰岛素和性激素都是生物激素，它们的化学本质分别是14．（1分）（2012秋•台州期中）人体某些白细胞能进行变形运动，穿出毛细血管壁，吞噬15．（1分）（2013秋•荔城区校级期末）植物细胞壁的形成与高尔基体有关，由此说明了高16．（1分）（2014秋•汪清县校级期末）关于染色体和染色质的关系，下列说法正确的是（）①同一种物质②不同种物质③形态相同19．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）胰岛细胞合成胰岛素并分泌到细胞外经过的生物膜20．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）下列生物中属于原核生物的一组是（）①蓝藻②酵母菌③草履虫④念珠藻⑤水绵⑥青霉菌⑦葡萄球菌24．（1分）（2013秋•淄博期末）在生物体内，作为生命活动的体现者、遗传信息的携带者、25．（1分）（2011•奎屯市校级二模）细胞中具有由磷脂和蛋白质组成的结构膜的有（）26．（1分）（2014秋•乐山期末）科学家常用哺乳动物成熟的红细胞作为材料来研究细胞膜27．（1分）（1999•上海）一分子CO2从叶肉细胞的线粒体基质中扩散出来，进入一相邻细31．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）人体骨胳肌收缩所需要的能量中，约有95%来自于32．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）在细胞的结构中，被称为“蛋白质合成和加工车间”35．（1分）（2013秋•昆明校级期末）下列物质在核糖体内合成的是（）43．（1分）（2013秋•淄博期末）马拉松长跑运动员在进入冲刺阶段时，发现少数运动员下A ．B．C．D．B50．（1分）（2014秋•沅江市校级期中）如图表示科学家进行的蝾螈受精卵横缢实验．你认51．（1分）（2011秋•崇川区校级期末）下列几种膜中，能通过某些大分子物质的是（）二、非选择题：52．（9分）（2014秋•贵池区期中）细胞是生物体结构和功能的基本单位，又是新陈代谢的主要场所．据图回答：（1）动、植物细胞的最主要区别是看其有无．4个图中属于原核细胞的是，能进行光合作用的是．蓝藻是（填字母）其能进行光合作用原因是其具有、．（2）B细胞与D细胞结构中无明显差异的结构是、．（3）C细胞的DNA主要存在于，A细胞的DNA主要存在于．53．（6分）（2014秋•大兴区校级期中）如图是细胞膜局部放大模式图．请分析回答下列问题：（1）图中1代表分子，图中2代表分子．（2）若该细胞表示人的白细胞，它所具有的吞噬功能与细胞膜的性有关．此膜的功能特性是．（3）此模型的基本支架是．（4）具有识别作用的是．54．（7分）（2014秋•大兴区校级期中）如图为一种化合物的分子结构式，请回答有关问题：（1）上述化合物是由个氨基酸组成，它们的R基有种，该化合物称为（2）该化合物是由种氨基酸失去分子水而形成的，这样的反应叫做，生成它的场所是．55．（6分）（2014秋•大兴区校级期中）如图是植物细胞亚显微结构模式图，请据图回答：（内填序号）（1）植物细胞具有而动物细胞没有的细胞器是和．（2）的重要功能是对来自的蛋白质进行加工．（3）细胞进行生命活动所需要的能量主要是由提供的．56．（7分）（2014秋•大兴区校级期中）如图是动物某分泌细胞．向细胞内注射用放射性同位素3H标记的氨基酸，一段时间后，在细胞外检测到含有放射性的分泌蛋白质．请回答下列问题：（内填序号）（1）放射性同位素将依次出现在图中的部位是．（填序号）（2）⑥首先是由附着在上的合成的．（3）图中②是它可以由和以出芽方式产生．（4）分泌蛋白的合成、运输和分泌过程中，需要的能量主要是由提供的．57．（6分）（2014秋•大兴区校级期中）某学生做“植物细胞的吸水和失水”实验，所用材料为紫色的洋葱鳞片叶，试剂是质量浓度为0.3g/mL的蔗糖溶液，请回答：（1）显微镜下观察到洋葱表皮细胞图B处于状态，此现象叫做分离；“⑦”处溶液叫；（2）图A细胞中的原生质层是标号，A细胞中序号是全透性的，任何物质都可以过．由A图变成B图，其原因是图A细胞外蔗糖溶液的浓度“①”处溶液浓度．58．（9分）（2014秋•大兴区校级期中）如图是动植物细胞亚显微结构模式图．请据图分析：（1）比较动植物细胞亚显微结构，高等植物细胞内不含有（细胞器）．（2）吞噬细胞摄取抗原的过程体现了⑤的特性．（3）控制动植物性状的遗传物质主要位于中．（4）图中的主要成分是，与其形成有关的细胞器是．（5）若该细胞右边是紫色洋葱鳞片叶细胞的一部分，则色素主要存在于．如果是植物的根毛细胞，则图中不应有的结构是．（6）能对蛋白质进行加工和运输的细胞器是（填序号）．2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高二（上）期中生物试卷参考答案与试题解析一、选择题每题1分，共50分6．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）人体内磷脂的重要生理作用是（）7．（1分）（2013秋•沭阳县校级期末）在人体中，既是构成细胞膜的重要成分，还参与血液10．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）血红蛋白分子含四条多肽链，共由574个氨基酸构11．（1分）（2012秋•海安县期末）胰岛素和性激素都是生物激素，它们的化学本质分别是14．（1分）（2012秋•台州期中）人体某些白细胞能进行变形运动，穿出毛细血管壁，吞噬15．（1分）（2013秋•荔城区校级期末）植物细胞壁的形成与高尔基体有关，由此说明了高16．（1分）（2014秋•汪清县校级期末）关于染色体和染色质的关系，下列说法正确的是（）①同一种物质②不同种物质③形态相同19．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）胰岛细胞合成胰岛素并分泌到细胞外经过的生物膜20．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）下列生物中属于原核生物的一组是（）①蓝藻②酵母菌③草履虫④念珠藻⑤水绵⑥青霉菌⑦葡萄球菌24．（1分）（2013秋•淄博期末）在生物体内，作为生命活动的体现者、遗传信息的携带者、25．（1分）（2011•奎屯市校级二模）细胞中具有由磷脂和蛋白质组成的结构膜的有（）26．（1分）（2014秋•乐山期末）科学家常用哺乳动物成熟的红细胞作为材料来研究细胞膜27．（1分）（1999•上海）一分子CO2从叶肉细胞的线粒体基质中扩散出来，进入一相邻细31．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）人体骨胳肌收缩所需要的能量中，约有95%来自于32．（1分）（2014秋•大兴区校级期中）在细胞的结构中，被称为“蛋白质合成和加工车间”和“产生蛋白质的机器”的细胞器分别是（）35．（1分）（2013秋•昆明校级期末）下列物质在核糖体内合成的是（）43．（1分）（2013秋•淄博期末）马拉松长跑运动员在进入冲刺阶段时，发现少数运动员下A ．B．C．D．B49．（1分）（2014春•江门期末）细胞核中易被碱性染料染成深色的结构是（）50．（1分）（2014秋•沅江市校级期中）如图表示科学家进行的蝾螈受精卵横缢实验．你认二、非选择题：52．（9分）（2014秋•贵池区期中）细胞是生物体结构和功能的基本单位，又是新陈代谢的主要场所．据图回答：（1）动、植物细胞的最主要区别是看其有无细胞壁．4个图中属于原核细胞的是C、D，能进行光合作用的是A、D．蓝藻是D（填字母）其能进行光合作用原因是其具有叶绿素、藻蓝素．（2）B细胞与D细胞结构中无明显差异的结构是细胞膜、核糖体．（3）C细胞的DNA主要存在于拟核，A细胞的DNA主要存在于细胞核．53．（6分）（2014秋•大兴区校级期中）如图是细胞膜局部放大模式图．请分析回答下列问题：（1）图中1代表蛋白质分子，图中2代表磷脂分子分子．（2）若该细胞表示人的白细胞，它所具有的吞噬功能与细胞膜的流动性性有关．此膜的功能特性是选择透过性．（3）此模型的基本支架是磷脂双分子层．（4）具有识别作用的是糖蛋白．54．（7分）（2014秋•大兴区校级期中）如图为一种化合物的分子结构式，请回答有关问题：（1）上述化合物是由5个氨基酸组成，它们的R基有4种，该化合物称为五肽或多肽（2）该化合物是由4种氨基酸失去4分子水而形成的，这样的反应叫做脱水缩合，生成它的场所是核糖体．55．（6分）（2014秋•大兴区校级期中）如图是植物细胞亚显微结构模式图，请据图回答：（内填序号）（1）植物细胞具有而动物细胞没有的细胞器是叶绿体和液泡．（2）内质网的重要功能是对来自核糖体的蛋白质进行加工．（3）细胞进行生命活动所需要的能量主要是由线粒体提供的．56．（7分）（2014秋•大兴区校级期中）如图是动物某分泌细胞．向细胞内注射用放射性同位素3H标记的氨基酸，一段时间后，在细胞外检测到含有放射性的分泌蛋白质．请回答下列问题：（内填序号）（1）放射性同位素将依次出现在图中的部位是④⑤③②．（填序号）（2）⑥分泌蛋白首先是由附着在内质网上的核糖体合成的．（3）图中②是囊泡它可以由内质网和高尔基体以出芽方式产生．（4）分泌蛋白的合成、运输和分泌过程中，需要的能量主要是由线粒体提供的．57．（6分）（2014秋•大兴区校级期中）某学生做“植物细胞的吸水和失水”实验，所用材料为紫色的洋葱鳞片叶，试剂是质量浓度为0.3g/mL的蔗糖溶液，请回答：（1）显微镜下观察到洋葱表皮细胞图B处于原生质层与细胞壁分离状态，此现象叫做质壁分离；“⑦”处溶液叫细胞液；（2）图A细胞中的原生质层是标号④⑤⑥，A细胞中序号②是全透性的，任何物质都可以过．由A图变成B图，其原因是图A细胞外蔗糖溶液的浓度大于“①”处溶液浓度．58．（9分）（2014秋•大兴区校级期中）如图是动植物细胞亚显微结构模式图．请据图分析：（1）比较动植物细胞亚显微结构，高等植物细胞内不含有中心体（细胞器）．（2）吞噬细胞摄取抗原的过程体现了⑤的一定的流动性特性．（3）控制动植物性状的遗传物质主要位于细胞核中．（4）图中的主要成分是纤维素和果胶，与其形成有关的细胞器是高尔基体．（5）若该细胞右边是紫色洋葱鳞片叶细胞的一部分，则色素主要存在于液泡．如果是植物的根毛细胞，则图中不应有的结构是叶绿体．（6）能对蛋白质进行加工和运输的细胞器是②⑦（填序号）．。

2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ） A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°2．已知两个向量a →=(1，−1，2)，b →=(2，m ，n)，且a →∥b →，则m +n ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．63．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都没中靶4．点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．25．圆x 2+（y +2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ） A ．（x +2）2+y 2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1 C ．（x +2）2+（y +2）2＝1D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝26．“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知两点M （﹣2，0），N （0，2），则以线段MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣2x +2y ＝0 B ．x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣6＝0 C ．x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0D ．x 2+y 2+2x ﹣2y ＝08．在空间直角坐标系中，已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若点P （x ，1，1）在平面ABC 内，则x ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．√2D ．19．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．三棱锥B 1﹣ACE 的体积随动点E 变化而变化C ．直线EF 与AD 1所成的角不可能等于60° D ．存在点E ，使EF ⊥平面AB 1C 1D10．如图，已知两点A （4，0），B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程PM +MN +NP 等于（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．直线2x +y ﹣1＝0的一个方向向量为 ．12．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)，AC →=CB →，则OC →的坐标为 ．13．已知等腰三角形ABC 的顶点为A （4，2），底边的一个端点为B （5，3），则底边的另一个端点C 的轨迹方程为 ．14．甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．15．在平面直角坐标系中，定义P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）两点间的直角距离为d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，如图BC ̂是圆A ：（x ﹣1）2+y 2＝1当x ≥32时的一段弧，D 是BĈ与x 轴的交点，将BC ̂依次以原点O 为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d （C ，D ）＝ ．若点P 为曲线上任一点，则d （O ，P ）的最大值为 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知△ABC 中，点A （﹣1，0），点B （2，0），点C(0，√3)． （1）求边AC 上的高所在直线的方程； （2）求∠BAC 角平分线所在直线的方程．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x ，y ）表示试的样本点，其中x 表示第一次取出球的数字，y 表示第二次取出球的数字．设事件A ＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B ＝“两次取出的球的数字之和是4”． （1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P （A ），P （B ），P （AB ）的值； （3）判断事件A 和事件B 是否相互独立，并说明理由．18．（15分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，E 是DC 的中点．以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量的坐标； （2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）求直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值．19．（15分）已知圆C 经过点A （0，2）和点B （1，3），且圆心C 在直线x ﹣y ﹣1＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）若线段DE 的端点D 的坐标是（4，3），端点E 在圆C 上运动，求线段DE 的中点M 的轨迹方程． 20．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． （1）求证：C 1D ⊥A 1B ； （2）求证：C 1D ∥平面A 1BE ；（3）在棱CC 1上是否存在一点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°？若存在，求CP CC 1的值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知直线l 1，l 2的方程分别是l 1：x ＝0，l 2：3x ﹣4y ＝0，点A 的坐标为(1，a)(a ＞34)．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）． （1）若k ＝﹣1，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及△AON 的面积； （2）是否存在实数a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ） A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°解：设直线的倾斜角为α，则tan α＝﹣1， ∵0°≤α＜180°，∴α＝135°． 故选：D ．2．已知两个向量a →=(1，−1，2)，b →=(2，m ，n)，且a →∥b →，则m +n ＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6解：因为a →∥b →，所以b →=λa →，λ∈R ，故（2，m ，n ）＝λ（1，﹣1，2），即{2=λm =−λn =2λ，解得{m =−2n =4，m +n ＝2．故选：A ．3．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都没中靶解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶； 设事件P ：至少一次中靶，则P ＝{①，②}，A 选项：事件A ：至多一次中靶，则A ＝{②，③}，P ∩A ＝{②}，不互斥，不对立，B 选项：事件B ：两次都中靶，则B ＝{①}，P ∩B ＝{①}，不互斥，不对立，C 选项：事件C ：只有一次中靶，则C ＝{②}，P ∩C ＝{②}，不互斥，不对立，D 选项：事件D ：两次都没中靶；则D {③}，P ∩D ＝∅，且P ∪D ＝{①，②，③}，互斥且对立， 故选：D ． 4．点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．2解：点P （0，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离等于√12+(−1)2=√2．故选：C ．5．圆x 2+（y +2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ） A ．（x +2）2+y 2＝2 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1 C ．（x +2）2+（y +2）2＝1D ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2解：圆x 2+（y +2）2＝1，圆心（0，﹣2），半径为1， 设（0，﹣2）关于（1，0）对称的对称点为C （x ，y ）， 则{x +0=2y −2=0，解得{x =2y =2，则C （2，2）， 故所求圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1． 故选：B ．6．“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直时， 有1×a +（﹣a ）（a +2）＝0，即a 2+a ＝0，解得a ＝﹣1或a ＝0，所以“a ＝﹣1”是“直线l 1：x ﹣ay +1＝0和直线l 2：ax +（a +2）y +1＝0（a ∈R ）垂直”的充分而不必要条件． 故选：A ．7．已知两点M （﹣2，0），N （0，2），则以线段MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣2x +2y ＝0 B ．x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣6＝0 C ．x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0D ．x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0解：因为M （﹣2，0），N （0，2）的中点为M （﹣1，1）， MN =√22+22=2√2，即MN 2=√2，所以以线段MN 为直径的圆的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2， 化简得x 2+y 2+2x ﹣2y ＝0． 故选：D ．8．在空间直角坐标系中，已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），若点P （x ，1，1）在平面ABC 内，则x ＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．√2D ．1解：已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），P （x ，1，1）， 则AP →=(x −1，1，1)，AB →=(−1，1，0)，AC →=(−1，0，1)， 若点P 在平面ABC 内，则有AP →=mAB →+nAC →，m ，n ∈R ， 即（x ﹣1，1，1）＝（m ﹣n ，m ，n ）， 则{x −1=−m −n 1=m 1=n ，解得x ＝﹣1． 故选：A ．9．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．三棱锥B 1﹣ACE 的体积随动点E 变化而变化C ．直线EF 与AD 1所成的角不可能等于60° D ．存在点E ，使EF ⊥平面AB 1C 1D解：对于A ，因为 BD ∥B 1D 1，E 在线段A 1C 1上运动，当E 为A 1C 1的中点时，EF 与B 1D 1相交，其余情况下，EF 与B 1D 1为异面直线，不可能平行，故A 错误；对于B ，V B 1−ACE =V E−AB 1C ，而点E 所在的线段A 1C 1与平面AB 1C 平行，故点E 到平面AB 1C 的距离保持不变，故三棱锥B 1﹣ACE 的体积为定值，故B 错误；对于C ，当点E 为A 1C 1中点时，△C 1EF 为等边三角形，此时∠EFC 1＝60°，而AD 1∥BC 1，故此时EF 与AD 1所成的角为 60°，故C 错误；对于D ，当点E 为A 1C 1中点时，EF ∥A 1B ，而A 1B ⊥AB 1，故EF ⊥AB 1，由三垂线定理可得，EF ⊥AD ，故EF ⊥平面AB 1C 1D ，故D 正确； 故选：D ．10．如图，已知两点A （4，0），B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程PM +MN +NP 等于（ ）A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5解：由题意知y ＝﹣x +4的点A （4，0），点B （0，4）则点P （2，0）设光线分别射在AB 、OB 上的M 、N 处，由于光线从点P 经两次反射后又回到P 点， 根据反射规律，则∠PMA ＝∠BMN ；∠PNO ＝∠BNM ．作出点P 关于OB 的对称点P 1，作出点P 关于AB 的对称点P 2，则： ∠P 2MA ＝∠PMA ＝∠BMN ，∠P 1NO ＝∠PNO ＝∠BNM ， ∴P 1，N ，M ，P 2共线， ∵∠P 2AB ＝∠P AB ＝45°， 即P 2A ⊥OA ；PM +MN +NP ＝P 2M +MN +P 1N ＝P 1P 2＝2√10；故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．直线2x +y ﹣1＝0的一个方向向量为 （1，﹣2）（答案不唯一） ． 解：直线2x +y ﹣1＝0的法向量为（2，1）， 则其一个方向向量为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）（答案不唯一）．12．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)，AC →=CB →，则OC →的坐标为 (32，−12，0) ．解：因为AC →=CB →，所以OC →−OA →=OB →−OC →， 所以OC →=12(OA →+OB →)，又OA →=(1，−1，1)，OB →=(2，0，−1)， 所以OC →=12(1+2，−1+0，1−1)=(32，−12，0)． 故答案为：(32，−12，0)．13．已知等腰三角形ABC 的顶点为A （4，2），底边的一个端点为B （5，3），则底边的另一个端点C 的轨迹方程为 x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3）） ．解：设底边的另一个端点C 的坐标为（x ，y ），则√(4−x)2+(2−y)2=√(4−5)2+(2−3)2， 化简可得x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0，因为A ，B ，C 三点构成三角形，所以三点不共线且B ，C 不重合， 当A ，B ，C 三点共线时，k AB =3−25−4=1，由直线的点斜式可得y ﹣2＝1×（x ﹣4），化简可得x ﹣y ﹣2＝0，所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））． 故答案为：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +18＝0（x ﹣y ﹣2≠0或除去点（3，1），（5，3））．14．甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是29；第3次由甲射击的概率是59．解：第一空：前2次射击中甲恰好击中1次只有一种情况：第1次甲击中，第2次甲未击中，故概率是13×23=29；第二空：第3次由甲射击有两种情况是：第1次甲击中，第2次甲还击中；第1次甲未击中，第2次乙也未击中， 故概率是13×13+23×23=59．故答案为：29；59．15．在平面直角坐标系中，定义P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）两点间的直角距离为d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，如图BC ̂是圆A ：（x ﹣1）2+y 2＝1当x ≥32时的一段弧，D 是BĈ与x 轴的交点，将BC ̂依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则d （C ，D ）＝ 1+√32．若点P 为曲线上任一点，则d （O ，P ）的最大值为1+√3+2√22．解：由图可得，点D （2，0），C(32，√32)，∴d(C ，D)=|2−32|+|0−√32|=1+√32； 根据对称性，只需讨论点P 在第一象限的情况：当点P 在CD 上时，设∠P AD ＝θ，θ∈[0，π3]，则P （1+cos θ，sin θ），∴d(O ，P)=|1+cosθ|+|sinθ|=1+cosθ+sinθ=1+√2sin(θ+π4)≤1+√2（当且仅当θ=π4时取等号）；当点P 不在CD 上时，所在圆的圆心坐标E(12，√32)，设∠PEC ＝α，α∈[0，2π3]， 可得P(12+cosα，√32+sinα)，cosα∈[−12，1]，sin α∈[0，1]， ∴d(O ，P)=|12+cosα|+|√32+sinα|=12+cosα+√32+sinα=1+√32+√2sin(α+π4)≤1+√3+2√22， （当且仅当α=π4时取等号）．综上所述，d （O ，P ）的最大值为1+√3+2√22．故答案为：1+√32，1+√3+2√22． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知△ABC 中，点A （﹣1，0），点B （2，0），点C(0，√3)． （1）求边AC 上的高所在直线的方程； （2）求∠BAC 角平分线所在直线的方程． 解：（1）∵点A （﹣1，0），点C(0，√3)， ∴边AC 所在直线斜率k AC =√3，∴边AC上的高所在直线BD的斜率k=−√33，且过点B（2，0）．∴边AC上的高所在直线的方程为y=−√33(x−2)．（2）由k AC=√3得∠BAC＝60°，∴∠BAC角平分线的倾斜角为30°，∴∠BAC角平分线所在直线AE的斜率k1=tan30°=√33．又∵∠BAC角平分线AE过点A（﹣1，0），∴∠BAC角平分线所在直线的方程为y=√33(x+1)．17．（15分）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用（x，y）表示试的样本点，其中x表示第一次取出球的数字，y表示第二次取出球的数字．设事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“两次取出的球的数字之和是4”．（1）写出这个试验的样本空间；（2）分别求出P（A），P（B），P（AB）的值；（3）判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由．解：（1）依题意试验的样本空间为：Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）}；（2）因为A＝{（1，1），（1，2），（1，3）}，Β＝{（1，3），（2，2），（3，1）}，所以P(A)=n(A)n(Ω)=39=13，P(B)=n(B)n(Ω)=39=13．因为AB＝{（1，3）}，所以P(AB)=n(AB)n(Ω)=19；（3）因为P(A)P(B)=13×13=19=P(AB)，所以事件A和事件B相互独立．18．（15分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是DC的中点．以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量的坐标；（2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）求直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值．解：（1）依题意：D （0，0，0），B 1（1，2，1），A 1（1，0，1），所以DB 1→=(1，2，1)，因为在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥平面ADD 1A 1，所以DB 1→在平面ADD 1A 1上的投影向量为DA 1→，坐标为（1，0，1）．（2）由题意知，D 1（0，0，1），A （1，0，0），E （0，1，0），所以AE →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，1)．设平面AED 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AE →=−x +y =0n →⋅AD 1→=−x +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n →=(1，1，1)是平面AED 1的一个法向量，因为AB 1→=(0，2，1)，所以B 1到平面AED 1的距离为|AB 1→⋅n →||n →|=√3=√3．（3）设直线DB 1与平面AED 1所成角为θ，则sinθ=|cos〈DB 1→，n →〉|=|DB 1→⋅n →||DB 1→||n →|=3×6=2√23． 即直线DB 1与平面AED 1所成角的正弦值是2√23． 19．（15分）已知圆C 经过点A （0，2）和点B （1，3），且圆心C 在直线x ﹣y ﹣1＝0上．（1）求圆C 的方程；（2）若线段DE 的端点D 的坐标是（4，3），端点E 在圆C 上运动，求线段DE 的中点M 的轨迹方程．（1）解：设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0（D 2+E 2﹣4F ＞0），故圆心为(−D 2，−E 2)，由题意得{4+2E +F =01+9+D +3E +F =0−D 2−(−E 2)−1=0，解得{D =−4E =−2F =0， 所以圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0；（2）设点M 的坐标是（x ，y ），点E 的坐标是（x 0，y 0）．因为点D 的坐标是（4，3），且M 是线段DE 的中点， 所以x =x 0+42，y =y 0+32． 故x 0＝2x ﹣4，y 0＝2y ﹣3． ①因为点E 在圆C 上运动，所以点E 的坐标满足圆C 的方程，即x 02+y 02−4x 0−2y 0=0． ②把①代入②，得（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2﹣4（2x ﹣4）﹣2（2y ﹣3）＝0，整理，得(x −3)2+(y −2)2=54．20．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点．（1）求证：C 1D ⊥A 1B ；（2）求证：C 1D ∥平面A 1BE ；（3）在棱CC 1上是否存在一点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°？若存在，求CP CC 1的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥平面ABC ．又∠ACB ＝90°，所以CC 1⊥AC ，CC 1⊥CB ，AC ⊥CB ．故AC ，CB ，CC 1两两垂直．以C 为原点，AC ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C 1（0，0，2），D （1，1，2），A 1（2，0，2），B （0，2，0），E （0，0，1），A （2，0，0），C （0，0，0），所以C 1D →=(1，1，0)，A 1B →=(−2，2，−2)．因为C 1D →⋅A 1B →=1×(−2)+1×2+0×(−2)=0，所以C 1D →⊥A 1B →，即C 1D ⊥A 1B ．（2）证明：设平面A 1BE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，因为A 1B →=(−2，2，−2)，A 1E →=(−2，0，−1)，则{n →⋅A 1B →=0n →⋅A 1E →=0，所以{−2x +2y −2z =0−2x −z =0，取x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝﹣2． 所以n →=(1，−1，−2)是平面A 1BE 的一个法向量．因为C 1D →⋅n →=1×1+1×(−1)+0×(−2)=0，所以C 1D →⊥n →．又因为C 1D ⊄平面A 1BE ，所以C 1D ∥平面A 1BE ．（3）设点P 满足，CP →=λCC 1→(0≤λ≤1)，则AP →=AC →+CP →=AC →+λCC 1→=(−2，0，2λ)．设平面P AB 的一个法向量为m →=(x 0，y 0，z 0)，因为AB →=(−2，2，0)，AP →=(−2，0，2λ)则{m →⋅AB →=0m →⋅AP →=0，所以{−2x 0+2y 0=0−2x 0+2λz 0=0，取z 0＝1，则x 0＝λ，y 0＝λ． 所以m →=(λ，λ，1)是平面P AB 的一个法向量．由（1）得，n →=(1，−1，−2)是平面A 1BE 的一个法向量，则平面P AB 与平面A 1BE 的夹角就是m →与n →的夹角或其补角．若平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°，则cos60°=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=2√2λ+1×√6=12， 解得λ=√306∈[0，1]．所以，在棱CC 1上存在点P ，使得平面P AB 与平面A 1BE 的夹角为60°， 此时CPCC 1=√306． 21．（15分）已知直线l 1，l 2的方程分别是l 1：x ＝0，l 2：3x ﹣4y ＝0，点A 的坐标为(1，a)(a ＞34)．过点A的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）．（1）若k ＝﹣1，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及△AON 的面积；（2）是否存在实数a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．解：（1）∵直线 l 过点A （1，a ），且斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）+a ， ∵直线l 与l 1，l 2分别交于点M ，N ，∴k ≠34，由{x =0y =k(x −1)+a，解得{x =0y =a −k，即M （0，a ﹣k ）， 由{3x −4y =0y =k(x −1)+a ，解得{x =4k−4a 4k−3y =3k−3a 4k−3，即N(4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3)， 又∵M ，N 的纵坐标均为正数， ∴{a −k ＞03k−3a 4k−3＞0，即{a −k ＞04k −3＜0， ∵a ＞34，k ＜34，若k ＝﹣1时，M （0，a +1），N(4+4a 7，3+3a 7)， 又∵点A 为线段MN 中点，∴{4+4a 7=2a +1+3+3a 7=2a 解得a =52， ∴M(0，72)，N(2，32)，∴△AON 的面积S =12×12×72×2=74． （2）假设存在满足题意的a ，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关，由（1）知：M （0，a ﹣k ），N(4k−4a 4k−3，3k−3a 4k−3) 且{a −k ＞04k −3＜0， 因此|OM |＝a ﹣k ，|ON|=5a−5k 3−4k ， ∴1|OM|+1|ON|=1a−k +3−4k 5a−5k =4(2−k)5(a−k)，∵2﹣k ＞0，∴当a ＝2时，1|OM|+1|ON|为定值45， ∴存在实数a ＝2，使得1|OM|+1|ON|的值与k 无关．。

大兴区2024~2025学年度第一学期期中检测高二数学（答案在最后）1.本试卷共4页，共两部分，21道小题．满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线10x y +-=的倾斜角的正切值为（）A.1-B.1C.0D.2【答案】A 【解析】【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得倾斜角，进而求得其正切值.【详解】直线10x y +-=的斜率为1-，倾斜角为3π4，所以3πtan 14=-.故选：A2.已知两个向量()()1,1,1,2,,2a b m =-= ，且a b ⊥，则m =（）A.2-B.2C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m .【详解】由于a b ⊥，所以()()1,1,12,,2220,4a b m m m ⋅=-⋅=-+==r r.故选：C3.过点()2,M a -，(),4N a 的直线的斜率为12，则||MN =（）A.2B.C.4D.【答案】B 【解析】【分析】根据斜率列方程，求得a ，进而求得MN .【详解】依题意，4122a a -=--，解得2a =，所以()()2,2,2,4M N -，所以MN ==.故选：B4.圆22(2)1x y ++=关于x 轴对称的圆的方程为（）A.22(2)1x y ++=B.22(2)1x y ++=C.22(2)(2)1x y ++-=D.22(2)1x y +-=【答案】D 【解析】【分析】确定出已知圆的圆心关于x 轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程可知.【详解】圆22(2)1x y ++=的圆心为()0,2-，半径为1，因为()0,2-关于x 轴对称的点为()0,2，所以对称圆的方程为()2221x y +-=，故选：D.5.若()1,1,2d =- 是直线l 的方向向量，()1,3,0n =-是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.直线l 在平面α内B.平行C.相交但不垂直D.垂直【答案】C 【解析】【分析】先判断d 与n是否共线或垂直，即可得出结论．【详解】∵()1,1,2d =- ，()1,3,0n =- ，假设存在实数k ，使得d kn = ，则()()1,1,21,3,0k -=-，即11320kkk =-⎧⎪=⎨⎪-=⋅⎩⇒k 无解.不存在实数k ，使得d kn = 成立，因此l 与α不垂直．由d ()()1,1,21,3,013020n ⋅=-⋅-=-++=≠，可得直线l 与平面α不平行．因此直线l 与平面α的位置关系是相交但不垂直．故选：C【点睛】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系，属于基础题．6.已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为（）A.B.C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】根据直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，由4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得m ，然后利用两平行线间的距离.【详解】因为直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，所以4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得4m =，因为直线240x y +-=与直线7202++=x y 7|4|3522--=．故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，则1AC 的长为（）A.3B.6C.3D.6【答案】B 【解析】【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】依题意，11AC AB AD AA =++，所以()()22222111112AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅11111121111116222⎛⎫=+++⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以16AC =故选：B8.已知圆22:1O x y +=，过直线34100x y +-=上的动点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】连接PO ，222PA PO r =-，当PO 最小时，PA 最小，计算点到直线的距离得到答案.【详解】如图所示：连接PO ，则222PA PO r =-，当PO 最小时，PA 最小，min 2210234PO -==+，故PA 22213-=.故选：C.9.已知点C （2，0），直线kx －y ＋k =0（k ≠0）与圆()()22112x y -+-=交于A ，B 两点，则“△ABC 为等边三角形”是“k =1”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当ABC V 为等边三角形时，求出斜率k 的值，当1k =时，判断ABC V 的形状，即可选出答案.【详解】设圆心为D ，易知()1,1D ，半径2r =当ABC V 为等边三角形时，CD l ⊥，而2111CD k -==--，因为1CD k k ⋅=-，所以1k =，当1k =时，直线l 为：10x y -+=，而2111CD k -==--，所以1CD k k ⋅=-，所以CD l ⊥，所以ABC V 为等腰三角形，因为()222112CD =-+=圆心到直线l 的距离为1112211d -+==+，即21CD =，所以圆心D 为ABC V 的重心，同时也是ABC V 的外心，所以ABC V 为等边三角形，所以“ABC V 为等边三角形”是“1k =”的充要条件，故选：A.10.如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线:(2)l y a x =-.给出下列四个结论：①当0a =时，若直线l 截黑色阴影区域所得两部分面积记为1212()S S S S ≥，，则12::31S S = ；②当43a =-时，直线l 与黑色阴影区域有1个公共点；③当[]1,1a ∈-时，直线l 与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】由题知根据直线：:(2)l y a x =-过定点(2,0)，a 为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解.【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为4π，小圆的面积为π．对于①，当0a =时，直线l 的方程为0y =．此时直线l 将黑色阴影区域的面积分为两部分1π3ππ22S =+=，2πππ22S =-=，所以12::31S S =，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为22(1)1(0)x y x +-=>,当43a =-时，直线的方程为4:(2)3l y x =--，即4380x y +-=，小圆圆心(0,1)到直线l 的距离1d ==，所以直线l 与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线l 与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当[1,1)a ∈-时，如图3所示，直线l 与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当1a =时，直线l 与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点()0,2-，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知()1,1A ，()2,2B ，()0,C n 三点共线，则n =______．【答案】0【解析】【分析】先确定直线,AB AC 斜率存在，然后根据三点共线可知AB AC k k =，结合斜率的计算公式可求结果.【详解】因为A B C x x x ≠≠，所以直线,AB AC 斜率存在，因为,,A B C 三点共线，所以AB AC k k =，所以2112110n--=--，解得0n =，故答案为：0.12.已知圆22:240C x y x y a +-++=，则圆心C 坐标为__________，当圆C 与y 轴相切时，实数a 的值为_____________.【答案】①.(1,2)-.②.4.【解析】【分析】首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程22(1)(2)5x y a -++=-，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，即圆心到y 轴的距离即为圆的半径，从而求得a 的值.【详解】由22240x y x y a +-++=，配方得22(1)(2)5x y a -++=-，所以圆心C 的坐标为(1,2)-；当圆C 与y 1=，解得4a =；故答案是(1,2)-，4.【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有圆的一般方程向圆的标准方程的转化，由圆的方程得到圆的圆心坐标，圆与直线相切时满足的条件，即为圆心到切线的距离为圆的半径，从而建立相应的等量关系式，求得结果.13.已知平面α过点()()()0,0,0,2,2,0,0,0,2O A B 三点，直线l 与平面α垂直，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是______．【答案】()1,1,0-（答案不唯一）【解析】【分析】先求解出平面α的法向量，然后根据位置关系判断出方向向量与法向量的关系，由此可知方向向量的结果.【详解】设平面α的法向量为(),,n x y z =，因为()()2,2,0,0,0,2OA OB ==，所以n OA n OB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以0n OA n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以22020x y z +=⎧⎨=⎩，取1x =，所以()1,1,0n =-，又因为直线l 与平面α垂直，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量共线，所以可取方向向量为()1,1,0-（不唯一，非零共线即可），故答案为：()1,1,0-（答案不唯一）.14.直线220x y -+=和260x y +-=与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______．【答案】4【解析】【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积.【详解】令260x y +-=中0y =，得3x =，所以与x 轴交于()3,0A ，令220x y -+=中0x =，得1y =，所以与y 轴交于()0,1B ，由260220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩，所以两直线交于()2,2P ，所以围成的四边形面积为()()122232422S +⨯⨯-=+=，故答案为：4.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的动点，给出下列四个结论：①存在F ，使得BF DE ⊥；②存在F ，使得1//B F 平面1A ED ；③当F 为线段1CC 中点时，三棱锥1A EFD -的体积最小；④当F 与1C 重合时，直线EF 与直线1A D 所成角的余弦值最小.其中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】先建立合适空间直角坐标系，设()[]()2,2,0,2F m m ∈，对于①：根据0BF DE ⋅=求得m 的值并判断是否正确；对于②：考虑F 与C 重合时的情况；对于③：根据1113A EFD A ED V S d -=⨯⨯ ，分析d 的最小值即可判断；对于④：利用向量法先表示出1cos ,EF A D，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系设()[]()2,2,0,2F m m ∈，①：因为()()()2,0,0,0,2,0,2,0,1B D E ，所以()()0,2,,2,2,1BF m DE ==-，当BF DE ⊥时，40BF DE m ⋅=-+=，解得4m =，不符合题意，故①错误；②：当F 与C 重合时，因为1111//,A B FD A B FD =，所以四边形11A B FD 为平行四边形，所以11//B F A D ，且1B F ⊄平面1A ED ，1A D ⊂平面1A ED ，所以1//B F 平面1A ED，故②正确；③：设F 到平面1A ED 的距离为d ，所以11113A EFD F A ED A ED V V S d --==⨯⨯ ，且1A ED S 为定值，所以当d 最小时，三棱锥1A EFD -的体积最小，因为()()()10,0,2,0,2,0,2,0,1A D E ，所以()()110,2,2,2,0,1A D A E =-=- ，设平面1A ED 的法向量为(),,n x y z =，所以1100n A D n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以020y z x z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，所以()1,2,2n = ，又()2,0,DF m = ，所以223DF n m d n ⋅+== ，当0m =时d 有最小值，故③错误；④：设直线EF 与直线1A D 所成角为θ，因为()()10,2,1,0,2,2EF m A D =-=- ，所以1cos cos ,EF A D θ==，令[]31,3m t -=∈，所以3m t =-，所以cos θ====，因为11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11t =取最大值，此时cos θ取最小值，此时1,2t m ==，即F 与1C 重合，故④正确；故答案为：②④.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是向量法的使用，将①中的垂直关系转化为数量积计算，将③中的体积问题转化为点到面的距离问题并用向量法完成计算，将④中的异面直线所成角转化为直线方向向量所成角进行计算.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -.（1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．【答案】（1）34230x y --=;（2）4310x y ++=.【解析】【详解】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=-∴ 吘的中点坐标为()5,2-624823AB k --==--，∴ 吘的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=-∴ 吘的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=--∴直线l 的方程4310x y ++=17.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切.（1）求圆C 的标准方程.（2）求直线l ：220x y -+=与圆C 相交的弦长.【答案】（1）22(2)4x y -+=；（2）455.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆C 的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为(,0)x 且0x >，∴由圆与3440x y ++=相切，有|34|25x +=，即可得2x =.∴圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=.（2）由（1）知：C (2,0)，2r =，∴C 到直线220x y -+=的距离为d =∴直线l 与圆C 相交的弦长为4525==.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AB AD ⊥，且122PA AB BC AD ==== ．（1）求直线PB 与直线CD 所成角的大小；（2）求直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值．【答案】（1）π3（2）5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线PB 与直线CD 所成角的大小.（2）利用向量法来求得直线PD 与平面PAC 所成角的正弦值．【小问1详解】由于PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，由于AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直.以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,4,0P B C D ，()()2,0,2,2,2,0PB CD =-=- ，设直线PB 与直线CD 所成角为α，则1cos 2PB CD PB CDα⋅==⋅ ，由于π02α≤≤，所以π3α=.【小问2详解】()0,4,2PD =- ，()()2,2,0,0,0,2AC AP == ，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则22020n AC x y n AP z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，故可设()1,1,0n =- ，设直线PD 与平面PAC 所成角为θ，则10sin 5PD n PD nθ⋅==⋅ .19.已知圆C 过()()()4,1,0,1,2,3A B M 三点，直线:2l y x =+．（1）求圆C 的方程；（2）求圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程；（3）若P 为直线l 上的动点，Q 为圆C 上的动点，O 为坐标原点，求||||OP PQ +的最小值．【答案】（1）()()22214x y -+-=（2）()()22144x y ++-=（32-【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点C '的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆C '的方程；（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知2OP PQ OP PC +≥+-，然后利用对称关系将OP PC +转化为OP PC +'，结合三点共线可求最小值.【小问1详解】设圆的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，代入()()()4,1,0,1,2,3A B M ，则()()()()()()22222222241123a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得212a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()22214x y -+-=；【小问2详解】设(),C m n '，由对称关系可知111212222n m n m -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩，所以()1,4C '-，又因为对称圆的半径不变，所以C '的方程为()()22144x y ++-=；【小问3详解】因为2OP PQ OP PC +≥+-，由（2）可知C 关于直线l 的对称点为C '，所以OP PC OP PC OC +=+≥=''，当且仅当,,O P C '共线时取等号，所以2OP PQ +≥，即OP PQ +2-.20.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，Q 为PD 的中点，PA AD ⊥，2PA AB ==，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值；（3）求点B 到平面ACQ 的距离．条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件②：PA AB ⊥．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）33（3）233【解析】【分析】（1）先选择条件，然后根据面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理来证得PA ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值.（3）利用向量法求得点B 到平面ACQ 的距离.【小问1详解】若选①，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，PA ⊂平面PAD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .若选②，由于PA AB ⊥，PA AD ⊥，,,AB AD A AB AD =⊂ 平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）知PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别所在的直线为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,2P ， ǡ ǡ ，()0,1,1Q ，()2,2,0C ，所以()2,2,0AC = ，()0,1,1AQ = 由（1）知平面ABCD 的法向量()0,0,2AP = ，设平面ACQ 的法向量为(),,n x y z = ，则2200n AC x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则()1,1,1n =-- ，设平面ACQ 与平面ABCD 夹角的为θ，则3cos 3AP n AP nθ⋅===⋅ ，所以平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为33.【小问3详解】由已知得()2,0,0B ，()2,0,0AB = ，所以点B 到平面ACQ的距离为233AB n n ⋅==.21.已知圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点(24)A ，．（1）若圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设过点A 的直线l 与圆M 相交的另一交点为B ，且ABM 为直角三角形，求l 的方程；（3）设动点(0)T t ，，若圆M 上存在P Q ，两点，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()()22611x y -+-=（2）7100x y --=或7300x y +-=（3）22⎡-+⎣【解析】【分析】（1）求得圆N 的圆心和半径，从而求得圆N 的标准方程.（2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程.（3）将原问题转化为||||210TA PQ r =≤=即可求解.【小问1详解】圆M 的方程可化为()()226725x y -+-=，所以圆心为()6,7M ，半径为=5r .由于圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，结合图象可知圆N 的圆心为()6,1，半径为1，所以圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.【小问2详解】由于MA MB =，所以三角形ABM 是等腰直角三角形，且π2AMB ∠=，所以M 到直线AB的距离为15222=，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()422,420y k x kx k kx y k -=-=--+-=，522==，两边平方并化简得274870k k --=，解得7k =或17k =-，所以直线l 的方程为7100x y --=或124077x y --++=，即7100x y --=或7300x y +-=.【小问3详解】TA TP TQ+= ，所以TA TQ TP PQ =-= ，因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以||210PQ r ≤=，由PQ TA = ，得||||10TA PQ =≤，即10≤，22(2)4100t -+≤，2(2)84,22t t t -≤-≤--≤，解得22t -≤≤+t 的取值范围为[2-+．【点睛】方法点睛：圆的几何性质与方程化简：通过化简圆的方程，找到圆心和半径，结合切线和外切条件，利用几何性质确定圆心的具体位置和半径.利用距离公式求直线方程：在涉及到圆与直线的关系时，利用点到直线的距离公式来确定直线的方程，是一种行之有效的方法.。

北京市大兴区魏善庄中学2015届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1．若集合M={y|y=x2，x∈R}，N={y|y=x+2，x∈R}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，+∞）C．∅D．{（2，4），（﹣1，1）} 考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据完全平方式大于等于0，得到集合M中函数的值域，确定出集合M，根据x属于实数，得到y也属于实数，确定出集合N．求出两集合的交集即可．解答：解：由集合M中的函数y=x2≥0，得到集合M=[0，+∞）；由集合N中的函数y=x+2，由x∈R，得到y∈R，所以集合B=R，则M∩N=[0，+∞）．故选A点评：此题属于以函数的值域为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．也是高考中常考的题型．2．下列命题中真命题的个数是（）①∀x∈R，x4＞x2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”．A．0 B．1C．2D．3考点：命题的否定；四种命题的真假关系．专题：阅读型．分析：要说明一个命题不正确，举出反例即可①当x=0时不等式不成立，②根据复合命题真值表可知，“p∧q”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；③全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确．解答：解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的，故选B．点评：此题是个基础题．考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识，考查学生对基础知识的记忆和理解．3．在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A． B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．解答：解：把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，∵1=2cos（﹣），∴选项A中的点的坐标满足圆C的方程．∵1≠2cos（），∴选项B 中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项C中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项D中的点的坐标不满足圆C的方程．综上，只有选项A中的点的坐标满足圆C的方程为ρ=2cosθ，故选A．点评：本题考查圆的极坐标方程的特征，以及判断一个点是否在圆上的方法，就是把此点的坐标代入圆的方程，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．4．在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．专题：常规题型．分析：在△ABC中，0＜A＜π，利用三角函数的单调性来进行判断，然后再由然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断求解．解答：解：在△ABC中，∴0＜A＜π，∵sinA＞，∴＜A＜，∴sinA＞”⇒“∠A＞”，反之则不能，∴，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件，故A正确．点评：此题主要考查三角函数的性质及其应用和必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣log2x（x＞0） B．y=x3+x（x∈R）C．y=3x（x∈R）D．y=﹣（x∈R，x≠0）考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：求出函数的定义域，根据函数的奇偶性和单调性的定义，一一加以判断，即可得到在其定义域内既是奇函数又是增函数的函数．解答：解：对于A．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，不为奇函数，排除A；对于B．y=x3+x（x∈R）定义域R，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣f（x），即为奇函数，又f′（x）=3x2+1＞0，即有f（x）在R上递增，故B正确；对于C．y=3x，定义域为R，但f（﹣x）=3﹣x≠﹣f（x），即f（x）不是奇函数，排除C；对于D．y=﹣（x∈R，x≠0）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，但在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为增函数，排除D．故选B．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性及判断，注意运用定义法，同时首先考虑定义域，属于基础题和易错题．6．函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合．分析：解：令f（x）=0，则x=sinx，原问题在区间[0，2π]上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象，由图知交点个数．解答：解：令f（x）=0，则x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：由图知交点个数是2．故选B．点评：利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．本题先由已知条件转化为确定f （x）的解析式，再利用数形结合的方法判断方程根的个数．7．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）考点：函数单调性的性质；其他不等式的解法．分析：由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．解答：解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C点评：此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．8．（5分）定义运算=ad﹣bc、若cosα=，=，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；新定义．分析：根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到sin（α﹣β）的值，根据0＜β＜α＜，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α﹣β），再根据cosα求出sinα，利用β=[α﹣（α﹣β）]两边取正切即可得到tanβ的值，根据特殊角的三角函数值即可求出β．解答：解：依题设得：sinα•cosβ﹣cosα•sinβ=sin（α﹣β）=．∵0＜β＜α＜，∴cos（α﹣β）=．又∵cosα=，∴sinα=．sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinα•cos（α﹣β）﹣cosα•sin（α﹣β）=×﹣×=，∴β=．故选D点评：此题要求学生会根据新定义化简求值，灵活运用角度的变换解决数学问题．掌握两角和与差的正弦函数公式的运用．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）（2011•石景山区一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为60°．cosA=10．（5分）（2011•丰台区一模）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为2．=211．（5分）（2011•海淀区一模）如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是CE与⊙O 的交点．若∠BAC=70°，则∠CBE=70°；若BE=2，CE=4，则CD=3．12．（5分）命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是[﹣3，0]．，解之得﹣13．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x=是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则函数解析式为y=2sin（4x+）+2．，时，（π=4x+））、整体代换的思想求对称性．14．（5分）对a，b∈R，记，函数的最大值为1考点：函数零点的判定定理．分析：先去掉函数中的绝对值，然后表示出函数f（x）的解析式，最后求函数的最大值即可．解答：解：由题意知=∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1综上所述，函数f（x）的最大值为1故答案为：1点评：本题主要考查函数函数最值问题．含绝对值的函数要去掉绝对值考虑问题．三、解答题（80分）15．（12分）已知二次函数f（x）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣8），（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，3]上的最值；（3）求不等式f（x）≥0的解集．考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）待定系数法：设出f（x）的两根式，把点C坐标代入即可求出；（2）判断f（x）在[0，3]上的单调性，据单调性即可求得最值；（3）按二次不等式的求解方法易求：变形，求根，据图写解集；解答：解：（1）由题意设f（x）=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），因为f（x）的图象过点C（1，﹣8），所以﹣8=a（1+1）（1﹣3），解得a=2．所以f（x）=2（x+1）（x﹣3）．（2）f（x）图象的对称轴为x=1，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以f（x）在[0，3]上的最小值为f（1）=﹣8，又f（0）=﹣6，f（3）=0，所以最大值为f（3）=0．所以f（x）在[0，3]上的最小值为﹣8，最大值为0．（3）f（x）≥0即2（x+1）（x﹣3）≥0，解得x≤﹣1或x≥3．所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的性质及二次函数解析式的求解问题，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键．16．（12分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．分析：（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．解答：解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．点评：对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．17．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣）=，求f（α）的值；（3）若α=﹣1860°，求f（α）的值．考点：三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用诱导公式可化简f（α）=﹣cosα；（2）当cos（α﹣）=﹣sinα═时，刻求f（α）的值；（3）若α=﹣1860°，利用诱导公式易求f（α）的值．解答：解：（1）f（α）==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα=，α为第三象限角，∴f（α）=﹣cosα==；（3）若α=﹣1860°，则f（α）=﹣cos（﹣1860°）=﹣cos（﹣60°）=﹣．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．18．（12分）设f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当﹣≤x≤时，求函数f（x）的值域；（3）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先通过函数的三角变换变形成余弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和单调区间（2）直接利用定义域求函数的值域．（3）函数图象的变换符合左加右减的性质．解答：解：（1）f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx=．f（x）的最小正周期为：π；令（k∈Z），解得：，函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）；（2）由于：﹣≤x≤，所以：，，进一步解得函数f（x）的值域：[0，]．（3）由于f（x）=把图象向右平移个单位得到：g（x）=即：g（x）=sin2x+3点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，余弦型函数的最小正周期，和单调区间，利用函数的定义域求三角函数的值域，函数图象的平移变换问题．19．（16分）△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值．考点：三角函数的最值；余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）观察已知，自然想到余弦定理，然后求角A的大小；（Ⅱ）通过函数f（x）=，化为一个解答一个三角函数的形式，根据A的值确定B是范围，结合函数表达式，求f（B）的最大值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可得cosA=．（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分）（3分）∵0＜A＜π（或写成A是三角形内角）（4分）∴A=．（5分）（Ⅱ）函数f（x）==（7分）=sin（x+）+，（9分）∵A=∴B∈（0，）∴（没讨论，扣1分）（10分）∴当，即B=时，f（B）有最大值是．（13分）点评：本题是基础题，考查三角形中的基本计算问题，考查余弦定理的应用，注意B的范围是确定函数最值的关键，也是易错点．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，又，求F（2）+F（﹣2）的值；（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，建立方程关系，即可求F（2）+F （﹣2）的值；（Ⅱ）将不等式|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）据题意，，得，∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，于是，∴F（2）+F（﹣2）=（2+1）2﹣（﹣2+1）2=8．（Ⅱ）a=1，c=0时，f（x）=x2+bx，|x2+bx|≤1在区间（0，1]上恒成立，等价于﹣1≤x2+bx≤1对0＜x≤1恒成立，即，即，在0＜x≤1时，在x=1时取最大值﹣2，而在x=1时取最小值0，故b≥﹣2且b≤0，于是﹣2≤b≤0．点评：本题主要考查函数值的计算以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．。

2014-2015学年北京市大兴区农村四校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）复数i（1﹣i）﹣1=（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）复数为z=2+i，则共轭复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i4．（5分）一质点的运动方程是s=5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（）A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣65．（5分）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=36．（5分）函数f（x）=5x2﹣2x的单调增区间为（）A．B．C．D．7．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣18．（5分）曲线y=﹣ax﹣1上横坐标为2的点处的切线平行于x轴，那么a=（）A．4 B．12 C．6 D．169．（5分）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则|x+yi|=（）A．1 B．2 C．D．10．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（x n）′=；（cosx）′=；（e x）′=；（log a x）′=；（a x）′=．12．（5分）设复数z1=3﹣4i和z2=﹣2+3i，则z1﹣z2在复平面内对应的点位于第象限．13．（5分）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣x3+81x﹣234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为万件．14．（5分）如果（m2+i）（1+mi）是实数，那么实数m=．15．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．16．（5分）函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是．三、解答题（共5题，共70分）17．（12分）已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣1）i，当m为何值时，（1）z∈R（2）z是虚数（3）z是纯虚数．18．（15分）求导（1）y=x2+sinx﹣5（2）y=e x lnx（3）．19．（13分）求函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[﹣2，3]上的最值．20．（15分）已知曲线y=ax3+bx2+cx+d满足下列条件：①过原点；②在x=0处导数为﹣1；③在x=1处切线方程为y=4x﹣3．（Ⅰ）求实数a、b、c、d的值；（Ⅱ）求函数y=ax3+bx2+cx+d的极值．21．（15分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx﹣1（a≠0）．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的极值．2014-2015学年北京市大兴区农村四校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）复数i（1﹣i）﹣1=（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【解答】解：复数i（1﹣i）﹣1=i+1﹣i=i，故选：A．2．（5分）已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=ax3+3x2+2，∴f′（x）=3ax2+6x，∴f′（﹣1）=3a﹣6，已知f′（﹣1）=4，∴3a﹣6=4，解得a=．故选：D．3．（5分）复数为z=2+i，则共轭复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：若z=2+i，则共轭复数=2﹣i，故选：B．4．（5分）一质点的运动方程是s=5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（）A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6【解答】解：，故选：D．5．（5分）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a=3，b=1 C．D．a=1，b=3【解答】解：由可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故选：A．6．（5分）函数f（x）=5x2﹣2x的单调增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=5x2﹣2x的二次项的系数大于零，∴相应的抛物线的开口向上，∵二次函数的对称轴是x=，∴函数的单调递增区间是．故选：A．7．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1【解答】解：由a2﹣3a+2=0得a=1或2，且a﹣1≠0得a≠1∴a=2．故选：B．8．（5分）曲线y=﹣ax﹣1上横坐标为2的点处的切线平行于x轴，那么a=（）A．4 B．12 C．6 D．16【解答】解：由y=﹣ax﹣1，得：y′=x2+4x﹣a，∴y′|x=2=12﹣a．∵曲线y=﹣ax﹣1上横坐标为2的点处的切线平行于x轴，∴12﹣a=0，即a=12．故选：B．9．（5分）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则|x+yi|=（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，化为x+y﹣2+（x﹣y）i=0，∴，解得x=y=1．则|x+yi|=|1+i|=．故选：C．10．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（x n）′=nx n﹣1；（cosx）′=﹣sinx；（e x）′=e x；（log a x）′=；（a x）′=a x lna．【解答】解：（x n）′=nx n﹣1；（cosx）′=﹣sinx；（e x）′=e x；（log a x）′=；（a x）′=a x lna．故答案为：nx n﹣1；﹣sinx；e x；；a x lna．12．（5分）设复数z1=3﹣4i和z2=﹣2+3i，则z1﹣z2在复平面内对应的点位于第四象限．【解答】解：∵z1=3﹣4i和z2=﹣2+3i，∴z1﹣z2=3﹣4i﹣（﹣2+3i）=5﹣7i，对应的点的坐标为（5，﹣7），位于第四象限，故答案为：四．13．（5分）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣x3+81x﹣234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件．【解答】解：∵y=﹣x3+81x﹣234，∴y′=﹣x2+81=（9﹣x）（9+x），则y=﹣x3+81x﹣234在（0，9）上单调递增，在[9，+∞）上单调递减，故当x=9时，函数有最大值，故答案为：9．14．（5分）如果（m2+i）（1+mi）是实数，那么实数m=﹣1．【解答】解：化简可得（m2+i）（1+mi）=m2+m3i+i+mi2=m2﹣m+（m3+1）i，由实数的定义可得m3+1=1，解得m﹣1故答案为：﹣115．（5分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：316．（5分）函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是{a|a＜﹣1或a＞2} ．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}三、解答题（共5题，共70分）17．（12分）已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣1）i，当m为何值时，（1）z∈R（2）z是虚数（3）z是纯虚数．【解答】解：（1）当m满足时，解得，∴，z为实数．（2）由，解得m≠1，且m ≠，∴m≠1，且m ≠，z为虚数．（3）由，解得m=0或﹣2时，∴m=0或﹣2时，z是纯虚数．18．（15分）求导（1）y=x2+sinx﹣5（2）y=e x lnx（3）．【解答】解：（1）y′=（x2）′+（sinx）′﹣5′=2x+cosx；（2）y′=（e x）′lnx+e x（lnx）′=e x lnx +；（3）y′==；19．（13分）求函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[﹣2，3]上的最值．【解答】解：f′（x）=6x2﹣6x﹣12，令f′（x）=0，则6x2﹣6x﹣12=0，即x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2．列表如下：∴函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5在x∈[﹣2，3]上的最大值为12，最小值为﹣15．20．（15分）已知曲线y=ax3+bx2+cx+d满足下列条件：①过原点；②在x=0处导数为﹣1；③在x=1处切线方程为y=4x﹣3．（Ⅰ）求实数a、b、c、d的值；（Ⅱ）求函数y=ax3+bx2+cx+d的极值．【解答】解（Ⅰ）y′=3ax2+2bx+c根据条件有解得（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）y=x3+x2﹣x，y′=3x2+2x﹣1，（7分）y′=0x=或﹣1（9分）x，y，y′的关系如表所示↑因此函数y=x3+x2﹣x在x=﹣1处有极大值1，在x=处有极小值﹣．（13分）21．（15分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx﹣1（a≠0）．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2﹣4lnx﹣1，∴f（1）=0又，∴f′（1）=﹣2所以y﹣0=﹣2（x﹣1）即f（x）在x=1处的切线方程为2x+y﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）因为f（x）=x2﹣2alnx﹣1（a≠0）所以（x＞0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（1）当a＜0时，因为x＞0，且x2﹣a＞0，所以f'（x）＞0对x＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0，解得x1=，x2=﹣（舍）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，当x＞0时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以，当x=时，f（x）取得极小值，且f（x）=a﹣alna﹣1．极小值综上，当a＜0时，方程f'（x）=0无解，函数f（x）在（0，+∞）上无极值；=a﹣alna﹣1．﹣﹣﹣﹣当a＞0时，函数f（x）在x=处取得极小值f（x）极小值﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）。

2023北京大兴高二（上）期中数 学本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|11}{101}A x x B =−<=−≤，，，，则A B =（A ）{0} （B ）{1}−（C ）{1}（D ）{01}，（2）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(11)−，，则z z ⋅=（A ）1 （B（C ）2 （D ）（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0)+∞，上单调递增的是 （A ）2x y = （B ）1y x −= （C ）cos y x = （D ）ln ||y x = （4）设x ∈R ，则“sin 0x =”是“cos 1x =”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知向量(10)(01)==，，，a b ，若()()−⊥+λμa b a b ，其中∈R ，λμ，则 （A ）1λμ+=− （B ）1λμ+= （C ）1λμ⋅=−（D ）1λμ⋅=（6）在平面直角坐标系x O y 中，角α以O x 为始边，点(34)P −，在角α终边上，则错误的是 （A ）4sin 5α=（B ）7cos 225α=（C ）1sin cos 5αα+=（D ）tan 22α=（7）在ABC ∆中，π46A AB BC a ∠===，，，且满足该条件的ABC ∆有两个，则a 的取值范围是（A ）(02)，（B ）(2（C ）(24)，（D ）4)（8）已知12a =，5log 2b =，tan1c =，则 （A ）b a c <<（B ）a c b <<（C ）a b c << （D ）c b a <<（9）设函数()e ln =−xf x x 的极值点为0x ，且0∈x M ，则M 可以是（A ）1(0)2，（B ）12()23，（C ）2(1)3， （D ）(12)，（10）已知数列{}n a 满足1(1) n n n a a a +=−（n *∈N ），且101a <<．给出下列四个结论： ①214a ≤； ②12334n n a a a a +++++<； ③m n *∀∈N ，，当n m >时，n m a a >； ④k *∀∈N ，m *∃∈N ，当n m 时，1n a k<． 其中所有正确结论的个数为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市大兴区魏善庄中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择1．（3分）设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C点的距离为（）A．B．C．D．2．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2B．3C．4D．53．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．365．（3分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣3 D．36．（3分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．7．（3分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+B．C．D．1+8．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：89．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④10．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2二、填空题11．（3分）①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个；②所谓平面的法向量，就是一个平面的法向量有个．12．（3分）（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的与平面的法向量；（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：符号语言：．13．（3分）面面平行的向量方法：证明这两个平面的是．面面平行的判定定理：文字语言：，符号语言：．14．（3分）面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是；面面垂直的判定定理：文字语言：，符号语言：．15．（3分）直线与平面所成的角定义：范围：直线和平面所夹角的取值范围是；向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=．16．（3分）经过平面外一点可以作个平面平行于这个平面；可以作条直线平行于这个平面．17．（3分）已知向量，若，则x=；若则x=．18．（3分）一个球的体积是，则这个球的表面积是．19．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．20．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．三、解答题（共4小题，满分0分）21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．22．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．23．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．24．如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面．请问图①中容器内水面的高度是多少？附加题25．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．北京市大兴区魏善庄中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择1．（3分）设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C点的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算．专题：常规题型．分析：先由中点坐标公式求得AB的中点M的空间直角坐标，再利用空间坐标系中两点间的距离公式求出M到C点的距离即可．解答：解：∵A（3，3，1）、B（1，0，5）∴AB的中点M坐标为：（2，，3），又∵C（0，1，0），∴M到C点的距离为：d==．故选C．点评：本小题主要考查空间直角坐标系、距离公式等基础知识，考查点、线、面间的距离计算，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．2．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2B．3C．4D．5考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得EH∥BD，GH∥AC，AB∩平面EFGH=E，由此得到①②④正确．解答：解：∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD不包含于平面EFGH，∴BD∥平面EFGH，故①正确，③错误；∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴GH∥AC，又GH⊂平面EFGH，AC不包含于平面EFGH，∴AC∥平面EFGH，故②正确，④错误；∵AB∩平面EFGH=E，∴AB与平面EFGH相交，故⑤正确．故选：B．点评：本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①如果m∥α，n⊂α，m与n平行或异面，故①错误；②如果m⊥α，m⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故②正确；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β或m⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n与β相交，平行或n⊂β，故④错误．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．36考点：由三视图求面积、体积．专题：规律型．分析：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以正视图为底，然后根据三棱柱的体积公式进行求解即可．解答：解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以正视图为底，三棱柱的高为3，直角三角形的两个直角边长度分别为4和3，∴三棱柱的体积为．故选：B．点评：本题主要考查三视图的识别和应用，以及三棱柱的体积公式，比较基础．5．（3分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣3 D．3考点：空间向量的正交分解及其坐标表示．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设向量，的夹角为θ，可得cosθ==，解这个关于λ的方程即可．解答：解：设向量，的夹角为θ，则∵向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），∴cosθ===，解得λ=﹣2，故选B．点评：本题考查空间向量的夹角与距离公式，属基础题．6．（3分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，B到平面AA′D的距离=B 到AC的距离=AB=a，由此能求出三棱锥A﹣A′BD的体积．解答：解：∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴AC⊥AA′，AA′∥CD，∴△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，∴三棱锥A﹣A′BD的体积：V==．故选：C．点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（3分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+B．C．D．1+考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．8．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．解答：解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，r=，扇形的面积B=×1×=，圆锥的表面积A=B+πr2=+=，∴A：B=11：8故选A点评：本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题．9．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据线面垂直的性质判断．②根据线面垂直的性质判断直线关系．③根据面面垂直的性质证明直线关系．④根据面面平行进行判断．解答：解：①根据线面垂直的性质以及直线平行的性质可知，若a∥b，a⊥α，则b⊥α，∴①正确．②根据垂直于同一平面的两条直线平行可知②正确．③若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴③错误．④若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴④错误．故选：A．点评：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直的判定定理或性质定理．10．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．解答：解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，所以R=，所以球的表面积是S=4πR2=12πcm2．故选：B．点评：本题是基础题，考查正方体的外接球的表面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．二、填空题11．（3分）①所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量一个平面的法向量有无数个．考点：平面的法向量；直线的方向向量．专题：规律型；空间位置关系与距离．分析：利用直线的方向向量、平面的法向量的定义，即可得出结论．解答：解：①直线的方向向量是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量，一个平面的法向量有无数个．故答案为：和这条直线所对应的向量平行；无数；与平面垂直的向量；无数．点评：本题考查直线的方向向量、平面的法向量的定义，比较基础．12．（3分）（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，（2）直线与平面平行的判定定理：需要三个条件，面内一线，面外一线，线线平行，可得线面平行．解答：解：（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α；故答案为：方向向量，垂直；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α．点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握定理内容是解答的关键，属于基础题．13．（3分）面面平行的向量方法：证明这两个平面法向量的是共线向量．面面平行的判定定理：文字语言：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，符号语言：⇒α∥β．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：面面平行的向量方法是：若两个平面平行，则他们的法向量共线；面面平行的判定定理是：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，用符号表示后可得答案．解答：解：若两个平面平行，则他们的法向量共线，故面面平行的向量方法：证明这两个平面的法向量是共线向量，面面平行的判定定理：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，用符号语言表示：⇒α∥β，故答案为：法向量，共线向量，如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，⇒α∥β点评：本题考查的知识点是平面与平面平行的判定方法，熟练掌握几何法和向量法判断平面平行的方法及符号表示是解答的关键．14．（3分）面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是垂直的；面面垂直的判定定理：文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直，符号语言：若l⊥β，l⊂α，则α⊥β．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据平面法向量的概念，得出面面垂直时两个平面的法向量是互相垂直，即可得出结论；（2）结合面面垂直的判定定理，写出文字语言叙述与符号语言叙述．解答：解：（1）面面垂直的向量方法是：证明这两个平面的法向量互相垂直，即法向量的数量积等于0；（2）面面垂直的判定定理中：文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直”，符号语言是“若l⊥β，l⊂α，则α⊥β”．故答案为：垂直的；一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；若l⊥β，l⊂α，则α⊥β．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，解题时应熟记面面垂直的判定定理的内容是什么，表述方式是什么，证明方法是什么，属于基础题．15．（3分）直线与平面所成的角定义：范围：直线和平面所夹角的取值范围是[0，]；向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=|cos＜＞|．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用直线与平面所成的角的定义能求出直线和平面所夹角的取值范围和直线与平面所成角的向量求法的应用．解答：解：由直线与平面所成的角定义，知：直线和平面所夹角的取值范围是[0，]；向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=|cos＜＞|．故答案为：[0，]；|cos＜＞|．点评：本题考查直线与平面所成角的定义的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题．16．（3分）经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由平面与平面平行的性质，得经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．解答：解：由平面与平面平行的性质，得：经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．故答案为：1；无数．点评：本题考查平面与平面的位置关系的判断与应用，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（3分）已知向量，若，则x=；若则x=﹣6．考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：计算题；待定系数法．分析：两个向量垂直时，他们的数量积等于0，当两个向量共线时，他们的坐标对应成比列，解方程求出参数的值．解答：解：若，则•=．若，则==，∴x=﹣6，故答案为，﹣6．点评：本题考查两个向量垂直的性质以及两个向量平行的性质，待定系数法求参数的值．18．（3分）一个球的体积是，则这个球的表面积是16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．解答：解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．点评：本题考查球的体积和表面积的应用，解题时要认真审题，仔细解答．19．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为A后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．解答：解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积=A2全面积S=A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比==故答案：点评：本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积=侧面积+底面积×2，中易解为全面积=侧面积+底面积．20．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：利用几何体是正方体，直接找出所求角，利用正方体的对角线的长度，求出直线BD1与直线CD所成的角的正弦值即可．解答：解：如图，连接BD1，BC1，∵几何体是正方体，∴异面直线BD1与CD所成角，就是直线BD1与C1D1所成角，即∠BD1C1，sin∠BD1C1===．∴异面直线BD1与CD所成角的正弦值为：．故答案为：．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共4小题，满分0分）21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．解答：证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面；（2）∵E、F分别为AB、AC中点，∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．点评：本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．专题：证明题．分析：（Ⅰ）先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由求得二面角C﹣DF﹣E的余弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．点评：本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，用向量法求二面角C﹣DF﹣E的余弦值，是解题的难点．23．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC 中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴cos∠PBE=．∴AC与PB所成的角为arccos．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴AN=．∴AB=2，∴cos∠ANB==﹣故面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值为﹣．点评：本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．24．如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面．请问图①中容器内水面的高度是多少？考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设图1中水面的高度为h，水的体积为V，由已条条件推导出S△ABC=4S△DEC，从而容器放倒后的水体积为V=，由此能求出图①中容器内水面的高度．解答：解：设图1中水面的高度为h，水的体积为V，则V=S△ABC•h，因为容器放倒后，水面恰好为中截面，所以S△ABC=4S△DEC，所以容器放倒后的水体积为V=，所以h=（）÷S△ABC=．点评：本题考查图①中容器内水面的高度的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．附加题25．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．解答：解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===．体积V=V圆台﹣V圆锥=[25π++4π]×4﹣×2π×2×2=×39π×4﹣×8π=．所求表面积为：，体积为：．点评：本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．。

2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2 B．3 C．4 D．52．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④3．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．364．（3分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④5．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：86．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④7．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2二、填空题8．（3分）面面垂直的判定定理：文字语言：；符号语言：．9．（3分）经过平面外一点可以作个平面平行于这个平面；可以作条直线平行于这个平面．10．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．11．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．12．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．13．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．三、简单题（写出必要的证明过程）14．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH ∥FG．求证：EH∥BD．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°．若AB=BC=AD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，求证：BE∥平面PCD．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点，∴EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD不包含于平面EFGH，∴BD∥平面EFGH，故①正确，③错误；∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴GH∥AC，又GH⊂平面EFGH，AC不包含于平面EFGH，∴AC∥平面EFGH，故②正确，④错误；∵AB∩平面EFGH=E，∴AB与平面EFGH相交，故⑤正确．故选：B．2．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①如果m∥α，n⊂α，m与n平行或异面，故①错误；②如果m⊥α，m⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故②正确；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β或m⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n与β相交，平行或n⊂β，故④错误．故选：B．3．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．36【解答】解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以正视图为底，三棱柱的高为3，直角三角形的两个直角边长度分别为4和3，∴三棱柱的体积为．故选：B．4．（3分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．其中为真命题的是（）【解答】解：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行，故①是假命题；若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行，故②是真命题；若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线与另外一个平面相交或平行，故③是假命题；若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面，故④是真命题．故选：D．5．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8【解答】解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，r=，扇形的面积B=×1×=，圆锥的表面积A=B+πr2=+=，∴A：B=11：8故选：A．6．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）【解答】解：①根据线面垂直的性质以及直线平行的性质可知，若a∥b，a⊥α，则b⊥α，∴①正确．②根据垂直于同一平面的两条直线平行可知②正确．③若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴③错误．④若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴④错误．故选：A．7．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故选：B．二、填空题8．（3分）面面垂直的判定定理：文字语言：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直；符号语言：⇒α⊥β．【解答】解：平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直，用符号语言表示为：⇒α⊥β，故答案为：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直，⇒α⊥β．9．（3分）经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．【解答】解：由平面与平面平行的性质，得：经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．故答案为：1；无数．10．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【解答】解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．11．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．【解答】解：可以设该侧面的正方形边长为A，=A2则S侧面积全面积S=A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比==故答案：12．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．【解答】解：如图，连接BD1，BC1，∵几何体是正方体，∴异面直线BD1与CD所成角，就是直线BD1与C1D1所成角，即∠BD1C1，sin∠BD1C1===．∴异面直线BD1与CD所成角的正弦值为：．故答案为：．13．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．三、简单题（写出必要的证明过程）14．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH ∥FG．求证：EH∥BD．【解答】证明：∵EH∥FG，EH⊄面BCD，FG⊂面BCD∴EH∥面BCD，又∵EH⊂面ABD，面BCD∩面ABD=BD，∴EH∥BD15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°．若AB=BC=AD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，求证：BE∥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠PAD=90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以PA⊥底面ABCD．而CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD．在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，，所以，所以AC⊥CD．又因为PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（6分）（Ⅱ）设侧棱PD的中点为F，连接BE，EF，FC，则EF∥AD，且．由已知∠ABC=∠BAD=90°，所以BC∥AD．又，所以BC∥EF．且BC=EF．所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE∥CF．因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD．（13分）16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．﹣ABC。

北京市大兴区普通校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）直线x+y﹣5=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（4分）已知正方体棱长为a，则该正方体的全面积为（）A．6a B．6a2C．4a2D．4a3．（4分）已知直线l：3x﹣y+6=0，则直线l在x轴上的截距是（）A．1B．﹣1 C．D．﹣24．（4分）已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别边AB，BC，CD，DA的中点，则EG与FH 位置关系是（）A．相交B．平行C．异面D．重合5．（4分）α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是（）A．α，β都与平面γ垂直B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）A．8B．6C．4D．7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论不正确的是（）A．C1D1⊥B1C B．B D1⊥AC C．B D1∥B1C D．∠ACB1=60°8．（4分）如图，点O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，点E为面B1BCC1的中心，点F为B1C1的中点，则空间四边形D1OEF在该正方体的面上的正投影可能是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③二．填空题（每小题4分，共28分）9．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1B1A和平面C1DB的位置关系是．10．（4分）如果直线ax+2y﹣1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，那么实数a=．11．（4分）正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为．12．（4分）若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为．13．（4分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B=BD，则该长方体的体积为．14．（4分）一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则长方体的体积是．15．（4分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为．三．解答题16．（10分）求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x+y+5=0平行；（2）与直线2x+y+5=0垂直．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E为PD中点．（Ⅰ）证明：AB∥平面PCD；（Ⅱ）证明：AE⊥平面PCD．18．（10分）△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）（1）求边AC和AB所在直线的方程（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．19．（10分）如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，F是A1C1的中点．（1）求证：BC1∥平面AFB1；（2）求证：平面AFB1⊥平面ACC1A1．20．（10分）已知如图1正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A﹣BCD，如图2所示．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求三棱锥A﹣OCD的体积；（3）求二面角A﹣BC﹣D的余弦．21．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．（Ⅰ）求证：BD⊥FE；（Ⅱ）试确定点F在线段AC上的位置，使EF∥平面PBD，并说明理由．北京市大兴区普通校联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）直线x+y﹣5=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：解：因为直线x+y﹣5=0的斜率为：﹣，直线的倾斜角为：α．所以tanα=﹣，α=120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．2．（4分）已知正方体棱长为a，则该正方体的全面积为（）A．6a B．6a2C．4a2D．4a考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正方体的性质，面积公式求解．解答：解：根据正方体的表面为全等的正方形，∵正方体棱长为a，∴该正方体的全面积为6a2，故选：B点评：本题考查了正方体的面积公式求解，属于容易题．3．（4分）已知直线l：3x﹣y+6=0，则直线l在x轴上的截距是（）A．1B．﹣1 C．D．﹣2考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：由直线l：3x﹣y+6=0，令y=0，解得x即可．解答：解：由直线l：3x﹣y+6=0，令y=0，解得x=﹣2．∴直线l在x轴上的截距是﹣2．故选：D．点评：本题考查了直线l在x轴上的截距的求法，属于基础题．4．（4分）已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别边AB，BC，CD，DA的中点，则EG与FH 位置关系是（）A．相交B．平行C．异面D．重合考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：连接EF，FG，GH，HE，EG，FH．运用中位线定理，即可得到EH∥FG，EH=FG，即有四边形EFGH为平行四边形，即可判断EG与FH的位置关系．解答：解：如图，连接EF，FG，GH，HE，EG，FH．由于E，H为AB、AD的中点，则EH∥BD，EH=BD，由于F，G为BC，CD的中点，则FG∥BD，FG=BD，则有EH∥FG，EH=FG，即有四边形EFGH为平行四边形，则EG和FH相交．故选A．点评：本题考查空间直线与直线的位置关系，考查推理能力，属于基础题．5．（4分）α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是（）A．α，β都与平面γ垂直B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βhslx3y3hD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：通过举例子，和特殊图形来进行判断，或使用排除法．解答：解：利用排除法：对于A：如图所示对于B：α内不共线的三点到β的距离相等，必须是α内不共线的三点在β的同侧．对于C：l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β，l和m不是平行直线．故选：D点评：本题考查的知识要点：立体几何中的定义和判定定理的应用．特殊图形和特殊值是解决此问题的关键．6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）A．8B．6C．4D．考点：构成空间几何体的基本元素．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得出几何体是一个三棱柱，求出它的底面积与高，即得体积．解答：解：根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S底面=×2×2=2，棱柱高为h=2；∴棱柱的体积为S棱柱=S底面•h=2×2=4；故选：C．点评：本题考查了根据三视图求几何体的体积的问题，解题的关键是由三视图得出几何体是什么几何体，从而作答．7．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论不正确的是（）A．C1D1⊥B1C B．B D1⊥AC C．B D1∥B1C D．∠ACB1=60°考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长=1．则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1）．∴=（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，﹣1）．∴=1+0﹣1=0．∴．因此不可能有BD1∥B1C．故选：C．点评：本题考查了空间线线位置关系及其判定方法，属于基础题．8．（4分）如图，点O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，点E为面B1BCC1的中心，点F为B1C1的中点，则空间四边形D1OEF在该正方体的面上的正投影可能是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据平行投影的特点和正方体的性质，得到分别从正方体三个不同的角度来观察正方体，得到三个不同的投影图，逐个检验，得到结果．解答：解：由题意知光线从上向下照射，得到③，光线从前向后照射，得到①光线从左向右照射得到②故选：D．点评：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同．二．填空题（每小题4分，共28分）9．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1B1A和平面C1DB的位置关系是平行．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：根据正方体中相应的对角线之间的平行关系，我们易得到平面AB1D1和平面BC1D内有两个相交直线相互平行，由面面平行的判定定理，我们易得到平面AB1D1和平面BC1D的位置关系．解答：解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A，C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1，由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D，故答案为：平行．点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．10．（4分）如果直线ax+2y﹣1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，那么实数a=．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．解答：解：∵直线ax+2y﹣1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴，解得a=．故答案为．点评：本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题．11．（4分）正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为4．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据正四棱锥几何性质，4个侧面为全等的三角形，再根据正三角形的面积公式求解．解答：解：∵正四棱锥的每条棱长均为2，∴4个侧面为全等的三角形，∴4××22=4，故答案为：4，点评：本题考查了正四棱锥几何性质，体积面积公式，属于容易题．12．（4分）若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为．考点：三点共线．专题：计算题．分析：由三点共线的性质可得AB和AC的斜率相等，由=，求得m 的值．解答：解：由题意可得K AB=K AC，∴=，∴m=，故答案为．点评：本题考查三点共线的性质，当A、B、C三点共线时，AB和AC的斜率相等．13．（4分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B=BD，则该长方体的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：根据已知条件容易求出，所以根据长方体的体积公式得该长方体体积为：1×=．解答：解：由图形及已知条件知：△D1DB是Rt△，BD=；∴D 1B=2，；∴该长方体的体积为．故答案为：．点评：考查直角三角形边的特点，以及长方体的体积公式：V=abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．14．（4分）一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则长方体的体积是6．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：根据已知的长方体相交于一个顶点的三个面的面积即可求出相邻三边长度，从而根据长方体的体积公式求出该长方体的体积．解答：解：如图，根据已知条件知该长方体相邻三边长分别为：1，2，3；∴该长方体的体积为1×2×3=6．故答案为：6．点评：考查长方体各面的特点，以及长方体的体积公式．15．（4分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为4π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：运圆的面积公式求出R，母线长，在求出圆锥的底面半径，即可利用公式求解．解答：解：∵圆心角为120°，面积为3π的扇形，∴πR2=3π，R=3，∴圆锥母线长为：l=3，∵πrl=3π，∴r=1，∴S底=πr2=π，∴圆锥的表面积为3π+π=4π，故答案为：4π．点评：本题考查了圆锥的性质，面积公式，属于计算题．三．解答题16．（10分）求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x+y+5=0平行；（2）与直线2x+y+5=0垂直．考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：先求出已知两直线的交点坐标，（1）根据平行关系求出所求直线的斜率，点斜式斜直线的方程，并化为一般式．（2）根据垂直关系求出求直线的斜率，点斜式斜直线的方程，并化为一般式．解答：解：由，解得，所以，交点M（﹣1，2）．（1）∵斜率k=﹣2，由点斜式求得所求直线方程为y﹣2=﹣2（x+1），即2x+y=0．（2）∵斜率，由点斜式求得所求直线方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=0．点评：本题考查求两直线的交点坐标的方法，两直线平行、垂直的性质，直线的点斜式方程．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E为PD中点．（Ⅰ）证明：AB∥平面PCD；（Ⅱ）证明：AE⊥平面PCD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据底面ABCD为矩形，判断出AB∥CD，进而根据线面平行的判定定理推断出AB∥平面PCD．（Ⅱ）根据PA=AD，E为PD中点，推断出AE⊥PD，进而根据PA⊥平面ABCD，推断出PA⊥CD，同时底面ABCD为矩形，推断出CD⊥AD．进而根据线面垂直的判定定理知CD⊥平面PAD．继而可知CD⊥AE，则AE⊥平面PCD可证明．解答：证明：（Ⅰ）因为底面ABCD为矩形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．（Ⅱ）因为PA=AD，E为PD中点，所以AE⊥PD，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD．所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥AE．又AE⊥PD，PD∩CD=D所以AE⊥平面PCD．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生空间观察能力和逻辑推理能力．18．（10分）△ABC的三个顶点分别为A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）（1）求边AC和AB所在直线的方程（2）求边AC上的中线BD所在的直线的方程．考点：直线的截距式方程；直线的两点式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由于A、C两点分别在y轴和x轴，由直线方程的截距式列式，化简可得AC所在直线的方程；再由A、B的坐标，利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AB所在直线的方程；（2）利用线段中点坐标公式，算出AC的中点D坐标为（﹣4，2），利用直线方程的两点式列式，化简即可得出AC上的中线BD所在直线的方程．解答：解：（1）∵A（0，4），C（﹣8，0），∴直线AC的截距式方程得：，化简得x﹣2y+8=0…（3分）∵B（﹣2，6），A（0，4）∴由直线的两点式方程，得AB方程为，即x+y﹣4=0综上所述，边AC所在直线的方程为x﹣2y+8=0，边AB所在直线的方程为x+y﹣4=0…（6分）（2）设点D（x，y），由线段的中点坐标公式，可得，∴AC中点D坐标为（﹣4，2）再由直线的两点式方程，得BD所在直线的方程为，化简得2x﹣y+10=0，即为所求边AC上的中线BD所在的直线的方程．…（12分）点评：本题给出三角形的三个顶点，求它的边AB、AC所在直线方程并求中线所在直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式的知识，属于基础题．19．（10分）如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，F是A1C1的中点．（1）求证：BC1∥平面AFB1；（2）求证：平面AFB1⊥平面ACC1A1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接A1B与AB1交于点E，连接EF．利用正三棱柱的性质可得四边形ABB1A1是矩形，得A1E=EB．再利用三角形的中位线定理可得EF∥BC1．利用线面平行的判定定理可得BC1∥平面AFB1；（2）利用正三棱柱的性质可得AA1⊥底面A1B1C1，因此AA1⊥B1F．利用正三角形的性质及F是边A1C1的中点，可得B1F⊥A1C1．利用线面垂直的判定定理可得B1F⊥平面ACC1A1，再利用面面垂直的判定可得平面AFB1⊥平面ACC1A1．解答：证明：（1）连接A1B与AB1交于点E，连接EF．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得四边形ABB1A1是矩形，∴A1E=EB．又A1F=FC1，∴EF∥BC1．∵EF⊂平面AB1F，BC1⊄平面AB1F，∴BC1∥平面AFB1；（2）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得AA1⊥底面A1B1C1，∴AA1⊥B1F．由F是正△A1B1C1的A1C1的中点，∴B1F⊥A1C1．又A1A∩A1C1=A1，∴B1F⊥平面ACC1A1，∴平面AFB1⊥平面ACC1A1．点评：本题综合考查了正三棱柱的性质、线面垂直与平行的判定与性质、面面垂直的判定定理、三角形的中位线定理、矩形的性质等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力．20．（10分）已知如图1正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A﹣BCD，如图2所示．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求三棱锥A﹣OCD的体积；（3）求二面角A﹣BC﹣D的余弦．考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）先证明AO⊥CO，由正方形的性质可得AO⊥BD，根据线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．（2）三棱锥A﹣OCD的体积V=，可得结论；（3）由（1）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A﹣BC﹣D的余弦值．解答：（1）证明：依题，折后AC=1，AO=CO=，∴AC2=AO2+CO2，∴AO⊥CO．又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD，又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD；（2）解：三棱锥A﹣OCD的体积V===；（3）解：由（1）知，AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系则O（0，0，0），A（0，0，），C（，0，0），B（0，﹣，0），D（0，，0）∴=（0，0，）是平面BCD的一个法向量，=（，0，﹣），=（，，0），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），可得所以可取=（1，﹣1，1）．从而cos＜，＞=，∴二面角A﹣BC﹣D的余弦值为．点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，解题的关键是分别求出平面ABC和平面BCD的法向量，属于中档题．21．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．（Ⅰ）求证：BD⊥FE；（Ⅱ）试确定点F在线段AC上的位置，使EF∥平面PBD，并说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．由四边形ABCD是正方形，得BD⊥平面PAC，由此能够证明BD⊥EF．（Ⅱ）设AC与BD交于O，当F为OC中点，即AF=时，EF∥平面PBD．再利用直线与平面平行的判定定理进行证明．解答：证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，又EF⊂平面PAC，所以BD⊥EF．…（7分）（Ⅱ）：设AC与BD交于O，当F为OC中点，即AF=时，EF∥平面PBD．理由如下：连接PO，因为EF∥平面PBD，EF⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBD=PO，所以EF∥PO．在△POC中，E为PC的中点，所以F为OC中点．在△POC中，E，F分别为PC，OC的中点，所以EF∥PO．又EF⊄平面PBD，PO⊂平面PBD，故EF∥平面PBD．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明和直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．。

2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择1．（3分）设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C 点的距离为（）A．B．C．D．2．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2 B．3 C．4 D．53．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．365．（3分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．36．（3分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．7．（3分）一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（）A．2+B．1+C．D．8．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：89．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④10．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2二、填空题11．（3分）①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个；②所谓平面的法向量，就是一个平面的法向量有个．12．（3分）（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的与平面的法向量；（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：符号语言：．13．（3分）面面平行的向量方法：证明这两个平面的是．面面平行的判定定理：文字语言：，符号语言：．14．（3分）面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是；面面垂直的判定定理：文字语言：，符号语言：．15．（3分）直线与平面所成的角定义：范围：直线和平面所夹角的取值范围是；向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=．16．（3分）经过平面外一点可以作个平面平行于这个平面；可以作条直线平行于这个平面．17．（3分）已知向量，若，则x=；若则x=．18．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．19．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．20．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．三、解答题（共4小题，满分0分）21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．22．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．23．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．24．如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面．请问图①中容器内水面的高度是多少？附加题25．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择1．（3分）设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C 点的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵A（3，3，1）、B（1，0，5）∴AB的中点M坐标为：（2，，3），又∵C（0，1，0），∴M到C点的距离为：d==．故选：C．2．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点，∴EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD不包含于平面EFGH，∴BD∥平面EFGH，故①正确，③错误；∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴GH∥AC，又GH⊂平面EFGH，AC不包含于平面EFGH，∴AC∥平面EFGH，故②正确，④错误；∵AB∩平面EFGH=E，∴AB与平面EFGH相交，故⑤正确．故选：B．3．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①如果m∥α，n⊂α，m与n平行或异面，故①错误；②如果m⊥α，m⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故②正确；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β或m⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n与β相交，平行或n⊂β，故④错误．故选：B．4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．36【解答】解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以正视图为底，三棱柱的高为3，直角三角形的两个直角边长度分别为4和3，∴三棱柱的体积为．故选：B．5．（3分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【解答】解：设向量，的夹角为θ，则∵向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），∴cosθ===，解得λ=﹣2，故选：B．6．（3分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．【解答】解：∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴AC⊥AA′，AA′∥CD，∴△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，∴三棱锥A﹣A′BD的体积：V==．故选：C．7．（3分）一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（）A．2+B．1+C．D．【解答】解：∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，∴原四边形为直角梯形，且CD=C'D'=1，AB=O'B=，高AD=20'D'=2，∴直角梯形ABCD的面积为，故选：A．8．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8【解答】解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，r=，扇形的面积B=×1×=，圆锥的表面积A=B+πr2=+=，∴A：B=11：8故选：A．9．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【解答】解：①根据线面垂直的性质以及直线平行的性质可知，若a∥b，a⊥α，则b⊥α，∴①正确．②根据垂直于同一平面的两条直线平行可知②正确．③若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴③错误．④若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴④错误．故选：A．10．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故选：B．二、填空题11．（3分）①所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量一个平面的法向量有无数个．【解答】解：①直线的方向向量是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量，一个平面的法向量有无数个．故答案为：和这条直线所对应的向量平行；无数；与平面垂直的向量；无数．12．（3分）（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：已知：a⊊α，b⊂α，a ∥b，所以a∥α．【解答】解：（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α；故答案为：方向向量，垂直；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α．13．（3分）面面平行的向量方法：证明这两个平面法向量的是共线向量．面面平行的判定定理：文字语言：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，符号语言：⇒α∥β．【解答】解：若两个平面平行，则他们的法向量共线，故面面平行的向量方法：证明这两个平面的法向量是共线向量，面面平行的判定定理：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，用符号语言表示：⇒α∥β，故答案为：法向量，共线向量，如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，⇒α∥β14．（3分）面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是垂直的；面面垂直的判定定理：文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直，符号语言：若l⊥β，l⊂α，则α⊥β．【解答】解：（1）面面垂直的向量方法是：证明这两个平面的法向量互相垂直，即法向量的数量积等于0；（2）面面垂直的判定定理中：文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直”，符号语言是“若l⊥β，l⊂α，则α⊥β”．故答案为：垂直的；一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；若l⊥β，l⊂α，则α⊥β．15．（3分）直线与平面所成的角定义：范围：直线和平面所夹角的取值范围是[0，] ；向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=|cos＜＞| ．【解答】解：由直线与平面所成的角定义，知：直线和平面所夹角的取值范围是[0，]；向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=|cos＜＞|．故答案为：[0，]；|cos＜＞|．16．（3分）经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．【解答】解：由平面与平面平行的性质，得：经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．故答案为：1；无数．17．（3分）已知向量，若，则x=；若则x=﹣6．【解答】解：若，则•=．若，则==，∴x=﹣6，故答案为，﹣6．18．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【解答】解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．19．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．【解答】解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S=A2侧面积全面积S=A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比==故答案：20．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．【解答】解：如图，连接BD1，BC1，∵几何体是正方体，∴异面直线BD1与CD所成角，就是直线BD1与C1D1所成角，即∠BD1C1，sin∠BD1C1===．∴异面直线BD1与CD所成角的正弦值为：．故答案为：．三、解答题（共4小题，满分0分）21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．【解答】证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面；（2）∵E、F分别为AB、AC中点，∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．22．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E 的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．23．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴cos∠PBE=．∴AC与PB所成的角为arccos．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴AN=．∴AB=2，∴cos∠ANB==﹣故面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值为﹣．24．如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面．请问图①中容器内水面的高度是多少？【解答】解：设图1中水面的高度为h，水的体积为V，•h，则V=S△ABC因为容器放倒后，水面恰好为中截面，=4S△DEC，所以S△ABC所以容器放倒后的水体积为V=，=．所以h=（）÷S△ABC附加题25．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===．体积V=V圆台﹣V圆锥=[25π++4π]×4﹣×2π×2×2=×39π×4﹣×8π=．所求表面积为：，体积为：．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

北京大兴魏善庄中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义运算，则符合条件的复数对应的点（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：A略2. 设，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C略3. 离心率为的椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线的离心率等于（）A． B．C．D．参考答案：A略4. 焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．参考答案：C 【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的简单性质列出方程，求解即可．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．5. 已知，焦点在x轴上的椭圆的上下顶点分别为B2、B1，经过点B2的直线l与以椭圆的中心为顶点、以B2为焦点的抛物线交于A、B两点，直线l与椭圆交于B2、C两点，且||=2||．直线l1过点B1且垂直于y轴，线段AB的中点M到直线l1的距离为．设=λ，则实数λ的取值范围是（）A．（0，3）B．（﹣，2）C．（﹣，4）D．（﹣，3）参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据抛物线的性质求得丨AB丨=2×=，丨BB2丨=丨AB丨=，丨AB2丨=丨AB丨=3，丨BB2丨=2，即可求得b的值，将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得m的值，求得直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得λ的表达式，由a的取值范围，即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：如图，由题意可知：设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），线段AB的中点M到直线l1的距离为，∴由抛物线的定义可知：丨AB丨=2×=，由||=2||，∴丨BB2丨=丨AB丨=，丨AB2丨=丨AB丨=3，由三角形的相似关系求得丨BB2丨=2，∴2b=2，b=1，．抛物线方程为x2=4y，设直线AB的方程为：x=m（y﹣1），由，代入整理得：m2y2﹣2（m2+2）y+m2=0，由韦达定理可知：y A+y B=，由抛物线的焦点弦公式可知：丨AB丨=y A+y B+p=+2=，解得：m=±2，∴直线AB的方程为：x=±2（y﹣1），∴，整理得：（8+a2）y2﹣16y+8﹣a2=0，由韦达定理可知：y C+=，∴y C=﹣1=，=λ，y B﹣y C=λ（﹣y B），由抛物线的性质可知：y B=丨BB2丨﹣b，=b，∴﹣y C=λ，整理得：λ==3﹣，由a2＞b2=1，∴﹣＜λ＜3，∴实数λ的取值范围（﹣，3），故选D．6. 如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。