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无限猴子定理无限猴子定理指一只猴子随机在打字机键盘上按键，最后必然可以打出法国国家图书馆的每一本图书。
起源无限猴子定理是来自E.波莱尔一本1909年出版谈概率的书籍，当中介绍了“打字的猴子”的概念。
这个定理是概率论中的柯尔莫哥洛夫的零一律的其中一个命题的例子。
不过，当波莱尔在书中提出零一律的这个特例时，柯尔莫哥洛夫的一般叙述并未给出（柯尔莫哥洛夫那本概率论的著作直到1933年才出版）。
零一律是概率论中的一个定律，它是安德雷·柯尔莫哥洛夫发现的，因此有时也叫柯尔莫哥洛夫零一律。
其内容是：有些事件发生的概率不是几乎一（肯定发生），就是几乎零（肯定不发生）。
这样的事件被称为“尾事件”。
尾事件是由无限多的随机变量的序列来定义的。
比如它不是与X1的值无关。
比如假如我们扔无限多次硬币，则连续100次数字面向上的事件是一个尾事件。
定义一般关于此定理的叙述为：有无限只猴子用无限的时间会产生特定的文章。
其实不必要出现了两件无限的事物，一只猴子打字无限次已经足够打出任何文章，而无限只猴子则能即时产生所有可能的文章。
其他取代的叙述，可能是用英国博物馆或美国国会图书馆取代法国国家图书馆；另一个常见的版本是英语使用者常用的，就是猴子会打出莎士比亚的著作。
欧洲大陆还有一种说法版是猴子打出大英百科全书。
证明直接证明两个独立事件同时发生的概率等于其中每个事件单独发生的概率的乘积。
比如，在某一天悉尼下雨的可能性为0.3，同时旧金山地震的可能性是0.008（这两个事件可以视为相互独立的），那么它们同时发生的概率是0.3 × 0.008 = 0.0024。
假设一个打字机有50个键，想要打出的字是“banana”。
随机的打字时，打出第一个字母“b”的概率是1/50，打出第二个字母“a”的概率也是1/50 ，因为事件是独立的，所以一开始就打出单词“banana”的概率是：(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)6这个概率小于150亿分之1。
§3 概率1收敛与强大数定律一、以概率1收敛 二、强大数定律 本章补充与注记 本章习题一、以概率1收敛大家知道, 随机变量是定义在概率空间上取值为实数的函数. 因此我们可以像数学分析讨论函数序列逐点收敛性那样去讨论随机变量序列在每个样本点处的值的收敛性. 然而, 由于随机变量取值的随机性, 我们常常不可能期望随机变量序列在所有点处都存在极限. 现在的问题是研究极限是否在一个概率为1的点集上存在.定义1 设ξ和{ξn }是定义在概率空间 (Ω, F , P)上的随机变量序列.1. 如果存在Ω0∈F , P(Ω0)=0, 且对任意ω∈ΩΩ\0，有ξωξωn ()()→，则称ξn 以概率1收敛（converge with probability one ）或几乎处处收敛(almost surely converge)于ξ，记作ξξ→n (a. s. ).2. 如果存在Ω0∈F , P(Ω0)=0, 且对任意ω∈ΩΩ\0，数列{ξn (ω)}是柯西基本列，即n ξ(ω)-m ξ(ω)→0，(n > m →∞), 则称ξn 以概率1是柯西基本列.注ξξ→n (a. s. ) 意味着最多除去一个零概率事件外, n ξ逐点收敛于ξ. 根据柯西基本数列一定存在极限的原则,n ξ以概率1收敛当且仅当n ξ以概率1是柯西基本列.下面给出以概率1收敛的判别准则. 定理1 设ξ和{n ξ}是定义在概率空间 (Ω, F , P)上的随机变量序列.(1)ξξ→n (a. s. ) 当且仅当对任意ε>0,)||sup (lim =≥-≥∞→εξξk nk n P ,或者等价地})||({lim =≥-≥∞→εξξk nk n P Y .(2) {n ξ}以概率1是柯西基本列当且仅当对任意ε>0,)||sup (lim 0=≥-+≥∞→εξξk k n k n P ,或者等价地})|{|({lim 0=≥-+≥∞→εξξk k n k n P Y .证 (1) 对任意ε>0, 令},|{|εξξε≥-=n nA IY ∞=≥=1n nk kA A εε. 那么{ξξ→/n }Y ∞==1/1m mA .由连续性定理（第一章§3）,Y IY nk kn nk n kA P A P A P ≥∞=≥∞→==)(lim )()(1εεε.则下列关系式成立:0 = P(ξξ→/n ))(1/1=⇔∞=Y m m A P0)(/1=⇔mA P , 对任意m ≥1 Y nk m k A P ≥→⇔0)(1, 对任意m ≥1)1||(→≥-⇔≥Y mk k m P ξξ, 对任意m ≥1Y nk k P ≥→≥-⇔0)||(εξξ, 对任意ε>0 .(2). 对任意ε>0, 令IYY ∞=≥≥+=≥-=11,,},|{|m m n k kn n k n k n B B B εεεεξξ, 那么{n ξ不是柯西基本列}=Y 0>εεB .以下类似于(1)即可证明.推论 如果对任意ε>0,∑∞=∞<≥-1)|(|n nP εξξ, 则ξξ→n (a. s. ).证 注意到Y nk k P ≥≤≥-)||(εξξ∑∞=→≥-nk kP 0)|(|εξξ即可.注 定理1表明ξξ→n (a. s. )可推出ξξ−→−P n . 反之, 存在例子表明ξξ−→−Pn 并不能导出ξξ→n (a. s. )（见补充与注记4）.二、强大数定律与以概率1收敛密切相关的是强大数定律. 定义2 设{n ξ}是定义在概率空间(Ω, F , P)上的随机变量序列, 如果存在常数列{}a n 和{}b n 使得∑=→-nk n knb a 11ξ(a. s. ) ,则称{n ξ}服从强大数定律(strong law of large numbers). 由于几乎处处收敛性强于依概率收敛性,故强大数定律也比弱大数定律更深入一步.我们在第二节知道，贝努里通过对二项分布的精确估计得到贝努里弱大数定律，即贝努里随机试验中事件发生的频率依概率收敛于该事件的概率. 直到1909年波雷尔才证明了下面更强的结果.定理2（波雷尔强大数定律） 设{n ξ}是定义在概率空间(Ω, F , P)上的独立同分布随机变量序列，P(n ξ=1)= p, P(n ξ=0)=1-p, 0<p<1. 记∑==nk kn S 1ξ, 则0→-p n S n(a. s. ).(1)定理2进一步表达了“频率稳定到概率”这句话的含义.柯尔莫哥洛夫1930年将上述结果从二项分布的随机变量推广到一般随机变量.定理3（柯尔莫哥洛夫强大数定律） 设{ξn }是定义在概率空间 (Ω, F , P)上的独立同分布随机变量序列，E ||,ξ1<∞μξ=E 1. 记S n kk n==∑ξ1, 则S n n-→μ0 (a. s. ).(2)事实上, 定理3的逆也成立: 如果存在常数μ, 使得(2)式成立, 那么1ξ的数学期望存在且等于μ.这两个定理的证明从略.例1 （蒙特卡罗方法） 令f (x) 是定义在[0, 1]上的连续函数, 取值于[0,1]. 令ξηξη1122,,,,Λ是一列服从于[0, 1]上的均匀分布的独立随机变量序列. 定义⎩⎨⎧=,0,1i ρ .)(,)(i i i i f f ηξηξ<≥如果如果 ,则{ρi }也独立同分布. 而且⎰⎰⎰⎰⎰===≥=≤110)(0)(111)()())((dxx f dx dy dxdy f P E x f x f y ηξρ,由定理3,∑⎰=→nk k dx x f n 110)(1ρ (a. s. ).(3)因此我们可以通过模拟来计算积分值⎰1)(dx x f , 方法是：在xoy 平面的正方形{0≤x ≤1, 0≤y≤1}上随机投点, 统计落在区域{0≤x ≤1, 0≤y ≤f (x)}内的频率（即为(3)式的左边）, 当投点次数充分多时, 此频率可充分接近所求积分.至此, 我们已经介绍了概率论中一些经典的极限定理.补充与注记1. 在18和19 世纪, 极限定理一直是概率论研究的中心课题. 贝努里大数定律是第一个从数学上被严格证明的概率论定律, 它由贝努里在其1713年出版的名著《 推测术》中详细给出. 大数律这个名称则是泊松（Poisson 1781-1840）于1837年提出的. 中心极限定理这个名词1920年由波利亚（lya o o &P ）给出，用于统称随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理. 它是概率论中最为重要的一类定理, 并有着广泛的实际背景. 最初的中心极限定理是关于n 重贝努里试验的, 1716年，德莫佛对21=p 的情形作了讨论，随后拉普拉斯将其推广到10<<p 的情形. 从19世纪中叶到20世纪初期，一批著名的俄国数学家对概率论的发展做出了重要贡献. 他们运用严格的、强有力的数学分析工具，如富里埃变换等，将贝努里大数律、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理推广到一般随机变量和的情形.2. 在18世纪以前，证明贝努里大数律是一件相当困难的事情，它涉及到下列和式的计算：.|):|(∑≥--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛εp nk k kn k q p k n直到德莫佛-拉普拉斯的重要发现以后，贝努里大数律才有了新的、较为简单的证明. 事实上, 德莫佛-拉普拉斯证明了如下的局部和整体中心极限定理：对足够大的n 和n k /∽p ，kn k q p k n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛～,21)2()(2npq np k npq -λπ∑≥--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ε|):|(p nk k kn k qp k n ～,2122dx pqnpqn x⎰--εεπλ从上述渐近结果，我们不难得到贝努里大数定律. 3. 特征函数的泰勒渐近展开作为第三章结果的一个推论，如果分布函数)(x F 有r 阶有限矩，那么它的特征函数)(t f r 次连续可导. 这样我们可以在0=t处对)(t f 进行泰勒展开.定理 假设随机变量ξ有r 阶有限矩，记这些矩分别为r ααα,,,21Λ. 那么它的特征函数)(t f 在0=t 处有如下形式的泰勒展开：)|(|!)(1)(1r rk kk t o k it t f ++=∑=α )1(≥r=!||!)(111r t k it rrr r k k k θβα++∑-= )1(>r , 其中rr E ||ξβ=, |1|≤r θ.4. 依概率收敛不能推出以概率1收敛, 例如: 令Ω=[0,1], F 为[0,1]上所有波雷尔集构成的σ域，P 为[0,1]上的勒贝格测度（长度）. 定义⎩⎨⎧=,0,1in η ]./,/)1[(],/,/)1[(n i n i n i n i -∉-∈ωω i=1,2,…,n ; n=1,2,….考虑随机变量序列{Λ,,,,,,332313221211ηηηηηη}, 并重新记成{n ξ}. 首先注意到, 对任意ε>0,01)|(|max 1→≤≥≤≤n P in ni εη,即0−→−Pnξ. 另一方面, 对任意ω∈Ω,n ξ(ω), n=1,2,…中有无穷多个1，也有无穷多个0, 因此n ξ(ω)不存在极限.习题1. 下列分布函数列是否弱收敛于分布函数？(1) x <-1/ n 时, F x n ()=0; x ≥-1/n 时, F x n ()=1;(2) F x x n n n (),()/,,=+⎧⎨⎪⎩⎪021.,,n x n x n n x ≥<≤--< 2. 设ξn 的分布列为: P(ξn =0)=1-1/ n, P(ξn =1)=1/ n, n=1,2,…. 求证相应的分布函数列收敛于分布函数, 但E ξn 不收敛于相应分布的期望.3. 设{ξn }为独立同分布随机变量序列, ξn 的分布列为010505..⎛⎝ ⎫⎭⎪,ηξn k kk n==∑/21. 求证ηn 的分布收敛于[0, 1]上的均匀分布.4. 某计算机系统有120个终端.(1)(1) 每个终端有5 %时间在使用，若各终端使用与否是相互独立的, 求有10个或更多终端在使用的概率; (2)(2) 若每个终端有20%时间在使用, 求解上述问题.5. 现有一大批种子，其中良种占1/6. 在其中任取6000粒，问在这些种子中良种所占的比例与1/ 6之差小于1 %的概率是多少？6. 某车间有200台车床，工作时每台车床60 %时间在开动，每台开动时耗电1千瓦. 问应供给这个车间多少电力才能有0. 999的把握保证正常生产？7. 一家保险公司里有10000个同类型人参加某种事故保险，每人每年付12元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为0. 006，发生事故时该人可向保险公司领得1000元. 问：(1) 对该项保险保险公司亏本的概率有多大？(2) 对该项保险保险公司一年的利润不少于60000元的概率有多大？8.:假设1) 每幢房屋每年一次理赔概率0.04，大于一次理赔概率为0； 2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立；3) 如果理赔发生，理赔量服从0到最高保险金额间的均匀分布. 记N 为一年中理赔次数，S 为理赔总量,a . 计算N 的期望值和方差；b . 计算S 的期望值和方差；c . 确定相对保证附加系数θ，即=θ(每份保单保费收入-平均理赔量)/ 平均理赔量，以确保保险公司的保费收入大于理赔总量的概率等于0. 99.9. 某保险公司开办5种人寿险，每种险别（一旦受保人死亡）的赔偿额k b 及投保人数k n 如下表所示.设死亡是相互独立的, 其概率皆为0. 02. 保险公司为安全起见, 对每位受保人寻求再保险. 其机制如下：确定一个自留额，设为2万元；若某人的索赔在2万元以下，则都由该保险公司偿付；若赔偿金超过2万元，则超过部分由再保险公司偿付；再保险率为投保金额的2. 5%. 该保险公司（相对于再保险公司而言，也称为分出公司）希望它的全部费用（即实际索赔总额S+再保险费）不超过825万元，求实际费用突破此限额的概率.10. 设{ξn }独立同分布，其分布分别为 (1) [-a, a] 上的均匀分布；(2) 泊松分布. 记ηξξξn k k kk nk nE Var =-==∑∑()/11. 计算ηn 的特征函数，并求n →∞时的极限, 从而验证林德贝格—勒维定理在这种情况成立.11. 用德莫佛—拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，若0< p <1，则不管k 是多大的常数，总有P(|0)|→<-k np n μ,( n →∞).12. 求证：泊松分布的标准化变量当参数λ→∞时趋近标准正态分布.13. 13. 求证：当n →∞时，en k nk k n-=∑→!012. 14. 14. 设{ξηn n },{}各自独立同分布, 也相互独立. E ξn =0, Var ξn =1，P{ηn =±=112}/. 求证：S nn k kk n==∑11ξη的分布函数弱收敛于N (0,1).15. 15. 设{ξn }为独立随机变量序列，都服从(0,π)上的均匀分布. 记n n n ξηcos A =，其中0>A n且0)/(231213→AA ∑∑==nk kn k k)(∞→n .证明{}n η服从中心极限定理.16. 设ξn 服从柯西分布，其密度为p n (x)=nn x π()122+. 求证：ξn P −→−0. 17. 设{ξn }独立同分布，密度为 p(x)=e x ax a x a --⎧⎨⎩>≤(),,0. 令ηξξξn n =min{,,,}12Λ. 求证：ηn Pa −→−. 18. 18. 求证：(1) (1) 若ξξn P −→−,ηηn P −→−, 则ξηξηn n P±−→−±; (2) (2) 若ξξn P −→−,ηηn P −→−, 则ξηξηn n P −→−; (3) (3) 若ξξn P −→−,ηn P c −→−, c 为常数, ηn 与c 都不为0，则ξηξn n Pc //−→−; (4) (4) 设ξξn d −→−,ηn P c −→−,c 为常数, 则 ξηξn n d c +−→−+;ξηξn n dc //−→−, (c ≠0). 19. 19. 求证下列各独立的随机变量序列{ξk }服从大数定律. (1) P(ξk k ==ln )P(ξk k =-=ln )12;(2) P(ξξξk k k k k k kP P ===-===--+-222012212)(),()();(3) P(ξk =2122nn n)=, n=1, 2, …; (4) P(ξk =n)=cn n 22ln ,n=2, 3, …; c 为常数.20. 设{ξk }服从同一分布，Var ξk <+∞, ξk 与ξk +1相关, k=1,2,…, 但当|k-l|≥2时, ξk 与ξl 独立. 求证这时大数定律成立.21. （伯恩斯坦(Bernstein)定理）设{ξk }的方差有界：Var ξk ≤c, 且当|i-j|→∞时, Cov(ξi ,ξj)→0，则{ξk }服从大数定律. 试证明之.21. 在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p ，令ξk =10,,⎧⎨⎩若在第次和第次试验中出现其它k k A +1 ,求证{ξk }服从大数定律.23. 设{ξk }独立同分布，都服从[0, 1]上的均匀分布，令ηξn k nk n==∏()/11, 求证：ηn Pc −→−(常数)，并求出c.24. 设{ξk }独立同分布，E ξk =a, Var ξk <∞. 求证：211n n k k Pk n ()+−→−=∑ξ a .25. 设{ξk }独立同分布，都服从N (0, 1) 分布，ηξξn n kk nn =+=∑121/. 求证：ηn 的分布函数WN −→−(0, 1). 26. 设{ξk }为独立同分布随机变量序列，Var ξk <∞.a nn =∞∑1为绝对收敛级数，令ηξn kk n==∑1, 则{a n n η}服从大数定律.27. 设{ξk }为独立同分布随机变量序列，{a n }为常数列，a n →∞. 求证：ξk k nn Pn a =∑−→−1120/()/.28. {ξk }, {ηk }相互独立，均服从N (0, 1)分布. {a n }为常数列，求证：[a n k k nk k k nP==∑∑+−→−110ξη]/的充要条件是a n k k n2120=∑→/.29. 设{ξk }独立同分布，都服从N (0, 1) 分布. 求证：ηξξξξn nn=++++1122ΛΛ渐近正态分布N(0, 1).30. 设{ξk }独立同分布，都服从 [-1, 1]上的均匀分布. 求证：(1) {ξn 2}服从大数定律；(2)U n k kk nk n===∑∑ξξ/211的分布函数收敛于N (0, 1).31. 设{ξk }为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理，则它服从大数定律的充要条件是Var(ξk k no n )()==∑21.32. 取Ω=(0,1), F 为其中波雷尔集全体所成的σ域. 对任一事件A={ω∈(a,b)⊂Ω}，定义P(A)=b-a. 现定义)(ωξ≡0,.1/1,/10,0,)(/1≤<≤<⎩⎨⎧=ωωωξn n n r n求证：ξξn P−→−, 但ξξn L r −→−.。
25．3 用频率估计概率教案11．理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律．2．结合具体情境掌握如何用频率估计概率．3．通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．一、情境导入养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？二、合作探究探究点一：频率【类型一】频率的意义某批次的零件质量检查结果表：(1)计算并填写表中优等品的频率；(2)估计从该批次零件中任取一个零件是优等品的概率．解析：通过计算可知优等品的频率稳定在0.8附近，可用这个数值近似估计该批次中优等品的概率．解：(1)填表如下：(2)0.8【类型二】频率的稳定性在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是________________________．解析：随着试验的次数增多，出现数字“1”的频率愈来愈接近于一个常数，这个常数即为它的概率．故答案是：接近16.探究点二：用频率估计概率 【类型一】用频率估计概率掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( ) A ．可能有5次正面朝上 B ．必有5次正面朝上C ．掷2次必有1次正面朝上D ．不可能10次正面朝上解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是错误!，因此，平均每两次中可能有1次正面向上或有1次反面向上．选项B 、C 、D 不一定正确，选项A 正确，故选A .方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．【类型二】推算影响频率变化的因素“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是________个．解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，说明红球大约占总数的0.2，所以球的总数为1000×0.2＝200，故答案为：200.方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率．概率与频率的关系是：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率．【类型三】 频率估计概率的实际应用 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼．解析：设鱼塘中估计有x 条鱼，则5∶200＝30∶x ，解得：x ＝1200，故答案为：1200. 方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．三、板书设计教学过程中，强调频率与概率的联系与区别．会用频率估计概率解决实际问题.25．3 用频率估计概率教案2【教材分析】《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。
编号：1016007 年级、学科：九年级数学（上）执笔：蒋万清审核：温暄
《用列举法求概率》导学反馈案（一）
一、示标
1、学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。
2、能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。
二、导学
（一）复习引人：
1、概率的定义：
2、P(A)的取值范围是什么？
（二）探究新知：
自主学习一：直接分类列举求概率
问题一：如图：计算机扫雷游戏，在9×9个小方格中，随机埋藏着10个地雷，每个小方格只有1个地雷，小王开始随机踩一个小方格，标号为3，在
3的周围的正方形中有3个地雷，我们把标号为3的方格相邻的方格记
为A区，A区外记为B区，下一步小王应该踩在A区还是B区？
问题二：掷两枚硬币，求下列事件的概率：
(1)两枚硬币全部正面朝上。
（2）两枚硬币全部反面朝上。
（3)一枚硬币正面朝上，一枚反面朝下。
归纳：
列举法求概率:
利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画树形图等.
自主学习二：利用画树形图、列表法求概率
问题三：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1) 两个骰子的点数相同；
(2) 两个骰子的点数的和是9；
(3) 至少有一个骰子的点数为2。
思考：将题中的”同时掷两个骰子”改为”把一个骰子掷两次”,所得的结果
有变化吗?
归纳小结：
当一个事件要涉及两个因素或实验需要二步时，通常采用列表法或画树形图求概率。
求概率的步骤如下：
①列表（画树性形图） ； ②通过表格或树形图计数，确定公式P(A)=n
m 中m 和n 的值；③利用公式P(A)=n
m 计算事件的概率。
三、 反馈
1、布袋中装有1个红球、2个白球、3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 。
2、有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、
3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率
3、在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机的抽取一张后放回,再随机的抽取一张,那么,第一次取出的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少?
四、巩固
1、一只口袋中放着若干个红球和白球，这两个球除了颜色以外没有任何其他区
别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是1
4。
（1）取出白球的概率是多少？
（2）如果袋中的白球有18个，那么袋中的红球有多少个？
2、已知一纸箱中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球
（1）球从箱中随机取出一个白球的概率是多少？
（2）若往装有5个球的原纸箱中，再放入X个白球和Y个红球，从箱中随机
取出一个白球的概率是1
3
，求Y与X的函数解析式。
3、一个袋中有2个黄球和2个红球（除颜色外其余都相同）
（1）任意摸出一个球后放回，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。
（2）任意摸出一个球后不放回，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。
（3）若同时摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率。
4、为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转
盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B 上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。
每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。
作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。
A B
图2 联欢晚会游戏转盘
5、某市今年中考理、化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自已的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用纸签A、B、C表示）和三个化学实验（用纸签D、E、F表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到纸签的情况下，分别从中各随机抽取一个。
（1）用“列表法”或“树形图法”表示所有可能出现的结果。
（2）小刚抽到物理实验B和化学实验F（记作事件M）的概率是多少？
6、某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场
的主持人，求选出的主持人恰好为一男一女的概率。
7、汶川大地震时，航空兵空投救灾物资到指定的区域（圆A）如图所示，若要
使空投物资落在中心区域（圆B）的概率为1
2
，则⊙B与⊙A的半径之比是多少？
五、反思。
