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美术学习简单的立体造型（三年级）美术是一门充满创造力和想象力的学科，通过学习美术，我们可以培养孩子们的观察力、创造力和空间想象力。
在三年级的美术学习中，立体造型是一个简单而有趣的主题，它可以帮助孩子们理解空间和形状的关系，培养他们的手工能力和美感。
本文将介绍几种简单的立体造型技巧，以供三年级的孩子们学习和体验。
一、纸张折叠纸张折叠是最简单的立体造型方法之一。
通过将纸张折叠成各种形状和角度，孩子们可以制作出各种有趣的立体造型作品。
首先，准备一些不同颜色和大小的纸张，然后教导孩子们如何进行基本的折纸操作，例如折叠正方形、长方形和三角形。
接着，引导孩子们使用这些基本形状进行组合，创造出各种立体物体，如纸飞机、纸袋等。
通过这种方式，孩子们可以锻炼手眼协调能力和空间想象力。
二、塑料泥塑造塑料泥是一种非常适合儿童使用的材料，它柔软易塑，可以用来制作各种立体造型作品。
为了开始塑造，我们可以选择一些颜色明亮的塑料泥，将其揉搓成球形。
然后，我们可以教导孩子们使用双手将球形塑料泥压扁，再用手指和工具雕刻出各种形状和细节。
例如，他们可以制作动物、植物、水果等立体作品，通过感知和模仿真实事物，培养孩子们的观察力和创造力。
三、废旧材料拼贴废旧材料拼贴是一个可以培养孩子们创造力和想象力的有趣活动。
通过使用废纸、纽扣、饼干盒等材料，孩子们可以创作出各种有趣的立体拼贴作品。
首先，让孩子们选择自己喜欢的主题，例如动物、风景等。
然后，他们可以根据自己的创意，将废旧材料剪成适当形状和尺寸，再用胶水或胶带将它们粘贴在一起。
这样，孩子们可以通过自己的实际操作来了解形状和空间关系，提升他们的创造力和手工能力。
四、膨胀材料雕塑膨胀材料是一种可以在烤箱中膨胀成立体形状的特殊材料。
孩子们可以用膨胀材料制作各种成品。
首先，准备一些膨胀材料和彩色笔。
然后，让孩子们用彩色笔在膨胀材料上进行绘画，创作出自己喜欢的形状和图案。
接下来，将绘画好的膨胀材料放入预热好的烤箱中，按照说明书上的温度和时间进行膨胀。
星星的立体折法
星星的立体折法是一种对纸张进行折叠的技巧，可以将平面的纸张折叠成立体的星星形状。
这种折法要求精确的折痕和对称性，需要细心和耐心。
首先，需要一个正方形的纸张。
将纸张折叠成一个三角形，然后再将其折叠成一个小三角形。
接着，将小三角形的左上角和右下角向中心线折叠，形成一个菱形。
将菱形的顶部折叠向下，使其与底部对齐，并将两侧的小三角形向外展开，形成两个小三角形的三角形。
将这些小三角形向内折叠，然后将其下面的三角形向上折叠，形成一个小菱形。
将小菱形的两侧向内折叠，形成一个四边形。
最后，将四边形的两侧向上折叠，形成一个三角形。
将这些三角形的角向内折叠，形成一个立体的星星。
通过多次练习和尝试，可以掌握星星的立体折法，并创造出不同形状和大小的星星。
这种折法不仅可以用于装饰，还可以用于教育和娱乐。
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三十七简单的立体图形在我们生活的空间中有许多物体，如果把它们画在纸平面上就叫作立体图形．立体图形千差万别，形态各异，甚至有的非常复杂．下面我们只研究图37－1中的几种简单的立体图形，它们的名称就列在图的下面．图37-1也许有的同学会好奇地问，世界上有那么多物体，为什么只研究这几种呢？我们的回答是：（1）这几种立体图较简单，便于研究；（2）日常生活中很多物体的形状都为这几种图形，如书本、各种柜子、电冰箱为长方体，瓶子、桶、各种笔杆为圆柱体，……；（3）当把这几种立体图形研究好了后，就可以解决许多复杂立体图形的问题了．因为那些复杂图形大多是由这几种简单图形组合起来的．顺便指出：即使是这几种“简单”立体图形，其性质也是很复杂的．本节讨论的只是如何从平面看立体、立体计数，巧算面积、体积等简单内容．与解决平面图形问题不同的是，解决立体图形的问题不能仅靠直观，而是需要较丰富的想象力．请同学们张开思维和想象的翅膀吧！问题37．1用平面图37－2可以围成怎样的几何体？试从图37－3中选出这个几何体．分析因为由图37－2围成了立体图后，虽位置发生了一定变化，但有一个正方形和4个三角形这点是不变的，故应选（3）．问题37．1所反映的思路在生产和日常生活中是非常有用的．比如用白铁皮作成一个物体（如水桶、烟筒帽或机器零件等），要按图纸把铁皮剪成一定形状，再做成物体．相反地，为了计算一个物体的表面积，要把物体的表面沿边沿剪开，展在平面上去计算．这就表明：把平面图形和空间图形相互转化是研究立体图形的有效手段．有时为了深入地了解一个物体的全貌，我们要从各个角度对物体进行观察．准确地说，就是从前、后、左、右、上、下六个方向对物体进行观察，渐渐地，人们发现，只要从前、上、右三个方向观察就能达到全面了解事物的目的．从每一个方向观察都会看到一个形状（平面图形），我们分别把它们叫前视图、上视图和右视图．把三个视图中取二个或三个组成的图形组分别叫二视图或三视图．问题 37．2图37－4是由前、上视图构成的二视图．试从图37－5中选出和它对应的立体图形来．分析因为图（1）的上视图为圆和圆中一点；图（2）的前视图为圆而不是矩形；图（3）的上视图为圆环，故应选（4）．从问题37．2可见，对于不太复杂的立体图，只需要二视图就足以了解它的全貌了．这自然提出了一个问题，是否所有物体都能用二视图去认识呢？答案是否定的．问题 37．3图37－6中的两个立体图形是两个相同的长方体分别挖去一个长方体洞和一个圆柱洞而得到的．问能否用二视图去认识它们？若不能，请画出各自的三视图．图37-6分析不妨取前、上二视图来考察，发现图37－6中两个立体图的二视图都是图37－7（3），故不能用二视图去认识它们．它们的三视图分别如图37－7（1）、（2）所示．图37-7用三视图去认识立体图形，实际上也是把立体问题转化为平面问题（即把平面图形在头脑中“立起来”）．这再一次表明了：把平面问题与空间问题相互转化，确实是研究立体图形的重要思想方法．问题 37．4图37－8是一个正方体，如果它的每个面划分为16个相同的正方形，那么它共划分为多少个长方体？多少个正方体？图37-8分析因为底ABCD的两条边AD、AB上各有4条单线段，由第七节问面上每一个固定的长方形，给它配一个高（即配AE方向上的一条线段）就得到一个长方体．而AE上有10条线段，故图中共有100×10=1000个长方体．若把每个小正方体的体积视作1，那么对图中所含的正方体，其体积显然只能为1、8、27、64．下面以体积为标准分类计数．1类：体积为1的正方体共有43个．2类：体积为8的正方体共有33个．〔事实上，在底面ABCD上，面积为4（长=宽=2）的正方形共有32个，而AE上长为 2的线段有 3条．故体积为 8的正方体共有32×3=33个．〕同样可以得到：3类：体积为27的正方体有23个．4类：体积为64的正方体有13个．即所有正方体共13+23+33+43=100个．显然，本问题是问题7．8向立体空间的推广，你能把这个结论作进一步的推广吗？问题37．5（1）长、宽、高分别为m、n、h个单位的长方体切成全为单位体积的正方体，组成m×n×h的立方体网．问此网中含有多少个长方体？（2）在n×n×n的立方体网中，含有多少个正方体？问题37．6一个正方体形状的木块，棱长1米．沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，如图37－9．这60块长方体表面积的和是多少平方米？图37-9分析按常规思路，应将60个木块拿来逐个求表面积，然后再累加起来即得其解．但这样做太繁琐，何况各木块的厚薄宽窄都不尽相同，也无法知道其值．故按这种思路计算不但复杂，简直就不可能．下面我们从另一角度去考虑：因为每一次锯下去，都得到两个面，它们的面积与正方体的一个面的面积相等．又所有长方形的面都是这样锯成或由原表面构成的．这样只要数一数一共锯了多少次，问题就迎刃而解了．解分类：1类：共6个表面，每个面1平方米，故表面积共6平方米．2类：数一数便知共锯了2＋3＋4=9（次），故9×2=18（平方米）．因此60块长方体表面积共6+18=24（平方米）．同学们，你知道能轻松地解答此题用的是什么思想方法吗？原来，这便是在“奇妙的圆”一节已经用过的“整体观念”．上面我们已几次尝到用整体观念解题的甜头，打整体战比打局部战容易．同样地在解决问题时，用了整体观念有时能出奇制胜．问题37．7图37－10中这堆积木是由16块棱长为2厘米的小正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？分析由于这堆积木排列得不整齐，计算它的表面积比较麻烦．思路1按层分类，分成三类，再按层点数．（略）思路2先求出16块正方体的总表面积，再减去重叠面积的2倍．用这种思路要数重叠面的个数，虽也可行，但由于受“许多地方看不见”的限制，对想象力要求较高，且很难做到准确无误．下面的思路更为简捷．图37-10思路3朝前、朝后、朝左、朝右、朝上、朝下六个方向分别统计（即按面所朝的方向分成六类），然后再求和．若注意到“相对”的两个方向面数相同，则只需统计三个方向的面就行了．如图：积木朝上、朝前、朝右的正方形分别有9、7、9个，故其表面有（9＋7＋9）×2=50个正方形，表面积为50×4=200（平方厘米）．问题37．8如图37－11，有三个正方体木箱，大小一样，质量相同．甲箱内装了一个大铁球；乙箱内装了大小相同的27个中铁球；丙箱内装了64个大小相同的小铁球．若这三个箱内的铁球与铁球、铁球与箱壁都贴挤得很紧，问究竟哪一个箱子重？图37-11分析我们完全可以找出三个箱内大、中、小球半径的关系，求出各箱内球的体积，再乘以铁的密度去分别求三箱内球的重量．但本题也可用聪明的办法求解：因为乙箱内的球是三个一排，所以甲箱内大球的直径是乙箱内中球直径的3倍，因此大球的体积是中球的27倍（为什么？），但甲箱内球的个数却丙两箱球的重量相等、故三箱球的重量都相等．问题37．9（1）在图37－11的三个箱子中空气的体积有何关系？（2）在问题 37．8中若还有一个丁箱，每排放 n个小球，这时甲箱与丁箱中球的重量关系如何？不难发现问题37．8～37．9是问题34．5～34．7向空间的推广．练习 371．图37－12中四个二视图分别表示什么立体图形？试从图37－13中挑出相应的立体图形．图37-12图37-132．若将图37－8所示的正方体的表面都涂满红色，并且在它的每个面上均匀地切上3刀，结果得到 64个小正方体，且切面都是无色的．问：（1）小立方体三面涂红色的有几块？（2）二面涂红色的有几块？（3）一面涂红色的有几块？（4）每一面都无色的又有几块？3．有一个棱长为6厘米的正方体木块如图37－14所示．如果把它锯成棱长是2厘米的正方体若干块，表面积增加了多少平方厘米？4．有两个茶杯如图37－15所示．第一个的底直径是4厘米，高3厘米；第二个的底直径是3厘米，高4厘米．问两个茶杯哪个装的水多？5．把一个篮球的直径增加1米，再把地球的直径也增加1米，问哪个球的体积增加得多些？练习37答案（2）13+23+…+n3（个）．问题 37．9（1）三箱中空气体积也相等．（2）仍然相等．事实上，这时大球的直径是小球的n倍，大球的重量是每个小球的n3倍，而大球的个数正好是小球个数的1．（1）、（2）、（3）、（4）的立体图形依次分别是（3）、（4）、（1）、（2）．2．（1）8块（2）24块（3）24块（4）8块3．432平方厘米．4．第一个茶杯的容积是第二个的4/3倍．5．地球的体积增加得多些．。
小学数学竞赛名师指导（下册）二十九观察与猜想在很久很久以前，交通不便，信息闭塞，人们所能观察到的范围比较小，就以为地球是平的．后来，进一步观察到了一些自然现象，比如太阳每天早上从东边升起，晚上又从西边落下等，人们不再认为地球是平的，猜想地球是圆形的，科学的发展证明了这个猜想是正确的．细心地观察、大胆地猜想、严格地求证，是人类认识自然、发展科学的重要手段．问题29．1观察下面的几个算式，你发现了什么规律？1＋2＋1＝4，1＋2＋3＋2＋1＝9，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16，1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25．利用上面的规律，你能不能迅速计算出：1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1＝？分析粗略地看，上述每个等式左边各数的排列都是关于中间一个数对称的，中间这个数处在特殊的位置．再看看等式右边，发现等式左边中间的数与右边的数关系为：第一行左边中间的数是2，2×2＝4；第二行左边中间的数是3，3×3＝9；第三行左边中间的数是4，4×4＝16；第四行左边中间的数是5，5×5＝25．这说明，每个等式右边的数恰为等式左边中间项的数字的平方．由于1＋2＋…＋99＋100＋99＋…＋2＋1的中间数字为100，所以它的值等于100×100＝10000．本书已介绍过高斯的故事，用高斯求和的方法可以证明等式1＋2＋…＋99＋100＋99＋…＋2＋1＝100×100的正确性．问题29．2 下面一列数是按一定的规律排列的：3，12，21，30，39，48，57，66，…（1）第12个数是（）；（2）912是第（）个数．分析我们来观察一下，看前面几个数有什么共同点．3＝3×1＝3×（3×0＋1），12＝3×4＝3×（3×1＋1），21＝3×7＝3×（3×2＋1），30＝3×10＝3×（3×3＋1），39＝3×13＝3×（3×4＋1），……这些依次排列的数的构成是很有规律的，归纳一下就有下面的结论：第几个数＝3×［3×（这个数－1）＋1］．有了这个结论再来回答所提出的问题就不难了．（1）第12个数＝3×［3×（12—1）＋1］＝102；（2）设912是第x个数，依题意列方程3［3（x－1）＋1］＝912，解方程得x＝102．所以，912是第102个数．上面两例的解答告诉我们：（1）观察要按一定的顺序有条理地进行；（2）观察的目的就是要找出一组物体的组成规律或差异．问题29．3观察分析下面这串分数的变化规律：（2）第400个分数是几分之几？问题29．4 一张圆形大饼在它的外面切了10刀，得一个十边形（图29－1），问这个十边形的内角和为多少？分析（1）为了知道十边形的内角和是多少，我们先来看看一些简单的多边形的内角和是多少：图29-1①三角形的内角和是180°（图29－2（a））；②四边形内角和是两个三角形的内角和的总和，等于360°（图29－2（b））；③五边形内角和是三个三角形的内角和的总和，等于540°（图29－2（C））．（2）猜想：十边形的内角和是8个三角形内角和的总和，等于180°×8＝1440°．（3）验证：如图29－3，我们把十边形的一个顶点A与不和这个顶点相邻的每个顶点连起来，就得到8个拼在一起的三角形，这八个三角形的内角和加在一起就是十边形的内角和．还有另一种方法可以达到验证的目的，如图29－4，在十边形内任取一点P，将P点与十边形的每个顶点相连得到10个三角形，这10个三角形的内角和的总和减去一个周角就是十边形的内角和．在这里，我们用三角形的内角和解决了计算十边形内角和的问题，可见简单的东西多么重要．问题29．5今天是小泉的生日，张老师买来一个大蛋糕，对全班56个同学说：“我们来庆祝小泉的生日，每人吃一块蛋糕．现在要将蛋糕分成56块，你们说至少要切几刀？”分析（1）我们先来观察一下切最初几刀的情形．由于要求切的刀数最少，所以每一刀所切出的块数要最多．如图29－5：①切1刀，最多切成2块；②切2刀，最多切成4块；③切3刀，最多切成7块；④切4刀，最多切成11块．（2）列表如下：（3）寻找规律：1＋1＝2，2＋2＝4，4＋3＝7，7＋4＝11．这似乎告诉我们，切第几刀得到的块数等于切这刀前已切出的块数加上这一刀的刀数．果真是这样吗？（4）猜想：这个猜想和歌德巴赫猜想一样，是需要证明的，但我们还做不到．现仅验证切5刀时猜想成立．由图29－6可以看出，切5刀可切出16块．后，剩下的铁丝是原来的几分之几？练习291．观察图29－7的图形变化规律，在右边再补上二幅，使它们成为一个完整的系列．图29-72．图29－8是一串完整的珠子，珠子有白有黑，是按照一定的规律穿成的．现在有部分珠子被压在盒子里，请你先找找珠子的排列规律，然后回答下面的三个问题：图29-8（1）盒内有几颗珠子？（2）这串珠子一共有多少颗？（3）黑珠子有多少颗？3．把一张等腰直角三角形的纸片沿底边上的高对折，然后再将所得到的新的等腰直角三角形沿底边上的高对折，这样折10次最多能折出多少个大小相等的等腰直角三角形？4．从1到1001的所有自然数按下表格式排列，用1个正方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989．问能否办到？若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数．5．如图29－9：方纸内画一个圆，可以把纸面分成内外两个区域［图（1）］；画两个圆，最多可以把纸面分成4个区域［图（2）］；画三个圆，最多可以把纸画分成8个区域［图（3）］．如果画20个圆，最多可把纸面分成多少个区域？三十简单推理智慧老人在城外碰到了两个小男孩，便想考一考他们．老人对两个孩子说：“我这里有两顶白帽子，一顶红帽子．你们先将眼睛闭上，我给你们各戴一顶帽子，你们再睁开眼睛告诉我，你们各自头上戴的帽子是什么颜色．”一切停当．那个看得出来是一个锦衣玉食、神采飞扬的官家子弟盯着对方的头上一下傻了眼，口中不住念道“两顶白帽子，一顶红帽子．两顶……”．而那个面目清秀、腼腆朴实的孩子看了一眼对方的神态便脱口而出：“我戴的是白帽子！”智慧老人赞许地对这个孩子点了点头．你们说为什么？那个说对了帽子的孩子是这样考虑的：官家子弟看见我头上的帽子后拿不定主意，他一定以为除了我头上的帽子外，他的头上戴的帽子是红是白都有可能，而智慧老人的帽子是二白一红，那么我头上戴的帽子就一定是白的了．这个孩子根据已知的判断（条件），经过简单分析便得出了新的（正确的）判断．这个过程就是推理．官家子弟只看了已知的事实，想不到正确的结论，就是因为他不会推理．这一讲我们来讨论一些简单的推理问题．问题30．1 有三个相同规格的零件，其中一个次品重量较轻．在一把普通秤上称两次，规定每次同时称两个零件，问能剔出次品零件吗？分析我们把三个零件分别记作甲、乙、丙．按下面的方式称两次：第一次同时称甲、乙，记下重量；第二次同时称丙、乙，记下重量．这里有两种情况：（1）两次称的重量一样，即甲＋乙＝丙＋乙，这时乙是次品零件；（2）两次称的重量不一样，如第一次称的重一些；即甲＋乙＞丙＋乙，这时丙为次品零件；如第二次称的重一些，则甲为次品零件．总而言之，按题设要求称两次，可以剔出次品零件．在这里我们是从已知条件出发，顺着推出结论来的．问题30．2 有三个相同规格的零件，其中一个是次品，重量较轻，在没有砝码的天平上称一次，问能将那个次品零件剔出来吗？问题30．3小明在邮局寄了三种信：平信邮资每封8分，航空信邮资每封1角，挂号信邮资每封2角，他共用去一元二角二分．问：小明寄的三种信的总和最少是几封？分析小明共用了1元2角2分寄平信、航空信和挂号信，可知他寄平信用了8×4＝32（分）或8×9＝72（分）．由于三种信的总和要最少，所以平信封数应尽可能少，从而知小明只寄了4封平信．剩下的是122—32＝90（分）．航空信和挂号信的封数要少的话，就要航空信的封数尽可能少．航空信至少1封用了10分．那么寄挂号信用了90—10＝80（分），寄了80÷20＝4（封）．所以，平信、航空信和挂号信总和至少为：4＋1＋4＝9（封）．问题30．4小华在一个文具店里买了5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员2元钱，售货员叔叔找给他5角5分．小华看了看铅笔的价格是每支8分，就说：“叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？有时在已知条件下可能的情况比较多，这时就要假设其中某个正确，根据条件往下推，如果出现矛盾便否定这个假设，再从假设的反面继续往下推，直到推出正确的结论．问题30．5E先生在外地经商，他的四位邻居A、B、C、D对他的收入进行猜测．A说：“E赚了500万元．”B说：“E至少赚了1000万元．”C说：“E赚的不到2000万元．”D说：“E最少赚了1万元．”这四个猜测中只有一个猜测是对的．问E先生究竟赚了多少？解如果A的猜测正确，则C和D的猜测也正确，这与“只有一个猜测是对的”矛盾，所以A的猜测不对．如果B的猜测正确，则D的猜测也正确，同样与题设矛盾，所以B的猜测不对．由于B和C两个猜测中至少有一个是正确的，按题设只有一个正确，而已证明B的猜测不对，所以C的猜测是对的．再由题设“只有一个猜测是对的”推知D的猜测不对．在推理过程中，如果将已知条件或推理过程中的每个结果用一张表反映出来，则能帮我们理清推理的思路，以便较快地获得正确的结果．问题30．6 A、B、C、D、E五位同学参加小学数学奥林匹克竞赛，甲、乙、丙、丁、戊五位老师对竞赛名次进行猜测，预测情况如下：甲：B第3名，C第5名；乙：E第4名，D第5名；丙：A第1名，E第4名；丁：C第1名，B第2名；戊：A第3名，D第4名．结果表明，每个名次都有人猜中．问：A、B、C、D、E五位同学的名次各为多少？分析为清楚起见，把题目条件列成下表．因为每个名次都有人猜中，而第2名只有B被猜到，所以第2名必定是B．我们用“”表示“推出”的意思．由右表易知：B是第2名B不是第3名A是第3名A不是第1名C是第1名C不是第5名D是第5名D不是第4名E是第4名．所以，A、B、C、D、E五位同学的名次依次为3、2、1、5、4．问题30．7 甲、乙、丙三位老师对一次数学奥林匹克竞赛的名次进行预测．他们的预测如下：甲：学生A得第一名，学生B得第三名；乙：学生C得第一名，学生D得第四名；丙：学生D得第一名，学生B得第三名．竞赛结果表明，他们都说对了一半，说错了一半．问A、B、C三位学生的名次各是多少？练习301．有三个盒子，一个装着两个红球，一个装着两个白球，还有一个装着一红一白两个球．三个盒子都盖着盖子，盖子上贴着说明盒内装的是什么颜色的球的标签，但全贴错了．你能不能只从一个盒子里摸出一个球，就准确地判断出三个盒子里各装的是什么球？2．有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子里，并且（1）红箱盖上写着：“苹果在这个箱子里．”（2）黄箱盖上写着：“苹果不在这箱子里．”（3）蓝箱盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的，问苹果在哪个箱子里？3．甲说：“乙说谎．”乙说：“丙说谎．”丙说：“甲、乙两人都说谎．”问到底谁说谎？4．蜘蛛有8条腿，蜻蜒有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀．现有这三种小虫18只，共有118条腿和20对翅膀．问每种小虫各有几只？5．已知A、B、C三人中有两种人，一种人只说真话，一种人句句撒谎．一次晚会上，A说：“B、C都是撒谎者．”B坚决否认．C说：“B确实撒谎．”问A、B、C各是哪种人？三十一速算与巧算在四则运算中，有时应用运算定律和性质，或利用某些公式和其它方法可以使计算迅速简便．许多利用运算定律、性质进行简便运算的方法，同学们在前面已经学习过，在这里我们再来学习一些特殊的巧算方法．问题31．1已知A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788．试比较A、B两数的大小．分析我们知道两个数的和一定时，如果这两个数差越小，那么它们的积就越大．即如果a＋b＝c＋d，a＞b，c＞d，且ab＜cd时，则有a·b＞c·d．利用这一结论可以很顺利地解决问题31．1．解因为987654321＋123456789＝987654322＋123456788，且987654321123456789＜987654322－123456788，所以987654321×123456789＞987654322×123456788．即A＞B．问题31．2 把1、2、3、4、5、6填入下面的方框内，使两个三位数的积最大，应当怎样填？□□□×□□□分析要使积最大，首先应当把较大的数填到高位上去．这样就有下面几种可能情况：642×531，632×541，641×532，631×542等．在这些积中，两个三位数的和都是相同的，因此只要比较它们的差，不难发现631542所得的差最小，所以631×542的积最大．问题31．3比较下面三个分数的大小：麻烦，我们可以先比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数反而小．另外，我们还可以验证下列结论是正确的．利用上面的结论，可知这三个分数的大小关系是：解略．问题31．4 在等号右边的方框里填写4个分母使等号成立：分析因为等号右边的23可以分解为：8＋15，9＋14，10＋13，11＋12．所以等号右边的方框内应填120、126、130、132．解略．问题31．5 在下列方框内填入两个相邻的整数，使不等式成立．所以，上面两个方框内应分别填2和3．即求A的整数部分是多少？解先估算分母的大小．因为也就是A的整数部分是180．问题31．7 计算利用乘法的交换律和结合律，可以使运算大大简化．问题31．8计算分析我们把分母相同的分数作为一组，通过计算可以发现；分母为1的那一组分数的和是1，分母为2的那一组分数的和是2，分母为3的那一组分数的和是3，……，分母为1993的那一组分数的和是1993．这样一来，就可用等差数列的求和公式来计算了．解原式＝1＋2＋3＋…＋1993＝（1＋1993）×1993÷2＝1987021．练习313．在下面方框里填入1、2、3、4、5、6、7、8，使两个四位数的积最大．□□□□×□□□□．4．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？8．1993×413＋586×1993＋1993．9．1＋2—3＋4＋5—6＋7＋8—9＋…＋97＋98—99．三十二分数运算中的技巧在做分数的计算题时，只要正确利用分数的基本性质和四则运算法则，一般都能得到正确结果．但有时按常规方法计算就显得相当麻烦．下面我们来学习分数运算中的某些技巧．通过这些运算技巧的学习，可以提高同学们的计算速度，从而达到简化计算的目的．问题32．1 计算分析本题按常规方法计算显然相当麻烦，并且不易算出正确结果．除了常规方法还有没有较简单的方法呢？下面我们来分析一下：所以解略．从问题32．1的分析和解答过程可以看出，在做分数加法运算时，可以将其中一些分数适当拆开，使得拆开后的一些分数可以互相抵消，以达到简化运算的目的．这种方法叫做拆项法．一般地，问题32．2计算n的值分别取1、4、7、10、13，d取3．问题32．3计算分析仔细观察每一个分数的特点，分子都是1，而分母分别是两个连续整数的乘积：1×2，2×3，3×4，4×5，5×6，6×7，7×8，8×9，9×10，即原题就是计算：至此，利用问题32．1的解答所提供的方法是不难得出正确结果的，请同学自己完成．问题32．4计算与上述几个问题类似，不难求出正确结果．问题32．5计算本题怎样计算简便些？请同学们自己完成．问题32．7 计算分析把带分数化为假分数计算显然是相当麻烦的．我们可以把各项的整数部分和小数（分数）部分分别求和，这样可使问题的计算大为简化．问题32．8计算分析直接计算太麻烦，分析本题的特征，分母的两个因数的各个数位上的数字都是8，而分子的一些项也可凑成8，即1＋7＝8，2＋6＝8，3＋5＝8，4＋4＝8．这样可以使计算大大简化．问题32．9 计算分析可先将各循环小数化为分数，然后再进行分数的计算．问题32．10在下面的括号内填上适当的自然数，使等号成立：分析12＝22×3，即12的约数有1、2、3、4、6、12六个．在（1）中，我们可以任取12的两个约数（可以相同也可以不同），用它们的即括号里应填24．同学们还可以发现：当取的两个约数相同时，两个括号里填的数一定相等，并且都是24．即括号里应分别填36和18．显然括号里的数填法不是唯一的．对于（2）和（3）同学们完全可以用类似的方法处理．上述方法同学们是不难掌握的．练习32计算：9．在下面等式的括号里填上适当的自然数，使等式成立．三十三测量问题如果我们希望换掉一根断裂的电线杆，得制一根等长的电线杆，那么首先必须在不能上到电线杆顶的情况下得到电线杆的高度．工人师傅要在河上架一座大桥，解放军叔叔要炸掉河对岸敌人的炮楼，必须在不过河的条件下，得到河的宽度和炮楼的高度．在生活、生产、科研乃至战争中，我们经常要设法得到一个事物的高度、长度、宽度等，这类问题归结到数学上统称为测量问题．测量问题的研究成果不但在改造现实世界中起非常重要的作用，而且能解释日常生活中许多有趣的现象．比如，当你在路灯附近散步的时候，如果你观察一下自己的影子，就会发现影子有时越变越长（图33—1）．在太阳光下也有同样的现象．如果搞清楚了影子长与物高（长）之间的关系，那么我们就可以用影子的长度去推算物体的高（长）度了．用影子测物高在远古时代就有范例．2600多年前，有个埃及国王，他想知道已为自己盖好的金字塔到底有多高．但怎么测量呢？在那个时候，这是一个非常困难的问题．后来国王四处打听，请了一个名叫法列士的聪明人来设法解决这一难题．法列士选了一个风和日丽的日子，在国王、祭司们的参加下，成功地测出了金字塔的高度．问题33．1 图33—2（1）、（2）分别是金字塔的立体直观图和平面图．问法列士当时是怎样测得塔高的？原来，法列士在塔周围走动的时候，观察到自己的影子随着时间的不同而不断地变化．于是他想：“当我的影子刚好与我的身高相等时，塔高和塔的影子不也是等长了吗？”于是当法列士确知自己的影子与身高相等时，发出了测塔的命令，于是助手们很快地测出了CD和DB的长度．它们合起来（为CB）即为塔的影子长，而此影子长就是塔的高度．随着时代的发展和测量工具的不断更新，严格、科学的测量新方法不断涌现．时至今天，测量技术已变得十分完善．法列士的方法早已过时．但是我们不能苛求古人，要看到法列士在人类测量史上揭开了闪光的一页．他用到的是欧氏几何中的相似原理（见下文），但他的测塔方法比几何始祖欧几里德创立的几何学还早了许多年．必须指出，近代测量学方法虽先进，但它要用到大量的几何知识和三角函数知识．这些知识我们还不具备，故本节我们只介绍一些最简单的或粗略的测量知识．首先来定性地分析一下影子长与物高的关系．问题33．2我们知道在路灯旁走动或太阳升高时，影子长会不断地变化，问影子长的变化究竟受什么因素的影响？分析影子是光造成的．如图33—3，设S是光源，垂线AB表示人，水平线X′X代表地面，从S出发的光线，绝大部分照在地面上，只有△ACB内的光线被人体遮住，并在地上留下了影子BC．AC是被遮住的第一条光线，称为临界光线．临界光线与投射面之间的交角α叫投射角．人的高AB是不会变化的．但是，①如图33—4（1），当人由A1B1处走动到A4B4处时，影子由B1C1不断变长到B4C4；②如图33—4（2），当光源从位置S1移到位置S4时，影子由BC1逐渐变短到BC4．这表明：物体移动或光源移动，影子长都会变化．通过仔细观察就会发现它们有一个共同点，就是：投射角α越大，影子越短．而且物高AB与影长BC之间还有确切关系：AB＝BC（tgα）．现在我们就可解释法列士的测塔方法了．事实上，法列士是在投射角α＝45°时测塔的，这时的物高和影长相当于45°的直角三角形的两条直角边，故它们相等．我们也易知道：太阳升起后，人的影子是在上午、中午，还是在下午最短？在路灯下面，是离路灯近还是远的时候人影较长？但是上面的解释仍然是定性的解释，我们只知道长或短．但究竟有多长，还必须要知道上面公式中的三角函数tgα的值是多少，但这个知识还得等到中学才能学到．下面我们给出解决简单测量问题所用到的两个简单原理，并用它们去解决实际问题．我们把形状和大小都相同的两个三角形叫全等三角形；把形状相同、大小不同的两个三角形叫相似三角形，并且把全等或相似的两个三角形中方位相同的两条边叫做对应边．全等形原理两全等三角形的对应边相等．相似形原理两相似三角形的三组对应边所成的比都相等．问题33．3在抗日战争时期，八路军某部急行军北上抗日，中途遇到一条大河阻隔．河对面设有敌人的炮楼．为了扫清障碍，小兵张嘎所在的小分队奉命拔掉敌炮楼．要拔掉它，必须要大致知道河宽．但当时又找不到适当的测量工具，怎么办呢？嘎子想了想，终于想出了测河宽的好方法．同学们，假如你不看下面的解答，是否也能想出这样的方法？解张嘎当时是这样做的：（1）他先站在河岸边，眼睛沿军帽沿刚好对准炮楼的底部C，若以AB表示身高，那么得到一个直角△ABC，如图33—5（1），角B是直角．（2）然后他向左转并保持原来的姿势，使得沿帽沿看到他所站的河岸上的一点D，如图33—5（2），这样又得到一个直角△ABD．（3）最后张嘎要分队长从D点走到B点，他数了数，队长共走了96步．于是小嘎子通知炮兵，把大炮的射程调整到64米远，就正好摧毁了敌人炮楼．原来，小嘎子用到了全等形原理．事实上△ABC与△ABD是全等的；BC与BD是对应边，应相等．但小嘎子怎么知道BD就是64米的呢？因为一般大人走三步是两米长（测量中叫“三步两弓”），队长走了96步，故为64米．问题33．4“六一”儿童节到了，小聪的老师带着他们班的小朋友到郊外文明湖畔野炊、郊游．大家玩得正快活的时候老师突然问了一个问题：你们能测出湖面的长度AB是多少米吗？其他同学都不作声，只见小聪闭着眼想了一想，说：“老师，我有办法”．请问小聪是用的什么办法？解（1）如图33—6．首先小聪在湖岸上选择一个适当的点C；（2）小聪请老师先从A点向C点走直线，数一数AC间老师走了多少步，再继续向前走同样多的步数到E 点，放上一块石头；（3）再请老师从B点出发沿BC方向走到D点，并使BC＝DC，再在D点放上一块石头；（4）最后小聪请老师从D点走到E点，发现刚好走了84步．于是他正式宣布湖的长度是56米．同学们对小聪采用的方法迷惑不解．老师表扬了他是个肯动脑筋的好学生，并告诉大家，小聪用的依然是全等形原理，即△ABC与△CDE形状相同、大小一样，故是全等三角形，AB与DE就是对应边．问题33．5有一棵大树，不知道它有多高，但知道它的影子有24米长．为了测得树的高，在树的旁边立了一根2米长的竹杆，一量竹杆的影子正好3米（如图33—7）．问树高是多少米？解因为竹杆的影长3米，而杆长只2米．这就是说，如果把竹杆的影长分成3等分时，竹杆的长度占2等分．同样地，把树的影长分成3等分（每等分24÷3＝8（米）），树高也必占其中的2等分，故树高为2×8＝16（米）．注意：解本问题时用的是相似形原理．如图33—7中，△ABC与△A′B′C′形状相同，大小不同，故这两个三角形相似．AB与A′B′，BC与B′C′分别是两组对应边．由相似形原理应有：A′B′＝2×8＝16（米）．以上，我们都是测陆地、看得见的物长．能否测地下、水中看不见的物长呢？我们的祖先也早就探讨过这个问题．在2000多年前的汉代，就出现了一本很有价值的书叫《九章算术》．书中勾股章第六题译成现代语就是：问题33．6有一个方池，每边长一丈，池中央长了一枝荷花，花露出水面恰好一尺．一阵风把荷花吹倒，花顶正触岸边，且与水面平齐．试问水深、荷花长各多少？分析如图33—8，若求出了水深h加上1尺就是荷花长了，故关键是求h．当风吹倒荷花时，荷花原出水点A 与荷花落水点B及荷花根部D构成直角△DAB．显然BD＝h＋1，AB＝5．由勾股定理：h2＋52＝（h＋1）2．解出h得：h＝12（尺），即水深12尺，荷花长13尺．同学们，本节就要结束了，但是我们学习测量知识的过程还远未完结．比如，待将来我们学了“三角”知识后，还可以不过河准确地测量河对岸的塔高呢！（图33—9）练习331．黑夜里，照明弹在上升的过程中，碉堡的影子是变长还是变短？2．黄浦江是上海水上运输的交通要道．为了方便两岸的交通，政府决定修建“黄浦”大桥．设计大桥之前必须要先知道建桥处的江面宽度．如果由你来当设计师，你将怎样得到这个宽度数据？3．一天下午，一休陪师傅长明长老散步．长老突然提出一个问题来考考一休．他说：“不准你垫东西，你能量出我的身高吗？”一休闭上眼想了想，然后跳起来拿了一卷皮尺，把长老扶到墙边，他和长老并排站立，让俩人的影子投射到墙上．然后两人同时一步步后退，直到一休头顶的影子刚好落到墙脚时，一休让长老站立不动，然后拿皮尺量了长老留在墙上的影子，长为60厘米．于是一休告诉师傅：“您的身高为1.75米．”长老满意地点了点头．同学们，你知道一休测出长老身高的秘密吗？4．为了做一架上到屋顶的梯子，先得测屋的高度．爸爸把这一任务交给方兴去完成．方兴手握一根直尺伸直手臂，眼望尺顶和房顶得到图33—10．试根据图中的数据计算屋的高度FG．三十四奇妙的圆如果留心我们周围的世界，就会发现许多物体都呈圆形，小到球糖、玻璃弹子、钟面、生日蛋糕……，大到游泳圈、车轮子等等，连我们赖以生存的地球、太阳乃至宇宙中的绝大多数星体都呈圆状．这里面有天工所赐，也有人工造成．关于圆，它有许多奇妙的性质，我们不可能在这里作完全的讨论．下面仅就圆的基本性质和问题作些讨论．问题34．1如图34—1，A是圆上的一个定点，（1）若一个人由A点出发，沿圆周行走，最后回到A点．问有。
三十七简单的立体图形
在我们生活的空间中有许多物体，如果把它们画在纸平面上就叫作立体图形．立体图形千差万别，形态各异，甚至有的非常复杂．下面我们只研究图37－1中的几种简单的立体图形，它们的名称就列在图的下面．
图37-1
也许有的同学会好奇地问，世界上有那么多物体，为什么只研究这几种呢？我们的回答是：（1）这几种立体图较简单，便于研究；（2）日常生活中很多物体的形状都为这几种图形，如书本、各种柜子、电冰箱为长方体，瓶子、桶、各种笔杆为圆柱体，……；（3）当把这几种立体图形研究好了后，就可以解决许多复杂立体图形的问题了．因为那些复杂图形大多是由这几种简单图形组合起来的．
顺便指出：即使是这几种“简单”立体图形，其性质也是很复杂的．本节讨论的只是如何从平面看立体、立体计数，巧算面积、体积等简单内容．
与解决平面图形问题不同的是，解决立体图形的问题不能仅靠直观，而是需要较丰富的想象力．请同学们张开思维和想象的翅膀吧！
问题37．1用平面图37－2可以围成怎样的几何体？试从图37－3中选出这个几何体．
分析因为由图37－2围成了立体图后，虽位置发生了一定变化，但有一个正方形和4个三角形这点是不变的，故应选（3）．
问题37．1所反映的思路在生产和日常生活中是非常有用的．比如用白铁皮作成一个物体（如水桶、烟筒帽或机器零件等），要按图纸把铁皮剪成一定形状，再做成物体．相反地，为了计算一个物体的表面积，要把物体的表面沿边沿剪开，展在平面上去计算．这就表明：把平面图形和空间图形相互转化是研究立体图形的有效手段．
有时为了深入地了解一个物体的全貌，我们要从各个角度对物体进行观察．准确地说，就是从前、后、左、右、上、下六个方向对物体进行观察，渐渐地，人们发现，只要从前、上、右三个方向观察就能达到全面了解事物的目的．从每一个方向观察都会看到一个形状（平面图形），我们分别把它们叫前视图、上视图和右视图．把三个视图中取二个或三个组成的图形组分别叫二视图或三视图．
问题37．2图37－4是由前、上视图构成的二视图．试从图37－5中选出和它对应的立体图形来．
分析因为图（1）的上视图为圆和圆中一点；图（2）的前视图为圆而不是矩形；图（3）的上视图为圆环，故应选（4）．
从问题37．2可见，对于不太复杂的立体图，只需要二视图就足以了解它的全貌了．这自然提出了一个问题，是否所有物体都能用二视图去认识呢？答案是否定的．
问题37．3图37－6中的两个立体图形是两个相同的长方体分别挖去一个长方体洞和一个圆柱洞而得到的．问能否用二视图去认识它们？若不能，请画出各自的三视图．
图37-6
分析不妨取前、上二视图来考察，发现图37－6中两个立体图的二视图都是图37－7（3），故不能用二视图去认识它们．
它们的三视图分别如图37－7（1）、（2）所示．
图37-7
用三视图去认识立体图形，实际上也是把立体问题转化为平面问题（即把平面图形在头脑中“立起来”）．这再一次表明了：把平面问题与空间问题相互转化，确实是研究立体图形的重要思想方法．
问题37．4图37－8是一个正方体，如果它的每个面划分为16个相同的正方形，那么它共划分为多少个长方体？多少个正方体？
图37-8
分析因为底ABCD的两条边AD、AB上各有4条单线段，由第七节问
面上每一个固定的长方形，给它配一个高（即配AE方向上的一条线段）就得到一个长方体．而AE上有10条线段，故图中共有100×10=1000个长方体．
若把每个小正方体的体积视作1，那么对图中所含的正方体，其体积显然只能为1、8、27、64．下面以体积为标准分类计数．
1类：体积为1的正方体共有43个．
2类：体积为8的正方体共有33个．〔事实上，在底面ABCD上，面积为4（长=宽=2）的正方形共有32个，而AE上长为2的线段有3条．故体积为8的正方体共有32×3=33个．〕
同样可以得到：
3类：体积为27的正方体有23个．
4类：体积为64的正方体有13个．
即所有正方体共13+23+33+43=100个．
显然，本问题是问题7．8向立体空间的推广，你能把这个结论作进一步的推广吗？
问题37．5（1）长、宽、高分别为m、n、h个单位的长方体切成全为单位体积的正方体，组成m×n×h的立方体网．问此网中含有多少个长方体？
（2）在n×n×n的立方体网中，含有多少个正方体？
问题37．6一个正方体形状的木块，棱长1米．沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，如图37－9．这60块长方体表面积的和是多少平方米？
图37-9
分析按常规思路，应将60个木块拿来逐个求表面积，然后再累加起来即得其解．但这样做太繁琐，何况各木块的厚薄宽窄都不尽相同，也无法知道其值．故按这种思路计算不但复杂，简直就不可能．
下面我们从另一角度去考虑：
因为每一次锯下去，都得到两个面，它们的面积与正方体的一个面的面积相等．又所有长方形的面都是这样锯成或由原表面构成的．这样只要数一数一共锯了多少次，问题就迎刃而解了．
解分类：1类：共6个表面，每个面1平方米，故表面积共6平方米．
2类：数一数便知共锯了2＋3＋4=9（次），故9×2=18（平方米）．
因此60块长方体表面积共
6+18=24（平方米）．
同学们，你知道能轻松地解答此题用的是什么思想方法吗？原来，这便是在“奇妙的圆”一节已经用过的“整体观念”．
上面我们已几次尝到用整体观念解题的甜头，打整体战比打局部战容易．同样地在解决问题时，用了整体观念有时能出奇制胜．
问题37．7图37－10中这堆积木是由16块棱长为2厘米的小正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？
分析由于这堆积木排列得不整齐，计算它的表面积比较麻烦．
思路1按层分类，分成三类，再按层点数．（略）
思路2先求出16块正方体的总表面积，再减去重叠面积的2倍．用这种思路要数重叠面的个数，虽也可行，但由于受“许多地方看不见”的限制，对想象力要求较高，且很难做到准确无误．下面的思路更为简捷．
图37-10
思路3朝前、朝后、朝左、朝右、朝上、朝下六个方向分别统计（即按面所朝的方向分成六类），然后再求和．若注意到“相对”的两个方向面数相同，则只需统计三个方向的面就行了．如图：积木朝上、朝前、朝右的正方形分别有9、7、9个，故其表面有（9＋7＋9）×2=50个正方形，表面积为
50×4=200（平方厘米）．
问题37．8如图37－11，有三个正方体木箱，大小一样，质量相同．甲箱内装了一个大铁球；乙箱内装了大小相同的27个中铁球；丙箱内装了64个大小相同的小铁球．若这三个箱内的铁球与铁球、铁球与箱壁都贴挤得很紧，问究竟哪一个箱子重？
图37-11
分析我们完全可以找出三个箱内大、中、小球半径的关系，求出各箱内球的体积，再乘以铁的密度去分别求三箱内球的重量．但本题也可用聪明的办法求解：
因为乙箱内的球是三个一排，所以甲箱内大球的直径是乙箱内中球直径的3倍，因此大球的体积是中球的27倍（为什么？），但甲箱内球的个数却
丙两箱球的重量相等、故三箱球的重量都相等．
问题37．9（1）在图37－11的三个箱子中空气的体积有何关系？（2）在问题37．8中若还有一个丁箱，每排放n个小球，这时甲箱与丁箱中球的重量关系如何？
不难发现问题37．8～37．9是问题34．5～34．7向空间的推广．
练习37
1．图37－12中四个二视图分别表示什么立体图形？试从图37－13中挑出相应的立体图形．
图37-12
图37-13
2．若将图37－8所示的正方体的表面都涂满红色，并且在它的每个面上均匀地切上3刀，结果得到64个小正方体，且切面都是无色的．问：（1）小立方体三面涂红色的有几块？（2）二面涂红色的有几块？（3）一面涂红色的有几块？（4）每一面都无色的又有几块？
3．有一个棱长为6厘米的正方体木块如图37－14所示．如果把它锯成棱长是2厘米的正方体若干块，表面积增加了多少平方厘米？
4．有两个茶杯如图37－15所示．第一个的底直径是4厘米，高3厘米；第二个的底直径是3厘米，高4厘米．问两个茶杯哪个装的水多？
5．把一个篮球的直径增加1米，再把地球的直径也增加1米，问哪个球的体积增加得多些？。
