图形的展开和折叠

展开与折叠（3种题型）【知识梳理】一．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．二．展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．三．专题：正方体相对两个面上的文字（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．【考点剖析】一．几何体的展开图（共9小题）1．（2022秋•江汉区期末）下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【分析】依据棱柱的所有的面的形状以及位置，即可得到棱柱的表面展开图．【解答】解：A．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；B．该图是棱柱表面展开图，故本选项正确；C．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；D．该平面图形不能围成棱柱，能围成圆柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了几何体的展开图以及棱柱的结构特征，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．2．（2022秋•南京期末）如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点B重合的点为（）A．点C和点D B．点A和点E C．点C和点E D．点A和点D【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察得到重合的点．【解答】解：在这个正方体中，与点B重合的点为点C和点D．故选：A．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握折叠后的正方体的图形是关键．3．（2022秋•莲湖区期末）诗语同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm，高是2cm．（1）求长方体盒子的长和宽．（2）求这个包装盒的体积．【分析】（1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长；（2）用体积公式即可．【解答】解：（1）宽为：（14﹣2×2）÷2＝5（cm），长为：5+3＝8（cm）；（2）8×5×2＝80（cm3）．【点评】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽．4．（2022秋•鹤壁期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm．（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？（2）若1平方米硬纸板价格为元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）【分析】（1）根据长方体的表面积公式计算即可；（2）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由题意得，2×（12×6+12×6+6×6）＝360cm2；答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；（2）360÷10000×5×10＝1.8元，答：制作10个这样的包装盒需花费1.8元钱．【点评】本题考查了几何体的表面积，正确的计算出长方体的表面积是解题的关键．5．（2022秋•和平区期末）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有种添加方式．【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：“收”字分别放在“垃”“圾”“分”“类”下方均可成完整的正方体展开图，所以有4种添加方式．故答案为：4．【点评】本题主要考查了正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．6．（2022秋•江阴市期末）如图是一个正方体纸盒，下面哪一个可能是它的表面展开图（）A．B．C．D．【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．B，D与此不符，所以错误；再观察3个图案所在的位置，而选项C不符，正确的是A．故选：A．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．（2022秋•二道区校级期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同．【分析】依据正方体展开图的特征进行判断，即可得到3种不同的正方体展开图．【解答】解：如图所示：（答案不唯一）【点评】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的结构特点．8．（2022秋•伊川县期末）如图，是一个几何体的表面展开图：（1）请说出该几何体的名称；（2）求该几何体的表面积；（3）求该几何体的体积．【分析】（1（2）依据长方体的表面积等于六个面面积之和即可得出结论；（3）依据体积计算公式，即可得到该几何体的体积．【解答】解：（1）该几何体的名称是长方体；（2）该几何体的表面积为：2×（2×3+2×1+1×3）＝22（平方米）；（3）该几何体的体积为：2×3×1＝6（立方米）．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是关键．9．（2022秋•仪征市期末）将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开条棱．【分析】根据无盖正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，即可得出答案．【解答】解：∵无盖正方体有5个表面，两个面共一条棱，共8条棱，要展成如图所示图形必须4条棱连接，∴要剪8﹣4＝4条棱，故答案为：4．【点评】此题主要考查了正方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出要展成如图所示图形必须4条棱连接，是解题关键．二．展开图折叠成几何体（共9小题）10．（2022秋•沈河区期末）如图，如果裁掉一个正方形后能折叠成正方体，那么能裁掉的是（）A．①B．②和③C．③和④D．②或③或④【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由正方体的展开图可知，去掉②或③或④原图都可以折叠成正方形，故选：D．11．（2022秋•高新区期末）下列图形经过折叠不能成为一个封闭的正方体的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折叠成正方体，故选：D．【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．12．（2022秋•青秀区校级期末）如图平面图形不能折成无盖长方体盒子的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折成无盖长方体盒子，故选：C．【点评】本题主要考查长方体展开图的知识，熟练掌握长方体展开图的知识是解题的关键．13．（2022秋•晋江市期末）图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先找出下面，然后折叠，找出正方形ABCD位于正方体的哪个面上，点P所在正方形位于正方体的哪个面上，即可找出与点P重合的顶点．【解答】解：如图：以正方形1为下面，将正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体时，正方形ABCD位于正方形的上面，点P所在正方形在前面，点B与点P重合．故选：B．【点评】本题考查正方形的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系．14．（2022秋•秦淮区期末）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；B、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；C、底面有2个三角形，不能折叠围成一个三棱柱，故本选项错误；D、展开图有3个底面，不能围成三棱柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，15．（2022秋•姜堰区期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图是他制作的一个半成品的平面图：（1）在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；（2）已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为56cm，求这个长方体盒子的体积．【分析】（1）根据长方体的展开图补充图形即可求解；（2）根据题意，设长方体的高为a，则宽为2a，长为4a，根据长方体所有棱长的和为56cm，列出方程，进而根据体积公式即可求解．【解答】解：（1）如图所示，（2）设长方体的高为acm，则宽为2acm，长为4acm，根据题意得，4（a+2a+4a）＝56（cm），解得：a＝2，∴这个长方体的高为2cm，宽为4cm，长为8cm，∴这个长方体盒子的体积为：2×4×8＝64（cm3）．【点评】本题考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．16．（2022秋•宛城区校级期末）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b （cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．【问题解决】（1）若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面积为；【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b （cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．【拓展延伸】（2）若a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒的体积为；（3）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？【分析】（1）由折叠可得底面是边长为6cm的正方形，进而求出底面积即可；（2）由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为a﹣2b，，b，根据体积公式进行计算即可；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，分别求出按图1，图2的折叠方式所得到的长方体的体积即可．【解答】解：（1）如图1，若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面是边长为12﹣3×2＝6（cm）的正方形，因此面积为6×6＝36（cm2），故答案为：36cm2；（2）如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来可得到长为a﹣2b，宽为，高为b的长方体，当a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒长为12﹣2×2＝8（cm），宽为＝4（cm），高为2cm，所以体积为8×4×2＝64（cm3），故答案为：64cm3；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，按图1作无盖的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（30﹣5×2）×5＝2000（cm3），按图2作的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（）×5＝1000（cm3），2000÷1000＝2（倍），答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．17．（2022秋•昆明期末）图（1）和图（2）中所有的正方形都相同，将图（1）的正方形放在图（2）中的①②③④⑤某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①②B．②③C．③④D．②⑤【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的②⑤的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故选：D．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．熟记正方体的11种展开图是解题的关键．18．（2022秋•阳泉期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：观察判断：小明共剪开了条棱；动手操作：现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形；解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是880cm，求这个纸盒的体积．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．【解答】解（1）小明共剪了8故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20，∴这个长方体纸盒的体积为20×100×100＝200000（立方厘米）．【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．三．专题：正方体相对两个面上的文字（共7小题）19．（2022秋•泗阳县期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（）A．1B．2C．3D．6【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2【解答】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2，将正方形展开如图所示，∴5的对面是6，故选：D．【点评】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键．20．（2022秋•溧水区期末）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数相等，则a+b+c ＝．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：由图可知，c+1＝3，1+b＝1，a＝﹣2，所以a＝﹣2，b＝0，c＝2，所以a+b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键在于注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．21．（2022秋•高邮市期末）一个正方体的6个面上分别标有字母a、b、c、d、e、f．若甲、乙两位同学分别在f、e朝上时，看到的另两个字母如图，则b对面的是．【分析】根据第一个图形和第二个图形中都含有d的面，即可判断．【解答】解：由题意可知d字母所在面相邻的面上的字母分别为a、c、e、f，则d的对面是b．即b对面的是d．故答案为：d．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，同时也考查了空间想象能力和推理能力．正确记忆立方体的特点是解题关键．22．（2022秋•川汇区期末）党的二十大报告提出，要以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴．将“中国式现代化”这六个字分别写在一个正方体的六个表面上，如图是它的一种展开图，则与“式”相对的字是（）A．中B．国C．现D．代【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“式”字相对的面上的汉字是“中”．故选：A．【点评】本题考查了正方体的展开图形，掌握相对面进行分析及解答是关键．23．（2022秋•青神县期末）如果一个骰子相对两面的点数之和为7，它的表面展开图如图所示，则下面判断正确的是（）A．A代表B．B代表C．C代表D．B代表【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是3．故选：A．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握从相对面入手是关键．24．（2022秋•汉台区期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．25．（2022秋•青神县期末）一个立方体的六个面上分别标上一至六点（一个小圆表示一点，每个面上的点数不同），然后将完全一样的四个立方体摆放成如图样式的一个长方体，我们能看到的面上的点数如图所示，则长方体底面上的点数之和是．【分析】先判断出相对的面的点数，再进行计算即可．【解答】解：由题意可知，“3点”的面的邻面有“2点、6点、4点、5点”，所以与“3点”相对的面的点数为“1点”；因为“4点”的面的邻面有“6点、5点、3点、1点”，所以与“4点”相对的面的点数为“2点”；因为“6点”的面的邻面有“3点、1点、4点、2点”，所以与“6点”相对的面的点数为“5点”；所以长方体底面上的点数之和是：4+1+5+2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，关键是弄清每个骰子六面点数之和是几，每个骰子看见面的点数之和是几．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2022•河南三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（）A．老B．南C．河D．家【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．【解答】解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，故选：D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．2．（2022•金坛区二模）某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（）A．圆柱B．长方体C．四棱锥D．五棱锥【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．【解答】解：这个几何体由四个三角形和一个正方形围成，故这个几何体为四棱锥．故选：C．【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．3．（2022•梧州模拟）下列在立体图形中，它的侧面展开图是扇形的是（）A．正方体B．长方体C．圆柱D．圆锥【分析】根据常见立体图形的侧面展开图判断即可得出答案．【解答】解：A选项，正方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；B选项，长方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；C选项，圆柱的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；D选项，圆锥的侧面展开图是扇形，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形是解题的关键．4．（2022•丰台区二模）如图，下列水平放置的几何体中，侧面展开图是扇形的是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．【解答】解：AB、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；C、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．二．填空题（共3小题）5．（2022•晋中一模）“双奥之城”指既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．2008年北京夏季奥会之后，2022年北京冬季奥运会成功举办，使北京成为世界上首座“双奥之城”．下列正方体展开图的每个面上都标有一个汉字，把它们折成正方体后，与“双”字相对面上的汉字是．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．【解答】解：与“双”字相对面上的汉字是城，故答案为：城．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．6．（2021秋•息县期末）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：、、．【分析】根据表面展开图的形状判断即可．【解答】解：圆锥的表面展开图是一个扇形和圆，四棱锥的表面展开是一个四边形和四个三角形，三棱柱的表面展开是三个长方形和两个三角形．【点评】本题考查立体图形的表面展开，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．7．（2021秋•绵阳期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“y”一面与相对面上的代数式相等，则有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0（用数字作答）．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端对面，判断即可．【解答】解：由图可知：y与2y﹣3相对，xy2与﹣3xy相对，由题意得：y＝2y﹣3，∴y＝3，∴xy2+（﹣3xy）＝9x+（﹣9x）＝0，∴有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0，故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．三．解答题（共5小题）8．（2021秋•武功县期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．9．（2021秋•临汾期末）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是；A．字母B B．字母A C．字母R D．字母T（2）若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．【分析】（1）根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可；（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置：字母B，故答案为：A；（2）由题意得：2×3×2+2×3×1+2×2×1＝12+6+4＝22，∴包装盒的表面积为22．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据长方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．10．（2021秋•渠县期末）如图，是底面为正方形的长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：（1）与N重合的点是哪几个？（2）若AB＝3cm，AH＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？【分析】（1）把展开图折叠即可得出答案；。

几何形体的展开与折叠几何形体是研究空间中图形、结构和性质的分支学科，它的应用广泛而深远。

在几何学中，形体的展开与折叠是一种重要的操作方式，有助于我们更好地理解几何形体的特性和结构。

本文将介绍几何形体的展开与折叠，并探讨其在实际应用中的意义。

一、展开与折叠的概念与方法在几何学中，展开与折叠是指将一个几何形体通过切割、折叠等操作，使其在平面上展开或折叠成一组组平面图形。

展开后的平面图形能够清晰地显示出形体的各个面以及它们之间的关系，提供了形体结构的更直观认识。

而折叠则是将展开后的平面图形重新还原为原来的几何形体，从而改变了形体的形态。

展开与折叠几何形体的方法有很多，最常见的是通过切割或折叠一些特定的结构线或折痕来完成。

例如，对于一个正方体，我们可以通过切割连接着相邻顶点的边，然后将其展开为一个由6个正方形构成的平面图形。

而折叠则是在平面图形上按照预定的折叠线将其重新还原为正方体。

二、展开与折叠的应用1. 制作纸模型展开与折叠在制作纸模型中起到了至关重要的作用。

通过将三维模型展开为平面图形，可以有效地设计模型的结构和零件，并将其转化为纸张上的图纸。

通过对展开图纸的折叠操作，我们可以将纸张折叠成一个完整的三维模型，如飞机、建筑物等，这为制作精美的手工艺品提供了便利。

2. 计算表面积和体积展开与折叠还可以帮助我们计算几何形体的表面积和体积。

通过将形体展开为平面图形，可以准确地测量图形的边长、面积等尺寸参数，进而计算出整个形体的表面积。

而通过将形体折叠为一组平面图形，可以将形体的体积划分为若干简单的几何体积，然后分别计算它们的体积，最后累加得到整个形体的体积。

3. 裁剪和折叠设计展开与折叠对于裁剪和折叠设计也起到了重要的作用。

在纺织、皮革、纸张等行业中，通过将产品的展开图纸与实际材料匹配，可以精确地进行裁剪，减少材料的浪费；而通过合理的折叠方式，可以将产品折叠成最小的体积，方便收纳和运输。

4. 动画设计展开与折叠还常被应用于动画设计中。

展开与折叠口诀
以下是五个符合要求的口诀：
《展开与折叠口诀一》
正方体呀要展开，一二三四分得清。

一个面有四个边，就像小方在立正。

二条棱边紧相连，如同小棒手牵手。

三个面儿成一组，好似伙伴在相聚。

展开图形仔细瞧，折叠回去也不难。

小朋友们认真记，数学世界乐趣添。

《展开与折叠口诀二》
展开折叠并不难，听我来把口诀传。

一条边呀是开始，好像火车头向前。

二块板子面对面，如同朋友在聊天。

三个图形连成片，好似花朵真鲜艳。

四四方方要认清，折叠还原就搞定。

简单口诀记心间，快乐学习每一天。

《展开与折叠口诀三》
要想学好展开折，这个口诀要掌握。

一先找到基准面，好像舞台搭起来。

二看相连有几个，如同演员要上台。

三个一组有规律，好似排队整齐站。

四面展开看清楚，折叠起来不迷糊。

小朋友们多练习，聪明才智展无疑。

《展开与折叠口诀四》
展开折叠有妙招，快来听我讲一讲。

一个中心不能忘，就像太阳放光芒。

二找相邻仔细看，如同星星围它转。

三个一组依次排，好似花瓣朵朵开。

四步完成展或折，轻松学会真不错。

大家快来一起念，知识海洋任你游。

《展开与折叠口诀五》
学习展开与折叠，口诀朗朗记心窝。

一条棱边是开头，好像小路引方向。

二面相对应记住，如同镜子照模样。

三个相连是关键，好似小桥连两岸。

四块图形成整体，折叠展开都容易。

小朋友们齐努力，数学天地创佳绩。

几何体的展开与折叠几何体是我们在日常生活中经常接触的物体，它们的形状各异、复杂多样。

在进行几何学的学习和研究过程中，我们经常会遇到一种操作——展开与折叠。

展开与折叠是指将一个几何体从其原始形态转化为平面上的图形，或者将一个平面上的图形还原为原始的几何体。

本文将探讨几何体的展开与折叠，并介绍一些常见的几何体展开与折叠的方法。

一、几何体的展开几何体的展开是将一个三维的立体图形展开为平面上的图形。

通过展开，我们可以更清晰地观察几何体的各个面和边的关系，从而更好地理解其结构和特性。

下面以常见的立方体为例进行介绍。

立方体是一种六个面都是正方形的几何体。

要将立方体展开，我们可以按照以下步骤进行操作：1. 首先，选择一个正方形作为立方体的底部，并将其放置在平面上；2. 接下来，将立方体的相邻面依次展开，即将它们平移到底部的相邻位置上，并与底部的正方形边对齐；3. 最后，将剩余的面依次展开并与之前展开的面相连，直到所有的面都展开完毕。

通过以上操作，我们可以将一个立方体展开为一个由六个正方形构成的平面图形。

除了立方体，其他的几何体如长方体、圆柱体等也都可以通过类似的方法进行展开。

对于复杂一些的多面体，展开的过程可能会更加繁琐，但基本的原则仍然是将各个面依次展开并在平面上拼接。

二、几何体的折叠几何体的折叠是将一个平面上的图形还原为其原始的三维形态。

通过折叠，我们可以将平面上的图形重新恢复为立体，从而使得观察和操作更加方便。

下面以折叠纸盒为例进行介绍。

折叠纸盒是一种常见的几何体折叠操作。

要折叠纸盒，我们可以按照以下步骤进行操作：1. 首先，将一个长方形的图形平铺在桌面上；2. 接下来，根据折叠的要求，将长方形的边沿折叠，使其形成一个长方体的侧面；3. 然后，将剩余的三个边沿按照相同的方式折叠，直到它们连接在一起；4. 最后，将长方体的两个底面按照折叠的要求将其折叠并连接在一起，形成一个完整的纸盒。

通过以上操作，我们可以把一个平面上的长方形图形折叠成一个纸盒。

长方体的展开与折叠长方体是一种常见的三维几何形体，由六个矩形面组成。

在日常生活中，我们经常使用长方体，比如盒子、书籍、建筑物等。

而了解长方体的展开和折叠方法，可以帮助我们更好地理解其结构和应用。

本文将探讨长方体的展开与折叠过程。

一、长方体的展开长方体的展开就是将其六个面展开成一个平面图形。

展开后的图形有利于我们观察长方体各个面的关系以及对其进行测量和计算。

下面来看一个展开长方体的具体实例。

假设我们有一个长方体，其长、宽、高分别为L、W、H。

首先，我们选择一个面作为底面，将其展开成一个矩形。

为了方便，我们选择长方体的下表面作为底面。

接下来，我们按顺序将其他五个面绕着底面的边展开，将它们与底面相连接。

最终，我们得到了一个由长方体六个面组成的平面图形。

展开后的长方体平面图形可以用于计算各面的面积、测量各边的长度以及计算体积等。

同时，它也是制作长方体模型的基础图纸。

通过将展开图形按照比例制作成模型，我们可以直观地观察到长方体的形状和尺寸。

二、长方体的折叠展开长方体是将其变为平面图形，而折叠则是将其从平面图形重新还原成长方体的过程。

长方体的折叠方法有多种，下面介绍其中一种常用的方法。

首先，我们将展开的长方体平面图沿着对角线对折，将底面的两个对角点连接起来，在折叠过程中，底面的对角线保持直线，其他边和面围绕底面的对角线进行折叠。

折叠后，将两个侧面对准并贴合，再将上表面和下表面对准贴合，最终即可将长方体重新还原。

折叠长方体的过程需要注意保持各边和面之间的关系。

在折叠过程中，要确保各边的长度和角度准确无误，以获得一个完整的长方体。

同时，要注意折叠时的方向和位置，以避免产生错误的形状。

三、应用展开与折叠长方体的过程在日常生活和工程领域中非常有用。

它们可以帮助我们理解和计算长方体的各个方面，并应用于以下场景中：1. 包装设计：在制作纸箱或包装盒时，需要将二维的纸张切割和折叠成长方体的形状，以容纳商品。

2. 建筑设计：在建筑领域中，展开与折叠长方体的方法可以用于构建建筑物的结构模型以及优化空间布局。

三维形的展开与折叠在日常生活中，我们常常与三维形状打交道，如立方体、圆锥体等。

这些三维形状在展开与折叠时，能够呈现出不同的形态和特点。

本文将探讨三维形状的展开与折叠，以及它们在不同领域的应用。

一、三维形状的展开三维形状的展开是指将其表面展平，形成二维的图形。

这样做的目的是为了更好地研究和理解三维形状的性质。

1. 展开方法展开三维形状的方法有很多种，常用的包括剪切法、折叠法和数学计算法。

剪切法是最常用的一种方法，它通过剪开三维形状的边缘，将其展开为一个连续的平面图形。

这种方法简单直观，适用于大多数三维形状的展开。

折叠法是一种比较独特的展开方法，它通过将三维形状按照特定的方式折叠起来，使之展开为一个平面图形。

这种方法在一些复杂的三维形状展开中较为常见，例如展开一个六面体。

数学计算法是一种利用数学模型和计算机算法来实现三维形状展开的方法。

这种方法适用于一些特殊的三维形状，如曲面或非欧几何形状。

2. 展开图形的特点展开后的二维图形保留了三维形状的一些重要特征，如面积、边长等。

同时，展开图形还能够展示出三维形状中的一些难以观察到的特点，如表面的缝隙、内部结构等。

展开图形还能够方便地进行测量和计算，如计算表面积、体积等。

这对于工程设计、制作模型等领域具有重要的意义。

二、三维形状的折叠与展开相反，三维形状的折叠是将其从二维状态重新折叠为三维形状。

折叠是一种常见的造型方法，它能够将平面图形变为立体造型，使之更具立体感和形态变化。

1. 折叠方法折叠方法主要包括手工折叠和机械折叠两种。

手工折叠是最常见的折叠方法，通常使用纸张或轻质材料，通过手工的方式将平面图形折叠成所需的立体形状。

这种方法简单易行，适用于各种规模的制作。

机械折叠是一种较为先进的折叠方法，它利用机械装置或机器人来完成折叠过程。

这种方法适用于大规模的制作，可以提高生产效率和准确度。

2. 折叠的应用三维形状的折叠在很多领域都有广泛应用。

在建筑领域，折叠技术可以用于建筑模型的制作，帮助设计师更好地理解和展示建筑形态。

三维几何的展开与折叠三维几何是几何学中的重要分支，它研究的是空间中的图形和物体。

在三维几何中，展开与折叠是一种常见的操作，它能够将三维图形在二维平面上呈现出来，方便我们进行计算和分析。

本文将介绍三维几何的展开与折叠的原理和应用。

一、展开的原理展开是将三维图形在二维平面上展开的过程，通常采用无缝展开的方式，即展开后的图形各个部分之间没有重叠和间隙。

展开的原理基于如下几个步骤：1. 选择展开的视角：根据需要展开的图形，选择一个合适的视角，使得展开后的图形能够在二维平面上呈现出完整的形状。

2. 切割和拆解：将三维图形按照一定的规则进行切割和拆解，使得各个部分能够通过平移和旋转的方式展开到同一平面上。

3. 展开：将切割和拆解后的各个部分按照顺序展开到二维平面上，并通过标记或线段连接各个部分之间的对应关系，保持图形的完整性。

二、展开的应用展开在三维几何中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 制作纸模型：展开可以用于制作纸模型，使得原本复杂的三维图形可以通过一系列的展开和折叠操作变成平面上的几何图形，更易于制作和拼装。

2. 计算表面积和体积：通过展开，可以将三维图形转化为二维平面上的几何图形，从而方便计算其表面积和体积。

例如，展开一个立方体后，可以得到一个由六个正方形构成的平面图形，通过计算这些正方形的面积，就可以得到立方体的表面积。

3. 制作结构图和图样：展开图形后，可以作为制作结构图和图样的基础，有助于我们理解和分析复杂的结构和装配关系。

4. 工程设计：展开可以在工程设计中起到重要的作用，比如在制作底板、切割模板等方面都需要用到展开的技巧。

三、折叠的原理折叠是展开的逆过程，它将展开后的二维图形通过折叠还原成原始的三维图形。

折叠的原理也基于以下几个步骤：1. 选择折叠的方式：根据展开后的图形和需求，选择合适的折叠方式，包括平行折叠和垂直折叠等。

2. 确定折叠的边界和关系：通过观察展开后的图形，确定折叠的边界和各个部分之间的关系，如重合、相邻或相交等。