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[核心必知]1.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 34～P 36的内容，回答下列问题． 某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml 溶液的圆柱形易拉罐． (1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ 提示：计算出圆柱的表面积即可． (2)如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x ，列出圆柱表面积S ＝2πx 2＋1 000x(x ＞0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可．2．归纳总结，核心必记 (1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)解决优化问题的基本思路[问题思考]在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ 提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．[课前反思](1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？； (2)解决优化问题的基本思路是什么？．讲一讲1．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积． [尝试解答] (1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)． 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0， 得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．练一练1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0，20)时，V ′＞0；当x ∈(20，30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.讲一讲2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[尝试解答] (1)由题设，隔热层厚度为x cm ，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40， 因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 400（3x ＋5）2，令f ′(x )＝0， 即2 400（3x ＋5）2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0≤x <5时，f ′(x )<0， 当5<x ≤10时，f ′(x )>0， 故x ＝5是f (x )的最小值点， 对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 所以，当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．练一练2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大的速度航行时，能使每千米的费用总和最少？解：设燃料费y ＝k v 3，因为当v ＝10时，y ＝6，∴k ＝3500，∴y ＝3500v 3.∴每千米总费用：S ＝1v ⎝⎛⎭⎫3500v 3＋96＝3500v 2＋96v ， S ′＝3250v －96v 2.令S ′＝0得v ＝20， 当v ∈(0，20)时，S ′<0； 当v ∈(20，＋∞)时，S ′>0.∴v ＝20 km/h 是S 的极小值点，也是最小值点， ∴v ＝20 km/h 时，每千米的费用总和最少．知识点3 利润最大问题讲一讲3．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N *)． (1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ [尝试解答] (1)因为次品率p ＝3x4x ＋32，所以当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝⎛⎭⎫1－3x4x ＋32件正品．所以T ＝200x ·⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N *)．(2)T ′＝－25·（x ＋32）（x －16）（x ＋8）2，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)． 当0<x <16时，T ′>0； 当x >16时，T ′<0; 所以当x ＝16时，T 最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．练一练3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6. 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是利用导数解决生活中的优化问题． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用导数解决面积、体积的最值问题，见讲1； (2)利用导数解决成本最低(费用最省)问题，见讲2； (3)利用导数解决利润最大问题，见讲3.3．在利用导数解决生活中的优化问题时，要注意函数的定义域应使实际问题有意义，这也是本节课的易错点.课下能力提升(八)[学业水平达标练]题组1 面积、体积的最值问题1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝⎛⎭⎫l 63π B.⎝⎛⎭⎫l 33π C.⎝⎛⎭⎫l 43π D.14⎝⎛⎭⎫l 43π 解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝12πr 2l －2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π.2．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：选B 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积V cm 3.由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －24)(x －8)，令V ′＝0，得x ＝8或x ＝24(舍去)．当x ∈(0，8)时，V ′>0；当x ∈(8，24)时，V ′<0. ∴当x ＝8时，V 取得最大值． 题组2 成本最低(费用最省)问题3．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6 m B ．8 m C ．4 m D ．2 m解析： 选C 设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x 2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，得x＝8，因此h ＝25664＝4(m)．4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为12x 2万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x ＝________．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝2 000x ，总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋12x 2＝8 000x ＋12x 2，令f ′(x )＝x －8 000x 2＝0，解得x ＝20. 且当0<x <20时f ′(x )<0，当x >20时f ′(x )>0，故x ＝20时，f (x )最小． 答案：205．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ，(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 解：(1)Q ＝P ·400v ＝⎝⎛⎭⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0<v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80，当0<v <80时，Q ′<0； 当80<v ≤100时，Q ′>0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元)．题组3 利润最大问题6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C 因为y ′＝－x 2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y ′<0；当x ∈(0，9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9时函数取最大值．7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )A ．30 元B ．60 元C ．28 000 元D ．23 000 元解析：选D 设毛利润为L (p )，由题意知 L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．解析：存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0，0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．答案：0.0329．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(8≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 之间的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值． 解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 之间的关系为： L (x )＝(x －3－4)(12－x )2＝(x －7)(12－x )2， 即L (x )＝(x －7)(12－x )2，其中x ∈[8，11]． (2)由于L (x )＝(x －7)(12－x )2，∴L ′(x )＝(12－x )2＋(x －7)·2(12－x )·(－1) ＝(12－x )(12－x －2x ＋14)＝(12－x )(26－3x )， 令L ′(x )＝0得x ＝12或x ＝263，由于x ∈[8，11]，所以取x ＝263， 当x ∈⎣⎡⎭⎫8，263时，L ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎦⎤263，11时，L ′(x )<0， 所以当x ＝263时，L (x )在[8，11]上取得极大值，也是最大值，L ⎝⎛⎭⎫263＝50027(万元)．故当每件售价为263元时，分公司一年的利润L 最大，最大利润是50027万元．[能力提升综合练]1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对解析：选B 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 最小．2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V解析：选C 设底面边长为x ，高为h ， ∴34x 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3x 2＝43V 3x 2. ∴S 表＝2·34x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43V x ， S ′(x )＝3x －43V x 2，令S ′(x )＝0可得3x ＝43V x2，x 3＝4V ，x ＝34V . 当0<x <34V 时，S ′(x )<0；当x >34V 时，S ′(x )>0，∴当x ＝34V 时，S (x )最小．3．某厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )A ．32 m ，16 mB ．30 m ，15 mC ．40 m ，20 mD ．36 m ，18 m解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m ，其他两边边长为y m ，则xy ＝512，堆料场的新砌墙的长l ＝x ＋2y ＝512y ＋2y (y >0)，令l ′＝－512y2＋2＝0，解得y ＝16(另一负根舍去)，当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0，所以当y ＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x ＝51216＝32. 4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x (0≤x ≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：选D 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝－x 2300＋300＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2，0<h <20，V ＝13π·r 2·h ＝13π·(400－h 2)·h ＝4003πh －π3h 3. 由V ′＝4003π－πh 2＝0得h 2＝4003，h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，因为当0<h <2033时，V ′>0，当h >2033时，V ′<0，所以当h ＝2033时，V 最大． 答案：20336．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，0，点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ACBD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x 34＋x ，x ∈(0，2)． 由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0， 得x 1＝－233(舍)，x 2＝233， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )是递增的， x ∈⎝⎛⎭⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， ∴当x ＝233时，f (x )取最大值439. 答案：4397．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P (万件)与每台机器的日产量x (万件)(4≤x ≤12)之间满足关系：P ＝0.1x 2－3.2 ln x ＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数；(2)当每台机器的日产量x (万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？ 解：(1)由题意得，所获得的利润为y ＝10[2(x －P )－P ]＝20x －3x 2＋96ln x －90(4≤x ≤12)．(2)由(1)知，y ′＝－6x 2＋20x ＋96x ＝－2（3x ＋8）（x －6）x. 当4≤x <6时，y ′＞0，函数在[4，6)上为增函数；当6<x ≤12时，y ′＜0，函数在(6，12]上为减函数，所以当x ＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y ＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元)．故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元．8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为y ，x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝a x 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，M 点的坐标为(5，40)，N 点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C 的方程y ＝a x 2＋b， 可得⎩⎨⎧40＝a52＋b ，2.5＝a 202＋b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0. (2)①由(1)知曲线C 的方程为y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，y ′＝－2 000x 3， 所以y ′|x ＝t ＝－2 000t 3即为l 的斜率．又当x ＝t 时，y ＝1 000t 2， 所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2， 所以l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )． 令x ＝0，得y ＝3 000t 2； 令y ＝0，得x ＝32t . 所以f (t )＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20. ②由①知f (t )＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20.令g (t )＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝94t 2＋9×106t 4， 所以g ′(t )＝92t －4×9×106t 5＝92·t 6－8×106t 5＝92·t 6－（102）6t 5.因为5≤t ≤20，令g ′(t )<0，得5≤t ＜102；令g ′(t )＝0，得t ＝102；g ′(t )>0，得102<t ≤20.所以g (t )在区间[5，102)单调递减，在(102，20]单调递增．所以g (102)＝675是g (t )的极小值，也是最小值．所以当t ＝102时，f (t )取得最小值，最小值为f (102)＝15 3.即最短长度为15 3.。
自我小测1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( ) A ．203 cm B ．10 cm C ．15 cm D ．2033cm 4．设有一个容积V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，当总造价最少时，桶高为( )A ．1232V πB ．123V 2πC ．232V πD ．23V 2π5．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．20B ．25C ．30D ．456．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为__________．7．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是__________．8．将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是__________． 9．已知球的直径为d ，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．参考答案1．解析：y ′＝－38t 2－32t ＋36，令y ′＝0解得t ＝8或t ＝－12(舍)， 当0＜t ＜8时，y ′＞0；当t ＞8时，y ′＜0，∴t ＝8为函数的最大值点．∴t ＝8时，通过该路段用时最多．答案：C2．解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 答案：A3．解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)， V ′＝π3(400－3x 2)，令V ′＝0得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)． 又当0＜x ＜2033时，V ′＞0；2033＜x ＜20时，V ′＜0， ∴当x ＝2033cm 时，V 取最大值． 答案：D4．解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r ，高为h ，总造价为y ，单位面积铁的造价为a ，则V ＝πr 2h ，y ＝πr 2·3a ＋πr 2·a ＋2πrh ·a ＝a π⎝⎛⎭⎫4r 2＋2V πr ，则y ′＝a π⎝⎛⎭⎫8r －2V πr 2. 令y ′＝0，得r ＝1232V π，h ＝V πr 2＝232V π. 答案：C5．解析：设产品单价为a 元，产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x. 总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x ＞0)，y ′＝250x －225x 2. 由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′＞0，x ∈(25，＋∞)时，y ′＜0，所以x ＝25时，y 取最大值． 答案：B6．解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x 米，则长为512x米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，则L ′＝2－512x 2. 令L ′＝0，得x ＝±16.∵x ＞0，∴x ＝16.当x ＝16时，L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)． 答案：32和167．解析：由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，当0≤x ≤390时，P ′(x )＝－x 2300＋300，令P ′(x )＝0，解得x ＝300； 当0≤x ≤300时，P ′(x )＞0；当300＜x ＜390时，P ′(x )＜0.所以当x ＝300时，P (x )max ＝40 000，而当x ＞390时，P (x )＜40 000，因此当x ＝300时利润最大．答案：3008．解析：设剪成的上面一块正三角形的边长为x .则S ＝(3－x )234－34x 2＝433·(3－x )21－x 2(0＜x ＜1)， S ′＝433·－6x 2＋20x －6(1－x 2)2＝－833·(3x －1)(x －3)(1－x 2)2， 令S ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)． ∴x ＝13是S 的极小值点且是最小值点． ∴S min ＝433×⎝⎛⎭⎫3－1321－19＝3233.答案：32339．解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，由于x 2＋x 2＋h 2＝d 2，所以x 2＝12(d 2－h 2)． 所以球内接正四棱柱的体积为V ＝x 2·h ＝12(d 2h －h 3),0＜h ＜d . 令V ′＝12(d 2－3h 2)＝0，所以h ＝33d . 在(0，d )上，当h 变化时，V ′，V 的变化情况如下表：10．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)．(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)． 当0＜x ＜12时，y ′＞0；12＜x ＜1时y ′＜0， 所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得最大值． 故改进工艺后，产品的销售价为20⎝⎛⎭⎫1＋12＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
