二次函数常见关系式符号的判定

九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。

一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。

抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。

（2）c 符号的确定。

因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。

（3）b 符号的确定。

b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。

二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。

分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。

对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。

（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。

对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。

（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。

（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。

2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。

对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。

因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。

3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。

课题二次函数图象与系数符号学习目标：1．探索发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图象之间的关系；2．由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号；学习过程一、知识回顾：1.抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定：⇒开口向上⇒开口向下.2.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（）.c>o⇒与y轴的交点在；c<o⇒与y轴的交点在；c=o⇒抛物线过点3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 .b=0⇒对称轴是；0⇒对称轴在y轴的侧；a、b同号⇒－b2a0⇒对称轴在y轴的侧.a、b异号⇒－b2a4.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由决定.抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴没有交点.二、协作归纳，获取新知（一）a、b、c、△=b2-4ac的符号与抛物线位置的关系。

1. 抛物线y=ax2+bx+c开口向上⇒；抛物线y=ax2+bx+c开口向下⇒ .2. 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的负半轴上⇒；抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴上⇒，抛物线经过坐标原点⇒ .3. 抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是y 轴⇒b 0；抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴在y 轴的左侧⇒－b2a 0⇒a 、b 号； 抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴在y 轴的右侧⇒－b 2a 0⇒a 、b 号. 4. 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点⇒△ ； 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点⇒△ ； 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点⇒△ . 试一试：根据二次函数c bx ax y ++=2的图象，判断a 、b 、c 、b 2-4ac 的符号，并说明理由.（二）确定代数式a+b+c ； a-b+c ； 4a+2b+c ；4a-2b+c ；2a+b ；2a-b 的符号1.二次函数y=ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= ；当x=-1时，y= .2.二次函数y=ax 2+bx+c 中，当x=2时，y= ；当x=-2时，y= . 试一试：抛物线y=ax 2+bx+c 如图所示，判断下列各式的符号 （1）a+b+c （2）a-b+c （3）4a+2b+c （4） 4a-2b+c （5）2a+b （6）2a-b三、归纳小结，升华提高四、累化回味，形成技能1.二次函数y=kx2-3x+2k-k2的图象经过原点，则k= .2.若二次函数y=ax2+3x-1与x轴有两个交点，则a的取值范围是 .3.二次函数cbxaxy++=2与一次函数caxy+=在同一坐标系中的图象大致是( )4. 若0,0,0<><c b a ，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为（ ）5.若无论x 取何实数，二次函数y=ax 2+bx+c 的值总为负，则下列结论成立的是（ ） A.a>0且b 2-4ac ≥0 B.a>0且b 2-4ac>0 C.a<0且b 2-4ac<0 D.a <0且b 2-4ac ≤0 五、拓广探索： 观察抛物线图象填空：(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________; (2)方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________; (3)方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________; (4)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________; (5)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________; (6)不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________.xxxx。

10A B C D二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：a>0⇔；a<0⇔．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，c>0⇔抛物线交y轴于；c<0⇔抛物线交y轴于；c=0⇔．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当a,b同号时⇔对称轴在y轴；b=0⇔对称轴为；a,b异号⇔对称轴在y轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，△c，的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号yx2.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，△c，的符号判断抛物线的位置：例1．若a<0,b>0,c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）y y y yOx O x O x O xA B C D例2．若a＞0，b＞0，c＞△0，＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）y yy 1x0x-1x 0-101．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线y=ax+3经过象限．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是()yO x3．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点, ⎪ 在．（ ）⎝ b 2 - 4ac b ⎭y yA 、 a < 0, b > 0, c < 0B 、 b 2 - 4ac < 0C 、 a + b + c < 0D 、 a - b + c > 0⎛ a + b ac ⎫yA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限O4．二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y = ax + c 在同一坐标系中的图象大致是() yyO xO xO x OxABCD5．二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象，如图，下列结论①c < 0 ② b > 0 ③ 4a + 2b + c > 0 ④ (a + c )2 < b 2 其中正确的有（）A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个6．已知函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数 a, b , cyOxx = 1y有下列不等式① a < 0 ② b < 0 ③ c > 0 ④ 2a + b < 0 ⑤ a + b + c > 0 其中正确个数为 ．7．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线y = ax 2 + bx 一定经过（）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图象，那么 a 的值是__．- O 1x．． 轴正半轴相交，其顶点坐标为,1⎪ ，下列结论：①ac＜0；② 精品资料 欢迎下载9. 若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为______若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 y 轴上，则 b 的值为______10．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b ＋c=2； ③a >结论是( )1 2；④b＜1．其中正确的A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11.二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与 y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b ＞0；③a＋c ＝1；④a＞1．其中正确的结论是()A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个12. 二次函数 y ＝ax 2 －2x －1 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围________。

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：2y ax =a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 的性质：2y ax c =+上加下减。

3. 的性质：()2y a x h =-左加右减。

4. 的性质：()2y a x h k =-+的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()00，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最小值y x 0x =y ．00a <向下()00，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最大值y x 0x =y ．0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0c ，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最小值y x 0x =y ．c 0a <向下()0c ，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最大值y x 0x =y ．c 的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0h ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最小值y x x h =y ．00a <向下()0h ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最大值y x x h =y ．0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()h k ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最小值y x x h =y二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2y a x h k =-+()h k ，⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2y ax =()h k，【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【2. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．h k 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2（或）m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2（或）c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(2三、二次函数与的比较()2y a x h k =-+2y ax bx c =++从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过()2y a x h k =-+2y ax bx c =++配方可以得到前者，即，其中．22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2424b ac b h k a a -=-=，．k 0a <向下()h k ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最大值y x x h =y ．k四、二次函数图象的画法2y ax bx c =++五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确2y ax bx c =++2()y a x h k =-+定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点y ()0c ，()0c ，、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴()2h c ，x ()10x ，()20x ，x 对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.x y 五、二次函数的性质2y ax bx c =++ 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．0a >2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2b x a <-y x 2bx a>-y x 时，有最小值．2b x a =-y 244ac b a- 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当0a <2bx a =-2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-有最大值．y 244ac b a-六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：（，，为常数，）；2()y a x h k =-+a h k 0a ≠3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以x 240b ac -≥用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然．2y ax bx c =++a 0a ≠ ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越0a >a a 大；⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越0a <a a 大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决a a a 定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．a b ⑴ 在的前提下，0a >当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b >02ba-<y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．0b <02ba->y ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a <当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b >02ba->y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．0b <02ba-<y 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．a b 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ab abx 2-=y 0>ab y 0<ab 概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c >y x y⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c =y y 0 ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为0c <y x y 负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．c y 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．a b c ，，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称x关于轴对称后，得到的解析式是； 2y ax bx c =++x 2y ax bx c =---关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+x ()2y a x h k =--- 2. 关于轴对称y关于轴对称后，得到的解析式是； 2y ax bx c =++y 2y ax bx c =-+关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+y ()2y a x h k =++ 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-关于原点对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+()2y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-关于顶点对称后，得到的解析式是．()2y a x h k =-+()2y a x h k =--+ 5. 关于点对称()m n ，关于点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+()m n ，()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择a 合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：y=3(x+4)22y=3x 2十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象64212++=x x y 【解】)128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以为中间值，取的一些值，列表如下：4-=x x x …-7-6-5-4-3-2-1…y …25023--223-025…【例2】求作函数的图象。

二次函数图像a,b,c各类关系式子的判断一．开口方向：判断a的符号。

若开口向上，则a﹥0；若开口向下，则a﹤0.二．抛物线与y轴的交点：判断c的符号若交点在y轴的正半轴，则c﹥0；若交点在轴的负半轴，则c﹤0；若交点恰为原点，则c=0。

三．顶点的位置1.顶点横坐标－的作用：根据顶点与y轴的左右关系，判明横坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。

（利用对称轴亦有此效，见后四。

1）2.顶点纵坐标(4ac－b2)／4a 的作用：根据顶点与x轴的上下关系，判明纵坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b2－4ac的符号。

（利用抛物线与x轴的交点个数，亦有此效）四．对称轴x=－的位置1．判断b的符号：根据对称轴与y轴的左右关系，判明整个－的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。

2．若对称轴已知为x=k,则－ =k,即得出a、b之间的一个等量关系。

3．若对称轴已知为x=k>m，则－ >m,结合a的符号，可得出a、b之间的一个不等关系（如大小关系）。

五．抛物线与x轴的交点：从ax2+bx+c的结构特点入手判断有关命题注意二次函数式ax2+bx+c的结构有如下特点：当x=±3时，ax2+bx+c=9a±3b+c ①当x=±2时，ax2+bx+c=4a±2b+c ②当 x=±1时，ax2+bx+c=a±b+c ③当x=±m时，ax2+bx+c=am2±bm+c ④设抛物线与x轴的交点为A，B，根据x轴上的点（±3,0）,（±2,0）,（±1,0）,(±m,0)等与点A，B的位置关系，即可判断出和上述①②③④四个式子（或其变式）有关的若干命题是否成立。

对于某些较难判断的题目，仅有以上五点总结还不很够，为此，下面再补充一点。

六．以方程组或不等式组的思想为指导，运用相关技巧判断一些较难命题是否成立。

运用口诀判断二次函数的系数关系式学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1所示，则下列说法不正确的是( )(A)b2－4ac>0 (B)a>0(C)c>0 (D)b<0分析根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a>0；由对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，故b<0：由抛物线与y轴交于负半轴，故c<0；由抛物线与x轴有两个交点，故b2－4ac>0．所以本题答案是C．例2 函数y＝ax2＋bx＋c和y＝ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是( )分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“矛盾排除法”．对A中的图象分析可得：在抛物线中，a>0，b>0，c>0；在直线中，a>0，b>0，无矛盾，可为备选答案．对B中的图象分析可得：在抛物线中，a<0，b<0，c<0；在直线中，a>0，b＝0，有矛盾，故排除．对C中的图象分析可得：在抛物线中，a>0，b<0，c>0；在直线中，a<0，b>0，有矛盾，故排除．对D中的图象分析可得，在抛物线中，a<0，b>0，c<0；在直线中，a<0，b<0，有矛盾，故排除．所以本题答案是A．注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象我们可以对单独的a、b、c与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号判断．但如果遇到关于a 、b 、c 间的一些加减组合式又如何来处理呢？2．组合二看(1)三全看点在a 、b 、c 间的加减组合式中，最常见的如“a ＋b ＋c"，“a －b ＋c ”，“4a ＋2b ＋c ”，“4a －2b ＋c ”等类型的式子，这类式子a 、b 、c 三个字母都在，并且c 的系数通常为1，这时只要取x 为b 前的系数代入二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 就可以得到所需的形式，从而由其对应的y 的值时进行判断即可．(2)有缺看轴当a 、b 、c 三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a 、b 之间的转换关系，如果少的是字母c ，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a 或b ，则可利用对称轴提供的a 、b 间转换信息，把a （或b ）用b （或a ）代换即可．例3 已知二次函数（a ≠0）的图象如图3所示，有下列4个结论：①2a ＋b ＝0；②b<a ＋c ；③4a ＋2b ＋c>0；④3a ＋c>0．其中正确的结论有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 D ．4个分析 本题中的②③三个字母都在，且符合“三全看点”的特征，其中②变形后为a－b ＋c>0，由f(－1)<0，知a －b ＋c<0，不符合；③中由f(2)>0，知4a ＋2b ＋c >0，符合要求．本题中的①④字母不全，且符合“有缺看轴”的特征，其中①少c ，可直接找对称轴，由对称轴方程为直线x ＝－2b a＝1，即2a ＋b ＝0，符合要求；而④少b ，显然是利用对称轴方程中b ＝－2a 这个关系式，将原来式子中的b 代换成了a ，我们可能根据“三全看点”中a 、b 间系数的关系进行推演，不难找到其原有的式子，或为a －b ＋c ，或为9a ＋3b ＋c ，再任取其一判断，可得3a ＋c<0，不符合．所以本题答案是B ．例4 如图4，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于（x 1，0），（x 2，0）两点，且0<x 1<1，1<x 2 <2，与y 轴相交于(0，－2)．下列结论：①2a ＋b>1；②3a ＋b>0；③a ＋b<2；④b 2＋8a>0；⑤a －b>2．其中正确结论的个数为( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个分析 本题有一个重要数据条件“与y轴相交于（0，－2）”，即c ＝－2．所以本题不少选项中的c 为－2所取代，如在③中要判断a＋b<2是否正确，就是要看a ＋b －2<0是否正确，即判断“a ＋b ＋c ”，所以可以取x ＝1得a ＋b ＋c>0，即a ＋b －2>0，故③错误；同样在⑤和①中，可将原来要判断的式子变为“a －b ＋c ”与“4a ＋2b ＋c ”，分别取x ＝－1与x ＝2，即知①⑤都是错误的．由④所给的“b 2＋8a>0”可联想到“抛物线与x 轴有两个交点”，所以由b 2－4ac>0即得④正确．只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法，此抛物线的对称轴为直线x ＝－2b a，由“抛物线与x 轴相交于（x 1，0），（x 2，0）两点，且0<x 1<1，1<x 1<2”可知“12<－2b a <32”，且“抛物线下口向下”知“a<0”，故有“a ＋b>0”或“3a ＋b<0”，可得②错误． 所以本题答案是A ．注 与“基础四看”相比，“组合二看”的要求显然高的多，尤其是出现字母有缺时，更要求同学们能充分把握函数图象中所给的信息．3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 例5 从如图5所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab>0；②a ＋b ＋c<0；③b ＋2c>0；④a －2b ＋4c>0；⑤a ＝32b ． 你认为其中正确信息的个数有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个分析 本题可用“取值法”判断．根据对称轴取（－43，0）、(13，0)两点，再任取与y 轴正半轴上的一个交点(0，1)，可求出y ＝－94x 2－32x ＋1， 即得a ＝－94，b ＝－32，c ＝1． 把它代入到①~⑤中，即可知都是正确的．所以本题答案是D ．注 用“取值法”在解决此类问题时，通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可，但如果遇到抛物线在某特定范围内变化时，要判断某些字母的取值范围时，我们还要采用“取临界值法”加以研究．例6 如图6所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－1，0），顶点坐标为(1，n)，与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包括端点）．有下列结论：①当x>3时，y<0；②3a ＋b>0；③－1≤a ≤－23；④83≤n ≤4．其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个 分析 本题由对称可知抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)，故①是正确的．由对称轴为直线x ＝－2b a＝1，知b ＝－2a ，则3a ＋b ＝ 3a －2a ＝a<0，故②是错误的．这里③④用逻辑判断就比较难，这时我们可以使用“取值法”．因为“抛物线与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包括端点）”，故可以使用“取临界值法”，分别取(0，2)，(0，3)与(－1，0)，(3，0)进行计算，可求出它们所对应的两个抛物线的解析式为y ＝－23(x －1)2＋83， 和y ＝－(x －1)2＋4， 所以可知－1≤a ≤－23，83≤n ≤4，即③④都是正确的． 所以本题答案是C ．上述方法有时计算量较大，但仍有一定的实用性，笔者希望大家能够了解和掌握．。

二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx axy +++=2（或m c bx axy -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a ≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下： 1、a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下； 2、b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-ab ，则对称轴在y 轴的左边；b 与a 异号，说明，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3、c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点． 4、a,b,c 共同决定判别式的符号进而决定图象与x 轴的交点与x 轴两个交点与x 轴一个交点与x 轴没有交点5、几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴;判别式……等等）的符号二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系1例1、已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ． a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；例2、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（ ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C 、a+b+c ＞0 D 、方程ax 2+bx+c=0的根是=-1，=31、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ）2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是（ ） A 、0ab < B 、0bc < C 、0a b c ++> D 、0a b c -+<4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，ca ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ）A 、0a >，240b ac -<B 、0a >，240b ac ->C 、0a <，240b ac -<D 、0a <，240b ac ->7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )8、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜09、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．240b ac -> B ．0a > C ．0c > D ．02b a -<10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）（1）abc ＜0；（2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜2b -．A ．1B 2C .3 D. 411、已知二次函数的图象如图所示，有下列5 个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． A ②④ B ①④ C ②③ D ①③13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14、抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 215、已知： ()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为（ ）A .－1B ． 1C . －3D . －416、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个17、已知函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（ ） A .1 B .2 C .3 D . 418、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a-b+c>0；③abc<0；④2a-b=0，其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 419、已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20、已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们的大致图象是（ ）21、函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )22、函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 的图象如图所示, 则下列选项中正确的是( ) A. ab>0,c>0 B. ab<0,c>0 C. ab>0,c<0 D. ab<0,c<0x O y22、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于两个点，根据图象回答： (1)b_______0(填“>、<、=)； (2)当x 满足______________时，ax 2+bx+c>0：(3)当x 满足______________时，ax 2+bx+c 的值随x 增大而减小．24、如图为二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象，在下列说法中： ①ac ＜0；②方程ax 2＋b x ＋c=0的根是x1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，能够为零．二次函数的定义域是全体实数．（所以：二次函数应满足两个条件：①二次项的系数不等于0，②x 最高项的指数是2）2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax①，a 的绝对值决定开口的大小（a 的绝对值越大，抛物线的开口越小，a 的绝对值越小，抛物线的开口越大）②a 的符号决定开口的方向（a＞0，开口向上，a＜0开口向下）2. 2=+的性质：y ax c上加下减。

（c＞0，将2=的图像向下移=向上移动，c＜0将2y axy ax动＝3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。

Array 4. ()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方能够得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选择的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式（又称为对称式）：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（又称为两点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都能够化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才能够用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式能够互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（三点式）；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式（对称式）；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式（两点）；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=（即. 二次函数与x 轴两个交点的距离）② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 十、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少注：在实际应用中凡是需要求最大，最小（或极值）问题一般都要考虑用二次函数的最大值或最小值二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，相关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，假如函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）xA B C D 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，相关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。