不等关系与大小比较共67页

题型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 某工厂生产甲、乙两种产品，已知 生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t、B种矿 石 5 t、煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石 4 t、B种矿石4 t、煤9 t．工厂现有A种矿石 300 t、B种矿石200 t、煤360 t，写出满足
上述所有不等关系的不等式(组)．
【解】 设工厂可以生产甲、乙两种产品分 别为x t、y t. 由题意知，有如下不等关系： (1)消耗A种矿石总量不超过300 t； (2)消耗B种矿石总量不超过200 t； (3)煤的耗量不超过360 t； (4)甲、乙两种产品数量均为非负数．
10x＋4y≤300，
5x＋4y≤200，
所以列不等式组
→ 判断符号 【解】 x3－1－(2x2－2x) ＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)……2分
＝x2(x－1)－(x(x－1)x－122＋34.
8分
∵x＜1，
∴x－1＜0.
又∵x－122＋34＞0，
10 分
∴(x－1)x－122＋34＜0，
∴x3－1＜2x2－2x.
12 分
名师微博 这是本题得分点，也是难点. 【名师点评】比较两个代数式大小的步骤： (1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条 件判断差的符号； (4)作出结论．
4x＋9y≤360， x≥0，y≥0.
【名师点评】用不等式表示实际问题中的不 等关系时，应首先读懂题意，设出未知量， 寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量 表示出来，即得到不等式或不等式组，这是 应用不等式解决实际问题的最基本的一步.
题型二 比较两数(式)的大小

[训练 2] (1)设 x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． (2)若 a＞b＞0，试比较 a－b与 a－ b的大小．
解 (1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2 ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝(x－y)(－2xy)． ∵x＜y＜0，∴x－y＜0，－2xy＜0， ∴(x－y)(－2xy)＞0， 即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
2．通过作差法的应用，进一步提升逻辑推理的核
心素养．
课前 预习案 课堂 探究案 冲关 演练案
栏目索引
课前 预习案
一、不等关系与不等式
(1)用数学符号“＞”“≥”“＜”“≤”“≠”连接两个数或代数式，以表示它 们之间的不等关系．
(2)含有不等号的式子叫做不等式．
二、实数比较大小的依据
数轴上的两点A，B的位置关系与其对应的实数a，b的大小比较． (1)数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大． (2)数轴上点的位置与实数大小的关系
某矿山车队有4辆载重10 t的甲型卡车和7辆载重6 t的乙型卡车，有9名驾 驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6 次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解题流程： 第一步 由题目可获取以下主要信息： ①甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； ②车队每天至少要运360 t矿石； ③甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆． 第二步 用不等式表示上述不等关系； 第三步 书写过程养规范习惯．
[训练1] 一房地产公司有50套公寓出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部 租出去，欲增加月租金，但每增加50元，就会有一套公寓租不出去，已知租出去的 公寓每月需花100元的维修费．若将房租定为x元，怎样用不等式表示所获得的月收 入不低于50 000元？

又因为a≠2,所以(a-2)2>0,
而(b+1)2≥0,所以(a-2)2+(b+1)2>0,所以M>-5.故选A.
4.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水
就变甜了,试根据这个事Biblioteka 提炼一个不等式___________.
【解析】由题意 a 的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖
【例】已知a＞0,b＞0且a≠b,试比较aabb与abba的大小.
【审题指导】因为a＞0,b＞0,而且都是以幂的形式给出，
故可考虑利用作商法比较大小.
【规范解答】
aabb abba
aabbba
（ a ）ab , b
①当a＞b＞0时，a ＞1，a-b＞0,∴（ a ）ab＞1;
b
b
②当0＜a＜b时，
2.已知0<a< 1，且M= 1 1 , N= a b , 则M，N的大小
b
1a 1 b 1a 1 b
关系是( )
(A)M>N
(B)M<N
(C)M=N
(D)不能确定
【解析】选A.∵0<a< 1，∴1+a>0,1+b>0,1-ab>0,∴M-N=
b
1 1
a a

1 1
b b

方法二:由于|loga(1-x)|＞0，|loga(1+x)|＞0.
∴ loga 1 x =|log(1+x)(1-x)|
| loga (1 x) |
=-log(1+x)(1-x)=log(1+x) 1 .
1 x

(2)不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是 a<b或a=b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a=b中有 一个正确，则a≤b正确.
2.对实数比较大小的说明 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与 b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数 减法在数轴上的表示(如图所示)，可以看出a，b之间 具有以下性质：
知识点2 两数(式)比较大小 观察图形，回答下列问题：
问题1：“≥”和“≤”的含义分别是什么？ 问题2：比较两个实数大小的基本原理是什么？
【总结提升】 1.关于a≥b和a≤b的含义 (1)不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是 a>b或a=b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a=b中有 一个正确，则a≥b正确.
步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A.甲先到教室
B.乙先到教室
C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定
【失误案例】
【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是作差后变形不恰当导致无法 判断差的符号.实际上s(v1+v2)2-4sv1v2=s(v12+2v1v2+ v22-4v1v2)=s(v1-v2)2.
不等关系与比较大小
【知识提炼】 1.不等式的定义所含的两个要点 (1)不等符号_<_，__≤__，__>_，__≥__或_≠__. (2)所表示的关系是_不__等__关__系__.
2.比较两实数a，b大小的依据
a＞b a＜b a=b
它们的差a-b与0
知识点1 不等关系与不等式 观察如图所示内容，回答下列问题：
所示的广告牌的面积为ab，显然不等式表示为
(a2+b2)>ab. 1 答2案： >ab

• 4．已知a、b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b ＋ab2的大小． • 解析： a3＋b3－(a2b＋ab2) • ＝a2(a－b)－b2(a－b) • ＝(a－b)(a2－b2) • ＝(a－b)2(a＋b) • ∵a＞0，b＞0且a≠b • ∴(a－b)2＞0，a＋b＞0 • ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0 • 即a3＋b3＞a2b＋ab2
符号表 示
• 由题目可获取以下主要信息： • (1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高之 和用P(厘米)表示； • (2)题目要求用不等式表示不等关系． • 解答本题可先理解题目所提供的不等关 系，再用不等式表示．
• [ 解题过程 ] 身高在 1.1 ～ 1.5 米之间可表示为 1.1≤h≤1.5. • 身高超过1.5米可表示为h＞1.5， • 身高不足1.1米可表示为0＜h＜1.1， • 物体长、宽、高之和不超过 160 厘米可表示为 P≤160. • 答 案 ： 1.1≤h≤1.5 h ＞ 1.5 0 ＜ h ＜ 1.1 P≤160 • [题后感悟] 不等式是不等关系的符号表 示．在用不等式表示不等关系时应特别注意能 否取等号的问题，如本题中“超过”或“不足” 都不能取等号，而“不超过”则包含相等情况，
• 1．不等式中文字语言与数学符号之间的转换
大 小 大于等 小于等 至 至 不少 不多 ≤ ≤ ≤ ＞ ＜ ≥ ≥ ≥ 于 于 于 于 多 少 于 于 2.作差法比较两实数大小 作差法的依据 如果 a－b＞0 ，那么a＞b. 如果 a－b＜0 ，那么a＜b. 如果 a－b＝0 ，那么a＝b.
• • • • •
• 3．1 不等关系与不等式
• 第1课时
不等关系与比较大小
• 1.了解不等式(组)的实际背景． • 2.学会比较两个数大小的方法．

2．你能用数学符号表示下表中的不等关系吗？
文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 数学符号 文字语言 至多 至少 不少于 不多于 数学符号
>
≤
≥
＜
≥ ≤
≥ ≤
例题讲解
类型一 [例 1] 用不等式(组)表示不等关系 两种药片的有效成分如下表所示. 成分 药片 A(1 片) B(1 片) 阿司匹林 (mg) 2 1 小苏打 (mg) 5 7 可待因 (mg) 1 6
(2)符号表示 a－b>0⇔a > b； a－b＝0⇔a ＝ b； a－b<0⇔a < b.
概念理解
1．不等关系与不等式有何区别？
提示：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符 号“>”，“<”，“≠”，“≥”或“≤”表示；而不等式则是 用来表示不等关系的， 可用“a>b”， “a<b”， “a≠b”， “a≥b” 或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．
=|log(1+x)(1-x)|
∵0＜1-x2=(1-x)(1+x)＜1.
∴ 1 ＞1+x,且1+x＞1.
1 x
∴log(1+x) 1 ＞log(1+x)(1+x)=1.
1 x
∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)|.
随堂练习
1． 设 M＝x2， N＝x－1， 则 M 与 N 的大小关系为( A．M>N C．M<N B．M＝N D．与 x 有关 )
解析：∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1 1 3 12 3 ＝x －x＋4＋4＝(x－2) ＋4>0.
2
∴M>N.

栏目 导引
第三章
不等式
a ②当 a＝b 时， ＝ 1， a－ b＝ 0， b a a－ b ∴ ( ) ＝ 1，∴ aa bb＝ ab ba . b a ③当 a＜b 时 0＜ ＜ 1， a－ b＜ 0， b a a－ b ∴ ( ) ＞ 1，∴ aa bb＞ ab ba . b 综上， aa bb≥ ab ba.
栏目 导引
第三章
不等式
[错因与防范](1)根据题意设出卡车的辆数x、y后容易忽略x、 y的范围，特别是x∈N，y∈N. (2)解题的关键是正确进行文字语言与符号语言的转换． (3)注意各变量的变化范围，特别是x∈N，y∈N时．
(4)若问题中有几个变量,则选用几个字母分别表示变量即可 ,
解决这类有多个不等关系的问题时 ，要注意根据题设将所有 的不等式都找出来．
栏目 导引
第三章
不等式
[ 规范与警示 ]
(1)①处凑成两个完全平方式是解题的关键 ，
否则就会出现后面无法化简 ，对两式的差的符号就无法判断 或判断失误． (2)若在②处没能正确判断出(x－a)2＋(a－1)2＋2＞0，易出现
(x－a)2＋(a－1)2＋2≥0的失误，从而最后判断两式的大小会
出现x2－2ax≥2a－2a2－3的错误答案 ，这在考试中失分是非 常可惜的，此时最多得9分．
栏目 导引
第三章
不等式
[解]
设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆． x＋ y≤ 9， x＋ y≤ 9，
10 × 6 x ＋ 6 × 8 y ≥ 360 ， 5x＋4y≥30， 由题意得0≤ x≤ 4， 即 0≤ x≤ 4， 0≤ y≤ 7， 0≤ y≤ 7， x∈ N， y∈N， x∈N， y∈N.

谢谢！
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
不等关系与大小比较
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律பைடு நூலகம்制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒

分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根， 截得 600mm 的钢管 y 根. 根据题意，应有如下的不等关系： ⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm； ⑵截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍； ⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
500 x 600 y ≤ 4000 由以上不等关系，可得不等式组： 3x ≥ y x ≥ 0 y≥0
例1.用不等式（组）表示下列的不等关系:
(1) a与b的和是非负数; (2) 某立交桥对通过车辆 的高度h“限到4米”；
ab 0
h4
p 2.3％
(3) 酸奶中脂肪f的含量少于5.5％ ， f 5.5％ 蛋白质p的含量不少于2.3％
例 2: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，按照生产的要求， 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。应怎样截更好?
作差
变形
判断
结论
因式分解、配方、 通分等手段
例 3 比较(a＋3)(a－5)与(a＋ 2)(a－ 4)的大小． 作差 解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8)
变形
7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
这是一个二元一次不等式组的问题
那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过 ,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢? 这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发 , 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.

【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、
y辆，
40x 90y 1 000， 4x 9y 100，
则xy

5， 6，
即xy

5， 6，
x，y N*.
x，y N*.
表示不等关系的式子叫不等式.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
两个实数大小比较
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
两个实数大小比较方法
作差法
例：1.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大 小． 例 已知 a，b，m 都是正数,且 a b,求证: b m b .
3.商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元 销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价， 减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售 价每提高1元，销售量就可能相应减少10件.若 把提价后的商品的售价设为x元，怎样用不等式 表示每天的利润不低于300元？
分析：若提价后商品的售价为x元，则销售量减
少 x 10 ×10件，因此，每天的利润为(x1
8)[100-10(x-10)]元，则“每天的利润不低于
300元”可以表示为不等式(x-8)[100-10(x-
10)]≥300.
4.某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车， 计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别 为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据 需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆， 写出满足上述所有不等关系的不等式.