北师大高二数学必修五40分钟课时作业：3-1-20不等关系与比较大小

§23 基本不等式与最大(小)值时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知x ＞1，y ＞1，且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.142．如果直角形的周长为2，则它的最大面积是( ) A ．3＋2 2 B ．3－2 2 C ．3＋ 2 D ．3－ 23．已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3 D ．2434．已知x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 35．下列求最值过程中正确的是( ) A ．若0＜x ＜π，则y ＝sin x ＋2sin x≥2sin x ·2sin x＝2 2.所以y 的最小值是2 2B ．若0＜x ＜π，则y ＝sin x ＋2sin x ＝(sin x －2sin x )2＋22≥2 2.所以y 的最小值是2 2C ．若x ＞0，则y ＝2＋x ＋4x≥2＋2x ·4x＝6.所以y 的最小值是6 D ．若0＜x ＜1，则y ＝x (4－x )≤[x ＋4－x2]2＝4.所以y 的最大值为46．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．设x ∈R ＋，则y ＝log 2(x ＋1x＋6)的最小值为________．8．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 9．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立 ，则a 的取值范围是________．三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．已知0＜x ＜13，试求函数f (x )＝x (1－3x )的最大值．12 x ＋3x的值域．11.求f(x)＝已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，试求x ＋y 的最小值．一、选择题1．A ∵x ＞1，y ＞1，lg x ＞0，lg y ＞0，∴lg x lg y ≤(lg x ＋lg y 2)2，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立．2．B 2＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，∴ab ≤22＋2＝2－ 2.∴ab ≤(2－2)2＝6－4 2.S ＝12ab ≤3－2 2.3．B ∵a ＋b ＝2，∴3a＋3b≥23a·3b＝23a ＋b＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．4．C 由lg2x＋lg8y＝lg2，得lg2x ＋3y＝lg2.∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3yx ≥4.5．C A 、B 、D 中等号都取不到．A 中需满足sin x ＝2sin x，即sin x ＝2∉(0,1]；B 中由sin x ＝2sin x得sin x ＝2∉(0,1]；D 中由x ＝4－x 得x ＝2∉(0,1)． 6．B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x8，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80. 二、填空题7．3 因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时，等号成立)，所以y ＝log 2(x ＋1x＋6)≥log 2(2＋6)＝3，所以当x ＝1时，y 取得最小值3.8.233解析：∵xy ≤14(x ＋y )2，∴1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－14(x ＋y )2＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43，∴－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y ＝33时，x ＋y 取得最大值233.9．[15，＋∞)解析：若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立 ，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可．因为x ＞0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[15，＋∞)．三、解答题10．∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x ·(1－3x )≤13[3x ＋1－3x 2]2＝112.当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数f (x )取得最大值112.11．当x ＞0时，由基本不等式，得f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝236＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，等号成立．当x ＜0时，－x ＞0，所以－f (x )＝12－x ＋(－3x )≥212－x·－3x ＝12，即f (x )≤－12，当且仅当－3x ＝12－x，即x ＝－2时，等号成立．所以函数f (x )的值域为(－∞，－12]∪[12，＋∞)．12．解法一：∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·(1x ＋9y )＝10＋y x ＋9xy.∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9xy ≥2y x ·9xy＝6. 当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时等号成立． 又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12.即x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 解法二：由1x ＋9y＝1得y ＋9x ＝xy ，∴(x －1)(y －9)＝9.由已知得x ＞1，y ＞9， ∴x ＋y ＝10＋(x －1)＋(y －9)≥10＋2x －1y －9＝16当且仅当x －1＝y －9时等号成立．又∵1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 解法三：由1x ＋9y ＝1得x ＝yy －9.∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9. ∴x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y ＞9，∴y －9＞0. ∴y －9＋9y －9≥2y －9·9y －9＝6.当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时等号成立．此时x ＝4， ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作课时作业20 基本不等式时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b【答案】 A【解析】 由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】 C【解析】 xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q【答案】 B【解析】 ∵a >b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b2， ∴lg a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2 B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x ≥2【答案】 B【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2 D.ab <a <a ＋b2<b【答案】 B【解析】 ∵0<a <b ，∴a ·a <ab .∴a <ab .由基本不等式知ab <a ＋b2(a ≠b )，又∵0<a <b ，a ＋b <b ＋b ，∴a ＋b2<b . ∴a <ab <a ＋b2<b .6．下列选项中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba ≥2a b ×b a ＝2B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 【答案】 B【解析】 选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确； 选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确； 选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0， 则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确； 很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)【答案】 B【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.二、填空题(每小题5分，共20分)8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．【答案】 A ≥G【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________． 【答案】 (0，14]【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴ab 的最大值为14.10．已知0<α<π，则2sin α＋12sin α的取值范围是________． 【答案】 [2，＋∞)【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋12sin α≥22sin α×12sin α＝2，当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝12时，等号成立． ∴2sin α＋12sin α的最小值为2.11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的取值范围为________．【答案】 [8，＋∞)【解析】 由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ， 又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n 的最小值为8.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12.13．(15分)已知y ＝x ＋9x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小． 【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9－x ]≤－6(当且仅当x＝－3时取等号)，即y ≤－6，∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。

第三章 不等式 1.1 不等关系1.2 不等关系与不等式课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.把握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述假如a －b 是正数，那么a ____b ； 假如a －b 等于____，那么a ＝b ；假如a －b 是负数，那么a ____b ，反之也成立． (2)符号表示a －b >0⇔a ____b ； a －b ＝0⇔a ____b ； a －b <0⇔a ____b .2．常用的不等式的基本性质 (1)a >b ⇔b ____a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a ____c (传递性)； (3)a >b ⇒a ＋c ____b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac ____bc ；a >b ，c <0⇒ac ____bc ； (5)a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac ____bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n ____b n ； (8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a ____nb .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0 6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为___________________________． 8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．力气提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；其次步：变形，常接受配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分状况争辩) 最终得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不行想当然．1．1 不等关系1．2 不等关系与不等式 答案学问梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)> 作业设计1．C [对A ，若a>0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a>b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a.]3．C [对于A ，当a<0，b<0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a<0，b>0时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立；对于C ，∵a<b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.]4．C [∵1e <x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t>0，∴a>b. c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.]5．D [由a>|b|得－a<b<a ，∴a ＋b>0，且a －b>0.∴b －a<0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a ＋b)(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b)[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)>0，∴C 错．]6．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c ，∴ab>ac.] 7．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6. 8．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9.x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12.10．A>B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A>B.11．解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2) ∵a>b>0，∴a ＋b>0，a －b>0,2ab>0.∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b.方法二 作商法∵a>b>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0.∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝log x3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f(x)＝g(x)；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x＜1，或x＞43时，log x3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x＜43时，f(x)＜g(x)；当x＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x＜1，或x＞43时，f(x)＞g(x)．13．A[特殊值法．令a1＝14，a2＝34，b1＝14，b2＝34，则a1b1＋a2b2＝1016＝58，a1a2＋b1b2＝616＝38，a1b2＋a2b1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.]14．解∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取到等号．。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五课时作业17 不等关系与不等式时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知a ＋b>0，b<0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a>b>－b>－a B ．a>－b>－a>b C ．a>－b>b>－a D ．a>b>－a>－b【答案】 C【解析】 ∵a ＋b>0，b<0，∴a>－b>0.∴－a<0，b>－a.∴－a<b<0<－b<a.2．与a>b 等价的不等式是( ) A.1a <1b B ．|a|>|b| C.ab>1 D ．2a >2b【答案】 D【解析】 ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数，∴2a >2b .3．已知x>0，y>0，M ＝x ＋y 2，N ＝2xyx ＋y ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M>NB ．M ≥NC ．M ≤ND ．M<N【答案】 B【解析】 M －N ＝x ＋y 2－4xy 2x ＋y ＝x －y 22x ＋y .∵x>0，y>0，∴x ＋y>0.又(x －y)2≥0，∴M －N ≥0，即M ≥N.4．(2013·北京文)设a ，b ，c ∈R ，且a>b ，则( ) A ．ac>bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3【答案】 D【解析】 本题考查不等式性质，实数比较大小，若c ≤0，则A 错；若a>0，b<0，则B 错；若a ＝0，b ＝－1，则C 错，选D.5．若－1<α<β<1，则下面各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1 【答案】 A【解析】 由题意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此选A.6．不等式①x 2＋2>x ；②x 2＋y 2≥2(x ＋y －1)；③x 2＋1>x 中，恒成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 D【解析】 ①x 2＋2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋74>0；②x 2＋y 2－2(x ＋y －1)＝(x －1)2＋(y －1)2≥0；③x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋34>0，所以三个不等式都恒成立． 7．已知0<a<1，x ＝log a 2＋log a3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x>y>zB ．z>y>xC ．y>x>zD ．z>x>y【答案】 C【解析】 先将x ，y ，z 变成同底数的式子，再比较真数的大小，利用对数函数的单调性来分析．∵x ＝log a 2＋log a 3＝log a6，y ＝12log a 5＝log a 5，z ＝log a 21－log a 3＝log a 7，由0<a<1知，函数f(x)＝log a x 为减函数，∴y>x>z.8．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0；②a>b 与 a<b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．则其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 ①②正确，③错误．二、填空题(每小题5分，共20分)9．x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，x与y的大小关系是________．【答案】x<y【解析】x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0 ∴x＜y.10．一大学毕业生向两电脑公司求职推销，A公司允诺年薪25 000美元，外加销售额5%的提成，B公司允诺年薪20 000美元，外加销售额10%的提成，该推销员每年至少应完成________销售额才能使B 公司的工作更有利可图．【答案】100 000美元【解析】设销售额为x美元，得20 000＋0.1x≥25 000＋0.05x.解得x≥100 000.11．已知x≤1，f(x)＝3x3，g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．【答案】≤【解析】∵f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．∵x≤1，∴x－1≤0.又3x2＋1>0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0，∴f(x)≤g(x)．12．若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是________．【答案】(－3,3)【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0. 又1＜a<3， ∴－3<a －|b|<3.三、解答题(共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(12分)证明：若a>b>0，d<c<0，则a c <bd.【解析】 根据已知条件和不等式的结构，利用不等式的开方性质和同向可乘性即证．由a>b>0，得a>b ＞0.①由d<c<0，得0<－c<－d ，故－1c >－1d >0.②由①②可得：－a c >－b d ，即a c <bd .∴原命题得证．14．(12分)若a ≠－1，且a ∈R ，试比较11＋a 与1－a 的大小．【解析】 因为11＋a －(1－a)＝a 21＋a ，故(1)当a>－1且a ≠0时，11＋a >1－a ；(2)当a<－1时，11＋a <1－a ；(3)当a ＝0时，11＋a＝1－a.15．(16分)某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程．经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时，但是，除了有一辆翻斗车可以立即投入施工外，其余翻斗车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆翻斗车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆翻斗车．问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说出理由．【解析】 由20辆翻斗车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆翻斗车每小时的工作效率为1480，设从第一辆翻斗车投入施工算起，各车的工作时间为a 1，a 2，…，a 25小时，依题意，它们是组成公差d ＝－13(小时)的等差数列，且a n ≤24(n ＝1,2,3，…，25)，则有a 1480＋a 2480＋…＋a 25480≥1，即12(a 1＋a 25)·25≥480，化简可得2a 1－8≥1925， 解得a 1≥2315.由于2315<24，可见工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成．。

课时作业20 基本不等式时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b【答案】 A【解析】 由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】 C【解析】 xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q【答案】 B【解析】 ∵a >b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b2， ∴lg a ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2 B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x ≥2【答案】 B【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2 D.ab <a <a ＋b2<b【答案】 B【解析】 ∵0<a <b ，∴a ·a <ab .∴a <ab .由基本不等式知ab <a ＋b2(a ≠b )，又∵0<a <b ，a ＋b <b ＋b ，∴a ＋b2<b . ∴a <ab <a ＋b2<b .6．下列选项中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba ≥2a b ×b a ＝2B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a ∈R 时，a ＋9a ≥2a ×9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 【答案】 B【解析】 选项A 中，可能ba <0，所以A 不正确； 选项C 中，当a <0时，a ＋9a <0，所以C 不正确； 选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab >0， 则－ab －1ab ≥2，当且仅当－ab ＝－1ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确； 很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．[7，＋∞)【答案】 B【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.二、填空题(每小题5分，共20分)8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．【答案】 A ≥G【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________． 【答案】 (0，14]【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴ab 的最大值为14.10．已知0<α<π，则2sin α＋12sin α的取值范围是________． 【答案】 [2，＋∞)【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋12sin α≥22sin α×12sin α＝2，当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝12时，等号成立． ∴2sin α＋12sin α的最小值为2.11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的取值范围为________．【答案】 [8，＋∞)【解析】 由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ， 又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n 的最小值为8.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12.13．(15分)已知y ＝x ＋9x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小． 【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9－x ]≤－6(当且仅当x＝－3时取等号)，即y ≤－6，∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。

§20 一元二次不等式时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．不等式x 2－2x －3>0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－1} B ．{x |x >1或x <－3} C ．{x |－1<x <3} D ．{x |－3<x <1}2．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．2x 2－3x ＋2＞0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2＜0 D ．－2＋3x －2x 2＞03．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}，则M ∩N 为( ) A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7} B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7} C ．{x |x ≤－2或x ＞3} D ．{x |x ＜－2或x ≥3}4．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A. m <－2或m >2 B. －2<m <2 C. m ≠±2 D. 1<m <35．若t >2，则关于x 的不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A. {x |1t<x <t }B. {x |x >1t 或x <t }C. {x |x <1t或x >t } D. {x |t <x <1t}6．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2、3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．不等式x 2－x －2<0的解集是________．8．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1＜0}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则M ∩N ＝________. 9．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c ＝________. 三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)10．设A ＝{x |2x 2－41x ＋20<0，x ∈Z }，B ＝{x |x ≥a }，且A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．11.(1)求函数y＝－6x2－5x＋6的定义域．(2)若函数f(x)＝－4x2＋20x－23的定义域由不等式－x2－x＋12≥0的解集来确定，求函数f(x)的最大值和最小值．设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围．(2)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜－m＋5恒成立，求x的取值范围．一、选择题 1．A2．D A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x ＞－2＋22或x ＜－2－22}，用排除法得选D.3．A M ＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x ＜－2或x ＞3}，再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案．4．A ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值，∴Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2. 5．A ∵t >2，∴t >1t，∴(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0⇔1t<x <t .6．C 由已知得a (x ＋2)(x －3)>0，∵a <0，∴(x ＋2)(x －3)<0，∴－2<x <3. 二、填空题 7．{x |－1＜x ＜2}解析：原不等式可以变化为(x ＋1)(x －2)＜0，可知方程x 2－x －2＝0的解为－1和2，所以，原不等式解集为：{x |－1＜x ＜2}． 8．{x |－1＜x ＜4且x ≠13}解析：由－9x 2＋6x －1＜0，得9x 2－6x ＋1＞0.所以(3x －1)2＞0，解得x ≠13，即M ＝{x |x ∈R 且x ≠13}．由x 2－3x －4＜0，得(x －4)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜4，即N ＝{x |－1＜x ＜4}．所以M ∩N ＝{x |－1＜x ＜4且x ≠13}．9．－5解析：由题意知方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝3，∴由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－1＋3＝b5，x 1·x 2＝(－1)·3＝c5.∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.三、解答题10．∵A ＝{x |2x 2－41x ＋20<0，x ∈Z }＝{1,2,3，…，19}，A ∩B ＝∅，所以a >19，a 的取值范围是a >19.11．(1)[－32，23]；(2)由－x 2－x ＋12≥0⇒－4≤x ≤3，而函数f (x )＝－4(x 2－5x )－23＝－4[(x －52)2－254]－23＝－4(x －52)2＋2，∴当x ＝52时，f (x )max ＝2，当x ＝－4时，f (x )min ＝－167.12．(1)要求mx 2－mx －1＜0恒成立．当m ＝0时，显然恒成立；当m ≠0时，应有m ＜0，△＝m 2＋4m ＜0，解之得－4＜m ＜0.综合两种情况可得m 的取值范围为－4＜m ≤0.(2)将f (x )＜－m ＋5变换成关于m 的不等式：m (x 2－x ＋1)－6＜0.则命题等价于：m ∈[－2,2]时，g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6＜0恒成立．∵x 2－x ＋1＞0，∴g (m )在[－2,2]上单调递增．∴只要g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6＜0，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.这就是所求的x 的取值范围．。

4o分钟课时作业不等式不等关系、选择题：每小题5分，共30分.1.若a>b, c>d, 则下列不等式成立的是（）A. a+d>b+c B・ac>bdD・d—aVc—ba cC.~>~j c a答案：D2.已知a<0,—lVbVO,则有（）解析:— l<b<O=>b<b2<l6/VO2=ab>cib~>ci答案:D3.若一IV a<p<\,则下列不等式恒成立的是（）A. —2<«—0VOB. —2Va—0V — 1C. —lVa—0VOD. —1 —0V1解析：T — 1V0V1, /. — 1 <—0V1, —2<«—0V2, 又•:.\a—0VO，一2Va—#V0・答案：A4.（2012•厦门高二检测）设OVbGVl,则下列不等式成立的是（）A・ab<b2< 1 B・ logl Z?<logl a<02 2C・2b<2a<2 D・a1<ab<\解析：取b=g验证可得A, B, D不正确.答案：C5・已知实数兀，y满足一4Wx—yW —1，一lW4x—yW5,则9x~y的取值范围是（）A. [―7,26]B. [― 1，20]C. [4,15]D. [1，15]角军析：令m=x—y9 n = 4x—y,8 5则z=9x—y=~n—~m^[— 1,20].答案：BC・4 D・56.对下列不等式的推论中：®a>b=>c—a>c—b；②a>b-\rc^(a — c)2>b2；③a>b=>ac >bc； @a>b>c>O=>(a — c)b>(b—c)b；⑤a>b, b<0.其中正确命题的个数是()A. 2 B・ 3解析：•：a>b,—aV—b, c—°Vc —b、所以①不正确；由②可推出a~c>b但不能推出(« —c)2>Z?2；③中必须c>0才成立；④正确，因为a>b>c>0时，a—c〉b— c>0，b>0, (a —c)b>(b~c)b；⑤正确.答案：AC・4 D・5二、填空题：每小题5分，共15分・7.若a>b>0,则召----------- 一品WN + ).(填">”或“V”)\，a>b>0,・・・a">b">0, ・•・£>£即步V右.解析:答案：<8・若a>O>b> —a, cVdVO,则卜列命题：①ad>bc,②✓7 h^ + ~<0,③a — c>b~d,④a(d— c) >b(d— c)中能成立的是 .(把所有正确命题的序号都填上)解析：易知MVO, bc>0,所以①不正确；其他三个均正确.答案：②③④9-（2012•肇庆高二检测）实数Q,b, c, d满足下列三个条件: ①〃>c；®a+b=c+d；③o+〃Vb + c•则将Q, b, c, d 按从小到大的顺序排列起来是_____________解析：由a~d=c~b, d+Xb+c 相加得Q V C；又b~d=c-a>0,得b>d,又d〉c,故a<c<d<b.答案：a<c<d<b三、解答题：每小题15分，共45分.10. (2012-陕西高考改编)小王从甲地到乙地往返的时速分别 为。

一、选择题1．若M ＝(a ＋7)(a ＋5)，N ＝(a ＋6)2，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ＜ND ．M ≤N解析：∵M －N ＝(a ＋7)(a ＋5)－(a ＋6)2＝a 2＋12a ＋35－(a 2＋12a ＋36)＝－1＜0，∴M ＜N .答案：C2．(2012·临沂高二检测)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2＜bc 2B ．a 2＞ab ＞b 2 [] C.1a ＜1b D.b a ＞a b解析：c ＝0时，ac 2＝bc 2∴A 错．a ＜b ＜0⇒1a ＞1b ，∴C 错．∵a ＜b ＜0，∴a b ＞1,0＜b a ＜1.∴D 错．只有B 正确．答案：B3．(2011·中山高二检测)若a ，b 是任意实数，且a ＞b 则( )A ．a 2＞b 2B.b a ＜1 C ．lg(a －b )＞0D ．(12)a ＜ (12)b 解析：∵a 、b 的符号不定，∴A 、B 均不正确．当0＜a －b ＜1时，lg(a －b )＜0，C 不正确；由指数函数的单调性知D 正确．答案：D4．若0＜a ＜1，c ＞1，则ac ＋1与a ＋c 的大小关系为( )A ．ac ＋1＜a ＋cB ．ac ＋1＞a ＋cC ．ac ＋1＝a ＋cD ．不能确定解析：(ac ＋1)－(a ＋c )＝ac －a ＋1－c ＝a (c －1)－(c －1)＝(a －1)(c －1)，∵0＜a ＜1， c ＞1，∴a －1＜0，c －1＞0，∴(a －1)(c －1)＜0.即ac ＋1＜a ＋c .答案：A二、填空题5．一个两位数，其中个位数字为a ，十位数字为b ，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．解析：这个两位数可表示为10b ＋a ，∴10b ＋a ＞50.答案：a ＋10b ＞506．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，则α－β2的取值范围是________． 解析：∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2.∴0＜－β2＜π4. 又∵0＜α＜π2∴0＜α－β2＜3π4. 答案：(0，3π4) 三、解答题7．已知a ，b 均为正数，n ∈N ＋，比较(a ＋b )(a n ＋b n )与2(a n ＋1＋b n ＋1)的大小．解：(a ＋b )(a n ＋b n )－2(a n ＋1＋b n ＋1)＝a n ＋1＋ab n ＋a n b ＋b n ＋1－2a n ＋1－2b n ＋1＝ab n ＋a n b －a n ＋1－b n ＋1＝a (b n －a n )＋b (a n －b n )＝(a －b )(b n －a n )，∵a ，b 均为正数，n ≥1，于是，(1)当a ＞b ＞0时，(a －b )(b n －a n )＜0；(2)当b ＞a ＞0时，(a －b )(b n －a n )＜0；[](3)当a ＝b ＞0时，a －b ＝0，∴(a －b )(b n －a n )＝0.综上所述，(a ＋b )(a n ＋b n )－2(a n ＋1＋b n ＋1)≤0，即(a ＋b )(a n ＋b n )≤2(a n ＋1＋b n ＋1)．8．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资500万元；方案B 为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n 年之后，方案B 的投入不少于方案A 的投入”．解：依题意，方案B 逐年的投入依次组成等差数列a 1，a 2，…，a n ，其中a 1＝5，公差d ＝10，则经n 年后方案B 的投入为S n ＝5n ＋n (n －1)2×10，所以，经n 年之后，方案B 的投入不少于方案A 的投入，用不等式表示为n(n－1)5n＋2×10≥500.。