一、根据方程的性质解方程
1、等式的性质一：等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立
2、等式的性质二：等式两边同时乘或者除以同一个不为0的数，等式仍然成立
二、根据加、减、乘、除各个数之间的关系解方程
①一个加数=和- 另一个加数
②被减数=减数+ 差③减数=被减数- 差
④一个乘数=积÷另一个乘数
⑤被除数=除数x商⑥除数=被除数÷商
三、解有分数的方程步骤
1、去括号：如果没有括号，进入第二步骤
2、通分：首先找两个分数的分母的最小公倍数，然后运用等式的性质一，使两个分数的分母都为最小公倍数，然后按照同分母分数相加减的运算法则进行计算。
3、约分，写出解：最终的结果要约分成最简分数，
同时未知数放在“=”左边，数值（即解）放右边；如x=6
4、验算：将原方程中的未知数换成数，检查等号两边是否相等！
基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 例题：.解方程：（1）（2） （3）关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。 2、一元二次方程 （1）一般形式： （2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法、十字相乘法求根公式 、解下列方程： （1）x2－2x＝0；（2）45－x2＝0； （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0. （5）（t－2）（t+1）=0；（6）x2＋8x－2＝0 (7 )2x2－6x－3＝0；（8）3（x－5）2＝2（5－x）（3）判别式△＝b2－4ac的三种情况与根的关系 当时有两个不相等的实数根， 当时有两个相等的实数根 当时没有实数根。 当△≥0时有两个实数根 1、解下列方程： （1）；（2）；（3） 2、解下列方程： （1）；（2） 3．若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足 ( ) A.k＞1 B.k≥1 C.k＝1 D.k＜1 4.关于的一元二次方程根的情况是（） （A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根 （C）没有实数根（D）根的情况无法判定 5.已知关于x的方程：有两个相等的实数根，求p的值。
解分数方程 方程:含有未知数的等式叫方程。 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程:求方程解的过程叫做解方程。 解方程的依据:1、等式的性质 （1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个数，等式仍然成立； 2、加减乘除法的变形 加法:加数1 + 加数2 = 和加数1 = 和—加数2 加数2 = 和—加数1 减法:被减数—减数 = 差被减数 = 差 + 减数 减数 =被减数—差乘法:乘数1 ×乘数2 = 积乘数1 = 积÷乘数2 乘数2 = 积÷乘数1 除法:被除数÷除数= 商被除数= 商×除数 除数= 被除数÷商 解方程的步骤:1、去括号。（没有括号时，先算乘、除，再算加、减） 2、去分母。 3、移项。 4、合并同类项。 5、系数化为1。 1、去括号（先去小括号，再去大括号）注意乘法分配律的应用加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：（a+b）×c=a×c＋b×c 减法的性质：a－b－c=a－(b＋c) 除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)
（注意:去括号时，括号前面是减号的，去掉括号，括号里的每一项 要变号，也就是括号里的加号要变减号，减号要变成加号。这是运用 了减法的性质） 例如： 30x-10(10-x)=100 解：30x-(10×10-10×x )=100——（乘法分配律） 30x-(100-10x)=100 30x-100+10x=100——（去括号，括号前是减 号，去掉括号，括号里的每一项要变号，加号变减号，减号变加号） 40x-100=100——（合并同类项） 40x=100+100——（移项，变号） 40x=200——（合并同类项） X=5——（系数化为1） 2、去分母:找分母的最小公倍数，等式两边各项都要乘以分母最小公 倍数（去分母的目的是，把分数方程化成整数方程） 例如：12235-+=-x x 3、移项:“带着符号搬家”从等式左边移到等式的右边，加号变减号， 减号变加号。（ 移项的目的是，把未知项移到和自然数分别放在等式 的两边） （加号一边省略不写例：2X-3=11 其中2X 前面的加号就省略了，3 前面是减号，移到等式右边要变成加号） 例如：4x-10=10 解：4x=10+10——（-10从等式左边移到等式右边变成+10） 4x=20
小学五年级数学上册简易方程知识点归纳总结 1、小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。 如：1.5χ表示χ的1.5倍是多少或1.5个χ的和的简便运算。 2、?在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质） 3、在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质） 4.乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 5、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。） 6、（P46）a×a可以写作a·a或a2，a2读作a的平方或a的二次方。??2a表示a+a 7、（P54）方程：含有未知数的等式称为方程。（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。） 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 （方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、（P55、56）解方程原理：天平平衡。 等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。9、加、减、乘、除运算数量关系式： 加法：和=加数+加数??一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数??被减数=差+减数??减数=被减数-差 乘法：积=因数×因数?一个因数=积÷另一个因数 除法：商=被除数÷除数?被除数=商×除数?除数=被除数÷商 10、解方程的方法： 方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程； 方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。 11、常用数量关系式： 路程＝(速度)×(时间)??速度＝(路程)÷(时间)时间＝(路程)÷(速度) 总价＝(单价)×(数量)??单价＝(总价)÷(数量)?数量＝(总价)÷(单价) 总产量＝(单产量)×(数量)单产量＝(总产量)÷(数量)数量＝(总产量)÷(单价) 大数－小数=相差数大数－相差数=小数小数＋相差数=大数 一倍量×倍数＝几倍量几倍量÷倍数＝一倍量?几倍量÷一倍量＝倍数 工作总量＝(工作效率)×(工作时间)工作效率＝(工作总量)÷(工作时间)
初中方程的知识总结 方程的定义：是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。即：还有未知数的等式叫做方程 例如：2x+3=0 初中方程有：一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程等等 一元一次方程：ax+b=0 一元二次方程:ax+by+c=0 二元一次方程:ax２+by+c=0 一般解法 1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）； 2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号） 3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号 4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式； 5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，
得到方程的解x=b/a. 一元二次方程的解法步骤： 一般解法 1.配方法 （可解全部一元二次方程） 如：解方程：x^2+2x－3=0 解：把常数项移项得：x^2+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 因式分解得：（x+1)^2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当 2.公式法 （可解全部一元二次方程） 首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中） 2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2
知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1.
解分数系数方程 教学目的:通过将分数系数方程转化为整数系数方程来实现分数 系数方程的求解(化归思想),然后学会将这种方法运用到应用题中. 教学重点:熟悉整系数方程的解方程基本步骤和注意事项,和分 数系数方程转化成整系数方程的方法(“去”分母的过程)注意: 这里的去加引号就是因为不是直接去掉,而是用约分的方法把它 约去. 教学难点:学生们对去分母不是很理解,过程不是很熟悉,对 “项”的概念,对“合并同类项”的了解不是很深刻. 基础复习过程: T 同学们,咱们已经学过方程了,那什么是方程呀? S 等式,有未知数 T 很好,首先方程是个什么?对,是个等式,然后呢?不是一般的 等式,里面含有什么?含有什么? 对,有未知数.所以方程就是 含有未知数的等式. T 老师板书一个方程 6x+3=15那方程既然给出来了,我们是 不是通过一定顺序来求解这个未知数呀?很好.那大家回忆一 下,你是怎么求解方程的呢? 来，这位同学你说一下，拿到这个方程，你第一步做什么了？ S 把3挪过去 T 很好，然后呢？ S 然后6x=15-3 6x=12 x=2 T 非常棒，一个小印章，这位同学给我们展示了咱们求解方程 的一般方法的中几个很重要的步骤。大家看黑板，老师总结 一下，首先他做什么了呀？对，移项，把等号左边的留下了都
是含有未知数的式子，右边呢，都是不含有未知数的式子。对不对？好，有谁知道咱们能这样做的根据是什么？ S …… T 是不是等式的其中一条性质呀？等式……两边……同时加上或者减去同一个数或者同一个式子，等式仍然成立。对不对？对不对？ S 对，是 T 很好，那第二步呢，他做什么了？是不是把未知数x的系数化成1了？他怎么化成1的？对，把前面的系数除过去！这又是根据什么？想想等式的另外一个性质 S 同时除以或者乘以一个相同的数或者式子，等式仍然 成立 T 非常棒，你们都很厉害。做到这里，做完了么？宝贝们？是不是咱们还得把结果带进原方程中进行下检验啊？确保我们忙活半天是正确的啊？很好 T 刚才老师写的方程形式比较简单，相信大家一眼就能 看出来结果。如果遇到复杂的整系数方程，我们的解答 步骤是： 首先，移项，目的是什么！是让等号一边都是含有未知数的项，另外一边呢？都是不含有未知数的 然后呢，开始合并同类项。有的同学可能对这个概念不是很明白，老师简单的说一下。什么是同类？咱们俩是不是同类？是吧，都是人。你说篮球和足球是不是同类？是吧，都是球。方程里的同类项就是指含有的未知数一样，只是系数有所区别的项。比如4x和9x 你们说是不是同类？ 是吧都含有x，那4x和4y是不是同类？不是吧，因为 他们压根儿含有的什么？ S 未知数 T 不同是不是？一个是含有未知数x的项，一个是含有未知数y的项。然后那些不含有未知数的项，我们叫他们
解方程知识点归纳总结 归纳 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
小学五年级数学上册简易方程知识点归纳总结 1、小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。 如：1.5χ表示χ的1.5倍是多少或1.5个χ的和的简便运算。 2、?在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质） 3、在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质） 4.乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 5、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。） 6、（P46）a×a可以写作a·a或a2，a2读作a的平方或a的二次方。??2a表示a+a 7、（P54）方程：含有未知数的等式称为方程。（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。） 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 （方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、（P55、56）解方程原理：天平平衡。 等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。 9、加、减、乘、除运算数量关系式： 加法：和=加数+加数??一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数??被减数=差+减数??减数=被减数-差 乘法：积=因数×因数?一个因数=积÷另一个因数 除法：商=被除数÷除数?被除数=商×除数?除数=被除数÷商 10、解方程的方法： 方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程； 方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。 11、常用数量关系式： 路程＝(速度)×(时间)??速度＝(路程)÷(时间)时间＝(路程)÷(速度) 总价＝(单价)×(数量)??单价＝(总价)÷(数量)?数量＝(总价)÷(单价) 总产量＝(单产量)×(数量)单产量＝(总产量)÷(数量)数量＝(总产量)÷(单价) 大数－小数=相差数大数－相差数=小数小数＋相差数=大数 一倍量×倍数＝几倍量几倍量÷倍数＝一倍量?几倍量÷一倍量＝倍数
简易方程单元的知识点梳理 一、 本单元知识点 （一） 用字母表示数 优点:简单、明了 1、 用字母表示数的一些简写规则：在含有字母的乘法式子中 （1） 乘号省略、数字在字母前面。 （2） 1与字母相乘时1不写。 （3） 相同的数相乘写成a 2 。 2、 用字母表示运算定律 加法：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法：交换律：ab=ba 结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：(a+b)c=ac+bc 减法性质：a-b-c=a-（b+c ） 3、 用字母表示图形的面积和周长公式 S 长=ab C 长=2（a+b ） S 正 =a 2 C 正=4 a S 平行四边形=ah S 三角形=ah ÷2 S 梯=（a+b ）h ÷2 4、 用含有字母的式子表示数量关系 （1）代入求值 （2）利用字母公式计算 [利用字母公式计算后结果不写单位名称] （二）、简易方程 1、概念：方程 等式与方程的区别
等式性质： 方程两边同时加（或减）一个相同的数，等式成立。 方程两边同时乘一个相同的数，等式成立。 方程两边同时除以一个相同的数（0除外），等式成立 方程的解解方程 2、解方程：注意方程的正确格式：等号对齐，千万写“解”，并写对位置。 x在减数和除数的位置上时，学生问题大，可以用四则运算间的 关系解方程，也可以先转化成加法、乘法方程再解。 无论题目要求是否验算，学生一定养成验算的习惯； 3、找等量关系式 （1）抓住表示关系的句子找等量关系 （2）根据常见的数量关系找等量关系 （3）根据常用的计算公式找等量关系 （4）抓住“不变量”确定等量关系 4、列方程解简单应用题 步骤：（1）弄清题意，确定未知数，并用x表示。 （2）找出问题中数量相等的数量关系。 (3)列方程，解方程。 (4)检验，写出答案 （三）稍复杂方程 1、倍带量的题目 2、列方程解三步应用题 3、含有两个未知数的应用题
初中解方程全解知识点
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知识点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 （２)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号,再去中括号，最后去大括号 （1)不要漏乘括号里的项 (2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边， 其他项都移到方程的另一边（记住移项 要变号) (１)移项要变号 (２)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax ＝b (ａ≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解b x a = . 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： （1）解方程时,表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行,也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行． (3）当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆. 要点二、二元一次方程组的解法 １.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x （或y )的代数式表示 y （或x ),即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=(或b ay x +=)代入另一个方程（不能代入原变形方程)中,消去y （或 x ),得到一个关于x (或y )的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值; ④把x (或y )的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x )的值; ⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解. （２)用加减消元法解二元一次方程组的一般过程: ①根据“等式的两边都乘以（或除以)同一个不等于０的数,等式仍然成立”的性质,将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减）,消去一个未知数，得到一个一元一次方程; 转化 消元一元一次方程 二元一次方程组
第一讲行程问题 1行程问题中的三个基本量及其关系路程=速度×时间 2基本类型 ①相遇问题+慢行距=原距 ②追及问题快行距-慢行距=原距 ③航行问题=静水（风）速度+水流（风）速度 逆水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度 顺速–逆速 = 2水速顺速 + 逆速 = 2船速 【经典例题】例1480公里90公里140公里。 11小时 2600公里 3600公里 4 51小时后两车同向而行 1.两车站相距275km50km/一小时的速度从甲站开往乙站1h时后75km的速度从乙站 开往甲站时后与快车相遇 2.一辆汽车以每小时40km的速度由甲地开往乙地3h后平均速度被迫每小时减少10km 乙地比预计的时间晚了45min 3.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行5千米/小时3千米/小时 已知狗的速度为15千米/小时 4.已知甲、乙两地相距120千米1千米A地出发2小时后B地出发 甲相向而行经过10小时后相遇 5. 一架飞机飞行于甲、乙两城之间5小时30分钟6小时24公里 6. 一队学生去军事训练18米/分的速度从队头至队尾又返回14米/分。问320米25分钟少米 7 一架飞机在两个城市之间飞行24千米/小时要2小时50分3小时 8. 一轮船在甲、乙两码头之间航行4小时5小时2千米/时 乙两码头之间的距离 盈利问题 1.一件商品的售价是30元， （1）如果卖出后盈利25％，那么这件商品的进价是多少？ （2）若卖出后亏损25％，那么进价又是多少？ 2.某商品标价110元，八折出售后，仍获利10%, 则该商品的进价为多少元？ 3.某商场把进价为80元的商品按标价的八折出售，仍获利10%, 则该商品的标价为多少元？ 4.某商场把进价为80元的商品按标价110元折价出售后，仍获利10%, 则商品打了几折？ 5. 某大型服装商场内，一件新款服装的进价是400元。为了吸引顾客，提高销售量，老板向员工征集销售方案，要求保证50%的利润率。员工甲的方案是：把这件服装按进价提高1倍进行标价，然后打出“新款8折优惠”的广告。如果你是这家大商场的老板，你觉得甲的方案符合你的利润要求吗？
解方程知识点归纳总结 This manuscript was revised by the office on December 22, 2012
小学五年级数学上册简易方程知识点归纳总结 1、小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。 如：1.5χ表示χ的1.5倍是多少或1.5个χ的和的简便运算。 2、在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质） 3、在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质） 4. 乘法分配律：a×(b ± c) = a×b ± a×c 5、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。） 6、（P46）a×a可以写作a·a或a2 ，a2读作a的平方或a的二次方。 2a表示a+a 7、（P54）方程：含有未知数的等式称为方程。（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。） 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 （方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、（P55、56）解方程原理：天平平衡。 等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。 9、加、减、乘、除运算数量关系式：
加法：和=加数+加数一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数被减数=差+减数? 减数=被减数-差 乘法：积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数 除法：商=被除数÷除数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商 10、解方程的方法： 方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程； 方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。 11、常用数量关系式： 路程＝(速度)×(时间) 速度＝(路程)÷(时间) 时间＝(路程)÷(速度) 总价＝(单价)×(数量) 单价＝(总价)÷(数量) 数量＝(总价)÷(单价) 总产量＝(单产量)×(数量) 单产量＝(总产量)÷(数量) 数量＝(总产量)÷(单价 ) 大数－小数=相差数大数－相差数=小数小数＋相差数=大数 一倍量×倍数＝几倍量几倍量÷倍数＝一倍量 几倍量÷一倍量＝倍数 工作总量＝(工作效率)×(工作时间) 工作效率＝(工作总量)÷(工作时间)
解一元一次方程的练习题 解下列方程：（每题 4 分） （ 1） 3（ x-2） =2-5(x-2)(2) 2(x+3) －5(1－x)=3(x －1) (3)3( x 1) 2( x 2) 2x 3 2x－ 1 x+2 (5)3 = 2 +1 (7) x 8 x 3 (9 ) 3 x 0.4 1 x 0.3 4 2 (11) 3 y 12 2 5 y 7 4 3 1 m 3 3m (13) 1 2 4 (4) 3(x2) 1 x (2 x1) (6) 1 x 1 1 3 2 (8) 3 1.2x 4 x 12 5 (10) 3x 1 4x 2 1 2 5 57 (12) 6 x x 1 3 2 (14) y 1 y 2 y 2 2 5
(15) x 1 x x 2 1 (16) 3 x x 8 1 3 6 2 3 (17) 1 (x-3)=2- 1 (x-3) (18) x 2 x 1 3 2 2 0.2 0.5 (19) x 1 x 3 (20) x 2 2x 3 0.2 3 4 1 0.01 6 （ 21）x 1 x 2 4 x (22) 3 4 x 1 2 2x 3 6 2 2 3 3 1 1 2 2 3 (23) 2 [ x 2 ( x 1)] 3 (x 1) （24）7(3y+7)=2 - 2 y (25)设 k 为整数，方程 kx=4-x 的解 x 为自然数，求 k 的值。
练习二 1、12-3(9-x)=5(x-4)-7(7-x); 2、6x-17=13 3、9-10x=10-9x 4、2(x －1)=4 ． 5、13x-26=13 6、75－5x=70 7、2（ 6x-2 ）=88、25x（12-6）=3009、24x+12=132 10、56=12x+811、2x+4=3012、12x=11x－79 13、13x－ 12（x+2）=014、67－12x=715、（x-1）－（3x+2）= -（x-1） 16、18x- 16x+18×1+50=70 17 、14×（60-x ）×2=20x18、4x+9(x+2)=200 19、100（x+1） +10x+（3x-2 ）+100（3x-2 ）+10x+（x+1） =1171
解分数方程 方程：含有未知数的等式叫方程。 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程：求方程解的过程叫做解方程。 解方程的依据: 1、等式的性质 （1）等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立; （2)等式两边同时乘以或除以同一个数,等式仍然成立; 2、加减乘除法的变形 加法:加数1 + 加数2 ＝和加数１ = 和—加数2 加数2 ＝和—加数1 减法:被减数—减数 = 差被减数＝差＋减数减数 =被减数—差 乘法:乘数1 ×乘数2 = 积乘数１= 积÷乘数2 乘数2 = 积÷乘数1 除法：被除数÷除数= 商被除数= 商×除数除数=被除数÷商 解方程的步骤: 去括号。(没有括号时,先算乘、除,再算加、减） 去分母。 移项。 合并同类项。 系数化为1。 1．去括号(先去小括号,再去大括号）注意乘法分配律的应用 加法交换律:ａ+b＝b+ａ加法结合律:(a+ｂ)+c=ａ+(ｂ+c） 乘法交换律：ａ×ｂ＝b×ａ乘法结合律:(a×ｂ)×c＝ａ×（b×c) 乘法分配律：(a+b）×c=a×c＋b×c 减法的性质:ａ－b－c=a－(b+c) 除法的性质:a÷ｂ÷c=a÷(ｂ×c) (注意:去括号时，括号前面是减号的，去掉括号，括号里的每一项要变号,也就是括号里的加号要变减号，减号要变成加号。这是运用了减法的性质)
例如： 30ｘ-1０(10-x ）＝1００ 解：30x-(10×１0-１0×x )=100——(乘法分配律） ３0x －(10０－1０x ）=1０0 30x-１０0＋10ｘ=1００——(去括号,括号前是减号,去掉括 号, 括号里的 每一项要变号，加号变减号,减号变加号 ) 40ｘ－10０=１0０——(合并同类项) 4０x=100+１0０——（移项,变号） 40x=2００——(合并同类项) X=５——(系数化为1) 2、去分母:找分母的最小公倍数，等式两边各项都要乘以分母最小公倍数(去分母的目的是，把分数方程化成整数方程） ３、移项:“带着符号搬家”从等式左边移到等式的右边，加号变减号,减号变加号。（移项的目的是,把未知项移到和自然数分别放在等 式的两边) （加号一边省略不写例:2Ｘ－3=１１ 其中2Ｘ前面的加号就省略了，3前面是减号，移到等式右边要变成加号) 例如:4x －10=１0 解： 4ｘ=10+10——（-１0从等式左边移到等式右边变成＋１0) ４ｘ＝20 X=20÷4 X=5 4、合并同类项:含有未知数的各个项相加减,自然数相加减 (也可以先把等式两边能够计算的先算出来，再移项） 例如:6Ｘ + ７ ＋ 5X ＝ １8 解:1１X ＋ 7 ＝ 18 ——(先把含有未知数的量相加减） 11Ｘ = １8- 7 ——(把＋７移到等式右边变成 -7） １1 X = 11 X = 1 ——（系数化为1)
一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程． 一元一次方程的标准形式是：ax＋b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）． 一元一次方程的最简形式是：ax=b(a≠0)． 不定方程:一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。 代数方程: 代数方程通常指整式方程。有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。 等式: 用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式; 两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。 方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。 解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； 2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； 3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边； 4．合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式； 5．系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。 矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程． 知识点2： 二元一次方程 有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程． 二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组． 解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．二元一次方程组的两种解法： （1）代入消元法，简称代入法． ①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示． ②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值． ④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解． 2）加减消元法，简称加减法． ①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等． ②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值． ④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解． 二元一次方程组解的情况：
解方程知识点归纳总 结
精品文档 小学五年级数学上册简易方程知识点归纳总结 1、小数乘整数的意义——求几个相同加数的和的简便运算。 如：3χ表示χ的3倍是多少或3个χ的和的简便运算。 如：1.5χ表示χ的1.5倍是多少或1.5个χ的和的简便运算。 2、在乘法里：一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。（这叫做积不变性质） 3、在除法里：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商的大小不变。（这叫做商不变性质） 4. 乘法分配律： a×(b ± c) = a×b ± a×c 5、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以简记“·”，也可以省略不写。（注意：加号、减号、除号以及数与数之间的乘号不能省略。字母与数字相乘简写时，数字写在字母前面。） 6、（P46）a×a可以写作a·a或a2，a2读作a的平方或a的二次方。 2a表示 a+a 7、（P54）方程：含有未知数的等式称为方程。（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。） 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 求方程的解的过程叫做解方程。 （方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。） 8、（P55、56）解方程原理：天平平衡。 等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。 9、加、减、乘、除运算数量关系式： 加法：和=加数+加数一个加数=和-两一个加数 减法：差=被减数-减数被减数=差+减数减数=被减数-差 乘法：积=因数×因数一个因数=积÷另一个因数 除法：商=被除数÷除数被除数=商×除数除数=被除数÷商 10、解方程的方法： 方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程； 方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。 11、常用数量关系式： 路程＝(速度)×(时间) 速度＝(路程)÷(时间) 时间＝(路程)÷(速度) 总价＝(单价)×(数量) 单价＝(总价)÷(数量) 数量＝(总价)÷(单价) 总产量＝(单产量)×(数量) 单产量＝(总产量)÷(数量) 数量＝(总产量)÷(单价 ) 大数－小数=相差数大数－相差数=小数小数＋相差数=大数 一倍量×倍数＝几倍量几倍量÷倍数＝一倍量几倍量÷一倍量＝倍数 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
知识点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边， 其他项都移到方程的另一边(记住移项 要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a = ． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示 y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值； ④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 转化 消元一元一次方程 二元一次方程组
小学六年级列方程解应用题专项复习 1 列方程解应用题的意义 ★正向思维，把未知量当已知量。 2、方法总结.列方程解应用题的步骤是： （1）审题：弄清题意，确定已知量、未知量及它们的关系； （2）设元：选择适当未知数，用字母表示； （3）列代数式：根据条件，用含所设未知数的代数式表示其他未知量； （4）列方程：利用列代数式时未用过的等量关系，列出方程； （5）解方程：正确运用等式的性质，求出方程的解； （6）检验并答题。 3列方程解应用题的方法 ★综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。 ★分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。 4列方程解应用题的范围 a一般应用题；b和倍、差倍问题；c几何形体的周长、面积、体积计算； d 分数、百分数应用题； e 比和比例应用题。 5.常见的一般应用题 一、以总量为等量关系建立方程 例题两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少小时？ 解法一：快车4小时行的+慢车4小时行的=总路程 解设：快车小时行X千米 4X+60×4=536 4X+240=536 4X=296 X=74 解法二： 解设：快车小时行X千米 (X+60)×4=536 X+60=536÷4 X=134一60 X=74 答：快车每小时行驶74千米。 练一练 ①降落伞以每秒10米的速度从18000米高空下落，与此同时有一热汽球从地面升起，20 分钟后伞球在空中相遇，热汽球每秒上升多少米？ ②甲、乙两个进水管往一个可装8吨水的池里注水，甲管每分钟注水400千克，要想在8 分
列方程解分数应用题（一） 1、一个人抄一篇稿件，第一次抄1500个字，第二次抄2000个字，还剩下 8 3没有抄，这篇稿件共有多少个字？ 2、某机器厂七月份上半月完成月计划的 52，下半月完成月计划的4 3 ，结果超额完成机器6台，原计划生产机器多少台？ 3、某筑路队修一条公路，第一天修了全长的 41，第二天修了余下的5 1，这时距中点6千米，这条公路长多少千米？ 4、步行者走完2千米及所余路程的一半后，还剩全程的3 1 又2千米，全程共有多少千米？ 5、某厂要运走一批化工原料，上午运了52吨，下午运了余下的8 3 ，这一天共运走这批原料的2 1，这批化工原料共有多少吨？ 6、一筐苹果，筐占苹果重量的 25 2 ，苹果卖掉48千克后，苹果的重量相当于筐重的 2 1 ，问原来苹果有几千克？ 7、一个班早晨到校时缺席人数是出席 人数的 6 1 ，后来一个同学因病请假了，这时缺席的人是出席人数的5 1 。问这个 班有多少名学生？ 8、商店运进一批香蕉，第一天卖出全 部的 92，第二天卖出剩下的7 1 ，第三天补进第二天剩下的2 1 ，这时还有香蕉 305千克，问原来有香蕉多少千克？
列方程解分数应用题（二） 1、五年一班有54名学生，女生人数的 52 等于男生人数的2 1，男女生各有多少人？ 2、五年级与六年级共有学生270人，五年级学生人数的 52 比六年级学生的4 1 多4人，这两个年级的学生相差多少人？ 3、饲养场有牛和羊980头，牛的头数比羊的 5 2 还多28头，问饲养场牛羊各多少头？ 4、两根钢筋共长18米，如果把第一根截去 5 1 ，把第二根接长0.9米，那么两根钢筋就一样长了，两根钢筋原来各长几米？ 5、一只布袋中装有黑、白、花三种球，黑球的 32与白球同样多，白球的3 2再加3只与花球一样多，黑球比花球多 32只。布袋中有多少只球？ 6、某厂共有职工152人，选出男职工的 11 1 和5名女职工去修理厂房，剩下的男女工人数相等，问这个厂男、女职工各多少人？ 7、两个仓库共有水泥84吨，如果从甲 仓库取出 5 1 放入乙仓库，那么甲仓库的水泥就比乙仓库的水泥多3 1 ，求两个仓 库原来各有水泥多少吨？ 8、一批货物重1000吨，由三个运输队运送到某地，第一队运了这批货物的 52 ，第三队运的是第一、二队运的3 1，三个队各运货物多少吨？
解分数方程 解方程的依据: 1、等式的性质 （1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个数，等式仍然成立； 2、加减乘除法的变形 加法:加数1 + 加数2 = 和加数1 = 和—加数2 加数2 = 和—加数1 减法:被减数—减数 = 差被减数 = 差 + 减数 减数 =被减数—差乘法:乘数1 ×乘数2 = 积乘数1 = 积÷乘数2 乘数2 = 积÷乘数1 除法:被除数÷除数= 商被除数= 商×除数 除数= 被除数÷商解方程的步骤:1、去括号。（没有括号时，先算乘、除，再算加、减） 2、去分母。 3、移项。 4、合并同类项。 5、系数化为1。 1、去括号（先去小括号，再去大括号）注意乘法分配律的应用加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：（a+b）×c=a×c＋b×c 减法的性质：a－b－c=a－(b＋c) 除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c) （注意:去括号时，括号前面是减号的，去掉括号，括号里的每一项要变号，也就是括号里的加号要变减号，减号要变成加号。这是运用了减法的性质） 例如：30x-10(10-x)=100 解：30x-(10×10-10×x)=100——（乘法分配律） 30x-(100-10x)=100 30x-100+10x=100——（去括号，括号前是减号，去掉括号，括号里的每一项要变号，加号变减号，减号变加号）
40x-100=100——（合并同类项） 40x=100+100——（移项，变号） 40x=200——（合并同类项） X=5——（系数化为1） 2、去分母:找分母的最小公倍数，等式两边各项都要乘以分母最小公 倍数（去分母的目的是，把分数方程化成整数方程） 例如：12235-+=-x x 3、移项:“带着符号搬家”从等式左边移到等式的右边，加号变减号， 减号变加号。（ 移项的目的是，把未知项移到和自然数分别放在等式 的两边） （加号一边省略不写例：2X-3=11 其中2X 前面的加号就省略了，3 前面是减号，移到等式右边要变成加号） 例如：4x-10=10 解：4x=10+10——（-10从等式左边移到等式右边变成+10） 4x=20 X=20÷4 X=5 4、合并同类项：含有未知数的各个项相加减，自然数相加减 （也可以先把等式两边能够计算的先算出来，再移项） 例如：6X + 7 + 5X = 18 解：11X + 7 = 18 ——（先把含有未知数的量相加减） 11X = 18- 7 ——（把+7移到等式右边变成 -7） 11 X = 11 X = 1 ——（系数化为1） 5、系数化为1（也就是解出未知数的值）