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第四章数字特征4.1 数学期望4.2 方差4.3 协方差与相关系数4.4 矩与协方差矩阵()()22()Var X E XE X =−⎡⎤⎣⎦证明:()Var X =()()222E X XE X EX ⎡⎤=−+⎣⎦()()222[()][]E XE EX X E EX =−+()()()()()222c E X E X E X E X E X ==−+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦代回()()E X E X c==为常数设)()(222c E cX E EX +−()()(),E cX cE X E c c ==⎡⎤⎣⎦()()222E XcE X c =−+()()22.E X E X =−⎡⎤⎣⎦()()()2222E X E X E X =−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()0Var X ≥()()22.E XE X ∴≥⎡⎤⎣⎦注：由知：()2E X EX ⎡⎤−⎣⎦()()22().Var X E XE X ∴=−⎡⎤⎣⎦（方差的简算公式）x y=1x= 0594.()()().E XY E X E Y =⋅随机变量X 与Y 相互独立，则(与数学期望对比来学习)n X X Y X ,,,,1⋯设为随机变量，c 为常数。
().0=c Var 性质1性质2 性质3,()()()2cov(,)X Y Var X Y Var X Var Y X Y ±=+±对于任意、有如果记:()()()EY Y EX X E Y X −−=),cov(的协方差与为称Y X Y X ),cov(().c c E =性质1 ()().E kX c kE X c +=+性质2(),,X Y E X Y EX EY∀+=+有性质3性质4()).()(Y Var X Var Y X Var +=+性质44.2.2 方差的性质随机变量X 与Y 相互独立,则()2+().Var kX c k Var X =().0=c Var 性质1()2+().Var kX c k Var X =性质2 证明:()Var c =0Ec c==()2E c Ec −()Var kX c +=证明:[]2()kX k E c c X E E +−−[]{}22()E k X E X =−2().k Var X =[]2()E c k kX X E c =+−−()2kX c kX E c E −=⎡⎤⎣⎦++[]2()E k X E k X =−证明:=+)(,Y X Var Y X 有和对于任意()(){}{}2E X EY X E Y =+⎡⎤⎡⎣−⎤⎦⎣⎦−()()()(){}222E X E X Y E Y X E X Y E Y =−+−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()222E X E X E Y E Y E X E X X E X =−+−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦),cov(2)()(Y X Y Var X Var ++=(同理可得到减法的公式)记:()()()()cov(,)X Y E X E X Y E Y ⎡⎤=−−⎣⎦，的协方差与为称Y X Y X ),cov(性质3),cov(2)()()(,Y X Y Var X Var Y X Var Y X ±+=±有和对于任意{}2([()])E E Y X X Y −++。
第34讲矩、协方差矩阵、多元正态分布的性质主题概述：1、矩2、多元随机变量的数字特征（数学期望与协方差矩阵）3、多元正态分布的概率密度4、多元正态分布的四条性质定义1: X 为一个随机变量,若 存在，则称之为X 的k 阶(原点)矩；若 存在,则称之为X 的k 阶中心矩.之前所提到的随机变量的期望和方差就是其1阶原点矩和2阶中心矩. (), 1,2,k E X k ={}[()], 1,2,k E X E X k -=定义2: X 与Y 为两个随机变量,若 存在，则称之为X 与Y 的k+l 阶混合(原点)矩；若存在, 则称之为X 与Y 的k+l 阶混合中心矩.之前所提到的随机变量的协方差就是其1+1阶混合中心矩.{},1,2,k l E X Y k l =, {}[()][()], ,1,2,k l E X E X Y E Y k l --=定义3: 设n 元随机变量 若其每 一分量的数学期望都存在,则称12(,,,), 1,Tn X X X X n =≥12()((),(),()), 1,Tn E X E X E X E X n =≥X 为n 元随机变量 的数学期望(向量).定义4: 设n 元随机变量若 12(,,,), 1,Tn X X X X n =≥1121212212()(,)(,)(,)()(,)()(,)(,)()n n n n n D X Cov X X Cov X X Cov X X D X Cov X X C Cov X Cov X X Cov X X D X ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭X 为n 元随机变量 的协方差矩阵. (,), ,1,2,i j Cov X X i j n =都存在, 则称即： (), (,), ,1,2,,.⨯===ij n n ij i j C c c Cov X X i j n （是对称非负定矩阵）n 元正态随机变量的联合概率密度的矩阵表示引入列向量1212(,,,), ((),(),,()),T T n n x x x x E X E X E X μ==则n 元正态随机变量 其联合概率密度为 12(,,,), 1,Tn X X X X n =≥ (), (,), ,1,2,.ij n n ij i j C c c Cov X X i j n ⨯===协方差矩阵为 {}12211211(,,,)()().2(2)n T n f x x x exp x C x C μμπ-=---反之, 若均为一元正态变量, 且相互独立, 则 12(,,,), 1,T n X X X X n =≥ 1. n 元正态随机变量其任意子向量 均服从k 元正态分布. 12(,,,)(1)kT i i i X X X k n ≤≤特别地, 其中的每一个分量 都是一元正态变量. ,1,2,,i X i n =,1,2,,i X i n =12(,,,), 1,T n X X X X n =≥是n 元正态随机变量.如: 123(,,)T X X X X =为3元正态随机变量, 则(,),(,),(,)T T T X X X X X X 均为二元正态变量.12(,,,), 1,T n X X X X n =≥2. n 元随机变量 服从n 元正态分布 的任意线性组合 01122n nl l X l X l X ++++12,,,n X X X ⇔均服从一元正态分布, 其中 不全为0. 12,,,n l l l 如: 123(,,)TX X X X =为3元正态随机变量, 则 12132133,241,32X X X X X X X -++---均为一元正态变量.这一性质称为正态变量的线性变换不变性.12(,,,), 1,Tn X X X X n =≥ 3. n 元正态随机变量 若12,,,)T k Y Y Y (均为 的线性函数，则 12,,,,1,k Y Y Y k ≥,1,2,,i X i n =也服从k 元正态分布. 123(,,)TX X X X =为3元正态随机变量, 则 12132132(3, 241, 32, )-++---T X X X X X X X X 服从4元正态分布. 如:n 元正态随机变量的四条重要性质12(,,,), 1,T n X X X X n =≥4. 设 服从n 元正态分布, 则12,,, ⇔两两不相关n X X X 12()000()000()n D X D X C D X ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,,, 相互独立n X X X .⇔的协方差矩阵为对角矩阵X1(,)(0,1;1,4;),2X Y N - 设随机变量服从二元正态分布例1:求: 1212(1)(2);(2)(2);(3)(,),,.->=+=-的分布 D X Y P X Y Z Z Z X Y Z X Y 1 :(0,1),:(1,4),.2 ρ~~-由题意知 解＝XY X N Y N ((1),),()()ρ= 由于 XY Cov X Y D X D Y (,)11(1(.))22XY Cov X Y D X D Y ρ=-⨯⨯=-从而 ＝故(2)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-+-4144(1)12.=⨯+-⨯-=4()()(,)4D X D Y Cov X Y -=+2(2)(,),x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰2~(1,12).X Y N --(2)2()()E X Y E X E Y -=-(2)(20)>=->故 P X Y P X Y 1(2)(,)~(0,1;1,4;),(2);2-> X Y N P X Y 求: 想到——不可行！！(2)(20),=>->由于 P X Y P X Y 2,(,),,, 根据多元正态的性质由于服从二元正态分布故其分量的任意线性组合服从一元正态即可得 X Y 2(1)0(1)1()1().121223-----=>=-ΦX Y P3(,)~(1,1;3,7;).-- Z Z N 则12()()()1; ()()()1;=+==-=-E Z E X E Y E Z E X E Y 12,(,).3根据多元正态的性质即正态变量的线性变换不变性，可知也服从二元正态分布Z Z 12()()()()2(,)142(1)3;()()()()2(,)142(1)7;=+=++=++⨯-==-=+-=+-⨯-=D Z D X Y D X D Y Cov X Y D Z D X Y D X D Y Cov X Y 121212(,)(,)(,)(,)(,)=()(Z )37ρ-+-=⨯Z Z Cov Z Z Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y D Z D 12121(3)(,)~(0,1;1,4;),(,),,.2-=+=- X Y N Z Z Z X Y Z X Y 求:的分布 143==--；(,),(1,1),(2,4),,:(,)(2,2),(). ~~-- 设随机变量服从二元正态分布 且两分量独立求的:分布及例2X Y X N Y N X Y Cov X Y X Y E XY 4,:, 根据多元正态的性质知两分量是不相关的解故(,)(1,2;1,4;0).~X Y N 从而 (2,2)(2,)(2,2)(,)(,2)2()002()212410.--=+-+-+--=+++=⨯+⨯=Cov X Y X Y Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y D X D Y ,再次利用分量的不相关性可知()()()12 2.==⨯=E XY E X E Y。
