第六讲 归纳逻辑

归纳逻辑笔记一、归纳逻辑的概念- 定义：从个别性知识推出一般性结论的推理。

- 例如：观察到第一只天鹅是白色的，第二只天鹅是白色的……第n只天鹅是白色的，从而得出“所有天鹅都是白色的”这一结论（虽然这个结论后来被证明是不完全正确的，但这是归纳逻辑的一个典型例子）。

二、归纳推理的类型1. 完全归纳推理- 特点：对某类事物的全部对象都进行考察，从而得出关于该类事物的一般性结论。

- 公式：S1具有（或不具有）P属性，S2具有（或不具有）P属性，……Sn具有（或不具有）P属性，S1、S2、…S n是S类的全部对象，所以，所有S都具有（或不具有）P属性。

- 要求：必须考察该类事物的全部对象，每个对象的情况都要准确无误。

- 优点：结论具有必然性。

- 缺点：当研究对象数量庞大或者无限时，难以做到完全归纳。

例如要考察全世界所有天鹅的颜色，几乎不可能做到完全归纳。

- 重点：要明确完全归纳推理的适用范围有限，在对象可穷尽时才能使用。

2. 不完全归纳推理- 特点：只考察了某类事物的部分对象，就得出关于该类事物的一般性结论。

- 分类：- 简单枚举归纳推理- 定义：根据某类事物的部分对象具有（或不具有）某种属性，并且没有遇到反例，从而推出该类事物的所有对象都具有（或不具有）该属性的推理。

- 公式：S1具有（或不具有）P属性，S2具有（或不具有）P属性，……Sn具有（或不具有）P属性，S1、S2、…Sn是S类的部分对象，并且在考察中未遇到反例，所以，所有S都具有（或不具有）P属性。

- 优点：应用方便、广泛。

例如我们看到很多金属都能导电，如铜、铁、铝等，就得出“所有金属都能导电”的结论。

- 缺点：结论具有或然性，一旦发现反例，结论就会被推翻。

比如曾经认为“所有天鹅都是白色的”，后来发现黑天鹅后这个结论就被推翻了。

- 易错点：不能仅仅因为没有发现反例就轻易认定结论一定正确，要认识到其结论的不确定性。

- 科学归纳推理- 定义：根据某类事物中部分对象与某种属性之间的因果联系，从而推出该类事物的所有对象都具有该属性的推理。

学而思奥数第六级第六讲 逻辑推理综合逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。

对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。

本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。

一、 列表推理法逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.二、 假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立．解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设三、 计算中的逻辑推理能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题.一、 列表推理法【例 1】 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？【巩固】 王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴张贝从未上过天；⑵跳伞运动员已得过两块金牌；⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？例题精讲知识结构【例2】张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？【巩固】甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员．已知：⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人；⑵辽宁人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人．求这三人各自的籍贯和职业．【例3】甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察．已知：⑴教师不知道甲的职业；⑵医生曾给乙治过病；⑶律师是丙的法律顾问（经常见面）；⑷丁不是律师；⑸乙和丙从未见过面．那么甲、乙、丙、丁的职业依次是：．【巩固】甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴丙比大队长的成绩好．⑵甲和中队长的成绩不相同．⑶中队长比乙的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？【例4】甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说．他们在一起交谈可有趣啦：⑴乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；⑵甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言；⑷没有人同时会日、法两种语言．请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？【巩固】宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？【例5】六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：3班第一名，2班第二名，1班第三名，4班第四名．小华猜想比赛的结果是：2班第一名，4班第二名，3班第三名，1班第四名．结果只有小华猜到的4班为第二名是正确的．那么这次竞赛的名次是班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。

第六章归纳逻辑第六章归纳逻辑从第二章到第五章，我们所讨论的论证都是演绎论证，并且所讨论的论证评价标准或方法都是针对演绎论证展开的。

然而，现实生活中的论证，除了不可能所有前提均真而结论为假的演绎论证之外，还有所有前提均真而结论可能为真的归纳论证。

评价这类论证的好与坏，显然不可能根据前述的演绎有效性标准来进行，因为这类论证无所谓有效或无效。

评价归纳论证的标准是强与弱，我们称之为归纳强度。

第一节归纳法与可能性一、什么是归纳法在演绎论证中，如果所有前提均真并且论证形式正确，那么结论必然是真的。

这通常被称为演绎论证的可靠性，简称“论证可靠性”。

其中，推理形式正确是指的论证有效。

在归纳论证中，如果所有前提都是真的并且论证形式是正确的，那么结论可能是真的。

在归纳论证中，论证形式正确的含义是什么呢？这正是本章所讨论的内容。

在归纳论证中，结论被确证或反驳只是诉诸于感觉经验的。

由于人的认识能力之不同，感觉经验存在着某种差异性。

因而，对于一个好的归纳论证，其所有前提均真而结论为假也是可能的，而且结论为假只是通过诉诸经验来决定的。

然而，在演绎论证中，结论是通过诉诸前提本身来确证或反驳的，因此，对于一个好的演绎论证，所有前提均真而结论为假是不可能的。

例子判定下列论证是演绎论证还是归纳论证？并解释为什么。

从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，第三个、第四个、第五个都是红玻璃球，因此，我认为袋子里所有球都是红玻璃球。

分析这个论证涉及到袋时所有球都是红玻璃球的可能性，它需要感觉经验来确证，因此，它是一个归纳论证。

课堂练习判断下列论证是归纳论证还是演绎论证？请解释为什么。

（1）如果今天是星期二，那就是何凤的生日，今天是星期二，因此今天是何凤的生日。

（2）我在那个家商店买过10瓶茅台酒，它们都是假的，因此，那家商店卖的所有茅台酒可能都是假的。

二、归纳强度归纳强度是衡量归纳论证好与坏的根本标准。

一个论证是归纳上强的，当且仅当它是逻辑上正确的。

第六章归纳逻辑我们前面讲的词项逻辑和命题逻辑都属于演绎逻辑，它们讨论的各种推理都是演绎推理。

演绎推理的一个重要特征是前提与结论之间有必然的逻辑联系，即只要前提真，并且推理形式有效，则结论必真。

因此，演绎推理是必然性推理。

与演绎逻辑不同，归纳逻辑研究的通常是不具有必然性的推理，即当前提真时结论不必然真的推理。

这类推理属于非演绎推理，包括枚举归纳推理、因果归纳推理、概率归纳推理、类比推理等。

归纳是与演绎相对的。

对演绎有两种不同的理解，一是从一般到个别，二是必然地推出。

前一种理解是较为狭窄的，很难概括人们运用演绎推理的实际，因而已为现代逻辑所不取。

相应地，对归纳也有两种不同的理解，一是从个别到一般，二是或然地推出。

归纳逻辑通常取的是其第二种含义。

但习惯上常又按第一种含义来解释归纳推理。

枚举归纳推理、因果归纳推理、概率归纳推理之归纳就具有这样的含义。

因时间所限，我们仅介绍枚举归纳推理、因果归纳推理和类比推理。

第一节枚举归纳推理一、什么是枚举归纳推理枚举归纳推理是由一类事物中的若干对象具有（或不具有）某种属性，概括出关于这类事物的一般性结论的推理。

在进行枚举归纳推理时，前提中考察的可以是一类事物的全部对象，也可以只是一类事物的一部分对象。

根据前提中所考察的对象是否穷尽，枚举归纳推理又分为穷举归纳推理和非穷举归纳推理。

二、穷举归纳推理（一）什么是穷举归纳推理穷举归纳推理又可称为完全归纳推理，它是通过对一类事物中的每一对象逐一进行考察，由它们分别具有（或不具有）某种属性，推出这类事物都具有（或不具有）这种属性的一般性结论的推理。

例如：穷举归纳推理的形式可表示为：S1具有（或不具有）P属性S2具有（或不具有）P属性……S n具有（或不具有）P属性S1、S2……S n是S类的全部对象所有S都具有（或不具有）P属性穷举归纳推理是我们在日常生活和工作中经常运用的。

例：曾参：放诸四海而皆准（儒家的孝道）（二）穷举归纳推理的特点穷举归纳推理有三个特点：一是从个别到一般，即从个别性认识出发推出一个一般性的结论。

归纳演绎逻辑
归纳演绎逻辑是一种推理方式，可以从一般性的陈述推导出特殊性的结论。

它基于观察和实证，通过对已有实例或现象的概括，得出普遍性的规律或理论。

归纳演绎逻辑的推理过程一般包括以下步骤：
1. 观察和收集一系列具体的实例或样本。

2. 对这些实例或样本进行整理和归纳，找到它们之间的共同特征或规律。

3. 根据这些共同特征或规律，对未被观察到的情况进行推断和预测，得出普遍性的结论。

例如，通过观察多个苹果落地时都受到重力的作用，我们可以归纳出“所有物体都受到重力的作用”这样的普遍性结论。

归纳演绎逻辑的推理过程中，结论的可靠性取决于所观察到的实例的数量和代表性。

如果观察到的实例太少或选择的实例不具有代表性，那么得出的结论可能不准确或不具有普遍性。

与归纳演绎逻辑相对的是演绎推理，它是从一般的前提推导出特殊的结论。

演绎推理是通过逻辑规则和前提的逻辑关系进行精确推断，其结论具有确定性。