精选高二数学12月学科竞赛试题理

高二12月联考数学（理）试题（扫描版）高二年级12月月考理科数学参考答案一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）二. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13. 83 14. 0 15. 240 16. 1三.解答题（本大题共6小题,共70分.请把解答写在规定的答题框内，解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤．）17.解（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个， 红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有241634=⋅C C 种； 红球2个和白球2个，取法有902624=⋅C C 种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有11590241=++种． .-------------5分 （2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有61644=C C 种； 第二种，3红2白，取法有602634=⋅C C 种， 第三种，2红3白，取法有1203624=⋅C C 种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有.186120606=++ .-------------10分 18.(1)①由题意x ＝45900×500－(18＋2)＝5，y ＝45900×400－(10＋6)＝4. -------------3分②假设高一反对的同学编号为A 1，A 2，高二反对的同学编号为B 1，B 2，B 3，B 4，则选取两人的所有结果为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种情况.可得恰好高一、高二各一人包含(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)共8种情况. 所以所求概率P＝815.-----------------------------------------6分(2)如图2×2列联表：K 2的观测值为k ＝45×（18028×17×25×20＝2.288<2.706， --------------------------------------10分所以没有90%的把握认为持支持态度与就读年级有关. -------------------------------------12分 19解：令213)1()(3r r nrn r r rn r nr x C x C T --+-=-= -------------------------3分令12=r，得,2=r ∴n x )3(-的展开式中的一次项的系数为,32)1(3)1(2222--⋅-=⋅-=n n n n n n C a -------------------------6分17181718)181171()3121()211(18)17182232122(3333218183322=⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-⨯=⨯++⨯+⨯⨯=+++∴ a a a-------------------------12分20. 解：（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件，则.6049)(31037032713=+=C C C C C A P -------------------------4分 （2）随机变量X 的所有可能值为.3,2,1,0,21)1(,61)0(31026143103604======C C C X P C C CX P ,301)3(,103)2(31006343101624======C C C X P C C C X P X ∴的分布列为分 21.解：(1)1=a 时，0)1)(2(:<--x x p ,.32:-<->x x q 或 ----------------2分 ∵q p ∨为真，∴真或真， ---------------4分 ∴.32-<->x x 或则实数的取值范围为{}32-<->x x x 或, ----------------6分 (2)0<a 时，;23:;2:-≤≤-⌝<<x q a x a p ----------------8分 ∵是q ⌝的必要条件，则{}{}a x a x x x <<⊆-≤≤-223 ----------------10分则满足032|2223a a a a a <⎧⎪⎧⎫>-⇒-<<-⎨⎨⎬⎩⎭⎪<-⎩∴实数的取值范围为3|22a a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. ----------------12分22.解：（I ）6160333110120130==A C C C P ； -------------------------4分 （Ⅱ）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：.32601030=+=P ---------6分由),32,3(~B X)3,2,1,0()321()32()(33=-⋅==∴-k C k X P k k k .------------------------8分X ∴的分布列为其数学期望为22739291270)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . -----------------12分 .。

2019学年上学期高二年级12月月考数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题：“”的否定是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】全称命题“”的否定为特称命题“”，故选C。

2. 下列图形不一定是平面图形的是( )A. 三角形B. 四边形C. 圆D. 梯形【答案】B【解析】三角形，圆，梯形一定是平面图形，但是四边形可以是空间四边形，故选B.3. 已知直线与直线垂直，则的值为( )A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】∵直线与直线垂直，∴，解得，故选C.4. 已知命题“且”为真命题，则下面是假命题的是( )A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】命题“且”为真，则真真，则为假，故选D。

5. 已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么这个几何体的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，三视图复原的几何体是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱，所以几何体的表面积（），故选C.6. 下列命题：①若，则；②若，则；③若，则成等比数列；④若，则成等差数列.其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C.D. 4【答案】B【解析】，若，则，故①正确；若，则或，故②错误；当时，不成等比数列，故③错误；若，则成等差数列，故④正确.故选B.7. 已知双曲线的实轴长为2，虚轴长为4，则该双曲线的焦距为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题知，，焦距为.故选D.8. 在四棱锥中，底面，底面为矩形，，是上一点，若，则的值为( )A. B. C. D. 4【答案】C【解析】因为底面，所以，又，故平面，故，此时，，则.因为，所以，即.9. 若椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，若到的距离的最大值为5，最小值为3，则该椭圆的方程为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得：，故，所以椭圆方程为：.故选A.10. 已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线的第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，∵过双曲线右焦点的直线，∴，代入双曲线，可得，∴，∴，∴，∵，∴，故选C.11. 在四面体中，底面，，，，为的重心，为线段上一点，且平面，则线段的长为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，延长AG交BC于点H，过点G作GE//BC交AC于点E，过点E作EF//DC，交AD 于点F，则平面EFG//平面BCD，又FG平面BCD，所以FG//平面BCD，又，所以,，所以.12. 已知点是椭圆上的动点，过点作圆的切线，为其中一个切点，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】. 因为，所以.故选B.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为________.【答案】【解析】如图所示，取棱中点，连接，由正方体的性质可得，，则，即几何体的棱长为，故答案为.14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是________________. 【答案】【解析】由，解得或.“”是“”的充分不必要条件，所以.点睛：设对应的集合分别为，则有以下结论：（1）若的充分条件，则；（2）若的充分不必要条件，则；（3）若的充要条件，则。

覃塘高中(gāozhōng)2021年秋季期12月月考试题高二理科数学试卷说明：本套试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题〔选择题和客观题〕，学生自已保存，Ⅱ卷一般为答题卷，在考试完毕之后只交Ⅱ卷。

一、选择题：(本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.)1、以下双曲线中，渐近线方程为的是〔〕A． B． C． D．2、假设向量，，那么〔〕A. B. C. 3 D.3、两点，，点为坐标平面内的动点，且满足，那么动点的轨迹方程为〔〕A． B． C． D．4、一质点做直线运动，其位移S〔单位：米〕与时间是t〔单位：秒〕之间关系式为，那么其瞬时速度为1米/秒的时刻为〔〕A.t=0B. t=1C. t=3D.t=1和t=35、假设点为椭圆上一点，那么〔〕A． B． C． D．.6、抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，那么AB中点到x轴的最短间隔为〔〕A．B．1 C．D．27、，为的导函数(h ánsh ù)，那么()'fx 的图像是〔 〕8、在以下四个命题中，①假设是的充分不必要条件，那么是的必要不充分条件； ②假设，那么；③“〞是“〞的必要不充分条件；④假设“或者〞为真命题，“且〞为假命题，那么为真命题，为假命题． 正确的个数为〔 〕 A. 1 B. 2 C. 3 D. 49、如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，那么直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A ．B ．C ．D ．10、假设在上是减函数，那么的取值范围是〔 〕 A.B.C.D.11、双曲线的两条渐近线与抛物线的准线(zhǔn xiàn)分别交于，两点．假设双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，那么抛物线的焦点坐标为( )A． B． C． D．f x的定义域是, 是它的导函数,且12、函数()在定义域内恒成立，〔〕A. B.C. D.二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13、命题“，〞的否认是．14、19．函数，那么函数的图象在处的切线方程为__________．15、设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，那么点D1到平面A1BD的间隔是________．16、函数在上有两个零点，那么的取值范围是___________三、解答题〔本大题一一共6小题(xiǎo tí)，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17〔本小题满分是10分〕.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足.(1)假设a＝1，且p∧q为真，务实数x的取值范围．(2)￢p是￢q的充分不必要条件，务实数a的取值范围．18〔本小题满分是12分〕.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，E、F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解以下问题：(1)求证：EF⊥B1C.(2)(2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值．19〔本小题满分是12分〕直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)假设|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段(xiànduàn)AB的长的最小值．20〔本小题满分是12分〕.在几何体ABC－A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC 内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1＝BB1＝4，AB＝BC＝CC1＝2，E为AB的中点．1(1)求证：CE∥平面A1B1C1；(2)求二面角B1－AC1－C的大小．21〔本小题满分是12分〕椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F的间隔之和为2，离心率为..(1)求椭圆的HY方程；2(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，假设y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．22.〔本小题满分是12分〕函数f(x)＝－x2＋3x－，g(x)＝x－(m＋1)ln x－，m∈R.(1)求函数g(x)的极值；(2)假设对任意x1，x2∈[1，e]，f(x1)－g(x2)≤1恒成立，求m的取值范围．2021年秋季期高二理科数学12月份月考答案一、选择题。

某校2021-2021学年(xuénián)高二数学12月月考试题理〔无答案〕一、单项选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1．那么“〞是“〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．一组数据的平均数是3，方差是，那么另一组数据，的平均数，方差分别是〔〕A．5，12B．5,2 C．3,2 D．3，123．，，，假设，那么等于〔〕A．4 B．C．12D．4．总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开场由左至右选取两个数字，那么选出的第5个个体的编号为( )50 44 66 44 29 67 06 58 03 69 80 34 27 18 83 61 46 42 2391 67 43 25 74 58 83 11 03 30 20 83 53 12 28 47 73 63 05A．42 B．36 C．22 D．145．如图是计算的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是( )A．i<10 B．i≤10C．i>10 D．i≥106．某几何体的三视图如下图，其中(qízhōng)正视图中的曲线为圆弧，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．7．以下四个命题：①“假设，那么〞的逆否命题为真命题②“〞是“函数在区间上为增函数〞的充分不必要条件③假设为假命题，那么，均为假命题④对于命题p：，，那么为：，其中真命题的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个8．在样本频率分布直方图中，一共有5个小长方形，中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，那么这个样本的容量是〔 〕.A ．20B ．30C ．40D ．509．甲、乙两人下棋(xià qí)，结果是一人获胜或者下成和棋．甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，那么两人下成和棋的概率为〔 〕10．空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，那么〔 〕A ．B ．C ．D ．11．命题p ：R x ∈∀，；命题q ：，.假设p q ∧为假命题，为真命题，那么实数的取值范围是〔 〕 A ．B ．C ．或者D ．或者12．在直三棱柱中，且，设其外接球的球心为O ，三棱锥O 的外表积的最小值是〔 〕A ．B ．C ．D ．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13．两点，关于坐标平对称，那么________.14．某景区观光车上午从景区入口发车的时间是为：7：30，8：00，8：30，某人上午7：40至8：30随机到达景区入口，准备乘坐观光车，那么他等待时间是不多于10分钟的概率是_____． 15．在正四棱锥中，PA =2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，那么异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________． 16．正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点M在正方体外表上运动，并且总保持，那么动点M 的轨迹的周长为______．三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算(yǎn suàn)步骤。

高二12月学科联赛数学（理）试题(有答案)一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．）1．在中，若，则最大角的余弦是 （ ）A ．B ．C ．D ．2．数列{3n 2－28n }中，各项中最小的项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项3．在中， (，，分别为角,,的对边)，则的形状为 ( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形4．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40等于( )A ．40B ．70C ．80D ．906．如图目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OAPB (含边界)，若P (2,2)是该目标函数z ＝ax －y 的唯一最优解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 .C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 D （-1，21-.）7．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°8．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( ) A．1 B．0 C．1或0 D．1或39．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．A ①B ②C ③D ④10. 已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n===+∈Z,{(,)|,B x y x m==2312,y m=+m∈Z}.若存在实数,a b使得A B≠∅成立,称点(,)a b为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y=+≤内的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 无数个二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)11、直线12y x b=+是曲线()ln0y x x=>的一条切线，则实数b＝．12、已知1,1x y>>,且11ln,,ln44x y成等比数列，则xy的最小值是．13．设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．14．已知△ABC为等腰直角三角形，2,AB=2Cπ=，点,E F为AB边的三等分点，则CE CF⋅=▲．15、已知函数22210()0,ax x xf xx bx c x⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线y t=与函数()y f x=的图像自左向右依次交于四个不同点,,,A B C D．若A B B C=，则实数t的值为▲ ．三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16 (12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围. 17.在中，，，分别为角,,的对边，且满足.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．18如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值19、已知等差数列{}n a 的公差为1-, 且27126a a a ++=-,（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项,记{}n b 的前n 项和为n T , 若存在*N m ∈, 使对任意n N *∈总有n m S T λ<+恒成立, 求实数λ的取值范围.20. (本小题满分13分）某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成,每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工A 型零件的工人数为x 名*()x N ∈.(Ⅰ)设完成A B 、型零件加工所需的时间分别为()()f x g x 、小时,写出()f x 与()g x 的解析式;(Ⅱ)当x 取何值时,完成全部生产任务的时间最短?21．（本小题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36，且过点)1,2(.（1）求椭圆的方程；（2）若过点C （-1，0）且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，试问在x 轴上是否存在点M ，使253k 1M A M B ++是与k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案17解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理，得2si n A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ， 即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A >0，∴2cos B ＝1， 由B ∈(0，π)，得B ＝3π(2)由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B . 将b ＝，a ＋c ＝4，B ＝3π代入整理，得ac ＝3. ∴△ABC 的面积为S ＝21ac sin B ＝23sin60°＝43.18、解：(1)AB 是圆的直径，因此AC BC ⊥,又⊥PA 面ACB ,所以BC PA ⊥.又A AC PA =⋂,所以⊥BC 面PAC ，又BC 在面PBC 内，所以面⊥PBC 面PAC 。

2021-2021学年(xuénián)高二数学12月月考试题理一．选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．如图是根据x，y的观测数据〔x i，y i〕〔i＝1，2，…，10〕得到的点图，由这些点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图〔〕A．①②B．①④C．②③D．③④2．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4＜0〞的否认为〔〕A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x0∈R，x02﹣2x0+4≥0C．∀x∉R，x02﹣2x0+4≥0D．∃x0∉R，x02﹣2x0+4≥03．顶点在原点，焦点是〔0，3〕的抛物线的方程是〔〕A．y2＝12x B．x2＝12y C．D．4．为了理解某次数学竞赛中1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为100的样本，那么每名学生成绩人样的时机是〔〕A．B．C．D．5．阅读程序框图，假如输出的函数值在区间内，那么输入的实数x的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2] D．[2，+∞〕6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么(nà me)恰好选中2名女生的概率为〔〕A．B．C．D．7．假设直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+〔a﹣1〕y+5＝0垂直，那么实数a的值是〔〕A．B．1 C．D．28．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为根据可以估计椭圆的面积为〔〕9．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的间隔为〔〕A．B．C．D．10．圆与圆的位置关系是〔〕A．外离B．相交C．外切D．内切11．三棱锥A﹣BCD中，，假设该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，那么此球的体积为〔〕A．B．24πC．D．6π12．直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，假设，那么该椭圆的离心率是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔每一小题5分，一共20分〕13．圆与圆．求两圆公一共弦所在直线的方程．14．如图，矩形O'A'B'C'是程度放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中(qízhōng)O'A'＝6，C'D'＝2，那么原图形面积是．15．如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，那么以下结论中正确的选项是．①EF∥平面ABCD；②△AEF的面积与与△BEF的面积相等③平面ACF⊥平面BEF；④三棱锥E﹣ABF的体积为定值；16．如图，己知椭圆C：+＝1〔a＞b＞0〕的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点〔不在坐标轴上〕，Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点，假设|QF2|＝2|OQ|，那么椭圆离心率的范围是．三．解答题〔一共6小题，一共70分〕17．(本小题满分是10分〕命题P：关于x的方程x2+〔m﹣3〕x+m＝0的一个根大于1，另一个根小于1．命题q：∃x∈〔﹣1，1〕，使x2﹣x﹣m＝0成立，命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆〔1〕假设命题s为真，务实数m的取值范围；〔2〕假设p∨q为真，￢q为真，务实数m的取值范围．18．〔本小题满分是12分〕某需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩〔分〕80 85 71 92 87乙的成绩〔分〕90 76 75 92 82〔1〕假设从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为(rènwéi)选谁适宜？请说明理由．〔2〕假设数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，假设答对，那么可参加复赛，否那么被淘汰．方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，假设至少答对其中2道，那么可参加复赛，否那么被润汰．学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由．19．〔本小题满分是12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，∠ABC＝60°，E是BC中点，假设H为PD上的点，AH＝．〔1〕求证：EH∥平面PAB；〔2〕求三棱锥P﹣ABH的体积．20．〔本小题满分是12分〕1．点A〔1，1〕，B〔﹣1，3〕．〔1〕求以AB为直径的圆C的方程；〔2〕假设直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，求m值．21．〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F一共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°．〔1〕假设平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；〔2〕问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，假设存在，求出此时三棱锥G﹣ABE与三棱锥G﹣ADF的体积之比．22．〔本小题满分是12分〕椭圆C：＝1〔a＞b＞0〕，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．〔1〕求椭圆C的HY方程；〔2〕假设在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与椭圆C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标．数学〔理〕试卷答案1-6：B B B A B C 7-12：A C D B C A11、解：三棱锥A﹣BCD中，，∴该三棱锥是由长方体的面对角线构成(gòuchéng)〔如图〕设长方体的棱长分别为a，b，c，那么a2+b2＝5，b2+c2＝4，a2+c2＝3，那么该三棱锥的四个顶点所在球面的半径R＝＝．V=＝．选：C．12、解：由，取y＝0，得x＝﹣，取x＝0，得y＝1，∴F〔，0〕，C〔0，1〕，设A〔x0，y0〕，那么，，由，得，∴，即，即A 〔〕．把A的坐标代入椭圆，可得，即．又b2＝a2﹣3，解得，又c2＝3，∴，∴e＝．应选：A．13、x﹣y﹣1＝0 14、24．15、解：①在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1∥BD，且BD⊂平面ABCD，B1D1∉平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故①正确；②点A到EF的间隔大于BB1，∴△AEF的面积与与△BEF的面积不相等，故②错；③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，BB1⊥AC，∴AC⊥面BB1D1D，又面BB1D1D与面BEF是同一面，AC⊂面ACF，∴平面ACF⊥平面BEF，故③正确；④△BEF 中，EF＝，EF边上的高BB1＝1，∴△BEF的面积为定值，∵AC⊥面BDD1B1，∴AO⊥面BDD1B1，∴AO为三棱锥A﹣BEF底面BEF上的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积是一个定值，故④正确；答案为：①③④．16、解：∵|QF2|＝2|OQ|，∴|QF2|＝，|QF1|＝，∵PQ是∠F1PF2的角平分线，∴，那么(nà me)|PF1|＝2|PF2|，由|PF1|+|PF2|＝3|PF2|＝2a，得|PF2|＝，由a﹣c，可得e＝＞，由0＜e＜1，∴椭圆离心率的范围是〔，1〕．17、解：〔1〕命题s为真时，即命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆为真；∴4﹣m＞m＞0，∴0＜m＜2；故命题s为真时，实数m的取值范围为：〔0，2〕；（2）当命题p为真时，f〔x〕＝x2+〔m﹣3〕x+m满足f〔1〕＜0，即2m﹣2＜0，所以m＜1．命题q为真时，方程m＝x2﹣x在〔﹣1，1〕有解，当x∈〔﹣1，1〕时，x2﹣x∈[，2〕，那么m∈[，2〕，由于p∨q为真，￢q为真；所以q为假，p为真；那么，得；∴m＜；故p∨q为真，￢q为真时，实数m的取值范围为〔﹣∞，〕．18、解：〔1〕解法一：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，甲的成绩方差，乙的成绩方差为，由于，，乙的成绩较稳定，派乙参赛比拟适宜，乙适宜．解法二：派甲参赛比拟适宜，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上〔含85分〕的概率，乙获得8〔5分〕以上〔含85分〕的概率．因P1＞P2派甲参赛比拟适宜，〔2〕5道备选题中学生乙会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F．方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F一共5种，抽中会的备选题的结果有a，b，c，一共3种．所以学生乙可参加复赛的概率．方案二：学生甲从5道备选题中任意(rènyì)抽出3道的结果有：〔a，b，c〕，〔a，b，E〕，〔a，b，F〕，〔a，c，E〕，〔a，c，F〕，〔a，E，F〕，〔b，c，E〕，〔b，c，F〕，〔b，E，F〕，〔c，E，F〕，一共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：〔a，b，c〕，〔a，b，E〕，〔a，b，F〕，〔a，c，E〕，〔a，c，F〕，〔b，c，E〕，〔b，c，F〕一共7种，所以学生乙可参加复赛的概率因为P1＜P2，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．19、解：〔1〕证明：∵PA＝AD＝2，AH＝，∴H为PD的中点，取PA的中点M，连结HM，MB，那么HM AD，BD，∴HM BD，∴四边形DHMB是平行四边形，∴EH∥BM，又EH⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，∴EH∥平面PAB．（3）解：由〔1〕可知，EH∥平面PAB，（4）∴三棱锥P﹣ABH的体积：V P﹣ABH＝V H﹣PAB＝V E﹣PAB＝V P﹣ABE＝＝＝．∴三棱锥P﹣ABH的体积为．20、解：〔1〕根据题意，点A〔1，1〕，B〔﹣1，3〕，那么线段AB的中点为〔0，2〕，即C的坐标为〔0，2〕；圆C是以线段AB为直径的圆，那么其半径r＝|AB|＝＝，圆C的方程为x2+〔y﹣2〕2＝2，〔2〕根据题意，假设直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，那么(nà me)点C到直线x﹣my+1＝0的间隔d＝＝，又由d＝，那么有＝，变形可得：7m2﹣8m+1＝0，解可得m＝1或者．21、解：〔1〕证明：∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，∴BC⊥平面AEBF，又∵AF⊂平面AEBF，∴BC⊥AF．∵∠AFB＝90°，即AF⊥BF，且BC、BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B，∴AF⊥平面BCF．又∵AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面BCF．〔2〕解：∵BC∥AD，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，∴∠FAB＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，又AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF，∵BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF．延长EB到点H，使得BH＝AF，又BC AD，连CH、HF，由题意能证明ABHF是平行四边形，∴HF AB CD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF．过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，〔DF⊂平面CDF〕∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点．又BE＝＝2AF＝2BH，∴EG＝，又S△ABE＝2S△AEF，V G﹣ABE＝＝＝＝＝，故＝．22、解：〔1〕由题意可得：a﹣b＝，＝，a2＝b2+c2．联立解得：a＝2，c＝1，b ＝∴椭圆C的HY方程为：+＝1．〔2〕设M〔t，0〕，P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕．①当直线(zhíxiàn)l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my+t．联立，化为：〔3m2+4〕y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＝48〔3m2﹣t2+4〕＞0．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝．|PM|2＝+＝〔1+m2〕，同理可得：|PQ|2＝〔1+m2〕．∴＝＝＝•＝．∵为定值，∴必然有3t2+12＝16﹣4t2，解得t＝．此时＝为定值，M〔，0〕．②当直线l的斜率为0时，设P〔2，0〕，Q〔﹣2，0〕．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．此时＝+＝，把t2＝代入可得：＝为定值．综上①②可得：＝为定值，M〔，0〕．内容总结（1）2021-2021学年高二数学12月月考试题理一．选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．如图是根据x，y的观测数据〔xi，yi〕〔i＝1，2，。

2021-2021学年度第一(d ìy ī)学期学益学区第二次月考卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1.给出如下四个命题:①假设“p ∨q 〞为真命题,那么p,q 均为真命题；②“假设a>b,那么2a >2b -1”的否命题为“假设a ≤b,那么2a ≤2b -1”；③“∀x ∈R,x 2+x ≥1”的否认是“∃x 0∈R,+x 0≤1”；④“x>0”是“x+≥2”的充要条件。

其中不正确的命题是 ( )A.①②B.②③C.①③D.③④2．如下图，空间四边形OABC 中，，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，那么等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c3．椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a>5)的两个焦点为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 经过焦点F 1，那么△ABF 2的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．4414．方程的图像是双曲线，那么的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．5．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，那么抛物线的方程是( )．A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x6．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．47．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点一样，离心率为12，那么此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝18．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条(yī tiáo)渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，那么双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 9．设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，那么△PF 1F 2的面积等于( )．A ．B ．C ．24D ．48 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2、P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，那么椭圆C 的离心率为( )A.36 B ．13 C.33 D ．1211．以椭圆内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为( )．A ．4x －y －3＝0B ．x －4y ＋3＝0C ．4x ＋y －5＝0D ．x ＋4y －5＝012．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4间隔 最近的点的坐标是( )BA.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54 B ．(1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 D ．(2,4)二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕“存在x 0>-1,+x 0-2021>0”的否认是 .抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，假设为等边三角形，那么. 15．给出如下(rúxià)四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x 23＋y 22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线方程是x ＝－18；④双曲线y 249－x 225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x.其中不正确的选项是________．(填序号) 16．给出四个命题：①假设l 1∥l 2，那么l 1，l 2与平面α所成的角相等；②假设l 1，l 2与平面α所成的角相等，那么l 1∥l 2；③l 1与平面α所成的角为30°，l 2⊥l 1，那么l 2与平面α所成的角为60°；④两条异面直线与同一平面所成的角不会相等．以上命题正确的选项是________．三、解答题〔第17题10分，18至22题每一小题12分〕17.p:-2≤1-≤2,q:x 2-2x+1-m 2≤0(m>0),且p 是q 的必要不充分条件,务实数m 的取值范围.18．点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M 为线段PP′的中点，求P 点的轨迹方程．19．如下(rúxià)图，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，A ，B 为两个顶点，椭圆C 上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的间隔 之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P ，Q 两点，求△F 1PQ 的面积．20.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．21．F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求PF 1·PF 2的最大值；(2)假设∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．22．双曲线的中心(zhōngxīn)在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)假设点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．选择题答案CBDCB ABBCC DB填空题13. 对任意(rènyì)x>-1,x2+x-2021≤014.15. ①②④16. ①解答题17. 【解析】由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m, 所以q:A={x|x>1+m或者x<1-m,m>0}.由-2≤1-≤2,得-2≤x≤10.所以p:B={x|x>10或者x<-2},因为p是q的必要不充分条件,所以A B,所以18. 解设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．∵点M在椭圆x236＋y29＝1上，∴x2036＋y209＝1.∵M是线段PP′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x，y0＝y2，把⎩⎪⎨⎪⎧x0＝xy0＝y2代入x2036＋y209＝1，得x236＋y236＝1，即x2＋y2＝36.∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.19. 解：(1)由题设知，2a ＝4，即a ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入椭圆(tuǒyuán)方程得122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，解得b 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)由(1)知A(－2，0)，B(0，3)， 所以k PQ ＝k AB ＝32，所以PQ 所在直线方程为y ＝32(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32〔x －1〕，x 24＋y 23＝1，得8y 2＋43y －9＝0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝－32，y 1·y 2＝－98，所以|y 1－y 2|＝〔y 1＋y 2〕2－4y 1y 2＝34＋4×98＝212， 所以S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×212＝212.20.【解析】(1)证明：设＝a ，＝b ，＝c ，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b ＋c ，＝－c ＋b － a.∴·＝－c 2＋b 2＝0，∴⊥，即CE ⊥A′D.(2)＝－a ＋c ，∴||＝|a|，||＝|a|.·＝(－a ＋c)·＝c 2＝|a|2，∴cos 〈，〉＝＝.即异面直线(zhíxiàn)CE 与AC′所成角的余弦值为.21. 【解】 (1)PF 1·PF 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝100(当且仅当PF 1＝PF 2时取等号)，∴PF 1·PF 2的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝6433，∴PF 1·PF 2＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2，PF 21＋PF 22－4c 2＝2PF 1·PF 2cos 60°，∴3PF 1·PF 2＝400－4c 2.②由①②得c ＝6，∴b ＝8.22. 【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点P(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)法一 由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－23－3，－m)，MF 2→＝(23－3，－m)，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边(dǐ biān)|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m|＝3，∴S △F 1MF 2＝6.内容总结（1）2021-2021学年度第一学期学益学区第二次月考卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1.给出如下四个命题:①假设“p ∨q 〞为真命题,那么p,q 均为真命题。

田阳高中(gāozhōng)2021-2021学年高二12月月考数学〔理〕试题一、选择题：〔一共12题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的〕1.抛物线的准线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线方程即为，故准线方程为选A．2.某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为理解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进展调查，那么样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 100,10B. 200,10C. 100,20D. 200,20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解(xiánɡ jiě)】由图1得样本容量为〔3500+2000+4500〕×2%＝10000×2%＝200，抽取的高中生人数为2000×2%＝40人，那么近视人数为40×0.5＝20人，应选：D．【点睛】此题主要考察分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此题的关键．转化为十进制数为〔〕A. 524B. 774C. 256D. 260【答案】B【解析】试题分析：∵．应选B．考点：排序问题与算法的多样性.4.一组数据的平均数是，方差是，假设将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数和方差分别是〔〕A. B. 55.2， C. D.【答案】D【解析】【分析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两局部进展比拟，即可得到结果.【详解】设这组数据分别为，由其平均数为，方差是，那么有，方差，假设将这组数据(shùjù)中每一个数据都加上，那么数据为，那么其平均数为，方差为，应选D.【点睛】此题主要考察了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.5.以下结论错误的选项是( )A. 命题“假设p，那么q〞与命题“假设非q，那么非p〞互为逆否命题B. 对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有C. 命题“直棱柱的每个侧面都是矩形〞为真D. “假设am2<bm2，那么a<b〞的逆命题为真【答案】D【解析】【分析】写出命题“假设p，那么q〞的逆否命题判断A，通过四种命题的关系和真假判断，即可判断B，由直棱柱的性质可知C成立．命题“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为“假设a＜b，那么am2＜bm2”，当m＝0时，该命题为假来判断D．【详解】命题“假设p，那么q〞的逆否命题为：“假设非q，那么非p〞，故A正确；一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性一样，∴这四个命题中真命题个数为0、2或者4，故B正确；由直棱柱的性质可知，直棱柱每个侧面都是矩形，故C成立；命题(mìng tí)“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为“假设a＜b，那么am2＜bm2”，很显然当m＝0时，该命题为假．故D不成立．应选：D．【点睛】此题考察命题的真假判断与应用，考察四种命题间的互相关系，考察了直棱柱的性质，属于综合题.6.是椭圆上一点，为椭圆的两焦点，且，那么面积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆的HY方程可得：c＝4，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10，再根据余弦定理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，再联立两个方程求出t1t2＝12，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积．【详解】由椭圆的HY方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝〔2c〕2＝64，整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③所以(suǒyǐ)③﹣②得t1t2＝12，∴∠F1PF2＝3．应选A．【点睛】此题考察椭圆的几何性质与椭圆的定义，考察理解三角形的有关知识点，以及考察学生的根本运算才能与运算技巧，属于中档题．7. 如下图，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是〔〕A. 34B. 55C. 78D. 89【答案】B【解析】试题分析：由题意，①②③④⑤⑥⑦⑧，从而输出，应选B.考点：1.程序框图的应用.【此处有视频，请去附件查看】8.双曲线过点〔，4〕，那么它的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】利用条件求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．【详解】双曲线过点〔，4〕，可得，可得a＝4，那么该双曲线的渐近线方程为：．应选：A．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，考察计算才能．9.如图，长方体中，，，分别是的中点，那么异面直线与所成角为〔〕A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】D【解析】如图：连接B1G，EG∵E，G分别(fēnbié)是DD1，CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形，∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G=∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴异面直线A1E与GF所成角为90°，应选 D10.两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，假如两人出发是各自HY的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，那么他们两人在约定时间是内相见的概率为〔〕．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设事件A为“甲乙两人能会面〞，求出试验包含的所有事件，并且事件对应的集合表示的面积是s＝1，再求出满足条件的事件，并且得到事件对应的集合表示的面积是，进而根据几何概率模型的计算公式可得答案．【详解】由题意知此题是一个几何概型，设事件A为“甲乙两人能会面〞，试验包含的所有事件是Ω＝{〔x，y〕|}，并且事件对应的集合表示的面积是s＝1，满足条件的事件(shìjiàn)是A＝{〔x，y〕|，|x﹣y|}所以事件对应的集合表示的面积是1﹣2，根据几何概型概率公式得到P．那么两人在约定时间是内能相见的概率是．应选：B．【点睛】此题考察了几何概型的定义与概率计算公式，而几何概率模型一般通过事件的长度、面积或者者体积之比来求事件发生的概率，此题属于中档题，11.直线过椭圆：的左焦点和上顶点，与圆心在原点的圆交于两点，假设，那么椭圆离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质结合求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解(xiánɡ jiě)】椭圆的焦点在轴上，,，故直线的方程为，即，直线〔即〕的斜率为，过作的垂线，那么为的中点，，，是的中点，直线的斜率，，不妨令，那么，椭圆的离心率，应选D.【点睛】此题主要考察直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考察中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.与抛物线相交于两点,公一共弦恰好过它们的公一共焦点,那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析】试题分析：由抛物线和双曲线的对称性可知垂直与轴．因为过焦点,那么可令．因为抛物线和双曲线一共焦点,那么,所以,将代入双曲线方程可得,那么,将代入上式并整理可得,即,解得,因为,所以．故B正确．考点：1抛物线的定义;2双曲线的离心率．二．填空题：〔每一小题5分，一共20分〕13.假设向量=〔4, 2，-4〕,=〔6, -3，2〕,那么_____________【答案】4【解析】【分析】由坐标运算可得2和2的坐标，进而可得其数量积．【详解】∵〔4，2，﹣4〕，〔6，﹣3，2〕，由向量的坐标运算可得22〔4，2，﹣4〕-〔6，﹣3，2〕＝〔2，7，﹣10〕，2〔4，2，﹣4〕+2〔6，﹣3，2〕＝〔16，-4，0〕∴6×2﹣4×7﹣0×〔﹣10〕＝4【点睛】此题考察空间向量的数量积的坐标运算，属于根底题．14.命题p:，,假设“非p〞为真命题，m的取值范围为____________【答案(dá àn)】【解析】【分析】由题意知， x2+mx+20恒成立，即，即可得到结果.【详解】由题意知，命题p:，为假，即x2+mx+20恒成立，即，所以<0，得到，故答案为.【点睛】此题考察命题的真假的判断与应用，考察转化思想以及计算才能．15.过原点的直线与圆相交于A、B两点，那么弦AB中点M的轨迹方程为_____________【答案】【解析】【分析】根据圆的特殊性，设圆心为C，那么有CM⊥AB，当斜率存在时，k CM k AB＝﹣1，斜率不存在时加以验证．【详解】设圆x2+y2﹣6x+5＝0的圆心为C，那么C的坐标是〔3，0〕，由题意，CM⊥AB，①当直线CM与AB的斜率都存在时，即x≠3，x≠0时，那么有k CM k AB＝﹣1，∴〔x≠3，x≠0〕，化简得x2+y2﹣3x＝0〔x≠3，x≠0〕，②当x＝3时，y＝0，点〔3，0〕合适题意，③当x＝0时，y＝0，点〔0，0〕不合适题意，解方程组得x，y，∴点M的轨迹(guǐjì)方程是x2+y2﹣3x＝0〔〕．故答案为【点睛】此题主要考察轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，防止增解．16.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A〔-1,1〕的间隔与点P到直线x= - 1的间隔之和的最小值为M，假设B〔3,2〕，记|PB|+|PF|的最小值为N，那么M+N= ______________【答案】【解析】【分析】当P、A、F三点一共线时，点P到点A〔-1,1〕的间隔与点P到直线x= - 1间隔之和最小，由两点间的间隔公式可得M；当P、B、F三点一共线时，|PB|+|PF|最小，由点到直线的间隔公式可得．【详解】可得抛物线y2＝4x的焦点F〔1，0〕，准线方程为x＝﹣1，∴点P到点A〔﹣1，1〕的间隔与点P到直线x＝﹣1的间隔之和等于P到点A〔﹣1，1〕的间隔与点P到焦点F的间隔之和，当P、A、F三点一共线时，间隔之和最小，且M=|AF|，由两点间的间隔公式可得M=|AF|；由抛物线的定义可知|PF|等于P到准线x＝﹣1的间隔，故|PB|+|PF|等于|PB|与P到准线x＝﹣1的间隔之和，可知(kě zhī)当P、B、F三点一共线时，间隔之和最小，最小间隔 N为3﹣〔﹣1〕＝4,所以M+N=，故答案为.【点睛】此题考察抛物线的定义，涉及点到点、点到线的间隔，利用好抛物线的定义是解决问题的关键，属于中档题．三．解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.p:,q:,假设p是q的充分不必要条件，务实数的取值范围【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题p和q，由p是q的充分不必要条件，可知p⇒q，从而求出a的范围.【详解】解得，解得：，假设p是q的充分不必要条件，那么，∴，解得：【点睛】此题考察充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的解法，是一道根底题；18.对某校高一年级学生参加(cānjiā)社区效劳次数进展统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区效劳的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15〕10[15，20〕25 n[20，25〕m p[25，30〕 2合计M 1〔1〕求出表中M，p及图中a的值；〔2〕假设该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区效劳的次数在区间[15，20〕内的人数；〔3〕在所取样本中，从参加社区效劳的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有根本领件，并求至多1人参加社区效劳次数在区间[20，25〕内的概率．【答案】〔1〕0.125；〔2〕5；〔3〕【解析】【分析(fēnxī)】〔1〕由频率=，能求出表中M、p及图中a的值．〔2〕由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区效劳的平均次数．〔3〕在样本中，处于[20，25〕内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于[25，30]内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区效劳次数在区间[20，25〕内的概率．【详解】〔1〕由分组[10，15〕内的频数是10，频率是知，，所以M=40．因为频数之和为40，所以．因为a是对应分组[15，20〕的频率与组距的商，所以．〔2〕因为该校高三学生有360人，分组[15，20〕内的频率是0.625，所以估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．〔3〕这个样本参加社区效劳的次数不少于20次的学生一共有3+2=5人设在区间[20，25〕内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30〕内的人为{b1，b2}．那么任选2人一共有〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a1，b1〕，〔a1，b2〕，〔a2，a3〕，〔a2，b1〕，〔a2，b2〕，〔a3，b1〕，〔a3，b2〕，〔b1，b2〕10种情况，〔9分〕而两人都在[20，25〕内一共有〔a1，a2〕，〔a1，a3〕，〔a2，a3〕3种情况，至多一人参加社区效劳次数在区间[20，25〕内的概率为．【点睛】此题考察频率分布表和频率分布直方图的应用，考察概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.直线与双曲线．〔1〕当时，直线与双曲线的一渐近线交于点，求点到另一渐近线的间隔；〔2〕假设直线与双曲线交于两点，假设，求的值．【答案】〔1〕；〔2〕或者.【解析(jiě xī)】【分析】〔1〕写出双曲线渐近线方程，渐近线方程与直线方程联立可求得，利用点到直线间隔公式即可得结果；〔2〕直接联立直线与双曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点的横坐标的和与积，由弦长公式列方程求解即可.【详解】〔1〕双曲线渐近线方程为由得那么到的间隔为；〔2〕联立方程组，消去得直线与双曲线有两个交点，，解得且，〔且〕.，解得，或者，.【点睛】此题主要考察双曲线的渐近线方程、点到直线间隔公式以及弦长公式的应用，属于中档题.求曲线的弦长的方法：〔1〕利用弦长公式；〔2〕利用；〔3〕假如交点坐标可以求出，利用两点间间隔公式求解即可.20.某种产品(chǎnpǐn)的广告费用支出〔万元〕与销售额〔万元〕之间有如下的对应数据：2 4 5 6 830 40 60 50 70〔1〕求回归直线方程；〔2〕据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程；〔2〕根据所给的变量的值，把值代入线性回归方程，得到对应的的值，这里的的值是一个预报值.试题解析：〔1〕求回归直线方程，，，，∴因此回归直线方程为；〔2〕当时，预报的值是万元，即广告费用为12万元时，销售收入的值大约是万元.21.如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB//PA,AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点.〔1〕求证(qiúzhèng)AF PC〔2〕BD//平面PEC〔3〕求二面角D-PC-E的大小【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕150°.【解析】【分析】〔1〕依题意，PA⊥平面ABCD．以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥PC．〔2〕取PC的中点M，连接EM．推导出BD∥EM，由此能证明BD∥平面PEC．〔3〕由AF⊥PD，AF⊥PC，得AF⊥平面PCD，求出平面PCD的一个法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣E的大小．【详解】〔1〕依题意，平面ABCD，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。

2021-2022年高二数学12月学科竞赛试题总分：150分时量：120分钟一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等差数列an 中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )A.5B.8C.10D.142．不等式(1＋x)(1－x)>0的解集为( )A．{x|0≤x<1} B．{x|x<－1或x>1}C．{x|－1<x<1} D．{x|－1≤x≤1}3.若不等式ax2＋x＋a＜0的解集为Ø，则实数a的取值范围是( )A．{a|a≤－12或a≥12} B．{a|a＜12}C．{a|－12≤a≤12} D．{a|a≥12}4．在△ABC中，已知a＝6，b＝2，A＝60°，则B＝( )A．45° B．135° C．60° D．45°或135°5．若点B(－1，－6)与C(－3，－2)在直线4x－3y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是( )A．(－6，14) B．(14，＋∞)C．(－∞，－6)∪(14，＋∞) D．(－∞，－6)6.已知在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A. x>2 B. x<2 C.2<x<2 D.2<x<27.设等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,已知S 3=8,S 6=7,则a 7+a 8+a 9= ( )8．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形115755A. B. C. D.88889.已知双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )10.已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数都有若数列的前项和为，且满足(+2) ()=(3) (n ),n n f S f a f N *-∈则为 （ ）A ．B ．C ．D ．11.已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线 的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则 的值等于( )12.若点O 和点F 分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( ) A.2B.3C.6D.8二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。

高二数学理科试题考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1“1x >”是“12log (2)0x +<”的（ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件2．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π34.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.746.已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）12- （D ）12或12- 7.已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）11()()43a b < （B ）11a b> （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -<8已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=9.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 10在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14B.34C.24D.2311若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)12．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一个点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

中学2021-2021学年高二数学12月月考试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分) 1.如下图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为1，那么1B 的坐标是 〔 〕A. (1,0,0)B. (1,0,1)C. (1,1,1)D. (1,1,0) 【答案】C 【解析】试题分析： 由空间直角坐标系和棱长为1，可得那么1B 的坐标是(1,1,1)。

考点：1．空间直角坐标系；3310x y 的倾斜角为〔 〕A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，利用倾斜角和斜率的对应关系得出倾斜角.【详解】直线的斜率为33A kB ，设倾斜角为，那么3tan ,1503.应选D.【点睛】本小题主要考察由直线方程的一般式求得直线的斜率，考察倾斜角和斜率的对应关系.对应直线的一般方程0Ax By C，化为斜截式得到A Cy xB B，其中AB是斜率，CB是纵截距.直线的斜率，是倾斜角的正切值.要注意的是当倾斜角为90时，斜率不存在.3.某校老年、中年和青年老师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，老年老师一共有180人，那么该样本中的青年老师人数为〔〕A. 320B. 360C. 90D. 180【答案】A【解析】【分析】先求得老年老师抽样的比例，用青年老师人数乘以这个比例得到样本中青年老师的人数.【详解】老年老师抽样的比例为18019005，故样本中青年老师的人数为116003205人.应选A.【点睛】本小题主要考察分层抽样，利用分层抽样中某一层的抽样比例，得到总体的抽样比例，由此计算的其它层抽样的样本数.属于根底题.1，a2，…，a n的平均数为a，方差为s 2，那么数据2a1，2a2，…，2a n的平均数和方差分别为( )A. a，s2B. 2a，s2C. 2a，2s2D. 2a，4s2【答案】D【解析】【分析】考虑到数据2a1，2a2，…，2a n的各个数据是原数据的2倍，充分利用两者的关系结合平均数、方差的计算公式计算即可．【详解】数据a1，a2，…，a n的平均数为a，方差为S2，那么另一组数据2a 1，2a2，…，2a n的平均数为22x x a，方差是s′2，∵S2=1n[〔x1﹣x〕2+〔x2﹣x〕2+…+〔x n﹣x〕2]，∴S′2=1n[〔2x1﹣2x〕2+〔2x2﹣2x〕2+…+〔2x n﹣2x〕2]=1n[4〔x1﹣x〕2+4〔x2﹣x〕2+…+4〔x n﹣x〕2]，=4S2应选：D．【点睛】此题考察了当数据都乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数，属于根底题．5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子〔它们六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6〕，骰子朝上的点数分别为X，Y，那么log2X Y＝1的概率为〔〕．A. 16B.536C.112D.12【答案】C【解析】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为31 3612．考点：1．古典概型；6.以下说法正确的选项是( )A. 命题“假设x 2＝1，那么x ＝1〞的否命题是“假设x 2＝1，那么x≠1〞B. 假设命题p ：∃x0∈R，20210x x ，那么p ：∀x∈R，x2－2x －1＜0C. 命题“假设x ＝y ，那么sin x ＝sin y 〞的逆否命题为真命题D. “x＝－1〞是“x 2－5x －6＝0〞的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】A 中，写出该命题的否命题，即可判断A 是否正确；B 中，写出该命题的否认命题，即可判断B 是错误的；C 中，判断原命题的真假，由此得出它的逆否命题的真假．D 中，判断充分性和必要性是否成立即可；【详解】对于A ，该命题的否命题是：假设x 2≠1，那么x≠1，∴A 错误； 对于B ，命题的否认是：“2210x R x x ，－－〞，∴B 错误；对于C ，∵命题“假设x=y ，那么sin x=sin y 〞是真命题，∴它的逆否命题也为真命题． ∴C 正确；对于D ，x=-1时，x 2-5x-6=0，∴充分性成立，x 2-5x-6=0时，x=-1或者x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，D 错误 应选：C ．【点睛】此题通过命题真假的判断，考察了命题与命题的否认，四种命题之间的关系，充分与必要条件等问题，是综合题．7.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆22194x y 的位置关系为( )A. 相切B. 相离C. 相交D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线过的定点，这个定点在椭圆内部，由此判断直线和椭圆相交. 【详解】依题意，直线方程为11yk x ，所以直线过点1,1，这个点在椭圆的内部，故直线和椭圆一定相交，应选C.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察含有参数的直线方程过定点的问题，属于根底题.221:4470O x y x y 和222:410130O x y y y 都相切的直线条数是〔 〕A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】B 【解析】试题分析: 圆11(2,2),1O r ，22(2,5),4O r ，12125OO rr ，圆1O 和圆2O 外相切，所以与圆1O 和圆2O 相切的直线有3条.应选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两圆的位置关系．x y 、满足条件101010x y y x y ，那么z=2x-y 的最大值为〔 〕 A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线20x y到可行域边界的位置，由此求得目的函数的最大值.【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数2z x y在点0,1A处获得最大值，且最大值为011z.应选D【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.10.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，那么函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为( )A. 12B.34C.23D.14【答案】B【解析】【分析】函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．【详解】∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1假设函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点，那么△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为11311224，那么根据几何概型的概率公式可得所求的概率为34．应选：B．【点睛】此题主要考察几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决此题的关键．2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为2，那么mn的值是( )A.2B.3C.2D.27【答案】A【解析】【分析】设MN的中点为A，利用点差法，列出直线MN的斜率和直线OA斜率的关系式，由此求得mn的值.【详解】设1122,,,M x y N x y，设MN中点为1212,22x x y yA，直线MN的斜率为1，直线OA的斜率为121212122,22y y x xx x y y.由于,M N 在椭圆上，故2211222211mx nymx ny，两式相减得22221212m x x n y y ，化简为12121212x x y ymn y y x x，即221,2m m nn.应选A. 【点睛】本小题主要考察利用点差法，解有关直线和椭圆相交所得弦的中点有关的问题，属于根底题.22:5C x y x 内，过点53,22A有n 条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项1a ，最长的弦长为n a ，假设公差11,63d，那么n 的取值集合为( ) A. 4,5,6 B. 6,7,8,9 C. 3,4,5 D. 3,4,5,6 【答案】A 【解析】由题设圆的圆心坐标与半径分别为55(,0),22C r，最长弦与最短弦分别为125925,2444na L ra ，所以1111(,]1163n a a dn n ，解之得47n ，即4,5,6n，应选答案A 。

宁夏唐徕回民中学2021-2021学年高二数学12月试题 理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 1.关于x 的不等式101ax x -<+的解集是11,2，那么a 的值是〔 〕 A. 2 B. 2-C.12D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】由方程与不等式关系可求得a 值. 【详解】由方程与不等式关系得：1-和12为方程()()110-+=ax x 的两根， 1102a ∴-=，解得2a =， 应选：A【点睛】此题主要考察了分式不等式的解集，不等式与方程的关系，属于根底题. 2.抛物线24x y =的焦点是 A. (1,0)- B. (1,0)C. (0,1)-D. (0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先判断焦点的位置，再从HY 型中找出p 即得焦点坐标.【详解】焦点在y 轴上，又2p =，故焦点坐标为()0,1，应选D.【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为HY 方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.3.等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，那么59b b +=〔 〕A. 2B. 4C. 16D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，那么b 5+b 9＝2b 7＝8． 应选D ．【点睛】此题考察等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考察计算才能．4.以下说法中，正确的选项是〔 〕A. 命题“假设22am bm <，那么a b <〞的逆命题是真命题B. 命题“p 或者q 〞为真命题，那么命题“p 〞和命题“q 〞均为真命题C. 命题“x R ∃∈，〞的否认是：“x R ∀∈，〞D.，那么“1x >〞是“2x >〞的充分不必要条件【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为命题“假设22am bm <，那么a b <〞的逆命题“假设a b <，那么22am bm <〞是假命题,所以选项A 不正确;命题“p 或者q 〞为真命题，那么命题“p 〞和命题“q 〞至少有一个为真命题,所以选项B 不正确； 命题“x R ∃∈，〞的否认是：“x R ∀∈，〞，选项C 正确；，那么“1x >〞是“2x >〞的必要不充分条件，所以选项D 不正确； 应选C.考点：命题与充要条件.5.假设向量(0,2)m =-，(3,1)n =，那么与2m n +一共线的向量可以是〔 〕 A. 3,1)-B. (3)-C. (3,1)-D.(1,3)-【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-()333,3-=-应选B【点睛】此题考察向量的坐标运算和向量平行的断定,属于根底题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位. 6.设0,0a b >>33a 与23b 的等比中项，那么21a b+的最小值为〔 〕 A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】3a 与23b 的等比中项，∴2223333a b a b +⨯===， ∴21a b +=，∴21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =且21a b +=，即11,24a b ==时等号成立．选D ．7..某汽车公司的A,B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,假设A 厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B 厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,假设要使所费的总工作时数最少,那么这两个装配厂的工作时数分别为( ) A. 16,8 B. 15,9C. 17,7D. 14,10【答案】A 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目的函数，结合图象确定最小值取法，即得结果【详解】设A 厂工作x 小时， B 厂工作y 小时，总工作时数为z ，那么目的函数为z x y =+，约束条件为340,240,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出可行域如下图，由图知当直线y x z =-+经过Q 点时，z 获得最小值，由340,240,x y x y +=⎧⎨+=⎩可得()16,8Q ，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少.选A.【点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.2212y x -=的焦点为F 1、F 2， 点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=那么点M 到x 轴的间隔 为( )A.43B.53C.2333【答案】C 【解析】 不妨1212,2,MF MF MF MF >-=1223;F F =又12;MF MF ⊥所以2221212||||MF MF F F +=，即22121212()2||MF MF MF MF F F -+⨯=；所以12124212,4,MF MF MF MF +⨯=∴⨯=那么M 到x 轴的间隔121223323MF MF F F ⨯==应选C 9.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 3A ，假设4AF =，那么p =〔 〕A. 2B. 13 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】过A 作AB ⊥x 轴于B 点，Rt△ABF 中，作斜率为3的直线，由∠AFB 3π=且|AF |＝4，得|BF |＝2，从而求得A 的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得p 的值即可．【详解】解：过A 作AB ⊥x 轴于B 点，过抛物线y 2＝2px 〔p ＞0〕的焦点F 作斜率为3的直线，那么在Rt△ABF 中，∠AFB 3π=，|AF |＝4，∴|BF |12=|AF |＝2， 那么x A ＝22p+，∴|AF |＝x A 2p+=2+p ＝4，得p ＝2．应选A ．【点睛】此题考察了抛物线的HY 方程和简单几何性质等知识，属于中档题．10.双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，过左焦点1F 3的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，那么双曲线的离心率是〔 〕 3 B. 23C. 13D. 23【答案】B 【解析】 【分析】由题意知：212PF F F ⊥，1260PF F ∠=，算出2123,4PF c PF c ==，由双曲线定义得出关于,a c 的等式，求解出离心率.【详解】设直线1F P 与y 轴交点Q ，那么点Q 为线段1F P 的中点，那么2//OQ PF ，212PF F F ∴⊥，直线1F P 的斜率为3，1260PF F ∴∠=，12212,23,4F F c PF c PF c ∴===，由双曲线的定义知：4232c c a -=，解得离心率23ce a==+. 应选：B【点睛】此题主要考察双曲线的定义，双曲线离心率的计算，属于根底题.11.三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，那么异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为〔 〕3 B.663 D.36【答案】B 【解析】【分析】设1AA c =，AB a =，AC b =，根据向量线性运算法那么可表示出1AB 和1BC ；分别求解出11AB BC ⋅和1AB ，1BC ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c =，AB a =，AC b = 由题意得：12a b ⋅=，12b c ⋅=，12a c ⋅= 1AB a c =+，11BC BC BBb ac =+=-+()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++= 又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=()222212222BC b a cb ac a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=1111111cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅ 即异面直线1AB 与1BC此题正确选项：B【点睛】此题考察异面直线所成角的求解，关键是可以通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.12.抛物线28x y =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点(0,2)K -，那么PF PK的最小值为〔 〕A. 2C.2D.12【答案】C 【解析】【分析】先记点P 到抛物线准线的间隔 为d ，根据抛物线的定义，将PFPK化为dPK ，再设直线PK的方程为2y kx =-，因此求dPK的最小值，即是求k 的最小值，由此可得，直线PK 与抛物相切时，k 最小，联立直线与抛物线方程，结合判别式，即可求出结果. 【详解】记点P 到抛物线准线的间隔 为d ， 由抛物线定义可得d PF =，因此求PFPK的最小值，即是求dPK 的最小值，设直线PK 的方程为2y kx =-，倾斜角为θ易知sin dPKθ=，tan θk ，因此当k 取最小值时，dPK最小； 当直线PK 与抛物线相切时，k 最小；由282x y y kx ⎧=⎨=-⎩可得28160x kx -+=，由264640k -=得1k =，即tan 1θ=±，所以sin 2θ=，即1d PK =.因此，PF PK应选C【点睛】此题主要考察抛物线定义、以及直线与抛物线位置关系，熟记定义以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.函数2()(1)f x ax ab x b =+--，假如不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为________________.【答案】31{|}22x x x <->或 【解析】 【分析】先得到不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，再确定()20f x -<的解为21x -<-或者23x ->，解得答案.【详解】不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞-+∞()20f x -<的解为：21x -<- 或者23x ->解得答案：31{|}22x x x <->或 故答案为31{|}22x x x <->或【点睛】此题考察理解不等式，将2x -看成整体可以简化运算，是解题的关键. 14.命题“x R ∃∈，22390x ax -+<〞为假命题，那么实数a 的取值范围是________．【答案】-⎡⎣【解析】 【分析】由原命题为假可知其否认为真，结合二次函数性质知0∆≥，解不等式求得结果. 【详解】假设原命题为假命题，那么其否认“x R ∀∈，22390x ax -+≥〞为真命题29720a ∴∆=-≤，解得：a -≤≤a ∴的取值范围为-⎡⎣故答案为：-⎡⎣【点睛】此题考察一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是可以利用原命题与其否认之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.15.一条渐近线方程是0x +=的双曲线，它的一个焦点与方程是216y x =的抛物线的焦点一样，此双曲线的HY 方程是_______________ ；【答案】221124x y -=【解析】【分析】根据抛物线216y x =得到双曲线的焦点，即c 的值，然后根据渐近线，得到双曲线方程.【详解】因为抛物线216y x =， 所以其焦点为()4,0，因为双曲线的一条渐近线是0x +=，所以，设双曲线方程为2213x y λλ-=，所以316λλ+=，4λ=故所求的双曲线方程为221124x y -=.【点睛】此题考察通过双曲线的渐近线和焦点求HY 方程，属于简单题.22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，假设线段AB 的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为 ． 【答案】1x =- 【解析】试题分析：由222122{202422y pxy py p y y p p p y x =∴--=∴+==∴==-，准线1x =-考点：抛物线方程及性质 三、解答题〔一共70分〕17.a R ∈，命题p ：“[]0,2,240xxx a ∀∈-+≤均成立〞，命题q ：“函数()()2ln 2f x x ax =++定义域为R 〞.〔1〕假设命题p 为真命题，务实数a 的取值范围；〔2〕假设命题“p q ∨〞为真命题，命题“p q ∧〞为假命题，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕0a ≤；〔2〕a ≤-或者0a <<【解析】 【分析】〔1〕由条件转化得：42x x a ≤-在[]0,2x ∈上恒成立，只需求42x x -的最小值，即可得a 的范围；〔2〕由题目条件分析可得，命题,p q 一真一假，列出相应的不等式组求解即可. 【详解】〔1〕设[]2,1,4xt t =∈，那么2a t t ≤-在[]1,4t ∈上恒成立，令()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，那么()g t 在[]1,4单调递增，()()min 10g t g ∴==，故0a ≤.〔2〕当命题q 为真命题时，220x ax ++>在R 上恒成立，280a ∴∆=-<，解得：a -<<命题“p q ∨〞为真命题，命题“p q ∧〞为假命题，∴命题,p q 一真一假，0a a a ≤⎧⎪∴⎨≥≤-⎪⎩0a a >⎧⎪⎨-<<⎪⎩解得：a ≤-或者0a <<.【点睛】此题主要考察了含有逻辑联结词的命题真假的判断，函数的定义域，不等式的恒成立问题，属于根底题.18.ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，sin sin 2A Ca b A +=． 〔1〕求B ；〔2〕假设ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 60B =︒；(2) ⎝⎦【解析】 【分析】〔1〕根据正弦定理边角互化，将等式化简为sin sin 2A CB +=，再利用A BC π++=,以及二倍角公式化解求角B 的值； 〔2〕根据正弦定理，sin sin sin a b cA B C ==，表示,a c ，再利用面积公式1sin 2S ac B =，利用两角和的正弦公式和降幂公式化简，最后根据角的范围求取值范围. 【详解】〔1〕由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ++=︒，可得sincos 22A C B+=， 故cos2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒． 〔2〕根据正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，可得2sin ,2sin a A c C ==因为A B C π++=，所以()sin sin sin 3C A B A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, 这样113sin 2sin 2sin 3sin sin 22323S ac B A A A A ππ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 而133sin sin 3sin sin cos 322S A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23333sin sin cos sin 222426A A A A π⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭ ABC ∆是锐角三角形，所以62A ππ<<,52,666A πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ,3333sin 2,342624A π⎛⎤⎛⎫∴+-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.【点睛】此题重点考察了正弦定理边角互化解三角形，以及利用边角互化把边转化为角，转化为三角函数给定区间求取值范围的问题，此题的易错点是忽略锐角三角形的条件，或者是只写出02A π<<，这样即便函数化简正确，取值范围也错了.19.如图，直线与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点，且,OA OB OD AB ⊥⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()2,1，求p 的值.【答案】54【解析】 【分析】由题知，直线AB 的斜率为2-，从而求得直线AB 方程为25y x =-+；又OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，联立2225y pxy x ⎧=⎨=-+⎩得250y py p +-=，利用根与系数关系代入计算求出p 值. 【详解】()2,1D ，12OD k ∴=， OD AB ⊥，2AB k ∴=-，那么直线AB 的方程为：()122y x -=--，即25y x =-+， 设A B 、两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，联立2225y px y x ⎧=⎨=-+⎩，消x 得：250y py p +-=，125y y p ∴=-，OA OB ⊥，22121212122550224y y OA OB x x y y y y p p p ∴⋅=+=⋅+=-=， 54p ∴=. 【点睛】此题主要考察了直线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.解决直线与抛物线的位置关系，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求〞、“整体代入〞等解法. 20.数列{}n a 的前n 项和为1,2n S a =-，且满足()*1112n n S a n n N +=++∈. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设()3log 1n nb a =-+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并求证34n T <. 【答案】〔1〕13nn a =-；〔2〕见解析【解析】 【分析】〔1〕由n a 与n S 关系得：132n n a a +=-，构造新数列{}1n a -为等比数列，利用等比数列通项公式求出n a ；〔2〕由n a 求出n b n =，那么()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用“裂项相消法〞求出n T 即可证明【详解】〔1〕()*1112n n S a n n N +=++∈， ∴当1n =时，21222a -=+，解得28a =-，当2n ≥时，1111122n n n n n a S S a n a n -+⎛⎫=-=++-+ ⎪⎝⎭， 化简得：132n n a a +=-，()()11312n n a a n +∴-=-≥， 又()211931a a -=-=-，()()1131n n a a n N*+∴-=-∈，∴数列{}1n a -为等比数列，首项为3-，公比为3，13n n a ∴-=-，即13n n a =-；〔2〕()3log 1n n b a n =-+=，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 1111111111123243511211113122124n T n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭…【点睛】此题主要考察了n a 与n S 的关系，等比数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，考察学生的运算求解才能，属于中档题.21.在如下图的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，2AB EF =.〔1〕假设M 是线段AD 的中点，求证：//GM 平面ABFE ； 〔2〕假设22AC BC AE ===，求二面角A BF C --的余弦值. 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕12. 【解析】 【详解】〔1〕//EF AB ，//FG BC ，//EG AC ，90ACB ∠=，90EGF ∴∠=，ABC EFG ∆~∆，由于2AB EF =，因此2.BC FG =连接AF ，由于//FG BC ，12FG BC =，在平行四边形ABCD 中，M 是线段AD 的中点，那么//AM BC ，且12AM BC =， 因此，//FG AM 且FG AM =，所以四边形AFGM 为平行四边形，//GM FA ∴， 又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，//GM ∴平面ABFE ； 〔2〕，90CAD ∴∠=，又EA ⊥平面ABCD ，AC ∴、AD 、AE 两两垂直．分别以AC 、AD 、AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如下图的空间直角坐标系A xyz -，那么()0,0,0A 、()2,2,0B -、()2,0,0C 、()0,0,1D ， 故()2,2,0AB =-，()0,2,0BC =，又12EF AB =，()1,1,1F ∴-，()1,1,1BF =-. 设平面BFC 的法向量()111,,m x y z =，那么0{0m BC m BF ⋅=⋅=，1110{y x z =∴=，取11z =，得11x =，所以()1,0,1m =，设平面ABF 的法向量222(,,)n x y z =，那么0{0n AB n BF ⋅=⋅=，∴222{0x y z ==，取21y =，得21x =，所以()1,1,0n =，所以1cos ,2m n m n m n ⋅〈〉==⋅ 故二面角A BF C --的余弦值为12. 考点：1.直线与平面平行；2.利用空间向量法求二面角22.椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)的短轴长为2，离心率为22．过点M 〔2,0〕的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. 〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕求OA OB ⋅的取值范围；〔3〕假设B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点.【答案】〔1〕2212x y +=.〔2〕3[2,)2-.〔3〕直线l 过定点(1,0).【解析】【详解】〔1〕易知1b =，c e a ==得2222222a c a b ==-,故22a =. 故方程为2212x y +=.〔2〕设l ：(2)y k x =-，与椭圆C 的方程联立,消去y 得 2222(12)8820k x k x k +-+-=.由△＞0得2102k ≤<. 设1122(,),(,)A x y B x y ,那么22121222882,1212k k x x x x k k-+==++. ∴1212OA OB x x y y ⋅=+222212121212(2)(2)(1)2()4x x k x x k x x k x x k =+--=+-++=222102751212k k k -=-++ 2102k ≤<，∴2777212k<≤+， 故所求范围是3[2,)2-.〔3〕由对称性可知N 22(,)x y -，定点在x 轴上. 直线AN ：121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =得:22221121221121212121212216416()22()1212184412k k y x x x y x y x x x x k k x x k y y y y x x k ---+-+++=-====+++--+, ∴直线l 过定点(1,0).励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

第二中学2021学年第一学期12月考试高二数学理试题卷考生需要知：1．本套试卷分选择题和非选择题两局部，一共150分，考试时间是是120分钟. 2．请将答案全部填写上在在答题卷上.一、选择题：本大题一一共10小题,每一小题5分,一共50分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的.l :y =kx +1和圆2220x y y +-=的位置关系是 〔▲〕C.相交D.相切2．双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 〔▲〕 A ．2 〔B 〕3 〔C 〕2 〔D 〕23 3．假如方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0〔D 2+E 2-4F ＞0〕所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有〔▲〕A 、D=EB 、D=FC 、E=F D=E=F4．m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，那么以下命题正确的选项是〔▲〕A ．假设α⊥γ，α⊥β，那么γ∥βB ．假设m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，那么α∥βC ．假设m ∥n ，m ∥α，那么n ∥αD ．假设m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α∥β5．过椭圆22a x +22by =1〔a >b >0〕中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，那么△ABF 2的最大面积是 〔▲〕A ．abB ．acC ．b cD ．b 26．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，假设椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，那么它的离心率的取值范围是〔▲〕A. 1(0,)2B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ⎛ ⎝D. ⎫⎪⎪⎭7．假如直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是 〔▲〕A 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2， D 、1[0]3， 8．椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是(1, 0) , 两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形, 那么椭圆方程 〔▲〕 A. 22134x y += B. 22143x y += C. 22198x y += D. 22138x y += 9．设F 1、F 2分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，与直线y=b 相切的圆F 2交椭圆于E ，且E 是直线EF 1与圆F 2的切点，那么椭圆的离心率为 〔▲〕10．圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB 的最小值为 〔▲〕 A.-4+2 B.-3+2 C.-4+22 D.-3+22二、填空题：本大题一一共7小题,每一小题4分,一共28分.11．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 29＝1的左、右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，假设△PF 1F 2是等边三角形，那么a 2＝ ▲ .12. 点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，过M 点作直线l 的垂线，得到的直线方程是 ▲ .13. 动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，那么点P 的轨迹方程为_▲___14. 直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角 ▲ . 15. P 是椭圆x 225 + y 29 = 1 上一点，焦点为F 1、F 2, ∠F 1PF 2=π2，那么点P 的纵坐标是___▲__.16. 圆C 过点〔1， 0〕且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y=x-1被该圆所截得弦长为22，那么圆C 的HY 方程 ▲ . 17. 直线y=x-1和椭圆1122=-+m y m x (m>1)交于A 、B 两点,假设以AB 为直径的圆过椭圆的焦点F,那么实数m 的值是 ▲ .三、解答题：〔一共5题; 满分是72分〕18．(此题14分)如下图，P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD中心〔1〕求证：PQ∥平面BCC 1B 1〔2〕求PQ 与面A 1B 1BA 所成的角19．(此题14分)点P(2,1)是圆O:224x y +=外一点。

曲沃中学高二年级第一学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题(每小题5分，共60分)1.设集合{}|20A x x =->，{}2|20B x x x =->，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．3.抛物线y=1/4x 2的准线方程为（ ）A.x=-1B.x=-1/16C.y=-1D.y=-1/16 4．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，5．双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．41-B ．4-C ． 4D ．41 6．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( ) A ．(2,0) B ．(1,0) C ．(0,1) D ．(0，－1)7．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是( ) A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x8.已知AB 是抛物线错误！未找到引用源。

的一条过焦点的弦,且|AB|=4,则AB 中点C 的横坐标是（ ）A ．2B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

9．椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为( )A.1010 B.1717 C.21313 D.373710．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为2，则mn的值为（ ）A．2 BC ．1D ．211.设1e ，2e 分别为有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则222111e e +的值为（ ） A ．21 B ．2 C ．3 D ．不确定12．双曲线的虚轴长为4，离心率21,26e F F ，=分别是它的左右焦点，若过1F 的直线与双曲线的左支交与A 、B 两点，且21,AF AF AB 是的等差中项，则1BF 等于（ ） A ．28 B ．24 C ．22 D ．8二、填空题：（每小题5分，共20分）13.若双曲线经过点)3,6(，且其渐近线方程为x y 31±=，则此双曲线的标准方程______________。

高二数学12月月考试题 理试题说明：本试题第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷共150分,时间120分钟. 考生注意事项：1．答题前，务必在答题卡上规定的地方填写自己的姓名、班级、座位号.2．第I 卷必须使用2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．第II 卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题卡的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效.第Ⅰ卷 选择题（共60分）一．选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个答案正确) 1.若R c b a ∈,,,且b a <,则下列不等式一定成立的是（ ）A ．bc ac <B ．c b c a -<-C ．22b a < D ．ba 11> 2.在ABC ∆中,οο75,60,4===C B a ,则b =（ ）A ．64B ．22C ．32D ．623.命题“若1>x ,则0322>-+x x ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4 4.方程()2210x y xy +=<表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．5.若直线l 的一个方向向量(1,2,1)a =-r，平面α的一个法向量()2,4,m k =--u r ，若l α⊥，则实数k =（ ）A ．2B ．-10C ．2-D ．106.已知等差数列}{n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0<d ”是“12564+<+S S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 7.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．-5D ．-78.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，侧棱长为4，则点1B 到平面1AD C 的距离为（ ）A ．83 B ．3 C ．3 D ．439.已知0,1>->y x ,且0=+y x ，则yx 411++的最小值为（ ） A ．6 B ．8C ．9D ．1010.若关于x 的不等式0)1(2<--+a x a x 的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)2,1(B ．)2,1()3,4(Y --C ．]2,1(D ．]2,1()3,4[Y --11.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，3,2,11===AA AD AB ，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC 的长为（ ）A ．BC ．23D ．3212.已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是02，第二项是1，接着两项为02，12，接着下一项是2，接着三项是02，12，22，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前n 项和为n S ，则满足3000n S >的最小的正整数n 的值为（ ）A ．65B ．67C ．75D ．77第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“1sin ,≤∈∀x R x ”的否定为 .14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x ,则1+x y 的最大值为 .15.若平面内动点P 到两定点B A ,的距离之比λ=||||PB PA )1,0(≠>λλλ为常数，其中,则动点P 的轨迹为圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称作阿波罗尼斯圆.若已知2),0,1(),0,1(=-λB A ,则此阿波罗尼斯圆的方程为 .16.ABC ∆中，B A AC BC 2,3,32===，D 是BC 上一点,且AC AD ⊥，则ABD ∆的面积为 .三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知命题0],1,0[:2>-∈∀m x x p 恒成立,命题01,:2>++∈∀mx x R x q 恒成立,若q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求实数m 的取值范围.18.（12分）ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知a B c C b A 3)cos cos (sin 2=+.（1）求A ;（2）若A 为锐角,13=a ,ABC ∆的面积为33,求ABC ∆的周长.19.（12分）已知数列}{n a 是等差数列,首项21=a ,且3a 是2a 与14+a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式;（2）设)4(2+=n n a n b ,求数列}{n b 的前n 项和n S .20.（12分）雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为%100和%60，可能的最大亏损率分别为%20和%10，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过4.1万元．（1）若投资人用x 万元投资甲项目，y 万元投资乙项目，试写出y x ,所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示y x ,范围的图形;（2）根据（1）的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大?21.（12分）如图，ABCD 是菱形，60,ABC AC ∠=o与BD 相交于点O ，平面AEFC ⊥平面ABCD ，且AEFC 是直角梯形， 90,//,2,4EAC CF AE AE AB CF ∠====o. （1）求证：BD EF ⊥；（2）求二面角B DE F --的余弦值.22.（12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足n n a S 311+=. （1）求}{n a 的通项公式;（2）设n n na b =,求数列}{n b 的前n 项和n T ;若m T n ≤对+∈∀N n 恒成立,求实数m 最小值.数学（理）参考答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDBDAADACDBC12.由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1， 2，4，8，16，5）…，则第t 组的和为01122221t t t t -++⋅⋅⋅++=-+，数列共有()()32312t t t +++⋅⋅⋅++=项，当()32t t n +=时，()()()121211221222t t nt t t t S t +-+-=-+=+--,随t 增大而增大， 10t =时，65n =，6520484522091S =+-=，11t =时，77n =，7740965524194S =+-=，第65项后的项依次为02，12，22，…，102，11，02，12，…，又0211222222112mm m --+++⋅⋅⋅+==--，921511-=，10211023-=，20915113000+<，209110233000+>，∴满足条件的最小的n 值为651075+=.二．填空题13. 1sin ,>∈∃x R x 14. 2 15. 0131022=+-+x y x 16. 102 16.，，，在中，由正弦定理，可得：，解得：，可得：，，，，可得：，，在中，由余弦定理可得：， 解得：，或3．，，可得：，可得：，与矛盾，，在中，由正弦定理，可得：，．三.解答题17.若p 真： 2x m <对]1,0[∈∀x 恒成立，则0<m ； 若q 真：042<-=∆m ，则22<<-m .Q q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，则q p ,一真一假.若p 真且q 假，则⎩⎨⎧≥-≤<220m m m 或，得2-≤m ；若p 假且q 真，则⎩⎨⎧<<-≥220m m ，得20<≤m .综上所述：m 的取值范围为)2,0[]2,(Y --∞. 18.（1）Q()2sin cos cos 3A b C c B a+=∴由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 3sin A B C C B A +，Q 0sin ≠A ∴ ()3sin 2B C +=，即3sin 2A =又()0,A π∈，∴ 3A π=或23A π=.（2）3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即1322=-+bc c b ∴133)(2=-+bc c b ，而ABC ∆的面积为33 ∴33sin 21=A bc ∴12=bc . 49)(2=+c b ∴7=+c b ∴ABC ∆的周长为137+.19.（1）设数列}{n a 的公差为d ，由21=a,且3a是2a与14+a的等比中项得：)33)(2()22(2ddd++=+,12-=∴或d. 当1-=∴d时，0223=+=da与3a是2a与14+a的等比中项矛盾，舍去.ndnaan2)1(1=-+=∴.（2）)211(21)2(1)42(2+-=+=+=nnnnnnbn)]211()1111()5131()4121()311[(21+-++--++-+-+-=∴nnnnSnΛ)2111211(21+-+-+=nn)2)(1(23243+++-=nnn.20.（1）由题意，知x，y满足的条件为上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分含边界（2）根据第一问的规划和题设条件，依题意可知目标函数为，在上图中，作直线：平移直线，当经过直线与的交点A时，其纵截距最大，解方程与，解得，，即，此时万元，所以当，时，z取得最大值，即投资人用5万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过万元，且使可能的利润最大21.（1）证明：在棱形ABCD中，可得DB AC⊥，因为平面AEFC⊥平面ABCD，且交线为AC，所以DB⊥平面AEFC，因为EF⊂平面AEFC，所以BD EF⊥.（2）因为平面AEFC⊥平面ABCD，且交线为AC，由ACEA⊥，得EA⊥平面ABCD. 取EF的中点M，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,3,0,0,3,0,1,0,2,1,0,4B D E F--.所以()()0,23,0,1,3,2DB DE==u u u r u u u r.z设平面BDE 的法向量{}1,,n x y z =r，由110{ 20n DB n DE x z ⋅==⋅=+=u u ur r u u u rr ，可取()12,0,1n =-r由()4DF =-u u u r .设平面DEF 的法向量为()2,,n u v w =r，同上得，可取()21,n =r.则121cos ,5n n ==r r，因二面角B DE F --为钝二面角，故其余弦值为51-. 22.（1）由111113a S a ==+得132a =.由113n n S a =+，可知11113n n S a ++=+，可得111133n n n a a a ++=-，即12n n a a +=-.因为10a ≠，所以0n a ≠，故112n n a a +=- 因此{}n a 是首项为32，公比为12-的等比数列，故13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知13122n n n b -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.所以01213113213313122222222n n n T -⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ①两边同乘以12-得 123131132133131222222222nn n T ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ② ①②相减得12311331313131311222222222222n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-+-++⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 从而133113312222122212n n n n T -⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-⋅-⎪⎝⎭+于是221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当n 是奇数时，221332nn T n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为221302n n n T T n ++⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以132n T T ≤=. 当n 是偶数时，2212()()3323n n T n =-+<,因此32n T ≤. 因为n T m ≤，所以32m ≥，m 的最小值为32.。

高二数学〔理科〕试题卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，总分值150分，考试时间120分钟.第 Ⅰ 卷 〔选择题，共50分〕 本卷须知：Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题纸上. 一、选择题〔每题5分，共50分〕1. 在空间直角坐标系中，点),2,1,1(-A ),1,0,1(B 那么→AB =--------------------〔 〕 A ．10 B ．102 CD ．2.圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，那么圆心的坐标是---------- ( ) A ．(1,－1)B ．(12,－1) C ．(－1,2) D ．(－12,－1) 3.以下四个命题中的真命题是--------------------------------------------------------〔 〕A ．经过点P (x 0，y 0)的直线一定可以用方程y -y 0＝k (x -x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)(x 2-x 1)= (x -x 1)(y 2-y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程 x a+ y b=1表示D ．经过点A (0，b )的直线都可以用方程y =kx ＋b 表示4. 椭圆1222=+y x 的焦点坐标是-----------------------------------〔 〕 A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1) C ．(3， 0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)5.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形O B A '''，假设1=''B O ，那么原∆ABO 的面积是-----------------------------------------------〔 〕 A ．12B． CD ．6. 以下命题中，真命题是-------------------------------------------------------〔 〕 A.02,00≤∈∃x R x B. 22,x R x x >∈∀C.0=+b a 的充要条件是ab=-1 D.1>a 且1>b 是1>ab 的充分条件 7、21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上的一点，且421π=∠F AF ，那么∆21F AF 的面积是---------------------------------------------------------------〔 〕A.7B.27 C. 47 D. 257 8、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 所成的角为60°；④AB 与CD 所成的角为60°．其中错误．．的结论是-----------------------------------------------------------------〔 〕 A ．① B ．② C ．③ D ．④9、直线3+=kx y 与圆4)2()3(22=-+-y x 相交于M ，N 两点，假设MN ≥那么k 的取值范围是-----------------------------------------------------------------〔 〕A. 3(,][0,)4-∞-+∞B. 1[,0]3-C. 1(,][0,)3-∞-+∞D. 3[,0]4-10、椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是]3,2[22c c ，其中c =. 那么椭圆M 的离心率e 的取值范围是〔 〕.A. B.[ C. D. 11[,)32 第 Ⅱ 卷 〔非选择题，共100分〕 本卷须知：用钢笔或圆珠笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效. 二、填空题〔每题4分，共28分〕ks5u11. 命题“假设p ，那么q 〞是真命题，而且其逆命题是假命题，那么p ⌝是q ⌝的 的条件。

第八(dì bā)中学2021-2021学年高二上学期六科联赛〔12月〕数学〔文〕试题请注意：时量：120分钟满分是：150分一、单项选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1.给定以下命题：①全等的两个三角形面积相等；②3的倍数一定能被6整除；③假如，那么；④假设，那么。

其中，真命题有A. ①B. ①③④C. ①④D. ①②③④【答案】A【解析】试题分析：显然，只有①是真命题。

选A。

考点：此题主要考察命题的概念及真假判断。

点评：难度不大，但综合性强，涉及知识面广。

2.假设运行右图的程序，那么输出的结果是( ).A. 4B. 13C. 9D. 22【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于A=9，那么可知A= A+13=9+13=22，此时输出A的值，完毕，故可知答案为22，选D.考点：赋值语句点评(diǎn pínɡ)：此题主要考察了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于根底题3. 以下四个命题中，假命题为〔〕A. ，使成立B. ，使成立C. ，均成立D. ，均成立【答案】D【解析】试题分析：对于A，假设即满足不等式成立；对于B，时满足等式成立；对于C，显然正确；对于D，易知是可令显然不成立．考点：量词的应用.的焦点到准线的间隔是( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的方程可知，故可写出焦点到准线的间隔为.【详解】由可知，，所以焦点到准线的间隔为.应选B.【点睛】此题主要考察了抛物线的HY方程，及其简单几何性质，属于容易题.上的一点到左焦点的间隔为2，是的中点，那么为〔〕A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析】根据椭圆定义，为的中点，那么为的中位线，所以，应选择B.6.执行如下图的程序框图，那么输出的的值是〔〕．A. B. C. D.【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，满足条件；满足条件；满足条件；不满足条件，推出循环，输出的值是，应选B．的单调递减区间是( ).A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求函数的导数，利用导数求函数的单调区间.【详解(xiánɡ jiě)】由，令可得，所以函数的单调递减区间为，应选A.【点睛】此题主要考察了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，那么m等于〔〕A. -B. -4C. 4D.【答案】A【解析】解：为偶函数，假设曲线的一条切线的斜率为，那么切点的横坐标等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由函数可知，所以，那么，由得，，解得或者〔舍〕，所以，应选A. 考点：1、函数的奇偶性；2、导数的几何意义.C:，直线，PA,PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，那么“点P在直线上〞是“PA PB〞的( )条件A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C【解析(jiě xī)】〔1〕假设,设，切线斜率显然存在且不为，设方程为代入中得到：，所以，由韦达定理可得，故在直线上；〔2〕假设在直线上，设，切线方程为代入，可得，所以，故，“点在直线上〞是“〞的充要条件，应选C.：〔，〕的焦点为、，抛物线：的准线与交于、两点，且以为直径的圆过，那么椭圆的离心率的平方为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线的方程为∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为∵双曲线：〔，〕的焦点为、，且抛物线的准线与交于、两点∴，∵以为直径的圆过∴，即∵∴，即∴∵椭圆(tuǒyuán)的离心率为∴椭圆的离心率的平方为应选C.点睛：此题主要考察利用椭圆，双曲线及抛物线的简单性质求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进展分析，既使不画出图形，考虑时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的根本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联络.求离心率的值或者离心率范围，应先将有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的方程或者不等式，从而求出.，其中,假设存在唯一的整数，使得，那么的取值范围是( ).A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设那么存在唯一的整数，使得在直线的下方，由此利用导数性质能求出m的取值范围.【详解】设,由题意知存在唯一(wéi yī)的整数，使得在直线的下方，当时，，当时，，当时，取最小值，又，直线恒过定点且斜率为m，故且解得，应选A.【点睛】此题主要考察了导数的运用，函数的极值，涉及数形结合思想，属于中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.“〞是“〞的_____________条件；〔填：充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件之一.〕【答案】充分非必要【解析】【分析】由可知，所以两边同乘以可得，即能推出，当时，可得，推不出，即可知结论.【详解(xiánɡ jiě)】由可知，所以两边同乘以可得，即能推出, 当时，可得，推不出，所以“〞是“〞的充分非必要条件，故填充分非必要条件.【点睛】此题主要考察了充分条件，必要条件，属于中档题.的左、右顶点分别为两点，点，假设线段的垂直平分线过点，那么双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，那么，所以双曲线的离心率 .的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大.【答案】【解析】【分析】设圆内接等腰三角形ABC的底边长为，高为，由勾股定理可得，进而得到面积函数的解析式，利用导数求函数单调区间，可得函数在处获得极大值且为最大值. 【详解】设圆内接等腰三角形ABC的底边长为，高为,可得，解得，故三角形面积为，由，令得,即时，S有最大值. 故填.【点睛】此题主要考察了导数在实际问题中求最值的运用，正确(zhèngquè)求出面积函数的解析式并求导数是解题关键，属于中档题.,假设,那么的取值范围是____________ .【答案】【解析】【分析】先证明函数是偶函数，再利用导数证明在上递增，由是偶函数可得在上递减，利用对数的运算法那么将原不等式化简为，等价于，从而可得结果.【详解】，，是偶函数，时，，在上递增，由是偶函数可得在上递减，，化为，，等价于，或者，或者(huòzhě)，即的取值范围是，故答案为.【点睛】此题主要考察函数的奇偶性与单调性的应用以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.将奇偶性与单调性综合考察是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性一样)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕．〔1〕求函数的单调区间；〔2〕求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．(2) 最大值，最小值．【解析】分析：〔1〕求导数后，由可得增区间，由可得减区间．〔2〕根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比拟后可得最大值和最小值．详解：〔1〕∵，∴．由，解得或者；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．〔2〕由〔1〕知是的极大值点，是的极小值点，所以(suǒyǐ)极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．点睛：〔1〕求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．〔2〕求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比拟后可得最大值和最小值．18.且，设命题：函数在上单调递减，命题：对任意实数，不等式恒成立.〔1〕写出命题的否认，并求非为真时，实数的取值范围；〔2〕假如命题“〞为真命题，且“〞为假命题，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕的取值范围是.【解析】分析：〔1〕根据命题的否认的改写方法即可，非为真，即存在实数,使得不等式即可；〔2〕此题是由命题的真假求参数的题目，可先求出每个命题为真时的参数的取值范围，再根据命题“p∨q〞为真命题，“p∧q〞为假命题，判断出两个命题的真假关系，从而确定出实数c的取值范围详解：〔1〕命题的否认是：存在实数,使得不等式成立.非为真时，，即，又且，所以.〔2〕假设(jiǎshè)命题为真，那么，假设命题为真，那么或者，因为命题为真命题，为假命题，所以命题和一真一假，假设真假，那么所以，假设假真，那么，所以.综上：的取值范围是点睛：此题考察命题的真假判断与应用，解题的关键是理解“命题“p∨q〞为真命题，“p∧q〞为假命题〞，进展正确转化，求出实数c的取值范围，解答过程中能正确对两个命题中c的范围正确求解也很关键，此题涉及到了指数的单调性，一元二次不等式的解的情况，或者命题，且命题等，综合性较强与双曲线的渐近线一样，且经过点.〔1〕求双曲线的方程；〔2〕双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕由题易知，双曲线方程为；〔2〕直线的方程为，由弦长公式得，，所以试题解析：〔1〕设所求双曲线方程(fāngchéng)为代入点得，即所以双曲线方程为，即.〔2〕.直线的方程为.设联立得满足由弦长公式得点到直线的间隔.所以，．〔1〕假设，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；〔2〕在〔1〕的条件下，求证【答案】〔1〕b=2；〔2〕详见解析．【解析】【分析】〔1〕当时，由得在处的导数为，即可求的值〔2〕要证，只需证，设，求导数，确定函数单调性，即可证明. 【详解】〔1〕时，所以由题〔2〕由〔1〕可得只需证设，令，得。

2021-2022年高二数学12月学科竞赛试题理分值：150分时量：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，则等于（ b ）A．12 B．21 C．15 D．182.已知公比为2的等比数列的前项和为，则等于（ a ）A． B． C． D．3.已知命题若，则，则下列叙述正确的是（ D ）A．命题的逆命题是：若，则B．命题的否命题是：若，则C．命题的否命题是：若，则D．命题的逆否命题是真命题4.若实数满足约束条件24030230x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则的最小值为（ a ）A． 0 B． C. D．-15.若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（ C ）A． B． C． D．46．M是抛物线上一点，且在轴上方，F是抛物线的焦点，以轴的正半轴为始边，FM为终边构成的角为60°则（ c ）A．2 B．3 C．4 D．67.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B是以坐标原点O(0,0)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是正三角形,则此椭圆的离心率为( d )A. B. C.-1 D.-18.已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，同下列数中是数列中的项是（ b ）A．16 B．64 C．32 D．1289.在中，内角的对边分别是，若3sin sin sin2b B a A a C-=，且的面积为，则等于（ D ）A． B． C． D．10.已知，且，则的最小值为（ a ）A．8 B．6 C．5 D．411.已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则等于（ c ）A．64 B．72 C．80 D．9012.若双曲线-=1(a>0,b>0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( c )A.(,+∞)B.[,+∞)C.(1,]D.(1,)第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在数列中，，且数列是等差数列，则___ ______．14.在中，角的对边分别为(),sin sin ,sin 3sin 3a b c a b A B a C A π⎛⎫≥-== ⎪⎝⎭、、，则的最大值为____2_________．15.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx 与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k= .16.已知函数f(x)=log a (2x +b-1)(a>0,且a ≠1)在R 上单调递增,且2a+b ≤4,则的取值范围为 [,2 )由2x +b-1在R 上单调递增,f(x)=log a (2x +b-1)在R 上单调递增,得a>1.由2x+b-1>0,得b-1≥0,即b ≥1,所以a 1,b 1,2a b 4,>⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩画出可行域,如图,由=,得的取值范围可转化为(a,b),(0,0)两点所在直线的斜率范围,由图可知k OB 最大,k OA 最小,由得B(1,2),所以k OB =2,由得A(,1),所以k OA =,结合图形得∈[,2).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）设条件；条件()()2:2110q x a x a a -+++≤，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．.解：设，()(){}()(){}2|2110|10B x x a x a a x x a x a =-+++≤=---≤，则{}1|1,|12A x x B x a x a ⎧⎫=≤≤=≤≤+⎨⎬⎩⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又当或时，，故实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.（本小题满分12分）已知向量=(cosx,-1),向量=(sinx,),函数f(x)=(+) (1)求f(x)的最小正周期T.(2)已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,A 为锐角,a=1,c=,且f(A)恰是f(x)在[0,]上的最大值,求A 和b 的大小.【解析】(1)f(x)=(m+n)·m=cos 2x+sinxcosx+ =+sin2x+=cos2x+sin2x+2 =sin(2x+)+2.因为ω=2,所以T==π.(2)由(1)知:f(A)=sin(2A+)+2, 当A ∈[0,]时,≤2A+≤, 由正弦函数图象可知, 当2A+=时f(A)取得最大值3, 所以2A+=,A=.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccosA, 所以1=b 2+3-2×b ××cos. 解得b=1或b=2.19.（本小题满分12分） 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项和为，，求的值．解：（1）∵① ，∴当时， ②，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ①—②得()1133n n n n n S S a a a -+-==-，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴数列是首项为1，公比为4的等比数列，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设数列的公差为，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴()()111111323133231n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴122310*********110134473131b b b b b b ⎛⎫+++=-+-+-= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.（本小题满分12分）设内角所对的边分别为，且． （1）若，求的面积；（2）若，且边的中点为，求的长..解：∵，∴sin sin cos sin A B C C B =+，．．．．．．．1分则()sin sin cosC sin B C B C B +=，∴cos sin sin B C C B =，又，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （1）∵，∴，的面积．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（2）∵，∴21227c +-⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．8分 即，解得或（舍去），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴22252513AD =+-=，得．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.（本小题满分12分） 已知数列中，()1123111,231,2n n n a a a a na a n n Z ++=++++=≥∈． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和；（3）若存在，使关于的不等式成立，求常数的最小值． .解：（1）∵()*12311232n n n a a a na a n N ++++++=∈， ∴()()123123122n n na a a n a a n -++++-=≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分两式相减得，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴数列从第二项起，是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨≥⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由（1）可知当时，，当时，0121436323n n T n -=++++，()121334321323n n n T n n --=+++-+，两式相减得()1113222n n T n n -⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又∵也满足上式， ∴()111322n n T n n N -+⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）等价于，由（1）可知当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设()()()212,23n n n f n n n N -+=≥∈， 则()()()()12111023n n n f n f n -+-+-=<， ∴()()()112,1n n N f n f n >≥∈+，又及， ∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.(12分)(xx ·滨州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为. (1)求椭圆C 的方程.(2)若直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,且以AB 为直径的圆经过原点O,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.(3)在(2)的条件下,求△OAB 面积的最大值. 【解析】(1)因为椭圆的右焦点为(,0),离心率为,所以c c e a ⎧=⎪⎨=⎪⎩＝所以a=,b=1,所以椭圆C 的方程为+y 2=1.(2)直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消元可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-,x1x2 =.因为以AB为直径的圆D经过坐标原点,所以·=0,所以x1x2+y1y2=0,所以(1+k2)-km×+m2=0,所以4m2=3(k2+1),所以原点O到直线的距离为d==.当直线AB斜率不存在时,由椭圆的对称性可知x1=x2,y1=-y2,因为以AB为直径的圆D经过坐标原点,所以·=0,所以x1x2+y1y2=0,所以-=0.因为+3=3,所以|x1|=|y1|=,所以原点O到直线的距离为d=|x1|=,综上,点O到直线AB的距离为定值.(3)直线AB斜率存在时,由弦长公式可得|AB|=|x1-x2|精品文档实用文档 == ≤=2,当且仅当k=±时,等号成立,所以|AB|≤2,直线AB 斜率不存在时, |AB|=|y 1-y 2|=<2,所以△OAB 面积=|AB|d ≤×2×=,所以△OAB 面积的最大值为.24459 5F8B 律 sO dK!fC / 24013 5DCD 巍:。

卜人入州八九几市潮王学校二中2021年下学期高二年级12月月考理科数学一、选择题(每一小题5分，一共60分)1．a，b∈R，那么“ln a>ln b〞是“()a<()b〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是()A．(，1,1)B．(－1，－3,2)C．(－，，－1)D．(，－3，－2)3．α，β为互不重合的平面，m，n①假设m⊥α，n⊂α，那么m⊥n；②假设m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，那么α∥β；③假设α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，那么n⊥β；④假设m⊥α，α⊥β，m∥n，那么n∥β)A．①③B．②④C．①④D．③④4p：∀x∈(－，)，tan x>sin x非p：()A．∃x0∈(－，)，tan x0≥sin x0B．∃x0∈(－，)，tan x0>sin x0C．∃x0∈(－，)，tan x0≤sin x0D．∃x0∈(－∞，－)∪(，＋∞)，tan x0>sin x05．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，那么C的实轴长为()A.B．2C．4D．86．假设双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，那么r＝()A.B．2C．3D．67.()A ．21x =，那么1=x 21x =，那么1x ≠〞B x y =，那么sin sin x y =C ,R x ∈使得210x x ++<〞的否认是：“对任意,R x ∈均有210x x ++<〞D ．“1x =-〞是“2560x x --=〞的必要不充分条件8．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，假设11A B a =,b D A =11，c A A =1，那么以下向量中与M B 1相等的向量是()A ．c b a ++-2121B c b a ++2121C c b a +-2121D ．c b a +--2121 9．如图1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，那么α的集合是()A ．{}B ．{α|≤α≤}C ．{α|≤α≤}D ．{α|≤α≤}10．P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆＋＝1(a >b >0)上的一点，假设·＝0，tan ∠PF 1F 2＝，那么此椭圆的离心率为()A.B.C.D.11．对于空间任意一点O 和不一共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6＝＋2＋3，那么() A ．四点O 、A 、B 、C 必一共面B ．四点P 、A 、B 、C 必一共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必一共面D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必一共面12．二面角α－l －β的平面角为θ，点P 在二面角内，PA ⊥α，PB ⊥β，A ，B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A ，B 到棱l 的间隔为x ，y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹是()A ．x 2－y 2＝9(x ≥0) B ．x 2－y 2＝9(x ≥0，y ≥0) C ．y 2－x 2＝9(y ≥0)D ．y 2－x 2＝9(x ≥0，y ≥0)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上):p “,R x ∈∃使08322>-+ax ax p a 的取值范围是____ 14．以(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在直线方程为：________．15．点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到此抛物线准线的间隔为d 1，到直线x ＋2y －12＝0的间隔为d 2，那么d 1＋d 2的最小值是________．16.将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，假设点P 满足＝－＋，那么||2的值是________．17〔本小题总分值是10分〕p ：∀x ∈R ，cos2x ＋sin x ＋aq ：∃x ∈R ，ax 2－2x ＋ap ∨qp ∧q 为假．务实数a 的取值范围．18．(12分)如图，ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体， (1)化简＋＋，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．〔18题图〕19．(12分)如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．〔19题图〕20、椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M 、N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为时，求k 的值．21.如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30︒．=2，求四面体ABCD的体积；〔Ⅰ〕假设AD=2，AB BC--为60︒，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．〔Ⅱ〕假设二面角C AB D22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0,4)到焦点Fl 与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的HY方程，及抛物线在P点处的切线方程；(2)假设AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点(M，N位于直线l两侧)，当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程．攸县二中第三学月联考数学答卷第一卷(选择题，一共60分)+-= 6.9430x y417.p得a≥－cos2x－sin x＝2sin2x－sin x－1＝2(sin x－)2－，因为sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝－1时，(2sin2x－sin x－1)max p：aq得：当a≤0时显然成立；当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，解得0<a<1q：a<1p∨qp∧qp和q一真一假p真q假，那么ap假q真，那么a<1综上，实数a的取值范围是(－∞，1)∪[2，＋∞)．以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz.18(12分)(1)如图8，取AA′的中点E，D′F＝2FC′，＝＋＋.(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，∴α＝，β＝，γ＝.19.(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，那么＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．所以·＝0，·＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQDC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，那么即因此可取n＝(0，－1，－2)．设m是平面PBQ的法向量，那么可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－.故二面角Q－BP－C的余弦值为－.20.解：(1)由题意得解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN |＝ ＝ ＝.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的间隔d ＝， 所以△AMN 的面积为S ＝|MN |·d ＝.由＝，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.21.〔I 〕解：如答〔21〕图1，设F 为AC 的中点，由于AD=CD ，所以DF ⊥AC.故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°在Rt △ABC 中，因AC=2AF=AB=2BC ，由勾股定理易知BC AB == 故四面体ABCD 的体积〔II 〕解法一：如答〔19〕图1，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，那么FG//AD ，GH//BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或者其补角.设E 为边AB 的中点，那么EF//BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB.又由〔I 〕有DF ⊥平面ABC ，故由三垂线定理知DE ⊥AB.所以∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角，由题设知∠DEF=60°设,sin .2aAD a DF AD CAD ==⋅=则在,cot ,2a Rt DEF EF DF DEF ∆=⋅==中从而1.2GH BC EF === 因Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD=AD=a ，从而，在Rt △BDF 中，122aFH BD ==， 又1,22aFG AD ==从而在△FGH 中，因FG=FH ，由余弦定理得因此，异面直线AD 与BC 解法二：如答〔19〕图2，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，AD=CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F —xyz.不妨设AD=2，由CD=AD ，∠CAD=30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为 显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量.二面角C —AB —D 为60°，故可取平面ABD 的单位法向量(,,)n l m n =，使得1,60,.2n k n <>==从而设点B 的坐标为(,,0);,,B x y AB BC n AB l ⊥⊥=由取，有易知l =.因此点B 的坐标为B 所以4(9CB = 从而故异面直线AD 与BC 22.解：(1)依题意设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)， 因为点P 到焦点F 的间隔为5， 所以点P 到准线y ＝－的间隔为5.因为P (x 0,4)，所以由抛物线准线方程可得＝1，p ＝2. 所以抛物线的HY 方程为x 2＝4y . 即y ＝x 2，所以y ′＝x ，点P (±4,4)，所以y ′|x ＝－4＝×(－4)＝－2，y ′|x ＝4＝×4＝2.所以点P (－4,4)处抛物线切线方程为y －4＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋4＝0； 点P (4,4)处抛物线切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y －4＝0.P 点处抛物线切线方程为2x ＋y ＋4＝0或者2x －y －4＝0.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立，消y 得x 2－8x －4m ＝0，Δ＝64＋16m >0. 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－4m ， 所以＝4，＝8＋m ， 即AB 的中点为Q (4,8＋m )．所以AB 的垂直平分线方程为y －(8＋m )＝－(x －4)． 因为四边形AMBN 为菱形，所以M (0，m ＋10)，M ，N 关于Q (4,8＋m )对称， 所以N 点坐标为N (8，m ＋6)，且N 在抛物线上， 所以64＝4×(m ＋6)，即m ＝10，所以直线l的方程为y＝2x＋10.。