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2017年全国高中数学联赛试题与答案第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()()341f x f x +⋅-=-．又当07x ≤<时，()()2log 9f x x =-，则()100f -的值为 ．答案：1.2-解：由条件知，()()()114,7f x f x f x +=-=+所以()()()()21111001001472.5log 42f f f f -=-+⨯=-=-=-=- 2.若实数,x y 满足22cos 1x y +=，则cos x y -的取值范围是 ．答案：1.⎡⎤-⎣⎦解：由于[]212cos 1,3x y =-∈-，故.x ⎡∈⎣由21cos 2x y -=可知，()2211cos 1 1.22x x y x x --=-=+-因此当1x =-时，cos x y -有最小值（这时y 可以取2π）；当x =cos x y -1（这时y 可以取π）．由于()21112x +-的值域是1⎡⎤-⎣⎦，从而cos x y -的取值范围是1.⎡⎤-⎣⎦ 3.在平面直角坐标xOy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为 ．解：易知()()3,0,0,1.A F 设P的坐标是()3cos ,0,,2πθθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则11313cos 23OAPF OAP OFP SS S θθ=+=⋅+⋅⋅)()3sin .2θθθϕ=+=+其中ϕ=当θ=时，四边形OAPF 另解：易知()()3,0,0,1.A F 经过C 上位于第一象限内点()000,P x y 一条切线与直线1AF 平行．该切线方程为001910x x y y+=． 因为这两条平行直线的斜率相等，所以 00101.93x y -⋅=- 又因22001,910x y +=所以00x y ==易得点0P ⎝⎭到直线1:330AF x y +-=)1.于是，四边形OAPF 的面积的最大值为)01131122OAF FAP S S +=⋅⋅+=4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是 ．答案：75.解：考虑平稳数abc ．若0b =，则{}1,0,1a c =∈，有2个平稳数．若1b =，则{}1,2a ∈，{}0,1,2c ∈，有236⨯=个平稳数． 若28b ≤≤，则{},1,,1a c b b b ∈-+，有73363⨯⨯=个平稳数． 若9b =，则{},8,9a c ∈，有224⨯=个平稳数． 综上可知，平稳数的个数是2663475.+++= 另解：设abc 是一个平稳数，则1b a -≤且 1.c b -≤ 由1b a -≤可知0b a -=，1．由1c b -≤可知c b -=0，1. 1）若0,0b a c b -=-=，则,1,2,,9abc aaa a ==，有9个平稳数．2）若0,1b a c b -=-=，则 ,1,b a c a =⎧⎨=+⎩或,1.b a c a =⎧⎨=-⎩于是，()1abc aa a =+，1,2,,8a =；或()1abc aa a =-，1,2,,9a =．有8917+=个平稳数．3）若1,0b a c b -=-=，则 ,1,c b a b =⎧⎨=-⎩或, 1.c b a b =⎧⎨=+⎩ 于是，()1abc b bb =-，2,3,,9b =；或()1,0,1,,8abc b bb b =+=．有8917+=个平稳数．4）若1,1b a c b -=-=，则1b a -=±， 1.c b -=± 由1,1b a c b -=-=得()()12,1,2,,7abc a a a a =++=；由1,1b a c b -=-=-得()1,1,2,,8abc a a a a =+=；由1,1b a c b -=--=得()1,1,2,,9abc a a a a =-=；由1,1b a c b -=--=-得()()12,2,3,,9.abc a a a a =--=有789832+++=个平稳数．综上可知，平稳数的个数为 917173275.+++=5.正三棱锥P -ABC 中，1,2AB AP ==，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为 ．解：设,AB PC 的中点分别为,K M ，则易证平面ABM 就是平面α．由中线长公式知()()222222*********,24242AM AP AC PC =+-=+-⨯=所以KM ==又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK，而1,CM KC ==所以222531cos 2KM MC KC KMC KM MC +-+-∠===⋅故棱PC 与平面α6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){},|,1,0,1.K x y x y ==-在K 中随机取出三个点，则的概率 ．答案：4.7解：易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式有3984C =种．将K 中的点按右图标记为128,,,,,A A A O 其中有8由对称性，考虑14,A A 两个点的情况，则剩下的一个点有7种取法．这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个()1,2,,8i A i =，K 中恰有35,i i A A ++（这里下标按模8理解），因而恰有{}()35,,1,2,,8i i i A A A i ++=这8个三点组被记了两次．从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484.847= 7.在ABC 中，M 是BC 的中点，N 是线段BM 的中点．若3A π∠=，ABC 的面积AM AN ⋅的最小值为 ．1. 解：由条件知，()131,244AM AB AC AN AB AC =+=+，故()22131134.2448AM AN AB AC AB AC AB AC AB AC ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13sin ,24ABCSAB AC A AB AC ==⋅⋅⋅=⋅⋅所以4AB AC ⋅=，进一步可得 cos 2,AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=从而2212348AM AN AB AC AB AC ⎛⎫⋅≥⋅+⋅ ⎪⎝13 1.2AB AC AB AC ⋅+⋅=+当,2AB AC ==AM AN ⋅ 1.8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：10102017a b =<，对任意正整数n ， 有211,2,n n n n n a a a b b +++=+=则11a b +的所有可能值为 ．答案：13,20.解：由条件可知：121,,a a b 均为正整数，且12.a a <由于9101120172512b b b >=⋅=，故{}11,2,3.b ∈反复运用{}n a 的递推关系知 1098877665542325385a a a a a a a a a a a =+=+=+=+=+43322113821131421,a a a a a a =+=+=+ 因此1101032212121133421,a a b a a a a ≡==+=+而13213481⨯=⨯+，故()1111132113226mod34.a a b b ≡⨯≡⨯= ①另一方面，注意到12a a <，有1211553421512,a a a b <+=故11512.55a b <② 当11b =时，①，②分别化为()1151226mod34,,55a a ≡<无解． 当12b =时，①，②分别化为()11102452mod34,,55a a ≡<得到唯一的正整数118,a =此时1120.ab +=当13b =时，①，②分别化为()11153678mod34,55a a ≡<，得到唯一的正整数110,a =此时1113.ab +=综上所述，11a b +的所有可能的值为13,20.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设,k m 为实数，不等式21x kx m --≤对所有[],x a b ∈成立．证明：b a -≤证明：令()2f x x kx m =--，[],x a b ∈，则()[]1,1.f x ∈-于是 ()21,f a a ka m =--≤ ① ()21,f b b kb m =--≤ ②21.222a b a b a b f k m +++⎛⎫⎛⎫=-⋅-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 由①+②2-⨯③知，()()()22 4.22a b a b f a f b f -+⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭故b a -≤另证：令()2f x x kx m =--，[],.x a b ∈因为不等式()1f x ≤对所有[],x a b ∈成立，所以()f x 在[],a b 上的最大值与最小值之差不超过2．下面用反证法证明b a -≤假设b a ->1）当2ka ≥时，()()(()2f b f a f a f a ≥->+-((()22a k a m a ka m =+-+----228a ka m a ka m =++----++888.2k=-+≥-+=矛盾．2）当2kb ≤时， ()()(()2f a f b f b f b ≥->--888.2k=-++≥-++=矛盾．3）当2ka b <<时， ⅰ）若22k a b+≤，则 ()()222k a b f b f f b f +⎛⎫⎛⎫≥-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b a b a b f f +++⎫⎛⎫>-=+⎪ ⎪⎭⎝⎭2 2.2k≥+=矛盾．ⅱ）若22k a b+>，则 ()()22222k a b a b a b f a f f a f f f +++⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫≥->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭22 2.22a b k+=-++>-+=矛盾．10.（本题满分20分）设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求 ()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++⎪⎝⎭的最大值和最小值．解：由柯西不等式()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭ ()2123 1.x x x =++=当1231,0,0x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为()()52123113312315353553553x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2123123115355543x x x x x x ⎡⎤⎛⎫≤⋅+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦212311466203x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()212319666,205x x x ≤++= 当12311,0,22x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最大值为9.511.（本题满分20分）设复数12,z z 满足()()12Re 0,Re 0z z >>，且()()2212Re Re 2z z ==（其中()Re z 表示复数z 的实部）． （1）求()12Re z z 的最小值；（2）求121222z z z z +++--的最小值．解：对1,2k =，设()i ,k k k k k z x y x y R =+∈．由条件知()()222Re 0,Re 2.k k k k k x z z y z =>-== 因此()()()()1211221212Re Re i i z z x y x y x x y y =++=-()12122 2.y y y y +-≥又当12z z ==()12Re 2z z =．这表明，()12Re z z 的最小值为2.（2）对1,2k =，将k z 对应到直角坐标系xOy 中的点(),k k k P x y ．记2P '是2P 关于x 轴的对称点，则12,P P '均位于双曲线22:2C x y -=的右支上．设12,F F 分别是C 的左、右焦点，易知()()122,0,2,0.F F -根据双曲线的定义，有11122122PF PF P FP F ''=+=+进而得 1212112222z z z z z z z +++--=++-112112122212PF P F PP PF P F PP ''''=+-=+-≥等号成立当且仅当2F 位于线段12P P '上（例如，当122z z ==时，2F 恰是12P P '的中点）．综上可知，121222z z z z +++--的最小值为加试题一、（本题满分40分）如图，在ABC 中，AB AC =，I 为ABC 的内心．以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点B 、I 的圆3Γ与1Γ、2Γ分别交于点P 、Q （不同于点B ）．设IP 与BQ 交于点R ．证明：.BR CR ⊥证明：连接,,,,.IB IC IQ PB PC由于点Q 在圆2Γ上，故,IB IQ =所以.IBQ IQB ∠=∠又,,,B I P Q 四点共圆，所以,IQB IPB ∠=∠于是,IBQ IPB ∠=∠ 故IBP ∽IRB ，从而有,IRB IBP ∠=∠且RQP ICBA A BCIP Q R,IB IP IR IC= 注意到AB AC =，且I 为ABC 的内心，故IB IC =，所以,IC IP IR IC= 于是ICP ∽IRC ，故.IRC ICP ∠=∠又点P 在圆1Γ的弧BC 上，故11802BPC A ∠=-∠，因此BRC IRB IRC IBP ICP ∠=∠+∠=∠+∠360BIC BPC =-∠-∠113609018022A A ⎛⎫⎛⎫=-+∠--∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭90,= 故.BR CR ⊥二、（本题满分40分）设数列{}n a 定义为11,a = 1,,1,2,.,,n n n nn a n a n a n a n a n ++≤⎧⎪==⎨->⎪⎩若若求满足20173r a r <≤的正整数r 的个数．解：由数列定义可知121, 2.a a ==假设对某个2r ≥有r a r =，我们证明对1,,1t r =-，有2122121,2.r t r t a r t r t a r t r t +-+=+->+-=-<+ ①对t 归纳证明．当1t =时，由于r a r r =≥，由定义，121,r r a a r r r r r +=+=+=>+()()2112112r r a a r r r r r ++=-+=-+=-<+，结论成立．设对某个11t r ≤<-，①成立，则由定义()21222221,r t r t a a r t r t r t r t r t +++=++=-++=+>++()()222121221122,r t r t a a r t r t r t r t r t ++++=-++=+-++=--<++即结论对1t +也成立．由数学归纳法知，①对所有1,2,,1t r =-成立，特别当1t r =-时，有321r a -=，从而()3132323 1.r r a a r r --=+-=- 若将所有满足r a r =的正整数r 从小到大记为12,,,r r 则由上面的结论可知1211,2,31,2,3,.k k r r r r r +===-=由此可知，()11131,,122k k r r k m +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，从而11111313.222m m m r r --+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由于201730182017201820193131322r r ++=<<=，在20171,2,,3中满足r a r =的数r 共有2018个，为122018,,,.r r r由①可知，对每个1,2,,2017k =，1,2,,32k k k r r r ++-中恰有一半满足.r a r <由于2017201831112r ++=+与20173均为奇数，而在201720181,,3r +中，奇数均满足r a r >，偶数均满足r a r <，其中偶数比奇数少1个．因此满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为()20172017132019320181.22---= 另解：易知1231,2,4a a a ===；4567891,5,10,4,11,3,a a a a a a ======10111212,2,13a a a ===；1314151617181920211,14,28,13,29,12,30,11,31,a a a a a a a a a =========222310,32,a a == 242526272829309,33,8,34,7,35,6,a a a a a a a =======31323336,5,37,a a a ===344,a = 353637383938,3,39,2,40a a a a a =====；……当正整数n 足够大时，若1n a =，则()121321,1,122,2,n n n n n n n a a a n n a a n n a a n n +++++==+=+=++=+=-+=()435465323,41,524,n n n n n n a a n n a a n n a a n n ++++++=++=+=-+=-=++=+由以上等式易观察出：若1n a =，正整数2k n <+，则 2122,2 1.n k n k a n k a n k +-+=-+=++因为当21n k -+=时，1k n =+，2131,n k n +-=+所以，当1n a =时，使得1m a =且m n >的最小正整数3 1.m n =+当1n >，且1n a =时， 11,11n n a n a n n +=<=+≤+，2222,n a n n +=+>+ 212221,212,2,,.n k n k a n k n k a n k n k k n +-+=-+<+-=++>+= 因为11a =，所以使得1m a =且1m >的最小正整数31m =+．因为311a +=，所以使得1m a =且31m >+的最小正整数()2331133 1.m =⋅++=++依此类推下去，可知使得1n a =的一切正整数n 分别为221,13,133,,1333,k +++++++．设220121,13,133,,1333,k k n n n n ==+=++=++++．易知2007201620173,n n <<20161n a =，2016201612016201622016201611,22 2.n n a n n a n n ++=+≤+=+>+ 201620162120162016220162016221,212,n k n k a n k n k a n k n k +-+=-+<+-=++>+2017201632,,.2n k -=满足01,r a r n r n <≤<的正整数r 的个数为零；满足,3r i i a r n r n <≤<+ 的正整数r 的个数为1，1,2,,2016.i =满足1331i i i n r n n ++≤<=+的正整数r 共有22i n -（偶数）个，1,2,,2015,i =其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．满足2017201633n r +≤≤的正整数r 共有2017201632n --（偶数）个，其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．于是，满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为20172017332017320192016.22-⨯-+=三、（本题满分50分）将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值．解：记分隔边的条数为L ．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色， 粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =下面证明56.L ≥将方格纸的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,,B B B ．行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ．三种颜色分别记为123,,.c c c 对于一种颜色j c ，设()j n c 是含有j c 色方格的行数与列数之和．记()1,,0,i j i j A c A c δ⎧⎪=⎨⎪⎩若行含有方格，否则，类似地定义(),i j B c δ．于是()()()()()()33333111,,iiijiji i j n A n B A c B c δδ===+=+∑∑∑11331716()()()()3333111,,.i j i j j j i j A c B c n c δδ====+=∑∑∑由于染j c 色的方格有21333633⋅=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定在这a 行和b 列的交叉方格中，因此363ab ≥，从而()38,j n c a b =+≥> 故 ()39,1,2,3.j n c j ≥= ①由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，因此至少有()1i n A -条分隔边．同理在列j B 中，至少有()1j n B -条分隔边．于是()()()()33331111i i i i L n A n B ==≥-+-∑∑()()()33166i i i n A n B ==+-∑ ②()3166.j j n c ==-∑ ③下面分两种情形讨论．情形 1：有一行或一列全部方格同色．不妨设有一行全为1c 色，从而方格纸的33列中均含有1c 色方格．由于1c 色方格有363个，故至少有11行中含有1c 色方格，于是()1113344.n c ≥+= ④由①，③及④即得()()()123664439396656.L n c n c n c ≥++-≥++-=情形2：没有一行也没有一列的全部方格同色．则对任意133i ≤≤，均有 ()()()33166334666656.i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑综上所述，分隔边条数的最小值等于56. 四、（本题满分50分）设,m n 均是大于1的整数，.m n ≥12,,,n a a a 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且12,,,n a a a 互素．证明：对任意实数x ，均存在一个()1i i n ≤≤，使得()2,1i a x x m m ≥+这里y 表示实数y 与它最近的整数的距离．证明：首先证明以下两个结论． 结论1：存在整数12,,,n c c c ，满足11221,n n c a c a c a +++=并且,1.i c m i n ≤≤≤由于()12,,,1n a a a =，由裴蜀定理，存在整数12,,,n c c c ，满足1122 1.n n c a c a c a +++= ①下面证明，通过调整，存在一组12,,,n c c c 满足①，且绝对值均不超过m ．记()()112212,,,0,,,,0.i j n in j c mc mS c c c cS c c c c ><-=≥=≥∑∑如果10S >，那么存在1,i c m >>于是1,i i c a >又因为12,,,n a a a 均为正数，故由① 可知存在0.j c <令i i c c a '=-。
2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训 参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又 当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积 的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。
2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1•设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x 3) f(x_4) = -1 .又当0辽X ::： 7时，f (x) =log2(9 —x)，则f(—100)的值为______________2•若实数x, y满足x2+2cosy =1，贝U x — cosy的取值范围是___________2 23.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:x y 1 , F为C的上焦点，A为C的9 10右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 _____________ . 4•若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5•正三棱锥P - ABC中，AB =1 , AP =2，过AB的平面:将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为___________ .6•在平面直角坐标系xOy中，点集K =〈x,y)x, y - -1,0,1】在K中随机取出三个点，贝U这三点中存在两点之间距离为J5的概率为______________7•在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若.A ABC的面积为3J3，则AM AN的最小值为______________ •8•设两个严格递增的正整数数列也Jb n 1满足：a®：：：2017，对任意正整数n，有a n^ =a n* +a n,b n+ =2b n，则a 的所有可能值为___________ •二、解答题9•设k,m为实数，不等式x2—kx —m兰1对所有la,b】成立证明：b—a兰2应.10•设/必必是非负实数，满足x1 x2 X3 =1，求(x1 3x2 5X3)(X1 •—-)的最3 5小值和最大值•11.设复数Z1,Z2满足Re(z1) 0, ReZ) 0,且Re(才)=Re(z；) = 2(其中Re(z)表示复数z的实部)•(1)求Re⑵Z2)的最小值；(2)求N +2 + Z2 + 2 —乙—Z2的最小值•2017年全国高中数学联赛 A 卷二试.如图，在:ABC 中，AB=AC , I 为:ABC 的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆 M , 以I 为圆心，IB 为半径作圆 『2，过点B , I 的圆r 3与】1,丨2分别交于点P,Q （不同于点B ）.设IP 与BQ 交于 点R .证明：BR_CR 二.设数列^aj 定义为 Q =1 ，a + nQ 兰 n,a n + = Jn =1,2，….求满足an- n,a n A n,a r ::: r < 32的正整数r 的个数•三•将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等 •若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”•试求分隔边条数的最小值•四•设m,n 均是大于1的整数，m_n , a 1,a 2/' ,a n 是n 个不超过 m 的互不相同的正整数, 且a 「a 2,…，a .互素•证明：对任意实数x ，均存在一个i （1 一 i 一 n ）,使得2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.答案：丄解：由黃件知*广（工+[4） = _—-——=r 所以dA-100）= <（-100 + 14x7）= === ~/（5） log-422a i x2 m(m 1)II X ，这里| y 表示实数y到与它最近的整数的距离答案：［-1*若+1］ *解：由于 v'-1-2cosr^［-1. 3J* 故［-点间.由cw r --— 可知» v -cos v-x --------------- ----- -(.V - U : - 1.阖此当 r =［时，1- 7 'A g 和有最小值|(这时$可以S1-)：当V - V'时 * A cos r 有最大值Jj I (这时F 可以取 2由于+的值域是［7 巧+ 1］・从而x-eosy 的取值范围是［-1, V3 + IL3.答第芈.£r解：易知卫⑶0)｝ F(0, 1). i 殳P 的坐标是(3cos<9, J?6审询,W 0冷・则盈>S — s 叫州F 屮 」辺神|——(vTOcosf/ I .sin//)= —^―sin(^ + ip) *2 2arctati ^1" 当/y-ardanVlO 时・四边形Oz 尸尸面积的最大值为芒叵. 10 24.答案：75. _解；考虑平稳数赢*若b = 0,则□ = ), c 怎｛01｝「有2个平稳数.若B=l ・JWX 仏2｝,虫｛0丄2"有2x3 = 6个平稳数・， ^r2<6<8,则口,匚€少一1",占+ 1八 有7x3x3 = 63个平稳数.若b = 9、则｛8,9｝ 1有2x2 = 4个平稳数.综上可知，平橈数的个数是2 + 6 +利+ 4=方・5.-丄 j.Jiihim 11WTT …答案:看解：设血PC 的中点分別为H ,则易证平而卫&灯就是平面口.由中线 长公式知5 I gg 」"土 ％—； 2KMMC 石 故棱PC 与平面任所戒角的余弦值为婕.106.解：易知K 中有9个点，故在K 中粗机取出三个点的 方式数为C ： = 84种.将K 中的点按右图标记为其中有8 对点之问的葩奥为J?.由对称性，考虑取厶局两点的情 况.则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8 = 56个三点 组（不计每组中三点的次序人对每个4G = U,--S 8）. K中恰有4宀4乜两点与之距證为｛这里下标按模8理解）.因而恰有 卩，心/』（心kN …⑻这$个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个 数为56-8 = 48・进而所求概率为—=-.S4 77.答案土 C 卜I 解：由条件知f AMACt AN故2'?斗 4I ，-?—-1' ][ ( I —' I TAM AN - -{Jfi + ^C]*| -.4B + - JC - - 3|AB^ +|^C| -4JS-Jtj.由于 ^3 = S 曲北=|jC | ■ sin J = |^45||/1C| r 所以 AB AC — 4* 进2 4步可得 AH AC — .4( I €0> .4 — 2* 从而IV/r所以 KM = JIC')- -PC --(2^= ---- T2文易知直线/＜在平滴。
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，2a，3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY.四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a a b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-。
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试一、填空题1.设f ( x)是定义在 R 上的函数，对任意实数x 有 f ( x 3) f ( x 4)1.又当0x 7时， f (x)log 2 (9x) ，则 f (100) 的值为__________ .2.若实数x, y满足x2 2 cos y 1 ，则x cos y 的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系x 2y2xOy 中，椭圆C的方程为 :1，F为C的上焦点，A为C的910右顶点， P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥P ABC中，AB1， AP 2 ，过 AB 的平面将其体积平分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为 __________ .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集K( x, y) x, y1,0,1.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 5 的概率为__________.7.在ABC 中， M 是边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点.若 A， ABC 的面积为33 ，则 AM AN 的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列a n , b n满足： a10b102017 ，对任意正整数n ，有a n 2a n1a n ，b n 12b n，则a1b1的所有可能值为__________.二、解答题9.设k, m为实数，不等式x 2kx m 1对所有x a, b 成立.证明： b a 2 2 .10.设x1, x2, x3是非负实数，满足x1x2x3 1，求 ( x1 3x2 5x3 )( x1x2x3 ) 的最35小值和最大值 .11.设复数z1, z2满足Re( z1)0， Re(z2 ) 0 ，且 Re(z12 ) Re(z22 ) 2（其中 Re(z) 表示复数 z 的实部）.（1）求Re( z1z2)的最小值；（2）求z1 2 z2 2 z1z2的最小值 .2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试一.如图，在ABC 中， AB AC ， I 为ABC 的内心，以A为圆心， AB 为半径作圆 1 ，以I为圆心，IB为半径作圆 2 ，过点 B, I 的圆 3 与1,2分别交于点P,Q（不同于点B）.设IP 与BQ交于点 R .证明： BR CR二 .设数列a n定义为 a1 1 ，a n 1a n n, a n n,2017 a n n, a nn 1,2, .求满足a r r 3n,的正整数 r 的个数.三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设m, n均是大于 1 的整数，m n，a1, a2, , a n是n个不超过m的互不相同的正整数，且 a1 , a2 , , a n互素 . 证明：对任意实数x，均存在一个i (1 i n) ，使得2x ，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.a i xm(m 1)2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试答案1.2.3.4.5.6. 7.8. 9.10.11.2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试答案一.二.三.四.。
