高二趣味数学竞赛试卷

班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 新源县第二中学高二年级数学竞赛试题（说明：1.本试卷由46道填空题共50个空构成，每空2分满分100分，考试时间为120分钟。

2.由于本试卷侧重竞赛故难易程度较分散，考生可以根据自己的特点选择自己擅长的题目争取在规定 的时间内做对较多的题。

3.考生必须将答案准确的填写在答题卡上。

）1. 如果命题“若A 则Ｂ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题， 则Ａ是B 的 条件．2. 已知p ：1∈｛1，2｝，q ：｛1｝∈｛1，2｝，则①“p 且q ”为假； ②“p 或q ”为真；③“非p ”为真，其中的真命题的序号为 .3. （1）“p 且q 是真命题”是“p 或q 为真命题”的 条件； （2）“非p 是真命题”是“p 或 q 为真命题”的 条件； （3）“p 或q 为假命题”是“非p 为真命题”的 条件；4. 命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

5. 12:,A x x 是方程20(0)axbx c a ++=≠的两实数根；12:bB x x a+=-,则A 是B 的 条件。

6. 用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件；③:23A x -<, 2:4150B x x --<, 则A 是B 的___ ___ ___ __条件。

安徽高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．3.下列命题中是假命题的是（）A．对任意，B．对任意，C．存在，使D．存在，使4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A．B．C．D．5.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A．1B．2C．4D．86.若是实数，则“且”是“对任意，有”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．9.定义:数列前项的乘积.已知列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（）A．B．C．D．10.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（）条A．0B．1C．2D．无数个11.若直线过点，则的最小值等于（）A．5B．C．6D．12.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．二、填空题1.不等式的解集为__________．2.在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为___________．3.在中，，，的面积为，则的外接圆的半径为__________．4.设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．三、解答题1.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.2.解关于的不等式组.3.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.4.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.5.如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.6.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）若，求直线的方程；（3）已知为原点，求证：为定值.安徽高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】命题“若，则”是真命题，则根据逆否命题的等价性可知：命题“若，则”是真命题，故选C.2.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线的，，可得渐近线方程为，即有，故选B.3.下列命题中是假命题的是（）A．对任意，B．对任意，C．存在，使D．存在，使【解析】因为，故其最大值为，所以存在，使不正确，故选D.4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，所以，解得，故选D5.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】由题意可得，解得，∴，故选A.6.若是实数，则“且”是“对任意，有”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若且，则对任意，有，反之，则不一定成立．如，且时，也有对任意，有．故“且”是“对任意，有”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系.7.设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵点在椭圆上，线段的中点在轴上，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选A.8.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．【解析】不等式对应的平面区域如图：由得，若时，直线，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若，则直线截距取得最大值时，取的最大值，此时满足直线与平行，此时，解得．若，则直线截距取得最大值时，取的最大值，此时满足直线与平行，此时，解得，综上满足条件的或，故实数的取值集合是，故选B.点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，结合取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据；作出不等式组对应的平面区域，利用取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论.9.定义:数列前项的乘积.已知列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴∴，，故不正确；，，故不正确；，，故C正确；，，故不正确；故选C.10.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（）条A．0B．1C．2D．无数个【答案】B【解析】设正方体的棱长为2，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，则，设，则，∴，∵直线与平面垂直，∴，解得，∵方程组只有唯一的一组解，∴与平面垂直的直线有1条，故选B.11.若直线过点，则的最小值等于（）A．5B．C．6D．【答案】C【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．12.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，代入椭圆方程得，相减得，∴，∵，，．∴，化为，又，解得，．∴椭圆的方程为，故选C.点睛：点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程，还可用于求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题等.二、填空题1.不等式的解集为__________．【答案】【解析】∵，∴原不等式等价于，其解集为，故答案为.2.在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为___________．【答案】【解析】在正四面中，设向量，，，则三个向量两两夹角为，设正四面体的棱长等于1，且，，，则∵中，，，∴，，，，∵，∴，即直线和所成角的余弦值为，故答案为.3.在中，，，的面积为，则的外接圆的半径为__________．【答案】2【解析】由，，得到，解得，根据余弦定理得：，解得，根据正弦定理得：（为外接圆半径），则，故答案为.点睛：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题；由度数和的值，利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，让等于即可求出的值，由及的值，根据余弦定理即可求出的值，然后由和的值，再利用正弦定理即可求出三角形外接圆的半径.4.设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．【答案】10【解析】∵，∴取最小值为1，取最大值为2．所以最大值，又∵，即最小值，所以，故答案为.三、解答题1.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.【答案】（1）见解析; （2）18.【解析】（1）根据每天生产甲乙两种产品分别为，吨，然后根据题目条件建立约束条件，列出不等式组即可；（2）根据（1）中的约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值.试题解析：（1）由题意可列，其表示如图阴影部分区域：（2）设该企业每天可获得的利润为万元，则.当直线过点时，取得最大值，所以.即该企业每天可获得的最大利润18万元.2.解关于的不等式组.【答案】①当时，不等式组的解集为；②当时，不等式组的解集为；③当时，不等式组的解集为；④当时，不等式组的解集为；⑤当时，不等式组的解集为.【解析】依据指数函数的单调性将不等式转化为，分为，和三种情形得其解；由于对应的两个零点为，应比较两零点的大小，结合第一个不等式，故而应分为，，，，五种情形.试题解析：由，得，当时，；当时，不存在；当时，；由，得.①当时，，又，所以原不等式组的解集为；②当时，，又，所以原不等式组的解集为；③当时，，又，所以原不等式组的解集为；④当时，，又不等式的解集为，所以原不等式组的解集为；⑤当时，，又，所以原不等式组的解集为；点睛：本题主要考查了分类讨论思想在解不等式中的应用，解题的关键是做到不重复不遗漏，确定讨论的标准；对于，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不变，同时除以一个负数不等号改变的性质，故对其分为，和三种情形；对于含有参数的一元二次不等式，按照以下三种情形进行分类：1、二次项系数的符号；2、对应函数零点的个数；3、对应函数零点的大小进行比较.3.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）依据向量平行的坐标运算公式，利用正弦定理将边化为角，故可转化为，再根据三角形内角和以及诱导公式可得，故得；（2）余弦定理和基本不等式相结合可得面积最值.试题解析：（1）由得，，由正弦定理可得，，，，，又，.（2）的面积.由已知及余弦定理，得.又，故，当且仅当时，等号成立.因此面积的最大值为.4.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】（1）结合由已知等式易得递推式，可得，，的值，由等比数列的性质可得的值；（2）结合（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式；（3）由（2）得，利用裂项相消法得其前项和.试题解析：（1）由，得，当时，，即，所以，，依题意，，解得.（2）有（2）知，所以，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.（3）由（2）知，则.点睛：本题主要考查了等比数列的概念及其构造，等式以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.5.如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析; （2）.【解析】（1）取的中点为，由已知得，，从而面，由此能证明平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：由题意可得为等边三角形，取的中点为，则，，，，又，，面，又，所以平面平面.（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，设面的法向量为，面的法向量，由，即，取，则，，；由，即，取，则，，，，所以二面角的余弦值为.6.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）若，求直线的方程；（3）已知为原点，求证：为定值.【答案】（1），，;（2）或;（3）为定值.【解析】（1）将代入，得，由此能求出抛物线方程和焦点坐标；（2）设，及直线的方程，联立方程组结合韦达定理得，，由即，代入得的值，故可得其直线方程；（3）设，，写出直线的点斜式方程，将代入得，同理可得，利用整体代换思想得可得结果.试题解析：（1）将代入，得，所以抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为.（2）设，，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得：，则由韦达定理得：，.由得，，又，，所以，，所以，，所以，，解得，所以，所求直线方程为或.（3）设，，直线的方程为：，即，令，得，同理可得：，又，，.所以，即为定值.。

⾼⼆数学竞赛试题及答案⾼⼆年级学科知识竞赛数学试卷第I 卷（选择题）⼀、填空题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分）1．命题:p ⽅程11522=-+-m y m x 表⽰焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成⽴的充分不必要条件是 A ．53<m C ．51<2．已知集合{}2|20A x x x =+-<，12|log 1B x x ??=>，则A B = （）A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(2,)2-D ．1(,1)23.若数列{}n a 满⾜()21115,22n nn n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（）A ．200 B.150 C.100 D.504．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，则该双曲线的标准⽅程为（）A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是（）①若,m ααβ⊥⊥，则//m β；②若,//,m n ααββ⊥?，则m n ⊥；③若,,//m n m n αβ??，则//αβ；④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成⽴的是（）A.a b x y >B.a b x y <C.xya b > D.xya b < 7．已知函数()sin()f x A x ω?=+（0A >，0ω>，02π<<）的部分图像如图所⽰，则函数()f x 的解析式为（） A．())3f x x π=+ B．())6f x x π=+C ．()2sin(2)3f x x π=+ D ．()2sin(2)6f x x π=+8．正⽅体1111ABCD A BC D -中，M 是1DD 的中点，O 为底⾯ABCD 的中⼼，P 为棱11A B 上的任意⼀点，则直线OP 与直线AM 所成的⾓为（）A. 45oB. 60oC. 90oD.与点P 的位置有关9．⼀只蚂蚁从正⽅体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正⽅体的表⾯，按最短路线爬⾏到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表⽰正⽅体及蚂蚁最短爬⾏路线的正视图是（）A.①②B.①③C.③④D.②④ 10．函数ln cos 22y x x ππ??=-<< 的图象是（）A ．B ．C ．D ．11.设点12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，l 为右准线，若在椭圆上存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到l 的距离d 成等⽐数列，则椭圆的离⼼率e 的取值范围是（）A.)1,1B.1,1??C.(1?? D.0,2? ??12．已知全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中⼼为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则MPQ ?周长的最⼩值为（）A ．24BC ．14 D第II 卷（⾮选择题）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13.已知向量AB →与AC →的夹⾓为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则λ= . 14．正数y x ,满⾜22=+y x ，则xyyx 8+的最⼩值为 . 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，()9418,309,336n n S a n S -==>=，则n = .164个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有②()()()*22f x kf x k k N=+∈，对于⼀切[)0,x ∈+∞恒成⽴；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分）17. （10分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：.若()p q ?∧是真命题，求实数a 的取值范围.18．（12分）如图所⽰，已知⼆⾯⾓α-MN -β的⼤⼩为60°，菱形ABCD 在⾯β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥⾯α，垂⾜为O .(1)证明：AB ⊥平⾯ODE ；(2)求异⾯直线BC 与OD 所成⾓的余弦值．19．（12分）如图所⽰，在ABC ?中, 点D 为BC 边上⼀点，且1,BD E =为AC 的中点（1）求AD 的长；（2）求ADE ?的⾯积.20．（12分）设函数()f x 是定义域为[]1,1-的奇函数；当[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()22cos sin 1f x a θθ≤-+都成⽴，求θ的取值范围．21、（12分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线y x =. ⑴求椭圆的⽅程；⑵过1F 作互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PQMN ⾯积的最⼤值和最⼩值.22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满⾜1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满⾜()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前⾯；当n 为偶数时，n b 放在前⾯”的要求进⾏“交叉排列”，得到⼀个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n项和n S ．参考答案⼀、选择题1．D 解析：⽅程表⽰焦点在y 轴上的充要条件是501015m m m m ->??->??->-?，解得35m <<，所以选项中是35m <<的充分不必要条件的是45m <<，故选D.2．A 解析：依题意()12,1,0,2A B ??=-= ，故10,2A B ??=.3.D 解析：由已知1n n a a +=4. A解析：,e c a =?==，渐近线⽅程222202x y x b b -=?=±，因此左顶点到⼀条2a b =?==，即该双曲线的标准⽅程为22184x y -=，选A.5. D 解析：对于①，有可能m β?，故错误；对于③,αβ可能相交，故错误.所以选D. 6 .D 解析：xyya ab <<7. D 解析：0x =时，1y =，代⼊验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.8. C. 解析：如下图所⽰建⽴空间直⾓坐标系，不妨设正⽅体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =--- ，(0,2,1)AM =-，∴(1)012(2)(1)0OP AM x ?=-?-?+-?-= ，即OP AM ⊥，故夹⾓为2π，故选C.9．D 解析：最短距离是正⽅体侧⾯展开图，即矩形111ABCC B A A 的对⾓线1AC （经过1BB ）、或矩形11ABCC D DA 的对⾓线1AC （经过CD ），故视图为②④. 10. A 解析：由偶函数排除B 、D,∴≤∴≤<,0,1cos 0y x 排除C. 11.A()21211e e +≥?≤<12.B 解析：∵点（0，4）到直线c o s (4)s i n x y θθ+-=的距离直线c o s (4)s i n x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切，∴集合A 表⽰除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合，∴集合A C U 表⽰圆()2241x y +-=，其对称中⼼()0,4M如图所⽰：设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点，设M a b '（，），求得4 8a b =??=?，可得M '（4，8）．设M '关于x 轴的对称点为M m n "（，），易得M "（4，-8），则直线QM '，和线段的交点为P ，则此时，MPQ ?的周长为⼩值，⼆、填空题 13.127解析:由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.14．9 解析:15． 2116．①③④【解析】的图象如图所⽰，①)(x f 的最⼤值为1，最⼩值为1-，所以任取[)12,0,x x ∈+∞，都有恒成⽴，正确；②，故不正确；③如图所⽰，函数()()ln 1y f x x =--有证，所以对任意0>x ，不等.三、解答题17. 解析：若()p q ?∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题.分别求出,p q 为真时，参数a 的范围，取其补集即得p 为假时，参数a 的范围，取交集即得实数a 的取值范围.试题解析：若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ?>??<120,240,a a a a a ?+->?<01,,a x a x a g x a a x a x a --≥??=>?-++即()g x在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最⼩值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数，即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ?∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴实数a 的取值范围为18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ?α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三⾓形，⼜E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .⽽DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平⾯ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD ADO 是BC 与OD 所成的⾓．由(1)知，AB ⊥平⾯ODE ，所以AB ⊥OE .⼜DE ⊥AB ，于是∠DEO 是⼆⾯⾓α-MN -β的平⾯⾓，从⽽∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD ＝332=19．（1）在ABD ?中，知2250DCDC ∴--=,.20．（1）设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，所以()()23f x f x x =--=；（2）由（1）知，()[][]223,1,03,0,1x x f x x x ?-∈-?=?∈??，所以()()max 13f x f ==，因为()22cossin 1f x a θθ≤-+对[]1,1x ?∈-都成⽴，即()2max 2cos sin 13a f x θθ-+≥=，即22cos sin 13a θθ-+≥对[]1,1a ?∈-恒成⽴，所以222cos sin 132cos sin 13θθθθ?-+≥?++≥?，即222sin sin 02sin sin 0θθθθ?+≤?-≤?，所以sin 0θ=，即()k k Z θπ=∈，所以θ的取值范围为{}|,k k Z θθπ=∈．21.⑴设椭圆的⽅程为()222210x y a b a b+=>>；联⽴22221x y a by x ?+==?得()222222230b a x x a a b +-+-=有唯⼀根；所以()()()2222222430b a a a b =--+-= ，得223b a +=⼜221a b -=，所以222,1a b ==，所以椭圆的⽅程为：2212x y += ⑵若PQ 的斜率不存在或为0时，22PQMN PQ MNS ==’ 若PQ 的斜率存在，设为()0k k ≠，则MN 的斜率为1k- 直线PQ 的⽅程为y kx k =+，设()()1122,,,P x y Q x y联⽴()22222212142202x y k x k x k y kx k+=+++-==+得，则12PQ x =-=同理MN =, 所以2424242121124422522252PQMNk PQ MN k k S k k k k ?? ?++===- ?++++ =2211442410k k- ++，因为22448k k +≥，当21k =时取等号，所以22110,418410k k∈++，所以2211164,2429410k k ??-∈++，所以四边形PQMN ⾯积的最⼩值为169，最⼤值为2。

高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

大学区高二数学竞赛试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共计50分）1、设P,Q 是两个非空数集，定义集合P+Q=｛a+b|a ∈P ,b ∈Q ｝,若P=｛0，2，5｝，,Q=｛1，2，6｝，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A 6B 7C 8D 9 2、一个几何体的三视图如图1所示，则此几何体的全面积是 （ ）A 102659+．B 84142+．C 8412017+．D 150.3、 如果 (0,)a π∈, 1lg(1cos ),lg()1cos m nαα-==+, 那么 lgsin α=( )A m n -.B 1m n +． C 1()2m n -． D 11()2m n +． 4、对任意的函数()y f x =，在同一个直角坐标系中，函数()-1y f x =与函数()-+1y f x = 的图像 （ ）A 关于x 轴对称.B 关于直线1x =对称．C 关于直线-1x =对称．D 关于y 轴对称5、若11x F x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则下列等式中正确的是 （ ）A ()()22F x F x --=--.B ()1-1x F x F x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭． C ()1F F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． D ()F F x x =-⎡⎤⎣⎦6、 已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y 十2=0平行，则tan 2α的值为（ ）A ．45B ．43C ．34D ．237、 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8、若圆222)5(3r y x =++-）（有且仅有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A 、［4,6］B 、[4, 6 ）C 、（4,6 ］D 、（4,6）9、等比数列{}n a的前n 项和为n s ，若1030=1070s =，s ，则40s 等于（ ） A 150. B -200． C 150或-200． D 400或-5010、．已知()1122,,(,)A x yB x y 是函数2()12xf x x =-图像上不同的两点，若AB 的中点落在x 轴上，则2212x x +的取值范围为 （ ）A ．1(,)16+∞ B ．1(,)8+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1(,)2+∞二、填空题（本题共5个小题，每题5分，共计25分）11、已知1+sin 1cos 2x x=-，那么cos sin 1xx -的值是 。

山东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.求的值.2.在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.3.设的三边长分别为，面积为，证明：.4.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？5.过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.6.设为三角形中的三边长，且，求证：.7.已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.山东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、解答题1.求的值.【答案】2.【解析】利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为2.试题解析：原式2.在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.【答案】.【解析】将异面直线之间的距离转化为线面距离，然后利用体积相等结合题意可得异面直线和之间的距离是.试题解析：连接，取中点，连结，则，∴平面，∴异面直线和的距离就是到平面之间的距离，在中，，，，，∴，由，所以.3.设的三边长分别为，面积为，证明：.【答案】证明见解析.【解析】利用面积公式，结合所给不等式的特征，证得即可证得题中的结论.试题解析：4.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？【答案】最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.【解析】将原问题转化为数列的递推关系的题目，然后结合递推关系式讨论可得最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.试题解析：假如我们设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，得到一个数列，依题意，可知数列的递推公式：，即，整理变形，得.故是以为公比的等比数列，所以，欲使，应有，故最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.5.过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.【答案】证明见解析.【解析】设出PQ的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理整理计算得到椭圆中a,b的齐次式，然后求解离心率即可.试题解析：设点，直线方程为，则由，得所以，，因直线与直线垂直，故有，得又直线与圆相切，所以所以，从而由，得点因点在圆上，所以有化简，得即再进一步利用韦达定理整理上式消去，得从而，故有.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6.设为三角形中的三边长，且，求证：.【答案】证明见解析.【解析】构造三元函数，将其整理变形为，结合三角形的特征和均值不等式的结论即可证得最终结果.试题解析：记，则又为的三边长，所以，，，所以.另一方面，由于，所以，又所以不妨设，且为的三边长，所以.令，则所以从而当且仅当时取等号.7.已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意可得：，则椭圆的方程为（2）设，直线方程为，，得：由韦达定理：，，由题意可知，即∴即∴或当时，直线方程恒过定点当时，直线方程恒过定点与点重合，不合题意舍去，综上所述，直线恒过定点.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

数学趣味竞赛试题及答案【试题一】题目：小明在一家商店里买了一些苹果，每斤苹果的价格是5元。

他买了3斤苹果，但是商店老板给了他一个优惠，即如果购买超过2斤，每斤苹果的价格就会降低1元。

请问小明实际支付了多少钱？【答案】小明购买的苹果超过了2斤，所以每斤苹果的价格降低到4元。

他买了3斤，所以总共支付了3斤 * 4元/斤 = 12元。

【试题二】题目：一个数字序列是按照以下规则生成的：1, 11, 21, 1211, 111221，等等。

每个数字都是前两个数字的描述。

例如，"1" 描述为"一个1"，即 "11"。

"11" 描述为 "两个1"，即 "21"。

"21" 描述为"一个2一个1"，即 "1211"。

如果这个序列继续下去，那么第6个数字是什么？【答案】根据规则，第5个数字是 "111221"。

那么第6个数字就是描述"111221"，即 "三个1一个2两个1"，所以答案是 "312211"。

【试题三】题目：一个正方形的边长是10厘米，如果将这个正方形的边长增加10%，新的正方形的面积是原来的多少百分比？【答案】原来的正方形边长是10厘米，面积是 \(10 \times 10 = 100\) 平方厘米。

增加10%后，新的边长是 \(10 + 10 \times 0.1 = 11\) 厘米。

新的面积是 \(11 \times 11 = 121\) 平方厘米。

新的面积是原来面积的 \(121 / 100 = 121\%\)。

【试题四】题目：一个班级里有40名学生，其中30名男生和10名女生。

如果随机选择一名学生，那么选中男生的概率是多少？【答案】班级里总共有40名学生，其中30名是男生。

高中数学趣味知识竞赛题库一、选择题（1 - 10题）1. 设集合A={xx^2-3x + 2=0}，B={xax - 2=0}，若B⊆ A，则a所有可能的值构成的集合为（）- A. {1,2}- B. {1,(2)/(3)}- C. {0,1,2}- D. {0,1,(2)/(3)}- 解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。

- 因为B⊆ A，当B=varnothing时，ax-2 = 0无解，此时a = 0；当B≠varnothing时，若x=(2)/(a)=1，则a = 2；若x=(2)/(a)=2，则a = 1。

所以a所有可能的值构成的集合为{0,1,2}，答案是C。

2. 函数y=log_a(x + 3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny + 1 = 0上，其中mn>0，则(1)/(m)+(2)/(n)的最小值为（）- A. 8- B. 6- C. 4- D. 10- 解析：- 对于函数y=log_a(x + 3)-1，令x+3 = 1，即x=-2，此时y=-1，所以定点A(-2,-1)。

- 因为点A在直线mx + ny+1 = 0上，所以-2m - n+1 = 0，即2m + n = 1。

- 又因为mn>0，所以m>0,n>0。

- 则(1)/(m)+(2)/(n)=(2m +n)((1)/(m)+(2)/(n))=2+(4m)/(n)+(n)/(m)+2=(4m)/(n)+(n)/(m)+4。

- 根据基本不等式(4m)/(n)+(n)/(m)≥slant2√(frac{4m){n}×(n)/(m)} = 4，当且仅当(4m)/(n)=(n)/(m)时等号成立。

- 所以(1)/(m)+(2)/(n)≥slant4 + 4=8，答案是A。

高二数学练习一、选择题：1.若指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠的部分对应值如右表：则不等式1()0fx -<的解集为A ．{11}x x -<<B ．{11}x x x <->或C ．{01}x x <<D ．{1001}x x x -<<<<或2．设数列1{2}n -按“第n 组有个数()n N ∙∈”的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，32），…，则第100组中的第一个数 A ．49512B ．49502C ．50512D ．505023．若数列{}n a 满足1121,2,(3)n n n n a a a a n a --===≥，则17a 等于 A ．1 B ．2 C ．12D ．9872- 4．已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则ω的取值范围是 A ．9(,][6,)2-∞-+∞ B ．93(,][,)22-∞-+∞C ．(,2][6,)-∞-+∞D ．3(,2][,)2-∞-+∞二、填空题：5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,3,(1,2)n n a a S n +=== ，则410log S =_____6．设()2x x e e f x -+=，()2x xe e g x --=，计算(1)(3)(1)(3)(4)fg g f g +-=________，(3)(2)(3)(2)(5)f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是_______________三、解答题：本大题共6个小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7．已知函数2()2sin ()21,4f x x x x R π=+--∈。

高二数学竞赛拔高试题（二）时间：120分钟 满分150分 命题人：张付涛 审题人：郝庆全 一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线 的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42．已知数列{}n a的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是 （ ）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a3．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= （ ）A. B. 3C.D. 44、若关于x 的方程323()25x aa +=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ） A.2(,)(5,)3-∞-+∞ B. 3(,)(5,)4-∞-+∞ C. 2(,5)3- D.23(,)34- 5．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是 （ ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1- 6．设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则 = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7已知数列{an}满足3an+1+an=4(n ≥1)，且a1=9，其前n 项之和为Sn 。

则满足不等式|Sn-n-6|<1251的最小整数n 是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．直线 分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ( )A.B.C.D. 9.已知等差数列{an}的公差为d ，前n 项和为Sn ，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为 ( )A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+11．设 ， 是双曲线 ：（ ， ）的左、右焦点， 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为( )A. B. 2C.D.12．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有 （ ）. （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 二填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak 后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k ＝14.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________.15. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 . 16圆锥曲线|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 ．三解答题（17题10分，其他题目满分12分，共计70）17．已知数列 的各项均为正数，且. （1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .18. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.19．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元／件）之间近似于如图所示的一次函数y ＝kx ＋b 的关系．（1）根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式； （2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S 元．① 试用销售单价x 表示毛利润S ．② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？20.设F 是抛物线x y 42=的焦点，B A 、为抛物线上异于原点O 的两点，且满足0=⋅FB FA ．延长BF AF 、分别交抛物线于点D C 、（如图）．求四边形ABCD 面积的最小值．21.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.22．已知斜率为 的直线 与椭圆 ：交于 ， 两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．nT高二数学竞赛拔高试题（二）答案1【答案】C 2．（B）3【答案】B 4、（d）5．（C）．6．【答案】D7 c 8．【答案】A 9. 【答案】C10,B , 即. 故选B 11．【答案】C 12故选（D）．二填空题13 k＝11．14.【答案】15. 的取值范围是或．16 ．三解答题17．【答案】（1）a_n=2n+1,n∈N^*（2）T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1) （1）由〖a_n〗^2-2na_n-(2n+1)=0得[a_n-(2n+1)](a_n+1)=0，所以a_n=2n+1或a_n=-1，又因为数列{a_n }的各项均为正数，负值舍去，所以a_n=2n+1,n∈N^*.（2）因为b_n=〖(-1)〗^(n-1)a_n=〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)，所以T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)由T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)①(-1)T_n=-3+5-7+9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)+〖(-1)〗^n(2n+1)②由①-②得：2T_n=3-2[1-1+9...+〖(-1)〗^(n-1) ]-〖(-1)〗^n(2n+1)=3-2[1-〖(-1)〗^(n-1) ]/(1-(-1))=2+〖(-1)〗^(n-1)-〖(-1)〗^n(2n+1)=2+〖(-1)〗^(n-1) (2n+2)∴T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1)点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18..解由题，……5分，，即，上单调减，且. ……10分，n是方程的两个解，方程即=0，解方程，得解为1，，.，，. ……15分19解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得解得∴y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800．（2）①S＝xy－500y＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000），即S＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）．②S＝－x2＋1500x－500000＝－（x－750）2＋62500．当x＝750时，S最大值＝62500．此时y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250（件）．故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．2020.解析：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．因直线过焦点，所以，直线的方程为．联立方程组，消得由根与系数的关系知：，……5分于是……10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得．……15分故当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32．……20分21.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+= ……+ ①又……+ ②①-②得=所以【答案】（1）（2）或详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①；由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。

高二趣味数学竞赛试题班级 姓名 考号一、选择题(9×3分=27分)1、猩猩最讨厌什么线（ ） A 中位线 B 平行线 C 角平分线 D 射线2、衣柜里有6只白色袜子，6只黑色袜子。

它们除颜色不同之外，其它都一样。

如果身处漆黑中，由衣柜取出两只颜色相同的袜子，最少要从衣柜中拿出几只袜子，才能确保其中有两只袜子颜色相同呢？（ ）A 1次 B 2次 C 3次 D 4次3、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论。

到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。

就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候，集合论出现了一系列自相矛盾的结果，即悖论！于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

请选出下面哪个选项不属于悖论（ ）A 有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。

一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”B 英国数学家罗素构造了一个集合S ：S 由一切不是自身元素的集合所组成。

然后罗素问：S 是否属于S 呢？C “今天天气很好，是不是？”D 一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不是自己理发的男人都由我给他们理发。

于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。

4、勾股定理还有一种叫法（ ）A 毕达哥拉斯定理B 孙子定理C 欧拉定理D 祖冲之定理5、祖冲之是我国古代伟大的数学家，他在公元前400多年计算出了圆周率π的近似值，这个近似值精确到小数的7位，这个记录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。

祖冲之还给出了π的分数形式，那么下面那个是他给的分数形式（ ）A 103B 333107C 355113D 103993331026、数学史上曾经发生过三次数学危机，其中第3题中的集合悖论的发现称之为第三次危机，那么前两次危机时什么（ ）A 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是0B 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是π能不能用分数表示C 第一次危机是费马提出的猜想：当n>2()n N ∈时，方程n n n x y z +=没有正整数解，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是07、你目前有27枚金币，但有一枚较轻的伪币混在其中，现在想要用天平秤出伪币。

高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分。

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）12,F F 是椭圆22:184x y C +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为（ ） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D) 4个（2）已知实数集合A 满足条件：若a A ∈，则11aA a+∈-，则集合A 中所有元素的乘积的值 为（ ）(A ) 1 (B ) 1- (C ) 1± (D) 与a 的取值有关（3）若ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足2220a a b c ---=且0322=+-+c b a ，则它 的最大内角的度数是（ ）(A )150 (B )135 (C )120 (D)90（4）已知定点()7,8A 和抛物线24y x =，动点B 和P 分别在y 轴上和抛物线上，若0O B P B ⋅=（其中O 为坐标原点），则PB PA +的最小值为（ ）(A ) 9 (B ) 10 (C ) (D)、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在30到55人之间，颁奖 典礼上给获一等奖的学生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等 奖的人数有 人．（6）若函数()f x 的图像经过点()()1,1,1,0,2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，试写出两个．．满足上述条件的函数的解析式 、 ．（7）已知点()b a P ，在直线01443=--y x 上，则()()2211-+-b a 的最小值为 ．（8）正三棱锥ABC P -中，30=∠=∠=∠APC BPC APB ，2===CP BP AP ，过点A 作平面分别交PB 、PC 于E 、F ，则AEF ∆的周长的最小值为 ．（9）现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分 解，其中英文的a 、b 、c 、…、z 的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、给出如下一个变换公式：()()221126213 1262x x x x x x x x x +⎧∈≤≤⎪⎪'=⎨⎪+∈≤≤⎪⎩N N 不能被整除能被整除 ，　， ，　，将明文转换成密文，如1613266＝＋→即f 变为p ；52199＝+→即i 变为e ． 按上述规定，明文good 的密文是 ，密文gawqj 的明文是 ．（10）对一切实数x ，所有的二次函数()()b a c bx ax x f <++= 2的值均为非负实数，则cb a ab ++-的最大值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）． （Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，　上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．如图，点P 是矩形ABCD 所在平面外一点且⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面⊥PDC 平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点Q ，使得D 点到平面PAQ 的距离为1．若存在，求出BQ 的值；若不存在，请说明理由．如图，将一块直角三角形板ABO 放置于平面直角坐标系中，已知2==BO AB ，OB AB ⊥．点⎪⎭⎫ ⎝⎛211，　P 是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB ）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k ．（Ⅰ）试用k 表示AMN ∆的面积S ，并指出k 的取值范围； （Ⅱ）试求S 的最大值．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，当2≥n 时，都有121n n a a n -=+-，记1211n T a a =++ (1)na +． （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：2<n T ； （Ⅲ）令111n n b a +=-，12n B b b =……n b ，试比较13n n -与n B 的大小．设定义在R 上的函数()e dx cx bx ax x f ++++=234，当1-=x 时，()x f 取得极大值32，并且函数()1-=x f y 的图象关于点()01，　对称． （Ⅰ）求()x f 的表达式；（Ⅱ）试在函数()x f 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（Ⅲ）若212t t x -=，)133t ty -= ()t +∈R ，求证：()()43f x f y -<．\参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．（1）B （2）A （3）C （4）A 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．（5）44 （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，下列说法正确的是（）A. 函数f(x)的最小值是-1B. 函数f(x)的图像与x轴有两个交点C. 函数f(x)的对称轴是x=2D. 函数f(x)在区间(-∞, 2)上单调递减答案：C2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1 = 1，a_2 = 4，下列说法正确的是（）A. 公差d = 3B. S_3 = 15C. 第三项a_3 = 7D. 所有项的和S_n = n^2答案：A3. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，点P(1, 2)到圆心的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 已知函数g(x) = 2^x - 1，x ∈ [0, 1]，下列说法正确的是（）A. 函数g(x)在区间[0, 1]上单调递增B. 函数g(x)在区间[0, 1]上单调递减C. 函数g(x)在区间[0, 1]上先增后减D. 函数g(x)在区间[0, 1]上先减后增答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。

答案：3x^2 - 6x2. 已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_1 = 2，公比q = 3，求T_3 = _______。

答案：343. 已知直线方程为y = 2x + 3，求与该直线垂直的直线方程为_______。

答案：y = -1/2x + b（其中b为任意常数）4. 已知复数z = 1 + i，求z^2 = _______。

答案：2i三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的单调区间。

答案：函数f(x)的单调递增区间为(-∞, 1)和(3, +∞)，单调递减区间为(1, 3)。

2. 已知圆心在(0, 0)，半径为r的圆与直线y = x + 1相切，求圆的半径r。

高二数学竞赛试题一、选择题（本题满分60分，每题5分）1．复数()()212z i i =++的虚部为() A. 2i- B. 2- C. 4iD. 42．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 22y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是() A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为（）A. 208 B. 216 C. 217 D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ÙÙ=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为() A. 4.5亿元B. 4.4亿元C. 4.3亿元D. 4.2亿元5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -=）的点的个数的估计值为( ) A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854 6. 函数2cos 3sin cos y x x x =+在区间,64p p éù-êúëû上的值域是（）A. 1,12éù-êúëû B. 122,3éù-êúëûC. 0,32éùêúëû D. 2,301é+ùêúëû7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 A. 94pB. 9pC. 4pD. p 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（ ） 开始结束是,,n v x1i n =-0?i ³输出v 1i i =-1v v x =×+否输入A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++10．设O 点在ABC D 内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC D 的面积与AOC D 的面积的比为（ ） A. 2 B. 3 C. 32D. 5311．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ¹， 0b ¹）相交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3O A OB k k ×=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（恒经过的定点为（ ）A. ()3,0p -B. ()23,0p - C. 3,03p æö-ç÷ç÷èø D. 23,03p æö-ç÷ç÷èø12. 已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ì+£ï=íï>î（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 （本题满分20分，每题5分）分） 13.已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +³ìï+£íï-³-î，则目标函数3z x y =+的取值范围为的取值范围为. 14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将V ADE 沿直线DE 翻折成V A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在V ADE 翻折过程中，下列命题正确的是翻折过程中，下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题的编号）（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值；的长是定值；②存在某个位置，②存在某个位置，②存在某个位置，使使DE ^A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，④存在某个位置，④存在某个位置，使使 MB P 平面A 1DE ．15. 已知双曲线22221x y a b-= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，Q 两点，且1PQ PF ^ ，若1512PQPF = ，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 . 三、解答题（本题满分70分）分）17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cosA BC A B +=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S D =+,求,a c .18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+Î. （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）证明：12231 (2)n n a a a na a a ++++<. 19．（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[]20,45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．名，其年龄频率分布直方图如图所示．的值；（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿的分布列及数学期望． 者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆，⊙O交BC于点D．的切线；（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；长．（3）在（2）条件下，若CD=1，EH=3，求BF及AF长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若的斜率是定值，并求出这个定值．直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mx n f x x x-=-，,m n R Î. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值；的值； （2）试讨论函数()f x 在区间[1,)+¥上最大值；上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>. 高二数学竞赛试题参考答案1．D 2．D 3．B 4．B 5. B 6. C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．D 12. C13. []1,6 14．①③ 15．37516．1800017．解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. ....................2分 所以C A B C -=-,或()C A B C p -=--(不成立). ．即 2C A B =+, 得3C p =，所以.23B A p +=.................. 4分又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A p-=，或56B A p-=（舍去）得5,412A B p p == ．.................. 6分(2)162sin 3328ABC S ac B ac D +===+，又sin sin a c AC=, 即2322a c =， ．.................. 8分得22,2 3.a c == .................. 10分（1）由已知6B p=， 2220a ab b --=结合正弦定理得：22sin sin 10A A --=，于是sin 1A =或1sin 2A =-（舍）．因为0A p <<，所以2A p=， 3C p =．（2）由题意及余弦定理可知22196a b ab ++=，由（1）2220a ab b --=得()()20a b a b +-=即2a b =，联立解得27b =， 47a = 所以， 1sin 1432ABC S ab C D ==. 18．（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即................... 6分（2）证明：∵1121212112122112(21)2k k kn k k k n a a ++---=<==-×---，，∴................... 12分19．（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++´=，解得0.06x =.........2分（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，.................. 4分 故X 的可能取值为0,1,2,3．()343101030CP X C ===， ()12643103110C CP X C ===， ()2164310122C CP X C ===， ()36310136CP X C ===．故X 的分布列为Y0 123P1303101216.................. 10分()13110123 1.8301026E Y =´+´+´+´=．..................12分 20.证明：（1）如图，连接OE ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠OBE ， ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠OEB=∠CBE ， ∴OE ∥BC ， ∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线； ．..................3分（2）如图，连结DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ．在△CDE 与△HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH Ð=ÐÐ=Ð=ïíî=ìï， ∴△CDE ≌△HFE （AAS ）， ∴CD=HF ．．..................7分（3）由（2）得，CD=HF ．又CD=1 ∴HF ＝1在Rt △HFE 中，EF =2231+＝10 ∵EF ⊥BE ∴∠BEF =90° ∴∠EHF =∠BEF =90° ∵∠EFH =∠BFE ∴△EHF ∽△BEF ∴EF HF BF EF =，即10110BF =∴BF =10∴152OE BF ==, 514OH =-=,∴在Rt △OHE 中， 4cos 5EOA Ð=,∴在Rt △EOA 中， 4cos 5OE EOA OA Ð==,∴545OA = ∴254OA = ∴255544AF =-=. ．..................12分 21．（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C过点P （2，﹣1），∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；..................4分（2）证明：由题意，直线PA 斜率存在，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y+1=﹣k （x ﹣2），同理求得． ..........8分又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，.................. 10分∴直线AB 的斜率为．..................12分22.（1）由'2()n x f x x -=，'2(2)4n f -=，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故214n -=，解得6n =. .................. 2分（2）'2()(0)n xf x x x -=>，由'()0f x <时，x n >；'()0f x >时，x n <， 所以①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上单调递减， 故()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)n 上单调递增，在(,)n +¥上单调递减， 故()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；综上①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；.................. 6分（3）函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，则1211221211()ln 0,()ln 0mx mx f x x f x x x x --=-==-=，可得121211ln ln m x x x x =+=+. 于是21221121ln ln ln x x x x x x x x -=-=.令211x t x =>，则1111ln ,ln t t t x txt t --==，于是21211(1)ln t x x x t t t-+=+=，.................. 8分∴21212(ln )22ln t t t x x t--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'2(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+¥递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，又211x t x=>，ln 0t >，故122x x +>成立. .................. 12分。