2019高二数学学科竞赛试题(1)

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==高二数学竞赛试题篇一：高二数学竞赛试题高二理科数学竞赛试题考试时间：120分钟满分：150分（请将试题答案做在答题纸上）第Ⅰ卷（选择题 50分）选择题（每小题5分，共10题）1.在等差数列?an?中，a1?3,且a1,a4,a10成等比数列，则an的通项公式为（） A. an?2n?1 B. an?n?2C.an?2n?1或an?3 D. an?n?2或an?32.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2?b2?，sinC?B，则A= ( )（A）300 （B）600（C）1200 （D）15003、设?an?是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是( )A、X?Z?2Y B、Y?Y?X??Z?Z?X?C、Y2?XZ D、Y?Y?X??X?Z?X?4.已知{a5n}为等比数列，Sn是它的前n项和。

若a2?a3?2a1，且a4与2a7的等差中项为4，则S5= A．35B.33C.31 D.295、在?ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC?csinBcosA?12b, 且a?b,则?B? A．??26 B．3C．?5?3D．66、0?b?1?a,若关于x 的不等式(x?b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，则（）（A）?1?a?0（B）0?a?1（C）1?a?3（D）3?a?6 7．已知不等式(x+y)(1ax + y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.88.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，a，则 A.a＞bB.a＜bC. a＝bD.a与b的大小关系不能确定?3x?y?6?09. 设x，y满足约束条件??x?y?2?0 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，??x?0,y?0则2a?3b的最小值为 ( ). A.256 B.83 C. 113D. 4 （10）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，+--的最大值为（A）0 （B）1（C）（D）3第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 将答案直接填写在答题纸给定的横线上.11、在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若a?b?2，sinB?cosB?，则角A的大小为．12、若对任意x＞0，xx2?3x?1?a恒成立，则a的取值范围是．13.在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则ACcosA的值等于，AC的取值范围为14、设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列?an?的前n项和为Sn，满足S5S6?15?0，则d的取值范围是__________________ .??x?2y?5≥0?15．设m为实数，若??(x，y)??3?x≥0????(x，y)x2?y2≤25?，????mx?y≥0??则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，务必在答题纸指定的位置作答。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。

2019年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1． 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（ ） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是 【答】（ ） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253． 若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则 【答】（ ）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4． 给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么 【答】（ ） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36． 已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定 【答】（ ） 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

2019年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ解答：因为53[,]42ππθ∈cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ=。

正确答案为D 。

2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ）A. 2B.C. 2±D. ±42a =⇒=±。

正确答案为C 。

3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ B ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。

正确答案为B 。

4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ C ）A.B. C. 3 D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得21243400,33x x x x AB -=⇒==⇒==。

正确答案为C 。

5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ A ）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。

正确答案为A 。

6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+52πB. 4+32πC. 4+2π D. 4+π解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2π），所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+。

2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案一二三合计题号（ 11）（12）（ 13）（14）（ 15）得分评卷员A．B．C．D．2.C.考虑对立事件： a 与 b， c 与 d， e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法， cd 有种填法， ef 有 2 种填法 ,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：.3．定义两种运算：，，则函数为（）（A）奇函数（ B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（ D）非奇函数且非偶函数3．A．f ( x) 22 x 22 | 2 22 x2 22 x2 ( x [ 2,2]) .(2 x) 2 x | 2 x4．圆周上按顺时针方向标有1， 2， 3， 4， 5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为( ▲)A． 4 B． 3 C． 2 D．14． D．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数z=..由题意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为.6．(0,5). 方程 m(x2 +y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 ,∴5 x2( y 1) 2x,y)到定点（ 0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x 2y 3 |其表示双曲线上一点（5又由 e>1,可得 0<m<5.7．直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2 =50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条 .7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x2+y2=50 上的整点有（ 1， 7）、（5， 5）、（ 7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线，过12 个点的切线也有12 条，又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72 条 .17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（ 2）第 n（ n≥ 2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行 (n≥ 2)中第 2 个数是 ____▲ ____（用 n 表示） .12 234 3477 45111411 5616252516 6L L L17.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m· n 是.8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a,h 2=a.∵V 正六面体 =2· h 1· S △ BCD =6· r 1· S △ ABC ，∴ r 1=h 1=a.又∵ V 正八面体 =2· h 2· S 正方形 NPQR =8· r 2· S △ MNP ，∴ a 3=2r 2a 2,r 2=a,r 16 a2 2于是9是最简分数，即 m=2,n=3,∴ m · n=6.r 2,36 a 369．若的两条中线的长度分别为 6， 7，则面积的最大值为 ..如图， D,E,F 是各边的中点，延长BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得 DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且AGAG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形 .F E故 CF=EH,AD=EH.故△ EGH 的三边 EH 、 EG 、 EH 分别是△ ABC 的三边的中线AD 、 BE 、 CF ，即、、 .由共边定理知 , S ABC2SBCE2 2 S BEH 4S EGH3 3.BDCH10．已知是定义（ -3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是.10．.由已知在 (0,3)图像我们可以得到在（－3， 3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是 .三、解答题：本大题共5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F x f x f ' x f 2x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值 .11．（ Ⅰ ） ∵2 分∴ F xf x f ' xf 2 xcos 2 x sin 2 x 1 2sin xcos x1cos 2x sin 2x 1 2 sin(2 x)6 分4∴当 2x 2k2 x k k Z 时，4 8最小正周期为8 分（Ⅱ ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x∴ cos x 3sin x111 分tan x31 sin2 x 2sin 2 x cos2 x∴sin x cos x cos2 x sin x cos x cos2 x2tan2 x 1 1111915 分1 tan x2 6312．（本小题满分15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．解： (1) 设 BA BC BD a, BB1 b.ab 1 a2 2 2 1a 2由条件 2 （分）1 b . 32 1 2a2以点 B为原点，分别以 BC、 BB1、 BA为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0, 2), C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0,2,0), C1 ( 2,2,0), A1(0,2, 2)(5分）Q ACD的重心 G 2 2 2,3,.3 3r uuur 2 a BG=3 uuurCA1 ( 2, 2, ,2,2为平面 ACD 的法向量 .(7 分）3 3r uuur2 2632), 则 cos a, CA16(9分）2 2 63所求角的正弦值为6.(10分）uuur uuuur 6(2)令 AP mAC 1 2m, 2m, 2m（11分）uuur uuur uuur r B1P B1 A AP 2m, 2m 2, 22ma.2m232m 22 无解（ 14分）322m23不存在满足条件的点 P ．（ 15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点， 左顶点， 离心率， 为右焦点， 过焦点的直线交椭圆于、 两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知∴-----------------------------------------2 分 ∴ 椭圆方程为． ------------------------------------------------- 4 分（Ⅱ）解法一 椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）．----------------------------------5 分x my 1,得 3m 24 y 2由 x 2y 2 1,6my 9 0 ．①-----------6 分43显然，方程①的．设，则有 y 1y 2 6m , y 1 y 2 9． ----8 分3m 243m 24PQm 2 1 y 1 y 2 2m 2 136m 223643m 2 43m 2m 2 1 2m 2 1 ．12123m 2 4 23m 2 4∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或．---------- 12 分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为，-------------------------------------- 5分由得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．①----6 分显然，方程①的．设，则 x1 x28k22, x1 x24k 2 12-------83 4k 3 4k 2．分8k 222 12PQ 1 k 2 x1 2 4x1 x2 1 k 2 4kx23 4k 2 44k 2 3k2 212 k 2=12 1 2 1 ．4k 2 3 4k2 3∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或．--------12 分（Ⅲ）不可能是等边三角形．------------------------------------------------13 分如果是等边三角形，必有，∴ x1 2 2 y12 x2 2 2 y22，∴ x1 x2 4 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，∴ m y1 y2 6 m y1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ，------------------------------16 分∵，∴，∴，∴，或（无解）．而当时， PQ 3, AP AQ 3 52，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------ 20分14．设抛物线的焦点为F，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于A、B 两点 .（1）求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .（ 2）证明∠ PFA=∠ PFB.14．解：（ 1）设切点 A 、 B 坐标分别为，∴切线 AP 的方程为：切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为：所以△ APB 的重心 G 的坐标为 ，y 0 y 1 y Px 02 x 12x 0 x 1( x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 2 y p,y G3333所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x ( 3 y 4x 2) 2 0,即 y1(4x 2x 2).uuur3uuuruuur（ 2）方法( x 0 , x 0 21 x 0 x 1 , x 0 x 11 21 1：因为 FA 4 ), FP ( ), FB (x 1, x 1 ).2 44 由于 P 点在抛物线外，则uuur uuurx 0 FP FA∴ cos AFP uuur uuur| FP || FA |uuur uuurFP FB 同理有 cos BFP uuur uuur| FP || FB |x 1 x 0 (x 0 x 1 1)( x 02 1) x 0 x 1 12 4 4 uuur 4 , uuur 1) 2 | FP || FP | x 02( x 0 2 x 0 x 1 4 x 1 ( x 0 x 1 1 21 ) x 0 x 1 1 )( x 1 4 , 2 uuur 4 4uuur ( x 12 1 ) 2 | FP | | FP | x 124∴∠ AFP=∠PFB.方法 2：①当 x 1 x 00时,由于 x 1 x 0 ,不妨设 x 0 直线 AF 的距离为： d 1| x 1 |; 而直线 BF 的方程2即 ( x 121)x x 1 y1x 1 0.441) x 1| ( x 12所以 P 点到直线 BF 的距离为： d 24 21 )2(x 124所以 d 1=d 2，即得∠ AFP=∠PFB.0, 则 y 01: y4x1 |4(x 1) 20, 所以 P 点坐标为，则 P 点到21x 1x 121 | x 1 |(x 1)| x 1 | 42 21 2 x 1421②当时，直线 AF 的方程： y1x 04( x 0),即( x 021) x x 0 y 1x 0 0,x 04 0 4421直线 BF 的方程： y1x 14(x0),即(x 121) x x 1 y1x 10,4 x 1 04 4所以 P 点到直 AF 的距离 ：| ( x 021)(x 0 x 1) x 0 2x 11x 0 | |x 0x 1)( x 02 1)| x 0 x 1 |4 2424d 11 )2212( x 02x 02x 044同理可得到 P 点到直 BF 的距离，因此由 d 1=d 2 ，可得到∠ AFP=∠ PFB ．14．（本小 分20 分）x=l 是函数的一个极 点（， 自然 数的底） ．（ 1）求与的关系式（用表示） ，并求的 区 ；（ 2）若在 区 上的最小 0，最大 , 且。

2019学年高二数学4月竞赛试题（含解析）一、解答题1. 求的值.【答案】2.【解析】试题分析：利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为2.试题解析：原式2. 在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.【答案】.【解析】试题分析：将异面直线之间的距离转化为线面距离，然后利用体积相等结合题意可得异面直线和之间的距离是.试题解析：连接，取中点，连结，则，∴平面，∴异面直线和的距离就是到平面之间的距离，在中，，，，，∴，由，所以.3. 设的三边长分别为，面积为，证明：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：.........试题解析：4. 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？【答案】最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.【解析】试题分析：将原问题转化为数列的递推关系的题目，然后结合递推关系式讨论可得最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.试题解析：假如我们设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，得到一个数列，依题意，可知数列的递推公式：，即，整理变形，得.故是以为公比的等比数列，所以，欲使，应有，故最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.5. 过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：设出PQ的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理整理计算得到椭圆中a,b的齐次式，然后求解离心率即可.试题解析：设点，直线方程为，则由，得所以，，因直线与直线垂直，故有，得又直线与圆相切，所以所以，从而由，得点因点在圆上，所以有化简，得即再进一步利用韦达定理整理上式消去，得从而，故有.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；6. 设为三角形中的三边长，且，求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：构造三元函数，将其整理变形为，结合三角形的特征和均值不等式的结论即可证得最终结果.试题解析：记，则又为的三边长，所以，，，所以.另一方面，由于，所以，又所以不妨设，且为的三边长，所以.令，则所以从而当且仅当时取等号.7. 已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意可得：，则椭圆的方程为（2）设，直线方程为，，得：由韦达定理：，，由题意可知，即∴即∴或当时，直线方程恒过定点当时，直线方程恒过定点与点重合，不合题意舍去，综上所述，直线恒过定点.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

2019年广州高二数学竞赛试题及解析注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！2018、5、13考生注意：1、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； 2、不准使用计算器；3、考试用时120分钟，全卷总分值150分.【一】选择题：本大题共4小题，每题6分，总分值24分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.设集合}}{{2220,1,12M x x x N y y x x =--≤==--≤≤,那么有()A.M N ⊆B.N M ⊆C.M N =D.MN =∅2、等差数列{}na 的前n 项和为n S ,且6135,143a S ==,那么公差d 的值为()A.10B.8C.6D.4 3.方程1x -=A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆4.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设向量m (),a b =，n (),b c a =+，那么m //n 是2A B =的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【二】填空题:本大题共6小题，每题6分，总分值36分. 5、3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin 2θ的值为.6、向量a =()2,3，b =()1,2-，假设向量m a n +b 与向量a 2-b 共线〔,m n ∈R ，且0n ≠)， 那么m n的值为.7.在区间[]1,3和[]1,2上分别取一个数,记为,a b ,那么方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上并且离心 率小于12的椭圆的概率为.8.三棱锥A BCD -的所有棱长均为1,顶点A 在底面BCD 上的正投影为点H ,点M 在AH 上,且 使90BMC ︒∠=,那么AM 的长为.9、函数()()lg 1f x x =-，假设1a b <<，且()()f a f b =，那么ab 的取值范围是.10.对于任意两个正数,x y ,定义运算“”如下：x y ax by cxy =++，其中,,a b c 为常数.123,234==，并且存在一个非零实数d ，使得对于任意实数x 都有2xd x =，那么d 的值为.【三】解答题:本大题共5小题，总分值90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(本小题总分值15分)函数()()()cos cos sin 0f x x x a x a =+>的最大值为32.DMN C B AS(1)求a 的值;(2)假设524f θ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求3f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.12.(本小题总分值15分)如图,在三棱锥S ABC -中,SA ⊥平面ABC ,90ABC ︒∠=,2,4SA BC AB ===,M ,,N D 分别是,,SC AB BC 的中点.(1)求证:MN AB ⊥;(2)求二面角S ND B --的余弦值; (3)求点M 到平面SND 的距离.13.(本小题总分值20分)平面内的动点P 到点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到直线32x =-的距离小1，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)假设直线10x y +-=与曲线C 相交于A 、B 两点,问在曲线C 上是否存在点Q ,使△QAB 为等边三角形?假设存在,求点Q 的坐标;假设不存在,说明理由.14.(本小题总分值20分)数列{}na 的前n 项和为n S ,对任意n ∈N *都有()11n n aS a a =++〔a 为常数，0,1a a ≠≠±〕. (1)求数列{}na 的通项公式;〔2〕令1nn nS b a =+，假设数列{}n b 为等比数列，求a 的值； (3)在满足(2)的条件下,记11111n n n c a a +=+-+,设数列{}n c 的前n 项和为n T ,求证:124n T n >-.15.(本小题总分值20分)函数()()21ln ,(,2f x xg x ax bx a b ==+∈R ). 〔1〕当2b =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；〔2〕设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于不同两点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，试判断1C 在点M 处的切线与2C 在点N处的切线是否平行，并说明理由.参考答案说明：1、参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数、2、对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分、3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分、 【一】选择题：每题6分，总分值24分。

全国高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+22.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

3.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是4.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。

A．B．C．D．5.函数y=的最小值是A．B．C．D．6.Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)（-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)thatpasses the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola isA．B．C．D．7.等差数列中有两项和，满足、，则该数列前mk项之和是A．B．C．D．8.当x.yi满足条件时，变量U=的取值范围是A．B．C．D．9.设为椭圆上一点，且,，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于A．B．C．D．10.Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)to the y-axis is then the velue of a isA．B．C．or D．or11.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+212.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

13.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是14.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

浙江省磐安县第二中学2019-2020学年高二数学10月竞赛试题 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．4CD ．32．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（ ）A ．平行+B ．相交C ．平行或相交D ．垂直3．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．34．正方体中，直线与所成的角为（ ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确的命题个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（ ）A ．40+B ．72C ．40+D ．327．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，记图中阴影平面为平面α，且平面α平面1BC E .若平面α平面111AA B B A F =，则AF 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．38．ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D 9．下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．四边相等的四边形10．如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）A ．一个球B ．一个球中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球中间挖去一个棱柱第II 卷（非选择题)二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________.12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.14．如图所示，在四面体D ABC -中，若CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）16．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．17．已知圆锥和圆柱的底面半径均为R ，高均为3R ，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．三、解答题18．求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.19．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝EF与平面ABC所成的角．20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．21．如图，多面题P ABCD（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）求P ABCD V -.22．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为AC 与BD 的交点， BE ⊥平面ABCD . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED .（Ⅱ）若120ABC ∠=, AE EC ⊥, 2AB =,求点G 到平面AED 的距离.2019-2020学年度磐安二中学校10月月考卷高二数学考试时间：120分钟；命题人：潘建华一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到原图，再由椎体公式得到结果.【详解】由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，其中平面ABD ⊥平面BCD ，1AO =，三棱锥A BCD -的体积为(2113⨯=故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 2．已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．3．已知点A，B O表面上运动，且AB＝2，过AB作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得的截面分别为圆M，N，则A．MN长度的最小值是2 B．MNC．圆M面积的最小值是2πD．圆M，N的面积和是定值8π【答案】B【解析】【分析】由过AB作相互垂直的平面α，β,确定BA、BC、DB两两互相垂直，M，N分别是AC，AD的中点，求出CD，即可得结论．【详解】如图所示，因为过AB作相互垂直的平面α、β，则面ABC⊥面ABD,由面面垂直的性质定理，得AB⊥面BCD，所以AB⊥BC,AB⊥BD,得BD⊥BC，所以BA、BC、DB两两互相垂直，所以BC2+BD2+2AB＝(2，因为AB=4,∴CD2＝BC2+BD2=8，所以∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN故选：B．【点睛】本题考查了球的内接几何体和面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．若三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA=AB=2，AC=三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为A．12πB．16πC．20πD．24π【答案】A【解析】【分析】求解底面长方形的外接圆，PA⊥平面ABC，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可．【详解】由题意，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC＝ABC是直角三角形，补形底面为长方形．∴球心到圆心的距离为1，底面长方形的外接圆,∴R2=r2+1，即,∴球O的表面积S=4πR2=12π．故选：A．【点睛】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直【答案】C【解析】【分析】根据三点在平面的同侧或异侧，两种情况，即可判定得到α与β的位置关系，得到答案．【详解】α平面β；由题意，若三点分布在平面β的同侧，此时平面//若三点分布于平面β的两侧时，此时平面α与平面β相交，综上可知，平面α与平面β平行或相交，故选C．【点睛】本题主要考查了空间中平面的位置关系的判定，其中根据三点在平面β的同侧和异侧，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组（）A．由两个圆台组合成的B．由两个圆锥组合成的C．由一个圆锥和一个圆台组合成的D．由两个棱台组合成的【答案】B【解析】【分析】将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥，故选B.【点睛】本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.7．直线m⊥平面α，下面判断错误的是（）A．若直线n⊥m，则n∥αB．若直线n⊥α，则n∥mC．若直线n∥α，则n⊥m D．若直线n∥m，则n⊥α【答案】A【解析】【分析】结合线面垂直、线线平行及线面平行的相关性质可以判断.【详解】由直线m⊥平面α，得：在A中，若直线n⊥m，则由线面平行性质得n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；在B中，若直线n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B正确；在C中，若直线n∥α，则由线面垂直的性质得n⊥m，故C正确；在D中，若直线n∥m，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．故选：A．【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，可以借助模型求解，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.8．已知两条不同直线m、n和两个不同平面α﹑β，下列叙述正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若////m n m n ααββ⊂⊂，，，，则//αβC ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α【答案】D【解析】【分析】A 选项可由线面平行的性质作出判断，B 选项可由面面平行的判定定理作出判断，C 选项可由面面垂直的性质作出判断，D 选项可由线面平行的条件作出判断【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确，B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确，C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确，D 选项中，如下图所示设=b αβ⋂，,a b a β⊥∴⊥，又m β⊥，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得m a ∥，又a α⊂，m α∴∥选D【点睛】考生需灵活掌握线线平行到线面平行，面面平行到线面平行的基本转化关系，遇到较为抽象的证明问题时，辅以图像能够更加有效的解决问题9．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用线线平行、线面平行以及面面平行的定义来判断选项即可【详解】在①中，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点，故①错误；在②中，若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l 与α平行或相交，故②错误；在③中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故③错误；在④中，已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//αβ，b β⊂，//b α， 则由面面平行的判定定理得//αβ，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查线线平行、线面平行、面面平行的定义，属于基础题10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ==AD 1AA =1AC 与CD 所成角的大小为( ) A.6π B.4π C.3π D.3π或23π 【答案】C【解析】【分析】平移CD 到AB ，则1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在直角三角形中即可求解.【详解】连接AC 1，CD //AB ，可知1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在1Rt C AB ∆中，11tan BC C AB AB∠=，故选C ． 【点睛】 本题考查异面直线所成的角.常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________. 【答案】12【解析】【分析】利用平面11ABB A ⊥平面11A BCD 得到 B 1O ⊥平面11A BCD ，进而作出直线与平面所成角，易解．【详解】如图，平面11ABB A ⊥平面11A BCD ，又B 1O ⊥1A B ，∴B 1O ⊥平面11A BCD ，∴∠B 1D 1O 即为所求角，sin∠B 1D 1O 12=， 故答案为：12． 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______. 【答案】2a π 【解析】【分析】由题意可得正方体的边长及球的半径，可得球的表面积.【详解】解：根据正方体的表面积可以求得正方体的边长为l =，正方体的外接球球心位于正方体体心，半径为正方体体对角线的一半，求得球的半径r ==积为242aS r ππ==， 故答案：2aπ.【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积,得出正方体的边长和球的半径是解题的关键.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.【答案】平面1A EF【解析】【分析】由E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，利用线面平行的判定定理，得到EF 平面BCHG ，再由四边形1A EBG 是平行四边形，得到1A E GB ∥，证得1A E ∥平面BCHG ，最后利用面面平行的判定定理，即可得到平面1A EF ∥平面BCHG .【详解】由题意，因为E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，因为EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，可得EF 平面BCHG ，因为1AG EB =且1AG EB ∥，所以四边形1A EBG 是平行四边形，所以1A E GB ∥，又因为1A E ⊄ 平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，所以1A E ∥平面BCHG ，因为1A EEF E =，所以平面1A EF ∥平面BCHG . 【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．14．如图所示，在四面体D ABC -中，若CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.【答案】平面ACD ，平面BCD .【解析】【分析】过A 作AE CD ⊥，得到AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又由222AE BE AB +=，得到90AEB ∠=，即可求解.【详解】由题意，过A 作AE CD ⊥，交CD 于点E ，因为1,AD AC CD ===90DAC =∠，由E 为CD 的中点，所以AE =连接BE ，因为1,BD BC CD ===BE CD ⊥，且2BE =， 所以AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又1AB =，所以222AE BE AB +=，所以90AEB ∠=，∴平面ACD ⊥平面BCD .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用，其中解答中熟练应用线面垂直的性质定理，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）.【答案】直角【解析】【分析】根据斜二测画法，45x oy ∠=''︒，直接判断ABC ∆的形状。

2019-2020学年上半学期高二数学竞赛试卷班级： 姓名： 分数： 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={-1,0,1,2}，A={0,2},B={-1,0}则(A C U )∪B=（ ）。

A ．{1} B.{-1,0} C ．{-1} D ．{-1,1,0} 2、不等式-2x ²-5x+3＜0的解集是（ ）。

A 、RB 、{x|-3＜x ＜21} C 、∅ D 、{x|x ＜-3或x ＞21} 3、已知角α的终边上一点P （-3,4），那么sin α+cos α=（ ）。

A 、-51B 、 51 C 、-257 D 、 257 4、已知向量,2),20(1||=∙==b a b a 且，，则夹角的大小为（ ）。

A 、6π B 、 4π C 、 3π D 、2π5、已知等差数列的前n 相和n S ，若54a -18a =，则8S 等于（ ）。

A 、18 B 、36 C 、54 D 、726过点A （-2，m ）与B （m ，1）的直线与直线2x-y+2=0平行，则m=（ ）。

A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、27、函数y=f （x+1）的定义域是[-2,3],则y=f （2x-1）的定义域是（ ）。

A 、[0,25] B 、[-1,4] C 、 [-5,5] D 、[-3,7]8、若方程15922=-+-k y k x 表示椭圆，则整数k 的值有（ ）。

A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、若f(x)=(m-1)x 2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间（-5,2）上是（ ）。

A 、减函数 B 、增函数 C 、先增后减 D 、先减后增10、若两直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）。

A 、b ∥平面α或者b ⊆平面α B 、b ∥平面α C 、b ⊆平面α D 、相交 11、当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y =a-x 与函数y=a x 的图象可能是（ ）。

高二数学竞赛试题一、选择题（本题满分60分，每题5分）1．复数()()212z i i =++的虚部为() A. 2i- B. 2- C. 4iD. 42．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 22y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是() A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为（）A. 208 B. 216 C. 217 D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ÙÙ=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为() A. 4.5亿元B. 4.4亿元C. 4.3亿元D. 4.2亿元5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -=）的点的个数的估计值为( ) A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854 6. 函数2cos 3sin cos y x x x =+在区间,64p p éù-êúëû上的值域是（）A. 1,12éù-êúëû B. 122,3éù-êúëûC. 0,32éùêúëû D. 2,301é+ùêúëû7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 A. 94pB. 9pC. 4pD. p 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（ ） 开始结束是,,n v x1i n =-0?i ³输出v 1i i =-1v v x =×+否输入A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++10．设O 点在ABC D 内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC D 的面积与AOC D 的面积的比为（ ） A. 2 B. 3 C. 32D. 5311．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ¹， 0b ¹）相交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3O A OB k k ×=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（恒经过的定点为（ ）A. ()3,0p -B. ()23,0p - C. 3,03p æö-ç÷ç÷èø D. 23,03p æö-ç÷ç÷èø12. 已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ì+£ï=íï>î（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 （本题满分20分，每题5分）分） 13.已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +³ìï+£íï-³-î，则目标函数3z x y =+的取值范围为的取值范围为. 14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将V ADE 沿直线DE 翻折成V A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在V ADE 翻折过程中，下列命题正确的是翻折过程中，下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题的编号）（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值；的长是定值；②存在某个位置，②存在某个位置，②存在某个位置，使使DE ^A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，④存在某个位置，④存在某个位置，使使 MB P 平面A 1DE ．15. 已知双曲线22221x y a b-= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，Q 两点，且1PQ PF ^ ，若1512PQPF = ，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 . 三、解答题（本题满分70分）分）17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cosA BC A B +=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S D =+,求,a c .18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+Î. （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）证明：12231 (2)n n a a a na a a ++++<. 19．（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[]20,45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．名，其年龄频率分布直方图如图所示．的值；（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿的分布列及数学期望． 者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆，⊙O交BC于点D．的切线；（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；长．（3）在（2）条件下，若CD=1，EH=3，求BF及AF长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若的斜率是定值，并求出这个定值．直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mx n f x x x-=-，,m n R Î. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值；的值； （2）试讨论函数()f x 在区间[1,)+¥上最大值；上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>. 高二数学竞赛试题参考答案1．D 2．D 3．B 4．B 5. B 6. C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．D 12. C13. []1,6 14．①③ 15．37516．1800017．解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. ....................2分 所以C A B C -=-,或()C A B C p -=--(不成立). ．即 2C A B =+, 得3C p =，所以.23B A p +=.................. 4分又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A p-=，或56B A p-=（舍去）得5,412A B p p == ．.................. 6分(2)162sin 3328ABC S ac B ac D +===+，又sin sin a c AC=, 即2322a c =， ．.................. 8分得22,2 3.a c == .................. 10分（1）由已知6B p=， 2220a ab b --=结合正弦定理得：22sin sin 10A A --=，于是sin 1A =或1sin 2A =-（舍）．因为0A p <<，所以2A p=， 3C p =．（2）由题意及余弦定理可知22196a b ab ++=，由（1）2220a ab b --=得()()20a b a b +-=即2a b =，联立解得27b =， 47a = 所以， 1sin 1432ABC S ab C D ==. 18．（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即................... 6分（2）证明：∵1121212112122112(21)2k k kn k k k n a a ++---=<==-×---，，∴................... 12分19．（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++´=，解得0.06x =.........2分（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，.................. 4分 故X 的可能取值为0,1,2,3．()343101030CP X C ===， ()12643103110C CP X C ===， ()2164310122C CP X C ===， ()36310136CP X C ===．故X 的分布列为Y0 123P1303101216.................. 10分()13110123 1.8301026E Y =´+´+´+´=．..................12分 20.证明：（1）如图，连接OE ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠OBE ， ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠OEB=∠CBE ， ∴OE ∥BC ， ∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线； ．..................3分（2）如图，连结DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ．在△CDE 与△HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH Ð=ÐÐ=Ð=ïíî=ìï， ∴△CDE ≌△HFE （AAS ）， ∴CD=HF ．．..................7分（3）由（2）得，CD=HF ．又CD=1 ∴HF ＝1在Rt △HFE 中，EF =2231+＝10 ∵EF ⊥BE ∴∠BEF =90° ∴∠EHF =∠BEF =90° ∵∠EFH =∠BFE ∴△EHF ∽△BEF ∴EF HF BF EF =，即10110BF =∴BF =10∴152OE BF ==, 514OH =-=,∴在Rt △OHE 中， 4cos 5EOA Ð=,∴在Rt △EOA 中， 4cos 5OE EOA OA Ð==,∴545OA = ∴254OA = ∴255544AF =-=. ．..................12分 21．（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C过点P （2，﹣1），∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；..................4分（2）证明：由题意，直线PA 斜率存在，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y+1=﹣k （x ﹣2），同理求得． ..........8分又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，.................. 10分∴直线AB 的斜率为．..................12分22.（1）由'2()n x f x x -=，'2(2)4n f -=，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故214n -=，解得6n =. .................. 2分（2）'2()(0)n xf x x x -=>，由'()0f x <时，x n >；'()0f x >时，x n <， 所以①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上单调递减， 故()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)n 上单调递增，在(,)n +¥上单调递减， 故()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；综上①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；.................. 6分（3）函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，则1211221211()ln 0,()ln 0mx mx f x x f x x x x --=-==-=，可得121211ln ln m x x x x =+=+. 于是21221121ln ln ln x x x x x x x x -=-=.令211x t x =>，则1111ln ,ln t t t x txt t --==，于是21211(1)ln t x x x t t t-+=+=，.................. 8分∴21212(ln )22ln t t t x x t--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'2(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+¥递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，又211x t x=>，ln 0t >，故122x x +>成立. .................. 12分。

陕西省西安交大彬县2018-2019学年高二上学期数学竞赛试题本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，） 1．若0<<b a ，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．||||b a >B ．ab a 11>- C ．ba 11> D ．22b a >2．已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( )A ．14B ．14C ．4D ．23．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在△ABC 中，bc c b a ++=222，则A 等于（ ） A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°5．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，a 1=3，前三项和为21，则a 3 + a 4 + a 5 =（ ） A ．84B ．72C ． 33D ．1896．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．17．在△ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．32B ．32-C ．41 D ．41-8．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列{a na n ＋1a n ＋4}的最大项的值为________． A ．19B ．32 C ．－19D ．－32 9．在△ABC 中，若a 、b 、c 成等比数例，且c = 2a ，则cos B 等于（ ）A ．41 B ．43 C ．42 D ．32 10、已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1C ．[－1，2]D ．[1，2] 11．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形12．某人为了观看2018年世界杯，从2011年起，每年8月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为P ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2018年8月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）A ．7)1(p a +B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p pa +-+D ．)]1()1[(8p p pa +-+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设a 、R b ∈，且a + b = 3，则2a+ 2b的最小值是 .14．命题“存在x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 15．已知点M （2，-1，7），平面过原点O ，且垂直于向量．则点M 到平面的距离为 。

2019学年第二学期第二次月考试题高二数学（理科竞赛）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1.已知集合{|05}U x N x =∈≤≤，{1,3,5}U C B =，则集合B =（ ）A ．{2,4}B ．{0,2,4}C ．{0,1,3}D ．{2,3,4}2．若复数z 满足2,1zi i=- 则复数z 对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．命题p ：“R x ∈∃0，02021x x <+”的否定⌝p 为（ ）A ．R x ∈∀,x x 212≥+B ．R x ∈∀,x x 212<+C ．R x ∈∃0,02021x x ≥+D ．R x ∈∃0,02021x x >+4. “x ＞1”是“x 2＋2x ＞0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知随机变量X ～2(3,)N σ，且(4)0.15P X >=，则()P X =≥2（ ）A ．0.15B ．0.35C ．0.85D ．0.36.从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（ ）A ．34B ．31 C.28 D ．257.为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y (单位:厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．已知240101=∑=i ix,1700101=∑=i iy，5ˆ=b，若该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ） A. 160B. 165C. 170D. 1758．函数2sin y x x x =-的图象大致为（ ）9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“红色骰子点数为3”，事件B 为“蓝色骰子出现的点数是奇数”，则=)(A B P （ ） A ．21 B ．61 C ． 365 D ．12110．若(12)nx -*()n ∈N 的展开式中4x 的系数为80，则(12)nx -的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ） A ．32 B ．81 C ．243 D ．25611.甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为0.5，0.8，两人考试时相互独立互不影响，记X 表示两人中通过雅思考试的人数，则X 的方差为（ ）A ． 0.41B ．0.42C ．0.45D ．0.46 12．若对()0,x ∈+∞恒有ln e 2ax x x-+≥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,]e -∞- B ．2(,)e-∞- C ．(,2e]-∞- D ．(,2e)-∞-二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13.5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的系数是 ．14. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴500名影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ． 15、函数xy x e =-上某点的切线平行于x 轴，则这点的坐标为__________．16.已知集合1{|}2M x x =≥-，32{|310}A x M x x a =∈-+-=，{|20}B x M x a =∈--=，若集合A B的子集的个数为8，则a 的取值范围为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.） 17.设命题实数满足，其中，命题实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18.某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位：件)，随机抽取近5年50天 的销售量，统计结果如下：若将上表中频率视为概率，且每天的销售量相互独立．则在这5年中： (1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示)；(2)已知每件该商品的利润为20元，用X 表示该商品某两天销售的利润和(单位： 元)，求X 的分布列和数学期望．19．已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=在1=x 处取得极值． (1)求)(x f ，并求函数)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； (2) 求函数)(x f 的单调区间．20.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的 三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互 独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券 面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21.某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道测试题，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为32．假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立，互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．(1)求甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率；(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？22．已知2()e xf x x ax =--．(1)若函数)(x f 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若1=a ，证明：当0>x 时，1()2f x >． 参考数据：e 2.71828≈，69.02ln ≈．精品理科竞赛答案 选择题二、填空题：13、-20； 14. 24 ； 15、(0,-1)； 16. [,1)(1,)28---三、解答题 17：（1）当时，由，得． 由，得，所以．由p ∧q 为真，即p ，q 均为真命题， 因此的取值范围是．（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件， 由题意可得，, 所以，因此且，解得．18.解：(1)依题意5天中恰好有3天销售量为150件的概率332523144()()55625p C =⋅=．5分 (2) X 的可能取值为4000,5000,6000．339(4000)5525P X ==⨯=，123212(5000)5525P X C ==⨯⨯=，224(6000)5525P X ==⨯=．8分 所以X 的分布列为数学期望124()4000500060004800252525E X =⨯+⨯+⨯=（元）． 12分 19． 本小题满分12分．精品解：(1)因为2()1ln f x x ax x =-++-，所以1()2(0)f x x a x x'=-+->． 1分 因为()f x 在1=x 处取得极值，所以(1)0f '=，即210a -+-=， 解得所以3a =． 3分 因为1()23(0)f x x x x '=-+->，2ln 3)2(-=f ，3(2)2f '=-， 所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为36ln 22y x =-+-． 6分 (2)由(1) 1()23(0)f x x x x'=-+->， 令()0f x '>，即1230x x -+->，解得121<<x ， 所以()f x 的单调递增区间为1(,1)2． 9分 令()0f x '<，即1230x x -+-<，解得210<<x 或1>x ， 所以()f x 的单调递减区间为)21,0(，),1(+∞．综上，()f x 的单调递减区间为1(0,)2和(1,)+∞，单调递增区间为1(,1)2．12分20.解：（1）由22⨯列联表的数据，有2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(30001200)1406070130-=⨯⨯⨯220018146713⨯=⨯⨯⨯54008.4810.828637=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为310.X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4.∵239(0)()10100P X ===，12(1)P X C ==13321010⨯=， 12(2)P X C ==213137()5102100⨯+=，12(3)P X C ==111255⨯=， 211(4)()525P X ===， ∴X 的分布列为：精品X 的数学期望为1210100EX =⨯+⨯34 1.8525+⨯+⨯=（元）. 21．本小题满分12分．解：(1)依题设记甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率为P ，则21221120142423333661211133315C C C C P C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．4分 (2)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1,2,3．1242361(1)5C C P X C ===， 2142363(2)5C C P X C ===， 34361(3)5C P X C ===．6分 X 的分布列为：所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，()()()2221312()1222325555D X =-+-+-=．8分 设学生乙答对的题数为Y ，则Y 的所有可能取值为0，1，2，3．则)32,3(~B Y ． 所以2()323E Y =⨯=，222()31333D Y ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．10分因为)()(Y E X E =，()()D X D Y <，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．12分 22解：（1）依题意()e 2xf x x a '=--．1分因为函数)(x f 在R 上单调递增，所以()e 20xf x x a '=--≥在R 上恒成立，因此e 2xa x -≤．2分令()e 2x g x x =-，则()e 2xg x '=-，令()0g x '=，解得2ln =x ，所以)(x g 在)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 所以当2ln =x 时，)(x g 取得最小值22ln2-， 故22ln2a -≤，即a 的取值范围为(],22ln2-∞-．4分(2)证明：若1=a ，则2()e xf x x x =--，得()e 21xf x x '=--，精品由(1)知()f x '在)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增．5分又(0)0f '=，(1)e 30f '=-<，11ln 2211(1ln 2)e 2(1ln 2)13ln 2022f +'+=-+-=-->．所以存在0l 1,1ln 22x ⎛⎫∈+⎪⎝⎭，使得()00f x '=．7分 所以当),0(0x x ∈时，()0f x '<，当),(0+∞∈x x 时，()0f x '>， 则函数)(x f 在),0(0x 单调递减，在),(0+∞x 单调递增．则当0x x =时，函数)(x f 在()0,+∞上有最小值02000()e xf x x x =--．8分由00e 210xx --=得00e21x x =+，所以02000()e xf x x x =--=120+x 020x x --=1020++-x x =45)21(20+--x ．10分 由于)2ln 211,1(0+∈x ， 所以=)(0x f >+--45)21(20x 21151ln 2224⎡⎤⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦210.7521112244002⎛⎫>-++=> ⎪⎝⎭． 所以当0>x 时，1()2f x >．。

榆树一中2019年高二数学(理)竞赛试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数12zi-的共轭复数是 （ ）A ．35i - B. 35i C ．i - D ．i2、 下列说法错误的个数为： ( ).①正态曲线关于直线对称,这个曲线在轴上方;②越大,正态曲线越“高瘦”;越小,正态曲线越“矮胖”. ③设有一个回归方程,变量增加一个单位时,平均增加个单位;④回归直线必过点;⑤将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;A.5B.4C.3D.23、在极坐标系中,与圆θρsin 4=相切的一条直线的方程为( )A. B.C.D.4、设20(12)a x dx =-⎰，则二项式62)(xax +的常数项是（ ）A ．-240B ．240C ．-160D ．1605、已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则 （ ）A ．B ．C ．D ．6、函数()22xf x x =-的图象为 （ ）A. B. C. D.7、若X 是离散型随机变量，1221(),()33P x x P x x ====，且12x x <，又已知42(),()39E x D x ==，则12x x += （ ）5711()()()3()333A B C D8、某次国际象棋比赛规定,胜一局得分,平一局得分,负一局得分,某参赛队员比赛一局胜的概率为,平局的概率为,负的概率为已知他比赛一局得分的数学期望为,则的最大值为( )A.B. C. D.9、设实数⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤+6142102,y x xy y x y x y x 的最大值为则满足 ( )A ．225 B ．236 C ．12 D ．1410、某渔村准备将5艘不同的渔船分配到A,B,C三个水域进行捕鱼，每个水域至少安排一艘渔船，其中甲船不能分配到A水域，则不同的分配方案种数为（用数字作答）( )A．64 B．128 C．100 D．32411、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”，丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可以判断罪犯是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁12、已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（）A． B. C． D第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13、已知，应用秦九韶算法计算时的值时，的值为_________14、如图,向边长为e (e为自然对数的底数)的正方形中投石子,则投中阴影部分的概率为__________.15、函数，图象恒过定点A ，若点A 在一次函数的图象上，其中，则的最小值是__________16、已知函数(),()ln(2)4x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为__________三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题满分10分） ( Ⅰ )+ - （本小题满分5分）( Ⅱ ) 已知：向量4,6==b a ，且向量a 与b 的夹角060=θ，求b a ⋅的值 （本小题满分5分） 18、（本题满分12分） ( Ⅰ ) 已知： 若，计算的值 （本小题满分6分）( Ⅱ ) 离散型随机变量X 的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:X=i123456P(X=i) 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20求P的值（本小题满分6分）19、（本题满分12分）某厂为检验车间一生产线是否工作正常,现从生产线中随机抽取一批零件样本,测量尺寸(单位:)绘成频率分布直方图如图所示:( Ⅰ).求该批零件样本尺寸的平均数和样本方差2s(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);( Ⅱ)若该批零件尺寸服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差,利用该正态分布求;附: ;若,则,,20、（本题满分12分）在直角坐标系中,圆的方程为,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系( Ⅰ).求圆的极坐标方程（本小题满分6分）( Ⅱ)直线与圆交于点、,求线段的长（本小题满分6分）21、（本题满分12分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．( Ⅰ )从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率； （本小题满分4分）( Ⅱ )质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率. （本小题满分4分）( III)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望． （本小题满分4分）22、（本题满分12分）设函数x b x g x ae x f xln )(,)(=-=（Ⅰ）设)()()(x g x f x h +=，函数)(x h 在))1(,1(h处切线方程为y ＝2x －1，求a ，b 的值； （本小题满分6分）（Ⅱ）若a ＝1，k 为整数，当x ＞0时，x k f x x '（－）（）＋＋1＞0 成立，求k 的最大值． （本小题满分6分）答案一．选择题（1—12） CDABBD CAACBA二．填空题 （13） 36 (14) 221e -(15) 8 (16) ln 21--三．解答题17 ( Ⅰ )( Ⅱ ) 1218( Ⅰ ) 若，则有n=3+4=7， ------ ----3分所以：故=35--------6分( Ⅱ ) 根据分布列的性质知,随机变量的所有取值的概率和为1,因此即,由是0~9间的自然数可解得--------3分故. ---------6分192021 ( Ⅰ )由题意得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格零件数为2，故所求概率为P ＝⎝⎛⎭⎫1－C 24C 28⎝⎛⎭⎫1－C 22C 24＝5584. ----4分即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为5584.( Ⅱ )763414241424=+=C C C C C P ----4分( III)由题意可得X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 28C 212＝1433， P (X ＝1)＝C 14C 18C 212＝1633， P (X ＝2)＝C 24C 212＝111.∴ 随机变量X 的分布列为X 012P1433 1633 111∴E (X )＝0×1433＋1×1633＋2×111＝23. ----4分 22 解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x -+=+=ln()1-+='xbae x h x ------------2分 由题意可知()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h ------------4分ea 2=∴，1=b ----------------6分 （Ⅱ）当0>x 时，()()01>++'-x x f k x 等价于x e x k x+-+<11()x e x x F x +-+=11()()()212---='xx x e x e e x F 令()2--=x e x R x()1-='xe x R 当0>x 时，()0>'x R 恒成立()x R 在()+∞,0上单调递增 ， --------------8分又()01<R ，()02>R()x R ∴在()+∞,0上有唯一零点0x ，且()2,10∈x ，0200=--x e x-------------10分()x F ∴单减区间为()0,0x ，单增区间为()+∞,0x ()x F ∴在()+∞,0的最小值为()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x ()0x F k <∴ 2max =∴k ----------------------12分。

2019年湖南省高二全能竞赛数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.复数i i Z )43(--=在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知R U =，{})1ln(x y x A -==，{}022<--=x x x B ，则=)(A C B u （ ） A.{}1≥x x B. {}21<≤x x C.{}20≤<x x D. {}1≤x x 3.已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.若x ，y 是正数，且141=+yx ，则xy 有（ ） A. 最小值16 B. 最小值161 C. 最大值16 D. 最大值161 5.设m ，n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ）A.n m ⊥ ，αα⊥⇒n m //B. n m ⊥，αα//n m ⇒⊥C. n m //，αα////n m ⇒D. n m //，αα⊥⇒⊥n m6.若31)21(=a ，231log =b ，321log =c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B.a c b <<C.c b a <<D. a b c <<7.已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则y x Z -=的取值范围是（ ）A. []2,1-B. []1,2-C.[]1,2--D.[]2,18.已知)(x f 在R 上是偶函数，且满足)()3(x f x f =+，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0x 时，22)(x x f =，则=)5(f （ ） A. 8B. 2C. 2-D. 509.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c C a b 21cos +=，则角A 为（ ）A. 60∘B. 120∘C. 45∘D. 135∘10.函数)1ln(23x x x y -++=的图象大致为（ ）A. B. C. D.11.已知数列{}n a 中，21=a ，*1,1)(N n a a a n n n n ∈+=-+， ，若对于任意的[]2,2-∈a ，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. (][)+∞-∞-,12, B. (][)+∞-∞-,22, C. (][)+∞-∞-,21,D. []2,2-12.已知函数ax xe xf x-=)(，()+∞∈,0x ，当12x x >时，不等式0)()(1221<-x x f x x f 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (]e ,∞-B.()e ,∞-C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2,e D.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,e二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在等差数列{}n a 中,已知1083=+a a ,则=+753a a _____.14.已知向量a ⃗ 的模为1，且a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −b ⃗ |=4，|a ⃗ +b ⃗ |=2，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影等于______．15.2019年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊． 比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是______． 16.已知矩形ABCD ，3=AD ，3=AB ，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且1==DF BE ，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面⊥ABEF 平面EFDC ，则三棱锥FEC B -的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线)0(cos 2sin :2>=a a C θθρ，过点)4,2(--P 且倾斜角为4π的直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．18.（本小题满分12分）已知函x x x x f cos sin 3sin )(2+= （1）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0π上的值域．19.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且42=a ，305=S ，数列{}n b 满足n n a nb b b =+++......221； （1）求n a 的通项公式；（2）设1+=n n n b b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //，3===AC AD AB ，4==BC PA ，M 为线段AD 上一点，MD AM 2=，N 为PC 的中点．（1）证明//MN 平面PAB ； （2）求四面体BCM N -的体积.21.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别是21,F F ，焦距为32，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆144:2222=+by a x E ,P 为椭圆E 上的任一点，过点P 的直线m kx y l +=:交椭圆C 于A ,B 两点，射线PO 交椭圆C 于点Q ，求ABQ ∆面积的最大值．22.（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+= （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间和极值；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <，求实数a 的取值范围．2019年高二数学全能竞赛试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13. 20 14.3- 15.丙 16.π332 三、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其余各题每题12分，共70分） 17.解（1（可变为（........1分 （曲线的直角坐标方程为（ ........3分直线的参数方程为为参数）（........4分为参数）.........................5分（2）将直线的参数表达式代入曲线得,................7分（ ................8分又（ ................9分由题意知（（（代入解得（................10分18.解（1）........................4分所以.................5分对称轴即.....................7分（2）由（1）得因为，所以， .................9分所以，因此..................11分所以f(x)的值域．.......................12分19.解（1）设等差数列的公差为，由,得......2分解得,................4分所以.................................6分（2）由（1）得,, ①所以时,, ②................8分①-②得,又也符合式,所以,所以,................10分所以.................12分20．解：（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，...............2分又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是......................4分因为平面，平面，所以平面...........6分（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为........8分取的中点，连结.由得，. 由得到的距离为，故........10分所以四面体的体积...............12分21.解：(1)由已知：.........1分..................2分即椭圆C的标准方程为. .........4分(2)设，当直线OP斜率不存在时，; 当直线OP斜率存在时，设直线OP 方程为，则，则，即. .........5分由(1)得椭圆E: ，由直线过椭圆E上点P，联立方程组，则, 由得. (*) 由，则，..................7分由得 (**)，设直线交椭圆C的交点则，.......8分由，则.........10分由(*)(*)可得：，则， 即.........12分22.解：（1）由已知f ′(x)=2+1x (x >0)，...............1分 ，f(1)=2，故曲线y =f(x)在x =1处切线的斜率为3，..................2分 故切线方程是：y −2=3(x −1)，即013=--y x ........................3分 （2）求导函数可得)0(11)(>+=+='x xax x a x f ............4分 当a <0时，由，得x =−1a ．..................5分在区间(0,−1a )上，；在区间(−1a ,+∞)上，，所以，函数f(x)的单调递增区间为(0,−1a )，单调递减区间为(−1a ,+∞)，......6 故)ln(1)1()(a af x f ---=-=极大值........................7分 (3)由已知转化为f(x)max <g(x)max ．∵g(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1，x 2∈[0,1]，所以2)(=x g ............8分 由(2)知，当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．(或者举出反例：存在f(e 3)=ae 3+3>2，故不符合题意.)............9分 当a <0时，f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减，......10分 故f(x)的极大值即为最大值，f(−1a )=−1+ln(−1a )=−1−ln(−a)， 所以2>−1−ln(−a)，所以ln(−a)>−3， 解得31e a -<..............................12分。