考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

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考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T12)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为 ( ) A.8√6π B.4√6πC.2√6πD.√6π【解析】方法一:选D .设PA =PB =PC =2x ,E ,F 分别为PA ,AB 的中点,所以EF ∥PB ,且EF =12PB =x ,因为△ABC 是边长为2的等边三角形, 所以CF =√3,又∠CEF =90°,所以CE =√3-x 2,AE =12PA =x ,在△AEC 中,利用余弦定理得cos ∠EAC =x 2+4-(3-x 2)2×2×x,作PD ⊥AC 于D ,因为PA =PC ,所以D 为AC 中点,cos ∠EAC =AD PA =12x, 所以x 2+4-3+x 24x =12x, 所以2x 2+1=2,所以x 2=12,x =√22,所以PA =PB =PC =√2,又AB =BC =AC =2,所以PA ,PB ,PC 两两垂直, 所以2R =√2+2+2=√6,所以R =√62,所以V =43πR 3=43π×6√68=√6π,故选D .方法二:选D .因为PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的等边三角形,所以P -ABC 为正三棱锥, 易得PB ⊥AC ,又E ,F 分别为PA ,AB 的中点,所以EF ∥PB ,所以EF ⊥AC ,又EF ⊥CE ,CE ∩AC =C , 所以EF ⊥平面PAC ,PB ⊥平面PAC ,所以∠BPA =90°,所以PA =PB =PC =√2,所以P -ABC 为正方体一部分,2R =√2+2+2=√6,即R =√62,所以V =43πR 3=43π×6√68=√6π,故选D .【题后反思】本题考查学生空间想象能力,补形法解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长,进而补形成正方体解决.2.(2019·浙江高考·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是 ( )A.158B.162C.182D.32【命题意图】本题主要考查由几何体的三视图求原几何体的体积.【解析】选B .由三视图可知,俯视图可以补充为完整的正方形,边长为6,所以底面五边形的面积为S =62-12×2×3-12×4×3=27,所以V =Sh =27×6=162.二、填空题3.(2019·全国卷Ⅱ理科·T16同2019·全国卷Ⅱ文科·T16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .【命题意图】考查空间几何体的结构特征、空间想象以及数学运算能力.【解析】上下各一个面,中间三层每层8个面,共26个面.最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形,如图:,)+x=1,解得x=√2-1.则有8θ=360°,解得θ=45°,即设棱长为x,可得2(√2x2答案:26√2-14.(2019·全国卷Ⅲ理科·T16同2019·全国卷Ⅲ文科·T16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.【解析】S四边形EFGH=4×6-4×12×2×3=12(cm2),V=6×6×4-1×12×3=132(cm3).3m=ρV=0.9×132=118.8(g).答案:118.85.(2019·北京高考理科·T11同2019·北京高考文科·T12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.【命题意图】本题考查几何体的三视图,以及求体积,考查空间想象能力,体现了直观想象的核心素养.试题难度:易.【解析】由三视图可知,正方体体积V 1=43=64,四棱柱体积V 2=(2+4)×22×4=24, 所以该几何体体积V =V 1-V 2=40. 答案:40【方法总结】三视图还原几何体6.(2019·天津高考理科·T11同2019·天津高考文科·T12)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 . 【解题指南】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径. 【解析】四棱锥的高为√5-1=2, 故圆柱的高为1,圆柱的底面半径为12, 故其体积为π×(12)2×1=π4. 答案:π4【方法技巧】求几何体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值. 7.(2019·江苏高考·T9)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 . 【命题意图】主要考查空间几何体的体积,可通过棱锥和棱柱的体积转化求得.【解析】设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的体积为abc=120,三棱锥E-BCD的体积为13S△BDC×12c=13×12ab×12c=112abc=10.答案:10【题后反思】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.。

§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图考纲展示1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．考点1空间几何体的结构特征第1步回顾基础一、自读自填空间几何体的结构特征(1)一个几何体由5个面围成，其中两个面是互相平行且全等的三角形，其他面都是全等的矩形，则该几何体是________；一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周后形成的封闭曲面所围成的几何体是________．(2)如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．三、易错问题空间几何体的认识误区．给出下面四种说法：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；④棱台各侧棱的延长线交于一点．其中错误说法的序号为________．第2步自主练透典题1(1)给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3(2)下列说法中正确的是________．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面组成的几何体是棱锥；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③用一个平面去截棱锥，可得到一个棱锥和一个棱台；④棱锥的各侧棱长相等．点石成金解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．考点2空间几何体的三视图第1步回顾基础一、自读自填空间几何体的三视图是用________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是________的，三视图包括________、________、________.二、易错问题三视图：注意三个视图之间的长度关系．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．第2步多角探明角度一由三视图还原几何体典题2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A B C D角度二由空间几何体的直观图判断三视图典题3一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()A B C D角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图典题4已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．(把你认为正确的图的序号都填上)点石成金三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．考点3空间几何体的直观图第1步回顾基础一、自读自填空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．第2步师生共研典题5已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2C.68a2 D.616a2点石成金用斜二测画法画直观图的技巧(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行；(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线；(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．第3步跟踪训练如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．参考答案考点1空间几何体的结构特征第1步回顾基础一、自读自填(1)平行且相等全等(3)相似(1)矩形(2)直角边(3)直角腰(4)直径二、链接教材(1)【答案】三棱柱两个同底的圆锥【解析】根据多面体和旋转体的概念知，第一个几何体是三棱柱，第二个几何体是两个同底的圆锥．(2)【答案】侧视图俯视图【解析】根据三视图的概念知，图②是侧视图，图③是俯视图.三、易错问题【答案】①②③【解析】①如果上、下两个面平行，但不全等，即使其余各面是四边形，那也不可能是棱柱．②如图所示，平面ABC∥平面A1B1C1，但图中的几何体不是棱柱．③棱锥的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．④棱台是由棱锥截得的，故侧棱延长线交于一点．第2步自主练透典题1(1)【答案】B【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)【答案】②【解析】棱锥的侧面三角形有一个公共顶点，故①错误；三棱锥又叫四面体，其各个面都是三角形，都可以作为棱锥的底面，故②正确；用平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分叫做棱台，故③错误；④明显错误．考点2空间几何体的三视图第1步 回顾基础 一、自读自填正投影 完全相同 正视图 侧视图 俯视图 二、易错问题 【答案】48【解析】由三视图可知，上面是一个长为4、宽为2、高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是上、下底分别为2,6，高为2的梯形．又长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48.典题2 【答案】 D【解析】 A ，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，故选D. 典题3 【答案】 B【解析】 由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．故选B. 典题4 【答案】 ①②③④【解析】 直观图如图①的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图①；直观图如图②的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图②；直观图如图③的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图③；直观图如图④的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图④.① ② ③ ④考点3 空间几何体的直观图 第2步 师生共研 典题5 【答案】 D【解析】 图①所示的是△ABC 的实际图形，图②是△ABC 的直观图．由图①②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2. 第3步 跟踪训练解：建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变． 已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ， 在△OA ′C ′中，由正弦定理，得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ， 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.。

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考点30 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2015·浙江高考理科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积 是 ( )cm 3 cm 3 C.3323cm D.3403cm 【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=23+×22×2=(cm 3).2.(2015·浙江高考文科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积 是 ( )cm 3cm 3 C. cm 3D. cm 3【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积3322231223=⨯⨯+=V (cm 3).3. （2015·安徽高考文科·T9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积 是 ( )（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

【解析】选C 。

由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示：其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ABC ≅，由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=2，取AC 中点O 连接PO,BO ，则在Rt POB 中，PO=BO=1，可得PB=2，所以31=22+22=2+32S ⨯⨯⨯⨯C 。

4. （2015·安徽高考理科·T7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A 、13+、23+ C 、122+、22【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

考点28 空间几何体的结构及其三视图与直观图一、空间几何体的结构1．多面体棱柱：①底面互相平行②侧面都是平行四边形③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.棱锥：①底面是多边形.② 侧面都是三角形.③侧面有一个公共顶点.棱台：① 上、下底面互相平行，且是相似图形.② 各侧棱的延长线交于一点.③各侧面为梯形. 可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥2．旋转体圆柱：① 圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.② 圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.③ 平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面( 轴截面) 是全等的矩形.圆锥：①底面是圆面.② 有无数条母线，长度相等且交于顶点.③ 平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面, 过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.圆台：① 圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.② 有无数条母线，等长且延长线交于一点.③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面, 过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.球：①球心和截面圆心的连线垂直于截面.② 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式:d2=R2-r2.二、空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图（1 ）三视图的概念几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．① 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图 ;② 光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图 ;③ 光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.（ 2 ）三视图的画法规则① 排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.② 画法规则正视图与俯视图的长度一致，即“ 长对正”；。

考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1．（2011·安徽高考理科·Ｔ6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） （A ）48 （B ）32+178 （C ）48+178 （D ）80【思路点拨】将三视图还原成直观图，可以知道这是一个底面为等腰梯形的直棱柱，之后利用面积公式，求出六个面的面积.【精讲精析】选C.这是一个底面为等腰梯形的直棱柱,两底面等腰梯形的面积和为，）（24442212=⨯+⨯⨯四个侧面的面积为，）（178********+=++⨯所以该几何体的表面积为48+178.2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图，然后再推出侧视图. 【精讲精析】选D. 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心， 可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D3．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为（ ） （A）3(B)3(C) 3(D)3【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C ，设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边4,=SC 故2==BO AO ，且有SC AO ⊥，SC BO ⊥．∴)(31OC SO S V V V AOB AOB C AOB S ABC S +=+=∆---=3344243312=⨯⨯⨯．BCA4.（2011·广东高考文科·Ｔ7）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）12 （D ）10【思路点拨】本题主要考查空间想象能力及体对角线的概念，由多面体体对角线的概念可得答案. 【精讲精析】选D.上底面内的每个顶点，与下底面内不在同一侧面内的两个顶点的连线，可构成正五棱柱的对角线，所以共10条，故选D.5.（2011·广东高考文科·Ｔ9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）（A ）34 （B ）4 （C ）32 （D ）2【思路点拨】首先由三视图得该几何体为一四棱锥，然后由图中数据求出底面面积及高，再由锥体体积公式求解.【精讲精析】选C.由三视图可得原几何体是一四棱锥，底面是边长为2的菱形，其一条对角线长为2，则另一条对角线长为32，从而底面面积3232221=⨯⨯=底S .该棱锥其中两条侧棱长为32，另外两条侧棱长相等，从而得棱锥的高3)3()32(22=-=h ，所以该几何体的体积3233231=⨯⨯=V ，故选C.6.（2011·广东高考理科·Ｔ7）如图某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）（A ）36 （B ）39 （C ）312 （D ）318 【思路点拨】先由三视图还原直观图，然后再求体积.【精讲精析】选B.由三视图得，几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，高3122=-=h .所以几何体的体积V 33=⨯=故选B.7.（2011·山东高考理科·Ｔ11）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图．其中真命题的个数是（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0【思路点拨】本题可寻找特殊的几何体，三棱柱，正四棱柱，圆柱.【精讲精析】选A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使三个命题为真.8.（2011·辽宁高考理科·Ｔ12）已知球的直径SC =4，B A ,是该球球面上的两点，AB =3，︒=∠=∠30BSC ASC ，则棱锥ABC S -的体积为（ ）（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1 【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C.由题意可知SAC ∆和SBC ∆是两个全等的直角三角形，过直角顶点B A ,分别作斜边上的高线BH AH ,，由于︒=∠=∠30BSC ASC ，求得3==BH AH ，所以等边ABH ∆的面积为2ABH S ∆==ABC S -的体积等于以ABH ∆为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC 的长，故⨯=-31ABC S V 43334=⨯．9.（2011·北京高考理科·T7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ） （A ）8 （B） （C ）10 （D）【思路点拨】先画出直观图，标出尺寸后，再分别求出四个面的面积，逐个比较. 【精讲精析】选C.该四面体的直观图，如图所示，090B ∠=，ABC PA ⊥面，PA=4,AB=4,BC=3.该四面体的四个面都是直角三角形.四个面的面积分别为6,8,10.ABC PAB PBC PAC S S S S ∆∆∆∆==== 故最大面积为10.10.（2011·北京高考文科·T5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ） （A ）32 （B）16+（C ）48 （D）16+【思路点拨】作出直观图，先求出斜高，再计算表面积. 【精讲精析】选B.=214(44162⨯⨯⨯+=+11.（2011·湖南高考理科·T3）设如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）（A ）1229+π（B ）1829+π（C ）429+π （D ）1836+π正（主）视图 侧（左）视图 俯视图正（主）视图侧（左）视图俯视图正视图侧视图ABCP【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的 能力.【精讲精析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23 的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱.故体积为3439332+()18.322π⨯⨯⨯=+π12.（2011·湖南高考文科T4）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） （A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力. 【精讲精析】选D. 由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23的球，下面是一个底面边长是3高为2的正四棱柱. 故体积为3439()+33218.322π⨯⨯⨯=π+ 13.（2011·江西高考文科·Ｔ9）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【思路点拨】在左视图中，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面 对角线，易得.【精讲精析】选D.根据正投影的性质，结合左视图的要求知，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，结合选项即得答案.14．（2011·陕西高考理科·T5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） （A ）283π- （B ）83π-（C ）82π-（D ）23π 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算． 【精讲精析】选A ．由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-.15.（2011·浙江高考理科·Ｔ3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）【思路点拨】逐个检验筛查.【精讲精析】选D.由正视图来看符合条件的只有C,D.从俯视图来看只有D 选项中的几何体符合. 16.（2011·浙江高考文科·Ｔ7）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）【思路点拨】逐个检验选项中的几何体的直观图是否与所给三视图相符合. 【精讲精析】选B.二、填空题17.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为__ .【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD 的 体积.【精讲精析】 如图所示，OO '垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O '， 连接O 'B ，OB ，则在Rt ∆OO B '中，由OB ＝4, O B '=OO '＝2,116233O ABCD V S OO -'∴=⋅=⨯⨯=【答案】18.（2011·天津高考理科·T10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：211332163=+=⨯⨯+⨯⨯=+V V V ππ圆锥长方体【答案】6+π19.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解. 【精讲精析】如图设球的半径为R ，圆锥的底面 圆半径为r ，则依题意得223416r R ππ=⨯，即cos 2r O CO R '=∠= 130,2O CO OO R ''∴∠=︒∴=，11,22AO R R BO R R ''∴=-=+, 112.332RAO BO R '∴==' 【答案】1320.（2011·辽宁高考理科·Ｔ15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_________.【思路点拨】先求底面边长，再求矩形的面积． 【精讲精析】设棱长为a ，由体积为32可列等式=⋅a a 24332，2=a ， 所求矩形的底边长为323=a ，这个矩形的面积是3223=⨯． 【答案】3221.（2011·天津高考文科·Ｔ10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体，上面是长、宽、高分别为1、1、2的长方体，所以所求的体积是：12+=211+112=4=⨯⨯⨯⨯V V V【答案】422. （2011·福建卷理科·Ｔ12）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC 的体积等于______. 【思路点拨】利用公式13P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅求体积.【精讲精析】由题意得：2112333P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯=三、解答题23.（2011·江西高考文科·Ｔ18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将,'∆∆PDA PD PDA 沿翻折至.'⊥PDA PBCD 使平面平面（1）当棱锥'A -PBCD 的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A【思路点拨】(1)首先根据面面垂直，证出A P PBCD '⊥平面，再将四棱锥的体积表示出来，借助导数求体积最大时PA 的长.（2）根据平行线的性质，两条平行线中有一条与一条 直线垂直，另一条也与该直线垂直，故易证.【精讲精析】（1）设x PA = (0<x<2), 则A ′P=PD=x, BP=2-x,因为A ′P ⊥PD 且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故 A ′P ⊥平面PBCD则2A -PBCD PDCB11x V PA Sx(2)332'=⋅=-底面. 令231x 2x x f (x)x(2)(x 0),3236=-=->则232)(2x x f -='.由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值.（2）作B A '的中点F ，连接EF 、FP, 由已知得：FP ED PD BC EF ////21//⇒ 又'A P PB ⊥，∴PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.24.（2011·福建卷文科·Ｔ20）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，点E 在线段AD 上，且CE∥AB. (I)求证：CE⊥平面PAD ；（II ）若PA=AB=1，AD=3，P-ABCD 的体积. 【精讲精析】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥. 因为,//,AB AD CE AB ⊥所以CE AD ⊥. 又PAAD A =，所以CE ⊥平面PAD.(2)由（1）可知CE AD ⊥.在Rt ECD ∆中，cos 451DE CD =⋅︒=，sin 451CE CD =⋅︒=.AE=AD-DE=3-1=2， 又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形. 所以1++2ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE ∆⋅⋅矩形四边形＝＝ ＝1512+11.22⨯⨯⨯＝ 又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，所以-11551.3326P ABCD V S PA =⋅⨯⨯四棱锥四边形ABCD ＝＝。

空间几何体的三视图及直观图、表面积及体积导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，并且会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图． 探究点一 空间几何体的结构例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是________． 变式迁移1 下列结论正确的是( ) A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 探究点二 空间几何体的三视图例2 (2009·福建)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )变式迁移2 (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )探究点三 直观图及斜二测画法 例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()变式迁移3一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2B．22a2C.22a2D23a21.(2012·湖北省黄冈中学高三五月模拟)下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( )A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形2.(2012·山东省济宁第三次质检)在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )3.(2013·昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为.5.(2012·福建省泉州市3月质量检查)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为.6.(2013·广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中满足条件的序号是②③.7.如图，四边形ABCD 在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是 .8.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．9.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．空间几何体的表面积和体积1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．5 2.(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.3603B.5803 C ．200 D ．240 3.(2012·山东省日照市高三12月)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( )A. 3 B．4 3 C．8 D．244.如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于( C ) A．15πB．18πC．21πD．24π5.(2012·南通市教研室全真模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为1 m的半圆，则该圆锥的体积是m3.6.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.7.(2013·上海市高三下七校联考)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，SA＝1，AB＝BC＝2，则球O的表面积为.8.下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．9.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．。

温馨提示：考点29 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2017·浙江高考·T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 ( )A.2π+1 B. 2π+3 C.32π+1 D. 32π+3【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图,意在考查学生由空间几何体的三视图还原空间几何体的能力及圆锥与棱锥的体积公式的应用.【解析】选A.根据所给几何体的三视图,画出该几何体的直观图,如图所示,可知该几何体是由一个半圆锥和一个三棱锥组合成的,圆锥的底面半径为1,高为3,三棱锥底面是斜边为2的等腰直角三角形,高也为3,所以该几何体的体积为:V=π·12×3×13×12+2×1×12×3×13=2π+1.2.(2017·全国甲卷文·T6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π【命题意图】本题考查三视图以及几何体的体积计算,意在考查学生空间想象能力与化归思想的运用,通过体积的计算考查运算求解能力.【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为V=错误！未找到引用源。

×π×32×6+π×32×4=63π.【误区警示】本题由三视图不能正确的还原成空间几何体,从而造成计算失误.3.(2017·全国甲卷理科·T4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π【命题意图】本题考查三视图以及几何体的体积计算,意在考查学生空间想象能力与化归思想的运用,通过体积的计算考查运算求解能力.【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为V=12×π×32×6+π×32×4=63π. 4.(2017·全国丙卷·文科·T9)同(2017·全国丙卷·理科·T8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A.π B.34π C.2π D.4π 【命题意图】本题考查圆柱和球,考查学生的空间想象能力和计算能力. 【解析】选B.如图,画出圆柱的轴截面:r=BC=, 那么圆柱的体积V=πr 2h=π×22⎛⎫⎪⎝⎭×1=34π. 5.(2017·全国丙卷·理科·T8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A.π B.34π C.2π D.4π 【命题意图】本题考查圆柱和球,考查学生的空间想象能力和计算能力. 【解析】选B.如果,画出圆柱的轴截面:r=BC=2,那么圆柱的体积V=πr 2h=π×22⎛ ⎝⎭×1=34π. 6.(2017·北京高考理科·T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 ( )D.2【命题意图】本题主要考查根据几何体三视图求几何体的体积与表面积.意在培养学生的数形结合与运算能力. 【解析】选B.几何体是四棱锥,如图为三视图还原后的几何体,最长的棱长为所在正方体的体对角线,l==2【技巧点拨】如何依据三视图确定空间几何体,长方体是确定空间几何体的主要模型,充分把三视图与(投影面)长方体两两垂直的三个平面建立联系.7.(2017·北京高考文科·T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )A.60B.30C.20D.10【命题意图】本题主要考查根据几何体三视图求几何体的体积.意在培养学生的数形结合与运算能力.【解析】选C.由三棱锥的三视图可知,该三棱锥的直观图为A-BCD ,如图所示,其所在长方体的长、宽、高分别为5,3,4,所以V A-BCD =3×4×5-4×1134532⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭错误！未找到引用源。