2011届高三数学上册10月月考测试题1

湖北省黄州区一中2011届高三10月月考（数学理）一、选择题（本题共有10个小题，每小题5分，共50分）．1．若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)a ∈，”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 A ．32 B ．1 C ．-1 D ．-32 2．已知函数xx f 2)(=的反函数)(1x f -满足4)()(11=+--b f a f ，则ba 11+的最小值为 A ．1B ．31 C ．21 D ．413．若函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是（ ）4.函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是A. B. C. D.5．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1,f -=(0)2f =-，则(1)(2)(3)f f f f +++鬃?……+f(2008)的值为A ．-2B ．-1C ．0D ．16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ）A.7SB.8SC.13SD.15S7.若数列｛a n ｝满足a 1=5,a n+1=nn a a 212++2n a (n ∈N +),则其前10项和为( )A 、 50B 、100C 、 150D 、2008.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（ ） Ａ．2- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．29．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，则数列nb{a }前10项的和等于A.55B.70C.85D.100 10.设{a n }为各项均是正数的等比数列,S n 为{a n }的前n 项和,则( ) A.6644S a S a =B.6644S a S a >C.6644S a S a <D.6644S a S a≤ 二、填空题（本题共有5个小题，每小题5分，共25分）．11．若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围是 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有0)()(<+'x f x f x 且(2)0f -=，则不等式0)(<x xf 的解集为 .13．已知数列{a n }的前n 项和122-+=n n S n ,则25531a a a a ++++ =14.已知等比数列{n a }的各项均为不等于1的正数，数列}{n b 满,18,ln 3==b a b n n 126=b ，则数列}{n b 前n 项和的最大值为______________.15.对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图方式的“分裂”.仿此,52的“分裂”中最大的数是_______,若m 3的“分裂”中最小的数是211,则m 的值为_______.三、解答题（共75分）16.（12分）已知函数y=f(x)= 21ax bx c++(a,b,c ∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b ∈N ，且f(1)<52(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

高三数学理科月考二试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．） 1．若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 定义域为 ( )A ．)0,21(-B ． ),0(+∞C ．),21(+∞-D ．]0,21(- 2．幂函数()a f x x =的图象过点（2，4），那么函数()f x 的单调递增区间是 （ ）A ．（-2，+∞）B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．（-∞，-2）3．已知定义域是实数集R 上的函数y=f(x)不恒为0，同时满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有（ ） A.f(x)<－1 B. －1<f(x)<0 C . f(x)>1 D. 0<f(x)<14.5．以下有关命题的说法错误的是 （ ）A ．命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．对于命题01,:,01,:22≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x p 均有则使得D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题6、若函数)1(-=x f y 是偶函数，则)2(x f y -=的对称轴是（ ）A 、12x =B 、1x =C 、0x =D 、2x = 7．已知函数f(x)是R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数，且g(x)=f(x-1)，若f(2)=2，则f(2012) 的值为（ ）A ．2 B. -2 C.±2 D. 0()的解集是25|12|≥+-x x ())21,)((),31)[(),73)[(),21[-∞+∞+∞+∞D C B A8．函数3()1f x x x x =+=在点处的切线方程为（ ） A ．420x y -+= B ．420x y --=C ．420x y ++=D ．420x y +-=9．设0＜b ＜a ＜1,则下列不等式成立的是 （ ）A ．ab ＜b 2＜1B ．2b ＜2a ＜2C ．21log b ＜21log a ＜0D ．a 2＜ab ＜110.定义函数D x x f y ∈=),(，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 在D 上的均值为C 。

直线和圆题组一一、选择题1．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A ．相切 B ．直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 答案 B.2．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ))(A 50<<k )(B 05<<-k )(C 130<<k )(D 50<<k答案 A.3、（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）两圆042222=-+++a ax y x 和0414222=+--+b by y x 恰有三条公切线，若R b R a ∈∈,，且0≠ab ，则2211b a +的最小值为 （ ）A ．91B ．94C ．1D ．3答案 C.3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）已知点P 是曲线C:321y x x =++上的一点，过点P 与此曲线相切的直线l 平行于直线23y x =-，则切线l 的方程是（ ） A ．12+=x y B ．y=121+-xC ．2y x =D ．21y x =+或2y x =答案 A.4. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）设斜率为1的直线l 与椭圆124:22=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ） A ．4条 B ．5条 C ．6条 D ．7条 答案 C.5.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理） 已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p ＝ （ ▲ ）A 、1B 、2C 、3D 、4答案 B.6．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）过点M(1,5)-作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线,则切线方程为（ ） A ．1x =-B ．512550x y +-=C ．1512550x x y =-+-=或D ．15550x x y =-+-=或12答案 C.7．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=41(0,0),a b a b>>+对称则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9答案 D.8．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB满足||||OA OB OA OB +=-，则实数a 的值是（ ）（A ）2 （B ）2- （C 或 （D ）2或2- 答案 D.9. （广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）曲线321y x x x =-=-在处的切线方程为（ A ．20x y -+= B ．20x y +-= C ． 20x y ++= D ．20x y --=答案 C.10.（贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂答案 A.11.（黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理） 若直线y x =是曲线322y x x ax =-+的切线，则a =（ ）.1A .2B .1C - .1D 或2 答案 D.邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂12．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）“3=a ”是“直线012=--y ax ”与“直线046=+-c y x 平行”的 （ ）A ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B.13．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知α∥β，a ⊂α，B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线 答案 D.14．（重庆市南开中学2011届高三12月月考文）已知圆C 与直线040x y x y -=--=及都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=答案 B. 二、填空题14．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知两点(4,9)(2,3)P Q --,，则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段PQ的比为 ．答案 2.15. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线，求椭圆的离心率▲▲.答案 36=e . 16．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a = 答案 0.17. （广东省中山市桂山中学2011届高三第二次模拟考试文） 在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线sin()4πρθ+=的距离为 .18．（河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）如下图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ， 4PC =，8PB =，则CE = .答案12519.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理）已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f =_____________。

辽宁省实验中学高三年级10月份月考数学试卷满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若，则是的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.若，则（）A. B. C. D.3.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.4.在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（）A.当时，是直角三角形B.当时，是锐角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是钝角三角形5.耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（）.A. B. C.π D.6.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A. B.C D.8.设函数在上至少有两个不同零点，则实数取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

9.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.10.函数，（，）部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数解析式为B.函数的单调增区间为C.函数的图象关于点对称D.为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度11.已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（）A.当时，B.的取值范围为C.当时，取值范围为D.当时，的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则用表示为______．13.已知，则的最小值为______．14.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.附：，其中.0.10.050.012.7063.841 6.635若，则，16.已知函数．（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；（2）若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由．17.已知数列的前n项和为，数列满足，．（1）证明等差数列；（2）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．18.在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．（1）求角B；（2）若，求面积的最大值；（3）求的取值范围．19.已知集合是具有下列性质的函数的全体，存在有序实数对，使对定义域内任意实数都成立.（1）判断函数，是否属于集合，并说明理由；（2）若函数（，、为常数）具有反函数，且存在实数对使，求实数、满足的关系式；（3）若定义域为的函数，存在满足条件的实数对和，当时，值域为，求当时函数的值域.辽宁省实验中学高三年级10月份月考数学试卷满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若，则是的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件.【详解】对于，则，解得；对于，则，解得；因为是的真子集，所以是的充分不必要条件.故选：A.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由条件得到，化弦为切，代入求出答案.【详解】因为，所以，所以.故选：C3.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围.【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以.且在恒大于0，所以或.综上可知：.故选：B4.在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（）A.当时，是直角三角形B.当时，是锐角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是钝角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解．【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是等腰三角形，，说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：D.5.耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（）.A. B. C.π D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即，所以，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，即，因为，所以令，即，故选：D.6.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，是偶函数，且在区间单调递减，由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范围是.故选：D7.已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，则，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断.【详解】令，则，对于A，，所以A正确，对于B，因为在上递增，且，所以，即，即，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以D正确，故选：C8.设函数在上至少有两个不同零点，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先令得，并得到，从小到大将的正根写出，因为，所以，从而分情况，得到不等式，求出答案.【详解】令得，因为，所以，令，解得或，从小到大将的正根写出如下：，，，，，……，因为，所以，当，即时，，解得，此时无解，当，即时，，解得，此时无解，当，即时，，解得，故，当，即时，，解得，故，当时，，此时在上至少有两个不同零点，综上，的取值范围是.故选：A【点睛】方法点睛:在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

2011届高三10月数学（文）一、选择题：(本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上．) 1．已条件甲“50<<x ”是条件乙“3|2|<-x 的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件2知集合U ＝R ，集合M ＝{y|y ＝2|x|，x ∈R},集合N ＝{x |y ＝lg （3－x ）},则M ∩N＝( )A ．{t | t <3}B ．{t | t ≥ 1}C ．{t | 1 ≤ t < 3}D ．∅3、{}n a 为等差数列，若{}n n a s a a 是,1264=+的前n 项和，则9s =（ ）A 、48B 、54C 、60D 、66 4已知向量a ＝（x ,－1）与向量b ＝（1，x1），则不等式a·b ≤0的解集为( ) A ．{x | x ≤－1或x ≥ 1}B ．{x | －1 ≤ x < 0或x ≥ 1}C ．{x | x ≤－1或0 ≤ x ≤ 1}D ．{x | x ≤－1或0 < x ≤ 1}5．若函数()f x 的反函数为12()2(0)f x x x -=+<，则3(log 27)f ＝（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．116．若递增等比数列{}n a 满足：12312371,864a a a a a a ++=⋅⋅=，则此数列的公比q ＝（ ） A ．12B ．12或2 C ．2 D ．32或27．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．f （x ）＝2sin （62π-x ）； B ．f （x ）＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+44cos 2πx C ．f （x ）＝2cos （32π-x ）； D ．f （x ）＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+64πx 8．已知,αβ表示平面,,m n 表示直线，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ，,m n αβ⊆⊆，则m n B ．若αβ⊥，,m n αβ⊆⊆，则m n ⊥C ．若m α⊥, n β⊥，m n ，则αβD ．若,,m n m n αβ⊥则αβ⊥9．函数21log 8x y -=的图像可由函数2log y x =的图像经过下列的哪种平移而得到（ ）A ．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度B ．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度C ．按向量a ＝（1，－3）平移D ．按向量a ＝（－1，3）平移 10，在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++11．如图，设地球半径为R ，点A 、B 在赤道上，O 为地心，点C 在北纬30°的纬线（O ′为其圆心）上，且点A 、C 、D 、O′、O 共面，点D 、O ′、O 共线，若∠AOB ＝90°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．46 B ．－46 C ．426+ D ．426-12． 12.已知2{|230}A x x x =--≤，2{|}B x x px q =++<0满足A B ={|1}x x -≤<2，则p 与q 的关系为（ ）（A ）0p q -= （B ）0p q += （C ）5p q +=- （D ）24p q +=-第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上。

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,3,5,7,8,9A =，{}31,B x x k k ==-∈Z ，则A B =I （ ） A ．{}5,8B ．{}7C ．{}2,5,8D ．{}3,5,7,92．等差数列{}()*n a n ∈N 中，274110,2a a a a =-=，则7a =（ ）A ．40B ．30C ．20D ．103．已知函数()e e 2x xa f x x -+=为偶函数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-4．已知α是第二象限的角，(,8)P x 为其终边上的一点，且4sin 5α=，则x =（ ） A ．6-B ．6±C ．323±D ．323-5．已知()311sin ,25tan tan αβαβ+=-+=，则sin sin αβ=（ ） A ．310-B ．15C ．15-D ．3106．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若125n n a a n ++=+，11a =，则8S =（ ） A ．48B ．50C ．52D ．547．正整数1,2,3,,n L 的倒数的和111123n++++L 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n 很大时，1111ln 23n nγ++++≈+L .其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈L ，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数，用上式计算1111232024⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦L 的值为（ ） （参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln10 2.30≈） A ．10B ．9C ．8D ．78．数列 a n 的前n 项和为n S ，满足{}111,3,2n n n a a d a +-=∈=，则10S 可能的不同取值的个数为（ ） A ．45B ．46C ．90D ．91二、多选题9．已知函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论成立的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于直线π2x =对称C ．点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心 D ．()f x 在(0,π)上单调递增10．下列命题正确的（ ）A ．ABC V 中， 角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若cos =c b A ，则ABC V 一定是直角三角形B ．在ABC V 中， 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4,30a c A ===︒时，有两解 C ．命题“()00,x ∞∃∈+，00ln 1x x =-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∞∀∉+=-”D ．设函数()()()24f x x a x =--定义域为R ，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为{|4x x ≥或1}x =，则点()2,2-是曲线y =f x 的对称中心11．如图，某旅游部门计划在湖中心Q 处建一游览亭，打造一条三角形DEQ 游览路线．已知,AB BC 是湖岸上的两条甬路，120,0.3km,0.5km,60ABC BD BE DQE ∠=︒==∠=︒（观光亭Q 视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ）A ．0.7km DE =B ．当45DEQ ∠=︒时，DQ =C ．DEQ V 2D ．游览路线DQ QE +最长为1.4km三、填空题12．已知函数()ln f x x x =，角θ为函数()f x 在点(e,(e))f 处的切线的倾斜角，则sin 2cos sin cos θθθθ+=-．13．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知14733a a a ++=，25827a a a ++=，若存在正数k ，使得对任意N*n ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为． 14．设a b c ，，是正实数， 且abc a c b ++=，则222111111a b c -++++的最大值为.四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为cos π,,,2sin cos 6A a b c C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． (1)求B ；(2)若ABC VAC 边上的高为1，求ABC V 的周长．16．已知数列{}n a ，{}n b 中，14a =，12b =-，{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n n a b +是公比为2的等比数列. (1)求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和n T .17．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+． (1)若π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域；(2)若关于x 的方程()0f x a -=有三个连续的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x<<，31223x x x +=，求a 的值．18．已知函数()sin ln(1),R f x x x ax a =++-∈.(1)当0a =时， 求()f x 在区间()1,π-内极值点的个数； (2)若 ()0f x ≤恒成立，求a 的值； (3)求证：2*1121sin2ln ln 2,N 11ni n n n i n =+-<-∈--∑. 19．对于数列{}n a ，若存在常数T ，*00)(,N n T n ∈，使得对任意的正整数0n n ≥，恒有n T na a +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．当01n =时，称数列{}n a 为纯周期数列；当02n ≥时，称数列{}n a 为混周期数列．记[]x 为不超过x 的最大整数，设各项均为正整数的数列{}n a 满足：[]21log ,212,2n nnn a n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数. (1)若对任意正整数n 都有1n a ≠，请写出三个满足条件的1a 的值； (2)若数列{}n a 是常数列，请写出满足条件的1a 的表达式，并说明理由； (3)证明：不论1a 为何值，总存在*,N ∈m n 使得21m n a =-．。

资料全免费，无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网浙江省杭州外国语学校2011届高三11月月考试题（数学理）注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟；2．整场考试不准使用计算器一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{|ln 0}B x x =<，则()U C A B = （ ） A ．φ B ．1{|1}2x x <≤C ．{|1}x x <D ．{|01}x x <<2、函数y =（ ）A ．[1,2]B ．[1,2)C ．1(,1]2D ．1[,1]23、命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是（ ）A ．不存在00,20x x R ∈> B ．存在00,20x x R ∈≥C ．对任意的,20x x R ∈≤D ．对任意的,20x x R ∈> 4、设平面向量(1,2),(2,)a b y ==- ,若a ∥b ，则|3|a b +等于（ ）A．B．CD5、将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是 （ ）A.cos 4y x =B.cos y x =C.sin()4y x π=+ D.sin y x =6、函数()-2-ln f x x x =在定义域内零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37、设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n N ∈，都有n k S S ≤成立，则k 的值为 （ ） A.22 B.21 C. 20 D.198、已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为 （ ）A ．1B ．3-C ．1或3-D ．09、1)(2-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，则a 的取值范围是 （ ） A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a10、给定集合{1,2,3,...,}n A n =，映射:n n f A A →满足：①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取,n m A ∈资料全免费，无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网若2m≥，则有m{(1),(2),..,()}f f f m∈.则称映射f：n nA A→是一个“优映射”.例如表1表示的映射f：33A A→是一个“优映射”.若映射f：1010A A→是“优映射”，且方程()f i i=的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是（）A．21 B．42 C．63 D．84二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11、过点)3,1(-且垂直于直线032=+-yx的直线方程的一般式方程．．．．．为_____________12、在抛物线22y px=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为___________13、等差数列}{na中，nS是前n项和，20091-=a,22005200720052007=-SS,则2009S的值为_ ___ 14、在各项都为正数的等比数列}{na中，首项13a=，前三项和为21，则345a a a++=_____.15、如图，已知12,F F是椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的左、右焦点，点P椭圆C上，线段2P F与圆222x y b+=相切于点Q，且点Q为线段2P F的中点，则椭圆C的离心率为 .16、已知函数()y f x=和()y g x=在[2,2]-的图象如右所示：则方程[()]0f g x=有且仅有____个根；方程[()]0f f x=有且仅有___个根.17、已知数列{}na满足：11a=，2a x=（x N*∈），21n n na a a++=-，若前2010项中恰好含有666项为0，则x的取值是________三、解答题：本大题共5题，共72分。

2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。

山东省泰安第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,3,2,1,M a N a =+=，若{}1,4M N =I ，则a =（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．2±2．已知复数z 满足23i z z +=+，则3i z +=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -3．在平行四边形ABCD 中，AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，，点E 为CD 中点，点F 满足2AF FB=u u u r u u u r ，则EF =u u u r （ ）A ．16a b -r rB ．1233a b +r rC ．1233a b --r rD ．1233a b -+r r 4．已知0,0a b >>，则“2a b +>”是“222a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知a ()(()sin sin sin sin A B b c B C -=+，则ABC V 外接圆的半径为（ ） A ．1 BC ．2 D6．某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R 与可见叶片数x 进行分析研究，其关系可以用函数15e ax R =（a 为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据：ln20.7≈，ln5.5 1.7≈）A ．15B ．16C ．17D ．187．函数3214,0,()3cos ,0,x ax a x f x ax x x ⎧+-+>⎪=⎨⎪+≤⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,3)B ．(1,3]C ．[]1,3D ．(1,3)8．已知函数()()sin f x x ωθ=+π20,||ωθ⎛⎫< ⎪>⎝⎭，(0)f =，函数()f x 在区间2π,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有1个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．4,25⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．45,54⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,15⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,24⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题9．下列选项正确的是（ ）A ．命题“0x ∃>，210x x ++≥”的否定是0x ∀≤，210x x ++<B ．满足{}{}11,2,3M ⊆⊆的集合M 的个数为4C ．已知lg3x =，lg5y =，则lg 452x y =+D ．已知正方形OABC 的边长为1，则()()5OA OB CA CB +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r 10．已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'11．已知函数()e ,R x f x ax x =+∈，则（ ）A ．当0a >时，函数()f x 在R 上一定单调递增B ．当3a =-时，函数()f x 有两个零点C ．当0a <时，方程()1f x a=一定有解 D ．当0a =时，()ln 2f x x ->在()0,∞+上恒成立三、填空题12．已知函数()()121x f x a a =-∈-R 为奇函数，则实数a 的值为. 13．已知π02βα<<<，()4cos 5αβ-=，1cos cos 2αβ=，则11tan tan αβ-=.14．已知函数()3,01,ln ,1,x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩若存在实数12,x x 满足120x x ≤<，且()()12f x f x =，则216x x -的取值范围为.四、解答题15．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，AC =AD =2π3CAD CBA ∠∠==.(1)求cos BCA ∠；(2)求BD .16．已知函数32()31f x x x ax =-+-.(1)若()f x 的图缘在点00(,())x f x 处的切线经过点(0,0)，求0x ；(2)12,x x 为()f x 的极值点，若()()122f x f x +>-，求实数a 的取值范围.17．已知函数2()2sin cos f x x x x =+R x ∈，且将函数()f x 的图象向左平移π(0)2ϕϕ<<个单位长度得到函数()g x 的图象．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()g x 是奇函数，求ϕ的值；(3)若1cos 3ϕ=，当x θ=时函数()g x 取得最大值，求π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 18．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足3cos 5c a B b =+. (1)求cos A 的值；(2)当BC 与BC 边上的中线长均为2时，求ABC V 的周长；(3)当ABC V 内切圆半径为1时，求ABC V 面积的最小值. 19．已知函数()e ,()ln (,)x f x a g x x b a b ==+∈R .(1)当1b =时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2)已知直线12l l 、是曲线()y g x =的两条切线，且直线12 l l 、的斜率之积为1.（i ）记0x 为直线12 l l 、交点的横坐标，求证：01x <； （ii ）若12 l l 、也与曲线()y f x =相切，求,a b 的关系式并求出b 的取值范围.。

陕西省西安高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分命题人：）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A.{}10x x -≤≤ B.{}10x x -<≤ C.{}10x x -≤< D.{}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4.已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6.已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.{}e B.[)e,+∞ C.{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.{}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=的图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x在(,3-∞-，)3+∞上单调递增，(,)33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 不正确；对应B ，因323()1039f -=+>，323()1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为4424x x x x+≥⋅=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大的根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211()x x '=-B.(e )e x x--'= C.21(tan )cos x x'=D.1(ln )x x'=【答案】ACD 【解析】【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x +''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a +<+B.333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c a b c b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以<1或>2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16.为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x123456体重超标人数y987754483227ln z y = 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆn i i i n i i x y nx yb x nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83e x y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b 则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i ii i i x z x zb x x ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83a z bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83z y x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17.已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或224t +≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<<1，则+1≥(2−1)22−1>0，∴42−5≤0>12⇒12<≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ单调递减，当4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U <--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或2.4t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得24t ±=，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒224t +=；②在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有>0Δ>0−1<−12<2o −1)>0o2)>0或<0Δ>0−1<−12<2o −1)<0o2)<0，解得214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或2.4t ≥18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈.)（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16（2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，121010320C C 15(2)C 38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P 21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19.已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x 二次求导，判断()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e 2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。

数学学科高三自主测试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A = {1，3}，B = {3，4，5}，则集合()U C A B = （ ） A ．{3} B ．{4，5} C ．{3，4，5} D ．{1，2，4， 5}2．函数f(x)=log 2(3x-1)的定义域为A.（0，+∞）B.［0，+∞)C.（1，+∞）D.［1，+∞) 3．ABC ∆中，512sin cos -=A A ，则=+)23sin(A π（ ） A ．1312-B ．135-C ．135D ．13124．已知}{n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示}{n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21B ．20C ．19D ．185．设f(x)=⎩⎨⎧>-≤1),1(,1,x x f x e x 则f(ln3)=A. 3B.ln3-1C.eD.3e6．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，1,3,3===b a A π，则c 等于（ ）A ．1B ．2C ．13-D ．37．函数(1)||xxa y a x =>的图像大致形状是（ ）8．设0<+b a ，且0>b ，则（ ）A B C DA ．ab a b ->>22B ．ab a b -<<22C ．22b ab a <-<D ．22b ab a >->9．定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()(4)f x f x =-，若当2x ≥时，()f x 单调递增，则当24a <<时，有（ ） A ．2(2)(2)(log )a f f f a << B ．2(2)(2)(log )a f f f a << C ．2(2)(log )(2)a f f a f <<D ． 2(log )(2)(2)a f a f f <<10．函数f(x)=3)2ln()4(---x x x 的零点有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个11.设A=［-1，2)，B={x ｜x 2-ax-1≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为（ ） A.［-1，1) B.［-1，2) C.［0，3) D.［0，23)12．已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ） A ．14B ．12CD第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

2023_2024学年上海市奉贤区高三上册10月月考数学模拟测试卷二､选择题（本大题共4题，满分13．如果，，那么直线0AC <0BC >A ．第一象限C ．第三象限P(1)求成功点的轨迹方程；(2)为了记录比赛情况，摄影机从P F的轨迹没有公共点，求点纵坐标(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于两点，且，求直线l 的方程；,D E DE AB =(2)在圆C 上是否存在点P ，使得成立若存在，求点P 的个数；若不存在，说2212PA PB +=明理由；(3)对于线段AC 上的任意一点Q ，若在以点B 为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点,M N M 是线段QN 的中点，求圆B 的半径r 的取值范围.【详解】如图，过点作垂直于，垂足为O OC PQ =22R d -2222()R ON CN --即两点重合时，CN =,N C PQ直径为14，.对于B ，因为()2213a b ++=当且仅当时，等号成立，故612a b =+=对于C ，将看作是22a b +(O 所以，故min 31d r OM =-=-.故选：D.16．C【分析】取点，推理证明得(4,0)-N 和的最小值作答.【详解】如图，点M 在圆O ，||2||4ON OM ==当点不共线时，,,O M N ||||2||||OM ON OA OM ==则有，当点共线时，有||||2||||MN OM MA OA ==,,O M N 因此2||||||(MA MB MN MB BN +=+≥=-O 的交点时取等号，2MA MB+26）设圆心C 到直线l ：(1y k x =-O 到直线l ：的距离为()1y k x =-，，241k =+221kd k =+2212OEF S EF d r =⋅⋅=-△（3）设，(,0)Q n。

成都市实验外国语学校高三10月月考数学试题总分：150考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“，使”的否定是（ ）A ．，使B ．不存在，使C ．，D ．，2．已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）A ．60B ．72C ．120D ．1443．若，则（ ）A ．3B ．4C ．9D ．164，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知，是方程的两个根，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（参考数据：，）（）A ．0.2B ．0.18C ．0.1D ．0.148．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的取值范围是（ ）x ∃∈R 210x x +-=x ∃∈R 210x x +-≠x ∈R 210x x +-=x ∀∉R 210x x +-≠x ∀∈R 210x x +-≠{}n a n n S 21024a a +=36a =8S =24log log 2m n +=2m n =2π39π6π23292273949tan 23︒tan 37︒2230x mx +-=m =--0eKDD I I -=K D D I 0I D 40%K ln 20.7≈ln 5 1.6≈()22log ,012,04x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<221323432x x x x x x +-A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024-2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则实数的值为（ ）A. B. C.12D.62.已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（A. B.C. D.4.若，则点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.7.如图，在四边形中，的面积为3，{}{}21,2,3,4,70U Mx x x p ==-+=∣{}U 1,2M =ðp 6-12-,a b ∈R 1122log log a b >22a b <x 20x bx c ++>{2xx <-∣5}x >x 210cx bx ++>)11,,25∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,,52∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,25⎛⎫- ⎪⎝⎭11,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ24α-<<-()sin cos ,tan sin P αααα+-()11,2,2x a x x f x xa x -⎧+-≥⎪=⎨⎪<⎩R a ()0,1(]1,2(]1,4[]2,4()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π6π6x =ϕ=π6π32π35π6ABCD ,cos AB AD B ACB BC ACD ∠⊥===V则长为（ ）8.已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（ ）A.为奇函数B.为偶函数C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各结论正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.命题“，有”的否定是“，使”的最小值为2D.若，则10.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ）A.越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B.该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5C.该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A.的图像关于轴对称CD ()(),f x g x (),f x R ()()()()40,021f x f x g g ++-===()()()()g x y g x y g x f y ++-=()f x ()g x ()()11g x g x --=-+()()11g x g x -=+0x y≥0xy ≥0x ∀>20x x +>0x ∃>20x x +≤+0,0a b m <<<a a m b b m+>+()210,N σσ()9.8,10.2()9.8,10.2()9.9,10.3()cos2cos f x x x =+()f x yB.不是的一个周期C.在区间上单调递减D.当时，的值域为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.13.已知__________.14.若对一切恒成立，则的最大值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知（1）化简；（2）若，求的值.16.（15分）已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.17.（15分）在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年π()f x ()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 2⎤⎥⎦2,20x x x a ∀∈-+>R a πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ln 2ax x b ≥+()0,x ∞∈+b a()()()23ππsin cos tan π22πsin πcos 2f αααααα⎛⎫⎛⎫-+⋅-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()fα()2f α=3cos2sin2αα-,A BCD AD -⊥,,4,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===P AD Q BC M DQ PM ∥ABC M DQ Q BC DQ ABC的月份”线性相关.根据统计得下表：月份123456销量101931455568（1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望18.（17分）已知锐角的内角，所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若在上有两个极值点.①求实数的取值范围：②求证：.xy x y ˆ10yx t =+X X ABC V A B C ､､a b c ､､1cos c A b A=B 2b =ABC V ()()2e 23x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦()f x R ()f x ()0,312,x x a ()()2124e f x f x <2024—2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试参考答案1.C2.A3.C4.C5.B6.D7.B8.D9.BD 10.BC 11.ABD12. 13.14.13.（1）.（2）由（1）得，所以14.（1）连结因为平面平面，平面平面，所以，又因为是的中点，所以是中点.（2）方法一：因为底面，如图建立坐标系，则，可得，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，(],1∞-19-12()()()()2cos sin tan tan sin sin f ααααααα-⋅⋅==--⋅-tan 2α=-()22223cos sin 2sin cos 3cos2sin2sin cos αααααααα--⋅-=+2233tan 2tan 31241tan 141ααα---+===-++AQPM∥,ABC PM ⊂ADQ ADQ ⋂ABC AQ =PM ∥AQ P AD M DQ AD ⊥,BCD BC CD ⊥()()()()2,0,0,0,2,0,2,0,4,0,1,0D B A Q ()2,1,0DQ =- ()()2,0,4,0,2,0CA CB == ABC (),,n x y z = 24020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 0,20y x z ∴=+=1z =0,2y x ==-()2,0,1n =-，设直线与平面所成角为，又则.因此直线与平面所成角的余弦值为.方法二：过点作交于，连接，因为底面底面，则，且平面，则平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即为直线与平面所成角.在中，，则，所以，又则.所以直线与平面所成角的余弦值为.17.解：（1），，又回归直线过样本中心点，所以，得，4cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅<>=== DQ ABC 4,sin cos ,5DQ n θθ∴=<>= π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3cos 5θ=DQ ABC 35D DN AC ⊥AC N QN AD ⊥,BCD BC ⊂BCD AD BC ⊥,,,BC CD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂ACD BC ⊥ACD DN ⊂ACD BC DN ⊥AC BC C ⋂=,AC BC ⊂ABC DN ⊥ABC DQN ∠DQ ABC Rt ACD V 2,4CD AD ==AC =DN =DQ QN ==3cos 5QN DQN QD ∠==DQ ABC 35123456 3.56x +++++==101931455568386y +++++==()x y 3810 3.5t =⨯+3t =所以，当时，，所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售73台；（2）因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为，所以所以所以的分布列为：012故数学期望18.（1）由，得，即根据正弦定理，得.因为，所以，即因为，所以，所以，又则.（2）在中由正弦定理得：所以，ˆ103yx =+7x =ˆ73y =38y =4,5,60,1,2X =()()()21123333222666C C C C 1310,1,2C 5C 5C 5P X P X P X ⋅=========X XP 153515()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=1cos c A b A =1cos c b A =sin cos c A b A =+sin sin sin cos C B A B A =+()()sin sin πsin C A B A B ⎡⎤=-+=+⎣⎦sin cos cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+sin cos sin A B B A=()0,πA ∈sin 0A ≠tan B =()0,πB ∈π6B =ABC V sin sin sin a b c A B C ==4sin ,4sin a A c C ==215πsin 4sin sin 4sin sin 2sin cos 26ABC S ac B A C A A A A A ⎛⎫===-=+ ⎪⎝⎭V πsin22sin 23A A A ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，所以，即.所以，所以所以即面积的取值范围为19.（1）当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即或时，令，得或令综上所述：当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当或时，的单调递增区间是和单调减区间是（2）①因为在有两个极值点，所以在有两个不等零点，所以解得，所以实数的取值范围为②由①知.所以同理.ABC V π025ππ062A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ32A <<ππ2π2,333A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭πsin 23A ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(2ABC S ∈+V ABC V (2+()()2e 1,x f x x ax x '-=+∈R 2Δ40a =-≤22a -≤≤()0f x '≥()f x R 2Δ40a =->2a <-2a >()0f x '>x <x >()0f x '<x <<22a -≤≤()f x (),∞∞-+2a <-2a >()f x ∞⎛- ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()f x ()0,312,x x ()21g x x ax =-+()0,312,x x ()()2Δ4003201031030a a g g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=->⎪⎩1023a <<a 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1212,1x x a x x +==()()()()1112111111e 23e 123e 22x x x f x x a x a ax a x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+++=--+++=-++⎣⎦⎣⎦()()222e 22x f x x a =-++所以.设所以，所以函数在区间上单调递减，所以，所以()()()()()()1212121212221e 2222e 422(2)x x x x f x f x x a x a x x a x x a ++⎡⎤⎣⎦=-++-++=-++++()()22e 422(2)e 8a a a a a a ⎡⎤=-+++=-⎣⎦()()210e 8,2,3x h x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()()e 420x h x x x =-+-<'()h x 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()()224e h x h <=()()2124e f x f x <。

2024-2025（上）10月月度质量监测高三数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只第Ⅰ卷选择题（共58分）有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2A x x =∈Z，{}ln(1)B x y x ==−，则A B ∩中的元素个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】先求集合A 、B ，再根据交集的定义求出A B ∩即可求解.【详解】解:因为集合{}{}22,1,0,1,2A x x =∈=−−Z ，{}1B x x =<，所以{}2,1,0A B =−− ， 故选：A .2. 已知12i +是方程250()x mx m ++=∈R 的一个根，则m =（ ） A. －2 B. 2C. iD. －1【答案】A 【解析】【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.【详解】方法1：由题意知2(12i)(12i)50m ++++=，即2(42)i 0m m +++=，解得2m =−. 方法2：根据虚根成对知1－2i 也是方程的根，由韦达定理得(12i)(12i)m ++−=−，所以2m =−. 故选:A.3. 不等式2320x x ++>成立的一个充分不必要条件是（ ） A. (1,)−+∞B. [1−，)∞+C. (−∞，2][1−∪−，)∞+D. (1−，)(+∞−∞∪，2)−【解析】【分析】解不等式，根据集合的包含关系求出答案即可． 【详解】2320x x ++> ，(1)(2)0x x ∴++>，解得：1x >−或2x <−，故不等式2320x x ++>成立的一个充分不必要条件是(1,)−+∞， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．4. 已知π0,2θ ∈，且cos 2πsin 4θθ=−tan 2θ=（ ）． A.724B.247C. 724±D. 247±【答案】D 【解析】【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得7cos sin 5θθ+=， 结合22cos sin 1θθ+=求出tan θ的值，再根据正切的二倍角公式即可.【详解】)cos2cos sin s in 4θθθπθ+ − 故7cos sin 5θθ+=， 又因为π0,2θ∈，且22cos sin 1θθ+=．故3cos 5θ=，4sin 5θ=或4cos 5θ=，3sin 5θ=，则4tan 3θ=或34，故22tan 24tan21tan 7θθθ==±−，5. 若a ，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A. a b =B. a b∥C. 1a b ⋅=D. 22a b =【答案】D 【解析】【分析】a ，b是两个单位向量，则1ab == ，但a ，b 方向不能确定，即可判断AB ；利用数量积的定义与性质可判断CD ．【详解】a ，b是两个单位向量，则1ab == ，但a ，b 方向不能确定，故选项AB 错误； cos co ,,s a b a b b a b a ⋅== ，只有a ，b同向共线时，才有cos ,1a b = ，故选项C 错误；221a a == ，221b b == ，22a b ∴= ，选项D 正确.故选：D.6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ，AB BC ⊥，222BC AD AB ===，将直角梯形ABCD 沿对角线折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A. 0B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】取BD 的中点F ，连接AF ，则AF BD ⊥，通过面面垂直的性质定理可得到AF ⊥平面BCD ． 过C 作CE ，且使12CE BD =，连接AE ，EF ，BE ，FC 则ACE ∠为所求的角， 在AEC △分别求出CE AC ，的大小，即可求出答案.【详解】在直角梯形ABCD 中，因为222BC AD AB ===，AD ，AB BC ⊥，所以，BD CD ==BD 的中点F ，连接AF ，则AF BD ⊥．又因为平面ABD ⊥平面BCD 且交于BD ，所以AF ⊥平面BCD ．过C 作CE ，且使12CE BD =，连接AE ，EF ，BE ，FC 则ACE ∠为所求的角．在Rt AFC △中，AC =Rt AFE 中，AE =．因为CE =AEC △为直角三角形．所以cos CEACE AC∠=AC 与BD故选：B.7. 设正实数,x y 满足23x y +=，则下列说法错误的是（ ） A.3y x y+的最小值为4 B. xy 的最大值为98C. +的最大值为2D. 224x y +的最小值为92【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【详解】对于A ，32224y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=，当且仅当1xy ==时取等号，故A 正确；对于B ，21121992222248x y xy x y + =⋅⋅≤×=×= ，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时取等号，故B 正确；对于C ，223336x y +=++≤+=+=，≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时，故C 错误；对于D ，222994(2)49482x y x y xy +=+−≥−×=，当且仅当33,24x y ==时取等号，故D 正确. 故选：C.8. 定义在()0,∞+上的单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞有()ln 1f f x x −=恒成立，若方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (),1−∞B. ()0,1C. (]0,1D. (],1−∞【答案】B 【解析】【分析】由条件单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞都有()ln 1f f x x −=，故必有 ()ln f x x t −=，且()1=f t ，即可求得()f x ，再根据导数研究函数的性质，求得方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实根满足的条件，求得m 的取值范围. 【详解】由于函数()f x 为单调函数，则不妨设()ln f x x t −=，则()1=f t ， 且()ln 1ln f t t t t −=−=，解得1t =，所以()()1ln 1,f x x f x x′=+=. 设()()()ln 1x g x f x f x x=′+=⋅， 则方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实数根等价于函数()ln 1x g x x+=与y m=有两个不同的交点. ()222ln 11ln 1ln x x x g x xx x x x ′−′=+=−=−， 易得当(0,1)x ∈时，()0g x ′>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x ′<， 所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max()(1)0g x g ==. 又10g e=，且当x →+∞时，()0g x →. 故函数()ln 1x g x x+=与y m=有两个不同的交点则()0,1m ∈.故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 以下是真命题的是（ ）A. 已知a ，b为非零向量，若a b a b +>− ，则a 与b 的夹角为锐角 B. 已知a ，b ，c为两两非共线向量，若a b a c ⋅=⋅ ，则()a cb ⊥−C. 在三角形ABC 中，若cos cos a A b B ⋅=⋅，则三角形ABC 是等腰三角形D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心 【答案】BD 【解析】【分析】A ：将已知条件两边同时平方，整理得到0a b ⋅>，结合平面向量的数量积的定义得到cos ,0a b >，由平面向量的夹角范围可得,0,2a b π ∈，进而可以判断选项；B ：将已知条件变形为()0a b c ⋅−=，结合平面向量数量积即可判断选项；C ：结合正弦定理化简整理即可判断三角形的形状；D ：作出图形，证得PAO PBO PCO ≅≅ ，即可得到AO BO CO ==，结合三角形外心的性质即可判断.【详解】A ：因为a b a b +>− ，两边同时平方，得()()22a ba b +>− ，即222222a b a b a b a b ++⋅>+−⋅，所以0a b ⋅> ，因此cos ,0a b > ，因为[],0,a b π∈ ，所以,0,2a b π ∈，因此a 与b的夹角为锐角或零角，故A 错误；B ：因为a b a c ⋅=⋅ ，所以()0a b c ⋅−= ，又因为a ，b ，c 为两两非共线向量，则0,0a b c ≠−≠ ，所以()a cb ⊥−，故B 正确；C ：因为cos cos a A b B ⋅=⋅，结合余弦定理得sin cos sin cos A A B B ⋅=⋅，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误； D ：设三棱锥P ABC −的顶点P 在底面ABC 的射影为O ，所以⊥PO 底面ABC ，又因为AO ⊂底面ABC ，BO ⊂底面ABC ，CO ⊂底面ABC ，所以,,PO AO PO BO PO CO ⊥⊥⊥，又因为三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，所以PAO PBO PCO ∠=∠=∠，所以PAO PBO PCO ≅≅ ，所以AO BO CO ==，所以点O 是ABC 的外心，故D 正确；故选：BD.10. 八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、八一好吃街等．重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为解放碑的最顶端，B 为解放碑的基座（即B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ，D 两点，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB 的是（ ）A. CD ，ACB ∠，BCD ∠，BDC ∠B. CD ，ACB ∠，BCD ∠，ADC ∠C. CD ，ACB ∠，BCD ∠，ACD ∠D. BC ，BD ，2ACB ADB π∠+∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 、B 、C 根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件；D 选项根据相似三角形性质判断.【详解】由题意可知AB ⊥平面BCD ，由此进行下列判断：A 选项，在BCD △中，根据CD ，BCD ∠，BDC ∠，可利用正弦定理求得BC ，再根据tan ACB ∠求得AB ，故A 正确；B 选项，由ACB ∠，BCD ∠借助直角三角形和余弦定理，用AB 和CD 表示出BC ，BD ，AC ，AD ，然后结合ADC ∠在ACD 中利用余弦定理列方程，解方程求得AB ，故B 正确；C 选项，CD ，ACB ∠，BCD ∠，ACD ∠四个条件，无法通过解三角形求得AB ，故C 错误； D 选项，根据π2ACB ADB ∠+∠=，可得ABC 与DBA 相似，根据相似比AB BDBC AB =可解方程求得AB ，故D 正确， 故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x ′和()g x ′．若()()42f x g x −−=，()()2g x f x ′′=−，且()2f x +为奇函数，则（ ）． A. R x ∀∈，()()40f x f x ++−=B. ()()354g g +=C.()202310k f k ==∑D.()202310k g k ==∑【答案】AC 【解析】【分析】由()2f x +为奇函数，结合奇函数的性质判断A ，由条件证明()f x 为周期为4的函数，利用组合求和法求()20231k f k =∑判断C ，根据条件证明()()22g x f x =−−，由此判断BD.【详解】对A ，又∵()2f x +奇函数，则()y f x =图像关于()2,0对称，且()()220f x f x ++−=， 为所以()()40f x f x ++−=，A 正确； 对于C ，∵()(2)g x f x ′′=−，则()()2g x f x a =−+，则()()42g x f x a −=−+，又()()42f x g x −−=， 所以()()22f x f x a =−++，令1x =，可得20a +=，即2a =−.所以()(2)f x f x =−，又()()40f x f x ++−=所以()()()22f x f x f x +=−−+=−， 所以()()()24f x f x f x =−+=+， ∴()y f x =的周期4T =，所以()()04f f =，由()()220f x f x ++−=可得， ()()130f f +=，()()400f f +=，()20f =，所以()00f =，()40f =，∴[]20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0k f k f f f f f f f ==++++++=∑，C 正确；对B ，()()22g x f x =−−，则()g x 是周期4T =的函数，()()()()3512324g g f f +=−+−=−，B错误； 对D ，()()()1120242023f f f −=−+=，()()()()022********f f f f ==+=，所以2023202311()(1)2(0)2(1)2(2021)2()22023k k g k f f f f f k ==−−+−+−+…+−=−×∑∑，所以20231()4046k g k ==−∑，D 错误.故选：AC.【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.第Ⅱ卷 非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 设函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，则()()()222122021f x f x f x ++⋅⋅⋅+=______．【答案】2020 【解析】 【分析】根据对数的运算法则计算．【详解】∵()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，∴()122021log 1010a x x x ⋅⋅⋅=； ∴()()()()()()222222122021122021log log log a a a f x f x f x x x x =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()222212320211220212l 2020og a f x x x x x x x =+=⋅⋅⋅．故答案为：2020．13. 如图，在ABC 中，4AB =，3AC =，90A ∠=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的取值范围是__．【答案】[6,4]− 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可得出,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =−=−=−−，运用平面向量数量积的运算性质解决即可.【详解】由题知，ABC 中，4AB =，3AC =，90A ∠=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，所以A 为PQ 的中点，1,,5AP AP QA BC ===， 因为,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =−=−=−−，所以()()()()BP CQ AP AB AP AC AB AP AC AP ⋅=−⋅−−=−+2()1AB AC AP AP AB AC AP CB =⋅−+⋅−=−+⋅ ,因为AP CB AP CB AP CB −⋅≤⋅≤⋅ ，即55AP CB −≤⋅≤所以614AP CB −≤−+⋅≤ ，当且仅当,AP CB同向时取最大值，反向时取最小值，所以BP CQ ⋅的取值范围是[6,4]−，故答案为：[6,4]−14. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，M 为AB 的中点，P 是平面ABCD 内的动点，且满足条件13PD PM =，则动点P 在平面ABCD 内形成的轨迹是 ． 【答案】圆 【解析】【分析】分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，利用空间两点距离的坐标表示求轨迹方程即可． 【详解】分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，则1(0,0,2),(2,1,0)D M ，设(,,0)P x y ，由题意可得22222(02)9[(2)(1)]x y x y ++−=−+−， 化简可得2299410248x y x y +−−+=，易知轨迹是圆. 故答案为：圆四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 在①1n n a a +−=+；② 184n n a a n −−=−(2n ≥)两个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________ （1）求n a ；.（2）若数列1n a的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.【答案】条件选择见解析；（1）241=−n a n ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】若选① ：（1）由1n n a a +−=2=，根据是首项为2，公差为2的等差数列，可得结果；（2）由2111114122121n a n n n ==− −−+利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132n T ≤<. 若选② ：（1）由184n n a a n −−=−(2n ≥)利用累加法可求得n a ；（2）由2111114122121n a n n n ==− −−+ 利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132nT ≤<. 【详解】若选① ：（1）由1n n a a +−=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=−n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ==− −−+， 所以1111111213352121nT n n =−+−++− −+111221n −+ 11242n =−+， 因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =−+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.若选② ：（1）由184n n a a n −−=−(2n ≥)可得：当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+ (84)(812)123n n −+−+++ [(84)12](1)32n n −+−+241n −，当1n =时，13a =，符合241=−n a n ， 所以当*n N ∈时，241=−n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121na n n n ==− −−+， 所以1111111213352121nT n n =−+−++− −+111221n −+ 11242n =−+， 因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =−+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：一、公式法：根据等差或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+−或11n n a a q −=进行求解；二、前n 项和法：根据11,1,2n nS n a S S n −= = −≥ 进行求解；三、n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S −与1n a −的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项；四、累加法：当数列中有1()n n a a f n −−=，即第n 项与第1n −项的差是个有规律的数时，就可以用这种方法；五、累乘法：当数列{}n a 中有1()nn a f n a −=，即第n 项与第1n −项的积是个有规律的数时，就可以用这种方法；六、构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b −=+（,k b 均为常数，且0k ≠）， 一般化方法：设1()n n a m k a m −+=+，得到(1)b k m =−，1b m k =−，根据数列1{}1n ba k −+−是以k 为公比的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p−−=+（nn ≥2,nn ∈NN ∗）（,,k m p 均为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b −=+的式子； ③取对数法：一般情况下适用于1kln n a a −=（,k l 为非零常数）七、“1nn n a ba c +=+（,b c 为常数且不为0，*n N ∈）”型的数列求通项n a ，方法是等式的两边同除以1n c+，得到一个“1n n a ka b −=+”型的数列，再用上面的六种方法里的“一次函数法”便可求出nn a c的通项，从而求出n a .16. 已知函数()2cos 2cos 1f x x x x a =+−+（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若()f x 在0,2π上有最小值1，求a 的值. 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ−+∈；（2）2. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x a π=++，然后解不等式()222262k x k k ππππ−≤+≤π+∈Z ，可得出函数()y f x =的单调递增区间； （2）由0,2x π∈计算出26x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的最小值，进而可求得实数a 的值.【详解】（1）()2cos 2cos 12cos 2f x x x x a x x a=+−+=++122cos 22sin 226x x a x a π++=++， 令()222262k x k k ππππ−≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k Z ππππ−≤≤+∈所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−+∈； .（2）当02x π≤≤时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π−≤+≤，所以()min 12112f x a a=×−+=−=，解得2a =. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间和最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.17. 已知圆229x y +=，A （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点，且∠PAQ＝90°，M 是PQ 的中点． （1）求点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）设9111(,),(,)2222E D 对曲线C 上任意一点H ，在直线ED 上是否存在与点E 不重合的点F ，使HE HF 是常数，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）2211422x y −+−=；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）利用直角三角形的中线定理及垂径定理，得到1||||||2AMPQ PM ===利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．（2）先设出F 的坐标，将HE HF用点点距表示出，化简得到215(12)4248t x t x −++−，利用212815244t t −=−+解得t 的值即可．【详解】（1）设点(,)M x y ，由90PAQ ∠=°，得1||||||2AM PQ PM ===化简得22702x y x y +−−−=， 即2211422x y −+−=. （2）点91,22E，11,22D，直线ED 方程为12y =，假设存在点19,22F t t  ≠   ，满足条件，设,()H x y ，则有2211422x y −+−=，22291||22HE x y=−+− 2291424822x x x −+−−− ，2221||()2HF x t y=−+− 222115()4(12)24x t x t x t =−+−−=−++，当||||HE HF 是常数，2215(12)||4||248t x t HE HF x −++ =−是常数， ∴212815244t t −=−+，∴32t =或92t =（舍），∴32t =， ∴存在31,22F满足条件. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了分式型定值问题的求解，考查了运算能力，属于中档题． 18. 已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足3(N )n an b n ∗=∈． （1）试判断{}n a 是何种数列；（2）若813a a m +=，求1220b b b . 【答案】（1）数列{}n a 是等差数列； （2）103m 【解析】【分析】（1）由13log n n a a q +−=可知{}n a 为等差数列； （2）利用等差数列前n 项和以及指数运算的性质即可求解. 【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，则0q >， 因为3nn a b =，所以113a b =，所以1133n a a n n b q −=⋅=. 方程两边取以3为底的对数， 得11313log (3)(1)log an n a qa n q −=⋅=+−，由于[]113133(log )(1)log log n n a a a n q a n q q +−=+−+−=， 所以数列{}n a 是以3log q 为公差的等差数列．的【小问2详解】因为120813a a a a m +=+=， 所以120122020()2a a a a a ++++==10m ，所以2012201210122033333aa a aaamb b b +++=== .19. 已知函数()ln f x x x =，()()1f x g x x+=.（1）求函数()f x 单调区间；（2）当12x x <，且()()12g x g x =时，证明：122x x +>. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导函数的符号求单调区间； （2）分析法将问题化为证2121212ln 0x x xx x x −>>，再应用换元及导数研究恒成立，即可证. 【小问1详解】由题设，()f x 的定义域为()0,∞+()1ln 0f x x =+=′，得1ex =. 当1e x >时，()0f x ′>，()f x 在1,e +∞上单调递增；当10e x <<时，()0f x ′<，()f x 在10,e上单调递减. 所以()f x 单调递减区间为10,e，单调递增区间为1,e +∞. 【小问2详解】因为()ln f x x x =，故()()11ln f x g x x x x+==+，（xx >0）. 由()()12g x g x =（12x x <），得121211ln ln x x x x +=+，即212121ln 0x x xx x x −=>. 要证122x x +>，需证()212121212ln x x xx x x x x −+⋅>，即证2121212ln x x x x x x −>.的设21x t x =（1t >），则要证12ln t t t−>（1t >）. 令()12ln h t t t t=−−且1t >，则()22121110h t t t t′=+−=−> . 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=，即12ln t t t−>. 所以122x x +>，得证.。

2025届上师大附中高三10月月考数学试卷一一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.函数()f x =的定义域为__．【答案】(0,1]．【解析】【分析】由函数有意义需要的条件，求解函数定义域【详解】函数的意义，有0110x x≠⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得01x <≤，即函数()f x =定义域为(0,1]．故答案为：(0,1]2. 已知0a >=________.【答案】34a 【解析】【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.1113322224a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：34a .3. 已知幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，求(3)f -=_________．【答案】19【解析】【分析】设幂函数为(),R f x x αα=∈，根据题意求得2α=-，得到2()f x x -=，代入即可求解.【详解】设幂函数为(),R f x x αα=∈，因为幂函数()f x 的图象经过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得139α=，解得2α=-，即2()f x x -=，所以21(3)(3)9f --=-=.故答案为：19.4. 若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____.【答案】79-【解析】【分析】原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sin α的值代入计算即可求出值．【详解】因为1sin 3α=，所以()2227cos(2)cos 212sin12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-．故答案为： 79-5. 已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(3,)+∞【解析】【分析】先求出集合M ，N ，再由M N ⊆可求出实数a 的取值范围【详解】解：由题意得{}{|3sin ,}33M y y x x y y ===-≤∈≤R ，{}{|||}N x x a x a x a =<=-<<，因为M N ⊆，所以3a >，故答案为：(3,)+∞6. 设a ，b ∈R ．已知关于x 的不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫-⎪⎝⎭，则不等式250ax x b ++<的解集为__________．【答案】12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】先由不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭求出实数a ，b 的值，再求不等式250ax x b ++<的解集.【详解】∵不等式250ax x b -+>的解集为21,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴方程250ax x b -+=的两根分别为123x =-，214x =，且0a <∴由韦达定理可知，1212215342134x x a b x x a ⎧+=-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩解得122a b =-⎧⎨=⎩，∴将a ，b 代入不等式250ax x b ++<得212520x x -++<，即212520x x -->()()32410x x ⇔-+>∴不等式250ax x b ++<的解集为12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12,,43⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7. 已知锐角α的顶点为原点，始边为x 轴的正半轴，将α的终边绕原点逆时针旋转π6后交单位圆于点1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α的值为________．【解析】【分析】先求得ππcos ,sin 66αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角恒等变换的知识求得sin α【详解】由于1,3P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，所以222181,39y y ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，由于α是锐角，所以289y y =⇒=13P ⎛- ⎝，所以π1πcos ,sin 636αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132=⨯=.8. 已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数，则()0f '=__________.【答案】1-【解析】【分析】根据题意，求得()3f x x x =-，得到()231f x x ='-，即可求解.【详解】由函数()()()()321(1)()f x x x a x b x a b x a b ab x ab =+++=+++++++，可得()32(1)()f x x a b x a b ab x ab -=-+++-+++因为函数()f x 为R 上的奇函数，可得()()f x f x -=-，即3232(1)()(1)()x a b x a b ab x ab x a b x a b ab x ab -+++-+++=--++-++-，所以100a b ab ++=⎧⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或10=-⎧⎨=⎩a b ，所以()3f x x x =-，可得()231f x x ='-，所以()01f '=-.故答案为：1-.9. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30o 和45 ，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15 ，则鹳雀楼的高度约为___________m .【答案】74【解析】【分析】根据题意在Rt △ABC 中求出AC ，在△MCA 中利用正弦定理求出MC ，然后在Rt △MNC 中可求得结果.【详解】在Rt △ABC 中，274AC AB ==，在△MCA 中，105MCA ︒∠=，45MAC ︒∠=，则18030AMC MCA MAC ︒︒∠=-∠-∠=，由正弦定理得sin sin MC AC MAC AMC=∠∠，即74sin 45sin 30MC ︒︒=，解得MC =，在Rt △MNC中，74m MN ==.故答案：7410. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}|0x f x α∈=，(){}|0x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数()1e 2x f x x -=+-与()21g x x ax =-+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】由题知函数()f x 有唯一零点1，进而得210x ax -+=在(0,2)上有解，再根据二次函数零点分布求解即可.【详解】因为1()e 2-=+-x f x x ，所以()f x 在R 上为增函数，又0(1)e 120f =+-=，所以()f x 有唯一零点为1，令()g x 的零点为0x ，依题意知0||11x -<，即002x <<，即函数()g x 在(0,2)上有零点，令()0g x =，则210x ax -+=(0,2)上有解，即1x a x +=在(0,2)上有解，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，取等号，所以2a ≥，故答案为：[2,)+∞.为为在11. 若函数()y f x =的图像上存在不同的两点M (x 1,y 1)和N (x 2,y 2)，满足1212x x y y +≥()y f x =具有性质P ，给出下列函数：①()sin f x x =；②()x f x e =；③1(),(0,)f x x x x=+∈+∞；④()||1f x x =+．其中其有性质p 的函数为________（填上所有正确序号）．【答案】①②【解析】【分析】利用数量积性质得出过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，结合函数图象可得．【详解】1212||||cos ,,|||OM ON x x y y OM ON OM ON OM ON ⋅=+=〈〉==所以1212cos ,1x x y y OM ON +≥⇔〈〉≥ ，即cos ,1OM ON 〈〉=± ．即O ，M ，N 三点共线，即过点O 的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，由图可知，①②符合．故答案为：①②12. 已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e 【解析】【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由ln 10b m +--=，则(),P a b 在直线:ln 10l x y m +--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则ln 10b m --=，所以点(),P a b 在直线ln 10l x y m +--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，，2e,eméùÎêúëû，设t⎤=⎦，设()2ln1tg tt+=，则()()212lntg t tt-⎤'=≤∈⎦，所以()g t在⎤⎦上单调递减，所以()()min3eeg t g==，3e≥即2229ea b+≥，所以22a b+的最小值为29e，故答案为：29e二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）13. 已知a b∈R，且0ab≠，则“22a b>”是“11a b<”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合指数函数单调性，根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】22a b a b>⇔>Q，当0a b>>时，11a b<不成立，当11a b<<时，a b>不成立.所以a b>是11a b<的既不充分也不必要条件，即22a b>是11a b<的既不充分也不必要条件.故选：D.14. 设函数()sinf x x=，若对于任意5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m上总存在唯一确定的β，使得()()0f fαβ+=，则m的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】的【分析】由等量关系找α与β的关系，由α的范围求出sin β的范围，从而得出m 的值.【详解】∵()()0f f αβ+=，∴sin sin 0αβ+=，即()sin sin sin βαα=-=-，∵5π2π,63α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，即2π5π,36α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()1sin sin 2βα⎡=-∈⎢⎣，又∵[]0,m β∈，∴π3m =故选：B15. 已知在ABC V 中，0P 是边AB 上一定点，满足023P B AB = ，且对于边AB 上任意一点P ，都有00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，则ABC V 是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE ，根据向量的线性运算计算向量00,P B P C 并计算00P B P C ⋅ ，同理计算PB PC ⋅ ，根据不等关系可得出对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，从而确定0P D AB ⊥，从而得到结果.【详解】取BC 的中点D ，DC 的中点E ，连接0P D ，AE （如图所示），则()()0000P B P C P D DB P D DC ⋅=+⋅+ ()()22000P D DB P D DB P D DB =+⋅-=- ，同理22PB PC PD DB ⋅=- ，因为00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，所以22220PD DB P D DB -≥- ，即220PD P D ≥ ，所以对于边AB 上任意一点P 都有0PD P D ≥ ，因此0P D AB ⊥，又023P B AB = ，D 为BC 中点，E 为DC 中点，所以023P B BD AB BE ==，所以0//P D AE ，即90BAE ∠=︒，所以90BAC ∠>︒，即ABC V 为钝角三角形.故选：A ．16. 设函数,()2,2x x P f x x x M x∈⎧⎪=⎨+∈⎪⎩其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定(){(),},(){(),}A P y y f x x P A M y y f x x M ==∈==∈∣∣，有下列命题：①对任意满足P M ⋃=R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃=R ；②对任意满足P M ⋃≠R 的集合P 和M ，都有()()A P A M ⋃≠R ，则对于两个命题真假判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①和②都是假命题C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】【分析】根据集合的新定义对两个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①可举反例，(,0],(0,)P M =-∞=+∞此时()()()()(),0,2,,A P A M A P A M ∞∞⎤⎡=-=+⋃≠⎦⎣R ，故①是假命题；对于②，可举反例(,4],(4)P M =-∞=++∞，此时()(,4],()(4,),()()R A P A M A P A M =-∞=+∞= ，故②是假命题；故选：B【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.三、解答题（共5题，满分78分）17. 已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ．（1）当a b∥时，求tan 2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅ ，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的值域．【答案】（1）247- （2）1322⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算tan x 的值，二倍角公式即可计算tan 2x ；（2）计算()f x ，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域.【小问1详解】因为a b∥，所以3sin cos 4x x -=，因为cos 0x ≠，所以3tan 4x =-，所以22tan 24tan 21tan 7x x x ==--．【小问2详解】213π3()2()2sin cos 2cos sin 2cos 222242f x a b b x x x x x x ⎛⎫=+⋅=++=++=++ ⎪⎝⎭ ，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 24x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()f x的值域为1322⎛⎤ ⎥⎝⎦．18. 已知函数()22x x a f x =+其中a 为实常数.（1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =;（2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）因为()22x x a f x =+,()07f =,可得6a =,故6()22x x f x =+,因为()5f x =,即6252x x+=,通过换元法,即可求得答案;（2）因为函数定义域为R ,分别讨论()f x 为奇函数和()f x 为偶函数,即可求得答案.【详解】（1） ()22x xa f x =+,∴()07f =,即17a +=解得:6a =可得:6()22x xf x =+ ()5f x =∴6252x x+=令2x t =(0t >)∴65t t+=,即:2560t t -+=解得:12t =或23t =即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R ,①当()f x 为奇函数时,根据奇函数性质()()f x f x -=-可得2222x x x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -=可得2222x x x x a a --+=+恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数()f x 模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数()f x 模型的基本要求；（2）现有两个奖励函数模型：①()2150x f x =+；②()ln 2f x x =-；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？【答案】（1）答案见解析（2）()2150x f x =+不符合公司要求，()ln 2f x x =-符合公司要求，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，用数学语言依次写出函数()f x 的要求即可；（2）判断两个函数模型的单调性，并判断()9f x ≤，()5x f x ≤是否成立得解.【小问1详解】设奖励函数模型为()y f x =，则公司对奖励函数模型基本要求是：当[]10,1000x ∈时，()f x 是严格增函数，()9f x ≤恒成立，()5x f x ≤恒成立.【小问2详解】①对于函数模型()2150x f x =+，易知当[]10,1000x ∈时，()f x 为增函数，且()()max 26100093f x f ==<，所以()9f x ≤恒成立，但是()101005f ->，不满足()5x f x ≤恒成立，所以()2150x f x =+不符合公司要求；②对于函数模型()ln 2f x x =-，的当[]10,1000x ∈时，()10f x x'=>，所以()f x 为增函数，且()max f x f =()100023ln109=-+<，所以()9f x ≤恒成立，令()()ln 255x x g x f x x =-=--，则()1105g x x '=-<，所以()()10ln1040g x g =-<≤，所以()5x f x ≤恒成立，所以()ln 2f x x =-符合公司要求.20. 已知函数()y f x =的定义域为区间D ，若对于给定的非零实数m ，存在0x ，使得()()00f f x x m =+，则称函数()y f x =在区间D 上具有性质()P m .（1）判断函数()2f x x =在区间[]1,1-上是否具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并说明理由；（2）若函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫⎪⎝⎭，求n 的取值范围；（3）已知函数()y f x =的图像是连续不断的曲线，且()()02f f =，求证：函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）具有性质12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析 （2）5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可得220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，结合条件即得；（2）由00sin sin 4x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，解得038x k ππ=+，()()050,N 48x k n k πππ+=+∈∈，可得58n π>，即得；（3）设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()1150200333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，可得111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即证；当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫> ⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合条件可知，存在0x ，()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即证.【小问1详解】函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.若220012x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则014x =-，因为[]11,14-∈-，且[]1111,1424-+=∈-，所以函数()2f x x =在[]1,1-上具有性质12P ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】解法1：由题意，存在()00,x n ∈，使得00sin sin 4x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0024x x k ππ+=+（舍）或0024x k x πππ+=+-()k ∈Z ，则得038x k ππ=+.因为0308x k ππ=+>，所以k ∈N .又因为()030,8x k n ππ=+∈且()()050,48x k n k πππ+=+∈∈N ，所以58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解法2：当02n π<≤时，函数()sin f x x =，()0,x n ∈是增函数，所以不符合题意；当2n π>时，因为直线2x π=是函数()sin f x x =的一条对称轴，而函数()sin f x x =在区间()()0,0>n n 上具有性质4P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以224n ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得58n π>，即所求n 的取值范围是5,8π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问3详解】设()()13g x f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，50,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则有()()1003g f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112333g f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22133g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，11333k k k g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，()55233g f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}()1,2,3,,6k ∈⋅⋅⋅.以上各式相加得()()()115020333k g g g g f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()11500333k g g g g -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（ⅰ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13k g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有一个为0时，不妨设103i g -⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，即110333i i i g f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111333i i f f --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}1,2,3,,6i ∈⋅⋅⋅，所以函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.（ⅱ）当()0g 、13g ⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、13n g -⎛⎫ ⎪⎝⎭、⋅⋅⋅、53g ⎛⎫ ⎪⎝⎭中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设103i g -⎛⎫>⎪⎝⎭，103j g -⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中i j ≠，{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、.由于函数()y g x =的图像是连续不断的曲线，所以当i j <时，至少存在一个实数011,33i j x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（当i j >时，至少存在一个实数011,33j i x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），其中{}1,2,3,,6i j ∈⋅⋅⋅、，使得()00g x =，即()()000103g x f x f x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即存在0x ，使得()0013f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在区间[]0,2上也具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.综上，函数()y f x =在区间[]0,2上具有性质13P ⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()e (,1),()(,)k x f x x k k g x cx m c m =∈≥=+∈N R ，其中e 是自然对数的底数．（1）当1k =时，若曲线()y f x =在1x =处的切线恰好是直线()y g x =，求c 和m 的值；（2）当1k =，e m =-时，关于x 的方程()()f x g x =有正实数根，求c 的取值范围：（3）当2,1k m ==-时，关于x 的不等式2()e ()f x ax bx g x -≥+≥对于任意[1,)x ∈+∞恒成立（其中,a b ∈R ），当c 取得最大值时，求a 的最小值．【答案】（1）2e,e c m ==-（2）[2e,)+∞（3）1【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 在1x =处的切线方程，通过对比系数求得,c m .（2）由()()f x g x =分离c ，利用构造函数法，结合导数来求得c 的取值范围.（3）由恒成立的不等式得到e 1e xc x x-≤-恒成立，利用构造函数法，结合导数来求得c 的最大值，进而求得a 的最小值，并利用构造函数法，结合导数来判断a 的最小值符合题意.【小问1详解】当1k =时，()e x f x x =，所以()(1)e x f x x '=+，由(1)e,(1)2e f f '==，得曲线()y f x =在1x =处的切线方程为e 2e(1)y x -=-，即2e e y x =-，由题意，2e,e c m ==-．【小问2详解】当1k =，e m =-时，()e ,()e x f x x g x cx ==-，由题意，方程e e x x cx =-在(0,)+∞上有解，即e e x c x =+在(0,)+∞上有解，令e ()e (0)x h x x x =+>，则2e e ()x h x x'=-，由()0h x '=得1x =，()h x '在()0,∞+上严格递增，所以：当(0,1)x ∈时，()0h x '<，所以()h x 严格递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 严格递增，所以min ()(1)2e h x h ==，又x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 的值域为[2e,)+∞，所以c 的取值范围为[2e,)+∞．【小问3详解】当2,1k m ==-时，2()e ,()1x f x x g x cx ==-，由题意，对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，即：22e e 1x x ax bx cx -≥+≥-（*）恒成立，那么，2e 1x x cx ≥-恒成立，所以e 1e xc x x-≤-恒成立，令e 1()e (1)x x x x x ϕ-=-≥，则2e 1()(1)e 0x x x x ϕ-'=++>在[1,)+∞上恒成立，所以()ϕx 在[1,)+∞上严格递增，所以min ()(1)1x ϕϕ==，从而1c ≤，即c 的最大值为1，1c =时，取1x =代入（*）式，得00a b ≥+≥，所以=-b a ，所以21ax ax x -≥-在[1,)+∞上恒成立，得1a ≥，即a 的最小值为1，当1a =时，记()222()()e e e (1)x F x f x x x x x x x =---=--+≥，则()2()2e 21x F x x x x '=+-+，设()()()()222e 21,42e 2x x x x x u u x x x x '+-+=++-=，因为()u x '在[1,)+∞上严格递增，所以()()17e 20u x u ''≥=->，所以()F x '在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)3e 10F x F ''≥=->，所以()F x 在[1,)+∞上严格递增，所以()(1)0F x F ≥=，从而对于任意2[1,),()e ()x f x ax bx g x ∈+∞-≥+≥恒成立，综上，a 的最小值为1．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图象开口向上，对称轴为$x = -1$，且过点$(2, 3)$，则下列选项中正确的是（）。

A. $a = 1, b = -2, c = 3$B. $a = 1, b = 2, c = 3$C. $a = -1, b = -2, c = 3$D. $a = -1, b = 2, c = 3$2. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 50$，$S_9 = 90$，则$a_7$的值为（）。

A. 5B. 10C. 15D. 203. 下列命题中正确的是（）。

A. 若$a > b$，则$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$B. 若$a^2 > b^2$，则$a > b$C. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$D. 若$a^2 > b^2$，则$a > |b|$4. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$y = x$的对称点为（）。

A. $(2, 1)$B. $(1, 2)$C. $(-2, -1)$D. $(-1, -2)$5. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z + 1| = |z - 1|$，则$\operatorname{Im}(z)$的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$的定义域为______。

7. 等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10}$的值为______。

8. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(x) = ______。

北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。

二中、呼二中2021届高三数学上学期10月月考试题 文〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

考生注意：1.本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

满分是150分，考试时间是是120分钟。

2.考生答题时，请将答案答在答题卡上。

第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；第二卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合{}|2A x x =>，{}2,0,2,4B =-，那么()R C A B ⋂等于〔 〕A. {}2,0-B. {}2,4C. 2,0,2D. {}0,2,4【答案】C【解析】【分析】根据集合的补集交集运算即可求解.【详解】因为{}|2A x x =>,所以={|2}R C A x x ≤，所以(){}2,0,2R C A B -⋂=，应选C【点睛】此题主要考察了集合的交集补集运算，属于容易题.2.设i 为虚数单位，复数()()12i i +-的实部为〔 〕A. 3B. -3C. 2D. -2 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法那么及复数的概念即可求解.【详解】因为()()122+213+i i i i i +-=-+=，所以复数的实部为3，应选A【点睛】此题主要考察了复数的运算，复数的概念，属于容易题.3.假设函数()f x 是周期为4的奇函数，且()13f =，那么()3f =〔 〕A. -2B. 2C. -3D. 3【答案】C【解析】【分析】根据周期可知(1)(14)(3)f f f =-=-，再根据奇函数性质即可求解.【详解】因为函数()f x 是周期为4的奇函数，所以()()()3113f f f =-=-=-.应选C【点睛】此题主要考察了函数的周期性及奇函数的性质，属于中档题. 4.x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，那么2z x y =+的最大值为〔 〕A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可.【详解】作出可行域如图：由2z x y =+可得：122z y x =-+， 平移直线12y x =-经过点A 时，z 有最大值， 由3010x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩解得(1,2)A ， 平移直线12y x =-经过点A 时，z 有最大值， max 145z =+=.应选A【点睛】此题主要考察了简单的线性规划，属于中档题.5.观察以下等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，假设()225f n =，那么正整数n 的值是〔 〕A. 8B. 7C. 6D. 5 【答案】D【解析】【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 应选D【点睛】此题考察归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考察观察转化才能，是根底题6.0m >，0n >，141m n +=，那么m n +〔 〕 A. 有最大值，最大值为6 B. 有最大值，最大值为9C. 有最小值，最小值为6D. 有最小值，最小值为9 【答案】D【解析】【分析】利用()14m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，根据均值不等式，即可求出最值. 【详解】∵()1445n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭4529n m m n ≥+⨯=， 当且仅当4n m m n=时等号成立, m n ∴+的最小值为9.【点睛】此题主要考察了均值不等式，属于中档题.7.如图是一个程序框图，那么输出k 的值是〔 〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】 根据程序框图，模拟计算过程即可求解.【详解】程序框图的执行过程如下：1S =，10k =；1011S =，9k =； 911S =，8k ； 811S =，7k =， 循环完毕.应选B.【点睛】此题主要考察了程序框图，算法构造，属于中档题.8.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c b a >>，那么“ABC ∆为钝角三角形〞是“222c a b >+〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据大边对大角及余弦定理可求解.【详解】由c b a >>，有C B A >>， 又222222cos 02a b c C c a b ab+-=<⇔>+， 故“ABC ∆为钝角三角形〞是“222c a b >+〞的充要条件.应选C【点睛】此题主要考察了三角形的性质，余弦定理，属于中档题.9.在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=，点E 在CD 上，2CE ED =，那么AE BE ⋅=〔 〕 A. 49- B. 29- C. 29 D. 49【答案】B【解析】【分析】以向量,AB AD 为基底，根据向量加减法的运算可将,AE BE 表示出来，利用数量积法那么运算即可.【详解】因为22AB AD ==，60BAD ∠=，设1AD =，那么1AB AD ⋅=， 因为13AE AD DE AD AB =+=+，23BE AE AB AD AB =-=-， 所以222193AE BE AD AB AB AD ⋅=--⋅8121939=--=-. 应选B【点睛】此题主要考察了向量的加减法运算，数量积的运算，属于中档题.10.假设函数()log a f x x =〔0a >，且1a ≠〕的定义域和值域均为[],2t t ，那么a 的值是〔 〕 A. 12或者4 B. 116C. 14或者8D. 12或者16 【答案】B【解析】【分析】分1a >和01a <<讨论，利用函数单调性根据定义域求出值域即可分析出a 的值.【详解】由题意有0t >，①当1a >时，()()()2log 22log a a f t t t f t t t ⎧==⎪⎨==⎪⎩， 有()log 22log a a t t =，得22t t =，解得2t =，由log 22a =，解得a =②当01a <<时，()()()2log 2log 2a a f t t t f t t t⎧==⎪⎨==⎪⎩，有()2log 2log a a t t =，得24t t =，解14t =， 代入log 2a t t = ，解得116a =. 应选B【点睛】此题主要考察了对数函数的单调性，值域，分类讨论的思想，属于中档题.11.函数()f x 满足()01f =，且()()'cos sin f x x f x x >，那么不等式()cos 10f x x ->的解集为〔 〕A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. (),0-∞D. ()0,∞+【答案】D【解析】【分析】令()()cos g x f x x =,利用导数可研究函数为增函数，且原不等式可转化为()()0g x g >，利用单调性即可求解.【详解】令()()cos g x f x x =，有()()()''cos sin 0g x f x x f x x =->，故函数()g x 单调递增，又由()()00cos01g f ==，不等式()cos 10f x x ->可化为()()0g x g >，那么不等式()cos 10f x x ->的解集为()0,∞+.应选D【点睛】此题主要考察了利用导数研究函数的增减性，根据函数单调性解不等式，属于中档题. 12.函数()()222,01,0x x a x a x f x a x ⎧+-+>=⎨-≤⎩〔0a >，且1a ≠〕在R 上单调递增，且关于x 的方程()22f x x =+恰有两个不等的实数解，那么a 的取值范围是〔 〕A. ()1,2B. (]1,2C. (]{}1,23D. (){}1,23【答案】A【解析】【分析】先根据分段函数的单调性求出1a >，方程有两根可转化为函数图象有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象数形结合即可求解.【详解】由1xy a =-在(],0-∞上递增，得1a >，又由()f x 在R 上单调递增，那么()2022002202a a a ⎧+-⨯+≥⎪⎨-<⎪⎩，解得1a > 如下图，在同一坐标系中作出函数()f x 和22y x =+的图象，当2a <时，由图象可知，(],0-∞上，()22f x x =+有且仅有一个解，在()0,∞+上()22f x x =+同样有且仅有一个解.当2a ≥时，直线22y x =+与(),0y f x x =>相切时有一个交点，由()22222x a x a x +-+=+〔其中0x >〕， 得：()22420x a x a +-+-=， 那么()()222442420240a a a a ∆=---=-+=，解得2a =或者3a =此时切点横坐标分别为0,1x x ==-与0x >矛盾，故2a =或者3a =不符合题意,综上所述()1,2a ∈.【点睛】此题主要考察了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.设向量()3,4a =，(),2b λ=-，假设a b ⊥，那么实数λ的值是______.【答案】83【解析】【分析】根据向量垂直知其数量积为0,根据坐标计算即可.【详解】∵a b ⊥，0a b ∴⋅=,∴380λ-=， ∴83λ=. 故答案为83. 【点睛】此题主要考察了向量垂直的条件，属于中档题.14.角θ的顶点与坐标原点重合，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P 的坐标为()3,4-，那么()()sin cos πθπθ-++=______. 【答案】75-【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出sin θ，cos θ，利用诱导公式即可求解. 【详解】由题意有4sin 5θ=-，3cos 5θ=， 那么()()sin cos sin cos πθπθθθ-++=-437555⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为75- 【点睛】此题主要考察了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题.15.幂函数()()2231m m f x m m x +-=--在()0,∞+上是减函数，那么实数m 的值是______.【答案】-1【解析】【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.【详解】由幂函数()()2231m m f x m m x +-=--知，211m m --=得2m =或者1m =-.当2m =时，()3f x x =在(]0,+∞上是增函数， 当1m =-时，()3f x x -=在()0,∞+上是减函数， ∴1m =-.故答案为1-【点睛】此题主要考察了幂函数的定义及单调性，属于中档题.16.曲线()3f x x x =-，那么过点()1,0P -，且与曲线相切的直线方程为______. 【答案】22y x =+或者1144y x =-- 【解析】【分析】 根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程.【详解】设切点为()3000,Q x x x -，因为()2'31f x x =-， 所以Q 为切点的切线方程为：()()()32000031y x x x x x --=--， 代入点P 坐标有：()()()320000311x x x x --=---， 解得：01x =-或者012x =. 当01x =-时，切线方程为：22y x =+； 当012x =时，切线方程为：1144y x =--. 故答案为22y x =+或者1144y x =--. 【点睛】此题主要考察了函数图象的切线，导数的几何意义，点斜式直线方程，属于中档题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos sin sin 1A B A B C -=. 〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设ABC ∆的面积为c =，求+a b 的值.【答案】〔1〕3C π=〔2〕6a b +=【解析】【分析】〔1〕利用两角和的余弦公式及内角和定理得cos 1C C -=，由二倍角公式得2cos cos 222C C C=，进而求得C; 〔2〕利用面积公式得8ab =，结合余弦定理得()2220a b ab +-=，那么+a b 可求【详解】〔1〕∵()cos 1A B C +=，∴cos 1C C -=，22cos 11cos 222C C C ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，2cos cos 222C C C =.∵0C π<<，故tan23C =，26C π=，3C π=.〔2〕由ABC ∆的面积为3C π=，知1sin 232ABCS ab C ∆，∴8ab =，由余弦定理知2222cos 12c a b ab C =+-=，故2220a b +=，()2220a b ab +-=， 解得6a b +=.【点睛】主要考察两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．18.函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的间隔 为1.〔1〕求函数()f x 的增区间； 〔2〕当1163x -≤≤时，求函数()f x 的最大值、最小值及相应的x 的值. 【答案】〔1〕()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.〔2〕112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；13x =时，函数()f x. 【解析】 【分析】〔1〕利用二倍角公式及辅助角公式化简()f x =2sin 23x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而得1T =及ωπ=那么解析式可求；〔2〕由1163x -≤≤得22333x ππππ-≤-≤，利用正弦函数的图像及性质得值域即可【详解】〔1〕由()())2sin 22cos 1f x x x ωω=-()()sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==-⎪⎝⎭. 由函数()f x 的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的间隔 为1，有1T =，有212πω=，得ωπ=，故()2sin 23f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()222232k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，得()151212k x k k Z -≤≤+∈. 故函数()f x 的增区间为()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.〔2〕当1163x -≤≤时，22333x ππππ-≤-≤. 那么当232x πππ-=-，即112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；当233x πππ-=，即13x =时，函数()f x 【点睛】此题主要考察三角函数的图象与性质〔对称性、周期性、单调性〕、两角差的正弦公式，考察运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想．19.数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，且245a a a =，37S =. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】〔1〕()2323nn T n =-⨯+〔2〕()2323nn T n =-⨯+【解析】 【分析】〔1〕根据条件联立方程即可求出首项与公比，即可写出通项公式〔2〕利用错位相减法求和即可. 【详解】〔1〕∵245a a a =，∴34111a q a q a q ⋅=，∴11a =； 又37S =，∴()31171a q q-=-，解得3q =-〔舍〕或者2q ，∴12n na .〔2〕由〔1〕知()()121212n n n b n a n -=-=-⋅.那么()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯相减得()231222212n n n T n -=+++⋅⋅⋅+--⨯()12322222121n n n =+++⋅⋅⋅+--⨯- ()()212212112n n n -=--⨯--∴()2323nn T n =-⨯+.【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式，前n 项和公式，错位相减法，属于中档题. 20.向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，233a b +=. 〔1〕求()cos αβ-的值； 〔2〕假设02πα<<，2πβπ<<，且4sin 5β=，求sin α的值. 【答案】〔1〕13-〔2〕415【解析】 【分析】〔1〕由条件知1a =，1b =，()cos a b αβ⋅=-，利用向量的数量积运算即可求解〔2〕利用同角三角函数的关系求出cos β，()sin αβ-，再根据角的变换可知()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦即可求解. 【详解】因为()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=所以1a =，1b =，()cos cos sin sin cos a b αβαβαβ⋅=+=-， 又()2224222cos 3a b a a b b αβ+=+⋅+=+-=， 得()1cos 3αβ-=-.〔2〕∵2πβπ<<，4sin 5β=，∴3cos 5β=-，∵02πα<<，2ππβ-<-<-，∴0παβ-<-<，又∵()cos 0αβ-<，故2ππαβ-<-<-，∴()sin 3αβ-==-，∴()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦3144353515⎛⎫⎛⎫=--+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】此题主要考察了向量的坐标运算，数量积的性质，同角三角函数的关系，两角差的正弦公式，属于中档题. 21.函数()1log 1axf x x+=-〔0a >且1a ≠〕. 〔1〕当1a >时，用定义法证明函数()f x 在定义域上单调递增； 〔2〕解关于x 的不等式()log 2a f x >-. 【答案】〔1〕见解析〔2〕答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】〔1〕根据函数单调性的定义，注意做差后变形，即可求证〔2〕分1a >和01a <<两种情况分类讨论，根据对数函数的单调性求解. 【详解】〔1〕证明：由101xx+>-得11x -<<，故函数()f x 的定义域为()1,1-， 令1211x x -<<<，因为()()()()()()21122121211111111111x x x x x x x x x x +--+-++-=---- ()()()()21121212211111x x x x x x x x x x +---+--=--()()()2121211x x x x -=--，由1211x x -<<<，有110x ->，210x ->，210x x ->，可得()()()21212011x x x x ->--，由21211111x x x x ++>--，且1a >， 得212111log log 11aa x x x x ++>--， 所以()()21f x f x >，故当1a >时，函数()f x 在定义域()1,1-单调递增， 〔2〕不等式()log 2a f x >-可化为11log log 12aa x x +>-， ①当1a >时，不等式可化为111211x x x +⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，解得113-<<x ，②当01a <<时，不等式可化为111211x x x +⎧<⎪-⎨⎪-<<⎩，解得113x -<<-.【点睛】此题主要考察了函数单调性的定义，对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题. 22.函数()321132f x x ax =-，a 为实数. 〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕设()'f x 是函数()f x 的导函数，假设()'3f x <对任意[]2,3x ∈恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕答案不唯一，见解析〔2〕72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔1〕函数求导后，分0,0,0a a a >=<三种情况讨论，结合导函数的正负可求出函数的单调区间〔2〕根据不等式恒成立，别离参数可得2233x x a x x-++<<，[]2,3x ∈时恒成立，分别求出左边的最大值与右边的最小值即可. 【详解】〔1〕函数()321132f x x ax =-的定义域是R .()()2211'3232f x x a x x ax x x a =⋅-⋅=-=-.〔i 〕当0a >时，令()'0f x <，得0x a <<； 令()'0f x >，得0x <或者x a >，所以函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(),0-∞，(),a +∞上单调递增； 〔ii 〕当0a =时，()2'0f x x =≥对任意x ∈R 恒成立，且()'f x 不恒为0，所以函数()f x 在R 上单调递增；〔iii 〕当0a <时，令()'0f x <，得0a x <<； 令()'0f x >，得x a <或者0x >，所以函数()f x 在区间(),0a 上单调递减，在区间(),a -∞，()0,∞+上单调递增. 〔2〕()'3f x <等价于23x ax -<，得233x ax -<-<，得2233x ax x --<-<-，因为[]2,3x ∈，所以[]3,2x -∈--.所以不等式两边同时除以x -，得2233x xa x x--->>--， 即2233x x a x x ---<<--， 得2233x x a x x-++<<. 所以33x a x x x -<<+. 即33x a x x x-<<+对任意[]2,3x ∈恒成立.设()3g x x x =-，()3h x x x =+，[]2,3x ∈，那么()23'10g x x =+>，()23'10h x x=->.所以函数()g x 在区间[]2,3上是增函数，()h x 在区间[]2,3上是增函数. 所以()()max 32g x g ==，()()min 722h x h ==. 所以722a <<.所以实数a的取值范围是7 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】此题主要考察了利用导数求函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，分类讨论的思想，属于难题.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。