2019届高三数学10月月考试题文 (II)

2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(文科)考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.5sin3π=1.2A -1.2B .2C-2D 2.已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则.A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x => .D A B =∅ 3.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =.11A .5B .11C -.8D -4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是.A y x =.2x B y =.lg C y x=.D y =5.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 6.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是.(,1)A -∞.(,2)B -∞.(2,)C +∞.(3,)D +∞7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a .12A -.10B -.10C .12D 8.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是2.(,)63A ππ5.(,)36B ππ.(,)2C ππ2.(,)3D ππ9.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=.7A .5B .5C -.7D -10.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是.12A x π=.6B x π=.3C x π=.12D x π=-11.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞.(,1]D -∞12.已知()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2019a =_________14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A B b a A C+=-+.(1)求角B 的大小；(2)若b =，3a c +=，求ABC 的面积.18.（本题满分12分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n S n n N n *∈均在函数2y x =+的图像上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .20.(本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆3222=+y x 相切，求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）．21.（本题满分12分）已知函数()()ln R f x ax x a =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为312()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-．(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈．（1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试卷(文科)答案一．选择题1-6CACDCD7-12BBDADA 二．填空题13.1-14.12n --15.211316.三．解答题17.（1）c a b b a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=-120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+-- 1ac ∴=1sin 24S ac B ∴==18.（Ⅰ）1cos2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．19.2n S n n=+ 22n S n n ∴=+1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式21n a n ∴=+1111(2)((21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111((23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++ 1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈ min 4m ∴=20.（1）因为22c e a == ，222a b c =+222a b ∴=∴椭圆方程为222212x y b b∴+=2(1,2在椭圆上221,2b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）因为直线l 与圆2223x y +=3=即223220m k --=由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，()()()2222121212122212m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴⋅=++=+++=+2222212122222223220121212m m k m k OA OB x x y y k k k ----∴⋅=+=+==+++ OA OB∴⊥21．（1）()()110ax f x a x x x-=-=>'当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()0f x '=，得1x a =10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +>只需证：12112a x x +>只需证：12122x x a x x +>只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证：22212121ln 2x x x x x x ->只需证：2211121ln 2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<，即函数()t φ在()1,+∞单调递减，则()()10t φφ<=，即得12112ln ln x x +>22.解：(1)由直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数消去参数t ，可得：10x -=圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-.所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --==(2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将312()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得：250t ++=设,A B 对应参数为12,t t，则12t t +=-，125t t =因为120t t >，12,t t 是同号．所以1212121111335t t PA PB t t t t ++=+==．23.（1）由()5f x >，得23x ->,即23x -<-或23x ->,1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意x R ∈恒成立,当0x =时，不等式2+2≥-x m x 成立,当0x ≠时，问题等价于22x m x -+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m x x -+-+=∴ ≥≤，即m 的取值范围是( , 1]-∞.。

江苏省启东中学2019届高三上学期第二次月考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|y=}，则M∩（∁R N）=______．2.已知复数z=（a+i）（1+i）（i为虚数单位），若z的虚部为-1，则实数a=______．3.某校高一、高二和高三年级学生人数分别是x，640，560，采用分层抽样的方法抽取100人，参加学校团委举办的社会主义核心价值观知识竞赛，已知样本中高二年级的人数为32，则x=______．4.执行如图所示的流程图，若输入a=4，b=2，则输出的结果是______．5.设F1，F2是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，离心率e=，P为双曲线C右支上一点，PF2⊥F1F2，PF2=，则双曲线的虚轴长为______．6.盒中装有2个红球，1个黑球，1个白球，这四个小球除颜色外其余均相同．若从中随机地摸出两只球，则黑球取出的概率是______．7.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的体积为______．8.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），将f（x）的图象向左平移个单位长度后与函数g（x）=cos（2x+）的图象重合，则φ=______．9.已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=2x，则f（-）+f（6）=______．10.在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，，，=-4，则的值是______．11.已知点C在x轴上方，以C为圆心的圆C与x轴切于点A（1，0），与圆O：x2+y2=4交于点P，Q，若PQ长为，则圆C的标准方程为______．12.已知函数f（x）=（a＞0），若函数g（x）=f（x）-3|x|有三个零点，则正数a的取值范围是______．13.已知数列{a n}满足：a1=1，a2n=a2n-1+1，a2n+1=2a2n+1，n∈N*，记S n为数列{a n}的前n项和，若S k＞2018，则正整数k的最小值为______．14.已知函数f（x）=cos2x的图象与直线4kx-4y-kπ=0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则=______．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，F在PC上一点，PD⊥平面ABCD．（1）求证：AD⊥DF；（2）若E是BC的中点，PF=2FC，证明：PA∥平面DEF．16.已知=（cos x，sin（φ）），=（sin x sinφ+cos x cosφ，-），0＜φ＜π，f（x）=，函数f（x）的图象过点（，）．（1）求φ的值；（2）若f（C）=，AB=3，AC=，求△ABC的面积．17.如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．18.椭圆：＞＞的左、右焦点分别为F1，F2，M在椭圆上，△MF1F2的周长为，面积的最大值为2．（I）求椭圆C的方程；（II）直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B，连接AF2，BF2并延长交椭圆C于D，E，连接DE．探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由．19. 设函数，其中x ＞0，k 为常数，e 为自然对数的底数．（1）当k ≤0时，求f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（1，3）上存在两个极值点，求实数k 的取值范围； （3）证明：对任意给定的实数k ，存在x 0（x 0＞0），使得f （x ）在区间（x 0，+∞）上单调递增．20. 若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n +1≥a n 恒成立；②对于给定的正整数k ，a n -k +a n +k =2a n 对于任意的正整数n （n ＞k ）恒成立，则称数列{a n }是“R （k ）数列”．（1）已知a n = 为偶数 为奇数，判断数列{a n }是否为“R （2）数列”，并说明理由； （2）已知数列{a n }是“R （3）数列”，且存在整数p （p ＞1），使得b 3p -3，b 3p -1，b 3p +1，b 3p +3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．21. 二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M -1；（Ⅱ）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x -y =4，求l 的方程．22. 在极坐标系中，设圆p =3上的点到直线p （cosθ+ sinθ）=2的距离为d ，求d 的最大值．23.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角A-BE-C的余弦值．24.给定正整数m∈N*，记正数x=++…+，其中|a i|=1，1≤i≤m，i∈N*，X m表示所有这种形式的数x的和．（1）求X3、X4；（2）求X m．答案和解析1.【答案】（-1，1）【解析】解：N={x|y=}={x|x-1≥0}={x|x≥1}，则∁R N={x|x＜1}，M∩（∁R N）={x|-1＜x＜1}=（-1，1），故答案为：（-1，1）求出集合N的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.【答案】-2【解析】解：由z=（a+i）（1+i）=（a-1）+（a+1）i的虚部为-1，得a+1=-1，即a=-2．故答案为：-2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部等于-1求解a值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】800【解析】解：由分层抽样的定义得==，得x=800，故答案为：800根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】-1【解析】解：模拟程序的运行，可得a=4，b=2x=2，满足条件x≥0，执行循环体，a=3，b=3，x=0，满足条件x≥0，执行循环体，a=2，b=1，x=1，满足条件x≥0，执行循环体，a=1，b=2，x=-1，此时，不满足条件x≥0，退出循环，输出x的值为-1．故答案为：-1．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】6【解析】解：设双曲线的左右焦点为（-c，0），（c，0），令x=c可得y=b=，可设P（c，），由题意可得=，e===，解得a=6，b=3，则2b=6，故答案为：6．设双曲线的左右焦点为（-c，0），（c，0），令x=c可得P的坐标，可得a，b的方程，由离心率公式，解方程可得b的值，即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.【答案】【解析】解：盒中装有2个红球，1个黑球，1个白球，这四个小球除颜色外其余均相同．从中随机地摸出两只球，基本事件总数n==6，黑球取出包含的基本事件个数m==3，∴黑球取出的概率是p==．故答案为：．从中随机地摸出两只球，基本事件总数n==6，黑球取出包含的基本事件个数m==3，由此能求出黑球取出的概率．本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】cm3【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，由已知可得：圆锥的母线l=2cm，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h===cm．故圆锥的体积V==cm3，故答案是：cm3根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可，进而代入圆锥的体积公式，可得答案．本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面，圆锥的体积公式，难度不大，属于基础题．8.【答案】【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx+ω+φ）g（x）=cos（2x+）=sin（2x++）=sin（2x+），若两个函数的图象重合，则ω=2，×2+φ=2kπ+，即φ=2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，故答案为：．根据函数图象平移关系求出函数的解析式利用图象重合，建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象变换，利用图象重合，建立方程关系是解决本题的关键．9.【答案】1【解析】解：根据题意，函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（-）=f（-），f（6）=f（2），又由函数f（x）为奇函数，则f（-）=-f（），又由0＜x＜2时，f（）=2x，则f（）=-sin=，则f（-）=f（-）=-f（）=-，又由函数f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，则有f（-2）=f（2）且f（-2）=-f （2），则有f（6）=f（2）=0，则f（-）+f（6）=-；故答案为：-．根据题意，由函数的周期性可得f（-）=f（-），f（6）=f（2），结合函数的奇偶性与解析式可得f（-）的值，即可得f（-）的值，又由函数f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，则有f（-2）=f（2）且f（-2）=-f（2），分析可得f（2）的值，即可得f（6）的值，进而计算f（-）+f（6）即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的解析式，属于基础题．10.【答案】2【解析】解：因为•+•）=6+3，∴•（+）=9∴2=9∴•=（+）•（+）=（•+•+•+•），∴-4=（-3-2+•-6），-16=-3-9+•-6，•=2，故答案为：2．先将前2个等式相加得：2=9，然后将•化成三角形边上的向量，利用已知可解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．11.【答案】（x-1）2+（y-1）2=1【解析】解：根据题意，以C为圆心的圆C与x轴切于点A（1，0），则设圆C的半径为r，则其圆心C坐标为（1，r），则圆C的方程为（x-1）2+（y-r）2=r2，变形可得x2+y2-2x-2ry+1=0，又由圆C与圆Ox2+y2=4交于点P，Q，则PQ的方程为：2x+2ry-5=0；设圆心O到直线PQ的距离为d，则d=，又由PQ长为，则有d2=4-（）2=，则有=，解可得r=1，则圆C的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，故答案为：（x-1）2+（y-1）2=1根据题意，设圆C的半径为r，则圆C的方程为（x-1）2+（y-r）2=r2，变形可得x2+y2-2x-2ry+1=0，与圆O的方程联立分析可得PQ的方程，求出圆心O到直线PQ的距离d，结合直线与圆的方程分析可得=，解可得r的值，代入圆C的方程即可得答案．本题考查圆的方程的计算，涉及直线与圆、圆与圆的位置关系，属于综合题．12.【答案】a≥5或0＜a≤2【解析】解：作出函数y=x2-2x和y=8-x的图象如图：作出函数y=3|x|的图象，由图象知，当x≤0时，y=-3x与y=x2-2x有两个交点，若g（x）=f（x）-3|x|有三个零点，即g（x）=f（x）-3|x|=0即f（x）=3|x|有三个根，∵a＞0，∴当x＞a时，f（x）=3|x|=3x，有唯一一个交点即可，由3x=8-x得x=2，即y=8-x与y=3x有公共点A（2，6），由x2-2x=3x得x2=5x，得x=5，y=15，即y=x2-2x与y=3x的公共点为B（5，15），由图象知，当a≥5时，y=3x与f（x）=x2-2x有一个交点，y=3x与y=8-x没有交点，此时满足条件当0＜a≤2时，y=3x与f（x）=x2-2x没有交点，y=3x与y=8-x有1个交点，满足条件．当2＜a＜5时，y=3x与f（x）=x2-2x没有交点，y=3x与y=8-x没有交点，此时不满足条件．综上正数a的取值范围是a≥5或0＜a≤2，故答案为：a≥5或0＜a≤2．作出函数f（x）和y=3|x|的图象，由图象知当x≤0时，y=-3x与y=x2-2x有两个交点，则条件等价为当x＞a时，f（x）=3|x|=3x，有一个交点，利用数形结合进行讨论即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的作图与分析能力．13.【答案】17【解析】解：数列{a n}满足：a1=1，a2n=a2n-1+1，a2n+1=2a2n+1，n∈N*，可得a2=a1+1=2，a3=2a2+1=5，a4=a3+1=6，a5=2a4+1=13，a6=a5+1=14，a7=2a6+1=29，a8=a7+1=30，a9=2a8+1=61，…，可得奇数项为1，5，13，29，61…，偶数项为2，6，14，30，…，当n为奇数时，a n=2-3，当n为偶数时，a n=2-2，当n=16时，S16=2•-5•8=2000＜2018，当n=17时，S17=S16+a17=2000+210-3＞2018．故答案为：17．分别求得数列的前几项，得到当n为奇数时，a n=2-3，当n为偶数时，a n=2-2，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用分类讨论思想方法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．14.【答案】-【解析】解：函数f（x）=cos2x的图象关于（，0）对称，直线4kx-4y-kπ=0（k＞0）过（，0），x1+x3=2x2=．所以f（x）=cos2x的图象与直线4kx-4y-kπ=0（k＞0）恰有三个公共点如图所示，且（，）内相切，其切点为A（x3，cos2x3），x3∈（，）．由于f′（x）=-2sin2x，x∈（，），所以，-2sin2x3=，即tan2x3=，则==（x3-）•=-．故答案为：-．函数f（x）=cos2x的图象与直线4kx-4y-kπ=0（k＞0）恰有三个公共点，画出图象，且在（，）内相切，其切点为A（x3，cos2x3），利用导数的几何意义得出tan2x3=，从而得出结论．本题主要考查三角函数的图象和根的存在性及根的个数判断等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，F在PC上一点，PD⊥平面ABCD．∴AD⊥DC，AD⊥PD，∵DC∩PD=D，∴AD⊥平面PDC，∵DF⊂平面PDC，∴AD⊥DF．（2）连结AC，交DE于O，连结OF，∵E是BC的中点，PF=2FC，∴△EOC∽△AOD，∴=，∴PA∥FO，∴PA⊄平面DEF，OF⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF．【解析】（1）推导出AD⊥DC，AD⊥PD，从而AD⊥平面PDC，由此能证明AD⊥DF．（2）连结AC，交DE于O，连结OF，由E是BC的中点，PF=2FC，得△EOC∽△AOD，=，从而PA∥FO，由此能证明PA∥平面DEF．本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.【答案】解：（1）∵ =（cos x，sin（φ）=（cos x，cosφ），=（sin x sinφ+cos x cosφ，-）=（cos（x-φ），-），∴f（x）==cos x cos（x-φ）-cosφ，∵函数f（x）的图象过点（，），∴φ）φ=整理可得，sinφ+cosφ=1即sin（φ+）=1∵0＜φ＜π，∴φ=（2）由（1）可得f（x）=cos x cos（x-）-∵f（C）=，∴cos C cos（C-）-=整理可得，sin（2C+）=∵0＜C＜π，∴C=，∵AB=3，AC=，由正弦定理可得，，∴sin B=，∴B=，A=∴△ABC的面积s==【解析】（1）由向量数量积的坐标表示可求f（x）==cosxcos（x-φ）-cosφ，结合已知及辅助角公式可求φ，（2）由（1）可求f（x），然后由f（C）=可求C，然后由正弦定理可求B，进而可求A，然后代入到△ABC的面积公式即可求解本题主要考查了向量数量积的坐标表示，辅助角公式，和差角公式及正弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题17.【答案】解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于BE=10tanθ≤10，AF=≤10，而且≤tanθ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]．即L=10×，θ∈[，]．（2）设sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin（θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即θ=或θ=时，L取得最大值为20（+1）米．【解析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数L=在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．18.【答案】解：（I），…2′，，…4′得，，，所以：．…6′（2）（II）设A（x0，y0），则B（-x0，-y0）．直线：，…8′代入：得，因为，代入化简得，设，，，，则，所以，．…12′直线：，同理可得，．所以=，所以k DE：k=9．…15′（其他解法酌情给分）【解析】（I）利用△MF1F2的周长为，面积的最大值为2．列出方程求出a，b即可得到椭圆方程．（II）设A（x0，y0），则B（-x0，-y0）．直线，代入，结合，代入化简得，设，利用韦达定理通过斜率关系，化简求解即可．本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：f′（x）=+k（-）=+=，（1）当k≤0时，e x-kx2＞0 对任意的x＞0都成立，所以，当x＞3时，f′（x）＞0；当0＜x＜3 时，f′（x）＜0，所以，f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）f′（x）=，由函数f（x）在区间（1，3）上存在两个极值点，得f′（x）=0在区间（1，3）上至少有两个解，即e x-kx2=0在区间（1，3）上至少有两个解．即k=，令g（x）=-k，x∈（l，3），则g′（x）=，所以，当1＜x＜2时，g′（x）＜0；当2＜x＜3吋，g′（x）＞0，所以g（x）在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，3）上单调递增．又g（2）=-k，g（3）=-k＜g（l）=e-k，所以-k＜0，且-k＞0，即＜k＜，此时存在x1∈（1，2），x2∈（2，3），使得g（x1）=g（x2）=0，且当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，当x∈（x2，3）时，f′（x）＜0，满足条件．所以k的取值范围是（，）．（3）令h（x）=，得h′（x）=，当x≥3时，h′（x）≥0，当且仅当x=3时等号成立，所以，h（x）在[3，+∞）上单调递增，所以，当x＞3吋，h（x）＞h（3），（h（3）=＞0），即e x＞h（3）x3，当x＞3时，f′（x）=＞=，设x0为3和中较大的数，则当x＞x0时，f′（x）＞0，∴対任意给定的实数k，存在x0，（x0＞0），使得f（x）在区区间（x1，+∞）上单调递增．【解析】（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解；（2）求函数的导数，结合函数极值与导数之间的关系进行转化即可；（3）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，极值与导数之间的关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．20.【答案】解：（1）当n为奇数时，a n+1-a n=2（n+1）-（2n-1）=3＞0，所以a n+1≥a n．a n-2+a n+2=2（n-2）-1+2（n+2）-1=2（2n-1）=2a n．当n为偶数时，a n+1-a n=2（n+1）-2n=3＞0，所以a n+1≥a n．a n-2+a n+2=2（n-2）+2（n+2）=4n=2a n．所以，数列{a n}是否为“R（2）数列数列”．证明（2）由题意可得：b n-3+b n+3=2b n，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3，因为b n≤b n+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+（n+1）d1，所以n（d2-d1）≥b1-b2①，n（d2-d1）≥b1-b2+d1，②．若d2-d1＜0，则当n＞时，①不成立；若d2-d1＞0，则当n＞时，②不成立；若d2-d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2．同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d．设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ，则b3p-1-b3p-2=b3p-1-（n-p）d-（b3p+1-（n-p-1）d）=b3p-1-b3p+1+d=d-λ，同理可得：b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ，所以b n+1-b n=d-λ．所以：{b n}是等差数列．【解析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n-3+a n+3）+（a n-2+a n+2）+（a n-1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{a n}为等差数列．本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）设，则有=，=，所以且，解得所以M=，从而M-1=（Ⅱ）因为′′==且m：2x′-y′=4，所以2（x+2y）-（3x+4y）=4，即x+4=0，这就是直线l的方程．【解析】（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可，再根据求逆矩阵的公式求出逆矩阵；（2）在所求的直线上任设一点写成列向量，求出该点在矩阵M的作用下的点的坐标，代入已知曲线即可．本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题．22.【答案】解：将极坐标方程p=3转化为普通方程：x2+y2=9p（cosθ+sinθ）=2可化为x+y=2在x2+y2=9上任取一点A（3cos a，3sin a），则点A到直线的距离为d==，它的最大值为4．【解析】欲求d的最大值，即求出圆上一点何时到直线的距离最大，先将圆p=3和直线p（cosθ+sinθ）=2的极坐标方程化成直角坐标方程，再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．23.【答案】解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．=（2，0，0）-（0，1，0）=（2，-1，0），=（0，2，-1），（2分）cos＜，＞=．（4分）．由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是．（5分）（2），，，=（0，1，-1），设平面ABE的法向量为m1=（x，y，z），则由m1⊥，m1⊥，得取n=（1，2，2），平面BEC的一个法向量为n2=（0，0，1），（7分）cos＜n1．n2＞==（9分）由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角，其余弦值是-．（10分）【解析】（1）先以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出直线直线BE与AC的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可．考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量，本题主要考查了两面角的计算，考查了学生综合分析问题的能力和解决问题的能力．24.【答案】解：（1）由正数x=++…+，其中|a i|=1，1≤i≤m，i∈N*，可得a i=1或-1，当m=3时，由于+＜，可得a1只能为1，a2，a3可为±1，即X3=×4=2；同理可得X4=×8=4；（2）由x＞0，且++…+=-=-，则++…+-＜0，可得a1只能为1，a2，a3，…，a m，可为±1，可得X m=×2m-1=2m-2．【解析】（1）由题意可得a i=1或-1，当m=3时，由于+＜，可得a1只能为1，求得X3、同理可得X4；（2）由等比数列的求和公式，可得++…+-＜0，计算可得所求和．本题考查数列的求和，注意分析数列的特点，考查归纳法的运用，属于基础题．。

湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x <1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x <1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A) A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β B ．若m ∥n ，n α，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n β，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有ba ＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝⎛⎭⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：n 6 12 24 S332336－32因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C.6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝⎛⎭⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D. 7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB →＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝－2n ，∴f (a n )＝f (－2n )＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3C.8π3＋233D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝⎛⎭⎫2322＝22，圆锥的高h ＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎨⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎨⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎨⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A.⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫14，1∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x ；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x －a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎨⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎨⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1.综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CAABCDDACDBA本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__． 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ， 所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a ＝5b ＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎫－1，43__． 【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－1，43. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x －y＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，6分因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，8分由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。

重庆市南坪中学校2019届高三数学上学期月考试题 理考试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则AB =（）A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,0-D ．(],1-∞ 2.已知复数满足i z i 3)31(=+，则（）A ．i 2323+ B ．i 2323- C ．i 4343+ D ．i 4343- 3.设命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则为（）A ．2000,ln x R x x ∃∈> B ．2,ln x R x x ∀∈≤ C ．2000,ln x R x x ∃∈≤ D ．2,ln x R x x ∀∈<4.已知平面向量 与 00 相互垂直， =（﹣1，1）||=1，则|+2|=（ ） A ．B ．C ．2D ．5.已知实数()ln ln ln ,ln ,2a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（） A ．37 B ．273C ．73 D ．773 7.执行如图所示的程序框图，若输入2,1==b a ，则输出的（）A ．25.1B ．375.1C ．4375.1D ．40625.18.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10.已知数列{}n a 满足:)2112,11n a a +==+, 则12a =（）A ．B ．122C ．145D ．17011.已知函数()()1,1010lg 2,10x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若()()282f m f m -<，则实数的取值范围是（） A ．()4,2- B ．()4,1- C ．()2,4- D ．()(),42,-∞-+∞12.已知函数()21,g x m x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

福建省惠安一中等重点中学2024届高三月考试卷（二）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．132B ．5C ．25D ．133．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．4．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭5．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩6．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)8．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．199．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．433B ．43C ．233D ．2310．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦11．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．27412．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ） A ．8B ．16C ．62D ．122二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

海淀区中国人民大学附属中学2021届高三数学10月月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共8道小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定求填涂在“答题纸〞第1－6题的相应位置上．〕1.全集=R U ，集合20x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬⎩⎭，那么集合UA 等于〔 〕A. {2x x <-或者}0x >B. {2x x <-或者}0x ≥C. {2x x ≤-或者}0x > D. {2x x ≤-或者}0x ≥【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U =R 求出A 的补集即可．【详解】由A 中的不等式变形得：200x x +≥⎧⎨<⎩或者200x x +≤⎧⎨>⎩，解得：20x -≤<， 即{}|20A x x =-≤<， ∵全集U =R ， ∴UA ={2x x <-或者}0x ≥.应选：B.【点睛】此题考察分式不等式的解法，考察补集及其运算，属于根底题.2.角α的终边与单位圆交于点12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,那么sin α的值是〔 〕A. B. 12-C.2D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求出．【详解】根据三角函数的定义可知，1sin 2y α==-． 应选：B ．【点睛】此题主要考察三角函数的定义的应用，属于根底题． 3.以下函数中是奇函数，且在区间()0,∞+上是增函数的是〔 〕 A. 1y x=B. 2xy =C. 1y x x=+D.1y x x=-【答案】D 【解析】 【分析】可先判断奇偶性，再判断单调性．【详解】由奇偶性定义知ACD 三个函数都是奇函数，B 不是奇函数也不是偶函数，1y x =在(0,)+∞上是减函数，1y x x=+是勾形函数，在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递增， 只有1y x x=-在(0,)+∞上递增． 应选：D ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶和单调性定义是解题根底．4.为了得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把1cos 2y x =的图象上所有的点〔 〕A. 向左平移3π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移23π个单位长度D. 向右平移23π个单位长度【答案】C 【解析】 【分析】把函数式1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为1cos ()2y x a =+形式可得．【详解】112cos cos ()2323y x x ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因此把1cos 2y x =的图象上所有的点向左平移23π个单位得到函数1cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 应选：C ．【点睛】此题考察三角函数的图象平移变换，解题时对相位变换要注意平移的概念，特别是()f x ω向左平移m 个单位，得[()]f x m ω+不是()f x m ω+．5.“ln ln a b >〞是 > 〔 〕 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件.【答案】A 【解析】ln ln 0a b a b >⇒>>⇒>>1,0a b ==，那么ln ln a b >不成立，所以ln ln a b >〞是 >∴选A . 考点：充分条件、必要条件.6.假如实数集R 的子集X 满足：任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素，那么称X 在R 中的稠密，假设“R 的子集X 在R 中的不稠密〞，那么〔 〕 A. 任意开区间都不含有X 中的元素 B. 存在开区间不含有X 中的元素 C. 任意开区间都含有X 的补集中的元素 D. 存在开区间含有X 的补集的元素【答案】B 【解析】 【分析】写出命题X 在R 中的稠密的否认即可，【详解】命题“任意开区间(),a b 〔其中a b <〕中都含有X 中的元素〞的否认是：“存在开区间(),a b 〔其中a b <〕不含有X 中的元素〞， 应选：B ．【点睛】此题考察新定义，考察命题的否认．解题关键是正确理解题意，R 的子集X 在R 中的不稠密就是X 在R 中的稠密的否认．由命题的否认可得． 7.函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是〔 〕A. B.C. D.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D 选项.根据()()cos 2sin 1f x x x x =+的零点个数，对选项进展排除，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 是偶函数，排除D ；由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+，知当()0,2x π∈时，cos 0x =有两个解π3π,22，令12sin 10,sin 2x x x x+==-，而sin y x =与12y x =-在()0,2π有两个不同的交点〔如以下图所示〕，故函数在()0,2π上有4个零点，应选A.【点睛】本小题主要考察函数图像的识别，考察二倍角公式以及零点的个数判断方法，属于中档题.8.()2log f x x =，关于x 的方程()()0f x m m =>的根为1x ，()212x x x <，关于x 的方程()41f x m =+，41m m ⎛⎫≠ ⎪+⎝⎭根为3x ，()434x x x <．当m 变化时，4231x x x x --的最小值为〔 〕 A. 162 B. 8C. 2D. 16【答案】B 【解析】由数形结合思想求出1234,,,x x x x ，计算4231x xx x --并化简，然后由根本不等式求得最小值．【详解】在同一坐标系中作出2log y x =的图象和直线y m =，41y m =+，交点,,,A B C D 的横坐标分别1234,,,x x x x ，由方程2log x m =解得122,2m m x x -==，同理4132m x -+=，4142m x +=，4231x x x x --44411144112222222222mmm m mm m m m m +++--++--==⋅⋅--412m m ++=442(1)11111228m m m m +⋅++-++=≥=，当且仅当411m m +=+，即1m =时等号成立． ∴4231x x x x --的最小值是8．应选：B ．【点睛】此题考察对数函数的图象与性质的综合应用，求出方程的根代入并化简后应用根本不等式解决问题是解题关键．二、填空题〔本大题一一共6道小题，每一小题5分，一共30分．请将每道题的最简答案填写上在“答题纸〞第9－14题的相应位置上．〕9.向量()2,3a =，(),2b t =，假设a 与b 一共线，那么实数t =__________．【答案】43【解析】 【分析】由向量一共线的坐标表示计算．【详解】由题意430t -=，43t =． 故答案为：43． 【点睛】此题考察向量平行的坐标运算，属于根底题同．10.函数()f x =的定义域为______________ . 【答案】(0,1)(1,2]⋃ 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、对数函数的定义域以及分母不等于零，列不等式组求解即可.【详解】要使函数()ln f x x =有意义，那么24000x lnx x ⎧-≥⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤且1x ≠，所以函数()f x =的定义域为()(]0,11,2⋃，故答案为()(]0,11,2⋃.【点睛】此题主要考察函数的定义域、不等式的解法，属于中档题. 定义域的三种类型及求法：(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 假设函数()f x 的定义域为[],a b ，那么函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.11.函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的局部图象如下图，那么()f x =__________．【答案】2sin(2)6x π-【解析】 【分析】结合“五点法作图〞可求解．【详解】由题意2A =，2()36T πππ=⨯+=，22πωπ==，2232k ππϕπ⨯+=+，2,6k k Z πϕπ=-∈，∵2πϕ<，∴6πϕ=-．∴()2sin(2)6f x x π=-．故答案为：2sin(2)6x π-．【点睛】此题考察由三角函数图象求解析式，掌握“五点法作图〞是解题关键． 12.如下图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上一点P 自最低点A 点起经过min t 后，点P 的高度40sin 5062h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭〔单位：m 〕，那么P 的高度在距地面70m 以上的时间是为__________min ．【答案】4 【解析】 【分析】直接解不等式70h ≥即可．【详解】由题意40sin 507062h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，1sin()622t ππ-≥，5226626k t k ππππππ+≤-≤+，124128k t k +≤≤+，k Z ∈，取0k =，那么48t ≤≤，844-=．故答案为：4．【点睛】此题考察三角函数模型的应用．考察解三角不等式，属于根底题． 13.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，假设15AD AB AC λ=+()R λ∈，那么λ的值是 ．【答案】65【解析】试题分析：因为所以.又CD ∥AG ，可设从而.因为15AD AB AC λ=+，所以.考点：向量一共线表示14.集合M 是满足以下性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立．〔1〕给出以下两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．〔2〕假设函数()sin f x kx M =∈，那么实数k 的取值集合为__________． 【答案】 (1). 2()f x (2). {|,}k k m m Z π=∈ 【解析】 【分析】〔1〕根据集合M 的性质判断．〔2〕根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±， 【详解】〔1〕假设1()f x M ∈，那么存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，那么x T Tx +=，(1)0T x T -+=对x ∈R 恒成立，这是不可能的，1()f x M ∉；假设2()f x M ∈，那么存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，那么22a Ta =，对x ∈R 恒成立，1T =，2()f x M ∈；〔2〕函数()sin f x kx M =∈，那么存在非零点常数T ，使得()()f x T Tf x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x ∈R 知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈-，sin ()[1,1]k x T +∈-，因此要使sin ()sin k x T T kx +=成立，只有1T =±，假设1T =，那么sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，假设1T =-，那么sin()sin kx k kx -=-，即sin()sin kx k kx π-+=，2k m ππ-+=，(21),k m m Z π=--∈，综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈． 故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】此题考察新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规那么为根据，由新定义规那么把问题转化，转化为熟悉的问题进展解决．三、解答题〔本大题一一共6道小题，一共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或者证明过程．请将解答题之答案填写上在“答题纸〞第15－20题的相应位置上．〕15.函数()()22cos cos sin R f x x x x x a x =+-+∈的最大值为5．〔1〕求a 的值和()f x 的最小正周期； 〔2〕求()f x 的单调递增区间． 【答案】〔1〕3a =，T π=．〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈【解析】 【分析】〔1〕先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；〔2〕由正弦函数的单调区间可得．【详解】〔1〕()2cos22sin(2)6f x x x a x a π=++=++，由题意25a +=，3a =，22T ππ==．〔2〕222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈． 【点睛】此题考察三角函数的恒等变换，考察正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌握正弦函数的性质是解题关键．16.如下图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，22CD AE ED ===，23ADC ∠=π，π3BEC ∠=，CED α∠=.〔1〕求sin α的值； 〔2〕求BE 的长.【答案】〔1〕217；〔2〕7 【解析】 【分析】〔1〕在CDE △中，由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠，可求得EC ，再由正弦定理得sin sin EC CDEDC α=∠，可求出sin α；〔2〕先求出cos α，结合2π3AEB α∠=-，可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=-⎪⎝⎭，再由cos AEBE AEB=∠可求出答案.【详解】〔1〕在CDE △中，由余弦定理，得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯，在CDE △中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC α=∠.于是，2π3sin22132sin 77CD EC α⋅⨯===. 〔2〕由题设知，π03α<<，于是由〔1〕知，22127cos 1sin 149αα=-=-=. 而2π3AEB α∠=-，所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2π7cos cos sin sin 3314αα=+=，在直角EAB 中，477BE ==. 【点睛】此题考察正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考察学生的推理才能与计算才能，属于根底题.17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒〔如图〕．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．〔1〕当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；〔2〕试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 【答案】〔1〕当x ＝654时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米; 〔2〕当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．【解析】试题分析：〔1〕矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当90a =时，40b =，列出关于纸盒侧面积S 函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得最大值；〔2〕列出盒子体积V 的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论． 试题解析：〔1〕因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． 因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －)2＋， 故当x ＝时，侧面积最大，最大值为 平方厘米． 答：当x ＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．〔2〕包装盒子的体积V ＝(a －2x)(b －2x) x ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]，x ∈(0，)，b ≤60． V ＝x[ab －2(a ＋b)x ＋4x 2]≤x(ab －4x ＋4x 2) ＝x(3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． 当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x)＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 那么f ′ (x)＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增； 当10＜x ＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000， 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米． 18.函数()()32413f x x a x a =--∈R ． 〔1〕曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 与直线210x y -+=平行，求l 的方程； 〔2〕假设函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕11203x y --=；〔2〕(． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数()f x '，由(1)2f '=，求得a ，可得切线方程；〔2〕由导数确定函数的单调性，解不等式2()f x >的极大值即可．【详解】〔1〕由题意22()4f x x a '=-，2(1)42f a '=-=，a =a =45(1)2133f =--=-，切线l 方程是52(1)3y x +=-，即11203x y --=． 〔2〕由〔1〕22()4f x x a '=-， 假设0a =，()f x 在实数集上递增，函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，符合题意， 假设0a ≠，2a x <-或者2a x >时，()0f x '>，22a ax -<<时，()0f x '<， ∴()()2a f x f =-极大值，3()()23a af x f ==-极小值， ∵函数()f x 的图象与直线2y =只有一个公一共点，∴()22af -<，即324()()12322a a a ⨯--⨯--<，39a <，a <，a <<0a ≠，综上可得，a 的范围是(．【点睛】此题考察导数的几何意义，考察有导数研究函数的极值．函数图象与直线的交点个数问题转化为函数极值的不等关系是此题解题关键． 19.设函数()()ln f x x x ax a =⋅+∈R ．〔1〕求函数()y f x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值点；〔2〕假设()()()21212g x f x ax a x =+-+，求证：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件． 【答案】〔1〕0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕见解析． 【解析】 【分析】〔1〕求出导函数，研究函数的单调性，确定函数在1[,]e e上单调性得最值．〔2〕求出数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增时的a 的取值范围后可得结论． 【详解】〔1〕()ln 1f x x a '=++，由()0f x '=得1a x e --=，当10a x e --<<时，()0f x '<，()f x 递减，1a x e -->时，()0f x '>，()f x 递增， 当11aee--≤，即0a ≥时，()f x 在1[,]e e 递增，()f x 的最小值点为1e ，11ae e e--<<，即20a -<<时，()f x 的极小值点也是最小值点为1a e --， 1a e e --≥，即2a ≤-时，()f x 在1[,]e e递减，()f x 的最小值点为e ．综上，0a ≥时，最小值点为1e，20a -<<时，最小值点为1a e --，当2a ≤-时，最小值点为e ．〔2〕由21()ln (1)2g x x x ax a x =+-+，()ln 1(1)ln (1)g x x ax a x a x '=++-+=+-， 由题意()ln (1)0g x x a x '=+-≥在(1,2)x ∈上恒成立，即1ln x a x-≥-在(1,2)x ∈上恒成立，设1()ln x h x x -=-，21ln 1()(ln )x x h x x +-'=-， 设1()ln m x x x=+，22111()x m x x x x -'=-=，当(1,2)x ∈时，()0m x '>，()m x 递增，∴1()ln (1)1m x x m x=+>=，∴()0h x '<，()h x 在(1,2)上递减， 11111lim()lim lim 11ln x x x x x xx→→→--=-=-=-，∴(1,2)x ∈时，()1h x <-，∴1a ≥-． ∴：0a ≥是函数()y g x =在()1,2x ∈时单调递增的充分不必要条件．【点睛】此题考察用导数研究函数的最值，考察函数的单调性．求函数在某个区间上的最值问题，关键是确定函数的单调性，函数在某个区间上的单调问题转化为不等式恒成立，不等式恒成立经可转化为研究函数的最值．20.如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 假设对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，那么称数表A 为完美数表.〔Ⅰ〕当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； 〔Ⅱ〕证明：不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕〔1〕见解析，〔2〕不存在10行10列的完美数表；〔Ⅲ〕见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据定义确定112112220a a a a +=一个解即可，〔Ⅱ〕先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，〔Ⅲ〕把12n n ln n a a a X +++=作为研究对象，根据条件可得12k X X X l ====，根据定义可得22212n X X X ln +++=.最后根据不等关系：2222221212n k X X X X X X +++≥+++证得结果.【详解】〔Ⅰ〕答案不唯一. 如〔Ⅱ〕假设存在10行10列的完美数表A . 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论： 〔1〕把完美数表的任何一列的数变为其相反数〔即1+均变为1-，而1-均变为1+〕，得到的新数表是完美数表；〔2〕交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：1 1 1 1 11111 1 111-1-1- 1- 111-1-111-1-x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列〔如上表所示〕，那么10x y z w +++=由120p =，得x y z w +=+； 由130p =，得x z y w +=+； 由230p =，得x w y z +=+. 解方程组，，，，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w N ∈矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表. 〔Ⅲ〕记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和 122222l a a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=， 因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====.又因为对于任意,s t 〔s t ≠〕，都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=. 又因为22222221212n k X X X X X X l k +++≥+++=，所以2ln l k ≥，即kl n ≤.【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法那么、新运算的外表，利用所学的知识将生疏的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的打破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要擅长从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。

衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则A B = ( )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++=(,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( ) A.12i + B.12i -+ C.12i - D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q 且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( )20y --= B.40y +-= C.0x -= 360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b <<6.已知向量,a b 满足||1=a ，||+=a b 1)=-b ，则,a b 的夹角等于( )C A 1A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( ) A.12BC B.12ADC.BCD.AD 9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，11A B 的中点是P ，过点1A作与 截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( )A.B. C. D.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( ) A. 21[3,)8--B.7(,3)2--C. 21(3,)8--D.7[,3)2--11.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p ，且()02f p=，则下列说法正确的是( )A. 2w=B. 函数()y f x =-p 是偶函数C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称 D. 函数()f x 在,2轾p犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( ) A. (,]e -? B.(,)e -? C.(,)e -+? D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13*.若1sin 2,2q=，则2cos ()4pq+= . 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_______2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.(本小题12分) ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c cos sin .C c B -=(1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC 边上一点，且sin 3BDC ?，求BD .18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?．(1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪的前n 项和n T ．19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A BC -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB AC ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积. B 1C 120*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为(1)求圆M 的标准方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程.21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a xf x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性；(2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值．22.(本小题10分) (选修4-5：不等式选讲) 已知不等式|||3|6x x x +-<+的解集为(,)m n ． (1)求,m n 的值；(2)若0,0,0x y nx y m >>++=，求证：16x y xy +?．衡阳市八中2019届高三第二次月考试题文科数学参考答案请注意： 时量120分钟 满分150分第I 卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x x n n A ==?，则A B = ( B )A.{}1,2B.{}1,4C.{}2,3D.{}9,16 2*.已知复数2b ia i i++=(,a b 是实数)，其中i 是虚数单位，则复数a bi +的共轭复数是( A ) A.12i + B.12i -+ C.12i - D.12i --3*.已知直线l 的倾斜角为q且过点，其中1sin()22p q-=，则直线l 的方程为( B )20y --=B.40y +-=C.0x -=360y +-=4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了( C )A ．24里 B. 48里 C ．96里 D.192里5.已知13241,log 3,log 72a b c 骣÷ç===÷ç÷ç桫，则,,a b c 的大小关系为( D ) A. a b c << B.b a c << C.c a b << D.a c b << 6.已知向量,a b 满足||1=a，||+=a b1)=-b ，则,a b 的夹角等于( A ) A.3p B.6p C.23p D.56p 7.已知,x y 满足约束条件020x y x y y ì-?ïïï+?íïï³ïïî，若z ax y =+的最大值为4，则a =( B )A.3B.2C.2-D.3-8.设,,D E F 分别为ABC D 三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=( D ) A.12BC B.12ADC.BCD.AD 9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，11A B 的中点是P ，过点1A作与 截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( C )A.B.C. D.410*.在等差数列中{}n a ，121a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围是( C ) A. 21[3,)8-- B.7(,3)2-- C. 21(3,)8-- D.7[,3)2--C A 111.已知函数()2sin()(0,0)f x x =w +j w><j <p 相邻两条对称轴间的距离为32p ，且()02f p=，则下列说法正确的是( D )A. 2w=B.函数()y f x =-p 是偶函数C. 函数()f x 的图象关于点3(,0)4p 对称D. 函数()f x 在,2轾p犏-p -犏臌上单调递增12.已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为( A )A. (,]e -?B.(,)e -?C.(,)e -+?D.[,)e -+?第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.若1sin 2,2q=，则2cos ()4p q+= 14. 14.若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为 4310x y -+= 或20x -= .15*.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积是_163p__2cm ．16*.己知实数,,,a b c d 满足2ln ,21b a d c ==+，则22()()a c b d -+-的最小值95. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.(本小题12分) ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c cos sin .C c B -=(1)求B ；(2)若3,7,a b D ==为AC 边上一点，且sin BDC ?，求BD . 解：(1) cos sin cos sin sin C c B B C C B A -=\-=sin sin sin tan C B B C B \-=\=- 20,3B B p<<p \=(2)在ABC D 中，由2222cos b a c ac B =+-得23400c c +-=，5c ∴=由sin sin c b C B =得57sin 2sin sin 3C C π=∴=在BCD D 中，由sin sin BD a C BDC =∠得4514BD =.18*.(本小题12分) 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且*2()n n S a n n N =-?． (1)证明：{}1n a +是等比数列；(2) 若数列2log (1)n n b a =+，求数列21211n n b b -+禳镲镲睚镲镲铪 的前n 项和n T ．解：(1)当1n =时，111211S a a =-\=11122(1)21n n n n n n S a n S a n a a +++=-\=-+\=+112(1)n n a a +\+=+\{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得：212log 2nn n n a b n +=\==，212111111()(21)(21)22121n n b b n n n n -+\==--+-+111111(1)2335212121n nT n n n \=-+-++-=-++ 19.(本小题12分) 如图在三棱柱111ABC A BC -中，12AB AA CA CB ====，13BAA p?. (1)证明：1AB AC ^；(2*)若11cos 4CAA ?，求四棱锥111A BB C C -的体积. B 1C 1(1)证明：取AB 的中点O ，连结1,AO CO ，易证1,,AB AOAB CO ^^AB \^平面11,AOC AB AC \^(2)解：由22211112cos AC AA AC AA AC CAA =+-?得，1AC =，又2221111,AO CO AO CO AC AO CO ==\+=\^由(1)可知1AB AO ^，1AO \^平面ABC 1111111112223A BBC C ABC A B C A ABC A ABC ABC V V V V S AO ----D \=-=== 20*.(本小题12分) 已知过点(0,2)P -的圆M 的圆心在x 轴的非负半轴．．．．上，且圆M 截直线 20x y +-=所得弦长为(1)求圆M 的方程；(2)若过点(0,1)Q 的直线l 交圆M 于,A B 两点，求当PAB D 的面积最大时直线l 的方程. 解：(1)设圆M 的方程为：222()(0)x a y r a -+=? 则圆心M 到直线20x y +-=由题意得：222242a r r ìï+=ïïïíï+=ïïïî由题意得204a r ì=ïïíï=ïî 所以所求圆M 的方程为：224x y +=(2) 由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ 则圆心M 到直线l的距离等于，所以AB =(或由AB =AB = 又点(0,2)P -到直线l的距离等于d =，所以12PAB S AB d D ==因为20k ³，所以当0k =时，max()PAB S D =所以所求直线l 方程为：10y -=21*.(本小题12分) 已知函数1ln ()(1),2a x f x x a x=+--，其中a R Î．(1)试讨论函数()()F x xf x =的单调性；(2)若a Z Î，且函数()f x 有两个零点，求实数a 的最小值． 解：(1) 21()()(1)ln (0)2F x xf x x a x a x x ==+-->，则 (1)()()(1)a x x a F x x a x x+-¢=+--= 当0a £时，()0F x ¢>，所以函数()F x 在(0,)+?上单调递增； 当0a >时，若(0,)a ，则()0F x ¢<，若(,)a +?，则()0F x ¢> 所以函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；综上可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增；当0a >时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +?上单调递增；(2) 函数()f x 有两个零点等价于21()(1)ln (0)2F x x a x a x x =+-->有两个零点. 由(1)可知，当0a £时，，函数()F x 在(0,)+?上单调递增，()F x 最多一个零点，不符合题意。

平江县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．￢p 或qD ．p 且￢q2． 已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有⎩⎨⎧≤>=)0(||)0(log )(2x x x x x f )(x g R R x ∈；③当时，则函数在区间上零1()(2)2g x g x =+]1,1[-∈x ()g x )()(x g x f y -=]4,4[-点的个数为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.3． 设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ）A ．M=PB ．P ⊊MC ．M ⊊PD ．M ∪P=R4．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如由算得2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥①有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”； 99%②有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”；99%③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5． 已知集合，则A0或B0或3C1或D1或36． 已知直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=1交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．RB ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[2，+∞）8． 向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A ．B ．C ．D ．9． 已知向量，（），且，点在圆上，则(,2)a m = (1,)b n =- 0n >0a b ⋅= (,)P m n 225x y +=（ ）|2|a b +=A B ．C ．D ．10．数列中，，对所有的，都有，则等于（ ）{}n a 11a =2n ≥2123n a a a a n =A A 35a a +A ．B ．C ．D ．259251661163115二、填空题11．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．12．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．13．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．14．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．15．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线上xC y e ：＝一点，直线经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．20l x y c ：＋＋＝16．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数，其中，若存在唯一的整数()()21xf x ex ax a =--+1a <，使得，则的取值范围是 0x ()00f x <a 三、解答题17．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．　18．已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 2，且{b n }为递增数列，若c n =，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1．19．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3， (10)十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？20．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．21．已知数列{a n}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为S n，前n项乘积为T n，且a n+1=（a﹣1）S n+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中a=2，数列{b n}满足b n=log2，（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值．22．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE；（2）证明：MN∥平面D1DE．平江县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．2．【答案】D第Ⅱ卷（共100分）[．Com]3． 【答案】B【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x ＞1}；∴P ⊊M ．故选B ．　4． 【答案】D【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．由于，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年9.967 6.635 人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ．5． 【答案】B 【解析】，，故或，解得或或，又根据集合元素的互异性，所以或。

襄阳2025届高三上学期10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（）A.{}2,0,1,2,4- B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4 D.{}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2.设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >求出相应的a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >，即>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >”的充分不必要条件.故选：A3.已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（）A.1B.12C.1或12-D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4.已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（）A.()ln 10y x -+>B.ln0yx> C.ln 0y x +> D.ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=，故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.126个B.112个C.98个D.84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6.若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（）A.78a =B.135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.754S =D.24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF ，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B ，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a =，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知： 䁕2a =，2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率3cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8.圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞C.)∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率.()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B.若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C .若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，对于选项B ，由相互独立事件的概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10.已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)对称B.()f x 的值域为[1,2]-C.若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D.若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61ii ax=∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得3sin 2x =-，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（）A .对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B.已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C.到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M a b{}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a =(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b =(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】 【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13.已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14.数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC的面积为4，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为233y x =±，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设 ， ，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-，则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mmm-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z=1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n∴︒==11132=，解得1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x yz =，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨=+=⎪⎩ ，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18.已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点 h 处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn +++-+++->∈N .【答案】（1）0y =（2）[)1,+∞（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln xx xλ≥+，求出函数()212ln x g x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，h t ，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点 h 处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数 在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以 在 ∞上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19.已知整数4n ，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n 的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．（2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列䁕 的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列 的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。

【全国百强校】北京市第八十中学2019届高三10月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}|12,|03,A x x B x x =-<<=<<则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,32．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞）D ．（–1，+∞）3．已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()2,1OC m m =+.若AB OC ，则实数m 的值为（ ） A ．17-B ．3-C ．35D ．354．执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0，1，则输出的S ＝（ ）A ．4B ．16C ．27D ．365．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1212n n S S n n --=-≥，且23S =，则1a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．3D ．56．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A B ．C ．3D ．7．设函数()12log f x x x a =+-，则“()1,5a ∈”是“函数()f x 在()2,8上存在零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要8．某运动队对A ，B ，C ，D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是C 或D 参加比赛”，乙说：“是B 参加比赛”，丙说：“是A ，D 都未参加比赛”，丁说：“是C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是（ ） A ．A B ．B C ．C D ．D二、填空题 9．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 . 10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ．11．将函数()()ππsin 222f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0πϕϕ<<个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值为___________.12．已知ABC ∆是顶点为A 腰长为2的等腰直角三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是__________．13．已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a （a +c ），则2sin sin()A B A -的取值范围是_____. 14．设函数()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 15．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.17．在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，O ，F 分别为BE ，DE 的中点.（Ⅰ）求证：AO ⊥CD ；（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE ；（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得BP 平面AOF ？若存在，求出APPC的值；若不存在，请说明理由.18．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236nn n a a S +=，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且11322,2b a b a ==. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．已知函数()(),0xa e f x a R a x⋅=∈≠.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 20．已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围参考答案1．A 【详解】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<<故选A. 2．B 【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B. 【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ .3．B 【分析】先求出AB ，再由共线向量定理的坐标表示求出结果. 【详解】()3,4OA =-，()6,3OB =-，则()3,1AB OB OA =-=.因为AB OC ，()2,1OC m m =+，()3m 12m 0∴+-=，m 3∴=-.选B . 【点睛】向量()11,a x y =与非零向量()22,b x y =共线的充分必要条件是存在μ使得a b μ=,其坐标表示为12210x y x y -=.要注意区分两向量垂直的公式，此处容易记混淆. 4．D 【解析】 【分析】按流程图依次计算每次循环得到的A,S,k 的值，当k 4≥时退出循环即可. 【详解】0,1,14A S k ===<;011,111,234A A k S S A k k =+=+===⨯==+=<;134,144,254A A k S S A k k =+=+===⨯==+=>;459,4936A A k S S A =+=+===⨯=.k 4≥成立，结束运算.故36S =.选D .【点睛】关于算法与程序框图题目首先要弄清算法，然后只需要按照框图的流程线逐次计算，计算过程中要注意判断框的条件限制. 5．A 【解析】 【分析】先由()1212n n S S n n --=-≥求出23a =，再将2a 代入23S =求1a . 【详解】()1212n n S S n n --=-≥，则()212n a n n =-≥.2 3a ∴=. 2123S a a =+=,10a ∴=.选A . 【点睛】注意递推关系中2n ≥这个条件，避免由21n a n =-求1a 导致失误. 6．C 【解析】三视图还原图形三棱锥E BCD -，如下图：1,3CD BC BE CE DE =====,所以最长边为3DE =，选C.7．C 【解析】1(2,8),()101ln2x f x x ∈=+>' ，函数()f x 在()2,8上单调递增；()1,5a ∈时，(2)120,(8)380f a f a =-+-=-+- ，所以函数()f x 在()2,8上存在零点；若函数()f x 在()2,8上存在零点，则(2)0,(8)015f f a ⇒<< ，因此“()1,5a ∈”是“函数()f x 在()2,8上存在零点”的充要条件，选C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 8．B 【解析】 【分析】依次假设参赛运动员是A ，B ，C ，D ，判断甲、乙、丙、丁说法的正确性即可.【详解】若A 参加比赛，则甲、乙、丙、丁四位教练说话都不正确； 若B 参加比赛，则乙、丙两位教练说话正确，符合题意； 若C 参加比赛，则甲、丙、丁三位教练说话正确； 若D 参加比赛，则只有甲教练说话正确. 依题意可知B 参加比赛.选B . 【点睛】通过表格来理清关系可使复杂的逻辑推理变的直观简单化. 9．1 【解析】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦ ”是真命题，则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值 因为函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以，函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1， 所以，1m ≥ ，即实数m 的最小值为1. 所以答案应填:1.考点：1、命题；2、正切函数的性质.10．2log 5 【详解】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>2log 5最大. 11．5π6.【分析】由()f x ，()g x 的图像都经过点P ⎛ ⎝⎭可得3πθ=.() f x 平移后得到()()sin 22g x x θϕ=+-,() g x 过点P ⎛ ⎝⎭,带点即可求ϕ.【详解】由题意可得()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ⎡⎤=-+=+-⎣⎦;()f x 的图像都经过点0,2P ⎛ ⎝⎭,()()ππ sin 222f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭,则2sin θ=，πθ3=.则()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()g x 的图像都经过点P ⎛ ⎝⎭,则πsin 232ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()ππ22,33k k z ϕπ-=+∈或()π2π22,33k k z ϕπ-=+∈， 解得()k k z ϕπ=-∈，或()π6k k z ϕπ=--∈，.因为0πϕ<<，所以5π6ϕ=. 【点睛】本题考查三角函数图形变换以及三角函数求值属中档题.三角函数求值要注意函数周期性，以及一个周期内对应值的个数，本题解题很多学生会漏掉2k π，或者忽略2所对应的值有两个，导致解题失误. 12．1- 【分析】以BC 所在直线为x 轴建立坐标系，设P x y （，） ，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，得出()PA PB PC ⋅+关于x y ， 的表达式，配方即可得出结论．【详解】以BC 所在直线为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，斜边BC =，则0A B C -（），），设P x y （，），则222PB PC PO x y PA x y （，），（），+==--=-∴()2222222212PA PB PC x y x y ⋅+=+-=+-（，∴当02x y ==，时，()PA PB PC ⋅+取得最小值-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．13．（12，2） 【分析】由()2b a ac =+利用余弦定理，可得2cos c a a B -=，正弦定理边化角，再消去C ，可得()sin sin B A A -=，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界性，可得()2sin sin AB A -的取值范围．【详解】由()2b a ac =+及余弦定理可得2cos c a a B -=，正弦定理边化角，得sin sin 2sin cos C A A B -=，∵A B C π++=，∴()sin sin 2sin cos B A A A B +-=，∴()sin sin B A A -=， ∵ABC 是锐角三角形，∴B A A -=，即2B A =． ∵02B π<<，2A B ππ<+<，那么：64A ππ<<，则()2sin 1sin sin 22AA B A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪-⎝⎭，，故答案为1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 14．(1)-1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【详解】①1a =时，()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为-1； （2）①若函数()2xg x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒且112a ≤<； ②若函数()2x g x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1≥x 与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1≥x ；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥. 考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.15．（Ⅰ）（Ⅱ）2，1-． 【详解】（Ⅰ）因为()4cos sin f x x = 16x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭14cos sin cos 122x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭22cos 1cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 最小正周期为π （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤． 于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当ππ266x，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-．点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.16．(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =，14. 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =，则B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()2sin A B -=详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此22sin A sinAcosA ==212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214-⨯= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 17．（1）见解析；（2）见解析；（3）P 为AC 上靠近A 点的三等分点时，BP AOF 面；12AP PC = 【分析】（1）由等边三角形得到AO BE ⊥，再由面面垂直的性质得到AO BCDE ⊥面,继而得到AO CD ⊥.（2）由AO BCDE ⊥面得AO EC ⊥，又由菱形的性质得EC BD ⊥，由中位线性质OF BD ∥，故EC AOF ⊥面，进而得到AOF AEC ⊥面面.（3）设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N ,连接,AN PM ，当BMP AOF 面面时，BP AOF 面，即只需要AP NMPC MC=. 【详解】 （1）证明：ABE 为等边三角形, O 是BE 的中点， AO BE ∴⊥.面ABE ⊥面BCDE ，面ABE面=BCDE BEAO ABE ⊂面,AO BCDE ∴⊥面，CD BCDE ⊂面,AO CD ∴⊥.(2)连接,,EF BD EC .面ABE ⊥面BCDE ，面ABE 面=BCDE BE又由（1）有AO BE ⊥，AO ABE ⊂面,AO BCDE ∴⊥面，EC BCDE ⊂面，则AO EC ⊥.底边BCDE 是菱形, EC BD ∴⊥, 又,O F 分别是,BE DE 的中点，OFBD ∴,EC OF ∴⊥.又,OF AO 是平面AOF 内的两条相交直线，EC AOF ∴⊥面. 又EC ACE ⊂面，AOF AEC ∴⊥面面.（3）当P 为AC 上靠近A 点的三等分点时，BP AOF 平面. 证明如下：设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N ,连接,AN PM ,底边BCDE 是菱形,,O F 分别是,BE DE 的中点, 12NM MC ∴=. 又P 为AC 上靠近A 点的三等分点，12AP NM PC MC ∴==.PM AN ∴. ,AN AOF PM AOF PM AOF ⊂⊄∴面，面面.,,BD OF OF AOF BD AOF BD AOF ⊂⊄∴面，面面.即BM AOF 面又BM PM M ⋂=,BMP AOF ∴面面,,BP BMP BP AOF ⊂∴面面.∴侧棱AC 上存在P ，使得BP AOF 面，且12AP PC ∴=. 【点睛】证明垂直和平行问题常常涉及到线线，线面，面面相互之间的转化，故熟练掌握线面、面面垂直与平行的判断和性质是本题解题的关键.空间几何中的存在性问题一般先假设写出结论，再加以证明.18．(1)3n a n =，13n b +=.（2）))1?811n T =-.【分析】（1）由递推关系化简变形得13n n a a --=，即数列{}n a 是公差为3的等差数列，根据等差数列的通项公式求n a ，进而可求13b b ，，根据等比数列公式求得公比，进而求n b . 【详解】（1）由236n n n a a S +=,有2111 36n n n a a S ---+=，则()221113366n n n n n n a a a a S S ---+-+=-,化简得221133n n n n a a a a ---=+.故13n n a a --=.则数列{}n a 是公差为3的等差数列.当1n =时，211136a a S +=，则2113a a =.数列{}n a 各项均为正数，13a ∴=.()3313n a n n ∴=+-=.113226,212b a b a ====,设数列{}n b 的公比为(0)q q >，则由213b q b =可得q =1163n b -+∴==.(2)113339n n b n c a b ++===⨯=.))12181 1811n n T c c c ⨯=+++==-.【点睛】本题考查了等差数列等比数列通项公式以及等比数列的前 n 项和,应用1n n n a S S -=-处理本题递推关系的236n n n a a S +=将其转化为13n n a a --=是本题解题的关键步骤.19．（1）y e =.（2）0a >时，()f x 的单调增区间为()1+∞，；单调减区间为()0，-∞和()01，； 0a <时，()f x 的单调增区间为()0，-∞和()01，；单调减区间为()1+∞，. （3）1a e≥. 【解析】 【分析】（1）求出函数()f x 的导函数()f x '，代入1a =，求得(1)f '，再求(1)f ，利用直线方程的点斜式求解即可.（2）求出()f x '，通过讨论a 的取值，分别求出()0f x '>，()0f x '<所对应的区间即为函数的单调区间.（3）当()0,x ∈+∞时()1f x ≥恒成立等价于x xa e ≥在()0,x ∈+∞恒成立，令()xx g x e =，由导数求出函数()g x 的最大值，即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）()(),0x a e f x a R a x ⋅=∈≠，得22(1)()=(0)x x x ax e ae ae x f x x x x ⋅--=≠'. 当=1a 时，2(1)()=x e x f x x '-，12(11)(1)==01e f -'∴，即函数()f x 在1x =处的切线斜率为0.又()1f e =,故曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的方程为y e =.(2)()()() ,,00,xa e f x x x ⋅=∈-∞⋃+∞.22(1)()=x x x ax e ae ae x f x x x⋅--=', ①若0a >，由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得1x <，又()(),00,x ∈-∞⋃+∞，所以()f x 在()1+∞，上单调递增，在()0，-∞和()01，上单调递减.②若0a <，由()0f x '>得1x <；由()0f x '<得1x >，又()(),00,x ∈-∞⋃+∞，所以()f x 在()0，-∞和()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减. 综上所述，0a >时，()f x 的单调增区间为()1+∞，；单调减区间为()0，-∞和()01，. 0a <时，()f x 的单调增区间为()0，-∞和()01，；单调减区间为()1+∞，. （3）()0,x ∈+∞时，()1xae f x x=≥恒成立,即x x a e ≥在()0,x ∈+∞恒成立.令()xx g x e =，则1()x xg x e -'=. 则01x <<时，()0g x '>；1x >，()0g x '<.()g x ∴在()0,1上单调递减，在1+，上单调递增，则max 1()(1)g x g e==. 1a e∴≥. 【点睛】本题考查函数与导数综合运用.（1）利用导数研究曲线上一点处的切线方程；考查了导数的几何意义的应用.（2）利用导函数研究函数的单调性：()0f x '>，则函数单调递增；()0f x '<，则函数单调递减.（3）通过参变分离构造函数，利用导数处理恒成立中求参数问题，其中参变分离后将恒成立问题转化为函数的最值问题，是此问解题的关键步骤. 20．（Ⅰ）当12a ≤时，()(0)1g x g b ≥=-；当122ea <≤时，()22ln(2)g x a a ab ≥--； 当2ea >时，()2g x e a b ≥--.（Ⅱ）a 的范围为(0,1). 【解析】试题分析：（Ⅰ）易得()2,()2xxg x e ax b g x e a -='=--，再对分a 情况确定()g x 的单调区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.（Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联系到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当12a ≤及2ea ≥时，()g x 在(0,1)内都不可能有两个零点.所以122ea <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20gb g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围.试题解答：（Ⅰ）()2,()2xxg x e ax b g x e a -='=-- ①当0a ≤时，()20x g x e a -'=>，所以()(0)1g x g b ≥=-. ②当0a >时，由()20x g x e a -'=>得2,ln(2)x e a x a >>.若12a >，则ln(2)0a >；若2ea >，则ln(2)1a >. 所以当102a <≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x gb ≥=-.当122ea <≤时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a ab ≥=--.当2ea >时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. （Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负. 故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x . 同理()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x . 所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）知，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2ea ≥时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以122e a <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增， 因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->.解得21e a -<<.当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a . 若(ln(2))0g a ≥，则()0([0,1])g x x ≥∈，从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <. 又(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->，故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x .由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增. 所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=， 故()f x 在1(,x 2)x 内有零点.e . 综上可知，a的取值范围是(2,1)【考点定位】导数的应用及函数的零点.。

2019—2020学年度上学期10月月考高三数学（文）试题第一部分选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）????31，，A?2?2，Nn?2nB?，xx?，则（ 1．若集合，） ??????22?2，?2? D． BA．． C．i?1等于（） 2.复数i?393139313i?i?i?i? C． D B．A．．1010101010101010????????=（，则a）?10,a??bb3.设向量a?，，满足ba6?bA．1 B．2 C．3 D．54．下列说法错误的是（）x?2x?2220?5x6x?6?0x?x??5””的逆否命题是“若A．“若，则，则x?32?5x?6?0x”的充分不必要条件”是“．“ B2x?5x?6?0R?x?R??x20?5x?6?x””的否定是“，C．“，000△ABCsinA?cosB”为真命题中，．命题：“在锐角Da0??21)a?x?ayx?2ay?5?0,l:(3:l3l//l的值为（，若），则5．已知直线212111??060或B、、 DC、、A6664，则＝a＝10，aaa，若记单调递增的等比数列6.{a}的前n项和为Sa＋4422nn31n－n＋1nn1 ＝－1 D.S2－2－S＝2 B.aA.S＝ C.S＝2nnn＋1nn)?1f)?sin2x,((tanfx）的值为 7.若则（11?2?sin1 D B．A．． C．2??xflnx?x( )的图像可能是8.函数- 1 -A B C D3ππ5 ???2)3cos(π?,x)(0?)?f(x)?cos((x ?)?，则要得的图象过点9．已知函数322?x2sin)y ?f(x 的图象，只需将函数到函数的图象（ ）π2π2 个单位长度A ．向左平移 B ．向右平移个单位长度 33ππ 个单位长度D ．向右平移个单位长度 C ．向左平移 33222rr5)??(x ?3)?(y yx ，则半径上有且只有两个点到直线4的距离等于－3110. 若圆=2 ）的范围是（6］，6） D.［4，（A.（4，6］ B.［4，6） C.4是一个正三角形，若平面的正方形，△PADP －ABCD 中，底面ABCD 是边长为411.在四棱锥 ABCD ，则该四棱锥的外接球的表面积为PAD ⊥平面????561428112 A ．． B ． C ． D3333)f'(x x )(xf e(x)?f(x)?2ef'(R 为满足上的函数，其中．定义在12为自然对数的底数）)xf(??xxf 2xe ?ef(2)?4 ，则）的解集为（的导函数，若2??????????2,,2??,1????1, C ． B ． DA ．．90第二部分 非选择题（共分） .请将正确填在答题卡的横线上.）20 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共分2??yx ??2y ?x ? . 的取值范围为，则目标函数z ＝x13．己知，y 满足约束条件x －3y ??0x ??BCCCAABCDBDAED 所成角的余弦值为中，14.已知正方体-E 的中点，则异面直线与111111.为- 2 -y 22)yP(x,0??124x ?6yx ?y ?的最大值 . 已知圆：，点为圆上任意一点，则15.x216.己知关于x 的不等式ax －(a ＋1)x<－a ＋13x 在区间[2，3]上恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)22－cb)ab ＝b ，c ，已知(a －， 17．（10分）△ABC 的内角A ，BC 的对边分别是a ，（1）求角C ；?)?bsinCccos(A ??04，a ＝1（2）若，求△ABC 的面积。

贵州省贵阳市第一中学2019届高三数学10月月考试题文（扫描版）贵阳第一中学2019届高考适应性月考卷（二）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由已知{|11}B x x =-<≤，则(01)A B =，，故选A ．2．2i 2i(1i)i 11i 2z ---===--+，所以1i z =-+，故选A ． 3．十年中，我国每年的GDP 逐年递增，A 和B 明显错误；C 显然正确；与上一年相比年增量的增加幅度最大的应该是2010年，D 错，故选C ． 4．化抛物线的方程为标准形式214x y =，所以11248p p =⇒=，由||32MpM F y =+=，得M y = 473216p -=，故选D ． 5．选项A ：是命题的否定，不是否命题；选项B ：因为sin x 最多只能取到1，所以函数sin y x =2sin x+的最小值取不到C ：利用逆否命题可判断原命题是真命题；选项D ：0a b +=是1ab=-的必要不充分条件，不是充要条件，故选C ． 6．由已知得π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故它的周期是π，图象关于直线π3x =对称，不关于点π06⎛⎫⎪⎝⎭，对称，在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减，故选B ．7．当S 累加到299就要将其输出，所以i 最多只能取到99，当其再加一个2，变成101时，判断框就要走“是”这条路，故选B ．8．若m n ∥，n α⊂，则m α∥或m α⊂，所以A 不正确；若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥或m 与n 异面，所以B 不正确；由面面平行的性质定理知C 是正确的；若m α⊂，n β⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥或α与β相交，所以D 不正确，故选C ．9．由已知得230m ma a -=，解得3m a =或0m a =（舍去），又12121(21)()2m m m a a S ---+==(21)m a -，即(21)3(21)57m a m -=-=，解得10m =，故选C ．10．由|3|=||a b a b ++，可得(2)0a b b +=，则2220(00)m n m n +++=>>，，即24m n+-1=，所以111123344244m n n m m n m n m n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤故选D ．11．双曲线C 的渐近线方程为a y x b =±，设ay x b=的倾斜角为θ，则tan tan(π2)MON θ∠=-=3tan 24θ-=，即3tan 24θ=-，22tan 31tan 4θθ=--∴，解得tan 3θ=或1tan 3θ=-（舍去）， 3a b =∴，e ∴，故选B ． 12．由(2)()f x f x +=-，可知(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以4是()y f x =的一个周期，由(4)()f x f x -=，可知2x =是()y f x =的一条对称轴，而且由()(4)()f x f x f x -=-=，可得()y f x =是一个偶函数，而πcos2xy =也是一个以4为周期的偶函数．将()y f x =与πcos2xy =的图象画在同一个平面直角坐标系中，如图1，在一个周期内，只有当111122x ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，时，函数()y f x =与函数πcos 2x y =的函数值同为正，其他范围均为一正一负，所以当11144414()22x k k k k k ⎛⎫⎛⎫∈-+-+++∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，时，π()cos 02x f x >，故选B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．不等式组表示的可行域如图2中阴影部分所示，将目标函数 25z x y =+-化为25y x z =-++，作出直线图12y x =-，并平移该直线知，当直线25y x z =-++经过点(63)A --，时，z 有最小值，且min 2(6)35z =⨯--- 20.=-14．将圆222210x y x y ++++=化成标准形式得22(1)(1)1x y +++=，圆心为(11)C --，，半径为1r =，所以min 11d d r =-=-=．15．先找到正方形ABCD 的外心1O 和等边PAD △的外心2O ，然后过1O 作底面ABCD 的垂线，过2O 作侧面PAD 的垂线，两条垂线的交点即为球心O （如图3），12OO O E ==1132PE O B ==故球的半径R ==故球的表面积为24π21π.R =16．e 0e ()||e 0xx x x x f x x x x⎧>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩，，，，当0x >时，2e (1)()x xf x x -'=，令()01f x x '=⇒=，故()f x 在(01)，上递减，在(1)+∞，上递增；当0x <时，2e (1)()0x x f x x -'=->恒成立，故()f x 在(0)-∞，上递增．()f x 的大致图象如图4所示，方程()50()a f xa a ++=∈R 有3个相异的实数根等价于函数()y f x =与函数5a y a +=-的图象有3个不同的交点，所以5e a a +->，即50e 1a -<<+． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）因为0=，m n 所以22(sin sin )(sin sin sin )0B C A B C +-+=，所以22()0b c a bc +--=，即222b c a bc +-=-，………………………………………（3分）图3图4故2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-， 又(0π)A ∈，，所以2π3A =．……………………………………………………………（6分）（2）由（1）及a =223b c bc +=-， …………………………………………（9分）又222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号），故32bc bc -≥，即1bc ≤，故112πsin 1sin 223ABC S bc A =⨯⨯△≤．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由24︰24︰12 = 2︰2︰1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为1212a a b b c ，，，，，…………………………………………………………（1分）则从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为121()a a b ，，，122()a a b ，，，12(a a ，，)c ，112()a b b ，，，11()a b c ，，，12()a b c ，，，212()a b b ，，，21()a b c ，，，22()a b c ，，，12()b bc ，，共10种，…………………………………………………………………………………（4分）设事件A 表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A 有11()a b c ，，，12()a b c ，，，21()a b c ，，，22()a b c ，，共4种，故42()105P A ==． …………………………………………………………………………………………（6分）（2）由题中表格得230.155 2.25545x y xy x ====，，，，且由参考数据：512.76i i i x y ==∑，52155ii x==∑，………………………………………………………………………………（8分）所以 2.76 2.250.0510.150.05130.0035545b a -===-⨯=--，， …………………………（10分）得到线性回归方程为0.0510.003y x =-．……………………………………………（11分）当6x =时，代入得0.05160.0030.303y =⨯-=，所以六年级学生的近视眼率大概在0.303左右． ……………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：∵底面ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD底面ABCD AD =，CD ⊂底面ABCD ，∴CD ⊥侧面PAD ，而AP ⊂侧面PAD ，∴CD AP ⊥，………………………………（3分）在PAD △中，sin sin 1AD PADAPD PD∠∠==，∴90APD ∠=︒，即.AP PD ⊥……………………………………………………………（5分）又PD CD PCD PD CD D ⊂=，平面，，∴AP PCD ⊥平面．………………………………………………………………………（6分）（2）解：根据等体积法：A PCD B PCD C PBD V V V ---=== 且由（1）可知：CD PD ⊥，AP PCD ⊥平面，则11232CD ⨯⨯⨯⨯=解得4CD =．在Rt PCD △中，PC == ………………………………………………（9分）设点B 到平面PAC 的距离为d ，则B PAC P ABC P BCD C PBD V V V V ----====则1132d ⨯⨯=，解得d =．………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意得2221212c a c b a b c ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，，………………………………………………………（2分）解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，，……………………………………………………………………………（5分）所以椭圆C 的方程为2212y x +=．………………………………………………………（6分）（2）由题意，设直线AB 的方程为y kx m =+， 则222221(2)220.2y x k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， 由222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+->，得222m k -<，①………………………………（8分）设11()A x y ，，22()B x y ，，线段AB 的中点为00()M x y ，，则12222kmx x k +=-+，212222m x x k -=+，00022222km m x y kx m k k =-=+=++∴，，即22222kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，．…………………（10分）将22222km m M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，代入12x ky +=，得222k m k k +=≠，0，② 由①②，得223k >，∴k <或k >…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）当1a =时，()e x f x x =+，则()e 1x f x '=+，(0)2k f '==，…………………………………………………………（4分）所以切线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=．……………………………………（6分）（2）解法1：由()e 0x f x a '=+=，得ln()x a =-．①当[10)a ∈-，时，()e 10(0)x f x a a x '=++≥≥≥，此时()f x 在[0)+∞，上递增， 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．………………………………………………………（8分）②当(1)a ∈-∞-，时，ln()0a ->；当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln())ln()f x f a a a a -=-+-≥，依题意，ln()0a a a -+->，又1a <-，∴e 1a -<<-，综合①②，得实数a 的取值范围是e 0a -<<．………………………………………（12分）解法2：分离参数法当0x =时，10>恒成立；当0x >时，e 0xax +>恒成立等价于e xa x >-恒成立．………………………………（7分）设e ()(0)x g x x x =->，则2e(1)()x x g x x --'=，…………………………………………（8分） 令2e (1)()001x x g x x x --'=>⇒<<，令2e (1)()01x x g x x x --'=<⇒>， ………………………………………………………………………………………（10分）所以函数()g x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，max ()(1)e g x g ==-，………………………………………………………………………………………（11分）所以e a >-，又0a <，于是a 的取值范围是e 0a -<<．…………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线1C 表示过点(02)，且倾斜角为α的一条直线，由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．………………………………………（4分）（2）将1C 的参数方程代入2C的直角坐标方程得2π404t t α⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，（※） 由2π32sin 1604α⎛⎫∆=--> ⎪⎝⎭，得πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ππ2α<<． ………………………………………………………………………………………（6分）设方程（※）的两根为t 1和t 2，则1212π0404t t t t α⎛⎫+=--<=> ⎪⎝⎭，，所以1200t t <<，， 所以12121211π2sin 1||41||MP M t t t t Q t t α++⎛⎫=+=-=- ⎪--⎝⎭，……………………………（8分）又ππ2α<<π(14α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 即11||||MP MQ +的取值范围为(1．………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当4a =时，不等式为1|||2|2x x --≥， 当0x ≤时，不等式为11(2)222x x -+-⇒-≥≥，无解； 当02x <<时，不等式为15(2)24x x x +-⇒≥≥，所以524x <≤；当2x≥时，不等式为11(2)222x x--⇒≥≥，不等式恒成立，综上，不等式的解集为54⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．……………………………………………………（4分）（2）因为|||((|x x x x--=≤，所以当x()f x，依题意有对任意的[04]a∈，，m>maxm>，又244[(4)]8a a=+++-=当且仅当4a a-=，即2a=所以m的取值范围是)+∞．……………………………………………………（10分）。

合肥2025届高三10月段考试卷数学（答案在最后）考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{A x x =<，1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．{x x <B ．{x x <C ．{0x x <<D ．{0x x <<2．设a ，b 均为单位向量，则“55a b a b -=+”是“a b ⊥ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（）A ．2B ．－2C ．－1D ．124．已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列不等式中成立的是（）A ．11a b b a+>+B ．22a b aa b b+<+C ．a b b c a c<--D ．ac bc>5．已知a ∈R ，2sin cos 2αα+=，则tan 2α=（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设0.1e1a =-，111b =，ln1.1c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<8．定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11ex f x +>的解集是（）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()3cos 3,sin 3P ，()1,0Q ，则（）A ．12OP OP = B ．12QP QP =C ．312OQ OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OQ OP OP OP ⋅=⋅ 10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是（）A ．当1a =时，函数()f x 无极值点B ．函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称C ．过点()0,2的切线有两条D ．当a <－3时，函数()f x 有3个零点11．已知()2sin 2f x x =+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x α=+成立，则下列选项中，α可能的值是（）A ．3π4B ．4π7C ．6π7D ．8π7三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数1+与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA与OB夹角为______．13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、[]0,1c ∈，则M =+______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0a C C b c --=．（1）求角A ；（2）已知8b =，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC △存在，并求出ABC △的面积．条件①：2cos 3B =-；条件②：7a =；条件③：AC ．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/3m ，年用气量为3m a ．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3m 至2.75元/3m 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/3m ，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/3m ．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/3m ）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设0.2k a =，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数()824x x xa f x a +⋅=⋅（a 为常数，且0a ≠，a ∈R ），且()f x 是奇函数．（1）求a 的值；（2）若[]1,2x ∀∈，都有()()20f x mf x -≥成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数()()2ln f x x x =-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在()()22e ,ef 处切线方程；（3）若()f x m =有两解1x ，2x ，且12x x <，求证：2122e e x x <+<．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅，都是正数，求证：12n a a a n++⋅⋅⋅+≥；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】131ln 0e 3x x <⇒<<，∵23e 2<，∴661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“55a b a b -=+ ”，∴平方得222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅，即200a b ⋅= ，则0a b ⋅= ，即a b ⊥，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为111n n a a +=-，11a =-，所以212a =，32a =，41a =-，所以数列{}n a 的周期为3，所以101a =-．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为0a b <<，所以11a b >，所以11a b b a+<+，故A 错误；对于B ，因为0a b <<，所以()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++，故B 正确；对于C ，当2a =-，1b =-，1c =时，13b a c =-，1a b c =-，b aa cb c<--，故C 错误；对于D ，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】102sin cos 2αα+=，则()252sin cos 2αα+=，即2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，可得224tan 4tan 15tan 12ααα++=+，解得tan 3α=-或13．那么22tan 3tan 21tan 4ααα==-．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯．若S 取最小值，则函数()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小值，由二次函数的性质，可得函数()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =，又∵x 为正整数，故5x =或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数()1ln f x x x =+，0x >，则()211f x x x'=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在1x =处取最小值()11f =，∴1ln 1x x>-，（0x >且1x ≠），∴101ln1.111111>-=，∴c b >；构造函数()1e 1ln x g x x -=--，1x >，()11ex g x x-'=-，∵1x >，1e1x ->，11x<，∴()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增，∴()()10g x g >=，∴ 1.11e 1ln1.1-->，即0.1e 1ln1.1->，∴a c >．故选A ．8．【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x '+>，令()()e x g x f x =，()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，()g x 在R 上单调递增．又因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，所以()f x 的周期为3，()12024e f =，则()12ef =，所以()212e e e g =⨯=，则不等式()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>，因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，即1x >．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC【解析】∵()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()()()3cos 12,sin 12P ++，()1,0Q ，∴()1cos1,sin1OP = ，()2cos 2,sin 2OP =- ，()()()3cos 12,sin 12OP =++ ，()1,0OQ = ，()1cos11,sin1QP =- ，()2cos 21,sin 2QP =-- ，易知121OP OP == ，故A 正确；∵1QP = ，2QP = 12QP QP ≠ ，故B 错误；()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- ，12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=-，∴312OQ OP OP OP ⋅=⋅ ，故C 正确；1cos1OQ OP ⋅= ，23cos 2cos 3sin 2sin 3cos 5cos1OP OP ⋅=-=≠，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：1a =，()32f x x x =++，()2310f x x '=+>，()f x 单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为()()4f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称，故B 正确；对于C ：设切点()()1,x f x ，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，因为过点()0,2，所以()()()112f x f x x '-=-，331111223x ax x ax ---=--，解得10x =，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：()23f x x a '=+，当3a <-时，()0f x '=，x =，当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 有极大值为20f ⎛=> ⎝，所以若函数()f x 有3个零点，()f x有极小值为20f =<，得到3a <-，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1sin 0,1x ∈，∴()[]12,4f x ∈，∵对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得()()123f x f x a =+成立，∴()2min 23f x α+≤，()2max 43f x α+≥，∴()2sin 2f x x =+，∴()2min 2sin 3x α+≤-，()2max 1sin 3x α+≥-，sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．当3π4α=时，23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 3π1sin sin043x α+=>>-，()2min 5π2sin sin42x α+==-23<-，故A 正确，当4π7α=时，24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-，故B 错误，当6π7α=时，26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 6π1sin sin073x α+=>>-，()2min 19πsin sin14x α+=<4π2sin 323=-<-，故C 正确，当8π7α=时，28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=-．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】π6【解析】由题知(OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB⋅==⋅，∴π6AOB ∠=．故本题答案为π6．13．【答案】(],2-∞【解析】当0m ≤时，函数2x y m m =-+的图象是由2xy =向上平移m 个单位后，再向下平移m 个单位，函数图象还是2xy =的图象，满足题意，当02m <≤时，函数2x y m m =-+图象是由2xy =向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知02m <≤满足题意，2m >时不合题意．故本题答案为(],2-∞．14．23【解析】不妨设01a b c ≤≤≤≤，则3M b a c b c a =---，()622b a c b a c b c a --≤-+-=-∴32323M b a c b c a c a =----+，当且仅当b a c b -=-，0a =，1c =，即0a =，12b =，1c =时，等号成立．23+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为cos 3sin 0a C a C b c +--=，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin 0A C A C B C +--=．即：()sin cos 3sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，()3sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>3cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ66A -=，得π3A =；（2）选条件②：7a =．在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅．整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =．当3c =时，ABC △的面积为：1sin 632ABC S bc A ==△，当c=5时，ABC △的面积为：1sin 1032ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC边中点为M，连接BM，则BM=，4AM=，在ABM△中，由余弦定理得2222cosBM AB AM AB AM A=+-⋅⋅，即2π21168cos3AB AB=+-⋅．整理得2450AB AB--=，解得5AB=或1AB=-（舍）．所以ABC△的面积为1sin2ABCS AB AC A=⋅⋅=△．16．【解析】（1）()2.32.4ky a xx⎛⎫=+-⎪-⎝⎭，[]2.55,2.75x∈；（2）由题意可知要同时满足以下条件：()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x axx⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩，∴2.6 2.75x≤≤，即单价最低定为2.6元/3m．17．【解析】（1）()1122xxf xa=⨯+，因为()f x是奇函数，所以()()f x f x-=-，所以11112222x xx xa a⎛⎫⨯+=-⨯+⎪⎝⎭，所以111202xxa⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以110a+=，1a=-；（2）因为()122xxf x=-，[]1,2x∈，所以22112222x xx xm⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，所以122xxm≥+，[]1,2x∈，令2xt=，[]1,2x∈，[]2,4t∈，由于1y tt=+在[]2,4单调递增，所以117444m≥+=．18．【解析】（1）()f x的定义域为()0,+∞，()1lnf x x'=-，当()0f x'=时，ex=，当()0,ex∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在区间()0,e 内为增函数，在区间()e,+∞为减函数；（2）()2e 0f =，()22e 1ln e 1f '=-=-，所以()()22e ,ef 处切线方程为：()()201e y x -=--，即2e 0x y +-=；（3）先证122e x x +>，由（1）可知：2120e e x x <<<<，要证12212e 2e x x x x +>⇔>-，也就是要证：()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-，令()()()2e g x f x f x =--，()0,e x ∈，则()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=，所以()g x 在区间()0,e 内单调递增，()()e 0g x g <=，即122e x x +>，再证212e x x +<，由（2）可知曲线()f x 在点()2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-，令()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--，()2ln m x x '=-，∴()m x 在e x =处取得极大值为0，故当()0,e x ∈时，()()f x x ϕ<，()()12m f x f x ==，则()()2222e m f x x x ϕ=<=-，即22e m x +<，又10e x <<，()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->，∴2122e x x m x +<+<．19．【解析】（1）将20分成正整数1,,n x x ⋅⋅⋅之和，即120n x x =+⋅⋅⋅+，假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大．若11x =，则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+，其和不变，乘积由122x x x =增加到21x +，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故2i x ≥，同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅．将每个大于2的22i i x x =+-拆成2，2i x -之和，和不变，乘积()224i i i x x x -≤⇒≤．故所有的i x 只能取2，3，4之一，而42222=⨯=+，所以将i x 取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是202333333=++++++，最大乘积为6321458⨯=；（2）①证明：先证：1ex x -≥．令()1e x f x x -=-，则()1e 1x f x -'=-，()10f '=，且()()10f x f ≥=，1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅，1111⋅⋅⋅⋅⋅≥，1n ≥0n ≥，∴12n a a a n++⋅⋅⋅+≥②让n 固定，设n 个正实数1,,n x x ⋅⋅⋅之和为20，120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=，1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，要是20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭最大即可，令()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中*t ∈N ，()20ln ln e g t t '=-，∴7t ≤时，()g t 单调递增，8t ≥时，()g t 单调递减，而()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>，所以这些正实数乘积的最大值为7207⎛⎫⎪⎝⎭．。

辽宁省实验中学分校2016—2017学年度上学期阶段性测试数学学科（文科） 高三年级 命题人：谭健 校对人：刘敬第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．如果{|6}U x N x =∈<，{1,2,3}A =，{2,4,5}B =，那么=)()(B C A C U U Y （ ） （A ）{}5,4,3,1,0 （B ） {1,3,4,5} （C ）{1,2,3,4,5} （D ）{0} 2．在复平面内，复数21ii-+（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） （A ） 第四象限 （B ） 第三象限 （C ）第二象限 （D ） 第一象限 3．“sin cos αα=”是“2,()4k k Z παπ=+∈”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要4．已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为（ ） （A ）30o（B ）ο45 （C ）ο60 （D ）ο905．下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（ ）（A ）. xy -=11 （B ）x y cos = （C ）()1ln +=x y （D ）xy -=2 6．命题“0x ∀>，01xx >-”的否定是（ ）（A ）0,01xx x ∃<≤- （B ）0,01x x ∃>≤≤（C ）0,01xx x ∀>≤- （D ）0,01x x ∀<≤≤7．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)16259.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为（ ）（A ）6（B ）3（C ）7（D ）810．已知函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则=)6(f （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）211．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）81112．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23] （D ）[13，23）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届湖南省长沙市第一中学高三第四次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2,4B =，则A B ⋂=（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}0,1,2,4【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法求得集合A ，再利用交集的定义和不等式的性质求解. 【详解】Q 集合{}{}2|4|22A x x x x =<=-<<， {}0,1,2,4B ={}01A B ∴⋂=，.故选A. 【点睛】本题主要考查交集运算和一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用.2．已知()5,3AB =-u u u v ，()1,3C -，2CD AB =u u u v u u u v，则点D 的坐标是（ ）A ．()11,3-B ．()9,3-C ．()9,3D ．()4,0【答案】B【解析】设点D(x,y)，根据向量的坐标运算得到CD u u u v =（x+1,y-3），2AB u u u v=（10，-6），根据向量相等的概念得到x=9,y=-3，进而得到结果. 【详解】设点D(x,y)，所以CD u u u v =（x+1,y-3），2AB u u u v=（10，-6），所以11036x y +=⎧⎨-=-⎩，解之得x=9,y=-3.所以点D 的坐标为（9，-3）.故答案为：B 【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算，解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

3．已知复数z ，则“34i z =+”是“5z =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据充分性和必要性定义，判断两边能否推出，即可求解. 【详解】若复数34z i =+，则5z ==，但满足5z =不一定得到34z i =+ 即“34i z =+”是“5z =”的充分非必要条件 故选：A 【点睛】判断充分必要条件的方法，当条件能推出结论时为充分性，当结论推出条件时为必要性，本题属于基础题.4．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，7550S S +=-，33a =-，则7S =（ ） A ．25- B ．45-C ．35-D ．40- 【答案】C【解析】根据等差数列公式联立方程组计算得到答案. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，列方程组1112315023a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得11,2,a d =⎧⎨=-⎩，故735S =-.故选：C . 【点睛】本题考查了等差数列公式，意在考查学生的计算能力.5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】B【解析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15【答案】A【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案 详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟 ∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -=＝ ． 故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键7． 将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称 B ．在π(0,)4上单调递增，为奇函数C ．在3ππ(,)88-上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点3π(,0)8对称 【答案】B【解析】依题意，得g (x )＝cos ＝cos ＝sin 2x ，故函数g (x )图象的对称轴为x ＝＋(k ∈Z)，故A 错误；因为g (－x )＝－sin 2x ＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数，函数g (x )在上单调递减，在上单调递增，故B 正确，C 错误；因为g＝sin π＝≠0，故D 错误．综上所述，故选B.8．已知函数()()()2221,()log 11,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()3f a =-，则()5f a -=（ ）A ．14-B ．34-C ．54-D ．74-【答案】D【解析】考虑1a ≤和1a >两种情况，解得7a =，代入函数计算得到答案 【详解】()3f a =-，①1,223,a a ≤⎧⎨-=-⎩无解；②()21,log 13,a a >⎧⎨-+=-⎩，解得7a =，故7a =.则()()2752224f a f --=-=-=-.故选：D . 【点睛】本题考查了分段函数的求值，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.9．已知圆1O e ：220x y ax +-=（0a >）截直线0x y -=所得线段的长度是22则圆1O e 与圆2O e ：()()22421x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相离C ．外切D ．相交【答案】D【解析】变换得到()22224aa x y -+=，根据弦长公式解得4a =，再判断两圆的位置关系得到答案. 【详解】圆的标准方程为1O e ：()22224aa x y -+=（0a >），圆心到直线0x y -=的距离()222242aa =-，得4a =，1O e 与2O e 圆心距为22，且212221-<<+，即两个圆相交.故选：D . 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，意在考查学生对于圆相关知识的掌握.10．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10，那么判断框应该填入的判断可以是A ．55?s > B．55?s ≥ C ．45?s > D ．45?s ≥【答案】D【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s 的值并输出相应的变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得当k ＝10，s ＝1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45 由题意，此时应该满足判断框内的条件，输出k 的值为10． 可得判断框内应该填入的判断可以是s ≥45？ 故选：D ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．323π B ．36πC ．323D ．18π【答案】B【解析】根据三视图还原直观图，三棱锥的外接球即为长方体ABCD EFGP -的外接球，计算半径得到答案. 【详解】在棱长为4的正方体中画得该三棱锥P ABC -的直观图如下：P 为正方体棱长的中点，该三棱锥的外接球即为长方体ABCD EFGP -的外接球， 其球心为棱BP 的中点，其直径为2224426++=，则体积为343363ππ⋅=. 故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，画出直观图是解题的关键.12．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且()()185f f -+-=-，则a =（ ）A ．1B ．4C ．1-D ．4-【答案】C【解析】设()y f x =上任意一点(),P x y ，则(),P y x '--在2x ay +=，得到()()2log f x a x =--，代入数据计算得到答案.【详解】设()y f x =上任意一点(),P x y ，则(),P y x '--在2x ay +=图象上，即2y a x -+=-，()2log y a x ∴=--，即()()2log f x a x =--，()()185f f -+-=-Q ，得22log 1log 85a a -+-=-，235a ∴-=-，1a ∴=-. 故选：C .【点睛】本题考查了函数关于直线对称问题，意在考查学生的计算能力.二、填空题13．若数列{}n a 满足120n n a a +-=（n *∈N ），38a =，则{}n a 的前5项和等于______. 【答案】62【解析】确定数列{}n a 为等比数列，根据公式计算得到答案. 【详解】因为120n n a a +-=（n *∈N ），380a =≠，故0n a ≠，所以12n na a +=，故{}n a 为等比数列，12,2a q ==，所以前5项和为()52216221-=-.故答案为：62. 【点睛】本题考查了等比数列公式，意在考查学生的计算能力.14．已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________． 【答案】2 【解析】【详解】 作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2）， 验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z ＝2x +y 过点A （1，0）时，z 最大是2， 故答案为2．点睛：线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 15．函数()ln xf x x=的图象与直线y ax =相切，则a =______. 【答案】12e【解析】求导得到()21ln xf x x-'=，设切点()00,x y ，根据切线公式计算得到答案. 【详解】()21ln xf x x -'=，设切点为()00,x y ，则得到方程组0200001ln ,ln ,x a x x ax x -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 先消去a ，求得120e x =，再代入方程得12ea =. 故答案为：12e. 【点睛】本题考查了函数的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.16．设过抛物线22y px =（0p >）上任意一点P （异于原点O ）的直线与抛物线216y px =（0p >）交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线216y px =（0p >）的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆=______.【答案】7 【解析】计算得到1ABQ QABO P S y S y ∆∆=-，设211,2y P y p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线OP ：12p y x y =，联立方程得到18Q y y =，计算得到答案. 【详解】 根据题意知：1ABQ Q P Q ABO P PS y y y PQ S OP y y ∆∆-===-， 设211,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线OP ：1212yy x y p =，即12p y x y =，与216y px =联立，可求得18Q y y =，从而得到面积比为11817y y -=. 故答案为：7. 【点睛】本题考查了抛物线的面积问题，转化1ABQ Q ABOPS y S y ∆∆=-是解题的关键.三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2cos cos b b C c B -=，1cos 4A =. （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）若4c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）8（Ⅱ【解析】（Ⅰ）计算sin A sin sin 2A B =，得到答案. （Ⅱ）利用余弦定理得到2b =，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】（Ⅰ）因为A 为三角形ABC 的内角，由1cos 4A =得sin A =由2cos cos b b C c B -=边化角，得()2sin sin cos sin cos sin sin B B C C B B C A =⋅+⋅=+=，得sin sin 28A B ==. （Ⅱ）2a b =，1cos 4A =以及4c =，根据余弦定理可得：221162444b b b +-⋅⋅⋅=，即232160b b +-=，解得2b =.1115sin 2415224ABC S bc A ∆∴==⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于解三角形知识的综合应用.18．某高校进行自主招生测试，报考学生有500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组：[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；（Ⅱ）若规定分数不小于110分的学生为“优秀生”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“优秀生与性别有关”？ 优秀生 非优秀生 合计 男生 女生 合计参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.参考数据：【答案】（Ⅰ）男生测试成绩的平均值是100分，女生测试成绩的平均水平略高于男生； （Ⅱ）填表见解析，没有90%的把握认为“数学成绩与性别有关”. 【解析】（Ⅰ）计算平均值比较大小得到答案.（Ⅱ）完善列联表，计算2 1.79K ≈，对比数据得到答案. 【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图可以估计男生测试的成绩的平均值为800.015201000.022*******.01201400.002520100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=甲分，因为103.5100>，所以由此可以判断，女生测试成绩的平均水平略高于男生. （Ⅱ）由频数分布表可知：在抽取的100学生中，男生有30010060500⨯=（人）， 测试成绩优秀的男生有()600.010.00252015⨯+⨯=人， 女生有20010040500⨯=（人），测试成绩优秀的女生有()600.010.00252015⨯+⨯=人， 据此可得22⨯列联表如下：可得()221001525451525 1.796040307014K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“数学成绩与性别有关”【点睛】本题考查了平均值的计算，列联表，意在考查学生的应用能力和计算能力.19．如图，多面体ABCDEF 中，AE ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，ABC ∆为等边三角形，22AD AB ==，AE FC ∥，2AE FC =.（Ⅰ）求证：平面CDE ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）若直线DF 与平面ACFE 所成的角为60︒，求该几何体的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）334【解析】（Ⅰ）证明DC AC ⊥，AE DC ⊥得到，CD ⊥平面ACFE ，得到证明. （Ⅱ）确定DFC ∠即为DF 与平面ACFE 所成角，得到2AE =，再根据ABCDEF B ACFE D ACFE V V V --=+计算得到答案.【详解】（Ⅰ）证明：由题意得60CAD ∠=︒，1AC =，2AD =，3CD ∴=DC AC ∴⊥. 又AE ^Q 平面ABCD ，AE DC ∴⊥.AC AE A =Q I ，CD \^平面ACFE ，∴平面CDE ⊥平面ACFE .（Ⅱ）过点B 作BG AC ⊥于点G ，易知3BG =， BG CD ∴∥，由（Ⅰ）可得BG ⊥平面ACFE . DC ⊥Q 平面ACFE ，DFC ∴∠即为DF 与平面ACFE 所成角. 60DF ∴∠=︒.∴在Rt DCF ∆中，1FC =.2AE ∴=.ABCDEF B ACFE D ACFE V V V --∴=+1133ACFE ACEF S BG S DC =⨯⨯+⨯⨯()121133322⎛+⨯=⨯⨯+ ⎝334=， ∴该几何体的体积为334.【点睛】本题考查了面面垂直，几何体的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为26l ：12y x =与椭圆交于A ，B 两点，点A 在第一象限，且25AB = （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l l 'P ，且l '交椭圆C 于P 、Q 两点，求证：直线AP 、AQ 与x 轴围成一个等腰三角形.【答案】（Ⅰ）22182x y += （Ⅱ）证明见解析【解析】（Ⅰ）根据题意解得()2,1A ，计算得到228,2.a b ⎧=⎨=⎩，得到椭圆方程.（Ⅱ）设l '：12y x m =+，联立方程，根据韦达定理得到122x x m +=-，21224x x m =-，设直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，计算得到120k k +=，得到证明. 【详解】（Ⅰ）设()00,A x y ，由题意得0022001,25,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得002,1,x y =⎧⎨=⎩即()2,1A ， 所以22222411,226,,a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩，∴所求椭圆C 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）因为直线l l 'P ，所以设l '：12y x m =+，联立22480,12x y y x m⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得222240x mx m ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122x x m +=-，21224x x m =-，设直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，则11112y k x -=-，22212y k x -=-， 那么12121211112222x m x m k k x x +-+-+=+--1211122m x x ⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ ()()1212124124x x m x x x x +-=+⨯-++()2241024224m m m m --=+⨯=---+， 所以直线AP ，AQ 与x 轴围成一个等腰三角形. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，证明三角形的形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.21．已知函数()()e ln xf x a x x x=+-.（Ⅰ）当e a =时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当e a >时，证明：()ln f x a a a ≥-.【答案】（Ⅰ）在区间()0,1上()f x 单调递减，在()1,+∞上()f x 单调递增 （Ⅱ）证明见解析【解析】（Ⅰ）求导得到()()2e e 11e 11x x x xf x e e x x x x x ⎛⎫⋅-⎛⎫'=+⋅-=⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()e x h x x =，根据其单调性得到()()e ln xf x a x x x=+-的单调性.（Ⅱ）先证明当e a >时，21e 12xx x >++（0x >）恒成立，计算得到()f x 在1x 及2x 处均取极小值，且()()120f x f x ''==，即1212e e x x a x x ==，得到()min lnf x a a a =-，得到证明. 【详解】（Ⅰ）()()2e e 11e 11x x x xf x a a x x x x x ⎛⎫⋅-⎛⎫'=+⋅-=⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（0x >）. 设()e xh x x =（0x >），则()()2e 1x x h x x-'=，易知()h x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()()1e h x h ≥=，则当e a =时，e0x a x-≥成立，易知在区间()0,1上()0f x '<，()f x 单调递减，在()1,+∞上()0f x '>，()f x 单调递增，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()2e e 11e 11x x x x f x a a x x x x x ⎛⎫⋅-⎛⎫'=+⋅-=⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（0x >）. 令()e xh x x=（0x >），下面考察当e a >时，()h x a =的根的情况，从而讨论ex a x-的正负情况.先证明当e a >时，21e 12xx x >++（0x >）恒成立， 设()2112xF x e x x =---，则()'1x F x e x =--，()0'010F e -==， 设()()'1xG x F x e x ==--，则()'10xG x e =->在0x >时恒成立， 故()'1xF x e x =--在0x >时单调递增，故()()'1'00xF x e x F =->=-，故()2112xF x e x x =---在0x >时单调递增，故()()211002x F x e x x F --=->=.则e 1112x x x x>++，（0x >）， 所以有1112h a a a a ⎛⎫>++>⎪⎝⎭，()1212h a a a a >++>，而()1e h a =<， 必存在11,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()21,2x a ∈，使得()()12h x h x a ==，所以此时在区间()1,1x ，()2,x +∞上()0f x '>，()f x 单调递增，在()10,x ，()21,x 上()0f x '<，()f x 单调递减；所以()f x 在1x 及2x 处均取极小值，且()()120f x f x ''==，即1212e e x x a x x ==， 又()()11111e ln x f x a x x x =+-，因为11e x a x =，所以有11ln ln x x a -=-，即()1ln f x a a a =-，同理有()2ln f x a a a =-.即()min ln f x a a a =-，所以当e a >时，()ln f x a a a ≥-成立. 【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化函数的最值是解题的关键.22．已知曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线6πθ=分别与曲线1C ，2C 交于A ，B 两点（异于极点），求AB 的值.【答案】（Ⅰ）2cos 24ρθ=，2240x y y +-= （Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）计算得到224x y -=，再转化为极坐标方程；再利用极坐标方程公式得到答案.（Ⅱ）联立2cos 24,6ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得到Aρ=4sin ,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得2B ρ=，计算得到答案. 【详解】（Ⅰ）由1,,211,2x y x t t t x y y t t t +⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨-⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩两式相乘得，224x y -=.因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=，即2cos 24ρθ=.因为曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，24sin ρρθ∴=， 则曲线2C 的直角坐标方程为2240x y y +-=.（Ⅱ）联立2cos 24,6ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得Aρ=4sin ,6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得2B ρ=，故2B A AB ρρ=-=.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，利用极坐标求长度，意在考查学生的计算能力和转化能力.23．已知函数()2f x x a x =+-（0a >）. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≥；（Ⅱ）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积不小于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(][),31,-∞-+∞U （Ⅱ）6a ≥ 【解析】（Ⅰ）讨论0x ≥，102x -<<，12x ≤-三种情况，分别计算得到答案. （Ⅱ）计算得到坐标分别为(),0A a -，,03a B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,22a a C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，得到26ABC a S ∆=，计算得到答案. 【详解】（Ⅰ）1a =时，()1,0,12131,0,211,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=+-=+-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩0,12x x ≥⎧⎨+≥⎩得1x ≥；10,2312x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩无解1,212x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩得3x ≤-. 综上，得不等式的解集为(][),31,-∞-+∞U .（Ⅱ）因为0a >，则(),0,3,0,2,.2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪+≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩其图象与x 轴围成的三角形ABC ∆，其坐标分别为(),0A a -，,03a B ⎛⎫-⎪⎝⎭，,22a a C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.则()2162226ABCa a a S a ∆=⋅---⋅-=≥，因为0a >，得6a ≥. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，面积问题，意在考查学生的计算能力.。

北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。

广东广雅中学2025届高三10月月考数学（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。

1．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的第30百分位数是（ ） A ．11B ．15C ．13D ．342．设常数a R ∈，集合}(1)|()0{A x x x a =−−≥，}1{|B x x a =≥−，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2)−∞B ．(,2]−∞C ．(2+∞，）D ．[2+∞，）3．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z ⋅对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4β=，则()tan αβ−=（ ） A ．1 B ．3− C ．3D ．3−5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，m β⊂，n γ⊂，则//βγD ．若//m α，//n α，则m ，n 平行、相交、异面均有可能6．已知O 为坐标原点，()11,P x y 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一点()10x >，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于D ，G 两点，0DF FG ⋅=，4DF FG =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．57．已知函数()()f x g x ，的定义域是R ，()g x 的导函数为()g x '，且()()5f x g x '+=，()()155f x g x −'−−=，若()g x 为偶函数，则下列说法中错误的是（ ） A ．()05f =B ．()()()()123202410120f f f f ++++=C ．若存在0x 使()f x 在[]00,x 上严格增，在[]0,2x 上严格减，则2024是()g x 的极小值点D ．若()f x 为偶函数，则满足题意的()f x 唯一，()g x 不唯一8．小丽同学有一枚不对称的硬币，每次掷出后正面向上的概率为(01)p p <<，她掷了N 次硬币后有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X 表示每掷N 次硬币中正面向上的次数，现以使(10)P X =最大的N 值估计N 的取值并计算()E X .(若有多个N 使(10)P X =最大，则取其中的最小N 值).下列说法正确的是（ ） A ．()10E X > B ．()10E X <C ．()10E X =D ．()E X 与10的大小无法确定二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。