2015届高考数学大一轮复习(2009-2013高考题库)第9章 第8节 n次独立重复试验与二项分布 理 新人教A版

[课堂练通考点]1．(2013·辽宁高考)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B由二项式定理得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r⎝⎛⎭⎫1x x r ＝C r n3n －r x 52n r －，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．2．(2013·贵阳模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5D ．25解析：选B ∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，∴原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04＝－4－1＝－5.3．(2014·厦门质检)()2－x 8的展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ()2－x 8展开式中各项的系数和为()2－18＝1，展开式的通项为C r 828－r(－x )r ，则x 4项的系数为C 88×28－8＝1，则()2－x 8展开式中不含x 4项的系数的和为0. 4．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于________．解析：在已知等式两边对x 求导，得5(2x －3)4×2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝1得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝5×(2×1－3)4×2＝10.答案：105．(2014·荆州模拟)已知a ＝4⎠⎜⎛0π2 cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为________．解析：依题意得a ＝4⎠⎜⎛0π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62π＝－2，即a ＝－2，则T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r，当r ＝3时，T 4＝－80x .故二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为－80. 答案：－80[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题 1．设⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则AB ＝( )A ．4B ．－4C ．26D ．－26解析：选A T k ＋1＝C k 6x6－k⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6(－2)k x 362k－，令6－3k 2＝3，即k ＝2，所以T 3＝C 26(－2)2x 3＝60x 3，所以x 3的系数为A ＝60，二项式系数为B ＝C 26＝15，所以A B ＝6015＝4，选A.2．(2013·湖北八校联考)在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D ∵T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r， ∴C r n (－1)r＝15且2n －3r ＝0，∴n 可能是6，选D.3．(2013·济南模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．28B ．－7C ．7D ．－28解析：选C 展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r ·(－1)r x 3r－，令8－r －r 3＝0，得r ＝6，所以展开式中的常数项为C 68×⎝⎛⎭⎫122＝28×14＝7. 4．(2013·陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析：选A 依据分段函数的解析式，得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1x －x 6，∴T r ＋1＝C r 6(－1)r x r －3，则常数项为C 36(－1)3＝－20.5．(2013·北京东城模拟)(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( ) A ．56B ．－56C ．28D ．－28解析：选A 由二项式定理通项公式得，所求系数为C 28(－2)2＝56.6．(2014·合肥质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3解析：选A 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.7．(2014·黄冈模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：选A 由微积分基本定理知a ＝4，⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6展开式中的第4项为T 3＋1＝C 36(4x 2)3⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，选A. 8．(2013·青岛一检)“n ＝5”是“⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n (n ∈N *)展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 23n r r －－，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n 的展开式中含有常数项时满足n －r 2－r 3＝0，当n ＝5时，15－5r6＝0，解得r ＝3，此时含有常数项；反之，当n ＝10时，r ＝6，也有常数项，但是不满足n ＝5.故“n ＝5”是“⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件，选A.9．(2013·浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 1556r －，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－1010．(2014·福州质检)在(1－x 2)20的展开式中，如果第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________.解析：由题意得，C 4r －120＝C r ＋120故4r －1＝r ＋1或4r －1＋r ＋1＝20，即r ＝23或r ＝4.因为r 为整数，故r ＝4.答案：411．(2013·广州二模)在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 15的展开式中，x 的整数次幂的项的个数为________．解析：展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 15(3x )15－r⎝⎛⎭⎫2x r ＝(－1)r 2r C r 15x3056r -，由题意5－56r为非负整数，得r ＝0或6，∴符合要求的项的个数为2.答案：212．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．解析：利用二项展开式的通项公式求解．由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r ， 当8－2r ＝－2时，r ＝5， ∴1x 2的系数为C 58＝C 38＝56. 答案：56第Ⅱ组：重点选做题1．已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项；解：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式T k ＋1＝C k 8·(x )8－k·⎝⎛⎭⎫－2x 2k ＝C k8·(－2)k ·x 82k －－2k ，令8－k 2－2k ＝32，则k ＝1，故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.2．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.。

阶段示范性金考卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{y ∈R |y ＝ln x ，x >1}，B ＝{x ∈N ||x |≤2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0]C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{0}解析：因为A ＝{y |y >0}，所以∁R A ＝{y |y ≤0}，又B ＝{0,1,2}，所以(∁R A )∩B ＝{0}，选D.答案：D2．下列函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e x －e －xC ．y ＝x sin xD ．y ＝lg 1－x1＋x解析：函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，排除A ；y ＝x sin x 为偶函数，排除C ；y ＝lg 1－x 1＋x ＝lg(－1＋21＋x )，由于函数u ＝－1＋21＋x 在(0,1)上单调递减 ，所以函数y ＝lg 1－x 1＋x 在(0,1)上单调递减，排除D.故选B.答案：B3．[2014·衡阳六校联考]函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5解析：依题意得，当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1－a 2x≤0，即a ≥2x恒成立．注意到当x ∈[1,4]时，y ＝2x 的最大值是24＝4.因此，实数a 的最小值为4，选C.答案：C4．[2013·太原五中检测]已知命题p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥6解析：x －1x ≤0⇒0<x ≤1⇒1<2x ≤2，由题意知，22＋2－m ≤0，即m ≥6，故选D.答案：D5．[2013·湖南高三检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．1解析：分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3 ①或者⎩⎨⎧a >3log 2(a ＋1)＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，选C.答案：C6．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于( ) A. (0,1) B. (4,2) C. (2,3)D. (3,4)解析：设f (x )＝ln x ＋x －4，由于x 0是方程ln x ＝4－x 的解，则x 0是函数f (x )的零点．再由f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，f (2)f (3)<0，可得x 0在区间(2,3)内，故选C.答案：C7．[2013·天津耀华中学模拟]已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6)解析：∵函数f (x )＝x 2－cos x 为偶函数，∴f (－0.5)＝f (0.5)，f ′(x )＝2x ＋sin x ，当0<x <π2时，f ′(x )＝2x ＋sin x >0，∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，∴f (0)<f (0.5)<f (0.6)，即f (0)<f (－0.5)<f (0.6)，选B.答案：B8．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)解析：f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<log a 1，因为0<a <1，所以a 2x －2a x －2>1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x <－1(舍去)．因此x <log a 3，故选C.答案：C9．下列四个命题： p ：∀x ≥－1，有1x ≤－1 q ：∃x 0∈R ，使x 0＋4x 0＝2r ：∀x ，y >0，有ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y ) s ：∃x ，y ∈R ，使2x ＋y ＝2x ＋2y 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：当x ＝1时，x >－1，但1x ＝1>－1，故p 为假命题；当x 0≠0时x 0＋4x 0≥4或x 0＋4x 0≤－4，不可能有x 0＋4x 0＝2，故q 为假命题；当x ＝1，y ＝1时ln x ＋ln y ≠ln(x ＋y )，故r 为假命题；当x ＝1，y ＝1时，有2x ＋y ＝2x ＋2y ，故s 为真命题．因此A 项正确．答案：A10．函数f (x )＝ln x －12x 2的图象大致是( )解析：函数的定义域为{x |x >0}，函数的导数为f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，由f ′(x )＝1－x 2x >0得0<x <1，即增区间为(0,1)．由f ′(x )＝1－x 2x <0得x >1，即减区间为(1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数取得极大值，且f (1)＝－12<0，所以选B 项．答案：B11．[2013·人大附中月考]某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润(单元：万元)是y 1＝13.5－9x ，在B 地的销售利润(单位：万元)是y 2＝14x ＋6.2，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( )A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元解析：根据题意设该公司在A 地售x 辆，则在B 地售(11－x )辆，故销售利润y ＝13.5－9x ＋14(11－x )＋6.2＝22.45－(9x ＋x4)(0≤x ≤11，x ∈N *)，由基本不等式可得y ＝22.45－(9x ＋x4)≤22.45－29x ×x 4＝19.45，当且仅当9x ＝x4即x ＝6时取得最大值，故选A.答案：A12．若关于x 的方程|2x －1|＝m 有两个不相等的实数根x 1和x 2，则有( )A. x 1＋x 2>0B. x 1＋x 2<0C. x 1＋x 2≥0D. x 1＋x 2≤0解析：在坐标系中画出函数y ＝|2x －1|的图象，由图象可知当0<m <1时方程|2x －1|＝m 有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2，则必有x 1<0<x 2，由已知得|2x 1－1|＝|2x 2－1|，于是－2x 1＋1＝2x 2－1，因此2x 1＋2x 2＝2>22x 1·2x 2，所以2x 1＋x 2<1，于是x 1＋x 2<0.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．对于数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，A ÷B ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }．若集合A ＝{1,2}，则集合(A ＋A )÷A 中所有元素之和为________．解析：由A ＋B 的定义得，A ＋A ＝{1＋1,2＋2,1＋2}＝{2,4,3}，由A ÷B 的定义得，(A ＋A )÷A ＝{1，32，2,3,4}，故所有元素之和为1＋32＋2＋3＋4＝232.答案：23214．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，∴f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3＋a ≤0f ′(2)＝a ≤0，∴a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)． 答案：(－3,1)15．[2013·安徽合肥调研]若函数f (x )＝x 2＋2x －3的定义域为[m,0]，值域为[－4，－3]，则m 的取值范围是________．解析：∵二次函数f (x )＝x 2＋2x －3的图象开口向上，且关于直线x ＝－1对称，∴函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，∵函数f (x )＝x 2＋2x －3的值域为[－4，－3]，最小值为－4，且f (－1)＝－4，∴定义域[m,0]中必定有－1，①当m ＝－1时，函数在f (x )区间[－1,0]上为增函数，值域为[－4，－3]；②当m <－1时，函数在[m ，－1]上是减函数，在[－1,0]上是增函数，要使函数f (x )的值域为[－4，－3]，则必需f (m )≤－3，解之得－2≤m <－1.综上所述，m 的取值范围是[－2，－1]．答案：[－2，－1]16．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x .若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝________.解析：由已知得h (－x )＝h (x )，∴(m －n )·4－x ＋(n －m )·4x ＝0，得m ＝n ，∴h (x )＝m ·(4x ＋1)＋m ·4－x ＝m (4x ＋4－x )＋m ≥m ·24x ·4－x ＋m ＝3m ，当且仅当4x ＝4－x ，即x ＝0时，等号成立，∵函数h (x )的最小值为1，∴3m ＝1，得m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)函数f (x )＝13x 3＋12(2－a )x 2＋(1－a )x (a ≥0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2＋(2－a )x ＋1－a ＝(x ＋1)(x ＋1－a )． 当a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)2≥0恒成立， 当且仅当x ＝－1时取“＝”， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．当a >0时，由f ′(x )＝0得，x 1＝－1， x 2＝a －1，且x 1<x 2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(a －1，＋∞)，单调递减区间为(－1，a －1)．(2)∵f (x )在[0,1]上单调递增，∴[0,1]是上述增区间的子集，当a ＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意；当a >0时，[0,1]⊆[a －1，＋∞)，∴a －1≤0，∴a ≤1. 综上，a 的取值范围是[0,1]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)． (1)若a ＝12，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)当1≤a ≤e ＋1时，求证：f (x )≤x .解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x，f (1)＝12－e ， f ′(x )＝12－e x ，f ′(1)＝12－e ，故函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －12＋e ＝(12－e)(x －1)，即(12－e)x －y ＝0.(2)令g (a )＝x －f (x )＝－xa ＋x ＋e x ，只需证明g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立即可． g (1)＝－x ＋x ＋e x ＝e x >0，① g (1＋e)＝－x ·(1＋e)＋x ＋e x ＝e x －e x . 设h (x )＝e x －e x ，则h ′(x )＝e x －e ， 当x <1时，h ′(x )<0；当x >1时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )≥h (1)＝e 1－e·1＝0，即g (1＋e)≥0.②由①②知，g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立． 故当1≤a ≤e ＋1时，f (x )≤x .19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值10，求b 的值；(2)若对于任意的a ∈[－4，＋∞]，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，于是，根据题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞]，x ∈[0,2]都成立，所以F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0，对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． 因为x ≥0，所以F (a )在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，①当F (a )为常数函数时，F (a )＝b ≥0；②当F (a )为增函数时，F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0，即b ≥(－3x 2＋8x )max 对任意x ∈[0,2]都成立，又－3x 2＋8x ＝－3(x －43)2＋163≤163，所以当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，所以b ≥163. 所以b 的最小值为163.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝38x 2－2x ＋2＋xf (x )．(1)求函数g (x )的单调区间；(2)若函数g (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值． 解：(1)由题知，g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵g ′(x )＝(3x －2)(x －2)4x， ∴函数g (x )的单调递增区间为(0，23)∪(2，＋∞)，g (x )的单调递减区间为[23，2]．(2)∵g (x )在[23，＋∞)上的最小值为g (2)， 且g (2)＝38×22－4＋2＋ln2＝ln2－12＝ln4－12>0， ∴g (x )在[23，＋∞)上没有零点，∴要使函数g (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，并考虑到g (x )在(0，23)上单调递增且在[23，2]上单调递减，故只需e m <23且g (e m )≤0即可，易验证g (e －1)＝38×e －2－2×e －1＋1>0，g (e －2)＝38×1e 4－2e 2＋2＋ln e－2＝1e2(38×1e2－2)<0，当m≤－2且m∈Z时，均有g(e m)<0，即函数g(x)在[e m，e－1]⊆[e m，＋∞)(m∈Z)上有零点，∴m的最大值为－2.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e.解：(1)f′(x)＝a e x＋(ax－2)e x＝(ax＋a－2)e x，由已知得f′(1)＝0，即(2a－2)e＝0，解得a＝1.当a＝1时，在x＝1处函数f(x)＝(x－2)e x取得极小值，所以a＝1.(2)f(x)＝(x－2)e x，f′(x)＝e x＋(x－2)e x＝(x－1)e x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(m)＝(m－2)e m；当0<m<1时，m<1<m＋1，f(x)在[m,1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－e；当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f (x )min ＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (m －2)e m ，m ≥1－e ，0<m <1(m －1)e m ＋1，m ≤0(3)由(1)知f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x . 令f ′(x )＝0得x ＝1，因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0， 所以当0≤x ≤2时，f (x )max ＝0，f (x )min ＝－e ，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝e.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a x (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)如果P (x 0，y 0)是曲线y ＝f (x )上的任意一点，若以P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值；(3)讨论关于x 的方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12的实根的个数情况． 解：(1)f (x )＝ln x ＋a x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2.a >0，由f ′(x )>0，得x >a ，由f ′(x )<0，得0<x <a ，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(2)由题意，以P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k 满足k ＝f ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(x 0>0)， 所以a ≥－12x 20＋x 0对x 0>0恒成立．又当x 0>0时，－12x 20＋x 0≤12，所以a 的最小值为12.(3)由题意，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12化简得 b ＝ln x －12x 2＋12，x >0，令h (x )＝ln x －12x 2－b ＋12，则h ′(x )＝1x －x ＝(1＋x )(1－x )x. 当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． 所以h (x )在x ＝1处取得极大值，即最大值，最大值为h (1)＝ln1－12×12－b ＋12＝－b .所以当－b >0时，即b <0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有两个交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12有两个实根； 当b ＝0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有一个交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12有一个实根； 当b >0时，y ＝h (x )的图象与x 轴无交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12无实根． 新课标第一网系列资料。

2009~2013年高考真题备选题库第9章计数原理与概率、随机变量及其分布第2节排列与组合考点排列与组合1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________.解析：本题考查排列组合、古典概型等基本知识，意在考查考生的基本运算能力与逻辑分析能力．试验基本事件总个数为C2n，而和为5的取法有1,4与2,3两种取法，由古典概型概率计算公式得P＝2C2n＝114，解得n＝8.答案：82．（2013浙江，4分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能力以及利用所学知识解决问题的能力．“小集团”处理，特殊元素优先，C36C12A22A33＝480.答案：4803．（2013北京，5分）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．解析：本题考查排列组合中的分组安排问题，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A44＝96.答案：964．（2013重庆，5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．解析：本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力．直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C33·C14·C15＋C34·C13·C15＋C35·C13·C14＋C24·C25·C13＋C23·C25·C14＋C23·C24·C15＝590.答案：5905．（2012新课标全国，5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C 12C 24＝12种安排方案．答案：A6．（2012广东，5分）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19解析：由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C 15C 14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 15C 15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C 15×1＝5个．于是，所求概率为545＝19. 答案：D7．（2011浙江，5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15B.25C.35D.45解析：基本事件共有A 55＝120种，同一科目的书都不相邻的情况可用间接法求解，即A 55－A 22A 22A 23×2－A 22A 22A 33＝48，因此同一科目的书都不相邻的概率是25. 答案：B8．（2010广东，5分）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A ．1 205秒B ．1 200秒C ．1 195秒D ．1 190秒解析：共有A 55＝120个闪烁，119个间隔，每个闪烁需用时5秒，每个间隔需用时5秒，故共需要至少120×(5＋5)－5＝1 195秒．答案：C9．（2010北京，5分）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27解析：本题采用插空法.8名学生的排列方法有A88种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A29，根据分步乘法计数原理，总的排法种数是A88A29.答案：A10．（2010湖南，5分）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．15解析：恰有0个，1个，2个对应位置上的数字相同的信息个数分别为1，C14，C24，故至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋C14＋C24＝11个．答案：B11．(2009·广东，5分)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有() A．48种B．12种C．18种D．36种解析：若小张和小赵恰有1人入选，则共有：C12C12A33＝24种方案；若小张和小赵两人都入选，则共有A23A22＝12，故总共有24＋12＝36种方案．故选D.答案：D12．(2009·辽宁，5分)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种B．80种C．100种D．140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C25×C14＋C15×C24＝70种．答案：A13．（2010浙江，4分）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．解析：上午测试安排有A 44种方法，下午测试分为：(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有C 13种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有C 13种方法，其余两位只有一种方法，则共有C 13·C 13＝9种，因此测试方法共有A 44·(2＋9)＝264种． 答案：26414．(2009·宁夏、海南，5分)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：法一：先从7人中任取6人，共有C 67种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有C 36C 33A 22种分法．最后排在周六和周日两天，有A 22种排法， ∴C 67×C 36C 33A 22×A 22＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C 37种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C 34种排法，∴共有C 37×C 34＝140种．答案：140。

[课堂练通考点]1. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．2．(2014·郑州模拟) 已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B.83C.103D ．10解析：选B 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1＞0，x 2＞0，设过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3(x 2＋1)，x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83，选B.3．(2013·嘉兴一模) 经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA ·OB 等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA ·OB ＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ·OB ＝－13. 4. (2014·东北三省联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝15．已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？如果l 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)设A (2,1)的中点弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又据对称性知x 1≠x 2，由P 1，P 2在双曲线上，则有关系2x 21－y 21＝2,2x 22－y 22＝2.两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴2×4(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4，即以A (2,1)为中点的弦所在直线的斜率k ＝4. 故所求中点弦所在直线方程为 y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，故满足条件的直线l 不存在．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2 为直角三角形，则这样的点P 有 ( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个解析：选C 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个，同理当 ∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：选B 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率为－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0. 3．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ＝λFB (λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ＝λFB 得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，(y 1＋y 2)2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.4．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3解析：选D 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.5．(2013·兰州名校检测) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM |＝e |AB |，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－a e ，0，(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由|AM |＝e |AB |, 得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e (e －1)，y 0＝ea .(*) 因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得(e －1)2e 2＋e 2a 2b2＝1，整理得，e 2＋e －1＝0, 解得e ＝5－12. 答案：5－126．(2014·沈阳模拟)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|P A |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)7. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB ＝1，|OF |＝1. (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1，又∵AF ·FB ＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1.∴a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)， ∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1.得 3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，x 1＋x 2＝－43m ，①x 1x 2＝2m 2－23.②∵MP ·FQ ＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即 2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.将①②代入得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，经检验m ＝－43符合条件．故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43.8．(2013·郑州模拟)已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程． 解：(1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23， 所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆， 即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0，而直线x ＝1也不满足条件， 故可设AB 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m2.S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2m 2＋3m 2＋4. 由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1.故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求． 第Ⅱ卷：提能增分卷1. 已知中心在坐标原点的椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2＝45x 的焦点，且椭圆E 的离心率是63. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点C (－1,0)的动直线与椭圆E 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程． 解：(1)由题知椭圆E 的焦点在x 轴上，且a ＝5，又c ＝ea ＝63×5＝303， 故b ＝a 2－c 2＝5－103＝53，故椭圆E 的方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5. (2)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 2＋3y 2＝5，消去y ，整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＞0，(*)，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. 由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，符合(*)式．所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.2．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆的焦半距为c ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，故所求C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O .理由如下：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程y ＝kx ＋3代入y 24＋x 2＝1并整理得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0. (*)则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ， 所以OA ·OB ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3， 即y 1y 2＝－k 2k 2＋4－6k 2k 2＋4＋3＝－4k 2＋12k 2＋4，于是有－1k 2＋4＋－4k 2＋12k 2＋4＝0，解得k ＝±112. 经检验知：此时(*)的判别式Δ＞0，适合题意． 即(*)的判别式Δ＞0恒成立． 所以当k ＝±112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O . 3. (2013·广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆C 1与抛物线C 2：x 2＝4y 有一个相同的焦点F 1，直线l ：y ＝2x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点．(1)求直线l 的方程；(2)若椭圆C 1经过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＝4y .消去y ，得x 2－8x －4m ＝0，∵ 直线l 与抛物线C 2只有一个公共点， ∴Δ＝82＋4×4m ＝0，解得m ＝－4. ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)∵抛物线C 2的焦点为F 1(0,1)，依题意知椭圆C 1的两个焦点的坐标为F 1(0,1)，F 2(0，－1) 设椭圆C 1的方程为y 2a 2＋x 2a 2－1＝1(a ＞1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2a 2＋x 2a 2－1＝1.消去y, 得(5a 2－4)x 2－16(a 2－1)x ＋(a 2－1)(16－a 2)＝0.(*) 由Δ＝162(a 2－1)2－4(5a 2－4)(a 2－1)(16－a 2)≥0，得a 4－4a 2≥0(a 2＞0且a 2－1＞0)，解得a 2≥4.∵a ＞1， ∴a ≥2， ∴e ＝1a ≤12，当a ＝2时，e max ＝12，此时椭圆C 1的方程为y 24＋x 23＝1.把a ＝2代入方程(*)，解得x ＝32.又y ＝2x －4， ∴y ＝－1，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－1.。

选修1-1参考答案 第1章 常用逻辑用语 §1.1命题及其关系经典例题：【 解析】由1123x --≤，得210x -≤≤． ∴p ⌝：{}102|>-<=x x x A 或． 由)0(01222>≤-+-m m x x，得11m x m -≤≤+．∴q ⌝：B={0,11|>+>-<m m x m x x 或}．∵p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，且0m >， ∴ A ≠⊂B ．∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>211010m m m 即30≤<m当堂练习：1.C;2.B;3.A;4.C;5.C;6.C;7.C;8.D;9.B; 10.C; 11. ②; 12. ①④⑤⑥; 13. m=21-(也可为31-=m 或0);14. 充分不必要. 15. 【 解析】 (1)逆命题：若x =0，或y=0则xy=0；否命题：xy ≠0，则x ≠0且y ≠0； 逆否命题：若x ≠0，且 y ≠0则xy ≠0；(2)逆命题：若xy ＞0,则x ＞0，y ＞0；否命题：若x ≤0，或y ≤0则xy ≤0； 逆否命题：若xy ≤0；则 x ≤0，或y ≤0 16. 【 解析】 “x M ∈或x P ∈”⇒x R ∈，()x M P ∈⇒(2,3)x ∈，因为“x M∈或x P ∈”⇒()x MP ∈，但()x M P ∈x Mx P ⇒∈∈或， 故 “x M∈或x P∈”是“()x MP ∈”的必要不充分条件．17. 【 解析】方程①有实根的充要条件是,04416≥⨯⨯-=∆m 解得m ≤1.方程②有实根的充要条件是0)544(41622≥---=∆m m m ，解得.45-≥m,.145Z m m ∈≤≤-∴而故m =－1或m =0或m =1.当m =－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m =1.反之，m =1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m =1.18. 【 解析】根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β＞2,b =αβ＞1,∴q ⇒p (2)为证明pq ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21＞2,b =αβ=4×21=2＞1,但q 不成立.综上讨论可知a ＞2,b ＞1是α＞1,β＞1的必要但不充分条件.§1.2简单的逻辑联结词经典例题：【 解析】由已知p ，q 中有且仅有一为真，一为假．⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅>⇒<-=+>∆01200:2121x x m m x x p ．310:<<⇒<∆m q ．（1）若p 假q 真，则21213m m m ≤⎧⇒<≤⎨<<⎩；（２）若p 真q 假，则2313m m m m >⎧⇒≥⎨≤≥⎩或． 综上所述：(][)+∞⋃∈,32,1m ．当堂练习：1.C;2.B;3.B;4.B;5.A;6.B;7.A;8.B;9.B; 10.B; 11. 此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；……; 12. 6是12或24的约数；6是12的约数，也是24的约数；6不是12的约数; 13. ②;14. ②③④. 15. 【解】 ① p ∨q ：(2=2)∨(2＞2)，即2≥2．(真) 由于2=2是真命题，所以2≥2是真命题．②p ∨q ：(正方形的对角线互相垂直)∨(矩形的对角线互相平分)．由于两个命题都是真的，所以p ∨q 是真命题．16. 【 解析】 设使p 的解集为(,)-∞+∞　的a 的集合为A ，使()f x 在(,)-∞+∞　内是增函数的a 的集合为B ，则本题即求,AB 答案为11(,)(,)23-∞-+∞．17. 【 解析】 若按一般思维习惯，对三条抛物线与x 轴公共点情况一一分类讨论，则较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x 轴无公共点的a 的范围”则很简单.由 ()()()()2122223444301404420a a a a a a ⎧∆=--+<⎪⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎪⎩解之，得312a -<<-，记3,,12I R A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，则所求a 的范围是 ∁[)3,1,2R A ⎛⎤=-∞--+∞ ⎥⎝⎦18. 【 解析】 ∵p 且q 为假p 、q 至少有一命题为假，又“非q ”为假 ∴q 为真，从而可知p 为假.由p 为假且q 为真，可得：⎩⎨⎧∈<-Zx x x 6||2即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈->-<-Z x x x x x 6622 ∴⎪⎩⎪⎨⎧∈∈<<-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈>+-<--ZR Z x x x x x x x x 32060622 故x 的取值为：－1、0、1、2.§1.3全称量词与存在量词经典例题：【 解析】 ⑴全称命题⑵全称命题⑶存在性命题．⑷存在性命题．当堂练习：1.A;2.C;3.C;4.C;5.C;6.C;7.A;8.D;9.C; 10.C; 11. Q x ∈∀,Q x ∈2; 12. R x ∈∀,Q x ∈;13.R x ∈∀,x ∈∁R Q ;14. 任意一个三角形都有外接圆 15. 【 解析】 ①假命题②真命题③真命题④假命题16. 【 解析】 ①全称命题;真命题②全称命题;假命题③存在命题;真命题④存在命题;真命题. 17. 【 解析】 )2,∞(－18. 【 解析】 (1)“对所有的正数x ， x ＞x －1”的否定是“存在正数x ，x ≤x －1”；(2)“不存在实数x ，x 2+1＜2x”的否定是“存在实数x ，x 2+1≥2x ”；(3)“集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素”的否定是“存在集合A 中的元素不是集合B 中的元素”；(4)“集合A 中至少有一个元素是集合B 的元素”的否定是“集合A 中的所有元素都不是集合B 中的元素”．§1.4常用逻辑用语单元测试1.D;2.B;3.B;4.B;5.A;6.D;7.B;8.A;9.D; 10.A; 11. ②④; 12. 平行四边形不一定是菱形；或至少存在一个平行四边形不是菱形; 13. 必要，充分，必要;14. 必要不充分 15．本题考查四种命题间的关系．解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）． 否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）． 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）． （2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）． 否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）． 逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）． 16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除. p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除. 非p ：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数， ∴p 真，q 真，∴p 或q 与p 且q 均为真，而非p 为假.（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式： p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非p ：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p 假q 假，∴p 或q 与p 且q 均为假，而非p 为真. 17．解：对任意实数x 都有012>++ax ax恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔000a a 或 40<≤⇔a ；关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ；如果P 正确，且Q∴方程有实数根 ①不正确，有44141,40<<∴><≤a a a 且；如果Q 正确，且P 不正确，有041,40<∴≤≥<a a a a 且或。

[课堂练通考点]1. (2013·青岛一模)圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝33x 的位置关系是( ) A ．直线过圆心 B ．相交 C ．相切D ．相离解析：选B ∵圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径r ＝1， ∴圆心到直线y ＝33x 的距离为|3|3＋9＝12＜1＝r ，故选 B. 2. (2013·西安质检)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 3. (2014·吉林模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O是坐标原点，且有|OA ＋OB |≥33|AB|，那么k 的取值范围是( )A.()3，＋∞ B ．[2，＋∞) C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ＋OB |＝33|AB|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y－k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时|OA ＋OB |＞33|AB |，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.4. (2014·陕西模拟)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个．答案：25．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程． 解： 设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ， 则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ， 解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：选C ∵圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， ∴圆心为(1，－2)，半径r ＝3. 又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上， ∴圆与直线相交．2. 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径为r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．3. (2013·安徽高考)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4D. 4 6解析：选C 依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2－d 2＝2，故弦长为4.4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．(2013·福建模拟) 已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于________．解析：依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由{ x 2＋y 2＝1， y ＝－3(x －1)得，点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案：346．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________．解析：法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ≠－1)，则圆心为－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ).∵圆心在公共弦所在直线上，∴4×－12λ－122(1＋λ)＋3－16λ－22(1＋λ)－2＝0，解得λ＝12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.答案：x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝07. 已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求圆C 的方程．解：设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C (m ，n )，则由⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 2＝－2＋m 2＋1，n －1m ＋2·1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1. 故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB |24＝18.故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.8. 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·枣庄月考)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切． 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.2．(2013·湛江六校联考)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥O B.设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0. 消去y 得，2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③ 把②③式代入①得，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.3．(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为0，125.。

[课堂练通考点](2013·惠州调研)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若1OF ＝21F A(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE ·PF的最大值．解：由题意知，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1()a 2－2，0，由1OF ＝21F A ，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2，解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为点N ，则点N 的坐标为(0,2)，则PE ·PF ＝(NE－NP )·(NF －NP )＝(－NF －NP )·(NF －NP )＝2NP －2NF ＝2NP －1，从而求PE ·PF最大值转化为求2NP 的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 202＝1，即x 20＝6－3y 20. 因为点N 的坐标为(0,2)，所以2NP ＝|2NP|＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12.因为点P (x 0，y 0)在椭圆M 上，则y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，2NP取得最大值12，所以PE ·PF的最大值为11. 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1. (1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k2k 2＋1.∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1， ∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m . ∴当0≤m <12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ； 当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l .[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1. 已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为12.(1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t ＞0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．解：(1)因为焦点F 到准线的距离为12，所以p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y .(2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)，则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫x 02，0，所以k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x2x 0－x ＝x 0＋x .因为NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在， 所以k PM ·k NQ ＝－1，即 2t 22t －x 0·(x 0＋x )＝－1，整理，得x 0＝2t 2x ＋2t1－2t 2.①又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ 与MP 共线，得x 0＝2xt x ＋t，②由①②，得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xtx ＋t(t ＞0)，所以t ＝－x 2＋13x ，所以t ≥23或t ≤－23(舍去)．所以所求t 的最小值为23.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为e ＝12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2.在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k . 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝－32时等号成立；当k ＞0时，3k ＋4k ≥43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝32时等号成立．所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312. 3.(2013·南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝⎛⎭⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1, ①直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设T 点的坐标为(x ，y )．联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝⎛⎭⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·石家庄模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF 2为正三角形，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的离心率满足0＜e ＜5－12，O 为坐标原点，求证：|OA |2＋|OB |2＜|AB |2. 解：(1)由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|， ∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2 为边AB 上的中线， ∴F 1F 2⊥AB.在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c 4a 3，则c a ＝33， ∴椭圆的离心率为33. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1， ∴a ＞1＋52.①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 4a2，OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2－322＋54a 2，∵a 2＞3＋52，∴OA ·OB ＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为： y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k 2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0， ∴∠AOB 恒为钝角， ∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.2. (2013·西安质检)如图，已知中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所组成的四边形是面积为2的正方形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,2)的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当△OAB 面积最大时，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，12×2b ×2c ＝2a 2＝b 2＋c 2，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)根据题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 22＋y 2＝1.，消去y 得关于x 的方程(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0. 由直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则有Δ＞0，即64k 2－24(1＋2k 2)＝16k 2－24＞0，解得k 2＞32.由一元二次方程的根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8k1＋2k 2，x 1·x 2＝61＋2k2，故|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝16k 2－242k 2＋1·1＋k 2.又因为原点O 到直线l 的距离d ＝|k ×0－0＋2|1＋k 2＝21＋k 2， 故△AOB 的面积为S △AOB ＝12|AB |·d ＝16k 2－241＋2k 2＝22×2k 2－31＋2k 2.令m ＝2k 2－3(m ＞0)，则2k 2＝m 2＋3，所以S △AOB ＝22m m 2＋4≤22m 24m 2＝22，当且仅当m＝2时等号成立，此时k ＝±142，直线l 的方程为±14x －2y ＋4＝0.。

课时作业(六十八) n 次独立重复实验与二项散布一、选择题1．(2015·韶关模拟)一台机床有13的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为310，加工零件B 时，停机的概率是25，则这台机床停机的概率为( )B ．730C ．710D ．110答案：A解析：加工零件A 停机的概率是13×310＝110，加工零件B 停机的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×25＝415，所以这台机床停机的概率是110＋415＝1130. 2．(2015·济南模拟)按照历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )B ．811 C ．25 D ．89答案：D解析：设事件A 表示“该地域四月份下雨”，B 表示“四月份吹东风”，则P (A )＝1130，P (B )＝930，P (A ∩B )＝830，从而在吹东风的条件下下雨的概率为P (A |B )＝P A ∩BP B ＝830930＝89.故应选D.3．(2015·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，而且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )B ．8243C ．40243D ．80243答案： D解析：在五次移动中，要达到(1,0)点必需知足向右移动3个单位，向左移动2个单位，每次移动彼此独立．则P ＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝80243.故选D.4．(2015·福建厦门质检)若某人每次射击击中目标的概率均为35，这人持续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )B ．54125C ．36125D ．27125答案：A解析：至少有两次击中目标包括仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；或三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，按照互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125. 5．(2015·大连模拟)把一枚骰子持续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A ．1B ．12C ．13D ．14答案：B解析：设事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P AB P A＝12×1212＝12.6．(2014·新课标全国Ⅱ)某地域空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，持续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．B ．C ．D ．答案：A解析：设一天空气质量优良为事件A ，持续两天的空气质量优良为事件AB ， 由题意P (A )＝，P (AB )＝. 由条件概率，得P (B |A )＝P ABP A＝错误!＝.二、填空题7．(2015·广州模拟)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次射击命中的概率为________． 答案：23解析：由题意可知，一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1－8081＝181. 设此射手每次射击命中的概率为p ，则(1－p )4＝181，所以p ＝23.8．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________.答案：1927解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927.9．(2015·淄博模拟)某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人．来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是________．答案：15解析：设事件A ＝“任选一人是女生”，B ＝“任选一人来自北京”，依题意知，来自北京的女生有8人，这是一个条件概率，问题即计算P (B |A )．由于P (A )＝40100，P (AB )＝8100，则P (B |A )＝P ABP A ＝810040100＝15.10．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的进程中，将3次碰到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次碰到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．答案：34解析：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必需一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.三、解答题11．(2015·日照检测)“光盘行动”提倡励行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，吃光盘子中的食物，取得从中央到民众的支持．为了解某地响应“光盘行动”的实际情况，某校几位同窗组成研究性学习小组，从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取n 人进行一次调查，取得如下统计表：组数 分组 频数 频率“光盘族”占本组比例第1组 [25,30) 50 30% 第2组 [30,35) 100 30% 第3组 [35,40) 150 40% 第4组 [40,45) 20050% 第5组 [45,50) ab 65% 第6组[50,55]20060%(1)(2)从年龄段在[35,40)与[40,45)的“光盘族”中，采用分层抽样方式抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人当选取2人作为领队．①已知选取2人中1人来自[35,40)中的前提下，求另一人来自年龄段[40,45)中的概率； ②求2名领队的年龄之和的期望值(每一个年龄段以中间值计算)． 解：(1)n ＝错误!＝1 000，b ＝1－＋＋＋＋＝， ∴a ＝1 000×＝300， 样本中的“光盘族”人数为50×＋100×＋150×＋200×＋300×＋200×＝520， 样本中“光盘族”所占比例为5201 000＝52%.(2)①记事件A 为“其中1人来自年龄段[35,40)”，事件B 为“另一人来自年龄段[40,45)”，所以概率为P (B |A )＝P AB P A ＝C 13·C 15C 28C 23＋C 13C 15C 28＝56.②设2名领队的年龄之和为随机变量ξ，则ξ的取值为75,80,85. P (ξ＝75)＝C 23C 28＝328，P (ξ＝80)＝C 13·C 15C 28＝1528，P (ξ＝85)＝C 25C 28＝514.∴ξ的散布列为ξ 75 80 85 P3281528514所以E (ξ)＝75×328＋80×28＋85×14＝.12．(2015·青岛一模)2013年6月“神舟”发射成功．这次发射进程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、讲课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同窗收看这四个环节的直播的概率别离为34，13，12，23，而且各个环节的直播收看互不影响．(1)现有该班甲、乙、丙三名同窗，求这3名同窗至少有2名同窗收看发射直播的概率； (2)若用X 表示该班某一名同窗收看的环节数，求X 的散布列与期望．解：(1)设“这3名同窗至少有2名同窗收看发射直播”为事件A ，则P (A )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2732. (2)P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136；P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＝1372；P (X ＝2)＝34×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＝718； P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×13×12×23＋34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋34×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＋34×13×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝2372； P (X ＝4)＝34×13×12×23＝112.即X 的散布列为X 的期望E (X )＝0×36＋1×72＋2×18＋3×72＋12＝4.13．一个盒子中装有大量形状大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此取得样本的质量频率散布直方图，如图．(1)求a 的值；(2)按照样本数据，试估量盒子中小球质量的平均值；(注：设样本数据第i 组的频率为p i ，第i 组区间的中点值为x i (i ＝1,2,3，…，n )，则样本数据的平均值为x ＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＋…＋x n p n )(3)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在(5,15]内的小球个数为ξ，求ξ的散布列和数学期望．解：(1)由题意，得 ＋＋a ＋×10＝1， 解得a ＝.(2)50个样本小球质量的平均值为x ＝×10＋×20＋×30＋×40＝(克)．由样本估量整体，可估量盒子中小球质量的平均值约为24.6克．(3)利用样本估量整体，该盒子中小球质量在(5,15]内的概率为，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. ξ的取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153＝1125. ∴ξ的散布列为ξ 0 1 2 3 P6412548125121251125∴E (ξ)＝0×64125＋1×125＋2×125＋3×125＝5.⎝ ⎛⎭⎪⎫或者E ξ＝3×15＝35。

[课堂练通考点]1．若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．－1＜a ＜15D ．－15＜a ＜1解析：选A ∵点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， ∴(2a )2＋a 2＜5，解得－1＜a ＜1.2. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且于x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选D 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝5.4. 已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 25. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1. (2014·郑州第一次质检)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：选D 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5，0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.2. (2013·东城二模)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1 B.45 C.25D ．2解析：选A ∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min＝2－1＝1.3. (2014·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2D. 2解析：选C 圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13解析：选C 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P (x ，y )，由题意知有，(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π.6. (2014·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝⎛⎭⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 7．已知圆C 的圆心与点M (1，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称，并且圆C 与x －y ＋1＝0相切，则圆C 的方程为________．解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝r 2(r ＞0)，则圆心(－2,2)到直线x －y ＋1＝0的距离为r ，得r ＝322，故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝92.答案： (x ＋2)2＋(y －2)2＝928. (创新题)已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．解析：因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O 到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，所以a 2＝1－12b 2≥0，即－2≤b ≤ 2.设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋(b －1)2＝12b 2－2b ＋2＝22(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π.答案：(3－22)π9. 在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求PA ·PB的取值范围．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，则由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得， (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2.PA ·PB＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2，由此得y 2＜1，所以PA ·PB的取值范围为[－2,0)． 10. (2014·蚌埠质检)已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上．(1)求矩形ABCD 的外接圆的方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程．解：(1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ， ∴k AD ＝－3，点(－1,1)在边AD 所在的直线上， ∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得A (0，－2)． ∴|AP |＝ 4＋4＝22，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2＋y 2＝8.(2)证明：直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q (3,2)，由|QP |2＝(3－2)2＋22＝5＜8知点Q 在圆P 内，所以l 与圆P 恒相交，设l 与圆P 的交点为M ，N ，|MN |＝28－d 2(d 为P 到l 的距离)，设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝ 5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12，故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，即l ：x ＋2y －7＝0. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·石家庄模拟)已知两点A (0，－3)、B (4,0)，若点P 是圆Cx 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112 C ．8D.212解析：选B 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y－12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 2．(2014·北京东城区模拟)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．解析：由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又知过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.答案：x －y －2＝0。

2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。

[课堂练通考点]1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13 D．10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．2.如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为()A．6,8 B．6,6C．5,2 D．6,2解析：选A从甲地经乙地到丙地，分两步：第1步，从甲地到乙地，有3条公路；第2步，从乙地到丙地，有2条公路．根据分步乘法计数原理，有3×2＝6种走法．从甲地到丙地，分两类：第1类，从甲地经乙地到丙地，有6种走法；第2类，从甲地不经过乙地到丙地，有2条水路，即有2种走法．根据分类加法计数原理，有6＋2＝8种走法．3.(2014·临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是()A．16 B．32C．48 D．64解析：选C每四个小方格(2×2型)中有“L”型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48(个)．4．(2013·济南模拟)集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是() A．9 B．14C．15 D．21解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B.5.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？解：先给最上面的一块着色，有4种方法，再给中间左边一块着色，有3种方法，再给中间右边一块着色，有2种方法，最后再给下面一块着色，有2种方法，根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种方法．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·福州模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种解析：选C三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37种．2．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是() A．60 B．48C．36 D．24解析：选B长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，6个对角面构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)．故共有36＋12＝48(个)．3．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有()A．1 260种B．2 025种C．2 520种D．5 040种解析：选C第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步乘法计数原理，知选法为C210·C18·C17＝2 520种．4．将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，要求每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．28 B．24C．30 D．36解析：选C法一：分成两种情况，①甲和丙丁中的一人被分到同一个班或乙和丙丁中的一人被分到同一个班共有2C12A33＝24种分法；②丙和丁两人被分到同一个班共有A33＝6种分法．于是所求的分法总数为24＋6＝30.法二：将4名老师分到3个不同的班，有C24C13A22，甲、乙两名老师分到同一个班有C13 A22.∴满足要求的分法有C24C13A22－C13A22＝30.5．(2013·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252C．261 D．279解析：选B能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.6.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有()A．9种B．11种C．13种D．15种解析：选C按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．7.(2014·南充模拟)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有()A．6种B．8种C．12种D．48种解析：选D从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16种不同的方法，同理，若先游览B景点，有16种不同的方法，若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48种．8．(2013·深圳调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．9．一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．解析：“完成这件事”需选出男、女队员各一人，可分两步进行：第一步选一名男队员，有5种选法；第二步选一名女队员，有4种选法，共有5×4＝20(种)选法．答案：2010．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．解析：当相同的数字不是1时，有C13个；当相同的数字是1时，共有C13C13个，由分类加法计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12个．答案：1211．(2013.沈阳模拟)三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是________．解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x可取1,2,3，...，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2,3， (10)有9个三角形；…；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：3612.(2014·泉州质检)如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛里种不同的花，则不同的种法共有________种．解析：法一：按所种花的品种多少分成三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A34种种法；种四种花有A44种种法．所以不同的种法共有A24＋2A34＋A44＝84种．法二：按A-B-C-D的顺序种花，可分A，C种同一种花与不种同一种花两种情况，共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种不同的种法．答案：84第Ⅱ组：重点选做题1．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个或B，C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4(种)．每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有A33＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，3×3×2×1＝18种不同方法．综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．。

2009~2013年高考真题备选题库第2章 函数、导数及其应用第9节 函数模型及其应用考点一 函数模型的实际应用1．（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为________(m)．解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力．如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AFAH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝⎛⎭⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：202．（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想．(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．3．（2012江西，5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( )植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0.9y ＝0，向上平移至过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，求得B (30,20)，故选B.答案：B4．（2011陕西，5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．答案：20005．(2009·浙江，4分)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：高峰时段电费a ＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．低谷时段电费b ＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月用电量为a ＋b ＝148.4(元)．6．（2012湖南，13分）某企业接到生产3 000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k (k 为正整数)．(1)设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．解：(1)设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )，由题设有T 1(x )＝2×3 0006x ＝1 000x ，T 2(x )＝2 000kx ，T 3(x )＝ 1 500200－(1＋k )x ，其中x ，kx,200－(1＋k )x 均为1到200之间的正整数．(2)完成订单任务的时间为f (x )＝max{T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )}，其定义域为{x |0＜x ＜2001＋k ，x∈N *}，易知，T 1(x )，T 2(x )为减函数，T 3(x )为增函数．注意到T 2(x )＝2kT 1(x )，于是①当k ＝2时，T 1(x )＝T 2(x )，此时 f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )}＝max{1 000x ， 1 500200－3x}． 由函数T 1(x )，T 3(x )的单调性知，当1 000x ＝ 1 500200－3x 时f (x )取得最小值，解得x ＝4009.由于44＜4009＜45，而f (44)＝T 1(44)＝25011，f (45)＝T 3(45)＝30013，f (44)＜f (45)．故当x ＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f (44)＝25011.②当k ＞2时，T 1(x )＞T 2(x )，由于k 为正整数，故k ≥3，此时 1 500200－(1＋k )x ≥1 500200－(1＋3)x ＝37550－x. 记T (x )＝37550－x ，φ(x )＝max{T 1(x )，T (x )}，易知T (x )是增函数，则f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )}≥max{T 1(x )， T (x )}＝φ(x )＝max{1 000x ，37550－x}．由函数T 1(x )，T (x )的单调性知，当1 000x ＝37550－x 时φ(x )取最小值，解得x ＝40011.由于36＜40011＜37，而φ(36)＝T 1(36)＝2509＞25011，φ(37)＝T (37)＝37513＞25011.此时完成订单任务的最短时间大于25011.(3)当k ＜2时，T 1(x )＜T 2(x )，由于k 为正整数，故k ＝1，此时f (x )＝max{T 2(x )，T 3(x )}＝max{2 000x ，750100－x}．由函数T 2(x )，T 3(x )的单调性知，当2 000x ＝750100－x 时f (x )取最小值，解得x ＝80011，类似(1)的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当k ＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44,88,68.7.(2011山东，12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解：(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43(20r2－r )．由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20r 2－r )×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2(r 3－20c －2)，0<r <2.由于c >3，所以c －2>0， 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当m ≥2即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.考点二 函数与其他知识的交汇1．（2013湖南，5分）设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0.解析：本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理及推理论证能力．(1)由题设f (x )＝0，a ＝b ⇒2a x ＝c x ⇒⎝⎛⎭⎫a c x ＝12，又a ＋b ≤c ，a ＝b ⇒a c ≤12⇒⎝⎛⎭⎫a c x ≤⎝⎛⎭⎫12x ，x >0，所以12≤⎝⎛⎭⎫12x ⇒0<x ≤1.(2)由题设a ＋b >c ⇒a c ＋b c >1，又0<a c <1,0<bc <1，∀x ∈(－∞，1)⇒⎝⎛⎭⎫a c x >a c ，⎝⎛⎭⎫b c x >b c ⇒⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x>1，即f (x )>0，所以①正确；由(1)可知②正确；由△ABC 为钝角三角形，所以a 2＋b 2<c 2，所以f (2)<0.又a ＋b >c ，所以a c ＋bc >1，所以f (1)>0，由零点存在性定理可知③正确．答案：{x |0<x ≤1} ①②③2．（2013安徽，12分）设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．因此区间I ＝⎝⎛⎭⎫0，a 1＋a 2，I 的长度为a 1＋a 2. (2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2(1＋a 2)2.令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或 a ＝1＋k 处取得． 而d (1－k )d (1＋k )＝1－k1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1， 故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.3．（2012江西，14分）若函数h (x )满足①h (0)＝1，h (1)＝0；②对任意a ∈[0,1]，有h (h (a ))＝a ； ③在(0,1)上单调递减．则称h (x )为补函数，已知函数h (x )＝(1－x p 1＋λx p )1p (λ>－1，p >0)．(1)判断函数h (x )是否为补函数，并证明你的结论；(2)若存在m ∈[0,1]，使h (m )＝m ，称m 是函数h (x )的中介元．记p ＝1n(n ∈N ＋)时h (x )的中介元为x n ，且S n ＝∑i ＝1n x i ，若对任意的n ∈N ＋，都有S n <12，求λ的取值范围；(3)当λ＝0，x ∈(0,1)时，函数y ＝h (x )的图像总在直线y ＝1－x 的上方，求p 的取值范围． 解：(1)函数h (x )是补函数，证明如下： ①h (0)＝(1－01＋0)1p ＝1，h (1)＝(1－11＋λ)1p ＝0；②对任意a ∈[0,1]，有h (h (a ))＝h ((1－a p 1＋λa p )1p )＝(1－1－a p1＋λa p 1＋λ1－a p 1＋λa p )1p ＝((1＋λ)a p 1＋λ)1p＝a ；③令g (x )＝(h (x ))p ，有g ′(x )＝－px p －1(1＋λx p )－(1－x p )λpx p －1(1＋λx p )2＝－p (1＋λ)x p －1(1＋λx p )2.因为λ>－1，p >0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递减，故函数h (x )在(0,1)上单调递减．(2)当p ＝1n (n ∈N ＋)时，由h (x )＝x ，得：λx 2n ＋2x 1n －1＝0 (*)，(ⅰ)当λ＝0时，中介元x n ＝(12)n ；(ⅱ)当λ>－1且λ≠0时，由(*)得x 1n ＝11＋λ＋1∈(0,1) 或x 1n ＝11－1＋λ∉[0,1]；得中介元x n ＝(11＋λ＋1)n .综合(ⅰ)(ⅱ)：对任意的λ>－1，中介元为x n ＝(11＋λ＋1)n .(n ∈N ＋)，于是，当λ>－1时，有S n ＝ i ＝1n(11＋λ＋1)i ＝11＋λ[1－(11＋λ＋1)n ]<11＋λ，当n 无限增大时，(11＋λ＋1)n 无限接近于0，S n 无限接近于11＋λ，故对任意的n ∈N ＋，S n <12成立等价于11＋λ≤12，即λ∈[3，＋∞)．(3)当λ＝0时，h (x )＝(1－x p )1p ，中介元为x p ＝(12)1p ，(ⅰ)当0<p ≤1时，1p ≥1，中介元为x p ＝(12)1p ≤12，所以点(x p ，h (x p ))不在直线y ＝1－x 的上方，不符合条件； (ⅱ)当p >1时，依题意只需(1－x p )1p >1－x 在x ∈(0,1)时恒成立，也即x p ＋(1－x )p <1在x ∈(0,1)时恒成立，设φ(x )＝x p ＋(1－x )p ，x ∈[0,1]，则φ′(x )＝p [x p －1－(1－x )p －1]，由φ′(x )＝0得x ＝12，且当x ∈(0，12)时，φ′(x )<0，当x ∈(12，1)时，φ′(x )>0，又因为φ(0)＝φ(1)＝1，所以当x ∈(0,1)时，φ(x )<1恒成立． 综上：p 的取值范围是(1，＋∞)．4．(2011广东，14分)在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2.实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A (p 0，14p 20)(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2；(2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E (p 1，14p 21)，E ′(p 2，14p 22)，l 1，l 2与y 轴分别交于F ，F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇒⇐ |p 1|>|p 2| ⇒⇐ φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝{(x ，y )|y ≤x －1，y ≥14(x ＋1)2－54}．当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin )和最大值(记为φmax )．解：(1)证明：过点A 的切线方程是y ＝12p 0x －14p 20，所以B (0，－14p 20)，Q 在线段AB 上，所以q ＝12p 0p －14p 20(|p |≤|p 0|)，所以现方程为x 2－px ＋12p 0p －14p 20＝0，可得x 1＝12p 0，x 2＝p －12p 0，因为p 0、p 同号，易得φ(p ，q )＝|p 0|2.(2)证明：y ′＝12x ，易得l 1：y －14p 21＝12p 1(x －p 1)， 即y ＝12p 1x －14p 21，∵M (a ，b )∈l 1，∴b ＝12p 1a －14p 21且0<|a |<|p 1|.因为E ′(p 2，14p 22)，所以k ME ′＝14p 22－(12p 1a －14p 21)p 2－a ＝12p 2，有14p 22－(12p 1a －14p 21)＝12p 2(p 2－a )， 则14p 21－12p 1a ＝14p 22－12p 2a ，即p 1＋p 2＝2a ， 由于a 与p 1同号，与p 2异号，∴|p 1|>|p 2|. 反之，也成立．故M (a ，b )∈X ⇒⇐ |p 1|>|p 2|， 由(1)证可知M (a ，b )∈X ⇒φ(a ，b )＝|p 1|2，当φ(a ，b )＝|p 1|2时，逆推(1)证也可得M (a ，b )∈l 1＝X ，综上，M (a ，b )∈X ⇒⇐ |p 1|>|p 2| ⇒⇐ φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)由于点(p ，q )必在曲线f (x )＝x 2－px ＋q 上，故此题即求当函数f (x )＝x 2－px ＋q 经过D 时，方程f (x )＝0的根的最大值与最小值． 易求得l ：y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程为y ＝x －1，由前证可知：当点(p ，q )∈{(x ，y )|y ＝x －1}时恒有φ(p ，q )＝1， 令f (x )＝0可得x 2－px ＋q ＝0，则x ＝p ±p 2－4q 2⇒φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2，∵点(p ，q )∈D ，∴14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1⇒(p ＋1)2－5≤4q ≤4p －4， ∴(p －2)2≤p 2－4q ≤－2p ＋4， ∴1≤φ(p ，q )≤p ＋(－2p ＋4)2，而当q ＝14(p ＋1)2－54时p 2－4q ＝－2p ＋4，∴φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋－2p ＋42，设g (x )＝x ＋－2x ＋42(0≤x ≤2)，令t ＝－2x ＋4，x ＝4－t 22(0≤t ≤2)，故g (t )＝－14t 2＋12t ＋1＝－14(t －1)2＋54，∴1≤g (x )≤54，即1≤φ(p ，q )≤54，∴φmin ＝1，φmax ＝54.。

2009~2013年高考真题备选题库第1章 集合与常用逻辑用语第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件考点一 命题及其关系1．（2013陕西，5分）设z 是复数， 则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0解析：本题主要考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判断．实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0，故选项A 为真，同理选项B 为真；而选项C 为假，选项D 为真． 答案：C2．（2013天津，5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是①③.答案：C3．（2013四川，5分）设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点．在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段 AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A ，C ，B 三点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，C (c,0)，B (b,0)，0＜c ＜b ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |.因为0＜c ＜b ，所以当x ＝c 时，(|MA |＋|MB |＋|MC |)min ＝b ，此时M (c,0)，也就是M 点与C 点重合，故①正确；对于②，设△ABC 中∠C 为直角，以C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，并设点A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，M (x ，y )为平面内任意一点，AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，则|MA |＋|MB |＋|MC |＝ (x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2＋ x 2＋y 2，当x ＝a 2，y ＝b 2时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝32 a 2＋b 2，而当x ＝0，y ＝0时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝a ＋b ，因为94(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝5a 2＋5b 2－8ab 4≥12ab ＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A ，B ，C ，D 四点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)，0＜b ＜c ＜d ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋(x －d )2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |＋|x －d |，因为0＜b ＜c ＜d ，所以当x ∈[b ，c ]时，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |取得最小值，此时M (x,0)，x ∈[b ，c ]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A ，C 的中位点为线段AC 之间的任意一点，B ，D 的中位点为线段BD 之间的任意一点，所以A ，B ，C ，D 的中位点为线段AC 与线段BD 的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④.答案：①④4．（2012湖南，5分）命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 答案：C5．（2012江西，5分）下列命题中，假命题为( )A ．存在四边相等的四边形不是正方形B ．z 1，z 2∈C ，z 1＋z 2为实数的充分必要条件是z 1，z 2互为共轭复数C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 至少有一个大于1D ．对于任意n ∈N ＋，C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n 都是偶数解析：空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A 为真命题；令z 1＝1＋b i ，z 2＝3－b i(b ∈R )，显然z 1＋z 2＝4∈R ，但z 1，z 2不互为共轭复数，B 为假命题；假设x ，y 都不大于1，则x ＋y >2不成立，故与题设条件“x ＋y >2”矛盾，假设不成立，故C 为真命题；C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n 为偶数，故D 为真命题．排除A ，C ，D ，选B.答案：B6．（2011新课标全国，5分）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3) p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈[0，2π3)．当θ∈[0，2π3)时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈(π3，π]，反之也成立． 答案：A7．（2011陕西，5分）设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b|B ．若a ＝－b ，则|a|≠|b|C ．若|a|≠|b|，则a ≠－bD ．若|a|＝|b |，则a ＝－b解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a ＝－b .”答案：D8．（2010天津，5分）命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．答案：B考点二 充分条件与必要条件1．（2013山东，5分）给定两个命题p ，q .若綈 p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈 q的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查命题、逻辑联结词及充分、必要条件等基础知识，考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q ⇒綈p 等价于p ⇒綈q ，綈p ⇒/ q 等价于綈q ⇒/ p ，故p 是綈q 的充分而不必要条件．答案： A2．（2013安徽，5分）“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查二次函数图象性质以及图象变换，意在考查转化与化归思想．根据二次函数的图象可知f (x )在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，本题不难求解．f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a<0，也就是a ≤0，故“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.答案： C3．（2013福建，5分）已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/ a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．答案： A4．（2013浙江，5分）已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查对必要条件、充分条件与充要条件的理解，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力以及三角函数性质的掌握等．若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )，且当φ＝π2时，f (x )为奇函数． 答案： B5．（2013北京，5分）“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断等基础知识和基本方法，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．答案： A6．（2012陕西，5分）设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数a ＋b i＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0；而ab ＝0表示a ＝0或者b ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件． 答案：B7．（2011福建，5分）若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若“a ＝2”，则“(a －1)(a －2)＝0”，即a ＝2⇒(a －1)·(a －2)＝0.若“(a －1)(a －2)＝0”，则“a ＝2或a ＝1”；故(a －1)(a －2)＝0不一定能推出a ＝2.答案：A8．（2011湖南，5分）设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝－1.故是充分不必要条件． 答案：A9．（2010辽宁，5分）已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 解析：设函数f (x )＝12ax 2－bx ， ∴f ′(x )＝ax －b ，由已知可得f ′(x 0)＝ax 0－b ＝0，又因为a >0，所以可知x 0是函数f (x )的极小值点，也是最小值点．由最小值定义可知选项C 正确．答案：C10．（2010陕西，5分）对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a n ＋1>|a n |⇒a n ＋1>a n ⇒{a n }为递增数列，但{a n }为递增数列⇒a n ＋1>a n 推不出a n ＋1>|a n |，故“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．答案：B11．(2009·安徽，5分)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ， q ：a >b 且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限C ．p ：x ＝1, q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析： ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d (不等式的性质)，反之不成立，例如：8＋2>6＋3，a ＝8，b ＝2，c ＝6，d ＝3.a >b 但c <d ，∴p 是q 的必要不充分条件．答案：A12．(2009·浙江，5分)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>0，b>0时显然有a＋b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a＋b>0且ab>0，则a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立．答案：C13．（2011陕西，5分）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.答案：3或4。

[课堂练通考点]1．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选C 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.2．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解析：选D 由已知得2＋a －a 2<0，解得a >2或a <－1.故当a ∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解．故所求概率为P ＝(－1＋5)＋(5－2)5－(－5)＝710＝0.7.3．(2014·淄博模拟)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.14 B.13 C.427D.415解析：选A 正方形的面积为36 cm 2时，边长AM ＝6，面积为81 cm 2时，边长AM ＝9， ∴P ＝9－612＝312＝14.4．(2013·海淀模拟)在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________．解析：根据题几何概型得所求的概率为P ＝π(200)2(1 000)2＝π25.答案：π255．(2013·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1.B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y ＜0，x ≠2y .则由图可知，P (B )＝μB μΩ＝12×(12＋32)×23×2＝13.即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( ) A.45 B.15 C.13D.12解析：选B 依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝15.2．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是( ) A ．1B.23C.310D.25解析：选C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x 0∈[－1,2]时，f (x 0)≤0，则所求概率P ＝2－(－1)5－(－5)＝310.3.如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为2×π22×π＝12.4.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A.512 B.12 C.23D.34解析：选C 图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04x d x ＝23x 324＝163，S 长方形＝4×2＝8，∴P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23.故选C.5．(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732D.3132解析：选B 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a＜32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＞b 2，a 2＜4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ，a ＜2b ，又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.6．(2013·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．解析：要使2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax ≤2x 2＋8，即a ≤2x ＋8x 在(0，＋∞)上恒成立．又2x ＋8x ≥216＝8，当且仅当x ＝2时等号成立，故只需a ≤8，因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8－010－0＝45.答案：457.(2014·苏锡常镇四市一调)如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的)，则该点落在半圆内的概率为________．解析：由题知该点落在半圆内的概率为S 半圆S 正方形＝π8.答案：π88.如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h (2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .(ⅰ)记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率． 解：(1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2. (2)(ⅰ)记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.(ⅱ)记“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2＞4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＞4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.10.(创新题)设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率． 解：(1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a ＞0，b ＞0时ax ＋bx 在⎝⎛⎭⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎫b a ，＋∞上递增；x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫2＋114×33×3＝1924，故所求的概率是1924.第Ⅱ组：重点选做题1．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 根据题意作出满足条件的几何图形求解．如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.2．在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S -APC 的体积大于V3的概率是________．解析：由题意可知V S -APC V S -ABC >13，三棱锥S -ABC 的高与三棱锥S -APC的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S -APC V S -ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．答案：23。