2020届湖南省长沙市第一中学高三第一次月考数学(理)试题(图片版)

2020届湖南省长沙市一中高三月考试题（四）数学（理）试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．若x ∈R ，则“31x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别求解两个不等式再判断即可. 【详解】因为3y x =为增函数,故31x >解得1x >,又1x >解得1x >或1x <-,故“31x >”是“1x >”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了幂函数与绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判断,属于基础题型. 3．下列命题中，,m n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥． 正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m 与平面α内的任意一条直线垂直，由n α知，存在直线b α⊂内，使n b ，所以,m b m n ⊥⊥，故①正确；对于②，平面α与平面β可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m 与n 可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有m αγγ⊥， ，正确．故正确命题为①④，选C.4．将函数()sin 2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，则()g x 的解析式为A ．()sin()6g x x π=-B ．()sin()6g x x π=+C ．2()sin(4)3g x x π=- D ．()sin(4)6g x x π=-【答案】C【解析】将函数()sin2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12得到sin 4y x =，再向右平移6π个单位长度后 得到()g x ，2()sin 4()sin(4)63g x x x ππ=-=-，故选C. 5．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1,3,3,4,6,5,10，…，则这个数列的第19项为（ ）A ．55B ．110C ．58D ．220【答案】A【解析】先对“锯齿形”的数列的奇数项找规律，求出通项公式，然后利用“锯齿形”数列的第19项即为新数列的第10项即可求出结论. 【详解】设“锯齿形”的数列的奇数项构成数列{}n b ，由21312b b -=-=，32633b b -=-=，431064b b -=-=，5415105b b -=-=1n n b b n -⇒-=，所以可得()()1212nn n b b +-=+，即22nn nb +=， 又因为“锯齿形”数列的第19项即为新数列的第10项，2101010552b +==，故选：A 【点睛】本题考查了递推关系式求数列的通项公式，考查了叠加法求通项公式，属于中档题. 6．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．8C ．4D ．83【答案】D【解析】由三视图可知几何体为四棱锥,俯视图为底面,主视图的高为棱锥的高, 代入体积公式计算可得选项. 【详解】由三视图可知该几何体是底面为正方形的四棱锥，底面是边长为2的正方形，棱锥的高为2，∴2182233V =⨯⨯=. 故选:D. 【点睛】本题考查根据三视图得出原几何体，并且求其体积的问题，关键在于由三视图准确地还原几何体，属于基础题.7．若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C 【解析】【详解】因为5a 是2a 与6a 的等比中项，()()225262222689a a a a a a a ∴=∴+=+∴=-，所以通项公式为()()22922213n a a n d n n =+-=-+-=-，令0n a ≤得6n ≤，所以该数列的前n 项和n S 取最小值时n 的值等于6 8．假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表如下： YX 1y 2y总计1xa1010a +2xc30 30c +总计 6040100对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为（ ） A ．45a =，15c = B ．40a =，20c = C ．35a =，25c = D ．30a =，30c =【答案】A【解析】由题意得，当10a a +与30cc +相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即可得到答案. 【详解】 由题意可得，当与相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，分析四组选项，A 中的a ，c 的值最符合题意，故选A. 【点睛】本题主要考查了独立性检验的判定及应用，其中熟记独立性检验的相关知识和2K 的计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占12，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（ ） A ．甲400法郎，乙300法郎 B ．甲500法郎，乙200法郎 C ．甲525法郎，乙175法郎 D ．甲350法郎，乙350法郎【答案】C【解析】通过分析甲可能获胜的概率来分得奖金，假定再赌一局，甲获胜的概率为12；若再赌两局，甲才获胜的概率为111224⨯=，从而得甲获胜的概率为113424+=，可得出奖金的分配金额. 【详解】假定再赌一局，甲获胜的概率为12；若再赌两局，甲才获胜的概率为111224⨯=， ∴甲获胜的概率为113424+=，∴甲应分得：37005254⨯=（法郎），乙应分得：17001754⨯=（法郎）.故选：C. 【点睛】本题考查概率知识的实际应用，关键在于明确概率的原理，以达到理论联系实际，属于中档题.10．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（） AB ．3C ．6D【答案】C【解析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+，再利用均值不等式得到答案. 【详解】设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++. ， 2222222222a a cc c a c a +≥⋅=，当且仅当2222a c c a =时等立，21e 2e 2∴+的最小值为6， 故选:C ．【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+是解题的关键，意在考查学生的计算能力.11．已知12,l l 分别是函数()|ln |f x x =图象上不同的两点12,P P 处的切线，12,l l 分别与y 轴交于点,A B ，且1l 与2l 垂直相交于点P ，则ABP ∆的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】A【解析】由题意得()ln ,01ln ln ,0x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩．设11122212(,ln ),(,ln )(1,01)P x x P x x x x -><<，由导数的几何意义可得切线12,l l 的斜率分别为121211,k k x x ==-， 由条件可得121211k k x x =-=-，所以121=x x ，故211x x =．又切线1l 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ，切线2l 的方程为2221ln ()y x x x x +=--，即1111ln ()y x x x x -=--，在两切线方程中，分别令0x =可得切线与y 轴的交点分别为 11(0,1ln ),(0,1ln )A x B x -++，故||2AB =．由1111111ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，可得点2111221121(,ln )11x x P x x x -+++． ∴21122112111211ABPP x x S AB x x x ∆+==<=++（由于11x ≠，故等号不成立）． ∴ABP ∆的面积的取值范围是()0,1．选A ． 点睛：（1）由于曲线的两条切线垂直，故切点的横坐标必为一个小于1，一个大于1，解题时要注意这一隐含条件．（2）三角形面积的最值问题可根据题意得到面积的表达式，然后根据表达式的特征，选择是利用基本不等式求解还是利用函数知识求解，利用基本不等式时要注意不等式使用的条件．12．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为123n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121133n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为()1223n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是()()111,23n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即11133n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=， ∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232nn P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，1010111232P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.二、填空题 13．设，向量，且，则______ ．【答案】【解析】由题意可得，由此解得的值，可得的坐标，从而求得的值. 【详解】 由题意可得，解得，所以，所以，故答案是5. 【点睛】该题所考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，平面向量数量积的运算以及向量的模的求解，正确应用公式是正确解题的关键.14．有4名优秀学生A 、B 、C 、D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每名学生只能被保送到1所学校，每所学校至少1名，则不同的保送方案共有______种.（填写数字） 【答案】36.【解析】根据题意首先把4名学生分为3组,则有24C 种分法,再把分好的3组分到3个学习小组,则有33A 种分法,进而再利用分步计数原理计算出答案 【详解】因为4名学生分配到3个学习小组,每个小组至少有1学生, 所以首先把4名学生分为3组,则有一个组有2人,共有24C 种分法, 再把分好的3组分到3个学习小组,则有33A 种分法,所以共有234336C A ⋅=种分法.故答案为:36. 【点睛】本题主要考查了分配问题,解决此类问题的关键是熟练掌握分步计数原理与分步计数原理,一般是先分组再分配，属于基础题.15．定义在R 上的连续函数()f x 满足()12f =，且()f x 在R 上的导函数()'1f x <，则不等式()1f x x <+的解集为__________．【答案】{}|1x x >【解析】设()()1h x f x x =--，则()()//10h x fx =-<，即()()1h x f x x =--是单调递减函数，而()()11110h f =--=，所以()1f x x >+等价于()10f x x -->，即()()1h x h >，所以1x >，故不等式的解集为{}1x x，应填答案{}1x x ． 点睛：本题的解答过程中，充分借助题设条件，巧妙地构造函数()()1h x f x x =--，从而借助导数的求导法则及导数与函数单调性的关系，判断出该函数的单调递减函数，进而为解不等式创造出模型．解答本题的难点在于怎样观察并构造出函数，然后再用导数知识判断其单调性，进而将不等式进行等价转化．16．如图，在ABC ∆中，已知角A 、B 、C 对应的边分别为a ，b ，c ，其中3a =，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，D 是AC 边上一点，若AB AD =，则CBD∆的周长的取值范围是______.【答案】(23,32⎤⎦【解析】由已知等式利用正弦定理化简,得到三边的关系式,利用余弦定理求出cos A ,进而确定出角A 的值, 得出ABD ∆为等边三角形，求CBD ∆的周长的取值范围得以转化为求AC 的范围，再运用正弦定理，运用三角函数的值域求得范围. 【详解】设CBD ∆的周长为l ，由正弦定理得()()2a b a b c bc +⋅-=-，即222c b a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，0A π<<，∴3A π=.∵AB BD =，∴ABD ∆为等边三角形，∴l BD DC BC AD DC BC AC BC =++=++=+.在ABC ∆3sin sin3ACABC =∠，∴2sin AC ABC =∠，∵233ABC ππ<∠<，∴sin 12ABC <∠≤，2sin 2ABC <∠≤，2sin 2ABC AC <∠+≤+∴(2l ⎤∈⎦.故答案为：(2⎤⎦. 【点睛】此题考查运用正弦、余弦定理,求解三角形，关键在于得到等边三角形，将所求的周长的范围转化为求三角形的边的范围，再运用正弦定理，转化为求角的三角函数值的范围，属于中档题.三、解答题17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n a +是4与n S 的等比中项. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列()111n n n n a a ++⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前2n 项和2n T .【答案】（1）21n a n =-（2）41nn + 【解析】（1）由题意得：()214n n a S +=，①,当2n ≥时，()21114n n a S --+=.②，①－②得()()1120n n n n a a a a --+--=. 可得数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式的解法可求得；（2）()()1111212142121n n n n a a n n n n +⎛⎫==+ ⎪-+-+⎝⎭，则可得2111111143354141n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可求得答案. 【详解】（1）由题意得：()214n n a S +=，①,当2n ≥时，()21114n n a S --+=.②，①－②得()()1120n n n n a a a a --+--=.∵0n a >，∴()122n n a a n --=≥，当1n =时，()21114a a +=，11a =，∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-.（2）()()1111212142121n n n n a a n n n n +⎛⎫==+ ⎪-+-+⎝⎭， 设()()111111142121n n nn n nb a a n n +++-⋅-⎛⎫==⋅+ ⎪-+⎝⎭， ∴2111111143354141n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1114144144141n n n n n ⎛⎫=-=⨯= ⎪+++⎝⎭. 【点睛】本题考查由数列的前项的和求数列的通项，裂项求和法求数列的和，关键在于先将1n n na a +式子进行处理，然后再将整个式子按裂项相减法的步骤化简即可得到结果，需要注意的是裂项之后还剩哪些项，搞清楚，属于中档题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，平面PAD ⊥底面ABCD ，O ，E 分别是AD ，AB 的中点，6AB =，5DP AP ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AC PE ⊥；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2312986【解析】（1）连接BD ，由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：//OE BD ，故OE AC ⊥，再由平面PAD ⊥平面ABCD 可得AC OP ⊥，得AC ⊥平面POE ，可得证；（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求得平面POE 的一个法向量，向量PB ，根据线面角的空间向量坐标公式可求得直线PB 与平面POE 所成角的正弦值.【详解】（1）连接BD ，由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：//OE BD ，故OE AC ⊥，∵5DP AP ==，∴PO AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD =平面PAD平面ABCD ，PO ⊂平面PAD ，∴PO ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，故AC OP ⊥， 且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，∴AC PE ⊥.（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,4P ，()0,33,0B ，()0,0,0O，33,3,022E ⎛⎫⎪⎝⎭， 设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =，则：40333022m OP z m OE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 据此可得平面POE 的一个法向量为()3,1,0m =-，而()0,33,4PB =-，设直线PB 与平面POE 所成角为θ，则333sin 12986243PB m PB mθ⋅===⨯⨯.所以直线PB 与平面POE 所成角的正弦值为312986.【点睛】本题考查空间的线线垂直的证明，线面角的计算，注意在求线面角时，线面角的正弦值是平面的法向量与线向量所成的余弦值的绝对值，这个问题是易错点，属于中档题.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=，设直线l ：x ty λ=+是椭圆C 的一条切线，两点()12,M y -和()22,N y 在切线l 上.（1）若()11,1P ，()20,1P，3P ⎛- ⎝⎭，4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，证明：当t ，λ变化时，以MN 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析；定点30,【解析】（1）由于3P ，4P 关于y 轴对称，得C 过3P ，4P ，2P ，C 不过1P ，代入可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程消去x 得()2224240t y t y λλ+++-=.由直线与椭圆相切得：224t λ-=，再由M 、N 在切线上，代入可得1212,y y y y +，代入以MN 为直径的圆的方程中，可得定点. 【详解】（1）由于3P ，4P 关于y 轴对称，∴C 过3P ，4P ，∴221314a b+=，又由222211134a b a b +>+知，C 不过1P ， ∴2P 在C 上，∴222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2241a b ⎧=⎨=⎩. ∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立2214x y x ty λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240t y t y λλ+++-=.由直线与椭圆相切得：224t λ-=， ∵M 、N 在切线上，∴1222ty ty λλ-=+⎧⎨=+⎩，∴12y t λ--=，22y t λ-=，∴22122241t y y t tλ-===，122t y y λ+=-， 而以MN 为直径的圆的方程为()()()()12220x x y y y y +-+--=，∴22230x y y t λ++-=，令0y =，则230x -=，∴0y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴过定点(). 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用能力,具体涉及到求曲线过定点，解题时要注意合理地进行等价转化.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,属于难度题. 20．已知函数()()2ln 1f x x ax =++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 在区间1,0有唯一零点0x ，证明：2101e x e --<+<.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()2221'1ax ax f x x ++=+， 分0∆<， 0∆=，0∆>，三种情况讨论可得单调区间.（Ⅱ）由（1）及()00f =可知：仅当极大值等于零，即()10f x =且 ()1‘0f x =所以2002210ax ax ++=，且()()2000ln 10f x x ax =++=，消去a 得()()00ln 1021x x x +-=+，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.试题解析：（Ⅰ）()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++，1x >-， 令()2221g x ax ax =++，()24842a a a a ∆=-=-，若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增， 若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立， 当()1,x ∈-+∞时，()'0f x ≥，()f x 单调递增. 若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =，2x = 由()()1010g g -==>，102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<，当()11,x x ∈-时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增. 综上所述，当02a <≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时，()f x 在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增， 在⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）由（1）及()00f =可知：仅当极大值等于零，即()10f x =时，符合要求. 此时，1x 就是函数()f x 在区间()1,0-的唯一零点0x .所以2002210ax ax ++=，从而有()00121a x x =-+，又因为()()2000ln 10f x x ax =++=，所以()()00ln 1021x x x +-=+，令01x t +=，则1ln 02t t t--=， 设()11ln 22h t t t =+-，则()221'2t h t t-=， 再由（1）知：102t <<，()'0h t <，()h t 单调递减，又因为()22502e h e--=>，()1302e h e --=<， 所以21e t e --<<，即2101ex e --<+<点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.21．据长期统计分析，某货物每天的需求量()*r r N∈在17与26之间，日需求量r （件）的频率()P r 分布如下表所示：已知其成本为每件5元，售价为每件10元.若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元.假设每天的进货量必需固定.（1）设每天的进货量为()16,1,2,,10n n X X n n =+=，视日需求量()16,1,2,,10i i r r i i =+=的频率为概率()1,2,,10i P i =，求在每天进货量为n X 的条件下，日销售量n Z 的期望值()n E Z （用i P 表示）；（2）在（1）的条件下，写出()n E Z 和()1n E Z +的关系式，并判断n X 为何值时，日利润的均值最大？【答案】（1）当19n ≤≤时，()()()10111616n n iii i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，()()1101016i i E Z i P ==+∑.（2）()1n E Z +=()101n ii n E Z P =++∑；20nX=时，日利润均值最大【解析】（1）分日需求量与进货量的大小关系，确定日销售量，从而得出日销售量n Z 的期望值；（2）由（1）可得()()()11011216161n n iii i n E Z i P n P ++==+=++++∑∑，可得()n E Z 和()1n E Z +的关系，设每天进货量为n X 时，日利润为n ξ，则()()()()5316n n n E E Z n E Z ξ=-+-⎡⎤⎣⎦()()8316n E Z n =-+，分析()()1n n E E ξξ+-正负可得出日利润均值的最大值.【详解】（1）当日需求量n r X ≤时，日销售量n Z 为r ；当日需求量n r X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望值为：当1n =时，每天的进货量为116117X =+=，根据货物的日需求量的频率表得，此时的日销售量为17件， ∴()()()11210161P E Z P P =++++；当2n =时，每天的进货量为216218X =+=，根据货物的日需求量的频率表得， 此时日销售量为17件的概率为1P ，日销售量为18件的概率为2310P P P +++，∴()()()()212310161162P P P E Z P =++++++；当3n =时，每天的进货量为316319X =+=，根据货物的日需求量的频率表得， 此时日销售量为17件的概率为1P ，日销售量为18件的概率为2P ，日销售量为19件的概率为3410P P P +++，∴()()()()()3123410161162163E Z P P P P P =++++++++；，同理可得：()()()()()()9123910161162163169P P P P E Z P =+++++++++； ()()()()()10123101611621631610P E P P P Z =++++++++；所以当19n ≤≤时，()()()10111616nn iii i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，()()1101016i i E Z i P ==+∑.（2）()()()11011216161n n i ii i n E Z i P n P ++==+=++++∑∑()()101116161n iii i n i P n P==+=++++∑∑()101n ii n E Z P =+=+∑.设每天进货量为n X 时，日利润为n ξ，则()()()()5316n n n E E Z n E Z ξ=-+-⎡⎤⎣⎦()()8316n E Z n =-+，∴()()()()1183n n n n E E E Z E Z ξξ++-=--⎡⎤⎣⎦()121083n n PP P ++=++⋅⋅⋅+-.由()()112508n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+⋅⋅+≤+⋅. 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， 即()()()()()()1234510E E E E E E ξξξξξξ<<<>>>，∴()4E ξ最大，∴应进货20件时，日利润均值最大. 【点睛】本题考查实际问题中的期望值的问题的处理，关键在于对实际问题的理解，如何将生活实际中的数据转化为数学概率中的数据，并且注意对抽象问题的处理的方式，逐一推导找到一般的规律和利用递推之间的关系，属于难度题. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（且）. （I ）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）已知是直线上的一点，是曲线上的一点，，，若的最大值为2，求的值.【答案】(I)；. (Ⅱ)【解析】（I ）利用参数方程、极坐标方程和普通方程互化的公式求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）先利用极坐标方程求出，，再求出，即得，解之即得a 的值.【详解】解：（I ）消去参数，得直线的普通方程为，由，，得直线的极坐标方程为，即. 曲线的极坐标方程为（且），即，由，，得曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）∵在直线上，在曲线上， ∴，，∴∴，.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】(I) 最大值为1. (Ⅱ)【解析】（I）利用绝对值三角不等式求函数的最大值；（Ⅱ）利用函数f(x)的单调性化简得，再解不等式得解.【详解】解：（Ⅰ）函数可化为，由，即时“=”成立，所以原函数取得最大值为1.（Ⅱ）函数在上单调递增，∵，，，∴，即，所以，∴.即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，考查函数单调性的应用和绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

绝密★启用前湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】首先求解方程组3y x y x⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( ) A ．2-iB ．-1+2iC ．-1-2iD ．-2+3i试卷第2页，总21页【答案】A 【解析】 【分析】通过复数的运算得到方程()2215a a +-=，根据其在复平面的位置得到结果. 【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， ∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限， ∴2z i =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题. 3．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果. 【详解】∵21x <11x ⇔-<<，lg 0x <⇔01x <<，01x <<⇒11x -<<，11x -<<不能推出01x <<，∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( ) A ．725-B ．725C ．2424-D ．2425【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤， ∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题. 5．设a ＝183log ，b ＝244log ，c ＝342，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <，2a >，2b >，将,a b 分别表示为631log a =+，641log b =+，进而可得结果.【详解】314222c =<=，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>>， 所以c 最小，因为18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+， ∵6643log log <，∴a b >，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6．函数f (x )＝(33)ln xxx -+的图象大致为( )试卷第4页，总21页…………线…………○………………线…………○……A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除B ，由()0,1x ∈，()0f x <，可排除,A C ，进而可得结果. 【详解】∵()(33)ln xxf x x -=+，函数定义域为{}0x x ≠，()()(33)ln (33)ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除B.当()01x ∈，时，330x x -+>，ln 0x <，()0f x <，其图象应在x 轴下方，可排除,A C ，故选D. 【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填( )○…………线…………○……_○…………线…………○……A ．200?i >B ．201?i ≥C ．202?i >D ．203?i >【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】程序的功能是计算3571sin3sin5sin 7sin 2222S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯+=1357-+-+，而101150213579199201=+⨯=-+-++-+，2012203i =+=，故条件为202?i >，故选C. 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种【答案】C 【解析】 【分析】试卷第6页，总21页根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C. 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题． 9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( ) A ．函数()g x 的最小正周期是2π B ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值是1【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误； 【详解】由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误；当(,62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈，∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确;∵函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=， 即函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，∴选项D 错误，故选C. 【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．若()ln f x x =与()23g x x x a ++=两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = ( ) A ．-1 B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】 【分析】求出切线方程，利用公切线结合判别式0=推出结果即可． 【详解】在函数()ln f x x =上的切点设为(,)x y ， 根据导数的几何意义得到11x=⇒1x =， 故切点为(10)，，可求出切线的方程为1y x =-， 因为直线l 和()23g x x x a ++=也相切，从而231x x a x ++=-，化简得到2210x x a +++=，只需要满足()4410a ∆-+==，所以0a = 故选B. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数()f x 有以下五个命题:①x ∈R ，()()1f f x =； ②()(),,()x y R f x y f x f y ∃∈+=+；试卷第8页，总21页③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 是周期函数； ⑤函数()f x 的图象是两条平行直线 其中真命题的个数是( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由()0f x =或1，计算可判断①；由0x =0y =定义可判断③；由周期函数的定义可判断④；由x 的范围可判断⑤． 【详解】 由()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，可得()0f x =或1，则x R ∀∈，()f x 为有理数，则()()1ff x =，故①正确；当0x =0y =()()()0000f x y f x f y +=+，故②正确； ∵x 为有理数，则x -为有理数，x 为无理数，则x -为无理数， ∴函数()f x 是偶函数，故③正确；任何一个非零的有理数T ，都有()()f x T f x +=，则T 是函数的周期， ∴函数()f x 是周期函数，故④正确；由于x 为有理数，()1f x =；x 为无理数时，()0f x =，()f x 的图象不为连续的直线，故⑤错误．∴真命题的个数是4个，故选B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题．12．已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D —ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为( ) A ．53π B ．2π C ．5π D ．203π【答案】A 【解析】 【分析】订…………○…………__考号：___________订…………○…………三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积． 【详解】 如图，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直， 取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥ 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，得正方形OEGF 的边长为6，则OG ∴四面体A BCD -的外接球的半径R ===∴球O 的表面积为＝2543ππ⨯=，故选A. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．试卷第10页，总21页第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当3[0,2x ∈时，()2f x x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____【答案】14【解析】 【分析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可． 【详解】由()()3f x f x +=知函数()f x 的周期为3， 又函数()f x 为奇函数，所以2111111(()((22224f f f =-=-==， 故答案为14. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14．已知ABC △是等腰直角三角形，1,2()AC BC CP CA CB ===+，则AP BP ⋅=____ 【答案】4 【解析】 【分析】利用已知条件将,AP BP 分别用,CA CB 表示，然后求解向量的数量积即可. 【详解】∵2,2AP AC CP CA CB BP BC CP CA CB =+=+=+=+. ∴22(2)(2)224AP BP CA CB CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+=， 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查． 15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。

湖南省长沙市第一中学2020届高三数学第一次月考试题 文时量：120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知i 为虚数单位，若复数2)1(1i z -+=,则=||z A. 1B. 2C. 2D. 52.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A I A. 21|≤≤-x x B. {2,1,0} C. {2,1-} D. {1,0}3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：附表：随机变量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=经计算，统计量K 2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关" D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4. 已知向量b a b k a +=-=),2,2(),2,(为非零向量，若)(b a a +⊥,则实数k 的值为 A.0 B.2 C.-2 D.15. 美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为 A.21 B. 22 C. 23 D. 316.若21212,)21(,8.0log -===c b a π，则有A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.函数21)(x exx f -=的图象大致是8.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α 到点B )22,22(-，则=αsin A.462+- B. 462- C.462+ D . 462+- 9. 已知函数MOD 是一个求余函数，记MOD(m ，n)表示m 除以n 的余数，例如MOD(13,3) = 1，下图是某个算法的程序框图，当输入m 的值为27时，则输出i 的值为A.2B.3C.4D.510.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:0822=-++m x y x 与直线012=++y x 相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为A. 11B. 12C.-11D.-1211. 设椭圆C ：)0>,0>(12222b a by a x =+的两个焦点分别为F1,F2，22||21=F F ，P 是C 上一点，若a PF PF =-||||21，且31sin 21=∠F PF ，则椭圆C 的方程为A. 13422=+y xB. 13622=+y x C.14622=+y x D. 12422=+y x 12.已知函数x x f x f sin 2)()(+-=，又当0≥x 时，1)('≥x f ，则关于x 的不等式)4(sin 2)2()(ππ-+-≥x x x f x f 的解集为 A. ),4[+∞π B. ),4[+∞-πC.)4,[π-∞ D. )4,[π--∞二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。

长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡，上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U Z =，{}1,2,3,4A =，{}(1)(3)0,B x x x x z =+->∈，则()U A C B ⋂=（ ） A. {}1,2 B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}1,2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】计算{1,0,1,2,3}U B =-ð，再计算()U A B ∩ð得到答案.【详解】由题{|(1)(3)0,}{|13,}{1,0,1,2,3}U B x x x x Z x x x Z =+-∈=-∈=-剟?ð， 则(){1,2,3}U A B ⋂=ð， 故选：C .【点睛】本题考查了集合的交集和补集的计算，意在考查学生的计算能力.2.已知12iz i -=+，则z =（ ） A. 1355i - B. 1355i +C. 1355i -- D. 1355i -+ 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得结论.【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355z i =+. 故选：B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3.函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A. B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ， 当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.考点：函数图象的平移.4.()61-2(1)t t +的展开式中，3t 项的系数（ ）A. 20B. 30C. 10-D. 24-【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】6(1)t +展开式的通项为16r rr T C t +=.所以6(12)(1)t t -+的展开式中3t 项的系数为3266210C C -=-， 故选：C .【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生对于二项式定理的应用.5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A.114B.17C.314D.13【答案】B 【解析】 【分析】根据题意共包含2828C =个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==. 故选：B .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 6.如图所示的程序框图，则输出的,,x y z 的值分别是（ ）A.13009，600，11203B. 1200，500，300C. 1100，400，600D. 300，500，1200【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图得：①300,1y i ==，满足3i <；②400,2y i ==，满足3i <； ③500,300y z ==，1200,3x i ==，不满足3i <.故输出的1200,500,300x y z ===. 故选：B .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力. 7.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=θ，则sin θ= A.35B.45C.7 D.34【答案】D 【解析】【详解】11cos 232cos 2=-,sin 422824πππθθθπθθ-⎡⎤⎡⎤∈∴∈∴==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，， 【考点定位】本题从常规角度看考查了三角函数的求值，其中重点对倍角公式、平方关系等重点考查.而从答题技巧角度看，只是简单的代入检验，由于给定了,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使问题更趋于简单化8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F M 是抛物线C 上的一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上，得到642p p +=，计算得到答案.【详解】OFM ∆的外接圆半径为6，OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上， 圆心到准线2px =-的距离等于6，即有642p p +=，由此解得8p =， 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中参数的计算，意在考查学生的综合应用能力.9.在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，ABC ∆为等边三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为 A.16B.14C.13D.12【答案】B 【解析】试题分析：取BC 的中点F ，连接,EF AF ，则EF PB P ，所以AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角．因为ABC ∆为正三角形，所以60BAC ∠=︒．设2PA AB a ==，因为PA ⊥平面ABC ，所以3,2,2AF a AE a EF a ===，所以222(2(2(31cos 4222a a a AEF a a∠==⨯⨯，故选B ．考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直的性质定理；3、余弦定理．【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．10.直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 2ab = B. 224a b +≥C. 2a b -≥D. 2a b +≥【答案】D 【解析】 【分析】不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到1ab =，再利用均值不等式得到答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =?，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ， ∴3322,22x a b y a b =+=-， ∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++=…（a b =时等号成立），可得||2a b +…， 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 11.已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ≠∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ； ④()y f x =在[,]66ππ-上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案.【详解】①()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确； ②(2)()f x f x π+=，为周期函数，正确；③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x ==-=-，令sin ,[1,1]t x t =∈-，则3()22y t t t =-，令2260y t '=-=，得t =(1)0,y y -==⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,2233x ⎡⎡⎤∈-⊆-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确.故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12.已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1 B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】求导得到()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，得到max 3()(1)12f x f a ==-，计算得到答案.【详解】1(1)(1)()1,1ax x f x ax a x x x+-'=-+-=>时，()0f x '<；01x <<，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则3[()]()12y f f x f t t a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭…， ∵()f t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 则3411,23a a -厖，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D .【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.已知向量(1,4),(2,)a b k ==-r r ，且(2)a b +r r与(2)-r r a b 共线，则实数k =________【答案】8- 【解析】 【分析】计算得到2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-r r r r，再根据向量共线计算得到答案. 【详解】由己知得，2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-r r r r，由于(2)a b +r r与(2)-r r a b 共线，所以3(8)4(42)k k --=⨯+，得8k =-.故答案为：8-.【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力.14.某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的学生有_____人. 【答案】360 【解析】 【分析】直接根据比例关系计算得到答案.【详解】依题意可知，样本中(1,2]公里的人数所占的比例为45150.1300-=， 故全体学生中居住地到学校的距离在(1,2]公里的人数为36000.1360⨯=人. 故答案为：360.【点睛】本题考查了总体的估计，意在考查学生的应用能力.15.如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB CD 的中点，2os c PEF ∠=，若,,,,A B C D P 在同一球面上，则此球的体积为______.【答案】36π 【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，根据22211R AO OO =+计算得到答案.【详解】由题意得，底面ABCD 是边长为4的正方形，2os 2c PEF ∠=，故高1PO 为2. 易知正四棱锥P ABCD-外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O ，则11122,,2,2AO PO AO R PO OO R =====-或12OO R =-（此时O 在1PO 的延长线上），在直角1AO O ∆中，2222211(22)(2)R AO OO R =+=+-，解得3R =，所以球的体积为334433633V R πππ==⨯=. 故答案：36π.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 16.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦定理得到cos 2sin AB AM θθ⋅=，计算tan 2cos cos AC AB θθθ==，化简得到答案.【详解】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=.在AMD ∆中，902MBA θ︒∠=-，180BMA θ︒∠=-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ︒︒=--，即cos 2sin AB AM θθ⋅=， 在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ︒∠=∠=，由正切定义：tan 2AC θ=， 在ACB ∆中，90ACB ︒∠=，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，。

高三月考试卷（三）理 科 数 学命题：长沙市一中高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．等差数列{a n }中，如果35432120a ，a a a a a 那么=++++等于 A ．4B ．5C ．6D ．72．已知A 、B 、C 三点共线，k k 则)3,2(),1,(==的值为 A ．32B ．32-C ．23D ．23-3．已知集合}2,21|{},,|{2R ，x x ＞x y y N R x x y y M ∈-+==∈==，则M ∩N 等于 （B ） A ．MB ．NC ．RD ．{(2,4),(－1,1)}4．将函数y =sin2x 的图象按向量)1,2(π=a 平移后，得到的图象对应函数的解析式为A ．12cos +=x yB ．12cos +-=x yC ．12sin +=x yD ．12sin +-=x y5．函数321+=-xy 的反函数是A ．)3(32log 2>-=x x yB ．)3(23log 2>-=x x y C ．)3(23log 2>-=x xyD ．)3(32log 2<-=x xy 6．定义运算c bd a dc ba ⋅-⋅=，则满足241log 21x ≤0的实数x 的取值范围为A ．（0，4）B ．（0，41）C ．[4，+∞）D ．[41，+∞）7．非零向量a 与b 的夹角为120°，若向量c =a +b ，且c ⊥b ，则ba等于 A ．21B ．3C ．2D ．33 8．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是 A ．|a －b |≤|a －c |+|b －c |B ．aa a a 1122+≥+C ．a a a a -+≤+-+213D ．21||≥-+-ba b a 9．函数2sin 2)(π-=x x f 的图象是10．给出下列命题，①方程)(sin R x x x ∈=的实根有3个；②x x y 44cos sin -=的最小正周期为π；③△ABC 中，若0=++，则O 为△ABC 垂心；④如果)2(log )(ax x g a -=在定义域内单调递增，设)00()(≠=，a a ＞a x f x ，则不等式0)(1＜x f -的解集为（－1，1）.其中正确命题的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卷中对应题号的横线上）11．不等式021≤-+x x 的解集是 。

长沙市一中2020届高三月考试卷(一）数学（理科）时量：120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={3|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是A. 4 B. 3 C. 2D. 12.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且5=⋅z z ,则=zA. 2-iB.-l + 2iC.-1-2iD.-2+3i3.设R x ∈，则“1<2x ”是“1<lg x ”的 （B) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a=(l ，0)，b=(-3,4)的夹角为θ,则θ2sin 等于 A. 257-B. 257C. 2524-D. 25245.设43432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<b<a6.函数||lg )33()(x x f xx-+=的图象大致为 （D)7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填 A. i>200? B. i>201? C. i>202? D. i>203?8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A. 50 种 B. 60 种 C. 70 种D. 90 种9.将函数)62sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移6π个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C)A.函数)(x g 的最小正周期是2π B.函数)(x g 的图象关于直线12π-=x 对称C.函数)(x g 在)2,6(ππ上单调递减 函数)(x g 在)6,0(π上的最大值是110.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=aA.-1B. 0C. 1D. 311.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：①1))((,=∈∀x f f R x ;②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃; ③函数)(x f 是偶函数； ④函数)(x f 是周期函数；⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.12.已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS = DC=1，当三棱锥 D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为 A.35π B. π2 C. π5 D. 320π二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。