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第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法1：矩形面积是4×3=12.直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.所以，所求四边形的面积是12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；1×1÷2=0.5；2×1=2.所以整个四边形的面积是：1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.图（B）面积为：3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-1=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.解法1：如图（b）所示，在△ABC内连接相邻的三个点成△DEF，再连接DC、EA、FB 后是△ABC可看成是由△DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到S △ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面积单位）.解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC的面积为10.解法3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S△ABE=3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即S△ADC=2.平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而△FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S△FBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）.例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.解：因为N=5；L=3：所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11（面积单位）.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD 的面积.解：因为N=9；L=4；所以S=2×N+L-2=2×9+4-2=20（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.习题十一解答1.①∵ L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵ L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2.①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=6；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+6-2=20（面积单位）.④∵ L=7； N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.。
格点与面积第四讲格点与面积【例1】图1中是用橡皮筋钉在钉板上围成的几个图形，每两个相邻点之间分析图1中每相邻点之间的距离都是1厘米，相邻四个点围成的小方格面积就是1平方厘米，相邻三个点围成的小三角形面积就是0.5平方厘米。
解进行分割（图2）。
（1）的面积是6平方厘米，（2）的面积是12平方厘米，（3）的面积是3平方厘米，（4）的面积是9平方厘米，（5）的面积是5.5平方厘米。
说明图2中的图形，都是以格点为顶点的多边形，称为格点多变形，格点多边形的面积越大（小），它所包含的格点（包括边界上的）就越多（少）。
【例2】计算图3（1）中三角形的面积。
图3分析图中三角形是斜着的，先将它扩展成长方形，如图3（2），这个长方形由4个三角形组成，分别求出：①、②、③3个三角形的面积，再用长方形面积减去这3个三角形的面积和，即可求出原三角形的面积。
解三角形①的面积：3X24-2=3三角形②的面积：2X24-2=2三角形③的面积：4X14-2=2 长方形面积：4X3=12三角形④的面积:12-3-2-2=5【例3】图4中每两个相邻点之间的距离都是1厘米，求出各个图形的面积,图4分析按照例1的分析方法，进行分裂。
解A的面积是2平方厘米，B的面积是4. 5平方厘米，C的面积是5. 5平方厘米，D的面积是7平方厘米，E的面积是2平方厘米。
填表:n c r vv-fl B } 分析 现在小方格的面积是2,即比例2扩大了两倍，可以用例2的公式，也可 以直接计算，先把图4分割，如图6,然后数一数三角形的个数。
图6解A 的面积是5平方厘米，B 的面积是10平方厘米，C 的面积是12平方厘米,寻找规律: 图形 A : 4-2+1-1=2 图形 B : 9-2+1-1=4.5 图形 C: 9-2+2-1=5.5 图形 D: 10 - 2+3-1=7 图形 E : 6-2+0-1=2 于是，图形的面积与格点数有如下关系: 图形的面积=边上点数十2+内部点数-1 【例4】 图5中每相邻三个点围成的面积是1平方厘米，求各图的面积。
第3讲格点与面积格点按其特征可分为正方形格点和正三角形格点两种．如下图：在格点中的图形有些是学过的图形，如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等，如果是不规则的多边形，一般可以借助割补法、分割法及相关的公式来解题。
例题与方法例1下图是一个方格图。
图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出它们的面积各是多少(如图所示阴影部分的小正方形的面积是1平方厘米)。
例2在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少(单位：厘米)?例3观察下面四个图形，计算下列各多边形的面积，并统计图形四周的格点数和图形内的格点数。
例4下图中是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
例5下面是一个以小正三角形(每条边都相等的三角形)为格点的图形，共有21个点，其中每相邻的3个“∴”，和“∴”所构成的都是面积为1的等边三角形。
请你计算图中三角形的面积。
总结与提示本讲主要介绍了正方形格点和正三角形格点的面积计算，很多图形的面积计算都可以利用分割的方法求出每一小块的面积，然后再加起来，或用总面积减去图形周围部分的面积求出。
毕克定理提供给我们一种全新的方法，关键要找到两个重要条件：一个是内部的格点数，即被图形所围住的格点的数量；另一个是四周的格点数，即在格点图形边上的格点数量。
正确使用这种方法，可以迅速地解决许多难以直接计算的多边形面积。
思考与练习(每题12.5分，共100分)1．求下面各图形的面积。
2．求下图中的各图形的面积。
3．求下图中各图形的面积。
4．下图是一个5×5的方格，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择七个点，要求其中任意三个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段连接后所围成的面积尽可能大。
那么，所围图形的面积是多少平方厘米?5．下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE 的面积。
6．下面是一个5×5的方格，求出图中阴影部分面积的和(每小格的面积是1平方厘米)。
格点与面积
例1 下图是一个格点图，图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出他们的面积各是多少（如图所示阴影部分的小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少（单位：厘米）
例3 观察下面四个多边形，计算下列多边形的面积，并统计每个多边形四周的格点数和图形内的格点数
例4 下图中是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积？
例5 下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点，∵和∴构成的都是面积为1的等边三角形。
请你计算图中三角形的面积？
思考与练习
1.求下面各图形的面积
2.求下图中的各图形的面积
3.求下图中各图形的面积
4.下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择七个格点，要求其中任意三个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围成的面积尽可能大。
那么，所围图形的面积是多少平方厘米？
5.下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积
6.下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）
7.在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1）
8.如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB中点，N是CD 的中点，P是EF的中点。
问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？。
第四讲 格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米 详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。
格点与面积例1 知识纵横1、概念在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。
一个多边形的顶点如果全在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形。
格点多边形分为正方形格点多边形和三角形格点多边形。
2、毕克定理（正方形格点公式）：格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1，S=L ÷2+N-1(用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“N”表示格点多边形内部的格点数，用“L”表示格点多边形边上的格点数)3、毕克定理(三角形格点公式)：格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2，S=(L÷2+N-1)×2判断下列图形中，哪些图形是格点多边形？是的，请在括号里打“√”。
【答案】见解析。
【解析】判断下列几个图形中，哪些图形是格点多边形，请在序号上打“√”。
【答案】见解析。
【解析】判断下列几个图形，哪些图形是正方形格点多边形？哪些图形是三角形格点多边形？(请在横线上填序号)正方形格点多边形：；三角形格点多边形：。
【答案】见解析。
【解析】试一试1例2试一试2请选择正确的格点图任意画出一个正方形格点多边形和一个三角形格点多边形。
【答案】答案不唯一。
【解析】例3下面4幅图中，相邻四点围成的正方形的面积为1。
观察，然后填空。
（用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“L”表示格点多边形边上的格点数，用“N”表示格点多边形内部的格点数。
）【答案】见解析。
【解析】试一试3下图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，“乡村小屋”的面积是多少平方厘米？【答案】36平方厘米。
【解析】方法一：方法二：下面4幅图中，相邻三点围成的等边三角形的面积为1。
观察然后填空。
【答案】见解析。
【解析】例4试一试4在下图中，每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少平方厘米？【答案】见解析。
