2014 对数与对数函数

§2.8 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域 R性 质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log m n a b ＝nmlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N .( × )(2)函数y ＝log a 2x (a >0，且a ≠1)是对数函数．( × )(3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )的值域为( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)答案 A解析 根据复合函数单调性同增异减可知f (x )在[0,1]上单调递增， 因为0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2，则log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22， 即f (x )∈[0,1]．2．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________． 答案 (3,2)解析 ∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3，y ＝2，∴函数的图象过定点(3,2)． 3．e ln 2＋log 2 02216log 2 0224＝________.答案 4 解析 e ln 2＋log 2 02216log 2 0224＝2＋log 416＝2＋2＝4.题型一 对数式的运算例1 (1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b 的值是( )A ．－1 B.12 C.710 D ．1答案 D解析 由2a ＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510， ∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5， ∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)计算：log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝________.答案 2解析 原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a ＝3，b ＝log 85，则4a －3b＝________.答案925解析 因为2a ＝3，所以a ＝log 23， 又b ＝log 85， 所以b ＝13log 25，所以a －3b ＝log 235，4a －3b ＝232log 52＝925.(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－log 34×log 23＝________.答案 －1解析 原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋12lg 4－2lg 2lg 3×lg 3lg 2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1. 题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1 答案 A解析 由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1. 函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )， 由函数图象可知－1<log a b <0， 解得1a <b <1.综上，0<a －1<b <1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析f(x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，，所以ab＝1，则b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a令g(x)＝x＋2x(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．xlog跟踪训练2(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝1b的图象可能是()答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)， ∴ab ＝1，∴a ＝1b，∴g (x )＝1log bx ＝log a x ，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log bx 互为反函数，∴函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx 的图象关于直线y ＝x 对称，且具有相同的单调性．(2)(2023·濮阳模拟)已知a >0且a ≠1，函数y ＝a x 的图象如图所示，则函数f (x )＝log a (－x ＋1)的部分图象大致为( )答案 D解析 由函数y ＝a x 的图象可得a >1.当a >1时，y ＝log a x 经过定点(1,0)，为增函数．因为y ＝log a x 与y ＝log a (－x )关于y 轴对称，所以y ＝log a (－x )经过定点(－1,0)，为减函数． 而f (x )＝log a (－x ＋1)可以看作y ＝log a (－x )的图象向右平移一个单位长度得到的， 所以f (x )＝log a (－x ＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数式的大小例3 (2023·武汉质检)已知a ＝log 30.5，b ＝log 3π，c ＝log 43，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <a <b答案 C解析 a ＝log 30.5<log 31＝0，即a <0； b ＝log 3π>log 33＝1，即b >1； 0＝log 41<log 43<log 44＝1，即0<c <1， ∴a <c <b .命题点2 解对数方程、不等式例4 若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，1解析 由题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数函数的性质及应用例5 (2023·郑州模拟)设函数f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B ．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C ．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D ．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增 答案 A解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠±3}， f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|＝ln|x 2－9|， 令g (x )＝|x 2－9|， 则f (x )＝ln g (x )，函数g (x )的单调区间由图象(图略)可知，当x ∈(－∞，－3)，x ∈(0,3)时，g (x )单调递减， 当x ∈(－3,0)，x ∈(3，＋∞)时，g (x )单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f (－x )＝ln|(－x )2－9|＝ln|x 2－9|＝f (x )得f (x )为偶函数．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0，且a ≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3] B ．(1,3) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 A解析 令t (x )＝6－ax ，因为a >0，所以t (x )＝6－ax 为减函数． 又由函数f (x )＝log a (6－ax )在(0,2)上单调递减， 可得函数t (x )＝6－ax >0在(0,2)上恒成立，且a >1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，6－2a ≥0，解得1<a ≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12(a >0，且a ≠1)有最小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，2) 解析 令u (x )＝x 2－ax ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 24， 则u (x )有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f (x )＝log 0.5(2x －1)的定义域为( ) A.⎝⎛⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．[1，＋∞)答案 A解析 由题意，要使函数f (x )＝log 0.5(2x －1)有意义，则满足log 0.5(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤12，1. 2．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 依题意，函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数，即函数y ＝a x 的图象过点(1,3)， 则a ＝3，f (x )＝log 3x ，于是得f (log 28)＝log 3(log 28)＝log 33＝1， 所以f (log 28)＝1.3．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为( )答案 A解析 函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B ，C ； 由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，可知函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：Ah)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式：C ＝I n ·t ，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝20 A 时，放电时间t ＝20 h ；当放电电流I ＝30 A 时，放电时间t ＝10 h ．则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为( ) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A.43 B.53 C.83 D ．2 答案 B解析 根据题意可得C ＝20n ·20，C ＝30n ·10， 两式相比得20n ·2030n ·10＝1，即⎝⎛⎭⎫23n ＝12， 所以n ＝23321log log 22＝ ＝lg 2lg 32＝lg 2lg 3－lg 2≈0.30.48－0.3＝53. 5．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－|x |，则不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．∅答案 B解析 不等式f (x )>0⇔log 2(x ＋1)>|x |， 分别画出函数y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象，由图象可知y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)， 由图象可知log 2(x ＋1)>|x |的解集是(0,1)， 即不等式f (x )>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的图象恒过定点(0,0) B ．函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，1上的最小值为0D ．若对任意x ∈[1,2]，f (x )≥1恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2] 答案 ACD解析 将(0,0)代入函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，成立，故A 正确； 当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1∈(1，＋∞)，又a >1，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)，由复合函数单调性可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)单调递增，故B 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，x ＋1∈⎣⎡⎦⎤12，2，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|≥log a 1＝0，故C 正确； 当x ∈[1,2]时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log a 2≥1，解得1<a ≤2，故D 正确．7．(2023·淮北模拟)计算：⎝⎛⎭⎫12－2＋log4＝______. 答案 10解析 ⎝⎛⎭⎫12－2＋4log 2log 2422＝＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f (x )＝()log 2x 的最小值为________． 答案 －14解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 9．已知f (x )＝()213log 5.x ax a －＋(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝()213log 210x x －＋，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u (x )＝x 2－ax ＋5a ， ∵y ＝13log u (x )为减函数，∴u (x )＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤1，1＋4a >0，解得－14<a ≤2， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－14，2. 10．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝log 3(9x ＋1)＋kx 是偶函数．(1)求k ；(2)解不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)．解 (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 3(9－x ＋1)－kx ＝log 3(9x ＋1)＋kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx ＝log 3(9－x ＋1)－log 3(9x＋1)＝log 39－x ＋19x ＋1＝log 33－2x ＝－2x ， ∴k ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log 3(9x ＋1)－x ＝log 3(9x ＋1)－log 33x ＝log 39x ＋13x ＝log 3(3x ＋3－x )， 则不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)等价于3x ＋3－x ≥7·3x －1>0，由7·3x －1>0，解得x >－log 37；由3x ＋3－x ≥7·3x －1，得6·(3x )2－3x －1≤0，得0<3x ≤12， 即x ≤－log 32，综上，不等式的解集为(－log 37，－log 32]．11．若非零实数a ，b ，c 满足2a ＝3b ＝6c ＝k ，则( )A.1a ＋1b ＝1cB.2a ＋2b ＝1cC.1a ＋1b ＝2cD.2a ＋1b ＝2c答案 A解析 由已知，得2a ＝3b ＝6c ＝k ，得a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，c ＝log 6k ，所以1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，1c＝log k 6， 而2×3＝6，所以1a ＋1b ＝1c . 12．(多选)关于函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )，下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,2)上为增函数C ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．f (x )的图象关于点(2,0)对称答案 BC解析 函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)，当x ＝2 时，4x －x 2 取到最大值4，故此时f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )取到最大值log 24＝2 ，A 错误； f (x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)可以看作是由函数y ＝log 2u ，u ＝－x 2＋4x (0<x <4) 复合而成，而y ＝log 2u 是定义域上的增函数，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减， 故f (x )在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B 正确； 因为函数f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )，故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，C 正确； 因为f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )≠－f (x )，故f (x )的图象不关于点(2,0)对称，D 错误．13．已知函数f (x )的定义域为R ，图象恒过点(0,1)，对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)的解集为( )A ．(ln 2，＋∞)B ．(－∞，ln 2)C ．(ln 2,1)D ．(0，ln 2) 答案 D解析 因为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，不妨设x 1>x 2， 则f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，令g (x )＝f (x )－x ，则g (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)，等价于f (ln(e x －1))－ln(e x －1)<1＝f (0)－0，即g (ln(e x －1))<g (0)，所以ln(e x －1)<0，则0<e x －1<1，解得 0<x <ln 2.14．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，x 2－8x ＋13，x ≥2，若f (x )＝a 有四个解x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A ．0<a <1B ．x 1＋2x 2∈(3，＋∞)C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4∈⎝⎛⎭⎫10，212 D ．x 4∈[4，＋∞)答案 AC解析 作函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，x 2－8x ＋13，x ≥2的图象如图所示，f (x )＝a 有四个解，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4， 可得0<a <1，故选项A 正确；由图象可得x 1·x 2＝1，则1x 1＝x 2， ∴x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1，∵12<x 1<1，且1<x 2<2，对勾函数y ＝x ＋2x 在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，故当12<x 1<1时，x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1∈⎝⎛⎭⎫3，92，故B 错误； x 1＋x 2＝1x 1＋x 1，∵12<x 1<1，∴1x 1＋x 1∈⎝⎛⎭⎫2，52， ∵x 3＋x 4＝8，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4∈⎝⎛⎭⎫10，212，故选项C 正确； 令x 2－8x ＋13＝0，解得x ＝4±3，由图象可知x 4∈(4＋3，6)，故选项D 错误．。

突破14 对数与对数函数重难点突破一、基础知识【知识点一、对数】 1．对数的概念（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作_______，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．（2）常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N ．（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把e log N 记为ln N ． 2．对数与指数的关系当a >0，且a ≠1时，log ba a Nb N =⇔=．即3．对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质： （1）负数和零没有对数，即0N >； （2）1的对数等于0，即log 10a =； （3）底数的对数等于1，即log 1a a =． 【知识点二、对数的运算】 1．基本性质若0,1,0a a N >≠>且，则 （1）log a Na=______；（2）log ba a =______．2．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：（1）log _________a (M N)=⋅； （2）log ________aM=N； （3）log _______()n a M =n ∈R ． 【知识点三、换底公式及公式的推广】 1．对数的换底公式log log (0,1;0,1;0)log c b c NN b b c c N b=>≠>≠>且且．【注】速记口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子．2．公式的推广 （1）1log log a b b a=（其中a >0且1a ≠；b >0且1b ≠）；（2）log log n na ab b =（其中a >0且1a ≠；b >0）；（3）log log n m a a mb b n=（其中a >0且1a ≠；b >0）； （4）1log log a ab b =-（其中a >0且1a ≠；b >0）；（5）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=（其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0）． 【知识点四、对数函数】 1．对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是_____． 2．对数函数(0,1)xy a a a =>≠且的结构特征 （1）对数符号前面的系数是1；（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）； （3）对数的真数仅有自变量x ． 【知识点五、对数函数的图象与性质】1．一般地，对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质如下表所示：01a << 1a >图象定义域 (0,)+∞值域 R奇偶性 非奇非偶函数过定点 过定点(1,0)，即1x =时，0y =单调性 在(0,)+∞上是___函数 在(0,)+∞上是___函数 函数值的变化情况当01x <<时，0y >； 当1x >时，0y <当01x <<时，0y <； 当1x >时，0y >【注】速记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数； 底数只能大于0，等于1了可不行； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过（1，0）点．2．对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且中的底数对其图象的影响在直线x =1的右侧，当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．【知识点六、反函数】根据指数与对数的关系，将指数式(0,1)xy a a a =>≠且（其中x 是自变量，且x ∈R ，y 是x 的函数，(0,)y ∈+∞）化成对数式，即log a x y =，于是对于任意一个(0,)y ∈+∞，通过式子log a x y =都有唯一一个x ∈R 与之对应，这样将y 看成自变量，x 是y 的函数，这时我们就说log ((0,))a x y y =∈+∞是函数()x y a x =∈R 的反函数．由于习惯上将x 看成自变量，而将y 看成因变量，因此，我们将log a x y =中的x ，y 互换，写成log ((0,))a y x x =∈+∞，即对数函数log ((0,))a y x x =∈+∞是指数函数()x y a x =∈R 的反函数，它们的图象关于直线y x =对称．知识参考答案：一、1．（1）log a x N = （2）10 二、1．（1）N（2）b2．（1）log log a a M +N （2）log log a a M N -（3）log a n M四、1．(0,)+∞ 五、1．减增二、题型分析1．对数的概念解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系． 【例1】在对数式(1)log (3)x x --中，实数x 的取值范围应该是 A ．1<x <3B ．x >1且x ≠2C ．x >3D ．1<x <3且x ≠2【答案】D【名师点睛】本题极易忽略底数的限制范围，底数1x -需大于0且不等于1． 【变式训练1】在M ＝log （x ﹣3）（x +1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，3] B ．（3，4）∪（4，+∞） C ．（4，+∞） D ．（3，4）【分析】由对数的定义可得，由此解得x 的范围．【答案】解：由函数的解析式可得 ，解得3＜x ＜4，或x ＞4．故选：B ．【点睛】本题主要考查对数的定义，属于基础题．【变式训练2若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为 ． 【分析】由已知利用对数的概念可得x 2﹣5x +6＞0，解不等式即可得解． 【答案】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得：3＜x 或x ＜2，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2．对数运算性质的应用对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：（1）尽量将真数化为 “底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如log a a =1(0,1)a a >≠且，log log 1a b b a ⋅=等．【例2】计算：（1）9log 32162)23(log--+； （2）2(lg 5)lg 2lg 5lg 2+⨯+．【答案】（1）13--；（2）1．【名师点睛】在计算23log(32)+-的值时，注意将32-化为132+即可求解．在求解（2）时，注意提取公因式，利用lg 2lg51+=求解．【变式训练1】（2019春•东莞市期末）计算（1）2﹣（）+lg +（）lg 1（2）lg 52+lg 8+lg 5lg 20+（lg 2）2【分析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）进行对数的运算即可． 【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg 5+2lg 2+lg 5（2lg 2+lg 5）+（lg 2）2＝2+（lg 2+lg 5）2＝3． 【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，完全平方公式的运用． 【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）计算： （1）；（2）．【分析】（1）进行对数的运算即可；（2）进行指数式和根式的运算即可． 【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．【变式训练3】（2019春•大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；（2）【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数的运算即可． 【答案】解：（1）原式＝；（2）原式＝．【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义． 3．换底公式的应用换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数．【例3】已知711,log 473ab ⎛⎫== ⎪⎝⎭，试用,a b 表示49log 48．【答案】492log 482b a+=． 【解析】11lg3,73lg 7aa ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭．∵7log 4,b =∴lg 4lg 7b =． 则49lg 48lg 4lg32log 48lg 49lg 72lg 722a b ab +==+=+=． 【名师点睛】在解题的方向还不清楚的情况下，一般统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数为底）．【变式训练1】（2019秋•中江县校级期中）利用对数的换底公式化简下列各式： （1）log a c •lo g c a ；（2）log 23•log 34•log 45•log 52； （3）（log 43+log 83）（log 32+log 92）．【分析】根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可． 【答案】解：（1）log a c •log c a ＝•＝1；（2）log 23•log 34•log 45•log 52＝•••＝1； （3）（log 43+log 83）（log 32+log 92）＝（+）（+）＝（+）（+）＝• ＝．【点睛】本题考查了对数的计算问题，也考查了换底公式的灵活应用问题，是基础题目． 【变式训练2】利用对数的换底公式化简下列各式：（log 43+log 83）（log 32+log 92） 【分析】利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．【答案】解：（log 43+log 83）（log 32+log 92） ＝（log 6427+log 649）（log 94+log 92） ＝log 64243•log 98 ＝ ＝＝．【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4．对数方程的求解解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解． 【例4】方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 ．【答案】2x =【名师点睛】本题所给方程的底数相同，若底数不同，则还需化为同底数再求解．另外，解对数方程必须把所求得的解代入原方程进行检验，以确保所有的真数都大于零，这是必不可少的步骤． 【变式训练1】求下列各式中x 的值： （1）log 4x ＝﹣，求x ；（2）已知log 2（log 3x ）＝1，求x ．【分析】（1）根据对数和指数之间的关系即可将log 232＝5化成指数式； （2）根据对数和指数之间的关系即可将3﹣3＝化成对数式；（3）根据对数的运算法则即可求x；（4）根据对数的运算法则和性质即可求x．【答案】解：（1）∵log232＝5，∴25＝32（2）∵3﹣3＝，∴log3＝﹣3；（3）∵log4x＝﹣，∴x＝＝＝2﹣3＝；（4）∵log2（log3x）＝1，∴log3x＝2，即x＝32＝9．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的化简，根据指数和对数的关系是解决本题的关键．【变式训练2】求下列各式中x的值：（1）log x27＝；（2）4x＝5×3x．【分析】（1）根据log x27＝，可得＝，进而得到x＝9，（2）根据4x＝5×3x，可得，化为对数式可得答案．【答案】解：（1）∵log x27＝，∴＝27＝33＝，故x＝9，（2）∵4x＝5×3x．∴，∴x＝【点睛】本题考查的知识点是指数式与对数式的互化，熟练掌握a x＝N⇔log a N＝x（a＞0，且a≠1，N＞0）是解答的关键．【变式训练3】先将下列式子改写指数式，再求各式中x的值．①log2x＝﹣②log x3＝﹣．【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值．【答案】解：①由log2x＝﹣，得＝＝；②由log x 3＝﹣，得，即．【点睛】本题考查对数式化指数式，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题． 5．与对数函数有关的函数的定义域和值域定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等．求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围．【例5】已知函数33()log (2)log (6)f x x x =-++． （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的最大值．【答案】（1）(6,2)-；（2）34log 2． 【解析】（1）由题意得2060x x ->⎧⎨+>⎩，解得62x -<<，故函数()f x 的定义域是(6,2)-．（2）33()log (2)log (6)f x x x =-++=23log (412)x x --+，(6,2)x ∈-．令22412(2)16t x x x =--+=-++，则(0,16]t ∈． 又3log y t =在(0,16]t ∈上为增函数，∴()f x 的最大值是33(2)log 164log 2f -==．【名师点睛】求函数的最值，一定要坚持“定义域优先”的原则．由对数函数组成的复合函数的最值问题，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围．学科&网 【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可． 【答案】解：由题意得，，解得x ＞，则函数的定义域是，故选：C ．【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题． 【变式训练2】（2018秋•宜宾期末）函数y ＝的定义域是（ ）A ．（，+∞）B ．（，1]C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log 0.5（4x ﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域． 【答案】解：要使原函数有意义，则log 0.5（4x ﹣3）≥0， 即0＜4x ﹣3≤1，解得． 所以原函数的定义域为（]．故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题． 【变式训练3】（2018春•连城县校级月考）函数y ＝的定义域是（ ）A ．[1，+∞）B ．（，+∞）C ．（1，+∞）D ．（，1]【分析】利用对数的性质求解． 【答案】解：函数y ＝的定义域满足：，解得．故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题． 6．对数函数的图象对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的,x y ，即可得到定点的坐标．当底数1a >时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的增函数，当1x >时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数01a <<时，对数函数()log a f x x =是(0,)+∞上的减函数，当01x <<时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y =1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．【例6】设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是 A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,2)-D ．(3,2)【答案】A【名师点睛】本题求定点坐标的依据是对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象过定点（1，0），不必分1a >和01a <<两种情况讨论．【变式训练1】（2019•西湖区校级模拟）若当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1，则函数y ＝log a ||的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由于当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a ＜1．先画出函数y ＝log a |x |的图象，此函数是偶函数，当x ＞0时，即为y ＝log a x ，而函数y ＝log a ||＝﹣log a |x |，即可得出图象．【答案】解：∵当x ∈R 时，函数f （x ）＝a |x |始终满足0＜|f （x ）|≤1． 因此，必有0＜a ＜1．先画出函数y ＝log a |x |的图象：红颜色的图象． 而函数y ＝log a ||＝﹣log a |x |，其图象如黑颜色的图象． 故选：B ．【变式训练2】（2018秋•船营区校级月考）函数f （x ）＝的图象可能是（ ）A ．B ．C．D．【分析】先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除BC，再根据函数值域，可排除D．【答案】解：∵f（x）＝，∴函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵，∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B、C，∵当0＜x＜1时，lnx＜0，∴f（x）＝＜0，x∈（0，1）故排除D．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．【变式训练3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X 轴的交点是（1，0），故函数y ＝lg （x +1）的图象与X 轴的交点是（0，0），即函数y ＝|lg （x +1）|的图象与X 轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A 选项符合题意故选：A ．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的变化 规律，由这些规律得出函数y ＝|lg （x +1）|的图象的特征，再由这些特征判断出函数图象应该是四个选项中的那一个 7．对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较．（2）解简单的对数不等式：形如log log a a x b >的不等式，常借助=log a y x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况进行讨论；形如log a x b >的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解． 【例7】已知13212112,log ,log 33a b c -===，则 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】 C【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1，0来进行比较． 【变式训练1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【分析】容易得出，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【答案】解：∵log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1 ∴a ＜c ＜b ．故选：B ．【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．【变式训练2】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．【分析】容易得出，从而可得出正确的选项．【答案】解：∵log 34＞log 33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log 0.310＜log 0.31＝0， ∴．故选：A ．【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义． 8．对数型复合函数的性质及其应用 （1）对数复合函数的单调性复合函数y =f [g （x ）]是由y =f （x ）与y =g （x ）复合而成，若f （x ）与g （x ）的单调性相同，则其复合函数f [g （x ）]为增函数；若f （x ）与g （x ）的单调性相反，则其复合函数f [g （x ）]为减函数．对于对数型复合函数y =log a f （x ）来说，函数y =log a f （x ）可看成是y =log a u 与u =f （x ）两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．学科%网（2）对于形如y =log a f （x ）（a >0，且a ≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y =log a u ，u =f （x ）两个函数； ②求f （x ）的定义域； ③求u 的取值范围；④利用y =log a u 的单调性求解．【例8】讨论函数()2log 32()1a f x x x =--的单调性．【答案】答案详见解析．【解析】由3x 2−2x −1>0，得函数的定义域为{x |x >1或x <13-}． ①当a >1时，若x >1，∵u =3x 2−2x −1为增函数，∴f（x）=log a（3x2−2x−1）为增函数．若x<13-，∵u=3x2−2x−1为减函数，∴f（x）=log a（3x2−2x−1）为减函数．②当0<a<1时，若x>1，则f（x）=log a（3x2−2x−1）为减函数，若x<13-，则f（x）=log a（3x2−2x−1）为增函数．【名师点睛】求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y=f（u），u=φ（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．【变式训练1】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log0.5（4x﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【答案】解：要使原函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，即0＜4x﹣3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．【变式训练2】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数y＝的定义域满足：，解得．故选：D．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．【变式训练3】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．【答案】解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝1时，u（x）取得最大值4，∵函数y ＝log 4x 为（0，+∞）上的增函数， ∴当u （x ）取得最大值时，原函数取得最大值， 即y max ＝log 4u （x ）max ＝log 44＝1，因此，函数y ＝log 4（2x +3﹣x 2）的值域为（﹣∞，1]， 故填：（﹣∞，1]．【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，涉及对数函数的单调性，用到配方法和二次函数的性质，属于基础题．【变式训练4】函数y ＝（x ）2﹣x 2+5 在 2≤x ≤4时的值域为 ．【分析】利用换元法，令t ＝由2≤x ≤4 可得﹣1≤t ≤﹣，由题意可得y ＝＝（t ﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，从而可求函数的值域． 【答案】解：令t ＝，因为2≤x ≤4，所以﹣1≤t ≤﹣，则y ＝＝（t ﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，当t ＝﹣是函数有最小值，当t ＝﹣1时函数有最大值8；故答案为：{y |}【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题． 9．忽略真数大于0【例9】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值． 【错解】因为lg lg 2lg(23)x y x y +=-，所以2(23)xy x y =-，即2241390x xy y -+=，即()(49)0x y x y --=，解得x y =或94x y =． 所以3322log log 10x y ==或233322293log log log ()242x y ===． 【错因分析】错解中，()lg lg 2lg 23x y x y +=-与2(23)xy x y =-对,x y 的取值范围要求是不同的，即求解过程不等价，因此，得出解后要代入原方程验证．【正解】同错解，得到x y =或94x y =． 由()lg lg 2lg 23x y x y +=-知，0,0,230x y x y >>->， 当x y =时，230x y -<，此时()lg 23x y -无意义，所以x y =， 即3322log log 10xy ==应舍去； 当94x y =时，233322293log log log ()242x y ===． 【名师点睛】求解有关对数恒等式或不等式的过程中，经常需要将对数符号“脱掉”，此时很容易忽略原式中对数的真数大于0这一隐性限制条件，从而导致求出的最终结果中产生增根或范围扩大，因此要求我们对于此类题，一定要将求出的结果代入原式中进行检验． 10．忽略对底数的讨论【例10】不等式1log (4)log a ax x ->-的解集是_______．【错解】∵1log log a ax x -=，∴原不等式等价于log (4)log a a x x ->，∴4x x ->，解得x ＜2．∴不等式1log (4)log a ax x ->-的解集为(,2)-∞．【错因分析】错解中的底数a 的值不确定，因此要分类讨论．另外，求解时要保证真数大于0．【名师点睛】解对数不等式时，要防止定义域扩大，途径有两种：一是不同解变形，最后一定要检验；二是解的过程中加上限制条件，如正解，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解不等式组得到原不等式的解，这样得出的解就不用检验了．三．课后作业1．222log log 63+等于 A ．1B ．2C ．5D ．6【答案】B【解析】原式=2222log 6log 23⎛⎫⨯=⎪⎝⎭=2．故选B ． 2．实数01()lg42lg52-++的值为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】01()lg42lg52-++=1+lg4+lg25=1+lg100=3．故选C ． 3．已知函数f （x ）=log 2（3+x ）+log 2（3–x ），则f （1）= A ．1 B ．log 26C ．3D ．log 29【答案】C【解析】f （1）=log 24+log 22=2+1=3．故选C ． 4．若212log log 2a b +=，则有A ．a =2bB ．b =2aC ．a =4bD ．b =4a【答案】C【解析】212log log 2a b +=，得2log 2a b ⎛⎫=⎪⎝⎭，即a =4b ．故选C ． 5．设()()2log 20xf x x =>，则f （3）的值是A ．128B ．256C ．512D ．8【答案】B【解析】设log 2x =t ，则x =2t ，所以f （t ）=22t ，即f （x ）=22x ．则f （3）=32822256==．故选B ．6．log 513+log 53等于 A ．0 B ．1C ．–1D ．log 5103【答案】A【解析】原式=51log 33⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=log 51=0．故选A ．7．若a =3412（），b =1234（），c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是 A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <b <a【答案】A【解析】∵a =314211()22<（）<b =1234（），c =log 23>1，则a <b <c ，故选A ． 8．若a =30.4，b =0.43，c =log 0.43，则 A ．b <a <c B ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a【答案】D【解析】a =30.4>1，b =0.43∈（0，1），c =log 0.43<0，则c <b <a ．故选D ． 9．若25210cab==且abc ≠0，则c c a b+= A ．2B ．1C ．3D ．4【答案】A10．已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是A ．11()()43a b < B ．11a b> C ．ln （a –b ）>0D ．3a –b <1【答案】A【解析】∵1122log log a b <，∴a >b >0，∴111()()()433a a b <<，11a b<，ln （a –b ）与0的大小关系不确定，3a –b >1．因此只有A 正确．故选A ． 11．函数()lg 2y x =+的定义域为__________．【答案】（–1，+∞）【解析】应该满足()20lg 20x x +>⎧⎨+>⎩，即2+x >1，解得x >–1，所以函数的定义域为（–1，+∞）．故答案为：（–1，+∞）．12．函数y =lg x 的反函数是__________． 【答案】y =10x【解析】函数y =lg x ，可得x =10y ，所以函数y =lg x 的反函数是y =10x ．故答案为：y =10x ． 13．函数f （x ）=1ln x -的定义域为__________． 【答案】（0，e]【解析】函数()1ln f x x =-的定义域为：{x |01ln 0x x >⎧⎨-≥⎩}，解得0<x ≤e ．故答案为：（0，e]．14．设2x =5y =m ，且11x y+=2，则m 的值是__________． 【答案】10【解析】由2x =5y =m ，得x =log 2m ，y =log 5m ，由11x y+=2，得25112log log m m +=，即log m 2+log m 5=2，∴log m 10=2，∴m =10．故答案为：10．15．方程log 2（2–x ）+log 2（3–x ）=log 212的解x =__________． 【答案】–116．已知f （x ）=lg （10+x ）+lg （10–x ），则f （x ）是 A ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是增函数 B ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是增函数 C ．f （x ）是奇函数，且在（0，10）是减函数 D ．f （x ）是偶函数，且在（0，10）是减函数 【答案】D 【解析】由100100x x +>⎧⎨->⎩得：x ∈（–10，10），故函数f （x ）的定义域为（–10，10），关于原点对称，又由f （–x ）=lg （10–x ）+lg （10+x ）=f （x ），故函数f （x ）为偶函数，而f （x ）=lg （10+x ）+lg （10–x ）=lg （100–x 2），y =100–x 2在（0，10）递减，y =lg x 在（0，10）递增，故函数f （x ）在（0，10）递减，故选D ． 17．设正实数a ，b 满足6a =2b ，则A ．01ba << B ．12ba <<C ．23ba<<D ．34b a<<【答案】C【解析】∵6a =2b ，∴a ln6=b ln2，∴ln6ln2ln3ln2ln2b a +===1+ln3ln2=1+log 23，∵1<log 23<2，∴2<ba<3，故选C ．18．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 为1080，则下列各数中与MN最接近的是 A ．1033 B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】由题意：M ≈3361，N ≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M ≈3361≈（100.48）361≈10173，∴M N ≈173801010=1093．故选D ． 19．若log 2（log 3a ）=log 3（log 4b ）=log 4（log 2c ）=1，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a >b >c B ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a【答案】D【解析】由log2（log3a）=1，可得log3a=2，lg a=2lg3，故a=32=9，由log3（log4b）=1，可得log4b=3，lg b=3lg4，故b=43=64，由log4（log2c）=1，可得log2c=4，lg c=4lg2，故c=24=16，∴b>c>a．故选D．20．若正实数x，y满足log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），则x+3y的最小值是A．12 B．10C．8 D．6【答案】D【解析】∵log2（x+3y）=log4x2+log2（2y），∴log2（x+3y）=log2x+log2（2y），即x+3y=2yx．可得：x+3y=23•3yx．∴3 2（x+3y）23()2x y+≤，当且仅当x=3y时取等．令x+3y=t，（t>0），则6t≤t2，解得：t≥6，即x+3y≥6．故选D．21．对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是A．lg y–lg x=lg yxB．lg（x+y）=lg x+lg yC．lg x3=3lg x D．lg x=ln ln10 x【答案】B22．设函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=–x对称，且f（–2）+f（–1）=2，则a= A．3 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】函数y=f（x）的图象与y=log2（x+a）的图象关于直线y=–x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y=–x对称的点为（–y，–x），把（–y，–x）代入y=log2（x+a），得–x=log2（–y+a），∴f（x）=–2–x+a，∵f（–2）+f（–1）=2，∴–22+a–2+a=2，解得a=4．故选D．23．已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为A．（–∞，–1）B．（–3，–1）C．[–1，+∞）D．[–1，1）【答案】B【解析】由–x2–2x+3>0，解得：–3<x<1，而y=–x2–2x+3的对称轴是x=–1，开口向下，故y=–x2–2x+3在（–3，–1）递增，在（–1，1）递减，由y =ln x 递增，根据复合函数同增异减的原则，得f （x ）在（–3，–1）递增，故选B ．24．已知函数()()212log 45f x x x =--，则函数f （x ）的减区间是A ．（–∞，2）B ．（2，+∞）C ．（5，+∞）D ．（–∞，–1）【答案】C【解析】设t =x 2–4x –5，由t >0可得x >5或x <–1，则y =12log t 在（0，+∞）递减，由t =x 2–4x –5在（5，+∞）递增，可得函数f （x ）的减区间为（5，+∞）．故选C ．25．已知R 上的奇函数f （x ）满足当x <0时，f （x ）=log 2（1–x ），则f （f （1））= A ．–1 B ．–2C ．1D ．2【答案】C【解析】设x >0，–x <0，f （x ）为R 上的奇函数，且x <0时，f （x ）=log 2（1–x ），则f （–x ）=log 2（1+x ）=–f （x ），∴f （x ）=–log 2（1+x ），∴f （1）=–1，∴f （f （1））=f （–1）=log 22=1．故选C ．26．若实数a ，b 满足a >b >1，m =log a （log a b ），2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为A ．m >l >nB ．l >n >mC ．n >l >mD ．l >m >n【答案】B【解析】∵实数a ，b 满足a >b >1，m =log a （log a b ），2(log )a n b =，2log a l b =，∴0=log a 1<log a b <log a a =1，∴m =log a （log a b ）<log a 1=0，0<2(log )a n b =<1，1>2log a l b ==2log a b >2(log )a n b =．∴m ，n ，l 的大小关系为l >n >m ．故选B ．27．函数f （x ）=log a （3–ax ）（a >0且a ≠1）在区间（a –2，a ）上单调递减，则a 的取值范围为__________．【答案】{a |1<a 【解析】∵函数f （x ）=log a （3–ax ）（a >0且a ≠1）在区间（a –2，a ）上单调递减，∴2130a a >⎧⎨-≥⎩，求得1<a ，故答案为：{a |1<a ．28．已知函数f （x ）=a •2x +3–a （a ∈R ）的反函数为y =f –1（x ），则函数y =f –1（x ）的图象经过的定点的坐标为__________． 【答案】（3，0）【解析】∵f （x ）=a •2x +3–a =a （2x –1）+3过定点（0，3），∴f （x ），的反函数y =f –1（x ）的图象经过定点（3，0）．故答案为：（3，0）．29．若函数f （x ）=log a （x 2–ax +1）（a >0且a ≠1）没有最小值，则a 的取值范围是__________． 【答案】（0，1）∪[2，+∞）30．（1）5log 3333322log 2log log 8259-+-； （2）74log 2327log lg 25lg 47++． 【答案】（1）–7；（2）154． 【解析】（1）原式=25log 933332log 4log log 8259-+-39log 48932⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭=log 39–9=2–9=–7；（2）74log 2327log lg 25lg 47++()31424333115log lg 2542log 3lg10222344-=+⨯+=++=-++=．31．求函数f （x ）=log 13（x 2–3）的单调区间．3+∞），单增区间是（–∞，3）． 【解析】要使函数有意义，当且仅当u =x 2–3>0， 即x 3x <3又x 3+∞）时，u 是x 的增函数； x ∈（–∞，3）时，u 是x 的减函数． 而u >0时，y =log 13u 是减函数， 故函数y =log13（x 2–33+∞），单增区间是（–∞，3 32．已知函数f （x ）=lg （x +1）–lg （1–x ）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【答案】（1）（–1，1）；（2）f（x）为奇函数．【解析】（1）要使原函数有意义，需满足10 10 xx+>⎧⎨->⎩，解得–1<x<1，故函数的定义域为（–1，1）；（2）∵f（–x）=lg（1–x）–lg（1+x）=–f（x）∴f（x）为奇函数．33．已知函数f（x）=log a（1+x）–log a（1–x），其中a>0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（35）=2，求使f（x）>0成立的x的集合．【答案】（1）（–1，1）（2）奇函数，理由详见解析；（3）（0，1）．（3）若f（35）=2，∴log a（1+35）–log a（1–35）=log a4=2，解得a=2，∴f（x）=log2（1+x）–log2（1–x），若f（x）>0，则log2（x+1）>log2（1–x），∴x+1>1–x>0，解得0<x<1，故不等式的解集为（0，1）．34．（2018•天津）已知a=log2e，b=ln2，c=121log3，则a，b，c的大小关系为A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b【答案】D【解析】a=log2e>1，0<b=ln2<1，c=log1213=log23>log2e=a，则a，b，c的大小关系c>a>b，故选D．35．（2018•天津）已知a=log372，b=1314（），c=131log5，则a，b，c的大小关系为A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 【答案】D【解析】∵a=log372，c=131log5=log35，且5732>>，∴337512log log>>，则b=1311()144<=（），∴c>a>b．故选D．36．（2018•新课标Ⅲ）设a=log0.20.3，b=log20.3，则A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b【答案】B37．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=__________．【答案】7【解析】∵常数a ∈R ，函数f （x ）=1og 2（x +a ）．f （x ）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f （x ）=1og 2（x +a ）的图象经过点（1，3），∴log 2（1+a ）=3，解得a =7．故答案为：7．38．【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=__________．【答案】2-【解析】()()))ln1ln1f x f x x x +-=+++()22ln 12x x =+-+2=，∴()()2f a f a +-=，则()2f a -=-，故答案为：–2．。

高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(e x)＜0的x的取值范围为．【答案】(0，1)【解析】因为由得：，又，所以由f(e x)＜0得：【考点】利用导数解不等式2.函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为________________.【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.函数y＝(－x2＋6x)的值域()A．(0,6)B．(－∞，－2]C．[－2,0)D．[－2，＋∞)【答案】D【解析】∵－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∴0<－x2＋6x≤9，∴y≥9＝－2，故选D.4.设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则()A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A【解析】∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，∴a>b，又＝＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.5.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故C正确.【考点】1对数函数的运算；2函数图像的平移.6.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系为________．【答案】a＞b＞c【解析】a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a＞b＞c.7. [2014·湛江模拟]已知函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(2，＋∞)【答案】B【解析】由题意可知，a＞0，故内函数y＝2－ax必是减函数，又复合函数是减函数，所以a＞1，同时在[0,1]上2－ax＞0，故2－a＞0，即a＜2，综上可知，a∈(1,2)．8.已知上的增函数，那么的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设，故选C.【考点】1、分段函数；2、对数函数的性质；3、不等式组的解法.9. 2log510+log50.25=（）A．0B．1C．2D．4【答案】C【解析】∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选C．10.下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C．D．（1，2）【答案】D【解析】∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D11.方程的解是．【答案】1【解析】原方程可变为，即，∴，解得或，又，∴．【考点】解对数方程．12.(1)设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差是，则a＝________；(2)若a＝log0.40.3，b＝log54，c＝log20.8，用小于号“<”将a、b、c连结起来________；(3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m、n满足m<n且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为________.【答案】(1)4(2)c＜b＜a(3)－1＜x＜0(4)，2【解析】解析：(1)∵a>1，∴函数f(x)＝loga x在区间[a，2a]上是增函数，∴loga2a－logaa＝，∴a＝4.(2)由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a.(3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，则由lg<0，得解得－1<x<0.(4)结合函数f(x)＝|log2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn＝1，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，解得m＝，所以n＝2.13.已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题意，若a ＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．14.已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号)【答案】③④【解析】条件中的等式Û2a=3bÛa lg2=b lg3．若a≠0，则∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．15. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．【答案】【解析】左边＝log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a＝log a (m ＋n)，∴已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m 、n 为正整数，∴解得16. 若|log a |=log a ,|log b a|=-log b a,则a,b 满足的条件是( ) A ．a>1,b>1 B ．0<a<1,b>1 C ．a>1,0<b<1 D ．0<a<1,0<b<1【答案】B【解析】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a 和b 的范围. ∵|log a |=log a ,∴log a ≥0=log a 1,根据对数函数的单调性可知0<a<1. ∵|log b a|=-log b a,∴log b a≤0=log b 1,但b≠1,所以根据对数函数的单调性可知b>1.17. 已知a>0，且a≠1，log a 3<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，1)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．(1，2)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】由已知得log a 3<log a a.当a>1时，3<a ，所以a>3；当0<a<1时，3>a ，因此0<a<1.综合选B.18. 已知A=｛x|,x ∈R ｝，B=｛x||x-i|<，i 为虚数单位，x>0｝,则A B=（ ） A ．（0,1） B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C 【解析】，即。

对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。

如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。

其中a称为底数，N称为真数。

负数和零没有对数。

对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。

常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。

自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。

它的定义域为正实数集，值域为实数集。

对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。

当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。

对数公式在数学中有广泛的应用。

例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。

还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。

在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。

总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。

4、已知a>b>c，那么a>b>c。

3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。

2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。

5、如果a>1，且a-x-logaxy。

1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第14讲对数与对数函数考向预测核心素养以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，各种题型均可能出现，中档难度.数学抽象、数学运算一、知识梳理1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数2．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N．(2)log a MN＝log a M－log a N．(3)log a M n ＝n log a M(n∈R)．3．换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．4．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．5．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象性质定义域(0，＋∞)值域R定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数常用结论1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nmlog a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d. 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到此规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________． 解析：(log 43＋log 83)·log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝56. 答案：562．(人A 必修第一册P 131练习T 1改编)函数y ＝log 711－3x的定义域为________． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <133．(人A 必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小： (1)log 0.56________log 0.54； (2)log 213________log 123.答案：(1)< (2)＝一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是同一个函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏1．(对数函数图象不清致误)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A.由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出当x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.2．(对数函数单调性不清致误)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，13．(忽视对底数的讨论致误)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，所以0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，所以a >1.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数式的化简与求值(自主练透)复习指导：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．1．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：122．计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：23．(2022·德州高三期中)声音大小(单位：分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位：N/m 2)．已知声音大小y 与声压x 的关系式为y ＝10×lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则在居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的________倍．解析：当y ＝50时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝5，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝105，解得x ＝2×10－52，当y ＝40时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝104，解得x ＝2×10－3，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的2×10－522×10－3＝1012＝10倍．答案：104．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：10对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考点二 对数函数的图象及应用(思维发散)复习指导：理解对数函数概念，掌握对数函数图象的特征并求解有关问题．(1)(链接常用结论2)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C ．0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)方程4x＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a <1；因为图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，所以该函数的图象是由函数y ＝log a x的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，所以0<c <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 【答案】 (1)D (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22本例(2)改为若4x <log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)． 当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．|跟踪训练|1．(2022·河北高三考试)函数y ＝1ln （x ＋1）的大致图象为( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝1ln 2>0，排除C ，D. 当x ＝－12时，y ＝1ln12＝1－ln 2<0，排除B.故选A.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)复习指导：利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)．角度1 单调性的应用(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c <b B.a <b <c C ．b <c <aD.c <a <b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞)(3)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，n ＝4x ，则log 4m ＝________；满足log n m >1的实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为a ＝13log 323<13log 39＝23＝c ，b ＝13log 533>13log 525＝23＝c ，所以a <c <b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，得a >12，所以12<a <1.(3)由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 4m ＝12log 2m ＝12log 22－23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－13；由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<1，由log n m >1可得m <n <1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<22x <1，则－23<2x <0，解得－13<x <0.【答案】 (1)A (2)C (3)－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0角度2 和对数函数有关的复合函数已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1， 所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3)．(2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.对数函数性质的应用利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．|跟踪训练|1．(2022·宁夏月考)已知函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(－∞，2] C ．[5，＋∞)D.[3，＋∞)解析：选D.由题意，得x <－1或x >3，设g (x )＝x 2－2x －3，根据二次函数的性质，可得函数g (x )在(3，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，又由函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，可得a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．2．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为________．解析：由⎩⎨⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3 3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________． 解析：由于a >0，且a ≠1， 所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则y ＝log a u 必为增函数， 所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >3. 答案：(3，＋∞)4．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则0<m <1，n >1，所以log 12m＝－log 12n ，所以mn ＝1，所以m ＋3n ＝m ＋3m .令h (m )＝m ＋3m，则易知h (m )在(0，1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，所以m ＋3n >4.答案：(4，＋∞)[A 基础达标]1．设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <c B.b <a <c C ．b <c <aD.c <a <b解析：选D.由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝(13)－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )解析：选A.易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，故选A.3．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B.(－∞，0) C ．(2，＋∞)D.(－∞，－2)解析：选D.函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．4．(2021·高考全国卷甲)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )A ．1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6解析：选C.由题意知4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 12x 2＋a log 12x ＋4，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，f (x )≤6恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－1 B.1 C.－2D.2解析：选A.令t ＝log 12x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，所以t ∈(0，2]，则问题可转化为对任意的t ∈(0，2]，t 2＋at ＋4≤6恒成立，即a ≤2－t 2t＝2t－t 对任意的t ∈(0，2]恒成立．因为y ＝2t－t 在t ∈(0，2]上单调递减，所以y min ＝1－2＝－1，所以a ≤－1，即实数a 的最大值为－1.6．(2022·四川南充月考)已知a ＝213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 2(ab )＝________．解析：由题意，得log 2(ab )＝log 2(213·2－23)＝log 22－13＝－13.答案：－137．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＝________，n ＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎨⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎨⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎨⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3.答案：1338．(2022·甘肃平凉月考)已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3，4]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝ax 2－x ，当a >1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，无解，当0<a <1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≤3，g （3）＝9a －3>0，解得13<a <1，综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a1a<log a2<log aa .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈[1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 综合应用]11．(多选)(2022·湖南长沙期末)设函数f (x )＝log 12x ，下列四个命题正确的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数D ．若0<a <1，则|f (1＋a )|>|f (1－a )|解析：选BC.A 选项，f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f (x )是非奇非偶函数，A 错误．B 选项，由于f (a )＝|f (b )|，a ≠b ，a >0，b >0，所以log 12a ＝－log 12b ，log 12a ＋log 12b ＝0，log 12ab ＝0，ab ＝1，B 正确．C 选项，f (－x 2＋2x )＝log 12(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，又y ＝－x 2＋2x 的开口向下，对称轴为x ＝1， 根据复合函数单调性同增异减可知函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数，C 正确．D 选项，由于0<a <1，所以1＋a >1>1－a ，所以|f (1＋a )|>|f (1－a )|，则－log 12(1＋a )>log 12(1－a )，即log 12(1－a )(1＋a )＝log 12(1－a 2)<0，由于1－a2∈(0，1)，所以log1(1－a2)>0，所以|f(1＋a)|>|f(1－a)|不成立，D错2误．12．(多选)已知函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是2( )A．函数f(x)的定义域是[－4，2]B．函数y＝f(x－1)是偶函数C．函数f(x)在区间[－1，2)上是减函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称解析：选BD.函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)＝－log2(2－x)－log2(x＋4)＝－2[(2－x)(4＋x)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数f(x)的定义域为(－log24，2)，故A错误；由y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(3＋x)]＝－log2(9－x2)，定义域为(－3，3)，显然y＝f(x－1)为偶函数，B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log8知f(－1)<f(0)，故C错误；y＝f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)向左平移1个2单位得y＝f(x)，故y＝f(x)的图象关于x＝－1对称，D正确，故选BD.13．若函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )A．0<a<1 B.0<a<2，a≠1C．1<a<2 D.a≥2解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＞0中Δ<0，即a2－4<0，所以1<a<2.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.14．已知函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，若对于x∈[1，2]，f(ax2)<f(3)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝x 2＋ln(|x |＋1)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax 2|<3对x ∈[1，2]恒成立，即|a |<3x 2对x ∈[1，2]恒成立，所以|a |<34，解得－34<a <34.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34[C 素养提升]15．(2022·日照高三联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <－12，log a（2x ＋3），x ≥－12的值域为R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的取值范围是________．解析：当x <－12时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，而f (x )的值域是R ，所以当x ≥－12时，f (x )＝log a (2x ＋3)的取值范围应包含(－∞，－1)，又x ≥－12时，2x ＋3≥2，所以0<a ≤12.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a 4∈[－2，0)．答案：[－2，0)16．已知奇函数f (x )＝log a b ＋ax1－ax (a >0且a ≠1)．(1)求b 的值，并求出f (x )的定义域；(2)若存在区间[m ，n ]，使得当x ∈[m ，n ]时，f (x )的取值范围为[log a 6m ，log a 6n ]，求a 的取值范围．解：(1)由已知f (x )＋f (－x )＝0，得b ＝±1， 当b ＝－1时，f (x )＝log a －1＋ax 1－ax＝log a (－1)，舍去， 当b ＝1时，f (x )＝log a 1＋ax 1－ax ，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a . 故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a .(2)当0<a <1时，f (x )＝log a 1＋ax1－ax ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递减．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am ＝log a6n ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6m ，而y ＝1＋ax1－ax ＝21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递增，所以1＋am1－am <1＋an1－an ，又6m <6n 与⎩⎪⎨⎪⎧1＋am1－am ＝6n ，1＋an1－an ＝6m矛盾，故a >1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am＝log a 6m ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6n .故方程1＋ax1－ax ＝6x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根，即6ax 2＋(a －6)x ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根． 设g (x )＝6ax 2＋(a －6)x ＋1(a >1)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝（a －6）2－24a >0，－1a <－a －612a <1a，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝12a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2>0，化简得⎩⎨⎧a 2－36a ＋36>0，0<a <18， 解得0<a <18－122，又a >1，故1<a <18－12 2. 所以a 的取值范围是(1，18－122)．。

对数与对数函数【考纲要求】1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2.掌握对数函数的概念、图象和性质.3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】【考点梳理】考点一、对数概念及其运算我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.(一)对数概念:1.如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.对数与对数函数图象与性质对数运算性质对数函数的图像与对数的概念指对互化运算(三)对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1)()log log log a a a MN M N =+；推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、(2)log log log aa a MM N N =-； (3)log log a a M M αα=.(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n aa n∈=令 log a M=b ， 则有a b=M ， (a b )n=M n，即nb n M a =)(，即n aM b nlog=，即:n a a M M n log log =.(2) )1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ，则有a b=M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即aMb c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a .考点二、对数函数及其图像、性质1.函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.2.在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见图1)(1)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的图像过点(1，0)(3)当a>1时，0(1)log 0(1)0(01)a x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩a 0(x 1)0a 1log x 0(x 1)0(0x 1)<>⎧⎪<<==⎨⎪><<⎩当时，【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化：(1)2log 83=；(2)13log 92=-；(3)3log3x =；(4)45625=；(5)1133-=；(6)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】(1)328=；(2)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(3)33x =；(4)5log 6254=；(5)31log 13=-；(6)14log 162=-.【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式】求下列各式中x 的值：(1)642log 3x =- (2)log 86x = (3)lg100=x (4)2-ln e x =【解析】(1)2223()323331(64)(4)4416x --⋅--=====； (2)111166366628()(8)(2)22x x x ======，所以(3)10x =100=102，于是x=2；(4)由222ln ln 2xe x x e e e x --=-===-，得，即所以.类型二、对数运算法则的应用例2.求值(1) log 89·log 2732(2)91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (3))36log 43log 32(log log 42122++(4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)【解析】(1)原式=91035322log 3log 532233=⋅=⋅. (2)原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---(3)原式=1222223log (5log log 6)4-++ 22223log (5log log 6)log 834=-+==(4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 22251(3log 5log 5log 5)(3log 2)3=++52133log 2log 5133=⋅= 举一反三：【变式】已知：log 23=a ， log 37=b ，求：log 4256=? 【解析】∵ 3log 12log 23=∴a12log 3=， 33342333log 56log 7log 8log 56log 42log 7log 6+==+3333log 73log 2log 71log 2+=++ 13113+++=+++=a ab ab ab a b类型三、对数函数性质的综合应用 例3.已知函数)2(log )(221x x x f +-=（1）求函数)(x f 的值域；（2）求)(x f 的单调性 【解析】222221122212212212(1)-20200202-2(2)(0,1]log (-2)log 10log (-2)[0,).(2)-2(02)log -20,11,2log x x x x x x y x x x x x x y x x u x x x v uu x x v u +>∴-<∴<<<<=+=--∈∴+≥=∴=++∞=+<<==+=∴Q 由题得当时，函数的值域为设函数在（）上是增函数，在（）上是减函数。