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2.1.数列极限概念

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2.1数列的极限

2.1数列的极限

xn a
a
a
故 lim n
xn
a.
较难的题目
证明 lim n n 1 n
记住结论
证 对任意给定的 ε > 0, 要使不等式 n n 1 成立.
令 un n n 1 0 适当扩大
n

(1
un )n

1
nun

n(n 1) 2
un2

n(n 1) 2
un2

un2

2 n1

un

2
n1
2
n 2 1
取
N

2
2
1
1
则当n > N时, 恒有
n n 1
故 lim n n 1. n
类似地证明: 当 a 1是给定的实数时, lim n a 1 n
简证 令 un n a 1 0
xn1 , xn2 ,, xnk ,
注 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，而 xnk 在原
数列 xn中却是第 nk 项，显然，nk k.
定理4 收敛数列的任一子数列也收敛, 且极限相同．
正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,不等式 xn a
都成立,那么就称常数 a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn 收敛于 a ,记为
lim
n
xn

a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
xn

a

0,N 0,使n N时, 恒有 xn a

§2.1数列极限

§2.1数列极限

华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
8
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
引例②截丈问题
战国时代哲学家庄周著的《庄子· 天下 篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭. 1 第一天截下后的杖长为 X1 ; 2 1 第二天截下后的杖长为 X2 2 ; 2
1 第n天 截 下 后 的 杖 长 为 Xn n ; 2 1 0 Xn n
2
……
9
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
两个引例共同点是出现了无限接近思想，这正是 极限概念的原始面貌. 极限概念是由于求某些问题的 精确答案而产生的, 割圆术和杖棰问题使用的都是极 限的方法. 第一个是把一个固定不变的量看作是一系 列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面积的 大小. 第二个是杖棰剩余问题，看作一系列变化着的 剩余趋向于一个确定量的问题. 无论是内接正多边形的面积 ，还是杖棰的剩余长 度，都可以看作是关于 n 的一个数列{ an }，而这个数 列中的项随着 n 增加产生一个什么样的变化过程则是 人们最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型.
16
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
(4) 对 0, 2 , , 2 , M ( M正常数 )等, 虽与 在 形式上有差异 ， 但在本质上都与 起着同样的作用 .
lim a n a 0, N N , 当n N时, 有 a n a M .
2017年11月29日星期三
12
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
下面给出数列极限严格的数学定义. ( N定义)

2.1 数列的极限

2.1 数列的极限
第二节 极限的概念与性质
数学系 贺 丹
2.1 数列极限的概念
.
一的 尺《 之庄 棰子
·
日 天战
取 下国
其 篇时
半 》代
万 世 不 竭
引哲 用学 过家 一庄 句周
话所
:
著
2.1 数列极限的概念
战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下 篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭.
{an } ：剩余的长度
例
4．证明：
lim
n
n2 2n2
1 3n
1 2
。
证明：
0 ，要使
n2 1 2n2 3n
1 2
2 3n
3n 2
2(2n2 3n) 2(2n2 3n)
3n 2(2n2
3n)
3 2(2n 3)
3 4n
1 n
放大
放大 放大
即 n 1 ，故取 N [1] ，
∵
0 ， N
[1]，
1
0 ，要使 n a 1 n a 1 ，只要 (a)n 1 ，
即只要 1 ln a ln(1 ) ，从而有 n ln a ，
n
ln(1 )
取
N
ln a
ln(1
)
。
∵
0 ， N
ln a
ln(1
)
，
n
N
时，恒有
n
a
1
，
∴ lim n a 1 。 n
2.1 数列极限的概念
A 1 ， A 2 ， A 3 ，…， An ，…，
当 n 无限增大时，正 6 2n1 边形无限地接近于圆， An 就无限地接近于常数 A R2 。

§2.1 数列极限的概念与性质

§2.1 数列极限的概念与性质

\\ 2.1.2 数列极限的算术定义 数列极限与数值级数 映射与函数
例２ 用数列极限定义验证 分析 对于任意给定的正数
， 要使
只需 证 对于任意给定的正数 当 时，恒有 存在正整数 ， ，则
因此，由定义知
．
\\ 2.1.2 数列极限的算术定义 数列极限与数值级数 映射与函数
N 极限“
”定义简洁形式： 当 时，恒有
祖冲之 公元429-500
第二章 数列极限与数值级数
极限的定义 基本性质 收敛性判定 收敛与发散的定义 基本性质 收敛性判定
数列极限
数值级数
数列极限与数值级数 映射与函数
§2.1 数列极限的概念与性质
2.1.1 数列极限的直观描述 2.1.2 数列极限算术定义 2.1.3 数列极限的几何解释 2.1.4 数列极限的基本性质 内容小结与作业
an
.
.
. . . . . . . .. ..... . .... .... .... . ..
n
.
O
上图说明对任意给定的两平行线 一定可以找到正整数 ，对于 均落在这两条平行线之间．
与 的所有点
，
数列极限与数值级数 映射与函数
重点回顾
§2.1 数列极限的概念与性质
数列极限算术定义 数列极限的基本性质
n Sin n n Sin n
1 2 3 4 0.8415 0.9093 0.1411 0.7568 6 7 8 9 0.2794 0.6570 0.9894 0.4121
5 0.9589 10 0.5440
\\ 2.1.1 数列极限的直观描述 数列极限与数值级数 映射与函数
几何法：
方法一：将数列 的项所对应数值表示在数轴上

2.1 数列的极限

2.1 数列的极限

A 为极限的意义是：
对于任意给定无论怎么小的正数 , 总存在正整数 N , 使得该数列第 N 项后的所有项都落入开区间
( A , A ) （即邻域 U ( A, ) ）
内，而在其外最多有该数列的前 N 项．
2.1.3数列极限的性质
定理2.1（极限的唯一性）
若数列 xn 的极限存在，则其极限值是唯一的．
定义2.2 设有数列 xn , 若存在正数 M , 对于任意的正
整数 n 都有 | xn | M , 则称数列 xn 有界，且 M 是其一个界． 若上述的 M 不存在，即对于任意给定的正数 M , 都存在
k N , 使得 | xk | M , 则称数列 xn 无界．
定理2.2（数列收敛的必要条件）
若数列 xn 收敛，则它一定有界．
推论 无界数列必发散．
定理2.3（极限的保号性）
则存在正整数 N , xn A, 且 A 0 若 lim （或 ）， A 0 n 当 n N 时，有
xn 0（或 xn 0 ）．
推论 若数列 xn 从某项 N 0 起，有 , 则 A 0（或 A 0 ）．
2.1 数列的极限
2.1.1数列的极限
2.1.2数列极限的定义
2.1.3数列极限的性质
2.1.1数列
定义2.1 设 xn f (n) 是一个定义在正整数集合上的函数．
当自变量
n 依次取得
1, 2,3,L 时，相应的函数值依次排成
一列数：
x1 , x2 , x3 ,L , xn ,L
称其为无穷数列，简称数列. 数列中的每个数称为数列的项，第 n 项
无论怎么小的正数 , 总存在正整数 N , 使当一切 不等式

第2.1数列的极限

第2.1数列的极限

所以 , lim xn a .
n
命题 1. 若 lim un a , 证明 lim un a .
n n
并举例说明反过来不成立 .
证. un a un a ,

0 , N 0, 当 n N 时, un a 成立.
此时 un a un a 成立 .
证 . 0 , N1 , 当 k N1 时 , x2 k a 成立 ; N 2 , 当 k N 2 时 , x2k 1 a 成立 .
取 N max{ 2 N1 , 2 N 2 1} , 则当 n N 时 ,
xn a 成立 .
n
n
第二章
极限与连续
第一节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
第二章
机动
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结束
一 、数列极限的定义
按照某种法则顺序排列着的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
称为数列，记为
称为通项(一般项) .
1, 2, 3, 4, , n,
1 , 1 , 1 , , 1 , 2 4 8 2n
对于任意给定的正数 (不论它多么小), xn a 总能变得比 还小 : xn a .
xn无限接近 a 的数学描述 :
对于任意给定的正数 (不论它多么小), xn a 总能变得比 还小 : xn a .
注意 :
1. 由 的任意性可知, xn a 要多小, 就能变得有多小.
(1)
(2)
刘徽
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返回
结束
1, 1, 1, 1, , (1) ,

数列极限概念的引入1数列的概念若数列的定义域为全体正...

第二章
极限
§２.１. 数列极限 一、数列极限概念的引入 1．数列的概念 若数列 f 的定义域为全体正整数集合 N+ ，则称
f :Z+ → R
或 f ( n), n ∈ N +
为数列。因为正整数集可以由小到大排列，故数列 f ( n ) 也可以写作
a1 , a 2 , ⋯, a n ,⋯
简记为 {a n } ，其中 a n 称为该数列的通项。 注:(1) 根据函数的记号，数列也可记为 f ( n), n ∈ N + ； (2) 记 f ( n) = an ，则数列 { f ( n)} 就可写作为： a1 , a2 ,⋯ , an ,⋯ ，简记为 {an } , 即 { f (n) | n ∈ N+ } = {an } . 2．极限概念引入 极限概念，是数学分析中最重要、最基础的概念，在后面要讲的连续、微分、 积分等等中都要用到极限概念．极限方法是从已知认识未知，从有限认识无限， 从近似认识精确的一种数学方法．这种方法，早在我国古代就被采用了． 例如 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取 其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可 以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示
1 以后的所有项： 10
n
18
−
1 1 1 , , − , ... 11 12 13
n
都能满足这个不等式。 对
1 ( −1) − 0 = 1 < 1 ，只须 ，能够做到 n > 102 即可，即数列(1)的第 102 项 2 2 n n 10 10
1 以后的所有项： 102 − 1 1 1 , , − , ... 101 102 103

【高等数学】2.1 数列的极限


0.001 |xn − 1| < 0.001 n > 1000
1
ϵ
|xn − 1| < ϵ
n>[ ] ϵ
.
.
.
.
.
.
高等数学
定义(数列极限) 对数列 {xn}, 若 ∃A ∈ R, ∀ϵ > 0, ∃N ∈ N+, 当 n > N 时,
|xn − A| < ϵ,
则称 A 为 {xn} 的极限, 或称 {xn} 收敛于 A, 记为
xn
=
n+(−1)n n
ϵ = 0.1 N = 10?
0.9
1
1.1
x10
.
.
.
.
.
.
高等数学
xn
=
n+(−1)n n
0.9
1
x11
ϵ = 0.1 N = 10?
1.1
.
.
.
.
.
.
高等数学
xn
=
n+(−1)n n
0.9
ϵ = 0.1 N = 10?
1
1.1
x12
.
.
.
.
.
.
高等数学
xn
=
n+(−1)n n
.
.
.
.
.
.
高等数学
注 1. 若不存在这样的 A, 则称 {xn} 无极限, 或 称为发散(不收敛). 2. ϵ 具有任意性, 说明 xn 与 A 的接近程度可以 任意小; ϵ 具有相对固定性, 一旦给出就固定. 3. N 存在即可, 其选取通常依赖于 ϵ, 常写作 N = N(ϵ), 但这不是真正的函数, 因为 N 不具 有唯一性, 也不需要最小. 4. 几何意义 无论 ϵ 多小, 第 N 项后的所有 xn 都在邻域 (A − ϵ, A + ϵ) 内, 即在此邻域外只有 有限项.

2.1 极限概念


Q
xn − 1 = ( −1)
n −1
1 1 = n n
定义1 定义1.8 对于数列 {xn } ，如果当 n 无限 变大时， 变大时，xn 趋于一个常数 A , 则称当 n 趋于无 穷大时， 为极限， 穷大时，数列 {xn } 以 A 为极限，记作
lim xn = A 或 xn → A(n → ∞) ，
lim f ( x) = A ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = A
x→∞ x→+∞ x→−∞
例6.已知函数 y = arctan x ，讨论当 x → ∞ y = arctan x 是否有极限，为什么？ 是否有极限，为什么？ 如图
由图可知： 由图可知： x → +∞ 时，arctan x →
− L (5) − 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ， 1) n n ， L (− +
1 1 1 (−1) n + 1 ， (6) 0，1 ，0 ， ，0 ， ，0 ， ，L ， L 3 4 2 n
2 3 1 1 3 ， ，L ， − ，L 4 3 3 (7) 3 ， ， 3 4 2 n
1 再看函数 f ( x) = 图象 2
x
1 即对函数 f ( x) = ,当 x → +∞ 时, y → 0 2
x
定义1 且无限增大时， 定义1.9′ 如果当 x > 0 且无限增大时， 函数 f (x) 趋于一个常数 A ，则称当 x → +∞ 时 为极限． 函数 f (x) 以 A 为极限．记 lim f ( x) = A 或 f ( x) → A( x → +∞)．
x→x
− 0
(或 x → x ) 或
+ 0

第一节数列的极限


只要 n1
0时 0,有xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n10时 0,0有xn
1

1, 1000
给定

1 , 只要 n100时 0,0有xn
10000
1
1, 10000
引入符号N和来刻划无限增大和无限接近。 任意给定 0, 只要 nN([1]时 ) , 有xn1成立 .
证： xn 1
n2n6
n1

n25
1 n25

2 n
0,
取N

2
1,
当n N时,
就有n2n2 n561
即ln im n2n2 n561.
注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从不等式
出发,由>0,找到使不等式成立的N(并不在乎N 是否最小).
证： 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时 当恒 xna 有 a,
从而x有 n a
xna xn a
xn a a
a
a
ln im xn a.
二、 收敛数列的性质
1.唯一性
定理1 每个收敛的数列有且只有一个极限. 证：设 ln i x m na ,又 ln i x m nb , 由定义,
定理2 收敛的数列必定有界. 证：设ln im xna, 由定义, 取1,
则 N ,使 得 nN 时 当恒 xna 有 1 ,
即a有 1xna1. 记 M m x 1 a , ,x x N ,a { 1 ,a 1 },
则 对 一 切n自 ,皆然 有 xn数 M, 故xn有界 .
三、数列极限的四则运算
定 6理 若 ln i a m na,ln i b m nb ， 则 ln i [m a nb n]ln i a m nln i b m n; ln i m kankln i m an;(k为 常 ) 数
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lim an a 或 → a (n →∞) na
n
注: 上述定义称为“ε义
lim an a 0,
n
N N＋ , n N , 有
| an a | .
？
求实
创新
团结
奉献
n 1 例1：证明 lim . n n 1
奉献
三、数列极限 -N定义
分析： 数列{an}的极限为a ⇔ 随着n的无限增大，通项an无限接近于a ⇔ 当n充分大时，an与a的距离|an − a|可以任意小
求实
创新
团结
奉献
定义: 设 {an}为数列，a为定数，若对任给的ε >0，总存在
正整数N，使得当n>N时，有 |an − a|< ε，则称数列{an}收敛 于a，a称为{an}的极限. 记作
求实
创新
团结
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例如, 当 n >N 时, 有
| an a | ,
则当 n > N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有
| an a | .
也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追求 N 的 “ 最佳性 ” .
求实
创新
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xn
A
A
越来越 ，N越来越大！
an U (a ; ) , 即 lim an a .
n
求实
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2
a x2 x1 x N 1
a
a
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
求实
创新
团结
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五、数列极限的邻域形式定义 定义1' 任给
分析：
求实
创新
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n 1 例1：证明 lim . n n 1
证明：
n lim 所以 n . 1 n 1
求实
创新
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3n 2 例2：证明 lim 2 . 3 n n 3
分析：
（当n > 3时）.
求实
创新
团结
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3n 2 例2：证明 lim 2 . 3 n n 3
大而无限趋于 0 .
求实
创新
团结
奉献
引例2： 刘徽的割圆术
，
，…，An，…
A2 1
当圆内接正多边形的边数无限 增加，圆内接正多边形的面积无 限接近于圆的面积.
即当n无限增大(n →∞)，An无 限接近于某一定数，该定数称为 数列{An}当n →∞时的极限.
求实
创新
团结
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二、数列极限的直观定义
1. 观察下列各数列
证明：
3n 2 所以 lim 2 . 3 n n 3
求实
创新
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用定义证明数列极限的证明思路
欲证
lim ， an 关键找 a N !
n
1. 分析过程： 从最后的结论不等式 | ana | < 出发， ① 解出n 应大于怎样的数，对此数取整即得 N. ② 解不出n ，使放大后的不等式能解出n . 2. 证明过程： 取定上述 N ，将分析过程逆推.
变的. 此外，又因 是任意正数, 所以
2 , 3 ,

2
,
求实
创新
团结
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均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式
| an a |
可以用 | an a | K ( K 为某一正常数 ) 来代替.
再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 < 1 ).
事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足定义 1, 那么 对 1 自然也可以验证成立. 2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着 N 是由 惟一确定.
求实
四、关于 -N 的几点说明
从定义及上面的例题我们可以看出:
创新
团结
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1. 的任意性: 定义中的 用来刻画数列 {an} 的通项与定数
a 的接近程度. 显然正数 愈小,表示 a n与 a 接近的程度愈 高； 是任意的, 这就表示 an与 a 可以任意接近.要注意，
一旦给出，在接下来计算 N 的过程中它暂时看作是确定不
求实
创新
团结
奉献
1 2 3 4 n , （6） , , , , , 2 3 4 5 n 1
求实
创新
团结
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结论: 对于数列{an}，若当n无限增大时， an 无限地接近 无限增大 n能无限地接近
a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限. 某一常数a
问题:
如何用数学语言刻画？
求实
创新
团结
0 , 若在 U (a ; ) 之外至多只有
{ an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . { an } 不以 a 为极限的定义也可陈述为:存在 使得在
0 0,
(a 0， a 0 ) { an } 中的无限多项. 之外含有
何实数 a 为极限.
注 { an }无极限（即发散）的等价定义为: { an }不以任
13 33 23
●
34 14 24
35 15 25
●
36 16 26
37 17 27
●
38 18 28
39 19 29
●
40 20 30
31 41 21
●
n
●
●
求实
创新
团结
奉献
3 2 5 (1)n （5） 0, , , , ,1 , 2 3 4 n
(1)n 数列 1 随n无限增大而无限地趋近于1. n
1 1 第一天截下 , 第二天截下 2 , , 第n天截下 2 2 1 , . 这样就得到一个数列: n 2
求实
创新
团结
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1 1 1 1 , 2 , , n , , 或 n . 2 2 2 2 1 1 容易看出: 数列 n 的通项 n 随着 n 的无限增 2 2
小
A
n
N
求实
创新
团结
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3. 极限的几何意义 从几何上看, “n N 时有 | an a | ” ,实际上就是
所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 U ( a ; 之内 ) ， 而在 U ( a ; 之外 ) , { an } 至多只有有限项( N 项 ).
反过来, 如果对于任意正数 ,落在 U ( a ; ) 之外至多只 有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表示当 n >N 时,
求实
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2.1 数列极限概念
求实
创新
团结
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一、极限思想介绍
引例1 古代哲学家庄周所著的《庄子 ·天下篇》引用了一 句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的意思是: 一 根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这样的过程可以无限制 地进行下去. 我们把每天截下部分 ( 或剩下部分 ) 的长度列出：
求实
创新
团结
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思考题：用 ε-N定义证明
1 1. lim 0, 0 n n
n 2. lim q 0, q 1 n
3n 2 n 3 3. lim 2 n 2n 1 2
1 1 1 1 1 （1） , 2 , 3 , 4 , , n , 2 2 2 2 2
求实
创新
团结
奉献
xn
1
1 xn n
102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011
O
n
求实
创新
团结
奉献
（3） 1，2，3，4，…，n，… 通项an=n随n的无限增大而无限增大.
xn

xn n
求实
创新
团结
奉献
xn
●
n
●

O
O
n
求实
创新
团结
奉献
（4） 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…
数列{(-1)n+1}的值交替地取1和-1，不 与任何常数无限接近.
xn
1
● ● ●
xn (1)n
● ● ● ● ●
O
1
n 30 10 20
31 11 21
●
32 12 22