圆的标准方程 ：圆的直径式方程推导过程

有关圆的所有计算公式S圆=π×R的平方; C圆=2πR或πD扇形弧长l=nπr/180 扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2 圆锥侧面积S=πrl 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）。

其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。

圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r 为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2 在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M （a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

4.1 圆的方程一、圆的标准方程1．圆的标准方程2．圆的标准方程的推导如图，设圆的圆心坐标为(,)C a b ，半径长为r (其中a ,b ,r 都是常数，r >0).设()，M x y 为该圆上任意一点，那么圆心为C 的圆就是集合{}|P M MC r ==.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M 的坐标(x ,y )r = ①，①式两边平方，得222()()=x a y b r -+-.3．点与圆的位置关系圆C ：222()(0())x a y b r r -+-=>，其圆心为,()C a b ，半径为r ，点00(,)P x y ，设||d PC ==.二、圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r =.2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得：220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E F x y +-+++=. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，所以它表示一个点； 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是： P 在圆内⇔，P 在圆上⇔， P 在圆外⇔.三、待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的方程组；③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程．四、轨迹和轨迹方程1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①建系：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；②设点：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =；③列式 ：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =；④化简：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．1．求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【例1】写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线10x y +-=与230x y -+=的交点，半径长为14． 【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即0,0,2a b r ===，∴圆的标准方程为224x y +=．【例2】过点111,(1())A B --,,且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ C ）A ．22()(31)4x y -++=B ．22()(31)4x y ++-=C ．22()(11)4x y -+-=D ．22()(11)4x y +++= 【解析】解法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由已知条件，知222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩，解此方程组，得2114a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的标准方程为22()(11)4x y -+-=．解法2：设点C 为圆心，因为点C 在直线20x y +-=上，所以可设点C 的坐标为(),2a a -． 又因为该圆经过,A B 两点，所以||||.CA CB == 解得1a =．所以2211a -=-=．所以圆心坐标为()1,1C ，半径|2|r CA ==．故所求圆的标准方程为22()(11)4x y --+=．2．会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．【例3】 已知点（2，0）和（x -2）2 + （y +1）2 = 3，则点与圆的位置关系是( A ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．不确定【解析】由于（2-2）2+（0+1）2<3，故点在圆内．【例4】已知点A （1，2）和圆C ：（x-a ）2+（y+a ）2=2a 2，试求满足下列条件的实数a 的取值范围．（1）点A 在圆C 的内部；（2）点A 在圆C 上 （3）点A 在圆C 的外部．3．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号判断．（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．【例5】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．（1）x 2+y 2+2x+1=0；（2）x 2+y 2+2ay-1=0；（3）x 2+y 2+20x+121=0；（4）x 2+y 2+2ax =0．【解析】（1）原方程可化为（x+1）2+y 2=0，它表示点（-1，0），不表示圆．（2）原方程可化为x 2+（y+a ）2=a 2+1，它表示圆心为（0，-a ），半径为的圆，标准方程为x 2+（y+a ）2=（）2 ． （3）原方程可化为（x+10）2+y 2=-21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．（4）原方程可化为（x+a ）2+y 2=a 2．①当a =0时，方程表示点（0，0），不表示圆；②当a ≠0时，方程表示以（-a ，0）为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为（x+a ）2+y 2=a 2．【例6】 方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是( B )A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >14．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例7】已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的方程．【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->． 由圆经过点（4，2）和（-2，-6），得4220026400　①　②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1，x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根，得x 1+x 2=-D ．设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1，y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根，得y 1+y 2=-E ．由已知，得-D+（-E ）=-2，即D+E-2=0． ③联立①②③，解得D =-2，E =4，F =-20，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0．【例8】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上．5．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【例9】已知点P （x ，y ），A （1，0），B （-1，1），且|PA|=|PB|． （1）求点P 的轨迹方程；（2）判断点P 的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．【例10】已知直角ABC △的斜边为AB ，且1,0,()(,0)3A B -，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】（1）解法一：设顶点,()C x y ，因为AC BC ⊥，且,,A B C 三点不共线，所以3x ≠且1x ≠-． 又1AC k y x =+， 3BC y k x =-，且·1AC BC k k =-，所以113y y x x ⋅=-+-，化简得22230x y x +--=． 因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-．由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=，化简得22230x y x +--=．因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法三：设AB 中点为D ，由中点坐标公式得()1,0D ，由直角三角形的性质知， 122||||CD AB ==， 由圆的定义知，动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心，以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．设,()C x y ，则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且．6．忽视圆标准方程的结构致错【例11】求圆()222230()()x y b b ++-≠=的圆心及半径．【错解】由圆的标准方程知圆心为(2,)3-，半径为b ．【错因分析】在圆的标准方程2220()()()x a y b r r -=>-+中，此圆的圆心为(),a b ，半径长为r ．错解中没有准确把握圆的标准方程的结构形式．【正解】由圆的标准方程知圆心为()2,3-，半径为||b ．7．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例12】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围．【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得1 1.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞-1(,)2+∞． 【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<<又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-．综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12--，．基础训练1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为（ A ）A ．x 2+（y –3）2=1B ．x 2+（y +3）2=1C ．（x –3）2+y 2=1D ．（x +3）2+y 2=12．已知圆C ：（x –6）2+（y –8）2=4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ C ）A ．（x –3）2+（y +4）2=100B ．（x +3）2+（y –4）2=100C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y–4）2=253．（x+1）2+（y–1）2=1的圆心在（B ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（C ）A．x2+y2=25 B．x2+y2=5 C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y+4）2=255．以两点A（–3，–1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（A ）A．（x–1）2+（y–2）2=25 B（x+1）2+（y+2）2=25 C．（x+1）2+（y+2）2=100 D．（x–1）2+（y–2）2=1006．已知圆心在点P（–2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（B ）A．（x–2）2+（y+3）2=4 B．（x+2）2+（y–3）2=4 C．（x–2）2+（y+3）2=9 D．（x+2）2+（y–3）2=9 7．圆x2+y2–2x+4y=0的圆心坐标为（B ）A．（1，2）B．（1，–2）C．（–1，2）D．（–1，–2）8．已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为（5，0），则它的半径为（D ）A．3 B C．5 D．49．圆x2+y2–4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（C ）A．r=1；（–2，1）B．r=2；（–2，1）C．r=1；（2，–1）D．r=2；（2，–1）10．圆x2+y2–2x+2y=0的周长是（A ）A．B．2πC D．4π11．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（x–1）2+（y–1）2=2_．12．圆（x+1）2+（y–3）2=36的圆心C坐标（–1，3），半径r=___6_____．13．求圆心在直线y=–2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．14．已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x–y–2=0上．求圆C的方程．∵圆C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，∴点C在线段AB的垂直平分线y=–x+7，又∵圆心C在直线2x–y–2=0上，∴联立7220y xx y=-+⎧⎨--=⎩，得C（3，4）．圆C的半径r=|AC|==1，∴圆C的方程是（x–3）2+（y–4）2=1．15．求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得D=–4，E=3，F=0，∴圆的方程为x2+y2–8x+6y=0，化为（x–4）2+（y+3）2=25，可得：圆心是（4，–3）、半径r=5．16．求过三点A（–1，0），B（1，–2），C（1，0）的圆的方程．17．已知方程x2+y2–2x+t2=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程．(1）由圆的一般方程，得4–4t2>0，∴–1<t<1；（2）r=t=0时，r最大为1．∴圆的方程：（x–1）2+y2=1．能力18．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( B )A．x2+y2–x+2y+1=0 B．x2+y2+2x–2y+1=0 C．x2+y2–2x+y–1=0 D．x2+y2–2x+2y–1=019．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为( C )A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=220．若方程x2+y2–4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是( A )A．（–∞，1）B．（–∞，1] C．[1，+∞）D．R21．圆（x–1）2+（y–2）2=1关于直线x–y–2=0对称的圆的方程为( A )A．（x–4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x–2）2+（y+1）2=122．由方程x2+y2+x+（m–1）y+12m2=0所确定的圆中，最大面积是( B )A B．34πC．3πD．不存在23．若圆x2+y2–4x+2y+m+6=0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是( C ) A．m<–1 B．m>–6 C．–6<m<–5 D．m<–524．已知圆的方程为x2+y2–2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是( C )A．2x–y–1=0 B．2x–y+1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y–1=025．已知三点A（1，3），B（4，2），C（1，–7），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( D )A．10 B．C．5 D26．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是( D )A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线27．已知点A（–3，0），B（–1，–2），若圆（x–2）2+y2=r2（r>0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是）．28．已知圆C：（x–3）2+（y–4）2=1和两点A（–m，0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为_____6_____．29．已知函数f（x）=13x2–43x+1的图象与坐标轴的交点均在圆M上，则圆M的标准方程为（x–2）2+（y+1）2=5．30．已知动点A在圆P：x2+y2=1上运动，点Q为定点B（–3，4）与点A距离的中点，则点Q的轨迹方程为x2+y2+3x–4y+6=0_．31．已知点A，B的坐标分别为（–1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为x2–xy–1=0（x≠±1）．32．如图，直角△OAB中，OA═4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为y2=8x，（x≠0）_．33．已知直线l1：mx–y=0，l2：x+my–m–2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是_（x–1）2+（y–12）2=54_．34．已知函数y=x2–4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．（1）由题意与坐标轴交点为M （3，0），N （1，0），P （0，3），设圆的方程为：（x –a ）2+（y –b ）2=r 2代入点，得222222222(3)(0)(1)(0)(0)(3)a b r a b ra b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩，解得a =2，b =2，r（x –2）2+（y –2）2=5． （2）由题意|AB |=4：设圆心到直线距离为d ，则222()2ABr d =+，即：1d ==，解得n =35．已知线段AB 的端点B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C ：（x +1）2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．36．已知圆C 过A （1，4）、B （3，2）两点，且圆心在直线y =0上．（1）求圆C 的方程；（2）判断点P （2，4）与圆C 的位置关系．（1）∵圆心在直线y =0上，∴设圆心坐标为C （a ，0），则|AC |=|BC |=，即（a –1）2+16=（a –3）2+4，解得a =–1，即圆心为（–1，0），半径r =|AC== 则圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20；（2）∵|PC5===>r ，∴点P （2，4）在圆C 外． 37．已知曲线C 的方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0（1）当m 为何值时，此方程表示圆？（2）若m =0，是否存在过点P （0，2）的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |=|AB |，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1）方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0可化为（x –2）2+（y +1）2=5–5m ∵方程表示圆，∴5–5m >0，即m <1；（2）设A （a ，b ），则B （2a ，2b –2），代入圆的方程，可得a 2+b 2–4a +2b =0，且4a 2+（2b –2）2–8a +2（2b –2）=0，∴a =0，或a =2413，∵直线l 过点P （0，2），∴直线l 的方程为x =0或5x +12y –24=0． 38．求圆x 2+y 2–2x –6y +9=0关于直线2x +y +5=0对称的圆的方程．39．已知圆过点A （–2，4），半径为5，并且以M （–1，3）为中点的弦长为设所求的圆的方程是（x –a ）2+（y –b ）2=25，根据题设知（a +2）2+（b –4）2=25，再由弦长公式得：（a +1）2+（b –3）2+12=25，联立解得21a b =⎧⎨=⎩或10a b =⎧⎨=⎩所以圆的方程为：（x –2）2+（y –1）2=25或（x –1）2+y 2=25． 40．圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( C )A ．1B ．2CD ．41．圆x 2+y 2–2x –8y +13=0的圆心到直线ax +y –1=0的距离为1，则a =( A )A ．–43B ．–34CD ．242．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x –1）2+y 2=1（或x 2+y 2–2x =0）_________．43．已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是（–2，–4），半径是_5_．。

圆的方程【知识要点】一、圆的标准方程1、圆的定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合.由此我们可知：以点(,)C a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2、圆的标准方程的推导设圆心为(,)C a b ，半径为r ，点M 满足的条件为{}P M MC r ==.由两点距离公式可知，点(,)M x yr =.把上式两边平方，得：222()()x a y b r -+-=即圆的彼岸准方程为222()()x a y b r -+-=.3、圆的标准方程的特点圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小.确定圆的要素有两个：圆心和半径，其中圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小.在确定圆的过程中，如果由已知条件容易求出圆心坐标和半径或需要利用圆心、半径的有关条件列方程时，一般利用圆的标准方程求解.4、圆的几个特殊位置的标准方程（1）圆心在原点(0,0)O ，半径为r 的圆的标准方程为222x y r +=；（2）半径为r 且与x 轴相切于点(,0)a 的圆的标准方程为222()()x a y r r -+±=；（3）半径为r 且与y 轴相切于点(0,)b 的圆的标准方程为222()()x r y b r ±+-=；（4）半径为r 且与x 轴、y 轴都相切的圆的标准方程为222()()x r y r r ±+±=.二、圆的一般方程1、方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件为：①0A C =≠；②0B =；③2240D E AF +->.其中，条件①与条件②皆为二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件.因为若二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=仅满足条件①与条件②，那么二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=可以转化为220D E F x y x y A A A++++=. 对上式配方可得：222224()()224D E D E AF x y A A A +-+++= （i ）当2240D E AF +-=时，原方程表示一个点(,)22D E A A--； （ii ）当2240D E AF +-<时，原方程不表示任何图形；（iii ）当2240D E AF +->时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22D E C A A--，半径为2r A =. 2、圆的一般方程二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件为：2240D E F +->.对二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=，配方可得：22224()()224D E D E F x y +-+++= （i ）当2240D E F +-=时，原方程表示一个点(,)22D E --； （ii ）当2240D E F +-<时，原方程不表示任何图形；（iii ）当2240D E F +->时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22D E C --，半径为2r =. 因而，当2240D E F +->时，我们把方程220x y Dx Ey F ++++=叫作圆的一般方程.3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化（1）圆的一般方程化为圆的标准方程：把圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（注意隐含条件：2240D E F +->）配方可得圆的标准方程：22224()()224D E D E F x y +-+++=； （2）圆的标准方程化为圆的一般方程：把圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=展开可得圆的一般方程：22222220x y ax by a b r +--++-=. 三、点与圆的位置关系1、平面内一点与圆的位置关系的判定已知圆的方程为222()()x a y b r -+-=，显然圆心为(,)C a b ，半径为r ，那么平面内一点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系有：（1）点P 在圆上22200()()x a y b r PC r ⇔-+-=⇔=；（2）点P 在圆内22200()()x a y b r PC r ⇔-+-<⇔<；（3）点P 在圆外22200()()x a y b r PC r ⇔-+->⇔>.2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离平面内一点P 到圆上的点的最大距离为PC r +；点P 到圆上的点的最小距离为PC r -（其中，C 为圆的圆心，r 为圆的半径）.四、确定圆的方程的方法确定圆的方程的重要方法是待定系数法.1、如果已知条件中圆心的位置易于确定，则可以选择圆的标准方程列方程组、求系数，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求出a 、b 、r 的值，或直接求出圆心(,)a b 及半径r .一般步骤如下：Step1：根据题意，设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=；Step2：根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心(,)a b 及半径r ，这样的话，将会大大减少计算量.一般可以利用圆心的三个几何性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在某一条弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点.2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，则可以选择圆的一般方程列方程组、求系数.在圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=中，含有三个相互独立的参数D 、E 、F ，因此，必须具备三个独立的条件才能通过列出关于D 、E 、F 的方程组，求出D 、E 、F 的值，最终确定出圆的一般方程.一般步骤如下：Step1：根据题意，设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=；Step2：根据已知条件，建立关于D 、E 、F 的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.五、圆的直径式方程的求法设11(,)A x y 、22(,)B x y 是圆的某条直径的两个端点，(,)P x y 为圆上任意异于点A 、B 的一点，则90APB ∠=，即P A P B ⊥，于是有1PA PB k k ⋅=-，而11PA y y k x x -=-，22PB y y k x x -=-，12121y y y y x x x x --⇒⋅=---，故有1222()()()()0x x x x y y y y --+--=，此即圆的直径式方程.六、常见的圆系方程1、过定直线与定圆的交点的圆系方程过定直线l ：0Ax By C ++=和定圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为22()0x y Dx Ey F a Ax By C +++++++=.2、过两圆的交点的圆系方程过两圆221110x y D x E y F ++++=和222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=，特别地，当1λ=-时，该方程表示两圆公共弦所在直线的方程.【例题解析】题型1圆的定义1、若方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆，则a =_______. 解： 方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆 （ⅰ）若1-=a ，则原方程即为01222=--+x y x ，亦即2)122=+-y x （，表示圆； （ⅱ）若2=a ，则原方程即为0244422=+++x y x ，亦即02122=+++x y x )(* 这里，21,0,1===F E D .由于01201422<-=-+=-+F E D因此，方程)(*不表示任何图形。

圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。

圆方程公式总结
1.圆的定义：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆有无数条对称轴。

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

2.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²（(a,b)表示圆心的坐标，r 表示圆的半径）
3.圆的周长：C=2πr （r表示圆的半径）
C=πd （d表示圆的直径）
4.圆的面积：S=πr2（r表示圆的半径）
5. 扇形面积：S=nπ r²/360 （n表示圆心角，r表示扇形半径）
S=lr/2 （l为扇形的弧长，r表示扇形半径）
6.圆锥侧面积：S=πr²+πrl （r为圆锥的母线）
7.圆锥的体积：V=πr2h（r为圆锥地面半径，h为圆锥高）。

专题37圆的方程知识必备1圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆定点叫作圆心，定长叫作半径.2圆的方程标准方程：以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程：(x a)2(y b)2=r2圆心在原点的圆的标准方程：x2y2=r2圆的一般方程：x2y2Dx Ey F=0(D2E24F>0)说明：（1）x2和y2项的系数相等且都不为零；（2）没有xy这样的二次项.（3）表示以(D2，E2)为圆心，12√D2E24F为半径的圆.圆的直径式：以(x1，y1)和(x2，y2)两点连线为直径的圆方程：(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)=3确定圆的方程的方法和步㘔确定圆的方程主要方法是待定系数法，一般步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程或圆的直径式；（2）根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；（3）解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.4与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外点P在圆上点P在圆内d>r d=r d<r代数表示：圆的标准方程(x a)2(y b)2=r2，点M(x0，y0).点在圆上：(x0a)2(y0b)2=r2；点在圆外：(x0a)2(y0b)2>r2；点在圆内：(x0a)2(y0b)2<r2.（2）直线与圆的位置关系几何法：设⊙O的半径为r，点P到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相离直线l与⊙O相切直线l与⊙O相交1没有公共点唯一公共点两个公共点d>r d=rd<r代数法：联立直线和圆的方程得到一元二次方程通过判别式Δ=b 24ac 判定{Δ>0⇔相交Δ=0⇔相切Δ<0⇔相离（3）圆与圆的位置关系设⊙O ，⊙O 的半径为r ，r外离外切相交内含没有公共点唯一公共点两个公共点唯一公共点没有公共点d>r1r2d=r1r2r2r1<d<r1r2d=r2r10<d<r2r1公共弦问题：将两个圆的方程作差，即为公共弦所在直线方程.5圆系方程（1）同心圆系方程：与(x a)2(y b)2=r2共圆心的同心圆系方程为________(x a)2(y b)2=λ与x2y2Dx Ey F=0同圆心的圆系方程为________x2y2Dx Eyλ=0（2）过直线与圆交点的圆系方程过直线Ax By C=0与x2y2Dx Ey F=0的交点的圆系方程为：λ(Ax By C)x2y2Dx Ey F=0（3）过两圆交点的圆系方程过直线x2y2D1x E1y F1=0与x2y2D2x E2y F2=0的交点的圆系方程为：x2y2D1x E1y F1λ(x2y2D2x E2y F2)=0典型例题考点一圆的方程________【例题1】圆心为(1，2)，半径为3的圆的方程是（）A(x1)2(y2)2=9B(x1)2(y2)2=3C(x1)2(y2)2=3D(x1)2(y2)2=9【例题2】已知圆C过点A(4，0)，B(8，6)，且圆心C在直线l：x y3=0上求圆C的方程.【例题3】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，√5)在圆C上，且圆心到直线2x y=0的距离为4√55，则圆C的方程为________【例题4】在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(2，2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为________【例题5】已知△ABC的顶点坐标分别是A(5，1)，B(1，1)，C(1，3)，则△ABC的外接圆方程为（）23A (x 3)2(y 2)2=5B (x 3)2(y 2)2=20C (x 3)2(y 2)2=20D (x 3)2(y 2)2=5 【例题6】圆(x 2)2(y 12)2=4关于直线xy 4=0对称的圆的方程为（ ） A (x 6)2(y 4)2=4B (x 8)2(y 2)2=4C (x 8)2(y 2)2=4D (x 6)2(y 4)2=4 【例题7】圆x 2y 22x 4y 11=0关于点P (2，1)对称的圆的方程是________ 【例题8】方程x 2y 24mx 2y 5m =0表示圆，则实数m 的取值范围为（ ） A (∞，14)⋃(2，∞) B (14，1) C (∞，14)⋃(1，∞) D (∞，14]⋃[1，∞） 【例题9】如果圆的方程为x 2y 2kx 2y k 2=0，那么当圆的面积最大时圆心的坐标为________ 【例题10】已知曲线C ：x 2y 22kx (4k 10)y 10k 20=0，其中k ≠1，则C 过定点________考点二与圆有关的位置关系【例题11】以点A (2，3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，7)与圆O 的位置关系是（ ）A 在圆内B 在圆上C 在圆外D 无法判断【例题12】已知点P (2a ，a )在圆(x a )2(y a )2=20的内部，则实数a 的取值范围是________【例题13】“a >0”是“点(0，1)在圆x 2y 22ax 2y a 1=0外”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【例题14】已知点M (a ，b )在圆O ：x 2y 2=1外，则直线ax by =1与圆O 的位置关系是（（ ） A 相切 B 相交C 相离D 不确定.【例题15】已知圆C ：x 2y 2=4（，直线l ：y 1=k (x 1)（，则直线l （与圆C （的位置关系（ ） A 相离 B 相切C 相交D 以上皆有可能【例题16】若无论实数k 取何值，直线kx y k 1=0与圆x 2y 22x 2y b =0相交，则b 的取值范围为（ ）A (∞，2)B (∞，2)C (∞，0)D (0，2)【例题17】直线y =√33x m 与圆x 2y 2=1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是________【例题18】圆(x 3)2(y 3)2=9上到直线3x 4y 11=0的距离等于1的点的个数为（（ ） A 1 B 2C 3D 4【例题19】若圆(x1)2(y1)2=R2上有且仅有三个点到直线4x3y=11的距离等于1，则半径R的值为________【例题20】已知圆O：x2y2=r2(r>0)上有且只有两个点到直线l：3x4y15=0的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（）A(2，4)B[2，4]C（2，3]D[3，4）【例题21】圆x2y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线x y2=0的距离为1，则r的取值范围是（）A(√21，∞)B(√21，√21)C(0，√21)D(0，√21)【例题22】已知圆x2y2=4上存在两点到点(m，m)(m>0)的距离为1，则实数m的取值范围为________【例题23】圆O1：(x1)2(y2)2=1与圆O2：(x2)2(y1)2=2的位置关系为（）A外离B相切C相交D内含【例题24】若圆x2y2=4与圆x2y216x m=0相外切，则实数m的值是________【例题25】与圆C：(x2)2(y1)2=4相切于点(4，1)且半径为1的圆的方程是________【例题26】已知圆：(x1)2(y2)2=r2(r>0)与圆：(x4)2(y2)2=16有公共点，则r的取值范围为（）A（）（0，1]B[1，5]C[1，9]D[5，9]【例题27】圆x2y24x6y4=0（与圆x2y22x4y3=0（的公共弦所在的直线方程为________【例题28】已知圆C1：x2y2kx2y=0与圆C2：x2y2ky4=0的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx ny2=0上，则m2n2的取值范围是（）A(12，∞)B(∞，14]C[12，∞)D(∞，14)考点三圆的简单应用【例题29】若点P在圆(x1)2y2=1上运动，Q(m，m1)，则PQ的最小值为（）A√22B√21C√21D√2【例题30】已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y14=0上，求x y的最大值与最小值.【例题31】若点A(m，n)在圆C：x2y22x8y1=0上，则n的取值范围为（）45A [0，359] B [0，409] C [0，4] D (∞，359] 【例题32】已知A (0，2)（，点P （在直线x y 2=0（上，点Q （在圆x 2y 24x 2y =0（上，则|PA ||PQ |的最小值是________考点四与圆有关的轨迹问题【例题33】已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (1，0)，B (3，0)，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 的中点M 的轨迹方程.【例题34】设定点M (3，4)，动点N 在圆x 2y 2=4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.【例题35】过点M (2，1)，且经过圆x 2y 24x 4y 4=0与圆x 2y 24=0的交点的圆的方程为（ ）A x 2y 2x y 6=0B x 2y 2x y 8=0C x 2y 2x y 2=0D x 2y 2x y 4=0阿氏圆【例题36】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(k >0，k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|PA ||PB |=√3，若点P 不在直线AB 上，则△PAB 面积的最大值为（ ） A ( )√3B 3C 2√3D 4√3【例题37】若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|PA ||PB |=√2，则PA 2PB 2的最小值为（ ）A 3624√2B 4824√2C 36√2D 24√26。

圆的直径式方程推导摘要：一、引言二、圆的定义与性质三、直径的定义与性质四、圆的直径式方程推导1.圆的标准方程2.直径的表示3.直径式方程的推导五、结论正文：一、引言在数学中，圆是一个常见的几何图形，具有许多独特的性质。

了解圆的性质和方程对解决许多几何问题至关重要。

本文将介绍圆的直径式方程的推导过程。

二、圆的定义与性质圆是由一个固定点到平面内所有点的距离等于常数的点的集合。

这个常数称为圆的半径，用符号r 表示。

圆心是圆的固定点，用符号(Ox, Oy) 表示。

圆具有以下几个重要性质：1.圆的半径相等。

2.圆心到圆上任一点的连线段叫做半径，其最长的直径等于两倍的半径。

3.圆内接四边形的对角线相等。

三、直径的定义与性质直径是圆的一个特殊线段，它穿过圆心，并且两端都在圆上。

直径等于半径的两倍，用符号d 表示。

直径具有以下几个重要性质：1.直径是圆中最长的线段。

2.直径的中点是圆心。

3.圆内接四边形的对角线相等。

四、圆的直径式方程推导1.圆的标准方程圆的标准方程是：(x - Ox) + (y - Oy) = r其中，Ox 和Oy 是圆心的横坐标和纵坐标，r 是圆的半径。

2.直径的表示直径d 可以表示为：d = 2r3.直径式方程的推导由于直径等于两倍的半径，我们可以将圆的标准方程中的r 用d 表示：d = 2rr = d/2将r 用d 表示后，圆的标准方程变为：(x - Ox) + (y - Oy) = (d/2)这就是圆的直径式方程。

五、结论本文推导了圆的直径式方程，该方程可以帮助我们更好地了解圆的性质和几何特征。