四川省成都市2021届零诊(高二下期末)理科数学模拟试题(解析卷)

成都2021届零诊数学答案篇一：四川省成都市2021届零诊考试数学(理)试题及答案四川省成都市2021届高三摸底（零诊）数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟．注意事项1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡法规的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用椽皮撵擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在试卷规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I卷（选择题，共50分）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A）（1，1）（B）（-1，-1）（C）（1，-1）（D）（-1，1） 2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（eUS）（A）{2，4} （B）{4}3．已知命题p：?x∈R，2=5，则?p为（A）?x?R,2=5（C）?x0∈R，2x0xxT等于（D）{1,3,4}（C）?（B）?x?R,2?5 （D）?x0∈R，2（C）log63x0x=5 ≠54．计算21og63 +log64的结果是（A）log62 （B）2（D）3?x?0?5．已知实数x，y满足?y?0，则z=4x+y的最大值为?x?y?2?（A）10 （B）8 （C）2 （D）0 6．已知a，b是两条不同直线，a是一个平面，则下列说法正确的是（A）若a∥b．b??，则a//? （B）若a//?，b??，则a∥b（C）若a⊥?，b⊥?，则a∥b （D）若a⊥b，b⊥?，则a∥?7．PM2.5是指大气中会直径宽度小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的则表示茎叶统计图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：?g/m3）则下列说法正确的是（A）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等（B）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，己的较大（C）这10日内乙监测站读数的众数与中位散相等（D）这10日内甲、乙监测站读数的平均数成正比8．已知函数f（x）?x?cos?x(??0)的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于x，则f（x）的无趣递减区间是（A）?k?????6,k??2??,k∈z 3??4??,k∈z ?3?（B）?k?????3,k????6??,k∈z（C）?2k?????3,2k??（D）?2k?????12,2k??5??,k∈z ?12??x2,x?(?1,1)?9．已知定义在R上的偶函数（fx）满足（f4－x）=f（x），且当x∈??1,3?时，（fx）=??1?cosx,x??1,3???2则g（x）=f（x）－|1gx|的零点个数是（A）7 （B）8（C）9（D）10x22x2y210．如图，已知椭圆Cl：+y=1，双曲线C2：2?2=1（a>0，b>0），若以C1的长轴为直径的ab11圆与C2的一条渐近线相交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（A）5（C（B（D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。

四川省成都市2021届高三摸底（零诊）数学（理）试题【试卷综析】本试卷是高三摸底试卷，考查了高中全部内容.以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：数列、三角、概率、导数、圆锥曲线、立体几何综合问题、程序框图、平面对量、基本不等式、函数等；考查同学解决实际问题的综合力量。

是份格外好的试卷.第I 卷（选择题，共50分）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a =（5，-3），b =（-6，4），则a +b = （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（1，-1） （D ）（-1，1） 【学问点】向量的坐标运算【答案解析】D 解析：解：由向量的坐标运算得a +b =（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以选D. 【思路点拨】本题主要考查的是向量加法的坐标运算，可直接结合向量加法的运算法则计算. 2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l ，3}，T={4}，则（US ）T 等于（A ）{2，4} （B ）{4} （C ）∅（D ）{1,3,4}【学问点】集合的运算 【答案解析】A 解析：解：由于US={2，4}，所以（US ）T={2，4}，选A.【思路点拨】本题主要考查的是集合的基本运算，可先结合补集的含义求S 在U 中的补集，再结合并集的含义求S 的补集与T 的并集.3．已知命题p ：x ∀∈R ，2x=5，则⌝p 为 （A ）x ∀∉R,2x=5 （B ）x ∀∈R,2x≠5 （C ）0x ∃∈R ，20x =5（D ）0x ∃∈R ，2x ≠5【学问点】全称命题及其否定【答案解析】D 解析：解：结合全称命题的含义及其否定的格式：全称变特称，结论改否定，即可得⌝p 为0x ∃∈R ，2x ≠5，所以选D.【思路点拨】全称命题与特称命题的否定有固定格式，把握其固定格式即可快速推断其否定. 4．计算21og 63 +log 64的结果是 （A ）log 62 （B ）2 （C ）log 63 （D ）3 【学问点】对数的运算【答案解析】B 解析：解：21og 63 +log 64=1og 69+log 64=1og 636=2，所以选B.【思路点拨】在进行对数运算时，结合对数的运算法则，一般先把对数化成同底的系数相同的对数的和与差再进行运算，留意熟记常用的对数的运算性质.5．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z=4x+y 的最大值为（A ）10 （B ）8 （C ）2 （D ）0 【学问点】简洁的线性规划 【答案解析】B 解析：解：作出不等式组表示的平面区域为如图中的三角形AOB 对应的区域，平移直线4x+y=0，经过点B 时得最大值，将点B 坐标(2，0)代入目标函数得最大值为8，选 B.【思路点拨】对于线性规划问题，通常先作出其可行域，再对目标函数进行平行移动找出访其取得最大值的点，或者把各顶点坐标代入寻求最值点.6．已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是 （A ）若a ∥b ．b α⊂，则a//α （B ）若a//α，b α⊂，则a ∥b （C ）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b （D ）若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α 【学问点】线面平行的判定、线面垂直的性质【答案解析】C 解析：解：A 选项中直线a 还可能在平面α内，所以错误，B 选项直线a 与b 可能平行还可能异面，所以错误，C 选项由直线与平面垂直的性质可知正确，由于正确的选项只有一个，所以选C【思路点拨】在推断直线与平面平行时要正确的理解直线与平面平行的判定定理，应特殊留意定理中的“平面外一条直线与平面内的一条直线平行”，在推断位置关系时能用定理推断的可直接用定理推断，不能直接用定理推断的可考虑用反例排解. 7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，一般状况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m 3）则下列说法正确的是（A ）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等（B ）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大 （C ）这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等 （D ）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【学问点】茎叶图、中位数、众数、平均数【答案解析】C 解析：解：由于甲、乙监测站读数的极差分别为55，57，所以A 选项错误，10日内甲、乙监测站读数的中位数分别为74，68，所以B 选项错误，10日内乙监测站读数的众数与中位数都是68，所以C 正确，而正确的选项只有一个，因此选C.【思路点拨】结合所给的茎叶图正确读取数据是解题的关键，同时要理解中位数、众数、平均数各自的含义及求法.8．已知函数f （x ）3cos (0)x x ωωω+>的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f （x ）的单调递减区间是 （A ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （B ）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z （C ）42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （D ）52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z 【学问点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 【答案解析】A 解析：解：由于()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，则图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于一个周期，所以2ππω=，得ω=2，由()3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以其单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z 选A. 【思路点拨】留意该题中直线y=－2的特殊性：－2正好为函数的最小值，所以其与函数的两个相邻公共点之间的距离等于函数的最小正周期9．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （4－x ）=f （x ），且当x ∈(]1,3-时，f （x ）=(]2,(1,1)1cos ,1,32x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩则g （x ）=f （x ）－|1gx|的零点个数是（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10【学问点】函数的图象、偶函数、函数的周期性【答案解析】D 解析：解：由函数f （x ）满足f （4-x ）=f （x ），可知函数f （x ）的图象关于直线x=2对称．先画出函数f （x ）当x∈（-1，3]时的图象，再画出x∈[0，10]图象．画出y=|lgx|的图象．可得g （x ）在x≥0时零点的个数为10， 故选D【思路点拨】由函数f （x ）满足f （4-x ）=f （x ），可知函数f （x ）的图象关于直线x=2对称，先画出函数f （x ）当x∈（-1，3]时的图象，再画出x∈[0，10]图象，可得g （x ）在x≥0时零点的个数.10．如图，已知椭圆C l ：211x +y 2=1，双曲线C 2：2222x y a b -=1（a>0，b>0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线相交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（A ）5 （B 17（C 5（D ）2147【学问点】椭圆、双曲线性质的应用 【答案解析】C 解析：解：由于AB 方程为by x a=，与椭圆方程联立得渐进线与椭圆在第一象限的交点横坐标22111x b a =+，由于且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，由椭圆的对称性知该点到原点的距离为12116⨯2222112116111b ab a +=⨯+，整理得224b a =，得2222222215c a b b e a a a+===+=，得5e = C 【思路点拨】一般求离心率问题就是通过已知条件得到关于a ，b ，c 的关系式，再求ca即可，本题留意抓住AB 长为圆的直径，直线AB 与椭圆在第一象限的交点到原点的距离等于直径的16，即可建立a ，b ，c 关系.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。

高二下期数学零诊模拟试卷2(理科)一、选择题:（本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x | 0＜x ＜4}，则集合A B ðR ＝（ ）（A ）{x | 0＜x ＜2} （B ）{x |－1＜x ≤ 0} （C ）{x | 2＜x ＜4} （D ）{x |－1＜x ＜0} 2、对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 3、下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++=”的否定是：“对x R ∀∈ 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．4、下列命题正确的是 （ ）（A ）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 （B ）若平面γβγα⊥⊥,，则平面βα⊥ （C ）平行四边形的平面投影可能是正方形（D ）若一条直线上的两个点到平面α的距离相等，则这条直线平行于平面α5、已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为（ ） A. 3242π- B. 242π- C. 243π- D.24π-6、阅读下面程序框图，则输出结果s 的值为 （ ）A ．21 B ． 23 C. 3- D ．3 7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A ．256B ．83C ．113D ．48、设5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，则（ ）A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. b a c <<9、在区间()2,0内任取两个数b a ,，则使方程0)2(222=+-+b x a x 的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为（ ）A.81 B.8π C.16π D. 161 10、下面关于()x f 的判断：①(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于直线2=x 对称；②若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称；③若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在区间(0,)+∞上单调递增，则(2)(1)f f a ->+； ④若函数2(2013)21()f x x x x R +=--∈，则函数()f x 的最小值为2-.其中正确的结论个数为 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11、=-⎪⎭⎫⎝⎛++-0232335214log 3log .12、已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝ 3，则OA ·OB的值是13.设函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则()2f x ≤时x 的取值范围是________．14、F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．15、方程1169x xy y+=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减且值域是R ；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的图象经过第一、二、三象限；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称，则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x+=确定的曲线。

成都七中高2021届零诊模拟试题（理科数学参考答案）一、选择题：CABCD ACDBA BC二、填空题：420π)6 2[22l n 2- 三、解答题：17．解：（Ⅰ）解：（1）/2()32f x x ax b =++由题意得：326a b ++=-111(1)622f =-+=-，即11112a b +++=-， 由上述方程解得3,62a b =-=-…………………6分 （Ⅱ）323()612f x x x x =--+2()3363(1)(2)f x x x x x ∴=--=+-()f x ∴在区间(,1),(2,)-∞-+∞上递增，在区间(1,2)-的上递减，……………9分 ()(2)9f x f ∴==-极小值，9()(1)2f x f =-=极大值 要使方程()f x m =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是9(9,)2- …………………12分18．解：（Ⅰ）根据表中数据可得：120,90,x y ==..................1分51()()135i ii x x y y =--=∑521()250ii x x =-=∑51521()()0.54()i i i ii x x y y b x x ∧==--∴==-∑∑..................2分 a y b x ∧=-⋅25.2a ∴= 故所求回归直线的方程为0.5425.2y x =+..................4分易知x 的值为135，∴98.1y =(分)∴故第六次月考物理成绩预测值为98.1分...................6分（Ⅱ）数学成绩超过物理成绩30分的月考有：第三次和第四次，从五次月考中任取两次的所有情况有：（一二），（一三），（一四），（一五），（二三），。

绝密★启用前四川省成都市2021届零诊（高二下期末）理科数学模拟试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，2{|-40}B x x x x =≤，则（ ）答案：A解：由题意得：，，所以.【方法总结】集合中的元素有关问题的求解策略：(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．已知复数满足为虚数单位) ，则在复平面内复数对应的点的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．答案：B解：由题意,得.则,其在复数平面内对应的点的坐标为.故选：B. 3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是( )A ．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B ．该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当C ．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍=⋂B A }3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D {1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A []2{|-40}1,4B x x x =≤==⋂B A }3,2,1{z (3425z i i i ⋅-=+z 21,5⎛⎫ ⎪⎝⎭2,15⎛⎫⎪⎝⎭21,5⎛⎫--⎪⎝⎭2,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭525z i ⋅=+25z i =+2,15⎛⎫⎪⎝⎭4．解析：选C.设该家庭2015年全年收入为a ，则2019年全年收入为2a .对于A ，2019年食品消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年食品消费额为0.4a ，故两者相等，A 不正确．对于B ，2019年教育医疗消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年教育医疗消费额为0.2a ，故B 不正确．对于C ，2019年休闲旅游消费额为0.25×2a ＝0.5a ，2015年休闲旅游消费额为0.1a ，故C 正确．对于D ，2019年生活用品的消费额为0.3×2a ＝0.6a ，2015年生活用品的消费额为0.15a ，故D 不正确．故选C.4．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A解：由题意可知该三棱锥底面是边长为的等腰直角三角形,高为2.故外接球表面积.故选：A 5.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是() . A ． B ． C ．D ．答案：D解析 由已知，，则，所以为上的奇函数. 设，.易判断为上的增函数，也为上的增函数，所以8π6π4π322448S R πππ===⎝⎭()11122x x f x -+=-e xy =(ln y x =2y x =tan y x =()111=22x x f x -+-x ∈R ()()111111=2222x x x x f x f x ----++--=-=-()f x R ()112x f x -=()2112x f x +=-()1f x R ()2f x R为上的增函数.A 选项中的不是奇函数，排除A ；B 选项中令，则，所以为奇函数.设为增函数，而也为增函数，由复合函数的单调性知为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与的奇偶性、单调性相同；C 选项中不是奇函数，排除C ；D 选项中在上不是单调函数.排除D.故选B.5．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）.A. B. C. D.()()()12f x f x f x =+R e x y =()(ln f x x =()(ln f x x -=-==(()ln x f x -=-()f x ()u x x =+()u x ln y u =(ln y x =()111=22x x f x -+-2y x =tan y x =R ()11nn n n f x a x a x--=++10a x a ++L ()f x ()()()()1210nn n f x a x ax a x a x a --=+++++LLi v vx a =+()i v v x a =+i v a x v =+()i v a x v =+解析 秦九韶算法的过程是.这个过程用循环结构来实现,则在空白的执行框内应填入.故选A.7．平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点，且，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A 解：因为，，所以，若，，所以不符合， 所以， 所以. 8． 已知，给出下列四个命题：； ； ； ； 其中真命题的是（ ）.A. B. C. D. 答案：D解析 画出的可行域如图所示.对于命题,在点处, ,则是假命题;对于命题,在点处, 取最大值为,,故是真命题; 对于命题,点到的斜率最小值在点处取到为,,故是假命题; 对于命题,在点处,,故是真命题.故选D.()011,2,,nkk n k v a v v x a k n --=⎧⎪⎨=+=⎪⎩L i v vx a =+xOy α00(,)P x y (,0)2απ∈-3cos()65πα+=0x 410310410±310(,0)2απ∈-3cos()65πα+=(,)636πππα+∈-(0,)66ππα+∈3cos()625πα+>>(,0)63ππα+∈-4sin()65πα+=-0341cos cos ()66552x ππαα⎡⎤==+-=⨯=⎢⎥⎣⎦()20,20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-⎧⎪⎪⎪=-+⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+⎩⎩⎭„„…()1:,,0P x y D x y ∀∈+…()2,,210P x y D x y ∀∈-+：„()31:,,41y P x y D x +∃∈--„()224,,2P x y D x y ∃∈+：…12,P P 23,P P 34,P P 24,P P D 1P ()2,0A -202<0x y +=-+=-1P 2P ()0,2C 21x y -+1-1<0-2P 3P (),x y ()1,1-()0,2C 21301+=--3>4--3P 4P ()0,2C 22024>2+=4P9.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

四川省成都市2021届零诊（高二下期末）理科数学模拟试题简介-- 2020.6.30鉴于成都市今年高二下期（零诊）摸底考试范围和比例作了部分调整，除了2020届（去年）的零诊外，之前的摸底试题参考意义不大。

2021届成都市零诊考试范围和分布比例：数学理：人教A版必修1、2、3、4、5; 选修2-1，选修2-2，选修4-4。

数学文：人教A版必修1、2、3、4、5; 选修1-1, 选修1-2，选修4-4。

其中高一内容约占15%(重点考查函数等)，高二上期内容约占35%，高二下期内容约占50%。

本套卷按新课标（全国卷）的试题类型编写。

（12道选择，4道填空，6道解答题）试卷根据成都市最新的考试范围和分布比例编写，希望能给广大师生朋友在备考零诊提供一点微薄之力。

如有不足之处，望大家多多指正！四川省成都市2021届零诊（高二下期末）理科数学模拟试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，2{|-40}B x x x x =≤，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]2{|-40}1,4B x x x =≤=，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合中的元素有关问题的求解策略：(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．已知复数z 满足(3425z i i i ⋅-=+为虚数单位) ，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．21,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭C ．21,5⎛⎫--⎪⎝⎭D ．2,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意,得525z i ⋅=+.则25z i =+,其在复数平面内对应的点的坐标为2,15⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B. 3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是( )A ．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B ．该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当C ．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍4．解析：选C.设该家庭2015年全年收入为a ，则2019年全年收入为2a .对于A ，2019年食品消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年食品消费额为0.4a ，故两者相等，A 不正确．对于B ，2019年教育医疗消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年教育医疗消费额为0.2a ，故B 不正确．对于C ，2019年休闲旅游消费额为0.25×2a ＝0.5a ，2015年休闲旅游消费额为0.1a ，故C 正确．对于D ，2019年生活用品的消费额为0.3×2a ＝0.6a ，2015年生活用品的消费额为0.15a ，故D 不正确．故选C.4．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π【答案】A【解析】2的等腰直角三角形,高为2.222+2=22.故外接球表面积22224482S R πππ⎛=== ⎝⎭.故选：A 5.下列函数中，与函数()11122x x f x -+=-的奇偶性、单调性均相同的是( ) .A ．e xy = B ．(2ln 1y x x =+ C ．2y x =D ．tan y x =【答案】D解析 由已知()111=22x x f x -+-，x ∈R ，则()()111111=2222x x x x f x f x ----++--=-=-，所以()f x 为R 上的奇函数.设()112x f x -=，()2112x f x +=-.易判断()1f x 为R 上的增函数，()2f x 也为R 上的增函数，所以()()()12f x f x f x =+为R 上的增函数.A 选项中的e x y =不是奇函数，排除A ；B 选项中令()(ln f x x =，则()(ln f x x -=-==(()ln x f x -=-，所以()f x 为奇函数.设()u x x =()u x 为增函数，而ln y u =也为增函数，由复合函数的单调性知(ln y x =为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与()111=22x x f x -+-的奇偶性、单调性相同；C 选项中2y x =不是奇函数，排除C ；D 选项中tan y x =在R 上不是单调函数.排除D.故选B.5．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式()11nn n n f x a x a x--=++10a x a ++L 的值的秦九韶算法，即将()f x 改写成如下形式：()()()()1210nn n f x a x ax a x a x a --=+++++LL，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）.A. i v vx a =+B. ()i v v x a =+C. i v a x v =+D. ()i v a x v =+解析 秦九韶算法的过程是()011,2,,nk k n k v a v v x a k n --=⎧⎪⎨=+=⎪⎩L .这个过程用循环结构来实现,则在空白的执行框内应填入i v vx a =+.故选A.7．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，且(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，则0x 的值为（ ）A．410B．310C．410D．310【答案】A【解析】因为(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，所以(,)636πππα+∈-，若(0,)66ππα+∈，3cos()65πα+>>，所以不符合， 所以(,0)63ππα+∈-，4sin()65πα+=-所以03414cos cos ()66525210x ππαα-⎡⎤==+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦. 8． 已知()20,20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-⎧⎪⎪⎪=-+⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+⎩⎩⎭„„…，给出下列四个命题：()1:,,0P x y D x y ∀∈+…； ()2,,210P x y D x y ∀∈-+：„ ； ()31:,,41y P x y D x +∃∈--„； ()224,,2P x y D x y ∃∈+：…； 其中真命题的是（ ）.A. 12,P PB. 23,P PC. 34,P PD. 24,P P 【答案】D解析 画出D 的可行域如图所示.对于命题1P ,在点()2,0A -处, 202<0x y +=-+=-,则1P 是假命题; 对于命题2P ,在点()0,2C 处, 21x y -+取最大值为1-,1<0-,故2P 是真命题; 对于命题3P ,点(),x y 到()1,1-的斜率最小值在点()0,2C 处取到为21301+=--,3>4--,故3P 是假命题; 对于命题4P ,在点()0,2C 处,22024>2+=,故4P 是真命题.故选D.9.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

2021届高二下期 期末（零诊）复习题 解答题（一）1.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，36AD BC ==，62PB =，点M 在线段AD 上，且4MD =，AD AB ⊥，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）当四棱锥P ABCD -体积最大时，求四棱锥P ABCD -的表面积.2.如图1，在梯形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，BE AD ⊥于E ，1BE AE ==．将ABE ∆沿BE 折起至A BE '∆，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2），M 为线段A D '上一点．（Ⅰ）求证：A E CD '⊥；（Ⅱ）若M 为线段A D '中点，求多面体A BCME '与多面体MCDE 的体积之比；（Ⅲ）是否存在一点M ，使得A B '//平面MCE ？若存在，求A M '的长．若不存在，请说明理由．3.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点。

（Ⅰ）证明：1//BC 平面1A CD ；（Ⅱ）设12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积。

4.如图，在一个由等边三角形ADP 和一个平行四边形ABCD 组成的平面图形中，2AD =，5AB BD ==，将ADP ∆沿AD 边折起，使得7PB =，在四棱锥P ABCD -中. （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设E 是棱PC 上的点，当//PA 平面BDE 时，求三棱锥A BDE -的体积.ED B 1C 1A CB A 11．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2＋2sin β(β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)已知射线l 1：θ＝α(0<α<π2)，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的最大值．2.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22sin cos θρθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AOB ∆的面积.3.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-相交于A B 、两点，且090AOB ∠=.（1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值.4. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 23cos 0ρθθ-=.（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(01)P ，，点(30)Q ，，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求PM 的值.1、在2018年2月K12联盟考试中，我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占94%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人，从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． ①22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++；②2．某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期 3月11日 3月12日3月13日 3月14日 3月15日昼夜温差(C 。

成都市高二数学期末零诊模拟试卷（答案在最后）一、单项选择题1.下列导数运算错误的是（）A.()e xf x x =，则()()1e xf x x +'= B.()πsin 3f x =，则()πcos 3f x ='C.()f x =()f x '= D.()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=【答案】B 【解析】【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.【详解】A 选项，()e xf x x =，则()()()()''e e ee 1e x xxx x f x x x x x =+=+=+'，A 正确；B 选项，()πsin 3f x =，()πsin 03f x '⎛⎫ ⎪⎝⎭'==，B 错误；C 选项，()()12f x x ==，()1212f x x -='=C 正确；D 选项，()ln x f x x =，()()()22ln ln 1ln x x x x x f x x x ''⋅-⋅-=='，D 正确.故选：B2.已知数列21,n a n =-32n b n =-，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{}n c ，则数列{}n c 的通项公式为（）A.32n c n =-B.41n c n =-C.53n c n =-D.65n c n =-【答案】D 【解析】【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得.【详解】因数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{}n c 是首项为1，公差为6的等差数列，故1(1)665n c n n =+-⨯=-.故选：D.3.已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中果实横径落在[]40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中45,5μσ==，所以果实横径在[]40,55的概率为()2P X μσμσ-≤≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+0.477250.341350.8186≈+=.故选：B ．4.函数()2ln f x x x =-单调递减区间是（）A.0,2⎛ ⎝⎦B.2⎫+⎪⎪⎣⎭∞C.,,0,22∞⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎦⎝⎭D.,0,22⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】求导后，令()0f x '≤，解出即可.【详解】()221212,0x f x x x x x-'=-=>,令()0f x '≤，解得202x <≤，所以单调递减区间为0,2⎛ ⎝⎦.故选：A.5.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A.10B.20C.60D.120【答案】A 【解析】【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.6.已知a =，b =，ln 44c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A.b a c <<B.b c a<< C.a b c<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】首先将,,a b c 化成统一形式，构造函数()ln xf x x=()0x >，研究单调性进而比较大小即可.【详解】由题意得a ==，b ==，ln 42ln 2ln 2442c ===；设()ln x f x x =，则21ln ()xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，又02e <<<<，所以(2)f f f <<ln 22<<，所以b a c <<.故选：A .7.已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（）A.0B.-2C.-4D.-【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则302OC =°=，∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8.当0x >时，24e 2ln 1x x x ax ⋅-≥+恒成立，则实数a 最大值为（）A.4eB.4C.24e D.8【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤，再利用切线放缩化简求出a 的取值范围.【详解】因为0x >，由24e 2ln 1xx x ax ⋅-≥+，得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤.令()()242ln 4e 2ln 1e 2ln 10x x x x x x f x x x x+⋅----==>令()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+，则()10xg x e ='-≥在[0,)+∞上恒成立，故函数()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=即e 1x x ≥+，由e 1x x ≥+，得2ln 4e 2ln 41x x x x +≥++，所以()2ln 412ln 14x x x f x x++--≥=.当且仅当2ln 40x x +=时，取“=”，此时ln 2x x =-，由ln y x =与2y x =-图象可知0(0,x ∃∈+∞）使00ln 2x x =-，此时min ()4f x =.所以4a ≤，即a 有最大值为4.故选：B.二、多项选择题9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（）A.114a = B.3q =C.1134n n a -=⨯ D.()1314nn S =-【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q ⎧+=⎨+=⎩，解得11,23a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩故A 错误，B 正确；则111132n n n a a q--==⨯，1)(1)131(1)1(3144n n n n a q S q -==---=-，故C 错误，D 正确.故选：BD.10.已知函数()31f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有一个零点C.点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB ；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C ；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A ：()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，,)3+∞上单调递增，(,33-上单调递减，所以3x =±时取得极值，故A 正确；B ：因为323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以函数()f x 只在,3⎛-∞- ⎪⎝⎭上有一个零点，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确；C ：令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；D ：令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C ，构造函数3()h x x x =-，奇函数图象关于原点对称推出()f x 的对称性是解决本题的关键.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1//B F 平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为π2C.三棱锥1F BC M -的体积为定值D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为26,3⎡⎢⎣【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1//B GH 平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹；选项C ：根据选项B 可得出//GH 平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为定值，即可判断；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ，由正方体的性质可得11//B H C M ，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1//C M 平面1B GH ，同理可得：1//BC 平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，1BC ，1C M ⊂平面1BC M ，所以平面1//B GH 平面1BC M ，而1//B F 平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，长度为，故B 不正确；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为//GH 平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为定值，同时1BC M 的面积也为定值，则三棱锥1F BC M -的体积为定值，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11//AA D D 平面11BB C C ，所以1//AM C N ，同理可证1//AN C M ，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得h =，综上，可知1AQ 长度的取值范围是26,3⎡⎢⎣，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题12.在322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为_____________.【答案】6【解析】【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()32631332C 2C rrrr r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}0,1,2,3r ∈，令633r -=，解得1r =，所以3113322C 6T x x ==，所以展开式中3x 的系数为6.故答案为：613.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为原点，若以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且1=F P ，则C 的离心率为_____________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，得到1||||OP OF c ==，且1F P ==，在1OPF 中，利用余弦定理求得11cos 2F OP ∠=-，得到22πππ33F OP ∠=-=，结合2tan b F OP a ∠==，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，可得1||||OP OF c ==，又1F P ==，在1OPF 中，由余弦定理22211111cos 22OP OF PF F OP OP OF +-∠==-，得12π3F OP ∠=，所以22πππ33F OP ∠=-=，根据直线OP 为渐近线可得2tan OP b k F OP a =∠=，所以b a =2c e a ==.故答案为：2.14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．【答案】365729【解析】【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第n 次由甲组答题的概率为n P ，由全概率公式得到1n P +与n P 的递推公式，根据递推公式求数列{}n P 的通项公式，令7n =，可得问题答案.【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为1x ，1y ，则1x ，{}11,2,3,4,5,6y ∈当()()()()()()()()()()()()(){}11,1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6x y ∈时，11x y +是3的倍数，故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为121663=⨯，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为23．记第n 次由甲组答题的概率为n P ，则由乙组答题的概率为1n P -，()112133n n n P P P +=+-，即11233n n P P +=-+，进一步有1111232n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11111222p -=-=，所以数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以13-为公比的等比数列，所以1111223n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令7n =，则67111365223729P ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭．故答案为：365729【点睛】关键点点睛：设n P 表示第n 次由甲组答题的概率，由全概率公式得()112133n n n P P P +=+-⇒11233n n P P +=-+，得到数列{}n P 的递推公式是解决该题的关键.四、解答题15.设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 为正项数列，且212n n a b +=，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：n S <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d ，即可求出通项公式；（2）由（1）得2nb n =，即n b =，从而得到11n n b b +=-+，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，2a Q ，5a ，14a 成等比数列，则22145a a a =，即2111()(13)(4)a d a d a d ++=+，将11a =代入上式，解得2d =或0d =（舍去）．21n a n ∴=-；【小问2详解】由（1）得212n n a b n +==，又0n b >，所以n b =，所以11n n b b+===+，则1n S=-+-++…1=-<．16.如图，在底面ABCD 是矩形的四棱锥P ABCD -中，1,2,AB BC PA PD ====，点P 在底面ABCD 上的射影为点(O O 与B 在直线AD 的两侧)，且2PO =.（1）求证：AO PD ⊥；（2）求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形，进而得到AO ⊥平面POD ，得到答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦公式求出答案.【小问1详解】证明：连接OD ，因为PO ⊥平面,,ABCD OA OD ⊂平面ABCD ，所以,PO OA PO OD ⊥⊥.又2PA PD PO ===，所以OA OD ==又2AD =，故222OA OD AD +=，所以,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形.而PO OD O = ，,PO OD ⊂平面POD ，所以AO ⊥平面POD ，因为PD ⊂平面POD ，所以AO PD ⊥.【小问2详解】由（1）知，,,OA OD OP 两两垂直，以,,OA OD OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则)(),0,0,2AP ，由9045135OAB ∠=+=，得45BAx ∠=，可得点B 坐标为,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理得232,22C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.所以()()2,,,2,22AP BP BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭，设()111,,m x y z =为平面ABP 的法向量，则00m AP m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111202022z x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩令11z =，则11y x ==，得平面ABP的一个法向量)m =.设()222,,n x y z =为平面BCP 的法向量，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220220x y z ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，令21x =，则221,y z ==，得平面BCP的一个法向量(n =.设平面ABP 与平面BCP 的夹角为α，则cos cos ,10m n m n m n α⋅====，所以平面ABP 与平面BCP夹角的余弦值为10.17.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为Y ，求Y 的数学期望.【答案】（1）0.125a =（2）分布列见详解，65（3）0.3【解析】【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可；（2）根据分层抽样可知高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望；（3）根据题意分析可知()3,0.1Y B ~，结合二项分布的期望公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：每组的频率依次为0.1,0.15,2,0.3,0.2a ，因为0.10.1520.30.21a ++++=，解得0.125a =.【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17和[)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，可知X 可取0，1，2，则有：()303235C C 10C 10P X ===，()213235C C 31C 5P X ===，()123235C C 32C 10P X ===，所以X 的分布列为：X012P11035310X 的期望为()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】因为高度在[)15,17的频率为0.1，用频率估计概率，可知高度在[)15,17的概率为0.1，由题意可知：()3,0.1Y B ~，所以()30.10.3E Y =⨯=.18.已知椭圆2222:1(0)xy E a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）550x y ++=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】令(,0)F c -，由2c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =，由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2，则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=，由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++，由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=，则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-，所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.19.已知函数()22ln f x x x a x =-+.（1）当2a =时，试求函数图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），且不等式()()2211m x mf x ->恒成立，其中m ∈Z ，试求整数m 的取值范围.【答案】（1）230x y --=（2）见解析（3）3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【解析】【分析】（1）求当2a =时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出()f x 的导数，令()0f x '=，得2220x x a -+=，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间；（3）函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（2）可知，102a <<，构造函数1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()h x 的范围，分0m >或0m <或0m <的整数，对不等式()()2211m x mf x ->分离参数，分别求解.【小问1详解】当2a =时，()222ln f x x x x =-+，故()222f x x x -'=+.故()212221f =-'+=，又()21121f =-=-，故函数图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()121y x --=-，即230x y --=.【小问2详解】()22ln f x x x a x =-+的定义域为()0,∞+，所以()22222a x x af x x x x='-+=-+，令()0f x '=，得2220x x a -+=，（i ）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,212x ±=，①若102a <<，由()0f x '>，得11202x -<<或1122x +>,()f x ∴的单调递增区间是112(0,2-，1()2++∞；由()0f x '<，得11211222a a x -+<<,()f x ∴的单调递减区间是112112(22a a--+-；②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增；③若a<0，由()0f x '<，得11202x <<，则函数()f x 在1(0,)2+上递减；由()0f x '>，得12x +>，则函数()f x 在1()2++∞上递增.综上，当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当102a <<时，()f x的单调递增区间是1(0,2，1(,)2++∞，单调递减区间是11(,)22+；当0a ≤时，()f x的单调递增区间是1()2++∞，单调递减区间是1(0,)2+.【小问3详解】由（2）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则102a <<，由()0f x '=，得2220x x a -+=，则121x x =+，1x =，21122x +=，由102a <<，可得1102x <<，2112x <<，()()()22222111111111111112221222ln 222ln 2ln 1x x x x x x x x x x f x x x a x x x x x -+--+--+===-1111112ln 1x x x x =-++-，令1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则21()12ln (1)h x x x '=-+-，因为102x <<，1112x -<-<-，21(1)14x <-<，2141(1)x -<-<--，又2ln 0x <，所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减，又3ln 21()22h --=，所以3()ln 2,02h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 恒成立，若0m >且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=->，即10m m-≥，设()1k m m m=-，()k m 在()0,∞+上单调递增，且()10k =，所以由10m m-≥可得，m 1≥且m ∈Z ，若0m <且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=-<，即13ln 22m m -≤--，设()1k m m m=-，()k m 在(),0∞-上单调递增，而()10k -=，()132222k -=-+=-，()18333ln 2332k -=-+=-<--，所以3m ≤-且m ∈Z ，若0m =，则不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 不成立，综上：3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。

成都石室中学“零诊”模拟考试数学试题(理科)第I 卷(选择题，共50分）一、 选择题:（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.若集合{|2}-==xM y y ，{|==P y y ，则M P = (A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y(C)}0|{>y y (D)}0|{≥y y2.已知向量a ()2,1+=m ，b ()1,-=m ，且a //b ，则b 等于(B)2 (C)320 (D)325 3.不等式112>-x 的解集为 （A ）}{3x x > （B ）}{13x x << （C ）}{3x x < （D ）}{31x x x <>或4.下列命题正确的是（A ）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 （B ）若平面γβγα⊥⊥,，则平面βα⊥ （C ）平行四边形的平面投影可能是正方形（D ）若一条直线上的两个点到平面α的距离相等，则这条直线平行于平面α5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（A ）3 （B ）11（C ）38 （D ）1236.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-7.设x ,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值8.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,3) （B ）[3,)+∞ （C ）(3,)+∞ （D ）(1,3]数列n 满足1，且对任意，点1+n n 都在函数)(x f y =的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）940010.函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（A ）22(,)53 (B))54,32((C) )2,32( (D))2,1(第II 卷(非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11.抛物线24x y =的准线方程是 . 12.已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0, 20πϕ<<）的图象如右图所示，则ϕ= .13.如右图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为____.14.数列{}n a 满足22211211,n n a a a a a +===+++n 记S ，若2130n n tS S +-≤对任意*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值为 .15.方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x=+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称，则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x +=确定的曲线.其中所有正确的命题序号是 .．（Ⅰ）求()B A +cos 的值；（Ⅱ）设10=a ，求ABC △的面积．17.(本小题满分12分） 梯形ACPD 中，,,ADCP PD AD CB AD ⊥⊥，4DAC π∠=，PC =AC 2=，如图①；现将其沿BC折成如图②的几何体，使得AD =.（Ⅰ）求直线BP 与平面PAC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角C PA B --的余弦值.18.(本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数；乙组有一个数据模糊，用X 表示. （Ⅰ）若8x =，求乙组同学植树的棵数的平均数；（Ⅱ）若9x =，分别从甲、乙两组中各随机录取一名学生，求这两名学生植树总棵数为19的概率； （Ⅲ）甲组中有两名同学约定一同去植树，且在车站彼此等候10分钟，超过10分钟，则各自到植树地点再会面.一个同学在7点到8点之间到达车站，另一个同学在7点半与8点之间到达车站，求他们在车站会面的概率.19.（本题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ,.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线0x y-+=相切． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；098X 11199乙组甲组图②ADPCB图①PCBAD(Ⅱ) 若斜率为)0(≠k k 的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于点,,A M N （A 点在椭圆右顶点的右侧），且A MF F NF 212∠=∠.求证：直线l 过定点（2，0）.20.（本题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S =-．数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：数列{}2nnb 为等差数列，并求{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在常数λ，使得不等式16(1)16n n n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．21.（本题满分14分）已知函数)1(ln )(+=x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）设)(x F =2()()ax f x a R '+∈，讨论函数)(x F 的单调性；（Ⅲ）如果在公共定义域D 上的函数()f x ,)(),(21x f x f 满足12()()()f x f x f x <<，那么就称()f x 为)()(21x f x f 、的“可控函数”.已知函数2211()ln ln (21)2f x x x a x x a x =--++，32()f x x x a =++，若在区间),1(+∞上，函数)(x f 是)()(21x f x f 、的“可控函数”，求实数a 的取范围.2014级零诊模拟试题(理科)数学答案1-10 C A B C B C B D A A 11-15 116y =-3π25 ①②③ 16.解：（Ⅰ）∵C B A ,,为ABC ∆的内角，且，552cos =A ，10103cos =B ∴555521cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=A A1010101031cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B B ………………………………………4分 ∴()B A +cos 10105510103552⨯-⨯=22=………………………………6分 （Ⅱ）由（I ）知， 45=+B A∴ 135=C ………………………………………7分∵10=a ，由正弦定理B bA a sin sin =得 555101010sin sin =⨯=⨯=A Ba b ……………………………………11分∴ABC S ∆252251021sin 21=⨯⨯⨯==C ab ……………………………………12分17.解：（Ⅰ）由题意，PC=AC=2,AB ∴==2BD ，.在ABD ∆中，∵222AB DB AD +=，∴BD BA ⊥，∴BD BA BC 、、两两垂直，分别以BC BA BD 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B xyz -（如图）.(0,0,0),A B (2,0,0),C P设平面PAC 的法向量为(,,x y =n -000CA x y z CP ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩n n ，取n 设直线BP 与平面PAC 则2sin 2BP BP θ==⨯nn直线BP 与平面PAC 成的角为(2,2,2),(2,0,0).AP BC =-=（Ⅱ）设平面PAB 的法向量为(0,2,0),(2,AB AP =-=令1,z =-∴=-m由（Ⅰ）知平面PAC 的法向量为令(1,1,0)=n.cos ,⋅∴<>===m n m n m n 由图知二面角C PA B --为锐角，∴二面角C PA B --18.（1）435……4分（2）41……8分（3）3964……12分19.解：（I ）由题意知c e a == 所以22222212c a b e a a -===．即222a b =.又因为1b ==，所以22a =，21b =．故椭圆C 的方程为1222=+y x . --------------------------5分（II ）由题意,设直线l 的方程为)0(≠+=k m kx y ，).,(),,(2211y x N y x M()().02241222,22222=-+++⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y 得由()(),022124162222>-+-=∆m k m k 得.1222+<k m则有124221+-=+k kmx x ， 12222221+-=k m x x . ---------------------7分因为A MF F NF 212∠=∠, 且902≠∠A MF ，所以()1,0F ,0222又=+NF MF k k --------------------8分0112211=-+-x y x y ，即0112211=-++-+x mkx x m kx . 化简得：()().0222121=-+-+m x x k m x kx将124221+-=+k kmx x ，12222221+-=k m x x 代入上式得k m 2-=（满足△0>）.直线l 的方程为k kx y 2-= ，即直线过定点（2，0）.----------------------12分 20.解：（Ⅰ）当1n =时 111211a S ==-=；当2n ≥时 111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=， 因为 11a =适合通项公式12n n a -=．所以 12n n a -=*()n N ∈． …………3分 （Ⅱ）因为 128n n n b b a +-=，所以 2122n n n b b ++-=，即11222n nn nb b ++-=． 所以 {}2n n b 是首项为112b =1，公差为2的等差数列． 所以 12(1)212n nb n n =+-=-，所以 (21)2n n b n =-⋅． ……………………6分（Ⅲ）存在常数λ使得不等式16(1)16n n n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立．因为 1231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ①所以 2n T = 23-111232(25)2+(23)2(21)2n n n n n n +⋅+⋅++-⋅-⋅+-⋅ ②由①-②得 34112222(21)2n n n T n ++-=++++--⋅，化简得 1(23)26n n T n +=-⋅+．因为 1216(23)2236(21)242n n n n T n n T n n +++--⋅-==--⋅-=12242n --11221n =--，…………8分 （1）当n 为奇数时，16(1)16n n T T λ+--<+-，所以 1616n n T T λ+->---， 即31221n λ>-+-．所以当n =1时，31221n -+-的最大值为12- ，所以只需12λ>-；…………10分（2）当n 为偶数时，1616n n T T λ+-<+-，所以 31221n λ<--，所以当n =2时，31221n --的最小值为76 ，所以只需76λ<；…………12分由（1）（2）可知存在1726λ-<<，使得不等式16(1)16n n n T T λ+--<+-*()n N ∈…13分21.解：（1）2221`()12(0),`()0,11(0,)`()0;(,)`()0f x nx x f x x e x f x x f x e e=+>==''∈<∈+∞>令得当时，当时， ………2分min 22221111()(11)x f x n e e e e∴==+=-当时， …………… 4分（2）)0(12212)(),0(21)(2〉+=+='>++=x xax x ax x F x nx ax x F ……5分①当0≥a 时，恒有()0F x '>，F （x ）在),0(+∞上是增函数； ②当0<a 时，;21,0122,0)(;210,0122,0)(ax ax x F ax ax x F -><+<'-<<>+>'解得得令解得得令 ………………8分综上，当0≥a 时，F （x ）在),0(+∞上是增函数；当0<a 时，F （x ）在)21,0(a -上单调递增，在),21(+∞-a上单调递减 ……9分 （3）在区间),1(+∞上，函数12()()()f x f x f x 是、的“可控函数”， 则)()()(21x f x f x f <<令2112()()()210(1,)2p x f x f x x ax a nx x =-=-+-<∈+∞对恒成立2222()20,11()1()(1)20,24a x ax a p x x a x xp x p x p a a -+-'=-+-=〈+∞∴<=-+≤∴≤又因为在（，）上是减函数，…………11分 再由32()()ln 0(1,)f x f x x x a x x x x -=++-->∈+∞对恒成立于是3ln (1,)a x x x x >-∈+∞对恒成立令3()ln h x x x x =-，则max (),(1,)a h x x >∈+∞对()h x 求导，得2()ln 13h x x x '=+-又[]1()60h x x x''=-<在(1,)+∞上恒成立………………………12分 所以()h x '在(1,)+∞上为减函数，则()(1)20h x h ''<=-<因此，()h x 在(1,)+∞上为减函数，所以max ()(1)1h x h ==-，即1a ≥-综上可知，函数12()()()f x f x f x 是、的“可控函数”，实数a 的取值范围是[1(1,4⎤-⎥⎦.……14分。

高三理数零诊考试试卷一、单项选择题1.设全集，集合，那么〔〕A.B.C.D.2.函数那么〔〕3.某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，总分值为100分.如以下列图的茎叶图为某班20名同学的测试成绩(单茎位：分).那么这组数据的极差和众数分别是〔〕A.20，88B.30，88C.20，82D.30，914.假设实数，满足约束条件，那么的最大值为〔〕5.双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为，那么该双曲线的渐近线方程为〔〕A.B.C.D.6.记函数的导函数为.假设，那么〔〕7. 为圆上一动点，那么点到直线的距离的最大值是〔〕A.B.C.D.8.直线，.那么“ 〞是“ 〞的〔〕如以下列图的程序框图，那么输出的的值是〔〕A.B.C.D.10.在三棱锥中，平面，，，假设该三棱锥的顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为〔〕A.B.C.D.11.函数，.假设对任意，且，都有，那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.12.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点.假设，且的面积为，那么点到准线的距离是〔〕A.B.C.D.二、填空题13.设复数( 为虚数单位)，那么________.14.一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯亮的概率为________．15.关于，的一组数据：1 3 4 5根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，那么的值为________.16. 是定义在上的奇函数，当时，有以下结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点；③假设关于的方程恰有4个不相等的实数根，那么这4个实数根之和为8；④记函数在上的最大值为，那么数列的前项和为.其中所有正确结论的编号是________.三、解答题17.函数，其中.假设函数的图象在点处的切线与直线平行.〔1〕求的值；〔2〕求函数的极值.18.“2021年全国城市节约用水宣传周〞已于5月9日至15日举行.成都市围绕“贯彻新开展理念，建设节水型城市〞这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如以下列图的频率分布直方图.〔1〕求的值，并估计这300名业主评分的中位数；〔2〕假设先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在的概率.19.如图，在四棱锥中，，，为棱的中点，，.〔1〕求证：平面；〔2〕假设平面平面，是线段上的点，且，求二面角的余弦值.20.椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，，，且椭圆的离心率为.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点.求面积的最大值.21.函数，其中.〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕当时，假设满足，证明：.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为( 为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，〔1〕求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；〔2〕在曲线上任取一点，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的倍得到曲线.设直线与曲线相交于，两点，点，求的值.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为，，所以．故答案为：B．【分析】根据补集的概念即可求出答案。

四川省成都市2021届高三数学零模考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数1iz i =+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A. 12- B. 12i C. 12D. 12i -【答案】C 【解析】 试题分析：(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i -+====+++-，则虚部为，故选. 考点：复数的运算、复数的实部与虚部.2.若集合{1234}A =，，，，{}260B x x x =--≤，则A B =（ ）A. {1}B. {12}，C. {2,3}D. {12,3}， 【答案】D 【解析】{}60,23,1,2,3x x x A B --≤∴-≤≤⋂=,选D .3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D 【解析】 【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选A ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A. 1 B. 3C. 6D. 9【答案】D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++= ，可得31212log 12a a a =，进而可得()6121212673a a a a a == ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.6.设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1xf x e x x=+-，则()1f '=（） A. 3e - B. 2e -C. 1e -D. e【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x '，即可求出()1f '的值.【详解】由题得()21=ln x xe f x e x x x '+-，所以()211==e 111e f '--. 故选C【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 7.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-，()cos n C c =-，且0m n ⋅=，则角A 的大小为（）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A 的方程，得解．【详解】由0m n =得，0(,cos )(cos ,2)cos )cos a A C c a C c A =--=--，由正弦定理得，sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=，化为sin()cos 0A C B A +=，即sin cos 0B B A =， 由于sin 0B ≠，∴cos A =()0,A π∈∴4A π=，故选B ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出变量m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 开始 0S =1m =① 1122100⨯=< 2m =② 12122210100⨯+⨯=< 3m = ③ 12312223234100⨯+⨯+⨯=< 4m = ④ 12341222324298100⨯+⨯+⨯+⨯=< 5m =⑤ 123451222324252258100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>6m =故选B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.若矩形ABCD 的对角线交点为O '，周长为410，四个顶点都在球O 的表面上，且3OO '=，则球O 的表面积的最小值为（）A.3223πB.6423πC. 32πD. 48π【答案】C 【解析】 【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值．【详解】如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，则210a b +=，且外接圆O '的半径22a b r +=．由球的性质得，OO '⊥平面ABCD ，所以球O 的半径2222(3)34a b R r +=++由均值不等式得，2222a ba b ++222()202a b a b++=， 所以222220(3)33844a b R r +=+++=，当且仅当10a b == 所以球O 的表面积的最小值为2432R ππ=， 故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10.已知函数()()221xf x x a x e =++，则“2a =()f x 在-1x =处取得极小值”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，分析函数()f x 在1x =-处取得极小值时的a 的范围，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：若()f x 在1x =-取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++．令()0f x '=，得1x =-或21x a =--． ①当0a =时，2()(1)0xf x x e'=+．故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值；②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故()f x 在1x =-处取得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠．∴“a =()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件．故选A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．11.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A. 3⎛ ⎝B.C. 131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. (1,5)(13,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN+最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,1c c a a >∴<<或5,ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为131,(5,)⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围. 12.若关于x 的不等式ln 10x x kx k -++>在()1,+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据题意即可得出函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方，当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，可设切点为0(x ，0)y ，从而可以得出()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，联立三式即可得出01k x =-，根据01x >即可得出0k >，再根据③即可得出1k >，从而得出整数k 的最大值为2．【详解】关于x 的不等式10xlnx kx k -++>在(1,)+∞内恒成立， 即关于x 的不等式(1)1xlnx k x >--在(1,)+∞内恒成立， 即函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方．当直线(1)1y k x =--与函数(1)y xlnx x =>相切时，设切点为0(x ，0)y ，则()000000111y x lnx y k x lnx k =⎧⎪=--⎨⎪+=⎩①②③，由①②得，000(1)1x lnx k x =--，把③代入得00(1)(1)1x k k x -=--，化简得01x k =+．由01x >得，0k >． 又由③得011k lnx =+>．即相切时整数2k ．因此函数(1)y xlnx x =>的图象恒在直线(1)1y k x =--的上方时，整数k 的最大值为2． 故选C ．【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13.某公司一种新产品的销售额y 与宣传费用x 之间的关系如表：已知销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为9y bx =+，则b 的值为__________． 【答案】6.5 【解析】 【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数． 【详解】由表中数据，计算0123425x ++++==，10152030351102255y ++++===，又归直线方程为ˆˆ9y bx =+过样本中心点(2,22)得， ˆ2229b=+， 解得13ˆ 6.52b ==． 故答案为6.5．【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 14.已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ：20x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为__________．【解析】 【分析】先表示出曲线C 上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值. 【详解】表示曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意点(2cos ,sin )P θθ到直线:20l x y +-的距离d ==当sin()1θα+=时，||min min PQ d ===故答案为5【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.已知()f x 是定义在(),ππ-上的奇函数，其导函数为()f x '，4f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且当()0,x π∈时，()()sin cos 0f x x f x x '+>．则不等式()sin 1f x x <的解集为__________．【答案】,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】令()()sin F x f x x =，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出()sin f x x 的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集． 【详解】令()()sin (0)F x f x x x π=<<， 则()()sin ()cos 0(0)F x f x x f x x x π''=+><<，所以()()sin F x f x x =在(0,)π上为单调递增，且()()sin 1444F f πππ==，所以()()sin ()4F x f x x F π=<，解得04x π<<．由()f x 是定义在(,)ππ-上的奇函数得，()()sin()()sin F x f x x f x x f -=--=-⋅-=（x)sinx=F(x)所以()()sin F x f x x =在(,)ππ-为偶函数，且(0)(0)sin 00F f == 所以不等式()sin 1f x x <的解集为(),44ππ-，故答案为(),44ππ-．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，准线为l ．过点F 作倾斜角为120︒的直线与准线l 相交于点A ，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且43AB =，则抛物线C 的标准方程为__________． 【答案】22y x = 【解析】 【分析】设出直线AF 的方程，与抛物线方程联立，消去x ，解方程求得p 的值，再写出抛物线C 的标准方程．【详解】由题得直线AF的方程为)2p y x =-，从而()2pA -；由22)2y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x ，2220py +=，解得y p或y =（舍去），从而1()6B p p ； 由4||3AB =43， 解得1p =，所以抛物线C 的标准方程为22y x =．故答案为22y x =．【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-．（Ⅰ）求实数,m n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围． 【答案】（Ⅰ）0m =，4n =-（Ⅱ）725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导函数()f x '的图象关于y 轴对称求出m 的值，再根据()213f =-求出n 的值；（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（Ⅰ）()22f x x mx n '=++.函数()f x '的图象关于y 轴对称，0m ∴=. 又()121333f n =++=-，解得4n =-. 0m ∴=，4n =-.（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围. 由（Ⅰ），得()31433f x x x =-+.()24f x x '∴=-. 令()0f x '=，解得2x =±. 当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x ∴(),2-∞-，()2+∞，上分别单调递增. 又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在()2,2-上单调递减. ()f x ∴的极大值为()2523f -=，极小值为()723f =-. ∴实数λ的取值范围为725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A 类行业：85，82，77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；（Ⅱ）若从抽取的A 类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．【答案】（Ⅰ）A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）45【解析】 【分析】第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率． 【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的A ，B ，C 三类行业单位个数之比为3:3:4. 由分层抽样的定义，有A 类行业的单位个数为32006010⨯=， B 类行业的单位个数为32006010⨯=，C 类行业的单位个数为42008010⨯=，故该城区A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M . 这3个单位的考核数据情形有{}85,82,77，{}85,82,78，{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,77,78，{}85,77,83，{}85,77,87，{}85,78,83，{}85,78,87，{}85,83,87，{}82,77,78，{}82,77,83，{}82,77,87，{}82,78,83，{}82,78,87，{}82,83,87，{}77,78,83，{}77,78,87，{}77,83,87，{}78,83,87，共20种.这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,83,87，{}82,83,87，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种， 故所求概率()441205P M =-=. 【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN 平面PCD ；（Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；93【解析】 【分析】第一问先证明BM ∥平面PCD ，MN ∥平面PCD ，再根据面面平行的判定定理证明平面BMN平面PCD ．第二问利用等积法可得13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅，分别求出PMN ∆的面积和BM 的长度即可解决问题．【详解】（Ⅰ）连接BD ，∴AB AD =，60BAD ∠=，∴ABD ∆为正三角形. ∵M 为AD 的中点，∴BM AD ⊥.∵AD CD ⊥，,CD BM ⊂平面ABCD ，∴BMCD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MNPD .又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ∥平面PCD . 又,BM MN ⊂平面BMN ，BM MN M =，∴平面BMN平面PCD.（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证BM AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，∴BM ⊥平面PAD . 又6AD =，60BAD ∠=，∴33BM =在PAD ∆中，∵PA PD =，PA PD ⊥，∴2322PA PD AD ===∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点， ∴PMN ∆的面积(21119324424PMNPAD S S ∆∆==⨯⨯=， ∴三棱锥P BMN -的体积13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅19933334=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为()13,0F -，)23,0F ，且经过点13,2A ⎫⎪⎭．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点0(4)B ，作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P Q ，两点，记点P 关于x 轴对称的点为P '．证明：直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）证明见解析，直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得a ，再求得b ，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为4(0)x my m =+≠，再设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则1(P x '，1)y -．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，求出P Q '所在直线方程，取0y =求得x 值，即可证明直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标． 【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知122a AF AF =+142==. 解得2a =. 又2221b a =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为()40x my m =+≠. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,P x y '-.由22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得()2248120m y my +++=. ()216120m ∆=->，212m ∴>. 12284m y y m -∴+=+，122124y y m =+. ()21212121P Q y y y y k x x m y y '++==--，∴直线P Q '的方程为()()211121y y y y x x m y y ++=--.令0y =，可得()211124m y y x my y y -=+++.121224my y x y y ∴=+=+22122244441884m m m m m m ⋅++=+=--+.()1,0D ∴. ∴直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.已知函数()1xxxf x ae e =--，其中0a >． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值．【答案】(1) 10x y -+=；(2) 1a = 【解析】 【分析】（1）根据题意求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）问题等价于关于x 的方程1(1)x x x a e e =+有唯一的解时，求a 的值．令1()(1)x xxg x e e =+，求得()g x 的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a 的值； 【详解】解：（1）当2a =时，()21xx xf x e e=--， 所以()12xx xf x e e-'=-， 所以()0211f '=-=． 又()0211f =-=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x -=， 即10x y -+=．（2）问题等价于关于x 的方程11x xx a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，求a 的值．令()11x x x g x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()212xxx e g x e --'=．令()12xh x x e =--，则()20xh x e '=--<，()h x ∴在(),-∞+∞上单调递减．又()00h =，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在(),0-∞上单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，()g x ∴在()0,∞+上单调递减． ()g x ∴的极大值为()01g =．∴当(],0x ∈-∞时，()(],1g x ∈-∞；当()0,x ∈+∞时，()()0,1g x ∈．又0a >，∴当方程11x x x a e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有唯一的解时，1a =．综上，当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算能力，属于中档题．22.在直角坐标系xOy 中，过点()1,1P 的直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||PA PB +的最小值．【答案】（Ⅰ）2240x y x +-= 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得()22sin 2cos 20t t αα+--=，再利用直线参数方程t 的几何意义求出11||||PA PB +的最小值． 【详解】解：（Ⅰ）4cos ρθ=，24cos ρρθ∴=.由直角坐标与极坐标的互化关系222x y ρ=+，cos x ρθ=.∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得()22sin 2cos 20t t αα+--=.()22sin 2cos 80αα∆=-+>，∴可设12,t t 是方程的两个实数根，则122cos 2sin t t αα+=-，1220t t =-<.11PA PB ∴+=121212121211t t t t t t t t t t +-+====≥=4πα=时，等号成立. 11PAPB∴+. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程t 的几何意义，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。

外国语2021-2021学年下期高2021级高二零诊模拟考试数学试题〔理科〕考试时间是是120分钟，满分是150分.一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合{}230A x x x =->，{}ln(1)B x y x ==-，那么A B 为〔 〕A ．[)0,3B ．()1,3C ．(0,1)D ．∅ 2. 复数z 满足1+1zz i=- (i 为虚数单位)，那么z 的虚部为〔 〕 A ． i B ．-1 C ． i - D ． 13. 由曲线21y x =-、直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.22(1)0x dx -⎰ B.22|(1)|0x dx -⎰B ．C.22|1|0x dx -⎰D.2212(1)(1)01x dx x dx -+-⎰⎰4. 在线性约束条件下4224x y x y y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，那么目的函数2z x y =+的最大值为〔 〕A ． 26B ． 24 C. 22 D ．205. ?九章算术?中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵〞，某“堑堵〞的三视图如下图，那么该“堑堵〞的外表积为〔 〕 A ． 4 B ．642+ C. 4+42 D ．2 6、以下说法中正确的选项是〔 〕A.命题“假设22am bm <，那么a b <〞的逆命题是真命题B.命题“p 或者q 〞为真命题，那么命题p 和命题q 均为真命题C.直线l 不在平面α内，那么“l 上有两个不同点到α的间隔 相等〞是“//l α〞的充要条件D. 命题“∃000,1x x R ex ∈≤+〞的否认为：“,1xx R e x ∀∈>+〞7. 假设在区间(0,5]内随机取一个数m ，那么抛物线2x my =的焦点F 到其准线l 的间隔 小于13的概率为〔 〕 A.215 B. 710 C. 115D. 358.函数()y f x =的图像是以下四个图像之一，且其导函数()y f x '=的图像如下图，那么该函数的图像大致是〔 〕9.假设()|ln |f x x =，0,0,m n m n >>≠，且()()f m f n =，那么224m n mn +的最小值为〔 〕A 4 B. 2 C. 2 D. 2210．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，O 为坐标原点，倾斜角为6π的直线l 过右焦点2F 且与双曲线的左支交于M 点，假设1122()0FM F F MF +⋅=，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．5B ．3C ．31+D ．312+ 11. 在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C 成等差数列，3b =，那么ABC ∆面积的取值范围〔 〕A. 3(0,]4B. 333(,]24 C.133(,]44 D. 31[,]4212．假设存在两个不相等正实数1x 、2x ，使得等式()()121212ln ln 0x a x ex x x ⋅+--= 成立,其中e 为自然对数的底数,那么实数a 的取值范围是( )A ．1(,0)[,)e-∞+∞ B ．1(0,]eC ．1[,)e+∞ D ．1(,0)(0,]e-∞第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13.ln133log 18log2e -+= ．14. 在平面直角坐标系中，三点(0,0)O ,(2,4)A ，(6,2)B ，那么三角形OAB 的外接圆方程是 ．15．n S 为数列}{n a 的前n 项和，13n n S S n N *+=∈，，11a =，那么2018a =________.16、如下图，在ABC ∆中，点,M N 分别在,AB AC 边上，满足||BC a =，3aBN BA AC =+,0MN AC ⋅=,232MN =,3ABC π∠=,那么2||BN =__________。