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高三数学(理科)摸底测试参考答案第1㊀页(共4页)成都市2013级高中毕业班摸底测试数学试题参考答案(理科)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一㊁选择题:(每小题5分,共60分)1.A ;2.D ;3.C ;4.D ;5.A ;6.B ;7.C ;8.C ;9.A ;10.B ;11.D ;12.D.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二㊁填空题:(每小题5分,共20分)13.12;㊀14.30;㊀15.439;㊀16.(28,55).三㊁解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)ȵәA B C 为等腰三角形,O 是底边B C 的中点,ʑA O ʅB C ,ʑA O ʅO B ᶄ,A O ʅO C . 4分又ȵO B ᶄɘO C =O ,ʑA O ʅ平面B ᶄO C . 6分(Ⅱ)由三视图知,直线O B ᶄ,O A ,O C 两两垂直,且O C =O B ᶄ=1,O A =3,建立如图所示空间直角坐标系O -x y z .则A (3,0,0),C (0,1,0),B ᶄ(0,0,1).ʑA C ң=(-3,1,0),A B ᶄң=(-3,0,1).设平面A B ᶄC 的法向量为m =(x ,y ,z ).则m ㊃A C ң=0m ㊃A B ᶄң=0{,即-3x +y =0-3x +z =0{.可取m =(1,3,3). 9分又n =(1,0,0)为平面B ᶄO C 的法向量,ʑc o s m ,n ⓪=m ㊃n |m ||n |=11ˑ19=1919.ʑ二面角A -B ᶄC -O 的余弦值为1919. 12分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)f (x )=s i n x +3c o s x =2s i n (x +π3). 2分由-π2+2k πɤx +π3ɤπ2+2k π,得-5π6+2k πɤx ɤπ6+2k π,k ɪZ .ʑf (x )的单调递增区间为[-5π6+2k π,π6+2k π],k ɪZ . 6分(Ⅱ)g (x )=[f (x )]2-2=4s i n 2(x +π3)-2=-2[1-2s i n 2(x +π3)].=-2c o s (2x +2π3). 8分高三数学(理科)摸底测试参考答案第2㊀页(共4页)ȵx ɪ[0,π4],ʑ2x +2π3ɪ[2π3,7π6].ʑc o s (2x +2π3)ɪ[-1,-12].ʑ1ɤg (x )ɤ2. 11分ʑ函数g (x )的值域是[1,2]. 12分19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)第3组的人数为0.3ˑ100=30,第4组的人数为0.2ˑ100=20,第5组的人数为0.1ˑ100=10.ʑ第3,4,5组共有60名志愿者.ʑ用分层抽样的方法在这3组志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060ˑ6=3;第4组:2060ˑ6=2;第5组:1060ˑ6=1.ʑ应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(Ⅱ)记第3组的3名志愿者分别为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者分别为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有:(A 1,A 2),㊀(A 1,A 3),㊀(A 1,B 1),㊀(A 1,B 2),㊀(A 1,C 1),(A 2,A 3),㊀(A 2,B 1),㊀(A 2,B 2),㊀(A 2,C 1),(A 3,B 1),㊀(A 3,B 2),㊀(A 3,C 1),(B 1,B 2),㊀(B 1,C 1),㊀(B 2,C 1),共有15种不同的结果.9分其中第3组的3名志愿者A 1,A 2,A 3都没有被抽中的可能情况有:(B 1,B 2),㊀(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有3种不同的结果.ʑ第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1-315=45. 12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意,知动点P (x ,y )到定点E (-1,0),F (1,0)的距离之和等于4(大于|E F |),ʑ动点P 的轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.ʑa =2,c =1,b 2=3.ʑ曲线G 的标准方程为x 24+y 23=1. 4分(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k (x -1)(k ʂ0).代入x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0.显然ә>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).则x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3. 6分(i )由题意,知C (x 1,-y 1).ʑ直线B C 的方程为y =y 2+y 1x 2-x 1(x -x 1)-y 1.令y =0,则x N =y 1(x 2-x 1)y 2+y 1+x 1=y 1x 2+y 2x 1y 2+y 1=2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1+x 2-2=2㊃4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4.高三数学(理科)摸底测试参考答案第3㊀页(共4页)ʑ直线B C 恒过定点N ,且定点N 的坐标为(4,0). 9分(i i )由(i ),可知N (4,0),F (1,0).ʑәA B N 的面积可表示为S =12|F N ||y 2-y 1|=32|k (x 2-x 1)|.ʑS =32k 2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=32k 2[(8k 24k 2+3)2-4㊃4k 2-124k 2+3].=18k 2㊃k 2+1(4k 2+3)2设4k 2+3=t ,则t >3.ʑS =92t 2-2t -3t 2=92-3(1t +13)2+43.令u =1t ,则0<u <13.ȵ函数y =-3(u +13)2+43在(0,13)内单调递减,ʑy ɪ(0,1).故әA B N 的面积S 的取值范围是(0,92). 12分21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)ȵf (x )=a x 2+1n x ,ʑf ᶄ(x )=1x +2a x .令φ(x )=1x +2a x ,则φᶄ(x )=-1x 2+2a.由题意,知φᶄ(12)=0,ʑ-4+2a =0,ʑa =2.经检验,a =2符合题意.ʑ实数a 的值为2. 3分(Ⅱ)方程f (x )-g (x )+m =0恰有两个不相等的实数根,即m =g (x )-f (x )在x ɪ[12,2]内恰有两个不相等的实数根.4分令u (x )=g (x )-f (x ),则u (x )=3x -x 2-1n x ,x ɪ[12,2].ʑu ᶄ(x )=3-2x -1x =-(2x -1)(x -1)x .由u ᶄ(x )>0,得12<x <1;由u ᶄ(x )<0,得1<x <2.ʑ函数u (x)在[12,1]内单调递增,在[1,2]内单调递减.ʑu (x )在x =1处有极大值u(1)=2.又u (12)=54+1n 2,u (2)=2-1n 2,5分易知实数m 的取值范围是[54+1n 2,2).7分(Ⅲ)h (x )=f (x )-32x 2-(b +1)x =1n x +12x 2-(b +1)x .ʑh ᶄ(x )=1x +x -(b +1)=x 2-(b +1)x +1x .高三数学(理科)摸底测试参考答案第4㊀页(共4页)由题意,知x 1,x 2是方程x 2-(b +1)x +1=0的两个实数根,且x 2>x 1>0.ʑә>0.x 1+x 2=b +1,x 1x 2=1.ȵk A B =h (x 1)-h (x 2)x 1-x 2,x 1-x 2<0,ʑk A B ɤr x 1-x 2恒成立等价于h (x 1)-h (x 2)ȡr 恒成立,即r ɤ[h (x 1)-h (x 2)]m i n .10分由h (x 1)-h (x 2)=1n x 1-1n x 2+12x 21-12x 22-(b +1)(x 1-x 2)=1n x 1x 2-12(x 21-x 22)=1n x 1x 2-12x 1x 2(x 21-x 22)=1n x 1x 2-12(x 1x 2-x 2x 1).设x 1x 2=t (0<t <1),则h (x 1)-h (x 2)=1n t -12(t -1t ).又ȵ(b +1)2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2,b ȡ32,ʑt +1t +2ȡ(32+1)2=254.ʑt ɤ14,或t ȡ4.ʑ0<t ɤ14.设ν(t )=1n t -12(t -1t),0<t ɤ14.则νᶄ(t )=1t -12(1+1t 2)=-(t -1)22t 2.ȵ0<t ɤ14,ʑνᶄ(t )<0.㊀㊀ʑν(t)在(0,14]内单调递减.ʑν(t )m i n =ν(14)=158-21n 2,即r ɤ158-21n 2.ʑ实数r 的最大值为158-21n 2. 12分22.(本小题满分10分)解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为x 2=2a y ,直线l 的普通方程为x -y +2=0.4分(Ⅱ)将直线l 的参数表达式代入抛物线方程,得12t 2-(42+2a )t +4a +16=0.ʑt1+t 2=82+22a ,t 1t 2=8a +32. 6分ʑ|P M |=|t 1|,|MN |=|t 1-t 2|,|PN|=|t 2|.8分ȵ|P M |,|MN |,|P N |成等比数列,则|MN |2=|P M ||P N |.即|t 1-t 2|2=|t 1t 2|.则(t 1+t 2)2=5t 1t 2.将t 1+t 2=82+22a ,t 1t 2=8a +32代入,化简,得(a +4)(a -1)=0.ȵa >0,ʑa 1. 10分。
四川省成都市2013届高三摸底考试数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合P={1，2，3，4}，{|37,}Q x x x N =≤<∈，则P ∪Q= A ．∅B ．{3,4}C ．{1,2,5,6}D ．{1,2,3,4,5,6}2．对于函数1()(01,)x f x aa a x R -=>≠∈且，下列命题正确的是A ．函数f （x ）的图象恒过点（1，1）B ．0x ∃∈R ，使得0()0f x ≤C ．函数f （x ）在R 上单调递增D ．函数f （x ）在R 上单调递减3．在等差数列*45619{}(),27,n a n N a a a a a ∈++=+中若则等于A ．9B ． 27C ．18D ．544．函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为 A ．（3,+∞）B ．（2,3）C ．（1,2）D ．（0,1）5．已知α为第四象限的角，且4sin(),tan 25παα+=则= A ．34- B ．34C ．一43D ．436．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．15 B ．20 C ． 30 D ．607．设l ，m ，n 为不重合的三条直线，其中直线m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，且12||F F =2c ，若点P在椭圆上，且满足2212120,PF F F PF PF c ⋅=⋅=，则该椭圆的离心率e 等于A ．12B ．12C ．12- D ．29．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，则下列判断错误．．的是 A ．DB 1⊥平面ACD 1B ．BC 1∥平面ACD 1 C ．BC 1⊥DB 1D ．三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关10．一批物资随17辆货车从甲地以v km/h （100≤v ≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地间相距600 km ，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于2()20v km （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是A ．B ．9．8小时C ．10小时D ．10．5小时11．在直角坐标系xOy 中，直线Z 的参数方程为,4x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，且t>0）；以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c 的极坐标方程为)4πρθ=+．则直线l 和曲线C 的公共点有A ．0个B ．l 个C ．2个D ．无数个 12．已知奇函数f （x ）满足f （x+1）=f （x-l ），给出以下命题：①函数f （x ）是周期为2的周期函数；②函数f （x ）的图象关于直线x=1对称；③函数f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称；④若函数f （x ）是（0，1）上的增函数，则f （x ）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是 A ．①③ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．13．某单位有青年职工300人，中年职工150人，老年职工100人．为调查职工健康状况，采用分层抽样的方法，抽取容量为33的样本，则应从老年职工中抽取的人数为 ．14．函数1()ln12x f x x+=-的定义域为 ．15．若实数z 、y 满足不等式组，则1y z x+=的最大值为 ． 16．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果为 .三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x x R =+-∈（I ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）在锐角△ABC 中，若()1,2f A AB AC =⋅=，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是D 1C 、AB 的中点． （I ）求证：EF ∥平面ADD 1A 1；（Ⅱ）求二面角D —EF —A 的余弦值．19．（本小题满分12分）某幼儿园在“六·一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为z ，家长所得点数记为y ； 方案二宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1，6]，的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m ，家长的计算器产生的随机实数记为挖．（I ）在方案一中，若x+l=2y ，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；（Ⅱ）在方案二中，若m>2n ，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率． 20．（本小题满分12分）已知函数()l aaf x xg x x m x a a m R ==+-∈>≠∈其中且．（I ）当m=4时，若函数()()()F x f x g x =+有最小值2，求a 的值； （Ⅱ）当0<a<l 时，f （x ）≥2g （x ）恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，0），一条渐近线的方程为2y x =-，点P 为双曲线上不同于A 、B 的任意一点，过P 作x 轴的垂线交双曲线于另一点Q 。
成都市2016级高中毕业班摸底测试 数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.B2.A3.D4.A5.C6.B7.A8.B9.C 10.C 11.D12.A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.y x 82-=；14.23； 15.81； 16.61. 三、解答题：（共70分）17．解：（Ⅰ）23)('2-+=x ax x f (1)分0213,0)1('=--∴=-a f ．解得1=a .…………3分.23)(',221)(223-+=-+=∴x x x f x x x x f.2)1(',21)1(=-=f f…………4分 ∴曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为.0524=--y x…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），当)('x f ＝0时，解得x ＝-1或x ＝32. 当x 变化时．)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：…………8分∴)(x f 的极小值为2722)32(-=f .…………9分 又21)1(,23)1(-==-f f ，…………11分 .2722)32()(,23)1()(min max -===-=∴f x f f x f…………12分18．解：（Ⅰ） 各组数据的频率之和为1，即所有小矩形面积和为1，∴（a ＋a ＋6a ＋8a ＋3a ＋a ）×20＝1．解得a ＝0.0025. …………3分∴诵读诗词的时间的平均数为10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64（分钟）…………6分（Ⅱ）由频率分布直方图，知［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数的频率之比为1:3:1.故5人中［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数分别为1，3，1.…………8分设［0，20）,［80．100），［100，120］内的5人依次为A ，B ，C ，D ，E ，则抽取2人的所有基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10种情况. …………10分符合两同学能组成一个“Team ”的情况有AB ，AC ，AD ，AE 共4种. 故选取的两人能组成一个“Team ”的概率为52104==P . …………12分19．解：（Ⅰ）在△MAC 中， AC ＝1，CM ＝3，AM ＝2，AC 2＋CM 2＝AM 2.∴由勾股定理的逆定理，得MC ⊥AC. …………1分 又AC ⊥BM ， BM ∩CM ＝M ，∴AC ⊥平面BCM ． …………3分 ∴BC ⊥平面BCM ，∴BC ⊥AC.平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ．BC ⊂平面ABC ， …………5分∴BC ⊥平面ACD.（Ⅱ） BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥C.又BC ⊥AC ，MC ⊥AC ，故以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xy z C .…………6分∴A （1，0，0），B （0，1，0），M （0，0，3），D(-1，0，23),E(-1，1，23) ∴BM ＝（0，-1，3），MD ＝（＝1，0，3），BE ＝（-1，0，23）.设平面DBM 的法问量为m ＝（x 1，y 1，z 1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00MD m BM m ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-03031111z x z y .取)1,3,3(,11=∴=m z .…………8分设平面DBM 的法向量为n ＝（x 2，y 2，z 2）由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BM n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-032032222z x z y .取)1,3,32(,12=∴=n z .…………10分147547133323,cos =⨯+⨯+⨯=⋅=∴n m n m n m . 二面角D －BM 一E 为锐二面角，故其余弦值为1475.…………12分20．解：（Ⅰ） 椭圆P 的上顶点为B （0，1），∴b ＝1.…………1分设F(c,0).).71,78(,71,71-∴-=∴=c C BF CF BF CF 点 …………2分将点C 的坐标代入12222=+b y a x 中，得.43.149149642222=∴=+a c a c …………3分又由222c b a +=，得2a ＝4.…………4分∴椭圆P 的方程为1422=+y x .…………5分（Ⅱ）由题意，知直线MN 的斜率不为0．故设直线MN 的方程为x ＝my ＋1.联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x my x ，消去x ，得032)4(22=-++my y m .048162>+=∆m .…………6分设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）. 由根与系数的关系，得43,42221221+-=+-=+m y y m m y y . …………7分 .211212121y y y y S AMN -=-⨯⨯=∴∆…………8分直线AM 的方程为)2(211--=x x y y ，直线AN 的方程为)2(222--=x x y y 令x ＝3，得)2(211--=x x y y P ，同理)2(222--=x x y y Q . )1)(1(21)1)(1()1()1(2111212221121212121122122112211---=-----=---=---=-⨯⨯=∴∆my my y y my my my y my y my y my y x y x y y y S Q P APQ …………10分故.2144442314231)()1)(1(222222222121221=+=++++-=+++-=++-=--=∆∆m m m m m m m m y y m y y m my my S S APQAMN2,42±==∴m m .∴直线l 的方程为x ＋2y －1＝0或x －2y －1＝0.…………12分21．解：（Ⅰ）1ln )('-+=a x a x f .…………1分a ≠0，∴由)('x f ＝0，得aax -=1ln ，即aa ex -=1. …………3分①若a ＞0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：②若a ＜0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：综上，当a ＞0时，)(x f 在),0(1aa e +上单调遍减，在),[1+∞-aa e上单调递增；…………4分当a ＜0时，)(x f 在),0(1aa e+上单调递增，在),[1+∞-aa e 上单调减.…………5分（Ⅱ） 当a ＞0时，函数)(x f 恰有两个零点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-021ln 021ln 222111x x ax x x ax ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=22211121ln 21ln x x x a x x x a两式相减，得.22121ln2121221121x x x x x x x x x x a -=---=212121212121ln 2,0ln ,10,0x x x x x ax x x x x x x -=∴<∴<<∴<< .…………7分∴要证212177x ax x x >+，即证212121ln 2)(77x x x x x x ->+，即证2121217)(7ln 2x x x x x x +-<.即证17)1(7ln 2212121+⨯-<x x x x x x .令21x x ＝t （0＜t ＜1），则即证17)1(7ln 2+-<t t t . …………9分设17)1(7ln 2)(+--=t t t t g ，即证)(t g ＜0在t ∈（0，1）恒成立.22222)17()17(2)17(22898)17(562)('+-=++-=+-=t t t t t t t t t t g .…………10分0)('≥∴t g 在t ∈（0，1）恒成立，)(t g 在t ∈（0，1）单调递增. )(x g 在t ∈（0，1］是连续函数.∴当t ∈（0，1）时，g （t ）＜g （1）＝0.∴当a ＞0时，有212177x ax x x >+.…………12分22．解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程消去参数，得).1(331-=-y x 化简，得直线l 的普通方程为3x －y ＋1－3＝0…………2分又将曲线C 的极坐标方程化为3cos 2222=+θρρ，.32)(222=++∴x y x∴曲线C 的直角坐标方程为1322=+y x . …………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入1322=+y x 中，得.1)231(31)211(22=+++t t 化简，得.032)331(22=+++t t ） 此时033838>+=∆.…………6分此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数21,t t ，由根与系数的关系，得.32,)3322(2121=+-=+t t t t …………8分∴由直线参数的几何意义，知.33222121+=--=+=+t t t t BM AM …………10分。
四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理科试题(解析版)成都市2016级高中毕业班摸底测试数学试题（理科）本试卷分为卷一和卷二两部分，卷一至四页，满分100分；卷五至六页，满分60分。
全卷满分160分，考试时间120分钟。
卷一（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 $A=\{x\mid -2\leq x\leq 3\}$，$B=\{x\mid 1\leqx\leq 5\}$，$C=\{x\mid -1\leq x\leq 4\}$，$D=\{x\mid -4\leqx\leq -1\}$，则 $A\cap B\cap C\cap D$ 的值为（）答案】B解析】分析：由不等式 $-2\leq x\leq 3$，$1\leq x\leq 5$，$-1\leq x\leq 4$，$-4\leq x\leq -1$ 求出的范围，得出集合$A=\{-2,-1,0,1,2,3\}$，$B=\{1,2,3,4,5\}$，$C=\{-1,0,1,2,3,4\}$，$D=\{-4,-3,-2,-1\}$，所以 $A\cap B\cap C\cap D=\{-1,-2\}$，故选B。
点睛：本题主要考查了不等式的解集及集合间的交集运算，属于容易题。
2.复数 $z=\mathrm{i}$（为虚数单位）在复平面内表示的点的坐标为（）答案】A解析】分析：求出复数的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标。
详解：复数 $\mathrm{i}$，所以复数在复平面内表示的点的坐标为 $(0,1)$，选A。
点睛：本题主要考查了复数的四则运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题。
3.若实数 $x,y$ 满足约束条件 $x+2y\leq 8$，$x\geq 0$，$y\geq 0$，则 $3x+4y$ 的最大值为（）答案】D解析】分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采用数形结合求出目标函数的最大值。
成都市2013届摸底数学试题（理科）一、选择题：每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}1,2,3,4,|37,P Q x x x ==≤<∈N ．则P Q =（A ）∅ （B ）{}3,4 （C ）{}1,2,5,6 （D ）{}1,2,3,4,5,62．对于函数1()(0,1,)x f x a a a x -=>≠∈R ．下列命题正确的是（A ）恒过点(1,1) （B ）0,x ∃∈R 使得0()0f x ≤（C ）()f x 在R 上单调递增 （D ）()f x 在R 上单调递减 3．在等差数列{}n a （*n ∈N ）中，若45627a a a ++=．则19a a +等于 （A ）9 （B ）27 （C ）18 （D ）54 4．函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（A ）(3,)+∞ （B ）(2,3) （C ）(1,2) （D ）()0,1 5．已知α为第四象限的角，且4sin()25απ+=．则=αtan （A ）34- （B ）34 （C ）43- （D ）436．若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是（A ）15 （B ）20（C ）30 （D ）607．设,,l m n 为不重合的三条直线，其中直线,m n 在平面α内．则“l α⊥”是“l m ⊥ 且l n ⊥”的（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，且122F F c = ，点P 在椭圆上，满足2212120,PF F F PF PF c ⋅=⋅= ．则椭圆的离心率e 等于（A）2 （B）12 （C）12 （D）29．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1BC 上的动点．则下列判断错误．．的是 （A ）1DB ⊥平面1ACD（B ）1//BC 平面1ACD （C ）11BC DB ⊥（D ）三棱锥1P ACD -的体积与P 点位置有关10．一批军用物资随17列货车从甲地以v km/h （100120v ≤≤）的速度匀速运达乙地.已知两地铁路线长600 km ，为了安全，两列货车的间距不得小于2()km 20v （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是（A）小时 （B ）9.8小时 （C ）10小时 （D ）10.5小时11．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4ρθπ=+．则直线l 和曲线C 的公共点有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无数个12．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，给出以下命题：①函数()f x 是周期为2的周期函数；②函数()f x 的图象关于直线1x =对称；③函数()f x 的图象关于点(,0)()k k Z ∈对称；④若函数()f x 是(0,1)上的增函数，则()f x 是(3,4)上的增函数．其中，正确命题的番号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）①③④ （D ）①②④二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案直接填在答题卡上．13．调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100．现考虑采用分层抽样，抽取容量为33的样本，则应从老年人中抽取的个体数为 ．14．函数1()ln12x f x x+=-的定义域为 ．115．若实数x 、y 满足不等式组11220x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩，则1y z x +=的最大值为 ．16．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果为 ．三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x x =⋅+∈R ． （Ⅰ）化简函数()f x 的解析式，并求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，有()1,f A AB AC =⋅,求ABC ∆的面积大小．18．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 、F 分别是1D C 、AB 的中点. （Ⅰ）求证：//EF 平面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角D EF A --的余弦值． 图中AE 、EF 应该是虚线？C 1A 11A 1B 1C 1D E19．（本小题满分12分）某幼儿园为了培养幼儿的思维和动手操作的能力，在“六•一儿童节”开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一 宝宝和家长同时抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6），宝宝所得点数记为x ，家长所得点数记为y ；方案二 宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生1到6的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m ，家长的计算器产生的随机实数记为n .（Ⅰ）在方案一中，若宝宝所得点数加1恰为家长所得点数的两倍，则奖励宝宝小红花一朵，求抛掷一次后宝宝得小红花的概率；（Ⅱ）在方案二中，若宝宝所得随机实数比家长所得随机实数的两倍还要大，则奖励兴趣读物一本，求按下一次按钮后宝宝得兴趣读物一本的概率.20．（本小题满分12分）已知函数()log a f x x =，()log (22)(,1,)a g x x m a a m R =+-≠∈.（Ⅰ）当4,[1,2],m x =∈且函数()()()F x f x g x =+有最小值2，求a 的值； （Ⅱ）当01a <<，[]1,2x ∈时，有()2()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知双曲线C 2222:1(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为,A B 、右焦点为F 一条渐近线的方程为2y x =-，点P 为双曲线上不同于A 、B 的任意一点，过P 作x 轴的垂线交双曲线于另一点Q .（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹E 的方程；（Ⅲ）过点(1,0)N 作直线l 与（Ⅱ）中轨迹E 交于不同两点R 、S ，已知点(2,0)T ，设NR NS λ= ，当[]2,1λ∈--时，求TR TS +的取值范围．O yxMPBA22．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足12a =，221()2m n m n m n a a a a m n +-+=++-，其中,,m n m n ∈≥N ，数列{}n b 满足1n n n b a a +=-．（Ⅰ）求0a ，2a ；（Ⅱ）当*n ∈N 时，求证：数列{}n b 为等差数列；（Ⅲ）设22(2)n n n b c n--=（*n ∈N ），令12n n S c c c =+++ ,求证：*122311()232n n S S S n nn S S S +-<+++<∈N .成都市2013届高中毕业班摸底测试参考答案及评分意见数学（理工农医类） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．D ； 2．A ；3．C ； 4．B ；5．A ；6．C ；7．B ；8．C ；9．D ；10．B ； 11．A ；12．C.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．6； 14．1(1,)2-； 15．52； 16．12. 三、解答题：（本大题共6个小题,共74分）17．解：（Ⅰ）由题，()fx 22sin cos 1)x x x =⋅-．sin 2x x = ………………………………2分2sin(2)3x π=+，………………………………2分 故函数()f x 最小正周期为22ππ=………………2分 （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，有4()2sin(2)1,0,232333f A A A A πππππ=+=<<<+<52364A A πππ+=⇒=………………………………2分cos 2AB AC AB AC A AB AC ⋅=⋅=⋅=………………………………2分所以ABC ∆的面积11sin 222S AB AC A =⋅⋅=⨯=分 18．解：（Ⅰ）求证：如图，取1DD 的中点G ，连结,GA GE ，正方体1111ABCD A BC D -中，……2分 E 、F 分别是1D C 、AB 的中点，则1111////,2222GE DC AB GE DC AB ==，则//,GE AF GE AF =，四边形AFEG 为 ……2分则//,EF AG AG ⊂平面11ADD A ，则//EF 平面11ADD A ；…………1分 （Ⅱ）由题，如图建立空间直角坐标系D xyz -，棱长为2，则(0,0,0),(0,1,1),(2,1,0),D E F(2,0,0)A …………1分设平面的DEF 得法向量为1(,,)x y z =n ，而(0,1,1),(2,1,0),DE DF ==由则11002002z y DE y z y x y x DF =-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ n n 1(1,2,2)=--n ………2分同理可求平面AEF 的法向量2(1,0,2)=n ………2分121212cos ,3⋅<>==-n n n n n n ………1分 故二面角D EF A --分 19．解：（Ⅰ）由题：宝宝和家长所得点数,x y 所有取值所得基本事件总数为36个，…2分 而21x y -=，满足的(,)x y 有：(1,1),(3,2),(5,3)共3组……………2分 则抛掷一次后宝宝得小红花的概率1313612P ==……………2分 （Ⅱ）由题：[],1,6m n ∈，则(,)m n 所有取值组成一个边长为5的正方形， 其面积为25……………2分(,)m n 满足不等式：20m n ->，所占区域面积为14242⨯⨯=…………2分则按下一次按钮后宝宝得兴趣读物一本的概率2425P =……………2分 20．解：（Ⅰ）由题：4m =时，()()()log log (22)a a F x f x g x x x =+=++2log (22)a x x =+………………2分又[1,2],x ∈则2211222()22x x x +=+-的最小值为4，…………2分 而函数()()()F x f x g x =+有最小值2，故2a =…………1分（Ⅱ）由题：01a <<时，22121222022log log (22)(22)a a x x x m m x x x m x x m ≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪+->⇒>-⎨⎨⎪⎪≥+-≤+-⎩⎩ 221204(49)(2)0x m x m x m ≤≤⎧⎪⇒>⎨⎪+-+-≥⎩…………………2分 取222229(94)()4(49)(2)4[()](2)8216m m h x x m x m x m -=+-+-=--+--ⅰ当104m <<时，函数min ()h x =22(94)(2)016m m ---≥⇒m 无解；…………2分 ⅱ当14m ≥时，函数()h x 在[]1,2x ∈上单调递增， 则min ()h x =2()101h x m m =-≥⇒≥………………2分综上，实数m 的取值范围为[)1,+∞………………1分21．解：（Ⅰ）由题：2221c c a b a b b a⎧=⎪=+⇒==⎨=⎪⎩………2分 所以双曲线C 的方程为：2212x y -=……………1分（Ⅱ）设点0000(,),(,),(,),(P x y Q x y M x y A B -……………1分 由,,A M P三点共线的：00((x y y x =由,,B M Q三点共线的：00((x y y x =-，得002,,x y x x==………1分又22221,122x xy y-=∴+=……………1分M的轨迹E的方程为22:1(0,0)2xy x y+=≠≠……………1分（Ⅲ）（ⅰ）若直线m的斜率为0，则((1,0) R S N[] (1,0),1,0),(32,1NRNR NSNSλ===-=-+∉--………1分（ⅱ）当直线m的斜率不为0，设方程为1x ty=+由22221(2)21012x tyt y tyxy=+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，设112212(,),(,)(0,0)R x y S x y y y≠≠则12122221,22ty y y yt t+=-=-++,NR NSλ=,则1122(1,)(1,)x y x yλ-=-即22211212122211212()1,0,2y y y y y y yy y y y y y yλλλλ++=<+=+==-则2212212()142,2y y ty y tλλ+++==-+[]2,1λ∈--，1120,2λλ-≤++≤2221420,0227ttt-≤-≤≤≤+………………2分2222212121212222288(4)()[()2]()162(2) TR TS x x y y t y y y yt t +=+-++=+-++=-+++取2171[,],2162nt=∈+则222717828168()42TR TS n n n+=-+=--当12n=时，2min4TR TS+=；当716n=时，2max16932TR TS+=；故TR TS⎡+∈⎢⎣⎦………………2分22．解：（Ⅰ）221()2m n m n m na a m n a a+-+-+=+中，令m n=，可得a=；…………………1分令0n=，可得242m ma a m=-, ……………1分再令1m=∴21426a a=-=……………1分（Ⅱ）令2m n=+，∴22224212()2n n na a a a+++-=+，…………………2分∵242m ma a m=-，∴22142(1)n n a a n ++=-+，24242(2)n n a a n ++=-+，242n n a a n =-， ∴2122n n n a a a ++=-+．…………………2分 ∵1211()()n n n n n n b b a a a a ++++-=--- 212n n n a a a ++=-+2=，故数列{}n b 是首项为214a a -=，公差为2的等差数列…………………1分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：122n n n b a a n +=-=+，………………1分212(2)2n n n n b c n---== ，1221n n n S c c c =+++=- ………………1分11111121222112212(21)2(21)n n n n n n n n S S ++++++---∴==<=--- 故122312n n S S S nS S S ++++< ………………2分； 又11112111111222(21)2(21)422n n n n n n S S ++++--==-=---⨯-1111111222342232222n n nn=-=-≥-⋅⨯-⨯+-故1222311111111()(1)2322323222n n n n S S S n n n S S S ++++≥-+++=-->- 综上，有*122311()232n n S S S n nn N S S S +-<+++<∈ ………………2分。
成都市2013级高中毕业班摸底测试本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题）1至5页，第Ⅱ卷（非选择题）6-8题，共8页，满分100分，考试时间100分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自已的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，50分）一、选择题。
（共25小题，每小题2分，共50分。
在每小题所列的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）图1为某地等高线地形图，读图完成1-3题。
1、图中甲、乙河段的流向是A、从西向东流B、从东向西流C、从西南向东北流D、从东南向西北流2、图中两山峰的相对高度可能为A、160mB、200mC、220mD、300m3、下面四幅地形剖面图中，能正确表示PQ间地势起伏的是A、①B、②C、③D、④图2为某玉米种植公司的市场分布图，读图完成4-5题。
4、下列省区中，属于该公司种子销售市场的是A、江西B、湖南C、河南D、安徽5、该公司在陵水建立育种基地的主要原因是A、地处沿海，降水丰富B、地广人稀，便于大面积种植C、海运便利，利于销售D、热量充足，可缩短育种周期图3为甲、乙两国简图，读图完成6-7题。
6、6月22日A、①地昼长于②地B、①地正午太阳高度小于②地C、①地昼短于②地D、①、②两地正午太阳高度相同7、甲、乙两国都较发达的工业部门可能是A、森林采伐业B、水产品加工业C、钢铁工业D、棉纺织工业北京时间2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生了8.1级地震。
图4为尼泊尔简图，读图完成8-10题。
8、该国多地震的原因是地处A、亚欧板块与太平洋板块的生长边界B、亚欧板块与太平洋板块的消亡边界C、亚欧板块与印度洋板块的生长边界D、亚欧板块与印度洋板块的消亡边界9、此次地震可能引发的次生灾害是A、沙尘暴B、雪崩C、海啸D、洪涝10、地震发生时，与震中地区相符合的是A、旭日东升B、夕阳西沉C、时近正午D、夜幕深沉图5为我国某区域年降水量分布图，读图完成11-13题。
