成都市高2018级零诊数学(高三摸底测试)理科(含答案)

成都市2016级高中毕业班摸底测试数学试题(理科)本试卷分为A 卷和B 卷两部分,A 卷1至4页,满分100分；B 卷5至6页，满分60分。

全卷满分160分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,1,0,1,2P =--,{}2|20Q x x x =+-> ,则P Q =I （ ） A ． {}1,0- B ．{}0,1 C ．{1,0,1}- D ．{0,1,2} 2. 复数31iz i+=+ (i 为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为（ ） A ．(2,1)- B ．(1,1)- C ．(1,2) D ．()2,23. 若实数,x y 满足约束条件40400x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ． -4B ．0C ． 4D ． 8 4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且452a =，1015S =，则7a =（ ） A ．12 B ．1 C. 32D ．2 5. 已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).33x y +=C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为（ ）A ．12B ．32 C.1 D 36. 平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，….则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ）A ． 15B ． 16 C. 17 D ．18 7. “4πϕ=-”是“函数()()cos 3f x x ϕ=-的图象关于直线4x π=对称”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (万公里)与维修保养费用y (万元)的五组数据，并根据这五组数据求得y 与x 的线性回归方程为ˆ0.460.16yx =+.由于工作人员疏忽，行驶8万公里的数据被污损了，如下表所示. 行驶里程x (单位:万公里) 1 245 8 维修保养费用y (单位:万元) 0.500.90 2.32.7则被污损的数据为（ ）A ． 3.20B ． 3.6 C. 3.76 D ．3.849. 若函数()()23x f x x ax e =++在(0,)+∞内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是 A ． (,22]-∞- B ．(),22-∞- C. (,3]-∞- D ．(),3-∞- 10. 某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为直角三角形.则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（ ）A ． 2B ． 5 C. 3 D ．711. 某同学采用计算机随机模拟的方法来估计图(1)所示的阴影部分的面积，并设计了程序框图如图（2）所示，在该程序框图中，RAND 表示[]0,1内产生的随机数，则图(2)中①和②处依次填写的内容是（ ）A ．x a =，1000i s =B ． x a =，500i s = C. 2x a =，1000is = D ．2x a =，500i s =12. 设函数()2ln ,0165,1x x f x x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩.若曲线20kx y --=与函数()f x 的图象有4个不同的公共点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．(67,)e -B ．(67,)e - C. 2(,2)3D ．2(,)3e第Ⅱ卷（第Ⅱ卷(非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上. 13. 已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为()0,2-，则此抛物线的标准方程为 ． 14. 若()21sin 1-1ax x dx +=⎰，则实数a 的值为 ．15. 已知0a >，0b >，若直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，则ab 的最大值是 ．16. 如图，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，其内切圆与AC 边相切于点D ，延长BA 到E ，使BE BC =，连接CE 设以E ，C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,E C 为焦点且经过点A的双曲线的离心率为2e，则当1221e e+取最大值时，ADDC的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()32122f x ax x x=+-，其导函数为()f x'，且(1)0f'-=.(Ⅰ)求曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线方程(Ⅱ)求函数()f x在[1,1]-上的最大值和最小值.18. 2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮.某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内)，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组：[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100，[]100,120，经统计得到了如图所示的频率分布直方图(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；(Ⅱ)若两个同学诵读诗词的时间,x y满足60x y->，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率.19. 如图，在多面体ABCDE中，已知四边形BCDE为平行四边形，平面ABC⊥平面ACD，M为AD的中点，AC BM⊥，1AC BC==，4AD=，3CM=.(Ⅰ)求证：BC ⊥平面ACD ； (Ⅱ)求二面角D BM E --的余弦值20. 已知椭圆()2222:a b 0x y a bΓ+>>的右顶点为A ，上顶点为()0,1B ，右焦点为F .连接BF 并延长与椭圆Γ相交于点C ，且17CF BF =(Ⅰ)求椭圆Γ的方程；(Ⅱ)设经过点()1,0的直线l 与椭圆Γ相交于不同的两点,M N ，直线,AM AN 分别与直线3x =相交于点P ，点Q .若APQ ∆的面积是AMN ∆的面积的2倍，求直线l 的方程.21. 设函数()1ln 2f x ax x x =-+，0a ≠. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)当0a >时，函数()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，证明：121277x x ax x +> 22. 选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为112312x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2212cos 3ρθ+=(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点()1,1M .若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求AM BM +的值成都市2016级高中毕业班摸底测试 数学(理科)参考答案及评分意见一、选择题1-5: BADAC 6-10: BABCC 11、12：DA 二、填空题13.28x y =- 14.32 15. 18 16.16三、解答题17. 解：(Ⅰ)()232f x ax x '=+-∵(1)0f '-=，∴3120a --=.解得1a = ∴321()22f x x x x =+-，2()32f x x x '=+- ∴1f (1)2=-，(1)2f '=. ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为4250x y --= (Ⅱ)出(Ⅰ)，当()0f x '=时，解得1x =-或23x = 当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：∴()f x 的极小值为()327f =- 又3(1)2f -=，1(1)2f =-∴()max 3(1)2f x f =-=，min 222()()327f x f ==- 18. 解：(Ⅰ)∵各组数据的频率之和为1，即所有小矩形面积和为1, ∵()683201a a a a a a +++++⨯=.解得0.0025a = ∴诵读诗词的时间的平均数为100.05300.05500.3700.4900.151100.0564⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (分钟)(Ⅱ)由频率分布直方图，知[)0,20，[)80,100，[]100,120内学生人数的频率之比为1:3:1 故5人中[)0,20，[80,100)，[]100,120内学生人数分别为1，3，1.设[)0,20，[)80,100，[]100,120内的5人依次为,,,,.A B C D E 则抽取2人的所有基本事件有,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 共10种情况.符合两同学能组成一个“ Team ”的情况有,,,AB AC AD AE 共4种, 故选取的两人能组成一个“Team ”的概率为42105P ==.19. 解：(Ⅰ)在MAC ∆中，∵1AC =，CM =，2AM =，∴22AC CM AM +=∴由勾股定理的逆定理，得MC AC ⊥又AC BM ⊥，BM CM M =I ，∴AC ⊥平面BCM ∵BC ⊂平面BCM ，∴BC AC ⊥∵平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ABC I 平面ACD AC =，BC ⊂平面ABC ∴BC ⊥平面ACD(Ⅱ)∵BC ⊥平面ACD ，∴BC CM ⊥. 又BC AC ⊥，MC AC ⊥，故以点C 为坐标原点，,,CA CB CM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz∴()1,0,0A ，()0,1,0B ，M ，(1,0,D -，(1,1,E -∴(0,BM =-u u u u r ，(MD =-u u u u r ，(1,0,BE =-u u u r设平面DBM 的法向量为()111,,m x y z =.由m BMm MD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u r，得11113030y zx z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.取11z=，∴(3,3,1)m=.设平面EBM的法向量为222(,,)n x y z=.由n BMn BE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r，得222230230y zx z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.取21z=，∴(23,3,1)n=∴32333157cos,1474m nm nm n⋅⨯+⨯+<>===⨯∵二面角D BM E--为锐二面角，故其余弦值为571420. 解：(Ⅰ)∵椭圆Γ的上顶点为()0,1B，∴1b=设(),0F c.∵17CF BF==，∴17CF BF=-u u u r u u u r.∴点81(,)77cC-.将点C的坐标代入222211x ya+=中，得2264114949ca+=.∴2234ca=又由222a b c=+，得24a=.∴椭圆Γ的方程为2214xy+=（Ⅱ）由题意，知直线MN的斜率不为0.故设直线MN的方程为1x my=+.联立22114x mxxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，得()224230m y my++-=216480m∆=+>设11(,)M x y，22(,)N x y.由根与系数的关系，得12224m y y m -+=+，12234y y m -=+. ∴121211122AMN S y y y y ∆=⨯⨯-=-. 直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，直线AN 的方程为22(2)2y y x x =-- 令3x =，得112p y y x =-.同理222Q y y x =-. ∴1212121211112222211APQ P Q y y y y S y y x x my my ∆=⨯⨯-=-=----- 1221121212(1)(1)112(1)(1)2(1)(1)y my y my y y my my my my ----==----. 故2121212(1)(1)()1AMNAPQS my my m y y m y y S ∆∆=--=-++ 22222222323244114442m m m m m m m m -+-+++=+===+++ ∴24m =，2m =±.∴直线l 的方程为210x y +-=或210x y --= 21．解：(Ⅰ)()ln 1f x a x a '=+-.∵0a ≠，∴由()0f x '=，得1ln ax a-=，即1aa x e -=.① 若0a >，当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表② 若0a <，当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：综上，当0a >时，()f x 在1(0,)a ae -上单调递减，在1[,)a ae-+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a ae-上单调递增，在1[,)a ae -+∞上单调递减.(Ⅱ)∵当0a >时，函数()f x 恰有两个零点1x ，2x 12(0)x x <<，则1112221ln 021ln 02ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，即11122212ln 12ln x a x x x a x x ⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩.两式相减，得12112212121122ln2x x x x x a x x x x x ---=-= ∵120x x <<，∴1201x x <<，∴12ln 0x x <，∴1212122ln x x ax x x x -=.∴要证121277x x ax x +>，即证1212127()72ln x x x x x x -+>，即证1122127()2ln 7x x x x x x -<+ 即证1121227(1)2ln 71x x x x x x -<⨯+令12x t x =()01t <<，则即证7(1)2ln 71t t t -<+. 设()7(1)2ln -71t g t t t -=+，即证()0g t <在(0,1)t ∈恒成立.22222256982822(71)()(71)(71)(71)t t t g t t t t t t t -+-'=-==+++. ∵()0g t '≥在()0,1t ∈恒成立.∴()g t 在()0,1t ∈单调递增.∵()g x 在(]0,1t ∈是连续函数，∴当(0,1)t ∈时，()(1)0g t g <=∴当0a >时，有121277x x ax x +>.22.解：(Ⅰ)由直线l 的参数方程消去参数t ，得1(1)3x y -=-化简，得直线l 10y -+= 又将曲线C 的极坐标方程化为2222cos 3ρρθ+=， ∴()22223x y x ++=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入2213y x +=中，得221111123t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，得222(1033t t +++=.此时803∆=+>. 此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点,A B 对应的参数1t ，2t .由根与系数的关系，得12(2t t +=-，1223t t = ∴由直线参数的几何意义，知12122AM BM t t t t +=+=--=+。

成都市2016级高中毕业班摸底测试数学试题(理科)本试卷分为A 卷和B 卷两部分,A 卷1至4页,满分100分；B 卷5至6页，满分60分。

全卷满分160分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,1,0,1,2P =--,{}2|20Q x x x =+-> ,则PQ =（ ）A ． {}1,0-B ．{}0,1C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2} 2. 复数31iz i+=+ (i 为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为（ ） A ．(2,1)- B ．(1,1)- C ．(1,2) D ．()2,23. 若实数,x y 满足约束条件40400x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ． -4B ．0C ． 4D ． 8 4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且452a =，1015S =，则7a =（ ） A ．12 B ．1 C. 32D ．2 5. 已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).y +=C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为（ ）A ．12B6. 平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，….则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ）A ． 15B ． 16 C. 17 D ．18 7. “4πϕ=-”是“函数()()cos 3f x x ϕ=-的图象关于直线4x π=对称”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 某汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (万公里)与维修保养费用y (万元)的五组数据，并根据这五组数据求得y 与x 的线性回归方程为ˆ0.460.16yx =+.由于工作人员疏忽，行驶8万公里的数据被污损了，如下表所示.则被污损的数据为（ ）A ． 3.20B ． 3.6 C. 3.76 D ．3.849. 若函数()()23x f x x ax e =++在(0,)+∞内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是A ． (,-∞-B ．(,-∞- C. (,3]-∞- D ．(),3-∞- 10. 某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为直角三角形.则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（ ）A ． 2B ．D11. 某同学采用计算机随机模拟的方法来估计图(1)所示的阴影部分的面积，并设计了程序框图如图（2）所示，在该程序框图中，RAND 表示[]0,1内产生的随机数，则图(2)中①和②处依次填写的内容是（ ）A ．x a =，1000i s =B ． x a =，500i s = C. 2x a =，1000is = D ．2x a =，500i s =12. 设函数()2ln ,0165,1x x f x x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩.若曲线20kx y --=与函数()f x 的图象有4个不同的公共点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．(6)e -B ．(6)e - C. 2(,2)3D ．2(,)3e第Ⅱ卷（第Ⅱ卷(非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上. 13. 已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为()0,2-，则此抛物线的标准方程为 ． 14. 若()21sin 1-1ax x dx +=⎰，则实数a 的值为 ．15. 已知0a >，0b >，若直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，则ab 的最大值是 ．16. 如图，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，其内切圆与AC 边相切于点D ，延长BA 到E ，使BE BC =，连接CE 设以E ，C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,E C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则当1221e e +取最大值时，AD DC的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数()32122f x ax x x =+-，其导函数为()f x '，且(1)0f '-=. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程 (Ⅱ)求函数()f x 在[1,1]-上的最大值和最小值.18. 2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮.某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内)，并按时间(单位：分钟)将学生分成六个组：[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100，[]100,120，经统计得到了如图所示的频率分布直方图(Ⅰ)求频率分布直方图中a 的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数； (Ⅱ)若两个同学诵读诗词的时间,x y 满足60x y ->，则这两个同学组成一个“Team ”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team ”的概率.19. 如图，在多面体ABCDE 中，已知四边形BCDE 为平行四边形，平面 ABC ⊥平面ACD ，M 为AD 的中点，AC BM ⊥，1AC BC ==，4AD =，CM =.(Ⅰ)求证：BC ⊥平面ACD ； (Ⅱ)求二面角D BM E --的余弦值20. 已知椭圆()2222:a b 0x y a bΓ+>>的右顶点为A ，上顶点为()0,1B ，右焦点为F .连接BF 并延长与椭圆Γ相交于点C ，且17CF BF =(Ⅰ)求椭圆Γ的方程；(Ⅱ)设经过点()1,0的直线l 与椭圆Γ相交于不同的两点,M N ，直线,AM AN 分别与直线3x =相交于点P ，点Q .若APQ ∆的面积是AMN ∆的面积的2倍，求直线l 的方程.21. 设函数()1ln 2f x ax x x =-+，0a ≠. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)当0a >时，函数()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，证明：121277x x ax x +> 22. 选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2212cos 3ρθ+=(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点()1,1M .若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求AM BM +的值成都市2016级高中毕业班摸底测试 数学(理科)参考答案及评分意见一、选择题1-5: BADAC 6-10: BABCC 11、12：DA 二、填空题13.28x y =- 14.32 15. 18 16.16三、解答题17. 解：(Ⅰ)()232f x ax x '=+-∵(1)0f '-=，∴3120a --=.解得1a = ∴321()22f x x x x =+-，2()32f x x x '=+- ∴1f (1)2=-，(1)2f '=. ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为4250x y --= (Ⅱ)出(Ⅰ)，当()0f x '=时，解得1x =-或23x = 当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：∴()f x 的极小值为()327f =- 又3(1)2f -=，1(1)2f =-∴()max 3(1)2f x f =-=，min 222()()327f x f ==- 18. 解：(Ⅰ)∵各组数据的频率之和为1，即所有小矩形面积和为1, ∵()683201a a a a a a +++++⨯=.解得0.0025a = ∴诵读诗词的时间的平均数为100.05300.05500.3700.4900.151100.0564⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (分钟)(Ⅱ)由频率分布直方图，知[)0,20，[)80,100，[]100,120内学生人数的频率之比为1:3:1 故5人中[)0,20，[80,100)，[]100,120内学生人数分别为1，3，1.设[)0,20，[)80,100，[]100,120内的5人依次为,,,,.A B C D E 则抽取2人的所有基本事件有,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 共10种情况.符合两同学能组成一个“ Team ”的情况有,,,AB AC AD AE 共4种, 故选取的两人能组成一个“Team ”的概率为42105P ==.19. 解：(Ⅰ)在MAC ∆中，∵1AC =，CM =，2AM =，∴22AC CM AM +=∴由勾股定理的逆定理，得MC AC ⊥ 又AC BM ⊥，BMCM M =，∴AC ⊥平面BCM∵BC ⊂平面BCM ，∴BC AC ⊥ ∵平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ABC 平面ACD AC =，BC ⊂平面ABC∴BC ⊥平面ACD(Ⅱ)∵BC ⊥平面ACD ，∴BC CM ⊥. 又BC AC ⊥，MC AC ⊥，故以点C 为坐标原点，,,CA CB CM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz∴()1,0,0A ，()0,1,0B ，M ，(1,0,D -，(1,1,E -∴(0,BM =-，(MD =-，(1,0,BE =- 设平面DBM 的法向量为()111,,m x y z =.由00m BM m MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.取11z =，∴m =. 设平面EBM 的法向量为222(,,)n x y z =.由00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222200y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.取21z =，∴n =∴cos ,14m n m n m n ⋅<>===∵二面角D BM E --为锐二面角，故其余弦值为1420. 解：(Ⅰ)∵椭圆Γ的上顶点为()0,1B ，∴1b = 设(),0F c .∵17CF BF ==，∴17CF BF =-.∴点81(,)77c C -. 将点C 的坐标代入222211x y a +=中，得2264114949c a +=.∴2234c a = 又由222a b c =+，得24a =.∴椭圆Γ的方程为2214x y += （Ⅱ）由题意，知直线MN 的斜率不为0.故设直线MN 的方程为1x my =+.联立22114x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()224230m y my ++-= 216480m ∆=+>设11(,)M x y ，22(,)N x y .由根与系数的关系，得12224m y y m -+=+，12234y y m -=+. ∴121211122AMN S y y y y ∆=⨯⨯-=-. 直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，直线AN 的方程为22(2)2y y x x =-- 令3x =，得112p y y x =-.同理222Q y y x =-. ∴1212121211112222211APQ P Q y y y y S y y x x my my ∆=⨯⨯-=-=----- 1221121212(1)(1)112(1)(1)2(1)(1)y my y my y y my my my my ----==----. 故2121212(1)(1)()1AMNAPQS my my m y y m y y S ∆∆=--=-++ 22222222323244114442m m m m m m m m -+-+++=+===+++ ∴24m =，2m =±.∴直线l 的方程为210x y +-=或210x y --= 21．解：(Ⅰ)()ln 1f x a x a '=+-.∵0a ≠，∴由()0f x '=，得1ln ax a-=，即1aa x e -=.① 若0a >，当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表② 若0a <，当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：综上，当0a >时，()f x 在1(0,)a ae -上单调递减，在1[,)a ae-+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a ae-上单调递增，在1[,)a ae -+∞上单调递减.(Ⅱ)∵当0a >时，函数()f x 恰有两个零点1x ，2x 12(0)x x <<，则1112221ln 021ln 02ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，即11122212ln 12ln x a x x x a x x ⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩.两式相减，得12112212121122ln2x x x x x a x x x x x ---=-= ∵120x x <<，∴1201x x <<，∴12ln 0x x <，∴1212122ln x x ax x x x -=.∴要证121277x x ax x +>，即证1212127()72ln x x x x x x -+>，即证1122127()2ln 7x x x x x x -<+ 即证1121227(1)2ln 71x x x x x x -<⨯+令12x t x =()01t <<，则即证7(1)2ln 71t t t -<+. 设()7(1)2ln -71t g t t t -=+，即证()0g t <在(0,1)t ∈恒成立.22222256982822(71)()(71)(71)(71)t t t g t t t t t t t -+-'=-==+++. ∵()0g t '≥在()0,1t ∈恒成立.∴()g t 在()0,1t ∈单调递增.∵()g x 在(]0,1t ∈是连续函数，∴当(0,1)t ∈时，()(1)0g t g <=∴当0a >时，有121277x x ax x +>.22.解：(Ⅰ)由直线l 的参数方程消去参数t ，得1(1)3x y -=-化简，得直线l 10y -+= 又将曲线C 的极坐标方程化为2222cos 3ρρθ+=， ∴()22223x y x ++=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入2213y x +=中，得221111123t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，得222(1033t t +++=.此时8033∆=+>. 此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点,A B 对应的参数1t ，2t . 由根与系数的关系，得12(2)3t t +=-+，1223t t = ∴由直线参数的几何意义，知12122AM BM t t t t +=+=--=+。

成都市2013级高中毕业班第三次诊断性检测数学（理工类） 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为A. 2B. 4C. 6D. 8 2.命题()()"1,,ln 1"x x x ∀∈-+∞+<的否定是A. ()()1,,ln 1x x x ∀∉-+∞+<B. ()()0001,,ln 1x x x ∀∉-+∞+<C. ()()1,,ln 1x x x ∀∈-+∞+≥D. ()()0001,,ln 1x x x ∃∈-+∞+≥ 3.已知复数2z i i=-（其中i 为虚数单位），则z =A. 3B.4.已知,αβ是空间中两个不同的平面，m 为平面β内的一条直线，则""αβ⊥是""m α⊥的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知向量,a b满足()2,3a a b a =-=- ，则b 在a 方向上的投影为A. 23B. 23- C. 12D. 12-6. 某工厂用A,B两种配件生产甲乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h.若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为A. 24万元 B.22万元 C. 18万元 D. 16万元7.执行如图所示的程序框图，若依次输入1122210.6,0.6,3m n p-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则输出的结果为A.1213⎛⎫⎪⎝⎭B. 120.6 C. 20.6- D.320.6-8.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为A.144B. 132C. 96D.489. 定义在()1,+∞上的函数()f x同时满足：①对任意的()1,x∈+∞恒有()()33f x f x=成立；②当(]1,3x∈时，()3.f x x=-记函数()()()1g x f x k x =--，若函数()g x 恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是A.()2,3B. [)2,3C. 9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭10. 已知O为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为()(),00F c c ->，以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于A,B ，O 三点，且()0AO AF OF +=.关于x 的方程20ax bx c +-=的两个实数根分别为1x 和2x ，则以12,,2x x 为边长的三角形的形状是A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形第Ⅱ卷（非选择题,共100分）二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.计算：sin 65cos35sin 25sin 35-= .12. 一块边长为8cm 的正方形铁板按如图所示的阴 影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O 为底面ABCD 的中心，则侧棱SC 与底面ABCD 所成角的余弦值为13. 已知椭圆()22:101616x y C n n+=<<的两个焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆C 于A,B 两点，若22AF BF +的最大值为10，则n 的值为 .14. 若直线()2101,0ax by a b +-=>->经过曲线()cos 101y x x π=+<<的对称中心，则的121a b++最小值为 . 15.函数()()0,0bf x a b x a=>>-，因其图象像“囧”字，被称为“囧函数”.我们把函数()f x 的图像与y 轴的交点关于原点对称的点称为函数()f x 的“囧点”；以函数()f x 的“囧点”为圆心，与函数()f x 的图象有公共点的圆，皆称为函数()f x 的“囧圆”.当1a b ==时，有以下命题：①对任意()0,x ∈+∞，都有()1f x x>成立；②存在0,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00tan f x x <成立；③函数()f x 的“囧点”与函数ln y x =图象上的点的最短距离为；④函数()f x 的所有“囧圆”中其周长的最小值为.其中正确的命题序号有 .(写出所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分10分）已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，角A 满足()1f A =，若3,sin 2sin a B C ==，求b 的值.17.（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，已知底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC ，AB=2DE,G,H 分别为AC,BC 的中点. (1)求证：平面ABED//平面GHF; (2))若BC=CF=12AB=1，求二面角A-DE-F 的余弦值.18.（本小题满分12分）某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为2.5(1) 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率； (2))从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列及其均值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且330,.n n S a n N *+-=∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()211log 12n n b S +=-，求12231111n n n T b b b b b b +=+++ ,求使5041009n T ≥成立的n 的最小值.20.（本小题满分13分）已知一动圆经过点()2,0M ，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C. （1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0N 任意作相互垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于不同的两点A,B 和不同的两点D,E.设线段AB,DE 的中点分别为P,Q.①求证：直线PQ 过定点R ，并求出定点R 的坐标； ②求PQ 的最小值；21.（本小题满分14分）已知函数()x f x e =，其中 2.71828e = 为自然对数的底数. (1)设函数()()()223,.g x x ax a f x a R =+--∈试讨论函数()g x 的单调性；(2)设函数()()2,.h x f x mx x m R =--∈，若对任意121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x >都有()()()21121221x h x x h x x x x x ->-成立，求实数m 的取值范围.。

成都市实验外国语学校⾼2018届零诊模拟考试数学及答案成都市实验外国语学校⾼2018届零诊模拟考试数学试题及答案命题⼈：赵光明第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分, 在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.) 1、已知集合{||2}A x x =<，2{430}B x x x =-+<，则A B 等于( B ).A {21}x x -<< .B {12}x x << .C {23}x x <<.D {23}x x -<<2、设复数2zi =+，则z z -=( C ).A 4.B 0.C 2.D3、在等差数列{}n a 中，39a a =且公差0d <，则使前n 项和n S 取得最⼤值时的n 的值为( B ).A 4或5.B 5或6 .C 6或7 .D 不存在 4、某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,⼩明在7:50⾄8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ B ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）345、P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线为320x y -=，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，若16PF =，则2PF =( A ).A 2或10 .B 2.C 10.D 9 6、某⼏何体的三视图如右图所⽰，其中俯视图为扇形，则该⼏何体的体积为( D ) .A 23π.B 3π.C 29π.D 169π7、已知实数x ，y 满⾜21y x x y a x ≥+??+≤??≥?，其中320(1)a x dx =-?，则实数1y x +的最⼩值为（ B ）A ．32B ．43C ．23D ．52（⽂科）已知实数,x y 满⾜3,2,2.x y x y y +≥??-≤??≤? 那么2z x y =+的最⼩值为（B ）（A ）5（B ）4（C ）3（D ）28、阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为( B ).A 4.B 5.C 6.D 7俯视图侧视图9、函数()f x 在定义域R内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若(0),a f =1()2b f =,(3)c f =，则,,a b c 的⼤⼩关系是( B ).A a b c >>.B b a c >> .C c b a >> .D a c b >>10、如图，抛物线2:4W y x =与圆22:(1)25C x y -+=交于,A B 两点，点P 为劣弧AB 上不同于,A B 的⼀个动点，与x 轴平⾏的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则PQC 的周长的取值范围是( B )A ( 9,11) B(10,12) C(12,14) D (10,14)11、在平⾏四边形ABCD 中，0AB BD ?= ，22240AB BD +-=，若将其沿BD 折成直⼆⾯⾓ A BD C --，则三棱锥A BDC -的外接球的表⾯积为( A ) .A 4π.B 8π .C 16π .D 2π 12、设函数32()f x ax bx cx d =+++有两个极值点12,x x ，若点11(,())P x f x 为坐标原点，点22(,())Q x f x 在圆22:(2)(3)1C x y -+-=上运动时，则函数()f x 图象的切线斜率的最⼤值为( D )A.3+2+23第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.）13、平⾯向量a 与b的夹⾓为23π，且()1,0a =，1b = 则2a b + 14、若抛物线px y 22=的焦点与椭圆1522=+y x 的右焦点重合，则p =4_____. 15、已知数列错误！未找到引⽤源。

⾼三数学-2018【数学】四川省成都市2018届⾼三班摸底成都市2018届⾼中毕业班摸底测试数学（理⼯农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两个部分，满分150分，完成时间为120分钟第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号、考试科⽬涂写在答题卡上. 2．每⼩题选出答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊．如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．3.本试卷共1 2⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表⾯积公式 P (A ＋B ) ＝P (A )＋P (B ) 24S R π= 如果事件A 、B 相互独⽴，那么其中R 表⽰球的半径 P (A ·B )＝P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是p ，那么 243V R π=在n 次独⽴重复试验中事件A 恰好发⽣k 次的概率其中R 表⽰球的半径n ()(1)(0,1,2,...)k kn k n P k C p p k n -=-=⼀、选择题：1．某学校共有教师200名，其中⽼年教师25名，中年教师75名，青年教师100名，若采⽤分层是抽样的⽅法从这200名教师中抽取40名教师进⾏座谈，则在青年教师中英抽取的⼈数为 (A )15⼈ (B )20⼈ (C )25⼈ (D )30⼈2. 不等式211x x --<0的解集是 (A ){x |x ＞12} (B ){x |x ＜12}(C ) {x |12＜x ＜1} (D ){x |x ＞1或x ＜12} 3．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝4相切，则实数m 的值为(A )42 (B )±42 (C ) 22(D )±224.函数y ＝ln |x |＋1的图象⼤致为(A ) (B ) (C ) (D )5. 若sin α＋cos α＝25，则sin 2α＝ (A )425(B )－425(C )2125(D )－21256.已知命题p ：若x ＝y ，则x y =，那么下列叙述正确的是(A )命题p 正确，其逆命题也正确 (B )命题p 正确，其逆命题不正确 (C )命题p 不正确，其逆命题正确 (D )命题p 不正确，其逆命题也不正确7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，若2(S n ＋1)＝3a n ，则2514a a a a ++＝(A )9 (B )3 (C )32(D )238.安排6名演员的演出顺序时，要求演员甲不第⼀个出场，也不最后⼀个出场，则不同的安排⽅法种数是 (A )120 (B )240 (C )480 (D )7209.△ABC 中内⾓A 、B 、C 满⾜2cosAcosC ＋cosB ＝0，则此三⾓形的形状是 (A )等腰三⾓形 (B )钝⾓三⾓形 (C )直⾓三⾓形(D )锐⾓三⾓形 10.如图，正⽅体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点P 、Q 在棱CC 1上，PQ ＝1，则三棱锥P －QBD 的体积是 (A )83(B )43(C )8 (D )与P 点位置有关11. 定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x ＞－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为⾃然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使⽅程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合是(A ){0} (B ){－3}x y 0 1xy 0 11 xy0 1(C ){－4，0} (D ){－3，0}12.已知F 1、F 2分别为椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点，经过椭圆上第⼆象限内任意⼀点P 的切线为l ，过原点O 作OM ∥l 交F 2P 于点M ，则|MP |与a 、b 的关系是(A )|MP |＝a (B )|MP |＞a (C )|MP |＝b (D )|MP |＜b第Ⅱ卷注意事项：1．⽤钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项⽬填写清楚. 3．本卷共10⼩题，满分90分.⼆、填空题.本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13、(2＋x )3的展开式的第三项的系数是________________.14、在半径为2，球⼼为O 的球⾯上有两点A 、B ，若∠AOB ＝34π，则A 、B 两点间的球⾯距离为________.15、已知实数x 、y 满⾜4353151x y x y x -≤??+≤??≥?，则2x ＋y 的最⼤值为__________________.16、已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋Ey ＋F ＝0(E 、F ∈R )，有以下命题：①E ＝－4，F ＝4是曲线C 表⽰圆的充分⾮必要条件；②若曲线C 与x 轴交于两个不同点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1、x 2∈[－2，1)，则0≤F ≤1；③若曲线C 与x 轴交于两个不同点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1、x 2∈[－2，1)，O 为坐标原点，则|OA OB -|的最⼤值为2；④若E ＝2F ，则曲线C 表⽰圆，且该圆⾯积的最⼤值为32π. 其中所有正确命题的序号是_______________________.三、解答题：本⼤题共6个⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明、证明过程或推演步骤.(本⼩题满分12分)17、某公司购买了⼀博览会门票10张，其中甲类票4张，⼄类票6张，现从这10张票中任取3张奖励⼀名员⼯.(1)求该员⼯得到甲类票2张，⼄类票1张的概率； (2)求该员⼯得到甲类票张数多于⼄类票张数的概率， 18、(本⼩题满分12分)已知向量m ＝(sin 2x ，cos 2x )，n ＝(cos 4π，sin 4π)，函数f (x )＝2m n ＋2a (其中a 为实常数)(1)求函数f (x )的最⼩正周期； (2)若x ∈[0，]时，函数f (x )的最⼩值为－2，求a 的值.19、(本⼩题满分12分)如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂⾜为O ，PO ⊥平⾯ABCD ，AO ＝BO ＝DO ＝1，CO ＝PO ＝2，E 是线段P A 上的点，AE ∶AP ＝1∶3. (1)求证：OE ∥平⾯PBC ； (2)求⼆⾯⾓D －PB －C 的⼤⼩. 20、(本⼩题满分12分)已知等差数列{a n 2}中，⾸项a 12＝1，公差d ＝1，a n ＞0，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝11n na a ++，数列{b n }的前n 项和为T n ；①求T 120；②求证：当n ＞3时，2222n n T >+21、(本⼩题满分12分)设直线l (斜率存在)交抛物线y 2＝2px (p ＞0，且p 是常数)于两个不同点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，且满⾜OA OB ＝x 1x 2＋2(y 1＋y 2). (1)求证：直线l 过定点；(2)设(1)中的定点为P ，若点M 在射线P A 上，满⾜111||||||PM PA PB =+，求点M 的轨迹⽅程.22、(本⼩题满分14分)对函数Φ(x )，定义f k (x )＝Φ(x －mk )＋nk (其中x ∈(mk ，m ＋mk ]，k ∈Z ，m ＞0，n ＞0，且m 、n 为常数)为Φ(x )的第k 阶阶梯函数，m 叫做阶宽，n 叫做阶⾼，已知阶宽为2，阶⾼为3.(1)当Φ(x )＝2x 时①求f 0(x )和f k (x )的解析式；②求证：Φ(x )的各阶阶梯函数图象的最⾼点共线； (2)若Φ(x )＝x 2，则是否存在正整数k ，使得不等式f k (x )＜(1－3k )x ＋4k 2＋3k －1有解？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.。

四川省成都市2018届高中毕业班摸底测试数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k其中R 表示球的半径次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，共60分；每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的代号填在题后的括号内.1．已知集合2{1,2,3,4,5},{|5,}U A x x x N *==<∈集合则集合C U A ＝A ．{3，5}B ．{4，5}C ．{3，4，5}D ．∅2．若θθθθθ则角且,0tan cos ,0cos sin <⋅>⋅的终边落在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知数列}{n a 是等差数列，且,13,504113==+a a a 则数列}{n a 的公差等于A ．1B ．4C ．5D ．64．若则,R a ∈“3>a ”是“方程x a y )9(22-=”表示开口向右的抛物线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在B C A A C B ABC 则角已知中,sin sin 3sin sin sin ,222=--∆的大小为A ．150°B ．30°C ．120°D ．60°6．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为53，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为A ．12536 B ．12544 C ．12554 D ．12598 7．给出下列命题：①如果平面α内的一条直线m 与平面α的一条斜线l 在平面α内的射影n 垂直，那么l m ⊥；②如果平面α内的一条直线b 与平面β垂直，那么βα⊥；③经过平面α外一点有且只有一条直线与平面α平行；④对角线相交于一点且被这点平分的四棱柱是平行六面体. 其中，逆否命题为真命题的命题个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．函数()log ||101a f x x a =+<<（）的图象大致为9．若椭圆14222=+my x 的一条准线经过抛物线x y 162=的焦点，则椭圆的离心率e 的值为 A ．22 B ．23 C ．31 D ．21 10．已知曲线⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 2:y a x C （θ为参数）被直线2=-y x 所截得的弦长为22，则实数a的值为A ．0或4B ．1或3C ．－2或6D ．－1或311．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数的个数有A ．360B ．720C ．300D ．24012．已知直线∈-=k x k y )(3(R ）与双曲线12722=-y m x ，某学生作了如下变形；由22(3)127y k x x y m =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 后得到形如20Ax Bx C ++=的方程. 当A ＝0时，该方程恒有一解；当04,02≥-=∆≠AC B A 恒成立. 假设学生演算过程是正确的，根据该学生的演算过程所提供的信息，求出实数m 的范围为 A ．),9[+∞B ．]9,0(C ．]3,0(D ．),3[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上.13．设实数y x 和满足约束条件y x z y x y x 2,122+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤则的最小值为 .14．若6)(a x +的展开式中2x 项的系数为60，则实数a ＝ . 15．如图，若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点C 到平面A 1BD 的距离为 .16．已知实数0≠a ，给出下列命题：①函数)32sin()(π+=x a x f 的图象关于点)0,6(π-和直线3π=x 对称；②函数)32sin()(π+=x a x f 的图象可由函数x a x g 2sin )(=的图象向左平移6π个单位而得到;③当]12,0[)32sin()(,0ππ在函数时+=>x a x f a 上是增函数，在]2,12[ππ上是减函数; ④若函数∈++=x x a x f )(32sin()(ϕπR ）为偶函数，则)(6Z k k ∈+=ππϕ.其中正确命题的序号有 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知空间向量).2,0(,51),1,cos 2,1(),cos ,1,(sin παααα∈=⋅=-=b a b a （1）求ααsin 2sin 及、αcos 的值；（2）设函数∈+-=x x x x f (2cos )2cos(5)(αR ），指出)(x f 的最小正周期并求)(x f 取得最大值时的x 的值.18．（本小题满分12分）将如图1的直角梯形ABEF （图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD 折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示.（1）求异面直线BD 与EF 所成角的大小； （2）求二面角D —BF —E 的大小；（3）求F 、A 、B 、C 、D 这五个点在同一球面上，求该球的表面积.19．（本小题满分12分）某项赛事，在“五进三”的淘汰赛中，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答3个问题. 组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目. 测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答.（1）求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率； （2）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布数列和数学期望ξE .20．（本小题满分12分）已知函数t m x f x+⋅=2)(的图象经过点A （1，1）、B （2，3）及C （n S n ,），S n 为数列{n a }的前n 项和，*∈N n .（1）求S n 及a n ；（2）若数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记11122334111111ni i i n n bb b b b b b b b b =++=++++∑ )(*N n ∈， 求证：∑=+<≤n i i i b b 11.2113121．（本小题满分13分）已知函数)(x f y =的图象与函数86)(2-+-=x x x h 的图象关于点（1，0）对称.（1）求函数)(x f 的表达式；（2）设函数∈-++-=a a x x x f x g (|1|2)()(R ），求)(x g 的最小值.22．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 为动点，且5,5||==过点M 作,.,111111N N M M OT T N x NN N M y MM +=⊥⊥满足又动点轴于点作过轴于其轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）已知点A （5，0）、B （1，0），过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q .问△BPQ 的面积S 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．C 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．A 9．D 10．A 11．C 12．B 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．0； 14．2±=a ；15．33； 16．②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（1）∵51=⋅b a ，∴1sin cos 5αα-= ① …………2分∴112sin cos 25αα-⋅=，∴24sin 2.25α=∴12sin cos ,(0,)252πααα=∈ ② …………2分 联立①、②，解得53cos ,54sin ==αα. …………2分（2）x x x x x x f 2cos sin 2sin 5cos 2cos 52cos )2cos(5)(++=+-=ααα将43sin ,cos 55αα==带入，得)42sin(242cos 42sin 4)(π+=+=x x x x f . ∴()f x 的最小正周期π=T . …………1分∴当max 22,(),428x k f x x k k πππππ+=+==+∈时此时Z .…………2分18．∵平面ABC D ⊥平面DCEF ，ABCD 为正方形，DCEF 为直角梯形，∴以DA 所在直线为x 轴、DC 所在直线为y 轴、DF 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -， 则)2,0,0(),1,1,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(F E C B A …………2分（1）,21,cos ),1,1,0(),0,1,1(-=>=<-==EF DB EF DB ……2分∴异面直线AC 与EF 所成的角为3π. …………1分（2）,AC BD AC DF ⊥⊥，∴AC BDF ⊥平面。

成都市2018级高中毕业班摸底测试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则AB =（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x << 【命题意图】本题考查集合的运算，属于简单题. 【答案】C【解析】由题意知{}12A B x x =≤<，故选C 项.2．复数2i2iz =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【命题意图】本题考查复数的运算和复平面的概念，属于简单题. 【答案】B【解析】由题意知()()()2i 2i 24i2i 2i 5z +-+==-+，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故选B 项. 3．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1e f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．e 1-D ．2 【命题意图】本题考查分段函数的求值，属于简单题. 【答案】D【解析】由题意知11ln1e ef ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()112e f f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D 项.4．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”.某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动.已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（ ）A ．17B ．23C ．35D ．37 【命题意图】本题考查简单随机抽样，属于简单题. 【答案】C【解析】根据随机数表从第6行第9列开始依次抽出号码分别是：39、49、54、43、54、共5个号码，由于49、54、43、54四个号码不在总体编号范围内，应排除在外.再补充四个号码：17、37、23、35，由此产生5个样本的学号为：39、17、37、23、35，所以第5名学生的学号为35，故选C 项.5．“k =2y kx =+与圆221x y +=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【命题意图】本题考查充要条件和直线与圆的位置关系，属于简单题. 【答案】A【解析】当直线2y kx =+与圆221x y +=1=，所以k =所以“k =2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件，故选A 项.6．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与椭圆22+184x y =有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213y x -= D ．2213x y -= 【命题意图】本题考查双曲线方程和双曲线与椭圆的性质，属于简单题.【答案】C【解析】由题意知22213b e a =-=，椭圆22+184x y =的焦点为()2,0±，所以224a b +=，所以21a =，23b =，所以双曲线的方程为2213y x -=，故选C 项.7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．1-B ．2 C ．0 D ．12-- 【命题意图】本题考查程序框图和数列求和，属于中档题.【答案】B【解析】由程序框图知10coscos cos cos4444S π2π3ππ=++++. 因为()()()()()81828388coscos cos cos4444k k k k k +π+π+π+π++++=∈Z ，所以10910coscos cos coscos cos cos cos 444444422S π2π3ππππππ=++++=+=+=，故选B 项. 8．设函数()f x 的导函数是()f x '.若()()2cos f x f x x '=π-，则6f π⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12CD ．【命题意图】本题考查导数的计算，属于中档题.【答案】B【解析】由题意得()()2sin f x f x x ''=π+，所以()()2sin f f ''π=ππ+π，所以()0f 'π=，所以()sin f x x '=，所以162f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选B 项.9．如图是某几何体的三视图.若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（ ）A ．14πB ．16πC ．18πD ．20π【命题意图】本题考查简单几何体的三视图，属于中档题. 【答案】C【解析】由三视图知该几何体为球去掉后下左18球和前上右18球，所以该几何体的表面积为3316421844π⨯+π⨯⨯=π，故选C 项. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :()1y k x =+与曲线C ：1sin 2,sin cos x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,13⎫⎪⎪⎣⎭D ．132⎫⎪⎪⎣⎭【命题意图】本题考查参数方程和直线曲线交点问题，本题容易忽略x 或y 的取值范围，从而得错误答案B ，属于中档题.【答案】D【解析】由题意知直线l 过定点()1,0-，曲线C 的普通方程为()202y x x =≤≤，所以曲线C 在第一象限的解析式为)02y x =≤≤，所以y '=易求直线l 与曲线C 在第一象限相切时的方程为()112y x =+，切点为()1,1.当直线l 与曲线C 在第一象限恰有两个不同的交点时，由图象可得132k ≤<，故选D 项. 11．已知函数()ln xf x x=.若()ln 2a f =，()ln 3b f =-，()e c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【命题意图】本题考查函数的性质和利用导数研究函数的单调性，此题容易忽略函数的定义域，属于中档题.【答案】A【解析】由题意知()f x 为偶函数，所以()ln 3b f =.当0x >时，()ln xf x x=，所以当01x <<时，()0f x <；当1x >时，()0f x >.易求()()2ln 1ln x f x x -'=，所以()f x 在()0,1上递减，在()1,e 上递减，在()e,+∞上递增.因为0ln 2l ln3e <<<<，所以()ln 20f <，()()ln 3e 0f f >>，所以b c a >>，故选A 项. 12．设,k b ∈R ，若关于x 的不等式()ln 1x x kx b -+≤+在()1,+∞上恒成立，则11b k --的最小值是（ ） A ．2e - B ．1e 1-+ C ．21e- D ．e 1-- 【命题意图】本题主要考查利用导数求函数的最值解决不等式恒成立问题，属于难题.【答案】D【解析】设()()()()ln 111f x x k x b x =---->，则()0f x ≤恒成立.若1k ≤时，则当x →+∞时，()f x →+∞，所以()0f x ≤不恒成立，所以1k >. 因为()()()11=111k k x f x k x x --'--=--，所以()f x 在1,1k k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递增，在,1k k ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递减， 所以()max 1ln 011k f x f k b k k ⎛⎫==--≤⎪--⎝⎭，所以()ln 1b k k ≥---，所以()ln 11111k k b k k -++-≥---. 设()ln 2x x g x x ++=，则()2ln 1x g x x +'=-，所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以()max 1e 1e g x g ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以()ln 11e 11k k k -++≤+-，所以()ln 111e 111k k b k k -++-≥-≥----，所以11b k --的最小值为e 1--，故选D 项. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上. 13．已知呈线性相关的变量x ，y 之间的关系如下表：由表中数据得到的回归直线方程为ˆˆ1.6yx a =+.则当8x =时，ˆy 的值为 . 【命题意图】本题考查线性回归方程，属于简单题.【答案】12.3【解析】根据表格中的数据可得 2.5x =， 3.5y =，所以回归方程过ˆˆ1.6y x a =+过点()2.5,3.5，所以ˆ0.5a=-，所以回归直线方程为ˆ 1.60.5y x =-，所以当8x =时，ˆ12.3y =. 14．函数()22e3xf x -=-+的图象在0x =处的切线方程为 .【命题意图】本题考查导数几何意义，属于简单题. 【答案】410x y -+=【解析】由题意知()01f =，()24e xf x -'=，所以()04f '=，所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为410x y -+=.15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是 . 【命题意图】本题考查逻辑推理问题，属于中档题. 【答案】乙【解析】若甲说的话为真的，则甲会中国象棋，则乙说的话也为真的，矛盾；若乙说的话为真的，则甲的话为假话，所以甲不会中国象棋，丙的话为假话，所以甲会会中国象棋，矛盾；故丙的话为真话，甲和乙的话为假话，所以会中国象棋是乙.16．已知点P 在椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>上，1F 是椭圆的左焦点，线段1PF 的中点在圆2222x y a b+=-上.记直线1PF 的斜率为k ，若1k ≥，则椭圆离心率的最小值为 .【命题意图】本题考查椭圆的性质，借助平面几何与圆锥曲线的常用二级结论可以快速得处答案，属于难题.1【解析】设椭圆的右焦点为2F ，则12F F 为圆2222x y a b +=-的直径，所以线段1PF 的中垂线过2F ，所以122F F PF =.在焦三角形12PF F 中，设1212PF F F PF θ∠=∠=，由1k ≥得42θππ≤<.所以离心率()sin 11sin sin 212cos e θθθθ==≥=+π-+.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.+ 17．（本小题满分12分）2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施.为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年齡进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m ，n 的值；（Ⅱ）现从年龄在[)30,40段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动.应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[)35,40段中的概率.【命题意图】本题考查频率分布直方图和古典概型，属于中档题. 【答案】（Ⅰ）图略，200m =，100n =；（Ⅱ）35. 【详解】（Ⅰ）因为第三组的频率为()10.040.060.030.020.0150.2-++++⨯=， 所以第三组直方图的高为0.20.045=.补全频率分布直方图如下图：由频率分布直方图知0.21000200m =⨯=，0.025*******n =⨯⨯=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知年龄在[)30,35段中的人数与年龄在[)35,40段中的人数的比值为30032002=，所以采用分层抽样法抽取5名，年龄在[)30,35段中的有3名，年龄在[)35,40段中的有2名.不妨设年龄在[)30,35段中的3名为A 1，A 2，A 3，年龄在[)35,40段中的2名为B 1，B 2由于从5名代表中任选2名作交流发言的所有可能情况有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}共10种.其中选取的2名发言者中恰有1名年龄在[)35,40段情况有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}共6种. 故所求概率为63105P ==. 18．（本小题满分12分）已知函数()3221f x x ax bx a =+++-在1x =-处取得极值0，其中a ，b ∈R . （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的极值和求函数的最值，属于中档题. 【答案】（Ⅰ）1a =，1b =；（Ⅱ）4. 【详解】（Ⅰ）因为()234f x x ax b '=++，且函数()f x 在1x =-处有极值0，所以()()1010f f '-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，即3401210a b a b a -+=⎧⎨-+-+-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.又当1a =，1b =时，()()()2341131f x x x x x '=++=++.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x单调递减；当1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增.故()f x 在1x =-处取得极大值. 综上，1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()322f x x x x =++，()()()131f x x x '=++，()f x 在11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减，在1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦上递增.又()10f -=，()14f =，所以当[]1,1x ∈-时，()f x 取得最大值4. 19．（本小题满分12分）如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=且2AB =，E 为AD 的中点.将ABE △沿BE 折起使AD =得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若P 为AC 的中点，求二面角P BD C --的余弦值.【命题意图】本题主要考查垂直关系的证明和求二面角，属于中档题.【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）7. 【详解】（Ⅰ）证明：在图①中，连接BD .∵ 四边形ABCD 为菱形，60A ∠=，∴ ABD △是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点，∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又2AD AB ==，∴1AE DE ==.在图②中，AD =222AE ED AD +=.∴ AE ⊥ED .∴ BC ∥DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE AE E =，AE ，BE ⊂平面ABE ，∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE DE E =，BE ，DE ⊂平面BCDE . ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .则()0,0,0E ，()0,0,1A，)B，)C，()0,1,0D .∵ P 为AC 的中点，∴1,1,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.∴ 311,22PB⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭，1,0,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,x y z =m .由00PB PD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得10,2210.2x y z x z--=⎪⎨⎪-=⎪⎩令z =，得(=-m .又平面BCD 的一个法向量为()0,0,1EA =.设二面角P BD C --的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos 7EA EA θ⋅===m m. ∴ 二面角P BD C --的余弦值为7. 20．（本小题满分12分）在同平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换ϕ：12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后，得到曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，连接BO 并延长与曲线C 相交于点D ，且2AD =.求ABD △面积的最大值.【命题意图】本题主要考查伸缩变换和直线与椭圆的位置关系，属于中档题.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）2. 【详解】（Ⅰ）设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩ϕ：12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=,2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=. 所以曲线C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）解法一：由题知当直线AD 的斜率不存在时，由2AD =，则A ，B 两点重合，不满足题意. 当直线AD 的斜率存在时，不妨设直线AD ：y kx m =+，()11,A x y ，()22,D x y . 因为点B ，D 关于原点对称，所以2ABD AOD S S =△△.由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，化简得()222148440k x kmx m +++-=. 所以()2216410k m ∆=-+>，即22410k m -+>.……（*）所以122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+.由2AD =，得122AD x =-==，22231441k m k +=⋅+. 设点O 到直线AD 的距高为d，则d =又 12||222ABD AOD S D d S A d =⨯⋅==△△，所以ABDS ==△(1)t t =≥，则 ()22114k t =-.所以2ABD t S t==≤+△，当且仅t =. 此时212k =，232m =且满足（*）式. 所以ABD △面积的最大值为2.解法二：由题知直线l 的斜率不为零，设l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,D x y --.由22,14x n y x my ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去x ，化简得()2224240m y mny n +++-=. 所以()221640m n ∆=+->，即2214n m <+. 所以12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+.所以()12122824nx x m y y n m +=++=+.由2AD =，得()()2212124x x y y +++=，所以()()2222222644444nm nmm+=++，化简得()2222416m n m +=+，所以22222412141616n m m m m +==-+++. 又20m ≥，所以221144n m ≤<+. 因为点B ，D 关于原点对称，所以2ABD AOB S S =△△. 又1212||||22ABD AOB S S y y n n ⨯==-=△△2===≤. 故当22142n m =+时，ABD △的面积最大，最大值为2. 21．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）设()f x 的导函数为()f x '，试讨论()f x '的零点个数；（Ⅱ）设()ln ln (1)ag x ax x a x a x =++-.当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的零点和处理含参不等式恒成立问题，属于难题. 【答案】（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）(],e -∞. 【详解】（Ⅰ）解法一：因为()()1e xf x x a '=++，所以()f x '的零点个数等价于方程()1e xa x -=+的根的个数.设()(1)e xF x x =+，则考虑直线y a =-与曲线()y F x =的公共点个数. 因为()(2)e xF x x '=+，令()(2)e 0xF x x '=+=，解得2x =-.所以当(),2x ∈-∞-时，()0F x '<，此时()F x 在(),2-∞-上单调递减；当()2,x ∈-+∞时，()0F x '>，此时()F x 在()2,-+∞上单调递增. 所以()F x 的最小值为21(2)eF -=-. 又(1)0F -=，当1x <-时，()0F x <；当1x >-时，()0F x >. 当x →-∞时，()0F x →；当x →+∞时，()F x →+∞. 由其函数图象性质，可得：①当0a -≥或21e a -=-，即 0a ≤或21ea =时，直线y a =-与曲线()y F x =有 1 个公共点； ②当210e a -<-<，即210ea <<时，直线y a =-与曲线()y F x =有 2 个公共点；③当21e a -<-，即21ea >时，直线y a =-与曲线()y F x =无公共点.综上所述，当 0a ≤或21e a =时，()f x '有且只有 1 个零点；当210e a <<时，()f x '有2零点；当21ea >时，()f x '无零点. 解法二：因为()()1e xf x x a '=++，所以()()2e xf x x ''=+，所以当2x <-时，()0f x ''<；当2x >-时，()0f x ''>.所以()f x '在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单递递增，所以()()2min 12e f x f a ''=-=-. （1）当21e a >时，则()2min10e f x a '=->，所以()f x '无零点. （2）当21e a =时，则()2min 10e f x a '=-=，所以()f x '有且只有 1 个零点.（3）当21e a <时，则()2min 10ef x a '=-=.又当x →-∞时，()f x a '→；当x →+∞时，()f x '→+∞，所以若201ea <<时，则()f x '有2零点；若0a ≤时，则()f x '有且只有 1 个零点. 综上所述，当 0a ≤或21e a =时，()f x '有且只有 1 个零点；当210e a <<时，()f x '有2零点；当21e a >时，()f x '无零点. （Ⅱ）解法一：当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥成立，即e ln ln (1)x ax ax ax x a x a x +≥++-对()1,x ∈+∞恒成立，亦即()ln e ln eln xa xx x a x a x +≥+对()1,x ∈+∞恒成立.设函数()e xh x x x =+，所以()()ln h x h a x ≥对()1,x ∈+∞恒成立.又()()1e 1xh x x '=++，设()()()1e 1xx h x x ϕ'==++，则()(2)e xx x ϕ'=+.所以当(),2x ∈-∞-时，()0x ϕ'<，此时()h x '在(),2-∞-上单调递减；当()2,x ∈-+∞时，()0x ϕ'>，此时()h x '在()2,-+∞上单调递增. 所以()()21210eh x h ''≥-=->，()h x 在R 上单调递增. 又()()ln h x h a x ≥，所以ln x a x ≥在()1,+∞上恒成立. 方法一：因为1x >，所以ln xa x≤在()1,+∞上恒成立. 设()()1ln xt x x x=>，则()min a t x ≤ 因为()()2ln 1ln x t x x -'=，所以当1e x <<时，()0t x '<；当e x >时，()0t x '>.所以()t x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增. 所以()()min e e t x t ==，所以e a ≤. 故a 的取值范围是(],e -∞.方法二：令()ln m x x a x =-，则()1a x a m x x x-'=-=. ①当1a ≤时，()0m x '>在()1,+∞上恒成立，所以()(1)10m x m >=>，此时满足已知条件. ②当1a >时，由()0m x '=，解得x a =.当()1,x a ∈时，()0m x '<，此吋()m x 在()1,a 上单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0m x '>，此吋()m x 在(),a +∞上单调递增.所以()m x 的最小值()ln 0m a a a a =-≥，解得1e a <≤.综上，a 的取值范围是(],e -∞. 解法二：由题意知()()()()e 11ln 0x af xg x x a x x ≥⇔+-+≥. 设()()()()e 11ln 1x a x a x h x x x =+-+>，则()0h x ≥恒成立.（1）当0a ≤时，则当1x >时，()e 10x x +>，ln 0x >，10ax +>，所以()0h x >，此时满足已知条件.（2）当0a >时，因为()0h x ≥恒成立，所以()()()e e e e 1e 10a h a =+-+≥.设()()()()e e e 1e 10a a a a ϕ=+-+>，则()()e e 10a a a a ϕ'=-++<，所以()a ϕ在()0,+∞上单调递减. 又()e 0ϕ=，()()()e e e e 1e 10a h a =+-+≥，所以0e a <≤.将函数()h x 看成关于a 的函数()a ω，则()()ln 11ln 0a a a x x x ω'⎡⎤=-++<⎣⎦，所以()a ω在()0,+∞上单调递减.所以当0e a <≤时，()()()()e e 1e 1e ln x x x x a ωω+-+≥=，所以()()()e e 1e 1ln x h x x x x +-+≥. 设()ln e x s x x =-，则()11ee e x s x x x-'=-=，所以当0e x <<时，()0s x '<；当e x >时，()0s x '>. 所以()s x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，所以()()min e 0s x s ==. 所以ln exx ≥，当e x =时等号成立. 所以()()()()()e ee e 1e 1ln e 1e 1e ex x x x x x x x xx x +-+≥+=⋅--+，当e x =时等号成立. 设()()e 1e x x r x x =>，则()()e 1e 1e e e e e x xx xx x r x ----'==，所以当1e x <<时，()0r x '>；当e x >时，()0r x '<.所以()r x 在()1,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max e 1r x r ==.所以ee x x ≥，当e x =时等号成立.所以()()()e e e 1e 1ln e 0x x x x x x x -++≥≥-，当e x =时等号成立.所以()()()e e 1e 1ln 0x h x x x x -+≥+≥，所以当0e a <≤时，()0h x ≥恒成立. 综上，a 的取值范围是(],e -∞.22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点()1,0P .若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求2211PAPB+的值.【命题意图】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程互化和直线标准参数方程t 的几何意义，属于中档题.【答案】（Ⅰ）10x y --=，()2239x y -+=；（Ⅱ）1825. 【详解】（Ⅰ）由直线l 的参数方程，消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y --=. 由22x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的直角坐标方程为()2239x y -+=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理得250t --=.……（*）设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则1t ，2t 是方程（*）的两个实数根，则有12t t +=125t t =-.所以()()(()()2212122222221212252111118255t t t t t t t t PA PB -⨯-+-+=+===-.。

成都七中高2019届零诊模拟考试数学试题（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1. 设全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用交集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，故选C.2. 若复数满足，则复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：把变形，利用复数代数形式的乘除运算化简即可得结果.详解：，，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用二次函数的单调性，结合函数的定义域，根据复合函数的单调性求解即可.详解：得或，令，则为增函数，在上的增区间便是原函数的单调递增区间，原函数的单调递增区间为，故选D.点睛：本题主要考查二次函数与幂函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 15B. 37C. 83D. 177【答案】B【解析】分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量i的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果．详解：执行程序，可得，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，符合，输出；故选：B点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：考察函数图象可知: 命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题．考点：命题的真假判断．6. 已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：由已知得，，结合能得到的值.详解：是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，，，，，，故选C.点睛：本题考查椭圆的定义，基本性质和平面向量的知识.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.7. 在公比为的正项等比数列中，，则当取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】A8. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析：由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的柱体，根据三视图中数据利用棱柱的体积公式可得结果.详解：由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的柱体，其中棱柱的高为，底面积为，可得几何体的体积为，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，则，由，，则，故选B．【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．10. 若函数在处有极大值，则常数为（）A. 2或6B. 2C. 6D. -2或-6【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，再令导数等于0，求出c 值，再检验函数的导数是否满足在x=2处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的 c值舍去．详解：∵函数f（x）=x（x﹣c）2=x3﹣2cx2+c2x，它的导数为=3x2﹣4cx+c2，由题意知在x=2处的导数值为 12﹣8c+c2=0，∴c=6或 c=2，又函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，故导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．当c=2时，=3x2﹣8x+4=3（x﹣）（x﹣2），不满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．当c=6时，=3x2﹣24x+36=3（x2﹣8x+12）=3（x﹣2）（x﹣6），满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．故 c=6．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值，意在考查学生对该知识的掌握能力. (2)本题是一个易错题，容易错选A，函数f(x)在点处的导数是函数在处有极值的必要非充分条件.11. 在中，，，则角（）A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】分析：在中，利用，结合题中条件，利用和差角公式可求得，利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.详解：在中，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以由正弦定理得，联立两式可得，即，，所以，所以，所以，故选D.点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得之后，一定要抓住题中条件，最后确定出角的大小.12. 设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，可得在上为减函数，可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或，解可得的取值范围，即可得到结论.详解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值范围是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 计算__________．【答案】【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：,故答案为.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，属于简单题.14. 已知函数，，是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则__________．【答案】1【解析】分析：根据勾股定理可得，求得，，从而可得函数解析式，进而可得结果.详解：令的最小正周期为，由，可得，由是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则由勾股定理可得，即，解得，故，可得，，故，故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.15. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．【答案】【解析】分析：利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.详解：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.点睛：熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．属于基础题.16. 如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：设，可得，利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质可得结果.详解：如图，连接，已知，，又，，设，，当时，有最小值，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答题（17-21题每小题12分，22题10分，共70分）17. 设为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据数列的递推关系，利用作差法可得是首项为，公差的等差数列，从而可求的通项公式；（2）求出，，利用裂项法即可求数列的的前项和. 详解：（1）由，可知，两式相减得，即，∵，∴，∵，∴（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列，∴的通项公式.（2）∵，∴，∴数列的前项和.点睛：本题主要考查等差数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.（1）证明：；（2）若点为线段的中点，平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（2）由（1）知，结合面面垂直的性质可得，平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量取平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）连接，因为，，所以为正三角形，又点为的中点，所以.又因为，为的中点，所以.又，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知.又平面平面，交线为，所以平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，可得得，由（1）知平面，则取平面的一个法向量，，故二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：.所有蜜柚均以40元/千克收购；.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】（1）；（2）应该选择方案.【解析】分析：（1）利用列举法，从蜜柚中随机抽取个的情况共有种，其中量小于克的仅有1种情况，由古典概型概率公式可得结果；（2）若按方案收购，求出总收益为（元），若按方案收购，收益为元，从而可得结果.详解：（1）由题得蜜柚质量在和的比例为，∴分别抽取2个和3个.记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为，，，则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种：（2）若按方案收购，，，，，，，，，，其中质量小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为.（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，，，，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为（元），若按方案收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为，蜜柚质量低于2250克的个数为，∴收益为元，∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.点睛：本题主要考查直方图的应用、古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）依题意，面积为，联立方程组，解得,所以椭圆的方程，；（2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数关系求出，设线段的中点为，则的坐标为.接着按，两类，代入，列方程，可求得或.试题解析：（1）由,得.再由,解得,由题意可知，即,解方程组，得,所以椭圆的方程，.（2）由（1）可知点，的坐标是,设点的坐标为,直线的斜率为.则直线的方程为,于是两点的坐标满足方程组,消去并整理，得.由,得.从而..设线段的中点为，则的坐标为以下分两种情况：①当时,点的坐标是,线段的垂直平分线为轴，于是.由,得.②当时,线段的垂直平分线方程为.令,解得,由, 整理得.故.综上,或.考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】解析几何解答题一般为试卷两个压轴题之一，“多考想，少考算”，但不是“不计算”.常用的解析几何题目中的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念简化运算，条件等价转化简化运算，用形助数简化运算，设而不求简化运算.圆锥曲线题目运算量较大时，要合理利用圆锥曲线的几何特征将所求的问题代数化.本题第一问主要就是利用方程的思想，根据题意列出方程组，即可求得椭圆方程.视频21. 已知.（1）当时，求证：；（2）若有三个零点时，求的范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）令，，，利用导数可得在上单调递减，，从而可得结论;（2）有三个零点等价于有三个零点，当时，当时，可得是单调函数，至多有一个零点，不符合题意，当时，利用导数研究函数的单调性，根据单调性，结合函数图象可得的范围是.详解：（1）证明：，令，，，，在上单调递减，，所以原命题成立.（2）由有三个零点可得有三个零点，，①当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；③当时，记得两个零点为，，不妨设，且，时，；时，；时，观察可得，且，当时，；单调递增，所以有，即，时，，单调递减，时，单调递减，由（1）知，，且，所以在上有一个零点，由，且，所以在上有一个零点，综上可知有三个零点，即有三个零点，所求的范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22. 选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求的最小值.【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）根据将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）由直线参数方程得，所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程得t 2+2(cos α-sin α)t-7=0，利用韦达定理化简得，最后根据三角函数有界性求最小值. 试题解析：（1）由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y ，即x 2+(y-3)2=9．（2）将的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2+2(cos α-sin α)t-7=0．由△=4(cos α-sin α)2+4×7＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两根， 所以 又由直线过点(1,2)，故，结合参数的几何意义得，当时取等．所以|PA|+|PB|的最小值为．。