质系动量矩定理(II)

动量矩定理的三个公式动量矩定理是物理学中的重要概念，它有三个关键公式。

这三个公式在解决许多物理问题时，那可是相当有用的。

咱们先来聊聊第一个公式：对某定点 O，质点的动量矩 L 等于质点对该点的位置矢量 r 与质点的动量 p 的矢量积，即 L = r × p 。

这个公式看似有点复杂，其实你仔细琢磨琢磨，也不难理解。

比如说，你想象一下，有个小球在光滑的平面上滚动。

这个小球的速度很快，质量也不小。

那它的动量就比较大。

如果这个小球距离某个固定的点比较远，那它相对于这个点的动量矩就会更大。

再来说说第二个公式：质点所受的合力 F 对某定点 O 的力矩 M 等于质点对该点 O 的动量矩随时间的变化率，即 M = dL/dt 。

这个公式能帮助我们理解物体在受到外力作用时，它的转动状态是怎么变化的。

就像我们骑自行车的时候，我们蹬脚踏板的力就相当于一个外力。

这个力产生的力矩会让自行车的轮子转动起来，并且改变轮子的转动速度和方向。

最后是第三个公式：质点系对某定点 O 的动量矩 L 等于质点系中各质点对该点动量矩的矢量和，即L = ∑（ri × pi）。

这三个公式在实际应用中可是大显身手。

记得有一次，我在学校的物理实验室里，看到同学们在做一个关于转动惯量的实验。

实验台上有一个可以绕着中心轴旋转的圆盘，圆盘上有不同位置的小孔，可以通过改变小孔的位置来改变圆盘的质量分布。

同学们在圆盘上施加一个恒定的力矩，然后观察圆盘的转动情况。

他们通过测量圆盘的角速度和角加速度，来验证动量矩定理的公式。

当时有个同学怎么都弄不明白为什么改变圆盘的质量分布会影响它的转动状态。

我就用动量矩定理的公式给他解释。

我说，你看啊，质量分布变了，相当于质点的位置变了，那对中心点的动量矩也就跟着变了。

合力矩不变的情况下，动量矩的变化率就不一样了，所以转动状态就不同啦。

这同学听了之后，恍然大悟，那种因为搞懂一个难题而露出的兴奋表情，我到现在都还记得。

质点和质点系的动量矩和动量矩定理今天我们进入第十一章的学习这篇文章先学习《11-1 质点和质点系的动量矩》《11-2 动量矩定理》一、质点和质点系的动量矩1、质点的动量矩M O(mv)=r×mv 质点的动量对点O的矩[M O(mv)]z=M z(mv) 质点对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。

2、质点系的动量矩L O=∑M O(m i v i) 质点系的动量对点O的矩L z=∑M z(m i v i) 质点系的动量对z轴的矩[L O]z=L z 质点系对点O的动量矩矢在某轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩刚体平移时：可将质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。

定轴转动刚体：L z=∑M z(m i v i)=∑m i v i r i=∑m i(ωr i)r i=ω∑m i r i2令：J z=∑m i r i2——刚体对z轴的转动惯量，则：L z=J zω二、动量矩定理1、质点的动量矩定理设O为定点,有称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.投影式:2、质点系的动量矩定理——质点系动量矩定理，即：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。

投影式:内力不能改变质点系的动量矩.例高炉运送矿石用的卷扬机如图，已知鼓轮半径为R，质量为m1，鼓轮对转轴的转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩为M。

小车和矿石总质量为m2，轨道倾角为θ。

设绳的质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。

守恒定律质点动量矩守恒定律若M O(F)≡0 ，则M O(mv)=恒量；若M z(F)≡0，则M z(mv)=恒量例小球A、B 以细绳相联，质量均为m ，其余构件质量不计。

忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统角速度为ω0，当细绳拉断后，各杆与铅垂线成θ角，求这时的角速度ω。

解：1、取整体研究，受力分析知，系统受重力和约束力作用，外力对转轴的矩都等于0，因此系统对转轴的动量矩守恒2、列方程L z1=L z2L z1=2maω0a=2ma2ω0，L z2=2m(a+l sinθ)2ω今天的知识点你都掌握了吗？。

动量矩定理公式动量矩定理公式是经典力学中最为重要的定理之一，也是描述质点、力和角动量之间关系的基本公式。

它在物理学和工程学中的应用非常广泛，例如在机械设计中，我们需要利用动量矩定理公式来计算旋转惯量、角加速度等参数，以便进行机器的性能设计和优化。

在本文中，我们将深入探讨动量矩定理公式的含义、意义和应用。

一、动量矩定理的定义动量矩定理公式是描述质点或物体角动量的变化率与施加于物体的力矩之间的关系。

在经典力学中，动量矩定理的形式可以表示为：L = Iω其中，L 表示物体的角动量，I 表示物体的旋转惯量，ω 表示物体的角速度。

动量矩定理的本质是质点或物体的动量守恒定律和角动量守恒定律的延伸和综合。

动量守恒定律和角动量守恒定律分别是描述质点和物体在运动过程中动量和角动量不变的规律。

而动量矩定理则是将它们集成在一起，明确了物体动量和角动量与施加于它的力和力矩之间的关系。

在动量矩定理中，旋转惯量起到了很重要的作用。

旋转惯量是物体绕不同轴旋转时所具有的转动惯性，是物体旋转惯性的度量。

不同形状和密度的物体，其旋转惯量也会有所不同。

例如，某个物体绕它的质心旋转时，它的旋转惯量是最小的。

因为在质心系下，物体的动量为零，只有转动部分的动量和角动量。

二、动量矩定理的应用动量矩定理的具体应用非常广泛。

下面将分别就质点的动量矩定理、刚体的动量矩定理以及动量与角动量的守恒作一些说明。

1. 质点的动量矩定理对于一个质量为 m 的质点，在施加力 F 时，它的动量矩定理为：Ft = Δ(mv)其中，Ft 为施加于物体上的力矩，v 表示质点的速度，Δ(mv) 表示质点动量的变化。

2. 刚体的动量矩定理对于一个刚体在施加力矩 M 时，它的动量矩定理可以表示为：M = Iα其中，M 为施加于刚体上的力矩，I 表示刚体的转动惯量，α 表示刚体的角加速度。

在实际应用中，我们经常需要利用动量矩定理来计算旋转惯量、角加速度等参数。

例如，当我们想设计一个能够快速旋转的机器时，就需要通过动量矩定理来确定机器的转动惯量和角加速度等参数，并根据这些参数来设计机器的各个部分。

∑==41'')]([)(i t i i O t O v m M L ∑==⨯41)(0)(i i i i F r ∑=⨯=41)()(i e i i F r ∑=⨯=41')(i ti i i v m r 9.2动量矩定理（2-1）=⋅')(t O k L ∑=⋅⨯41)(])[(i e i i k F r 0)()(1221)(1221)(212)(121=⨯=⨯-=⨯+⨯i i i i F r F r r F r F r∑∑==⨯+⨯=4141)()(i i i i i i i i a m r v m v])([41)()(∑=+⨯=i i i e i i F F r123456789)(i Z Z F M J∑=ε刚体定轴转动微分方程，也叫转动牛顿定律M J =εF ma c =物体的惯性指标有两个：平移惯量和转动惯量质心运动定理，平移牛顿定理动量矩定理：质点系对某固定点动量矩的导数, 等于系统所受全部外力对该点力矩的矢量和; 质点系对某固定轴动量矩的导数, 等于系统所受全部外力对该轴力矩的代数和。

101112图2图4图1图3解细杆/圆盘对O 轴的转动惯量分别为例9.1-2 图示摆锤绕O 轴在竖直平面内自由运动，它由两部分焊接而成: 长度为L 的匀质细杆1和半径为r 的匀质圆轮2, 质量依次为m 1, m 2 .求系统转动到任意位置角θ时的角加速度。

212121131)21(121Lm L m L m J =⋅+=22222)(21r L m r m J ++=εJ J )(21+θr L g m θL g m cos )(cos +⋅+⋅=2121角速度如何确定？上式可以积分吗？131415M J =ε11⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==-=2211221121222112111εεωωεεR R R R R F J R F M J t t 解设齿轮1、2之间的啮合力切向分量为F 12t ，?, ? , ?2112===⇒εεt F 例9.2-1 图示齿轮1、2相互啮合, 半径分别为R 1和R 2, 对各自转轴的转动惯量分别为J 1和J 2. 齿轮1受到驱动力偶作用, 力偶矩为M , 求两轮各自的角加速度。