13数学分析期末复习题01

数学分析 --复习资料一、单选题1、设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) … (x +2004) , 则 f ' (0) = ( )A. 0B. 2003!C. 2004!D. 2005!参考答案： C2、设,则交换积分次序后为 ( )。

A.B.C.D.参考答案： A3、( )A. -2B. 2C. 0D. 发散参考答案： D4、幂级数的收敛域为( )。

A.B.C.D.参考答案： B5、 f (x) 在 x0 点连续的充分条件是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f-' (x0 ) 、f+' (x0 ) 存在D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： C6、已知,f (x) = ( )A.B.C.D.参考答案： C7、积分=A. 1；B. ；C. ；D. 。

参考答案： D8、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： D9、设,则( )。

A.B.C.D.参考答案： C10、下面广义积分发散的一个是A. ；B. ；C. ；D. 。

参考答案： C11、使函数序列一致收敛的区域为A. ；B. ；C. ；D. 。

其中。

参考答案： B12、锥面被柱面所截部分的面积是( )。

A.B.C.D.参考答案： B13、( )；A.B.C.D.参考答案： C14、幂级数的收敛域为( )；A. (-1,1)B.C.D.参考答案： B15、函数连续,则在[a,b]上=( )A.B.C.D.参考答案： B16、级数为( )级数。

A. 收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散参考答案： B17、 f (x) 在 x0 点连续,则下列命题不成立的是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f (x) 在 x0 点的某邻域内有界D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： D18、函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( )A."e>0,$ s>0和d>0使得对任一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s B."e>0,s>0, d>0使得对某一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s C."e>0,$d>0使得对任一分法D，当l（D）D."e>0, s>0，$ d>0使得对任一分法D，当l（D）参考答案： D19、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： C20、幂级数的收敛半径为A. ；B. 1；C. 2；D.参考答案： D21、A. AB. BC. CD. D参考答案： C22、函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是( )A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1D. x ≥ 1参考答案： C23、( )；A.B.C.D.参考答案： C24、下列反常积分收敛的是( )。

数学分析（III ）一、判断题( × )1.若(),f x y 在点(),a b 连续,则(),f x y 在点(),a b 可微.( × )2.若(),f x y 在点(),a b 的两个累次极限存在且相等,则(),f x y 在点(),a b 的二重极限存在.( √ )3.若(),f x y 在点(),a b 可微,则(),f x y 在点(),a b 偏导数存在. ( × )4.若(),f x y 在点(),a b 存在极值,则()(),0,,0x y f a b f a b ''==.( √ )5.若(),,f x y z 在有界闭区域V 上连续,则(),,f x y z 在有界闭区域V 上可积.二、填空题1.设()22,4f x y x y x y +-=-+,则(),f x y =4xy +.2.()3300sin 2limx y x y x y→→+=+2.3.设sin sin cos u x y z =+-,则()0,0,0du=dx dy +.4.()Cx y z ds ++=⎰ ,其中[]:,,2,0,1C x t y t z t t ===∈.5.2Ddxdy =⎰⎰6π,其中(){}22,14D x y xy =≤+≤.三、解下列各题1.设()()22,sin u x y x y=++,求yux u ∂∂∂∂,. 解:(Ⅰ).()2222cos u x x yx∂=++∂()22222cos x xyx x y+=++(Ⅱ).()2222cos u y x yx∂=++∂2.设()32,2sin ,yu f x e x y =++且(),f s t 有连续偏导数,求2ux y ∂∂∂.解:(Ⅰ).2123.2cos .u x f x f x∂''=+∂(Ⅱ).()()221112212232.2cos 2yyu xef y f x e f y f x y∂''''''''=⋅++⋅+⋅∂∂()22111222323cos 4cos y yx e f x y e x f y x f ''''''=⋅+++⋅四、解下列各题1.求(),Dx y dxdy +⎰⎰其中D 由2,y x y x ==围成.解:(Ⅰ).画出积分区域(Ⅱ).() 0xDx y +⎰⎰32201322x x x dx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭320=2.求)2Vdxdydz ⎰⎰⎰,V 是由锥面()2224z x y =+与平面2z =所围区域.解:(Ⅰ).画出积分区域yy x(Ⅱ).)() 2 1 2 0222rVdxdydz d dr r rdz πθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰………… ……3分() 2 12322d r r rdr πθ=--⎰⎰53π=五、解下列各题（每题8分,共16分）1.求3323111sin cos 2333x ySx z dydz y x dzdx z e dxdy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ,其中S 是(){}2222,,V x y z xy z a=++≤的表面,取外侧为正侧()0a >.解:(Ⅰ).画出积分区域……………………………………………………………2分 zy(Ⅱ).原式=()222Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰ 2 22 0 0 0.sin a d d r r dr ππθϕϕ=⎰⎰⎰545a π=2 .求积分()()()34432,5254sin C B A x y dx x y x ydy -+-+⎰,其中曲线(),C A B 与x 轴围成的面积为S . 解:原式(),C B A A BA BP dx Q dy P dx Q dy →→+=+-+⎰⎰…3分 y()0420b Ddxdy dx =---+⎰⎰⎰……………………42S b =-+…………2分六、应用题（10分）在平面(0)x y z a a ++=>上求一点,使该点到点(),,a a a 的距离的平方最小.解:(Ⅰ).设(),,P x y z 是(0)x y z a a ++=>的任一点,设该点到点(),,a a a 的距离的平方为S ,则()()()222S x a y b z c =-+-+-.于是问题归结为求()()()222S x a y b z c =-+-+-在(0)x y z a a ++=> 下的最小值. ……………………………………………………………………..3分yx(Ⅱ).构造Lagrange 函数()()()()()222,,,x y z x a y b z c x y z a λλΦ=-+-+-+++-.故令()()()20,20,20,0.x a x y a y z a z x y z a λλλλ∂Φ⎧=-+=⎪∂⎪∂Φ⎪=-+=⎪∂⎪⎨∂Φ⎪=-+=⎪∂⎪∂Φ⎪=++-=⎪∂⎩ ,则1,31,31,34.3x a y a z a a λ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩.…………………………………5分(Ⅲ).由于该问题存在最优方案,而又只有一个可能最优方案点,故使点,,333a a a ⎛⎫⎪⎝⎭到 点(),,a a a 的距离的平方最小.………………………………………………………….2分七、证明题（每题9分,共18分）1.证明:2222cos()2sin 12x y x y dx x +∞++++⎰在(),-∞+∞一致收敛.证明:(Ⅰ).()()22222cos()2sin 14,0,,,22x y x y x y x x +++≤∈∞∈-∞+∞++………….5分(Ⅱ).242dx x +∞+⎰ 收敛……………………………………………………….2分(Ⅲ).2222cos()2sin 12x y x y dx x +∞++++⎰在(),-∞+∞一致收敛………….2分2.设()()2222222cos 0,,0,0.x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩ ,证明: (1).()()0,00,0,00x y f f ''==.证明:()()()3,00,00,0limlim cos0x x x fx x f f x x∆→∆→+∆-'==∆=∆由对称性,()0,00y f '=.……………………………………………………………………………………4分 (2).(),f x y 在()0,0可微. ()()000,0.0,0.limx y z f x f y ∆→∆→''⎡⎤∆-∆+∆.. ….. 2分=,0,0limx y f x y f ∆→∆→∆∆-2分()322200lim cos0x y x y ∆→∆→=∆+∆=.…………………………………1分八、证明题（9分）设()u f s =为连续函数,方程() 222y xx y z f s d s ++=⎰确定(),z z x y =,证明:()()()2f y f x z z z x y x y -⎛⎫∂∂+=-+ ⎪∂∂⎝⎭.证明:(Ⅰ).在() 222y xx y z f s ds ++=⎰两边对x 求偏导数,则()22z x zfx x∂+=-∂,故()2f x z zx x∂=--∂.……………………………………………………….3分(Ⅱ).在() 222y xx y z f s ds ++=⎰两边对y 求偏导数,则 ()22z y zfy y∂+=∂,故()2fy z zy x∂=-∂.………………………………………………………….3分(Ⅲ).故()()()2f y f x z z z x y x y -⎛⎫∂∂+=-+ ⎪∂∂⎝⎭.…………………………….3分。

数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。

（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。

（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。

（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。

4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。

5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。

一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。

, , 当时, , 则。

2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。

五、1.证明:, , 当时, ；得证。

2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。

综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。

, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。

第三学期数学分析考试题一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）4.xy y x f =),(在原点不可微． （ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ ）二、 填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向． 六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：221140π=+⎰+∞dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微． （ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ √ ）7.平面图形都是可求面积的． （⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ √ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2 ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→=1．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 xze x z z∂∂=∂∂+1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z zz z z xy e e y z e e e y z 。

第十三章 函数列与函数项级数总练习题1、试问k 为何值时，下列函数列{f n }一致收敛；(1)f n (x)=xn k e -nx , 0≤x<+∞；(2)f n (x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤1x n 20n 2x n 1n x -n 2n1x 0 xn kk，，，. 解：(1)当x=0时，f n (x)=xn k e -nx =0，∴使{f n }在[0, +∞)上一致收敛， 必有f(x) =∞n lim +→f n (x)=0. 又f ’n (x)=n k e -nx (1-xn)，f n (x)在x=n1处有最大值，∴), [0x sup +∞∈|f n (x)-f(x)|=), [0x sup +∞∈|xn k e -nx |=n k-1e -1，仅当k<1时，n k-1e -1→0 (n →∞). ∴当k<1时，{f n }在[0, +∞)上一致收敛. (2)使函数列{f n }在[0, 1]一致收敛，必有f(x) =∞n lim +→f n (x)=0.又f n (x)在x=n1处有最大值，∴,1][0x sup ∈|f n (x)-f(x)|=,1][0x sup ∈|xn k |=n k-1，仅当k<1时，n k-1→0 (n →∞). ∴当k<1时， {f n }在[0,1]上一致收敛.2、证明：(1)若f n (x)⇉f (x) (n →∞), x ∈I ，且f 在I 上有界，则{f n }至多除有限项外在I 上是一致有界的；(2)若f n (x)⇉f (x) (n →∞), x ∈I ，且对每个正整数n ，f n 在I 上有界，则{f n }在I 上一致有界.证：(1)∵f 在I 上有界，∴可设|f(x)|≤M ；∵f n (x)⇉f (x) (n →∞), x ∈I ， ∴∀ε>0, ∃正整数N ，当n>N 时，对一切x ∈I ，都有|f n (x)-f(x)|< ε, 又ε>|f n (x)-f(x)|≥|f n (x)|-|f(x)|≥|f n (x)|-M, ∴|f n (x)|<M+ε. 即|f n (x)|≤M. ∴{f n }至多除N 项外在I 上是一致有界的.(2)∵f n (x)→f (x) (n →∞), x ∈I ，∴对∀ε>0, ∃正整数N ，当n>N+1>N 时， 对一切x ∈I ，都有|f n (x)-f N+1(x)|<ε, ∴当n>N+1时，∀x ∈I ，有 |f n (x)|<|f N+1(x)|+ε. 又对每个正整数n ，f n 在I 上有界，可设|f n (x)|≤M n (n=1,2,…,N+1，x ∈I). 记M=max{M 1,M 2,…,M N+1}，则 对一切的自然数n ，都有|f n (x)|<M+ε，即|f n (x)|≤M (x ∈I). 得证！3、设f 为[21,1]上的连续函数，证明：(1){x n f(x)}在[21,1]上收敛；(2){x n f(x)}在[21,1]上一致收敛的充要条件是f(1)=0.证：(1)∞→n lim x n f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<≤1x f(x)，1x 21 0， ，得证！ (2)[必要性]若{x n f(x)}在[21,1]上一致收敛，则∞→n lim x n f(x)=0，又当x=1时，∞→n lim x n f(x)=f(x)=0，∴f(1)=0.[充分性]若f(1)=0. 则∞→n lim x n f(x)=0=g(x).又f 在[21,1]上连续，∴f 在[21,1]上有界，可设|f(x)|≤M,x ∈[21,1). ∴当x=1时，x n f(x)=0；当x ∈[21,1)时，|x n f(x)|≤Mx n →0 (n →∞). ∴,1]21[x sup ∈|f n (x)-g(x)|=,1]21[x sup ∈|x n f(x)|→0 (n →∞)，∴{x n f(x)}在[21,1]上一致收敛.4、证明：若函数列{f n }在[a,b]上一致收敛，且每一项在[a,b]上都可积，则{f n }在[a,b]上的极限函数在[a,b]上也可积.证：对[a,b]任作一分割T ，f(x)在△i 上的振幅为ωi =ix ,x sup ∆∈''''|f(x ’)-f(x)”|.∵f n (x)⇉f (x) (n →∞), x ∈[a,b]，∴∀ε>0, ∃N ，使得 |f N (x ’)-f(x ’)|<)a b (3ε-, |f N (x ”)-f(x ”)|<)a b (3ε- (x ’,x ”∈[a,b]). 又f N (x)在[a,b]上可积，∴对上述的ε>0, ∃δ>0，只要T <δ，就有∑=∆'n1i ii x ω<3ε, 其中ω’i =i x ,x sup ∆∈''''|f N (x ’)-f N (x)”|. 于是，当x ’,x ”∈△i 时， |f(x ’)-f(x)”|≤|f N (x ’)-f(x ’)|+|f N (x ”)-f(x ”)|+|f N (x ’)-f N (x)”|<)a b (32ε-+ω’i . 从而∑=∆n1i i i x ω≤∑=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+-n1i ii x ω)a b (32ε=∑∑==∆'+∆-n1i i i n 1i i x ωx )a b (32ε<32ε+3ε=ε， ∴f (x)在[a,b]上也可积.5、设级数∑n a 收敛，证明：∑+→x n0x n a lim =∑n a . 证：∵x n 1≤1 (x ∈[0,+ ∞))，且x x n 1)1(n 1≤+，∴{xn 1}单调一致有界； 又∑n a 收敛，从而∑n a 在[0,+ ∞)上一致收敛，由阿贝尔判别法知，∑xn n a 在[0,+ ∞)上一致收敛. 又xnn a (n=1,2,…)在[0,+ ∞)上连续， 由连续性知：∑+→x n 0x n a lim =∑+→x n0x n a lim =∑n a .6、设可微函数列{f n }在[a,b]上收敛，{f ’n }在[a,b]上一致有界，证明： {f n }在[a,b]上一致收敛.证：设|f ’n (x)|≤M, (n=1,2,…，x ∈[a,b]). ∀ε>0, 在[a,b]上取m-1个点： x 1,x 2,…,x m-1满足a=x 0<x 1<…<x m-1<x m =b ，使它们把[a,b]分割成m(有限)个小区间△i =[x i-1,x i ]且△x i =x i -x i-1<M4ε(i=1,2,…,m). ∵{f n }在[a,b]上收敛，∴对△i 上全意一点i x , ∃N i >0，当n>N i 时， 对任意自然数p ，有|f n (i x )-f n+p (i x )|<2ε. 对函数f n (x)-f n+p (x)应用微分中值定理：∀x △i , 有 |[f n (x)-f n+p (x)]-[f n (i x )-f n+p (i x )]|=|f ’n (ξ)-f ’n+p (ξ)||x-i x |<2M ·M 4ε=2ε.于是 |f n (x)-f n+p (x)|≤|[f n (x)-f n+p (x)]-[f n (i x )-f n+p (i x )]|+|f n (i x )-f n+p (i x )|<2ε+2ε=ε. 取N=max{N 1,…N m }，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]，都有 |f n (x)-f n+p (x)|<ε，∴{f n }在[a,b]上一致收敛.7、设连续函数列{f n }在[a,b]上一致收敛于f ，而g 在R 上连续. 证明：{g(f n (x))}在[a,b]上一致收敛于g(f(x)).证：∵函数列{f n }在[a,b]上一致收敛于f ，且函数列{f n }在[a,b]上连续， 根据连续性，知f 在[a,b]上连续，从而{f n }在[a,b]上一致有界，记 |f n (x)|≤M ，则|f(x)|≤M ，又g 在R 上连续. ∴g 在[-M,M]上一致连续. ∀ε>0, ∃δ>0, 对一切的x ∈[a,b], 有f n (x),f(x)∈[-M,M]，又由|f n (x)-f(x)|< δ, ∴对一切的n, 有|g(f n (x))-g(f(x))|<ε. 得证！。

《数学分析》Ⅰ期末考试试题
学号 姓名
一、叙述题
1、 叙述数列{}n x 的Cauchy 准则；
2、 写出函数)(x f 在点0x 带 Lagrange 型余项的Taglor 公式；
3、 叙述函数)(x f y =的一阶微分形式的不变性；
二、计算题
4、 求函数[]1 . 0 2 1
)(∈==x n x x f n ）、、（Λ的上确界[]
)(sup 1.0x f x ∈ ； 5、 求极限4202cos lim x e
x x x -→- ；
6、 求不定积分⎰+dx x )1ln(2 ；
7、 设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≤0 ,
010 , x 1cos x 2-1sin 222x x x x π 求)(x f 在[]1,0上的一个原函数；
三、讨论举例题
8、 举出最大、最小值均不存在，但上、下确界均存在的数集的例子；
9、 指出函数[]x
x x f 1sin )(=的不连续点，并确定其不连续点的类型；
四、证明题
10、 用“N -ε”定义验证3
22312lim 22=+-∞→n n n ； 11、 设0)(0'φx f +，0)(0'πx f -，证明0x 是)(x f 的极小值点；
12、 证明2)(x x f =在[) , 0∞+上内闭一致连续（即在[) , 0∞+中的任何
闭子区间上一致连续）。

《数学分析1》期末考试试卷（闭卷 120分钟）一.判断题（每小题2分,共20分）1、设A B ，为非空数集，{}S A B inf min infA infB =，则S=，.2、若0lim ()x x f x →存在，0lim ()x x g x →不存在，则0lim[()()]x x f x g x →±不存在3、若()f x 无上界，则存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n f x →∞=+∞4、lim ()x af x A →=⇔存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n n x a f x A →∞→=且5、若lim n n x A →∞=，lim n n y →∞不存在，lim n n n x y →∞存在，则0A =6、11(1)1)(12)n n e n n n ⎧⎫++<=⎨⎬⎩⎭递增，且（， 7、()()f x g x ，在0x x =不可导，则()()f x g x ±在0x x =也不可导 8、00()()f x f x +-''，均存在，则()f x 在0x x →连续9、若0()0f x '<，则存在0δ>，使得()f x 在00()x x δδ-+，内递减 10、()f x 在0x x =不可导，则0x 不是()f x 的极值点二.求极限（每题5分，共20分）1、4tan()4lim cot 2x x x ππ→- 2、101lim()1x x x x →+- 3、1ln lim (arctan )2xx x π→+∞-4、tan 24lim(tan )xx x π→三. 计算（每题5分，共20分）1、用导数定义求1(ln )x x e x ='2、2(arcsin )y x dy =，求3、ln((0)y x a =>，，求'y 4、求2()(sin )n x四. 证明（每题5分，共20分）1、设0lim ()0x x f x a →=>.证明：n =2、lim n n x a →∞=，lim()0n n n y x →∞-=，证明lim n n y a →∞=.3、证明：()f x =[)1∞，+内一致收敛4、求证: 3tan 23x x x x π∈>-（0，）时，. 五.确定[)()0f x x =∈∞，+的单调区间. （5分）六. ()()f x g x ，在[,]a b 上连续，()()f a g a <,()()f b g b >.求证:存在(,)a b ξ∈，使 ()()f g ξξ= （5分）七. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,求证：(0,1)ξ∈，使得()(1)()(1)f f f f ξξξξ''-=- （5分） 八. 求证:23()xf x x e -=在区间(,)-∞+∞内有界. （5分）。